físico-química 01 · tunelamento. a barreira de energia potencial não sobe abruptamente para o...
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Físico-Química 01
Apresentações com base no material disponível no livro:Atkins, P.; de Paula, J.; Friedman, R. PhysicalChemistry Quanta, Matter, and Change, 2nd Ed., Oxford, 2014
Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira
anselmo.quimica.ufg.br
FOCO 3A mecânica quântica do movimento:
TÓPICO 9movimento translacional em uma dimensão
Uma partícula em uma região unidimensional com paredes impenetráveis.Sua energia potencial é zero entre 𝑥 = 0 e 𝑥 = 𝐿, e aumenta abruptamente para o infinito assim que toca nas paredes.
Uma função de onda aceitável deve ter o comprimento de onda de de Broglie, de tal forma que a onda se ajuste dentro de uma caixa.
Níveis de energias permitidos para uma partícula em uma caixa.Note que os níveis de energia aumentam com 𝑛2 e que a separação entre esses níveis aumenta com o aumento do número quântico.
As cinco primeiras funções de onda normalizadas para uma partícula em uma caixa.Cada função de onda é uma onda estacionária, e sucessivas funções possuem mais uma meia onda e, correspondentemente, menor comprimento de onda.
a) As duas primeiras funções de onda;b) As densidades de probabilidades correspondentes; ec) Representação da densidade de probabilidade em termos do escurecimento
do sombreamento.
A densidade de probabilidade 𝛹2 𝑥 para um número quântico grande (em azul 𝑛 = 50 e em vermelho 𝑛 = 1).Note que para um alto valor de 𝑛 a densidade de probabilidade é aproximadamente uniforme, quando não consideramos o detalhe do rápido aumento das oscilações.
FOCO 3A mecânica quântica do movimento:
TÓPICO 10tunelamento
A barreira de energia potencial não sobe abruptamente para o infinito em sistemas reais.No sistema mostrado na figura, uma partícula colocada no poço entre as barreiras de potencial pode penetrar e atravessar as barreiras nos dois lados do poço.
Barreira de energia potencial retangular de altura constante e largura finita.Uma partícula que incide na barreira pela esquerda tem uma função de onda oscilante, mas dentro da barreira não há oscilações (para 𝐸 < 𝑉). Se a barreira não é muito espessa, a função de onda é diferente de zero na sua face oposta e, então, as oscilações começam novamente.
Função de onda à esquerda da barreira (𝑥 < 0, 𝑉 = 0):
𝛹 = 𝐴𝑒 𝑖𝑘𝑥+𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥 𝑘ℏ = 2𝑚𝐸 1/2
Função de onda na região que representa a barreira (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, 𝑉 = 𝑐𝑡𝑒):
−ℏ2
2𝑚
𝑑2𝛹 𝑥
𝑑𝑥2+ 𝑉𝛹 𝑥 = 𝐸𝛹 𝑥
As partículas têm 𝐸 < 𝑉 (classicamente, a partícula não tem energia suficiente para passar através da barreira). Assim, 𝑉 − 𝐸 > 0, e a solução geral é
𝛹 = 𝐶𝑒𝜅𝑥 + 𝐵𝑒−𝜅𝑥, 𝜅ℏ = 2𝑚 𝑉 − 𝐸 1/2
Função de onda à direita da barreira (𝑥 > 𝐿, 𝑉 = 0):
𝛹 = 𝐴′𝑒 𝑖𝑘𝑥, 𝑘ℏ = 2𝑚𝐸 1/2
A função de onda completa para uma partícula incidente à esquerda da barreira consiste de:
• Uma onda incidente (𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥
corresponde a um momento positivo);
• Uma onda refletida pela barreira (𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥 corresponde a um (momento negativo –movimento para a esquerda);
• Uma amplitude que varia exponencialmente dentro da barreira (𝐶𝑒𝜅𝑥 + 𝐵𝑒−𝜅𝑥);
• Uma onda oscilante (𝐴′𝑒𝑖𝑘𝑥) representando a propagação da partícula para a direita após o tunelamento através da barreira.
Quando uma partícula incide na barreira pelo lado esquerdo, a função de onda consiste de uma onda representando o momento linear para a direita (𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥); um componente refletido representando o momento linear para a esquerda (𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥); um componente variando, mas não oscilando, dentro da barreira; e uma onda (fraca) representando o movimento para a direita.
A função de onda e sua inclinação devem ser contínuas nos limites da barreira.As condições para continuidade nos habilita a conectar as funções de onda nas três zonas e, então, obter as relações entre os coeficientes que aparecem nas soluções da equação do Schrödinger.
Como 𝛹 deve ser contínua nas interfaces da barreira (𝑥 = 0 e 𝑥 = 𝐿)
𝛹 𝑥 = 0 = 𝐴𝑒𝑖𝑘0 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘0 = 𝐴 + 𝐵𝛹 𝑥 = 0 = 𝐶𝑒𝜅0 + 𝐵𝑒−𝜅0 = 𝐶 + 𝐷
Logo, 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 + 𝐷
e
𝐶𝑒𝜅𝐿 + 𝐷𝑒−𝜅𝐿 = 𝐴′𝑒𝑖𝑘𝐿
Suas inclinações (primeiras derivadas) também devem ser contínuas nas interfaces:
𝑖𝑘𝐴 − 𝑖𝑘𝐵 = 𝜅𝐶 + 𝜅𝐷
e
𝜅𝐶𝑒𝜅𝐿 − 𝜅𝐷𝑒−𝜅𝐿 = 𝑖𝑘𝐴′𝑒𝑖𝑘𝐿
Probabilidade de TransmissãoUma partícula viajando à esquerda da barreira (𝑥 < 0):
𝛹 = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥
Se estiver viajando na direção positiva (para a direita):
𝛹 = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥
Podemos dizer que essa probabilidade é proporcional a 𝐴 2
Uma partícula viajando à direita da barreira (𝑥 > 𝐿):𝛹 = 𝐴′𝑒𝑖𝑘𝑥
Podemos dizer que essa probabilidade é proporcional a 𝐴′ 2
𝐴 2
𝐴′ 2reflete a probabilidade da partícula tunelar através da
barreira: probabilidade de transmissão
, com
Se a barreira é larga tal que 𝜅𝐿 ≫ 1:𝑻 = 16𝜀 1 − 𝜀 𝑒−2𝜅𝐿
Ou seja, 𝑻 𝛼 𝑒−2𝜅𝐿.
Lembrando que 𝜅ℏ = 2𝑚 𝑉 − 𝐸 1/2, a probabilidade de transmissão
decresce exponencialmente com a espessura da barreira e com 𝑚1/2
A função de onda de uma partícula pesada decai mais rapidamente dentro da barreira do que aquela para uma partícula leve.Consequentemente, uma partícula leve tem uma maior probabilidade de tunelaratravés da barreira.
Probabilidades de transmissão para a passagem através de uma barreira de potencial retangular.O eixo horizontal é a energia da partícula incidente expressa como um múltiplo da altura da barreira.As curvas são rotuladas com o valor 𝐿 2𝑚𝑉 1/2/ℏO gráfico da esquerda é para 𝐸 < 𝑉 e o da direita para 𝐸 > 𝑉.𝑇 > 0 para 𝐸 < 𝑉, uma vez que classicamente 𝑇 deveria ser 0.𝑇 < 1 para 𝐸 > 𝑉, uma vez que classicamente 𝑇 deveria ser 1.
𝑇 ≈ 0 para 𝐸 ≪ 𝑉;𝑇 aumenta quando 𝐸 se aproxima de 𝑉: a probabilidade de tunelamento aumenta;𝑇 se aproxima de 1 (mas ainda é menor) para 𝐸 > 𝑉: ainda há uma probabilidade da partícula ser refletida pela barreira, embora classicamente ela pode passar sobre a barreira;𝑇 ≈ 1 para 𝐸 ≫ 𝑉, como é esperado classicamente.
A Barreira de Energia Potencial de Eckart
𝑉 𝑥 =4𝑉0𝑒
𝑎𝑥
1 + 𝑒𝑎𝑥 2
Reatividade química: massa reduzida
A + BC: 1
𝑚=
1
𝑚𝐴+
1
𝑚𝐵+𝑚𝑐
Onde
Probabilidade de transmissão para uma barreira de Eckart e sua variação com a energia.As curvas são rotuladas com o valor de 2𝑚𝑉0
1/2/𝑎ℏ
Eckart Retangular
Não há oscilações em valores altos de energias
O poço de potencial duplo: um modelo de curva de energia potencial para uma molécula que sofre inversão.
(a) Em uma primeira aproximação, a molécula oscila como uma partícula em uma caixa nos dois poços de potencial: as funções de onda correspondem ao estado fundamental da partícula em uma caixa, possibilitando um “vazamento” da barreira durante o tunelamento.
(b) Quando a inversão é possível, as funções de onda da molécula podem ser modeladas como combinações lineares.
As linhas horizontais indicam as energias, que diferem para as duas combinações lineares em (b).
https://youtu.be/wNEqRq6NyUw
FOCO 3A mecânica quântica do movimento:
TÓPICO 11movimento translacional em várias direções
O poço quadrado bidimensional.A partícula está confinada no plano limitado pelas paredes impenetráveis.Logo que ela toca nas paredes, sua energia potencial vai ao infinito.
As funções de onda para uma partícula confinada em uma superfície retangular, ilustrada como contornos de mesma amplitude.(a) n1=1, n2=1, estado de menor energia;(b) n1=1, n2=2;(c) n1=2, n2=1;(d) n1=2, n2=2
As funções de onda para uma partícula confinada em poço quadrado.Note que uma função de onda pode ser convertida em outra por rotação de 90º.As duas funções correspondem à uma mesma energia.A degenerescência verdadeira é uma consequência da simetria.
A degenerescência acidental é uma consequência da simetria escondida.Esses três estados são degenerados mas apenas os dois primeiros, (1,7) e (7,1), são inter-relacionados pela simetria.O terceiro estado (5,5), obviamente, não está relacionado por nenhuma transformação de simetria da região quadrada.Apenas a localização dos nodos é mostrada em cada caso.
(1,7) (7,1)
FOCO 3A mecânica quântica do movimento:
TÓPICO 12movimento vibracional
Lei de Hooke
Energia potencial parabólica 𝑉 = Τ1 2𝑘𝑓𝑥2 de um oscilador harmônico, onde 𝑥 é
o deslocamento a partir do equilíbrio.A largura da curva depende da constante de força 𝑘𝑓: quanto maior 𝑘𝑓 mais
estreito o poço.
Os níveis de energia de um oscilador harmônico são igualmente espaçados com
separação ℏ𝜔, onde 𝜔 = Τ𝑘𝑓 𝑚1/2
.
Mesmo no estado de menor energia um oscilador tem uma energia maior do que zero.
Separações comuns entre os níveis de energia (1 zJ = 10-21 J). Em termos molares, 1 zJ equivale a 0,6 kJ mol-1
O espectro eletromagnético e sua classificação em regiões
3,5 m2869 cm-1
As Funções de Onda
𝛹 𝑥 = 𝑁 × 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜 𝑒𝑚 𝑥 × 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎
𝛹𝜈 𝑥 = 𝑁𝜈 ×𝐻𝜈 𝑦 × 𝑒−𝑦2/2
Onde 𝑦 = Τ𝑥 𝛼 e 𝛼 =ℏ2
𝑚𝑘𝑓
1/4
e 𝐻𝜈 𝑦 é o polinômio de Hermite
Os polinômios de Hermite
A função de onda normalizada e a densidade de probabilidade (também mostrado na área sombreada) para o estado de menor energia de um oscilador harmônico.
A função de onda normalizada e a densidade de probabilidade (também mostrado na área sombreada) para o primeiro estado excitado de um oscilador harmônico.
As funções de onda normalizadas para os cinco primeiros estados de um oscilador harmônico.Note que o número de nós é igual a 𝜈 e que funções de onda alternadas são simétricas ou assimétricas em 𝑦 = 0 (deslocamento zero).
plot ((8x^3-12x)*e^(-x^2/2))^2
plot ((16x^4-48x^2+12)*e^(-x^2/2))^2
plot ((64x^6-480x^4+720x^2-120)*e^(-x^2/2))^2
= 3
= 4
= 6𝛹2
𝛹2
𝛹2
As densidades de probabilidade para os cinco primeiros estados de um oscilador harmônico e para o estado com 𝜈 = 18.Note como as regiões com as maiores densidades de probabilidades deslocam-se na direção dos pontos de mudança do movimento clássico conforme 𝜈 aumenta.
Modelo de energia potencial para descrever as mudanças conformacionais da molécula AB3.Dois poços (parabólicos) do oscilador harmônico são separados por uma barreira.
O poço de potencial duplo: um modelo de curva de energia potencial para uma molécula que sofre inversão.
FOCO 3A mecânica quântica do movimento:
TÓPICO 13movimento rotacional em duas dimensões
Uma partícula em um anel
• Movimento linear momento linear
• Movimento rotacional momento angular
• Na dinâmica de rotação, o análogo de 𝑭 é o
torque 𝝉
𝑭
𝝉 𝒓
0
Ԧ𝑱
Ԧ𝜏 = Ԧ𝑟 × Ԧ𝐹
como Ԧ𝐹 =𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡
Ԧ𝜏 = Ԧ𝑟 ×𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡
usando 𝑑
𝑑𝑡Ԧ𝑟 × Ԧ𝑝 = Ԧ𝑟 ×
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡+ Ԧ𝑝 ×
𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝑡
Ԧ𝜏 =𝑑
𝑑𝑡Ԧ𝑟 × Ԧ𝑝 − Ԧ𝑝 ×
𝑑Ԧ𝑟
𝑑𝑡
substituindo 𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝑡= Ԧ𝑣 e Ԧ𝑝 = 𝑚 Ԧ𝑣
Ԧ𝜏 =𝑑
𝑑𝑡Ԧ𝑟 × Ԧ𝑝 −𝑚 Ԧ𝑣 × Ԧ𝑣
Logo,
Ԧ𝜏 =𝑑
𝑑𝑡Ԧ𝑟 × Ԧ𝑝
Relação entre os veores força ( Ԧ𝐹), torque ( Ԧ𝜏), momento
linear ( Ԧ𝑝) e momento angular (Ԧ𝐽) em um sistema que
está girando, onde Ԧ𝑟 é o raio.
Ԧ𝜏 = Ԧ𝑟 × Ԧ𝐹
Ԧ𝐽 = Ԧ𝑟 × Ԧ𝑝
Para uma partícula movendo-se em um círculo de raio 𝑟 no plano 𝑥𝑦 e com um momento linear de magnitude 𝑝 em um dado instante, o momento angular clássico ao redor do eixo 𝑧 é 𝐽𝑧 = ±𝑝𝑟, onde o sinal positivo (negativo) corresponde ao movimento horário (anti-horário).
O momento de inércia sobre um
eixo é
𝐼 =
𝑖
𝑚𝑖𝑥𝑖2
onde 𝑥𝑖 é a distância perpendicular
do átomo 𝑖 de massa 𝑚𝑖 a partir do
eixo.
Para uma molécula diatômica,
considerando “0” a origem do centro de massa:
𝑅 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 e 𝑚𝐵𝑥𝐵 = −𝑚𝐴𝑥𝐴como 𝐼 = 𝑚𝐴𝑥𝐴
2 +𝑚𝐵𝑥𝐵2,
logo 𝐼 = 𝜇𝑅2 com 𝜇 =𝑚𝐴𝑚𝐵
𝑚𝐴+𝑚𝐴
Duas soluções da equação de Schrödinger para a partícula em um anel.A circunferência foi desdobrada em uma linha reta; os pontos em 𝜙 = 0 e 2𝜋 são idênticos.A solução em (a) não é aceitável porque ela não é unívoca.A solução em (b) é aceitável: ela é unívoca.
O momento angular de uma partícula confinada em um plano pode ser representado por um vetor de comprimento 𝑚𝑙 no eixo 𝑧 com a orientação que indica a direção do movimento das partículas.A direção é dada pela regra da mão direita de modo que (a) corresponde a 𝑚𝑙 >0, sentido horário e (b) corresponde a 𝑚𝑙 < 0, sentido anti-horário.
• As energias são quantizadas porque 𝑚𝑙 deve ser inteiro
• 𝑚𝑙2 significa que a energia da rotação independe do
sentido da rotação (sinal de 𝑚𝑙), como se espera fisicamente. Ou seja, os estados com um dado valor de 𝑚𝑙 ≠ 0 são duplamente degenerados
• O estado descrito por 𝑚𝑙 = 0 não é degenerado, o que é consistente com a interpretação de que quando 𝑚𝑙 é zero a partícula tem um comprimento de onda infinito e é “estacionária”; não importa a questão da direção (de Broglie: 𝜆 = Τℎ 𝑝)
• Não há energia do ponto zero nesse sistema: a menor energia possível é 𝐸0 = 0
Coordenadas cilíndricas 𝑧, 𝑟 e 𝜙 para sistemas com simetria axial (cilíndrica).Para uma partícula confinada ao plano 𝑥𝑦, apenas 𝑟 e 𝜙 podem variar.
𝒓𝒅𝒓
𝒅𝒛
𝒅𝝓
𝝓
𝒓𝒅𝝓
Volume = 𝒓𝒅𝒓 𝒅𝝓 𝒅𝒛
Para um sistema em duas dimensões,
ignorando o eixo 𝑧, o elemento de volume é 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜙 e o gradiente na
equação de Schrödinger fica:
𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2=
𝜕2
𝜕𝑟2+1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟+
1
𝑟2𝜕2
𝜕𝜙2
Se 𝑟 = 𝑐𝑡𝑒:𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2=
1
𝑟2𝜕2
𝜕𝜙2
Duas soluções da equação de Schrödinger para a partícula em um anel.A circunferência foi desdobrada em uma linha reta; os pontos em 𝜙 = 0 e 2𝜋 são idênticos.A solução em (a) não é aceitável porque ela não é unívoca.A solução em (b) é aceitável: ela é unívoca.
Quantização do momento angular• O momento angular ao redor de z é quantizado (𝐽𝑧 =
𝑚𝑙ℏ, com 𝑚𝑙 = 0,±1, ±2, …)
• A função de onda para a partícula em um anel é dada por
𝛹𝑚𝑙𝜙 =
1
2𝜋 1/2𝑒𝑖𝑚𝑙𝜙 =
1
2𝜋 1/2𝑐𝑜𝑠𝑚𝑙𝜙 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑚𝑙𝜙
Logo, com o aumento de 𝑚𝑙 o momento angular aumenta associado a
– um aumento no número de nós nas partes real (𝑐𝑜𝑠𝑚𝑙𝜙) e imaginária (𝑖𝑠𝑒𝑛𝑚𝑙𝜙) da função de onda (a função complexa não possui nós, mas cada uma das suas componentes, real e imaginária, sim);
– uma diminuição no comprimento de onda e, pela relação de de Broglie (𝜆 = Τℎ 𝑝), um aumento no momento linear da partícula movendo-se ao redor do anel.
Partes reais da função de onda de uma partícula em um anel.A magnitude do momento angular ao redor do eixo z aumenta em múltiplos de ℏ quando menores comprimentos de onda são alcançados,.
Ԧ𝒍
𝒓
𝒑
Ԧ𝒊
Ԧ𝒋
𝒌
O momento angular na mecânica clássica
Na mecânica clássica, o momento
angular Ԧ𝑙 de uma partícula com posição
Ԧ𝑟 e momento angular Ԧ𝑝 éԦ𝑙 = Ԧ𝑟 × Ԧ𝑝
com
Ԧ𝑟 = 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗 e Ԧ𝑝 = 𝑝𝑥 Ԧ𝑖 + 𝑝𝑦 Ԧ𝑗
Logo,Ԧ𝑙 = Ԧ𝑟 × Ԧ𝑝 = 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗 × 𝑝𝑥Ԧ𝑖+ 𝑝𝑦 Ԧ𝑗
= 𝑥𝑝𝑦 − 𝑦𝑝𝑥 𝑘
Ideia básica da representação vetorial do momento angular: a magnitude do momento angular é representada pelo comprimento do vetor e a orientação do movimento no espaço é representado pela orientação do vetor (usando a regra da mão direita)
FOCO 3A mecânica quântica do movimento:
TÓPICO 14movimento rotacional em três dimensões
A função de onda de uma partícula na superfície de uma esfera deve satisfazer a duas condições de contorno cíclicas.Essas condições levam a dois número quânticos para seu estado de momento angular.
azimute
colatitude
Coordenadas Esféricas Polares
𝑟 raio, 𝜃 colatitude e 𝜙 azimute
𝑥 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙
𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
Elemento de volume 𝑑𝜏
𝑑𝜏 = 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜙𝑑𝜃
𝛻2 =𝜕2
𝜕𝑟2+2
𝑟
𝜕
𝜕𝑟+
1
𝑟2𝛬2
com o Legendriano
𝛬2 =1
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜕2
𝜕𝜙2+
1
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕
𝜕𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕
𝜕𝜃
As soluções da equação de Schrödinger
Como 𝑟 é constante
−ℏ2
2𝑚𝑟2𝛬2𝛹 = 𝐸𝛹
O momento de inércia é 𝐼 = 2𝑚𝑟2, então
𝛬2𝛹 = −𝜀𝛹, 𝜀 =2𝐼
ℏ2
Separação de variáveis: 𝛹 = 𝛩𝛷
𝛬2𝛩𝛷 =1
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜕2 𝛩𝛷
𝜕𝜙2 +1
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕 𝛩𝛷
𝜕𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕 𝛩𝛷
𝜕𝜃= −𝜀𝛩𝛷
Dividindo por 𝛩𝛷 e multiplicando por 𝑠𝑒𝑛2𝜃1
𝛷
𝑑2𝛷
𝑑𝜙2+𝑠𝑒𝑛𝜃
𝛩
𝑑
𝑑𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝛩
𝑑𝜃+ 𝜀𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 0
−𝑚𝑙2
já visto p/ rotação 2D
𝛷 =1
2𝜋 1/2 𝑒𝑖𝑚𝑙𝜙,
𝑚𝑙 = 0,±1,±2,…
𝑚𝑙2
Soluções: funções de
Legendre associadas
• Partícula em um anel (2D):
a condição de contorno cíclica para
a função de onda em 𝜙 = 0 e 𝜙 = 2𝜋restringe𝑚𝑙 = 0,±1,±2,… (número
quântico magnético)
• Partícula em uma esfera (3D):
a função de onda também tem que
coincidir ao passar nos polos.
Essa restrição leva à introdução de
um segundo número quântico, 𝑙(número quântico do momento
angular orbital)
𝑙 = 0,1,2,…𝑚𝑙 = 𝑙, 𝑙 − 1,… ,−𝑙
Os Harmônicos Esféricos
Representação das funções de onda de uma partícula na superfície de uma esfera, enfatizando a localização dos nós angulares: regiões em cinza e azul correspondem a diferentes sinais da função de onda.Note que o número de nós aumenta conforme o valor de 𝑙 aumenta.Todas essas funções de onda correspondem a 𝑚𝑙 = 0; um caminho ao redor do eixo z vertical da esfera não passa através de nenhum nó.
Separações comuns entre os níveis de energia (1 zJ = 10-21 J). Em termos molares, 1 zJ equivale a 0,6 kJ mol-1
O espectro eletromagnético e sua classificação em regiões
48 mm
Orientações permitidas do momento angular para 𝑙 = 2
(a) O arranjo experimental para o experimento de Stern-Gerlach: o magneto fornece um campo não homogêneo;
(b) O resultado clássico esperado;(c) O resultado observado utilizando átomos de prata.
(a) Orientações permitidas do momento angular para 𝑙 = 2. No entanto, como o ângulo de azimute do vetor ao redor do eixo z é indeterminado, (b) é uma melhor representação. Nesse caso, cada vetor está sob um ângulo de azimute não especificado no seu cone.
Números Complexos
• Forma geral: 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, com 𝑖 = −1.• 𝑥 representa a parte real de 𝑧, Re(𝑧), e 𝑦 a parte
imaginária, Im(𝑧).• complexo conjugado de 𝑧
𝑧∗ = 𝑥 − 𝑖𝑦
• quadrado do módulo𝑧 2 = 𝑧 × 𝑧∗ = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑥 − 𝑖𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2
• valor absoluto do módulo
𝑧 = 𝑧 × 𝑧∗ = 𝑥2 + 𝑦2
• inverso de 𝑧
Representação de um número complexo 𝑧 como um ponto no plano complexo usando coordenadas cartesianas (𝑥, 𝑦) ou coordenadas polares (𝑟, 𝜙).
argumento de 𝑧
usando𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜙𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜙
fica𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜙
Fórmula de Euler:𝑒𝑖𝜙 = 𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜙
então:
𝑐𝑜𝑠𝜙 =1
2𝑒𝑖𝜙 + 𝑒−𝑖𝜙
e
𝑠𝑒𝑛𝜙 = −1
2𝑖 𝑒𝑖𝜙 −𝑒−𝑖𝜙
Logo, em coordenadas polares,𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜙
O produto de dois números complexos na forma polar é
𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑒𝑖𝜙1 𝑟2𝑒
𝑖𝜙2
= 𝑟1𝑟2𝑒𝑖 𝜙1+𝜙2
Multiplicação de dois números complexos representados no plano complexo.
As 𝑛-ésimas potências (𝑛 = 1, 2, 3, 4, 5) e 𝑛-ésimas raízes (𝑛 = 1, 2, 3, 4) de um número complexo representado no plano complexo.
A 𝑛-ésima potência e a 𝑛-ésimaraiz de um número complexo são
𝑧𝑛 = 𝑟𝑒𝑖𝜙𝑛= 𝑟𝑛𝑒𝑖𝑛𝜙
𝑧1/𝑛 = 𝑟𝑒𝑖𝜙1/𝑛
= 𝑟1/𝑛𝑒𝑖𝜙/𝑛