funções
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Não fujas da Matemática!
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Um pouco de história...
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. A noção de FUNÇÃO foi-se construindo e aperfeiçoando ao longo de vários séculos. É possível detectar sinais de que os Babilónios teriam já uma ideia, ainda que vaga, de função.
No séc. XVIII, o matemático alemão Leibniz (1646–1716), muito rigoroso com a linguagem matemática, inventou vários termos e símbolos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o termo função no desenvolvimento da Análise Matemática.
Leibniz
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Todavia a notação f(x) para indicar uma função de variável x, só mais tarde, em 1735, foi usada por Euler, que utilizou o conceito de função na reorganização das Matemáticas.
Euler
Nos séculos XVIII e XIX, o papel das funções na Matemática já era tão importante que o matemático francês Hadamard escreveu:
““O ser matemático, numa palavra, já não é o O ser matemático, numa palavra, já não é o número, é a lei de variação, a função. A número, é a lei de variação, a função. A matemática não foi apenas enriquecida com matemática não foi apenas enriquecida com novos métodos mas, especialmente foi novos métodos mas, especialmente foi transformada no seu objecto.”transformada no seu objecto.”
Hadamard
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A IMPORTÂNCIA DAS FUNÇÕES...
As funções estão inter-relacionadas com várias matérias, com várias disciplinas. Na economia, na física, na biologia, nas ciências sociais, as funções desempenham um papel fundamental, na medida em que tornam possível a explicação e a certeza de alguns fenómenos. No quotidiano as funções são importantíssimas.
Exemplos: o preço a pagar pela energia eléctrica utilizada, varia em funçãofunção (depende) (depende) do consumo;
o custo de um bolo-rei é função (depende) do seu peso.
o tempo que o nadador gasta a fazer uma piscina é função (depende) função (depende) da velocidade média com que nada.
Como pudeste observar nos exemplos acima, em linguagem corrente usamos por vezes a expressão “é “é função” no sentido de dependefunção” no sentido de depende.
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O JURO É FUNÇÃO DO CAPITAL (DINHEIRO) DEPOSITADO.
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Inconscientemente estamos frequentemente a utilizar funções.
Actualmente, devido essencialmente às novas tecnologias (computador, calculadora gráfica), o estudo de funções tornou-se mais fácil.
Podemos referir sem exagerar, que o conceito “funções”, é um dos assuntos com maior importância, dos inseridos na matemática.
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Função Função máquina máquina transformadoratransformadora
Uma função pode ser equiparada a uma máquina transformadora. Transforma pedaços de certa matéria prima em peças moldadas. Depois de introduzida a matéria prima (objecto x) é transformada de acordo com uma “lei”, saindo a correspondente peça moldada (imagem y).
Ao introduzirmos um objecto numa função, tem de sair uma imagem e, caso seja introduzido novamente o mesmo objecto, terá de sair a mesma imagem.
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Exemplo:
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TIAGO
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TOMÉ
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Quando preenchemos um boletim do Totobola estamos a pôr em correspondênciacorrespondência o jogo com a aposta.
Jogos Apostas
1 X 2
Gil Vicente-Porto
x
x
Beira-mar-Nacional x
Aves-Benfica x
Olhanense-Marítimo x x x
Arouca-Braga x
Estoril-Sporting x
x
Jogos Apostas
1 X 2
Gil Vicente- Porto x
Beira-mar- Nacional x
Aves-Benfica x
Olhanense-Marítimo
x
Arouca-Braga x
Estoril- Sporting x
Boletim do TiagoBoletim do Tiago Boletim do ToméBoletim do Tomé
x
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Quando preenchemos um boletim do Totobola estamos a pôr em correspondência o jogo com a aposta.
Nestes dois boletins há uma diferença fundamental: no boletim do Tiago, a cada jogo corresponde uma e apenas uma apostaTiago, a cada jogo corresponde uma e apenas uma aposta; no boletim do Tomé, há jogos a que corresponde mais do que uma Tomé, há jogos a que corresponde mais do que uma apostaaposta. Dizemos que, no 1.º caso, existe uma correspondência uma correspondência unívoca unívoca entre o conjunto dos jogos e o conjunto das apostas, enquanto que, no 2.º caso, não existe correspondência unívoca.
Assim podemos concluir que podemos concluir que o boletim do Tiago representa uma funçãoo boletim do Tiago representa uma função, , enquanto que o boletim do Tomé não representa uma função.enquanto que o boletim do Tomé não representa uma função.
Jogos Apostas
1 X 2
Gil Vicente-Porto
x
x
Beira-mar-Nacional x
Aves-Benfica x
Olhanense-Marítimo x x x
Arouca-Braga x
Estoril-Sporting x
x
Jogos Apostas
1 X 2
Gil Vicente- Porto x
Beira-mar- Nacional x
Aves-Benfica x
Olhanense-Marítimo
x
Arouca-Braga x
Estoril- Sporting x
Boletim do TiagoBoletim do Tiago Boletim do ToméBoletim do Tomé
x
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Boletim do TiagoBoletim do Tiago
Correspondência unívoca
Nº 1
Nº 3
Nº 4
Nº 5
Nº 6
Nº 2 • 1
• 2
• X
Nº 1
Nº 3
Nº 4
Nº 5
Nº 6
Nº 2
Jogos Apostas
1 X 2
Gil Vicente- Porto x
Beira-mar- Nacional x
Aves-Benfica x
Olhanense-Marítimo
x
Arouca-Braga x
Estoril- Sporting x
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Boletim do ToméBoletim do Tomé
A correspondência neste boletim não é
unívoca
Nº 1
Nº 3
Nº 4
Nº 5
Nº 6
Nº 2 • 1
• 2
• X
Nem todas as correspondências são funções.
Jogos Apostas
1 X 2
Gil Vicente-Porto
x
x
Beira-mar-Nacional x
Aves-Benfica x
Olhanense-Marítimo x x x
Arouca-Braga x
Estoril-Sporting x
x
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Uma correspondência entre dois conjuntos diz-se unívoca, quando a cada elemento do 1.º conjunto corresponde um e um só elemento do 2.º conjunto.
Por exemplo, existe uma correspondência unívoca entre o conjunto dos alunos de uma turma e o conjunto das cadeiras da sala de aula, pois a cada aluno corresponde uma e uma só cadeira.
Função Função é toda a correspondência unívoca, isto é toda a correspondência unívoca, isto é, é, uma correspondência entre dois conjuntos A e B, de tal modo, que a cada elemento do 1.º conjunto corresponde um e um só elemento do 2.º conjunto.
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Variáveis dependentes e Variáveis dependentes e independentesindependentes
x , y
Localidade
xTemperatura
máximas em ºC
yBragança 28
Porto 30Penhas Douradas 29
Coimbra 35Lisboa 37Évora 41Beja 42Faro 35
Temperaturas máximas previstas para o dia 24 de Julho de 2010 Neste exemplo
relacionam-se duas variáveis, localidades (x) e temperaturas (y).A cada localidade corresponde uma temperatura máxima.A temperatura máxima A temperatura máxima é função da localidade. é função da localidade. Neste exemplo a Neste exemplo a variável dependente é variável dependente é numérica. numérica.
X- variável X- variável independente (objectos)independente (objectos)
Y- variável dependente Y- variável dependente (imagens)(imagens)
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Assim, podemos definir função definir função de outra forma:
Uma correspondência entre duas variáveis é funçãofunção, se a cada valor da variável independente, x, corresponde um e um só valor da variável dependente, y.
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LINGUAGEM DAS FUNÇÕESLINGUAGEM DAS FUNÇÕES
Exemplo:
O diagrama seguinte estabelece uma relação entre algumas capitais e respectivos países.
Podemos , assim, estabelecer uma correspondência à qual chamamos f.
Roma Lisboa Brasília Londres
Brasil
f
Holanda
Portugal
A B
Itália
Inglaterra
Esta correspondência representa uma função?
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Roma Lisboa Brasília Londres
Brasil
f
Holanda
Portugal
A B
Ao conjunto A, chamamos conjunto de partida ou domínio da função e representa-se por Df;
Df = { Roma, Lisboa, Brasília, Londres}
Ao conjunto B chamamos conjunto de chegada da função; Conjunto de chegada = {Inglaterra, Itália, Portugal, Brasil, Holanda}
Inglaterra
Itália
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Roma Lisboa Brasília Londres
Brasil
f
Holanda
Portugal
A B
Inglaterra
Itália
Ao conjunto C chamamos contradomínio da função;
C’f = {Inglaterra, Itália, Portugal, Brasil}
Aos elementos do domínio chamamos objectos, x (variável independente);
Aos elementos do contradomínio, chamamos imagens, y (variável dependente);
Concluímos, neste exemplo, que o contradomínio não coincide com o conjunto de chegada.
Nem sempre o Nem sempre o contradomínio contradomínio coincide com o coincide com o
conjunto de conjunto de chegada.chegada.
Então, o domínio de uma função é o conjunto dos objectos .
Então, o contradomínio de uma função é o conjunto das imagens.
C
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Polícia Marítima 3908101
Polícia de segurança pública 3466141 3474730
Polícia judiciária 3574566 3535380
Polícia municipal 7268022
Exercícios:
1. Na lista telefónica de Lisboa, temos as seguintes informações:
A correspondência entre o conjunto das diversas polícias e o conjunto dos respectivos números de telefone é função? Justifica.
Se x for um objecto qualquer do domínio de uma função f, a sua imagem representa-se por f(x).
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2. Observa cada das seguintes correspondências.
Indica justificando:2.1 Qual ou quais das correspondências representa(m) uma função?2.2 Para cada correspondência que representa uma função, indica: o domínio, O contradomínio e o conjunto de chegada.
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3. Das correspondências seguintes quais as que são funções? Justifica a tua resposta.
3.1 A correspondência entre cada pessoa e o número de seu cartão de cidadão.
3.3
quadriláteros
triângulo
círculo
3.2 Em Física, os dois sistemas de medida das temperaturas mais utilizados são: o Celsius e o Fahrenheit. A tabela estabelece a correspondência entre alguns valores:
Graus Celsius (ºC) 0 28 30 100
Graus Fahrenheit (ºF) 32 82.4 86 212
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3.3
![Page 25: Funções](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/55737a21d8b42af4698b4d0e/html5/thumbnails/25.jpg)
Observemos novamente a função, h, ao lado.
Em linguagem correntelinguagem corrente, é possível dizer, por exemplo:
Ao número 2 corresponde a letra b.Ao número 3 corresponde a letra b;Ao nº 4 corresponde a letra c.
Em linguagem matemática (SIMBÓLICA)linguagem matemática (SIMBÓLICA), escrevemos:
bh )2( que se lê: “h de 2 é igual a b”
Ou,Ou, a imagem do objecto 2, pela função h, é b.
Ou,Ou, ao objecto 2, corresponde a imagem b, pela função h.
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axh )(Significa :
Qual é o objecto cuja imagem é a, (pela função h)?
ah )1(
cxh )( ch )4(
yh )3(Significa :
Qual é a imagem cujo objecto é 3, (pela função h)? bh )3(
![Page 27: Funções](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/55737a21d8b42af4698b4d0e/html5/thumbnails/27.jpg)
Assim,
Se designarmos por x um objecto qualquer do domínio de uma função, f, então a sua imagem representa-se por y ou por f(x).
yxf )(
yxh )(
Sendo x a variável independente e y a variável
dependente.
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Exercícios das páginas 145 e 147.
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Modos de representar uma função.
As funções podem ser representadas de diversas formas, algumas das quais já vimos na aula anterior.
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Funções representadas através de um Diagrama Sagital ou Diagrama de Setas
1
3
5
A B
g0123
0
2
4
6
1
3
5
Exemplo: Consideremos os seguintes conjuntos, A= {0, 1, 2, 3} e B= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e a função g: A B, que a cada elemento de A faz corresponder o dobro de B.
Represente a função dada através de um diagrama.
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Funções representadas por tabelas
A função anterior pode ser representada por uma das tabelas seguintes:
Dg x 0 1 2 3
D’g y 0 2 4 6
Dg D’g
x y
0 0
1 2
2 4
3 6
Tabela Tabela horizontalhorizontal
Tabela Tabela verticalvertical
![Page 32: Funções](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/55737a21d8b42af4698b4d0e/html5/thumbnails/32.jpg)
Funções representadas graficamente
Por exemplo, representemos graficamente a seguinte função:
O gráfico de uma função f, obtém-se marcando num referencial o conjunto dos pares ordenados (x, f(x))
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Será que todos os gráficos representam funções?
Observemos os gráficos cartesianos seguintes:
(A) (B)
(C)
(D)
A c
ad
a o
bje
cto
corre
sp
on
de u
ma e
um
a
só im
ag
em
.
A c
ad
a e
lem
en
to d
o d
o
1.º
con
jun
to
corr
esp
on
de m
ais
do q
ue
um
ele
men
to d
o 2
.º
con
jun
to.
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Exemplo:
Nas férias a Marta foi alugar uma bicicleta.
ALUGAM-SE BICICLETASMáximo… 5 5 diasdiasDepósito… €2,5€7,5…por dia
O aluguer para:
- 1 dia - 1 dia custa 2,5 + 7,5.-2 dias custam 2,5+2x7,5.
Vamos completar o pensamento da Marta.
1 dia custa 2,5+7,5 x 1=10
2 dias custam 2,5+7,5 x 2=17,5
3 dias custam 2,5+7,5 x 3=25
4 dias custam 2,5+7,5 x 4=32,5
5 dias 5 dias custam 2,5+7,5 x 5=40
Representação de uma função por meio de uma
expressão algébricaexpressão algébrica
![Page 35: Funções](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/55737a21d8b42af4698b4d0e/html5/thumbnails/35.jpg)
1 dia custa 2,5+7,5 x 1=10
2 dias custam 2,5+7,5 x 2=17,5
3 dias custam 2,5+7,5 x 3=25
Se
n, representar, o nº de dias de aluguerc, representar o custo, em euros
É possível escrever uma expressão, Antes de a escrever diz, no contexto do problema em causa, qual é a variável dependente e qual é a variável independente?
n é a variável independente e c é a variável dependente.
nc 5,75,2
nc 5,75,2 ou
Escrevemos, assim, a expressão analítica da função. Esta expressão permite determinar facilmente os valores de c a partir dos valores de n, ou, vice-versa.
n5,75,2 n
![Page 36: Funções](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/55737a21d8b42af4698b4d0e/html5/thumbnails/36.jpg)
Conclusão:As formas mais frequentes de represenatr uma função, são:
Diagrama sagital ou de setas;
Tabelas;
Representação gráfica;
Expressão algébrica.
Logicamente, também se pode definir uma função através de uma Logicamente, também se pode definir uma função através de uma expressão verbal. Por exemplo: “Considera a função que a cada expressão verbal. Por exemplo: “Considera a função que a cada número natural faz corresponder o seu quadrado.”número natural faz corresponder o seu quadrado.”
Dg x 0 1 2 3
D’g y 0 6 12 18
xxf 2)(
22xy 3
2)(
xxg
5)( xxh
![Page 37: Funções](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/55737a21d8b42af4698b4d0e/html5/thumbnails/37.jpg)
Vantagens e desvantagens dos diferentes modos de representar funções:
A representação gráfica de funções, dá-nos uma visão rápida e global do comportamento da função. Através dos gráficos também é possível estabelecer comparações.
Relativamente às tabelas, estas são preciosas, na medida em que nos possibilitam fazer uma leitura rigorosa de cada objecto.
Uma desvantagem da representação gráfica, é que nem sempre é possível obter com precisão, a imagem de alguns objectos (ao contrário das tabelas).
Um inconveniente da representação de funções por meio de tabelas, é que raramente deixa prever o que acontece a valores intermédios aos expressos na tabela.
![Page 38: Funções](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/55737a21d8b42af4698b4d0e/html5/thumbnails/38.jpg)
As vantagens da representação de funções por meio de expressões analíticas são notórias. Através da expressão algébrica, facilmente obtemos o gráfico da função que nos dá uma visão rápida do comportamento da função; através da expressão algébrica, podemos ainda obter, com toda a precisão, a imagem de qualquer objecto (como nas tabelas). Por estes motivos, sempre que possível, procura-se encontrar uma expressão analítica para representar uma função. “Sempre que possível”, porque por vezes é quase impossível encontrar a expressão analítica de uma função.
Electrocardiograma
![Page 39: Funções](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/55737a21d8b42af4698b4d0e/html5/thumbnails/39.jpg)
Exercícios da página 149.
![Page 40: Funções](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/55737a21d8b42af4698b4d0e/html5/thumbnails/40.jpg)
A A proporcionaliproporcionalidade directa dade directa como funçãocomo função
![Page 41: Funções](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/55737a21d8b42af4698b4d0e/html5/thumbnails/41.jpg)
O pai do Filipe decidiu propor ao seu filho um negócio, que consistia em lavar o seu carro pagando-lhe assim uma quantia de 1,5 euros por hora. Se o Filipe demorar 3 horas e meia a lavar o carro ao pai, quanto terá ganho?
Problema:Problema:
Dinheiro (em euros) Tempo ( em horas)
1,51
3,5 x25,55,15,3 x
R.: R.: Em 3,5 horas o Filipe ganhou 5,25 euros.
Resolução:Resolução:
![Page 42: Funções](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/55737a21d8b42af4698b4d0e/html5/thumbnails/42.jpg)
E se o Filipe demorasse apenas 2 horas e 12 minutos a lavar o carro, E se o Filipe demorasse apenas 2 horas e 12 minutos a lavar o carro, quanto teria ganho?quanto teria ganho?
C.A.
2 horas e 12 minutos, corresponde a quantas horas!
601
x 12
2,060
121
x
2 h:12 min corresponde 2,2 horas
Dinheiro (em euros) Tempo ( em horas)
1,51
2,2 x
3,35,12,2 x
R.: R.: Em 2,2 horas o Filipe teria ganho 3,3 euros (3 euros e 30 cêntimos).
E se demorasse apenas 1 hora e meia?E se demorasse apenas 1 hora e meia?
Dinheiro (em euros) Tempo ( em horas)
1,51
1,5 x
25,25,15,1 x R.: R.: Em 1,5 horas o Filipe teria ganho 2,25 euros.
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Observemos então a tabela com toda a informação anterior.
Tempo (horas)- xTempo (horas)- x 11 1,51,5 2,22,2 3,53,5
Quantia recebida (euros) - yQuantia recebida (euros) - y 1,51,5 2,252,25 3,33,3 5,255,25
1.ª questão: A quantia recebida é directamente proporcional ao tempo de trabalho. Porquê?
O quociente entre as duas variáveis é sempre constante.
5,3
25,5
2,2
3,3
5,1
25,2
1
5,1
x
y
2.ª questão: Qual é a constante de proporcionalidade directa? O que significa?
5,1kA constante de proporcionalidade é 1,5.
Significa o preço de uma hora de trabalho.
Porque as duas grandezas aumentam na mesma proporção, isto é se uma duplica a outra também duplica, se uma triplica a outra também triplica, se uma se reduz a metade a outra também,… . Assim estamos perante uma situação de proporcionalidade directa.uma situação de proporcionalidade directa.
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4.ª questão: Qual a expressão analítica desta função?
Sim, porque a cada objecto (tempo gasto) corresponde uma única imagem (dinheiro ganho) – correspondência unívoca.
Tempo (horas)- xTempo (horas)- x 11 1,51,5 2,22,2 3,53,5
Quantia recebida (euros) - yQuantia recebida (euros) - y 1,51,5 2,252,25 3,33,3 5,255,25
xy 5,1 x x5,1
3.ª questão: Será que a correspondência estabelecida, representa uma função?
Como esta função traduz uma situação de proporcionalidade directa, diz-se uma função de proporcionalidade directa.
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5.ª questão: Representa graficamente esta função?
0
Tempo (em horas)
Qu
an
tia r
eceb
ida (
em
eu
ros)
Através do gráfico da função, é possível observar qual a quantia (ou um valor aproximado) que receberia o Filipe, dependendo do número de horas de trabalho.
Por exemplo: Por exemplo: Se o Filipe trabalhasse 2 horas quanto ganharia?
Tempo (horas)- xTempo (horas)- x 11 1,51,5 2,22,2 3,53,5
Quantia recebida Quantia recebida (euros) - y(euros) - y
1,51,5 2,252,25 3,33,3 5,255,25
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Qual será a representação gráfica de uma função de Qual será a representação gráfica de uma função de proporcionalidade directa?proporcionalidade directa?
O gráfico é constituído por um conjunto de pontos que se situam sobre uma linha recta que passa pela origem do referencial.
Conclusão:Conclusão:
Toda a função f, que se pode representar por:
0, kcomkxy 0,: kcomkxxf0,)( kcomkxxfou ou
Traduz uma situação de proporcionalidade directa, em que, k é a constante de proporcionalidade.
O gráfico deste tipo de funçõesgráfico deste tipo de funções é sempre um conjunto de pontos situados sobre uma recta que passa na origem do referencial.
Função de proporcionalidade directa ou função Função de proporcionalidade directa ou função linearlinear
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Exercício:Exercício:
Em muitos supermercados e talhos há balanças quemarcam simultaneamente o peso e o preço das mercadorias.Por exemplo, ao pesar uma determinada quantidade de carnea 5 €/kg, a balança além do seu peso, dá o seu custo.
A tabela relaciona diferentes quantidades de carne com o respectivo custo:
Peso (em gramas) xPeso (em gramas) x 100 200 250 300 600 1000 …
Custo (em euros) yCusto (em euros) y 11 22 2,502,50 33 66 1010 ……
a) Observa a tabela e completa:
...1000
...
...
6
300
3
...
5,2
200
...
100
1
b) O custo é directamente proporcional ao peso? Porquê?c) Qual é a constante de proporcionalidade? O que representa?
d) Qual é a expressão analítica que representa esta função de proporcionalidade directa?
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Exercícios da página
151
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FUNÇÕES FUNÇÕES Lineares e Lineares e constantesconstantes
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Gráficos das funções do tipo x y=kx
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Gráficos das funções do tipo x y=kx
xy 2
xy5
2
xy 2
Exemplos:Representa graficamente a função Representa graficamente a função f(x)=2x.f(x)=2x.Ora, como já vimos, a representação gráfica desta função, é uma ____________ que passa na ______________________________.
Então para determinar uma recta basta marcar ___ pontos.
A expressão analítica y=2x da função f, permite-te determinar os valores de y a partir dos valores que atribuíres que atribuíres a x. Repara:
x y=2x
0
1
-1,5
0
2
-3
C.A.
002 y212 y
35,12 y
Não te esqueças, como é uma recta bastam só dois pontos, no entanto, podes determinar mais.
0,0
2,1
3;5,1
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Y=2xY=2x
Como não há rescrições para o x, isto é, o x pode tomar qualquer valor, podes unir os pontos e obter a representação gráfica da função, uma recta.
A cada par ordenado corresponde um ponto sobre a recta.
O par ordenado (2,4) pertence ao gráfico da função?
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Representa a função .0,2)( xcomxxf
EXEMPLO:EXEMPLO:
Cuidado! Neste caso há uma exigência (restrição) para o x, só pode tomar valores não negativos (zero ou positivos).
x y=2x
0
2
0
4
002 y
422 y
0,0
4,2
Y=2xY=2x
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EXEMPLO:EXEMPLO:
Representa a função . 0,2)( Nxcomxxf
x y=2x
0
1
0
2
002 y
422 y
0,0
4,2
4 2
212 y 2,1
Como a variável independente, toma apenas valores naturais, a representação gráfica desta função será um conjunto de pontos pontos isolados.isolados.
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ExercícioExercício: Representa graficamente a função .2
1)( xxg
Repara que não há qualquer restrição a impor a xhá qualquer restrição a impor a x, logo como se trata de uma função do tipo y=kx, a sua representação gráfica será uma recta que passa na origem do referencial.
Graph
Geogebra
Graphmatica
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DECLIVE DA RECTA DECLIVE DA RECTA – ESTÁ RELACIONADO COM A INCLINAÇÃO DA – ESTÁ RELACIONADO COM A INCLINAÇÃO DA RECTA RELATIVAMENTE AO EIXO HORIZONTAL.RECTA RELATIVAMENTE AO EIXO HORIZONTAL.
Y=2X
Observa que quando x aumenta 1 unidade, y sofre um aumento de 2 unidades.
A inclinação da recta ou seja, o ângulo que esta faz com a parte positiva do eixo das abcissas, depende do valor da constante, K.
Como determinar o declive de uma recta?
Basta pegar nas coordenadas de um ponto pertencente à recta e efectuar no caso das funções lineares. no caso das funções lineares. x
y
Neste exemplo concreto vemos que o par ordenado (2, 4) pertence à recta, logo 4/2=2, ou, no par ordenado (1, 2) e efectuar o quociente 2/1=2. Assim dizemos que o declive é 2.
Repara agora na expressão analítica da função. O que verificas?Repara agora na expressão analítica da função. O que verificas?
21
21
xx
yym
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O declive coincide com o valor de k, logo ao número k chama-se também declive da recta.
Exemplos:
Representa o gráfico das funções f e g. xxf2
1)(
xy2
1
xy2
3
f
g
Geogebra
xxg2
3)(
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Desafio…Desafio…Observando a representação gráfica das funções seguintes, serás capaz de descobrir as respectivas expressões analíticas?
Determinar a equação da recta a partir da representação Determinar a equação da recta a partir da representação gráficagráfica
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Repara agora nas representações gráficas de algumas funções.
Qual a expressão analítica de cada uma das funções?
Observa atentamente as representações gráficas e as respectivas expressões analíticas. O que verificas relativamente ao declive (inclinação das rectas)?
xxf 5,0)( xxg )( xxh 3)(
xxj 5,3)( xxk 4)(
f g h
j k
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Conclusões: • As equações do tipo y=kx, representam geometricamente rectas de As equações do tipo y=kx, representam geometricamente rectas de declive k que passam pela origem do referencial e pelo ponto de declive k que passam pela origem do referencial e pelo ponto de coordenadas (1,k).coordenadas (1,k).
•Ao número k chama-se declive da recta – está relacionado com a Ao número k chama-se declive da recta – está relacionado com a inclinação da recta relativamente ao eixo horizontal.inclinação da recta relativamente ao eixo horizontal.
A este tipo de funções dá-se também o A este tipo de funções dá-se também o
nome de nome de funções lineares funções lineares ou como ou como já vimos, funções de já vimos, funções de proporcionalidade proporcionalidade
directadirecta..
•Representam a função f: x kx de proporcionalidade directa, cuja Representam a função f: x kx de proporcionalidade directa, cuja constante de proporcionalidade é k (diferente de zero).constante de proporcionalidade é k (diferente de zero).
Numa função do tipo y=kx, para k>0, quanto maior for o declive de k Numa função do tipo y=kx, para k>0, quanto maior for o declive de k maior é a inclinação de recta.Se k>0 o declive é positivo ( a função maior é a inclinação de recta.Se k>0 o declive é positivo ( a função está a crescer); se k<0 o declive é negativo, (a função está a está a crescer); se k<0 o declive é negativo, (a função está a decrescer). JLealdecrescer). JLeal
Quanto maior é o valor de k, maior é a inclinação da recta (aproxima-se mais do eixo dos yy).
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Gráficos das funções do tipo x y=b
![Page 62: Funções](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/55737a21d8b42af4698b4d0e/html5/thumbnails/62.jpg)
Grafmatica
Exemplos de funções constantes:
1,2y
5,3y2y
4y
Representação gráfica:
Conclusões:Conclusões:
Todos os pontos representados têm a mesma ordenada. Por esta razão se diz que a função y=b, é constante. O gráfico desta função é uma recta horizontal (paralela ao eixo das abcissas).
E quanto ao declive! O que pensas?
Obviamente o declive de uma função constante é zero.
![Page 63: Funções](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/55737a21d8b42af4698b4d0e/html5/thumbnails/63.jpg)
Faz a associação correcta
Função linear
Função constante
4)( xg
xxh 3)(
![Page 64: Funções](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/55737a21d8b42af4698b4d0e/html5/thumbnails/64.jpg)
Exercícios da página 155.
Hora de praticar…Hora de praticar…
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xxf 5,0)( xxg )( xxh 3)(
xxj 5,3)( xxk 4)(
f g h
j k
Função Função identidadeidentidade
y=xy=x