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FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOSFUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS

O que você deve saber sobre

O conceito de função é estabelecido a partir das relações entre grandezas, tão presentes no cotidiano, sendo fundamental na modelagem matemática de fenômenos naturais, econômicos e sociais.

I. Definição de função

A = {}

Sejam A e B conjuntos.Dizemos que f é uma função se qualquer elemento de A corresponder a um, e somente um, elemento de B.

FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS

II. Alguns conceitos básicos

a) x e y: variável independente e variável dependente, respectivamente

b) Domínio da função: conjunto A

c) Contradomínio da função: conjunto B

d) Imagem de x pela função: cada elemento y do contradomínio que tem algum correspondente x no domínio.

e) Conjunto imagem da função: formado por todos os valores de y que são imagens de algum valor de x. É um subconjunto do contradomínio; em alguns casos, eles podem ser iguais.


III. Diagrama de Venn

A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9, 10}

Representação da função f: A B


IV. Função polinomial na variável real x

É toda função definida por uma expressão analítica do tipo:


V. Raízes de uma função

É(São) o(s) valor(es) de x que torna(m) f(x) nula. Também pode(m) ser chamado(s) de zero(s) da função. Para funções polinomiais, dependendo do grau da função (maior expoente de x na expressão de f(x)), pode haver mais de uma raiz. Na verdade, o número de raízes reais da função é menor ou igual ao grau da função.

Para o cálculo da(s) raiz(ízes), conhecendo-se a expressão analítica de f(x), basta fazer f(x) = 0 e isolar x na equação. Para funções polinomiais de grau n < 5, existem fórmulas construídas a partir dos coeficientes da função que permitem a determinação de suas raízes. No caso de funções de grau n ≥ 5, devem ser aplicadas outras técnicas.


VI. Análise do gráfico de uma função

A representação gráfica de uma função evidencia algumasde suas características mais relevantes e auxilia na análisedo comportamento delas à medida que percorremos o domínioe verificamos como varia a imagem da função.



Máximo e mínimo



O sinal


Função modular Clique na imagem abaixo para ver a animação.


VII. Funções por partes

12

11)(

x,x

x,xxg

Exemplo:


y

x

Função inversaClique na imagem abaixo para ver a animação.


Dadas as funções f: A B e g: B C, chamamos função composta de g com f a função (g О f): A C, tal que:

Ou seja, a composição das funções f e g se dá de tal forma que, para todo x A, a imagem de f(x) seja tomada como valor no domínio para a função g.

VIII. Função composta


, para todo x A

Para garantir a existência da função composta (g О f)(x):

• o contradomínio de f deve ser igual ao domínio de g;

•numa composição de três ou mais funções, o uso de parênteses indica a ordem na composição; por exemplo, (g О f) О h indica primeiro a composição de g com f, seguida da composição com h;

• quando a composição de funções for possível, ela deve respeitar a propriedade associativa, ou seja:

VIII. Função composta


IX. Função inversa

Consideremos a função f: A B.

Função sobrejetora: o conjunto imagem de f é igual a seu contradomínio, ou seja, Im(f) = B.

Função injetora: para quaisquer valores x1 ≠ x2 no domínio,

f(x1) ≠ f(x2).

Função bijetora: a sobrejetora e a injetora, simultaneamente.

Função inversa: a função f -1: B A, tal que, para todo par de valores (x, y) f, existe um par (y, x) f -1.


IX. Função inversa


Função inversaClique na imagem abaixo para ver a animação.


(FGV-SP) Considere uma função p(x), tal que 2p(x) – p(2 – x) = 3x2 – 3x – 2.

a) Calcule p(1).b) Qual é o valor da soma p(1) + p(3)?

2EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS NO VESTIBULAR

(Unesp) Considere as funções polinomiais f(x) = x3 + x2 + 2x - 1 e g(x) = x3 + 3x + 1, cujos gráficos se interceptam em dois pontos, como esboçado na figura (não em escala).

Determine para quais valores reais f(x) g(x), isto é, determineo conjunto S ={x IR| f(x) g(x)}.

3EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


(Ufla-MG) Determine o polinômio de quarto grau, cujo esboço do gráfico é:

5EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


(Unesp) Seja x o número de anos decorridos a partir de 1960 (x = 0). A função y = f(x) = x + 320 fornece, aproximadamente,a média de concentração de CO2 na atmosfera em ppm (partes por milhão) em função de x. A média de variação do nível do mar, em cm, em função de x, é dada aproximadamente pela função g(x) = 1 x. Seja h a função que fornece a média de variação do

5nível do mar em função da concentração de CO2. No diagrama seguinte estão representadas as funções f, g e h.

Determine a expressão de h em função de y e calcule quantos centímetros o nível do mar terá aumentado quando a concentração de CO2 na atmosfera for de 400 ppm.

7EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


(Unesp) É dado o polinômio cúbico P(x) = x3 + x2 - 2x, com x IR.

a) Calcule todas as raízes de P(x).b) Esboce, qualitativamente, o seu gráfico no plano (x, P(x)), fazendo-o passar por suas raízes.

8EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


(UFU-MG) Considere as funções reais de variável real definidas por f(x) = x2 3 e g(x) = |x|. Determine quantas soluções tem a equação (g O f)(x) = 2, em que g O f é a função composta de g com f.

12EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


123)(22

)(

xxgexx

xf

(UFSCar-SP) Considere as funções reais f e g, definidas por:

a) Determine o domínio da função f e a imagem da função g.b) Determine o domínio de f(g(x)).

13EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


(UFRRJ) Considere a função f(x):

Determine os intervalos nos quais f(x) é estritamente negativa.

14EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


.283

64)(

2

2

xx

xxxf

funÇÕes: conceitos bÁsicos o que você deve saber sobre o conceito de função é estabelecido a...

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