Física I para Engenharia

1º Semestre de 2014

Instituto de Física- Universidade de São Paulo

Aula – 5 Trabalho Energia Potencial

Professor: Valdir Guimarães

E-mail: valdirg@if.usp.br

Trabalho realizado por uma força constante

Diferentemente do conceito intuitivo, o trabalho está associado com a transferência de energia devido a uma força.

Trabalho é uma grandeza escalar (positiva ou negativa).

Trabalho é realizado sobre um corpo por uma força, quando o ponto de aplicação da força se desloca.

O trabalho realizado sobre um corpo é positivo se energia é transferida para esse corpo.

xFW

W é o Trabalho realizado

xFxFW x cos

Trabalho realizado por diversas forças

O trabalho total sobre um sistema é a soma do trabalho realizado por cada força.

332211 xFxFxFW xxx

Se o trabalho é realizado sobre uma partícula, então todos osdeslocamentos são idênticos.

xFxFFFWxresxxx )( 321

0W

No SI, a unidade para o Trabalho é o Joule (J) 1 J = 1 N.m

Se a aceleração é nula (velocidade constante), então

O teorema do Trabalho-Energia Cinética

Quando forças realizam trabalho sobre uma partícula, o resultado é uma variação da energia cinética da partícula.

Se a força resultante é constante, a aceleração é constante.

Teorema do Trabalho-Energia Cinética:

xres maFx

Definimos a energia cinética como sendo:

xavv xif 222 )(2

1 22

ifx vvx

a

)(2

1 22

ifres vvx

mFx

22

2

1

2

1ifres mvmvxF

x

2

2

1mvK

KWtotal

No SI, a unidade para a Energia Cinética é o Joule (J)

O teorema do Trabalho-Energia Cinética

(a)

22

2

1

2

1iftotal mvmvKW

JxFW

xFWWW

voce

xrealizavoceteresulforçatotal

689cos

_tan

(b)

Suponha que voce tenha que puxar um trenó de massa 80 kg, com uma força de180 N a 40° em relação à horizontal. (a) Qual o trabalho que voce irá realizar?(b) Qual a rapidez do trenó após se deslocar 5,0 m, tendo partido do repouso?

realizavocetotal

iftotal

WW

mvmvKW

_

22

2

1

2

1

smv

m

Wv

f

totalf

/2,4

22

O Trabalho realizado por força constante

Para força constante, temos

xFW x

Área sob a curva Fx versus x

Frequentemente as forças têm intensidade ou direção de aplicação variável.

i

ixix

xFW0

lim

f

i

x

x

xdxFW

Área sob a curva Fx versus x

Se a força varia com x, podemos dividir o movimento em pequenas seções.

Integral

O Trabalho realizado por força variável

Derivada e Integral de polinômios

nCttv )(

1

11)()(

n

nCtdttvtx

nCtx

1 nCntdt

dx

Integralderivada

2

1

)()()( 12

t

tdttvtxtxIntegrais definidas

attv )(

2

21

0

2

1

2

2212

211

12

)(

)()()(2

1

2

1

atxtx

atatatdtattxtxt

t

t

t

suponha

O Trabalho realizado por uma mola (Lei de Hooke)

Considere um bloco sob a ação de uma mola. A força exercida pela mola é dada pela Lei de Hooke

ikxF

Note que a força não é constante e varia com x.

22

22

2

21

2

1

2

1

22

)(

fi

x

x

ifx

x

x

x

x

x

x

kxkxW

xxkxkxdxkW

dxkxdxFW

f

i

f

i

f

i

f

i

O Produto Escalar – Movimento tridimensional

dlFdlFdW cos//

Esta combinação de dois vetorescom o cosseno do ângulo entre suasorientações é chamada de ProdutoEscalar dos vetores.

cosABBA

Produto escalar

O trabalho depende da componente da força na direção do movimento.

O Produto Escalar

Ou alternativamente,

cosABBA

)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kBjBiBkAjAiABA zyxzyx

Mas, como:

0ˆˆ

1ˆˆ

ji

ii

zzyyxx BABABABA

a) Determine o ângulo entre os vetores

a) Determine a componente de A na direção de B.

cosABBA 20,6 mBABABA yyxx

mjiA )ˆ0,2ˆ0,3(

mjiB )ˆ0,3ˆ0,4(

AB

BA

cos mAAAAA yx 0,1322

mBBBBB yx 0,522

333,0cos

71

B

BAA

cos mA 2,1cos

O Trabalho em notação de Produto Escalar

Considerando-se deslocamentos infinitesimais (dl)

dlFdlFdW cos//

ldFdW

Para um deslocamento de uma posição 1 para uma posição 2, o trabalho realizado é

2

1

P

P

ldFW

Esta integral é conhecida como Integral de Linha.

O Trabalho em notação de Produto Escalar

Uma partícula sofre um deslocamento l com uma força constante F atuandosobre a partícula. Determine (a) o trabalho realizado pela força e (b) acomponente da força na direção do deslocamento.

ldFdW

Como a força é constante

2

1

P

P

ldFWmjil )ˆ0,50,2(

NjiF )ˆ0,40,3(

JjijiW 0,14)ˆ0,50,2()ˆ0,40,3(

lFlFW //

l

lFF

//

2952 22 l

NF 6,2//

lFldFW

P

P

2

1

Dois esquiadores partem de um mesmo ponto em uma colina e chegam nabase da colina, através de caminhos diferentes. Um caminho é maiscurto e íngreme do que o outro. Qual esquiador terá maior velocidadeno ponto de chegada?

22

2

1

2

1iftotal mvmvKW

Os esquiadores podem ser tomados comopartículas, portanto vale o Teorema doTrabalho-Energia Cinética.

Temos a força peso e a força normal.

gntotal WWW

O Trabalho e Energia Cinética

O mesmo para os dois esquiadores.

gntotal WWW

0

0

n

nn

W

ldFdW

mghymgW

jyixjmglFW

ldFdW

g

gg

gg

)ˆˆ(ˆ

22

2

1

2

1ifgtotal mvmvKWW

ghv f 2

0ív

para

A taxa, ou seja, a variação temporal do trabalho que uma força realiza échamada de Potência (P). Em outras palavras, a Potência é a taxa detransferência de Energia, através da realização de um Trabalho.

dtvFldFdW PvF

dt

dW

Dois motores que elevam uma certa carga até uma dada altura gastam a mesmaquantidade de energia, mas a potência é maior para a força que realiza otrabalho no menor tempo.

No SI, a unidade para a Potência é o Watt (W) 1 W = 1 J/s

As companhias de energia elétrica usam o kW.h (Energia=P.t) como unidade de energia. Esta é a energia transferida em 1 hora a uma taxa constante de 1 kW.

1 kW.h = (103W)(3600s) = 3,6x106 W.s = 3,6 MJ

Potência

Potência

A potencia de um motor é a taxa coma qual o motor pode realizar trabalho.

O trabalho está relacionado coma variação da energia cinética.

dt

dWP

dKdW

KKW if

dKPdtdW

PtdtPPdtdKttK

000

Ptmv

PtK

2

21

2/12

m

Ptv

PdtdK

Dvdtxt

0

Distância em função da velocidade e potencia.

ttt

dttm

Pdt

m

PtvdtD

0

2/12/1

0

2/1

0

)2

()2

(

2/32/1

3

2)

2( t

m

PD

3/13/2 )2

()2

3(

P

mDt

2/12

m

Ptv

Energia Potencial

O trabalho está associado a transferência de energia devido a uma força.

Trabalho realizado sobre uma partícula, transfere energia cinética.

Para um sistema de corpos, parte da energia transferida pode ser armazenada na forma de energia potencial.

Considere o sistema formado pela Terra e o haltere.

Considere que a pessoa é externa ao sistema.

As forças externas que atuam no sistema sãoproduzidas pela pessoa: Força de contato das mãossobre o haltere, força de contato dos pés com aTerra e a força gravitacional.

Destas forças, apenas a de contato sobre ohaltere pode produzir deslocamentos e realizartrabalho. Como esta força é igual a mg (m= massado haltere), o trabalho é W=mgh.

A energia transferida para o sistema é armazenada na forma de energia potencial gravitacional.

Energia Potencial

Outro sistema que armazenaenergia associada à suaconfiguração é uma mola.

Se a mola é comprimida, com forças iguais e opostas, F1e F2, não existe variação da energia cinética. Portanto,o trabalho realizado é armazenado na forma de energiapotencial elástica.

Como o deslocamento é no mesmo sentido da força, otrabalho realizado pela força F2 é positivo.

O trabalho está associado com a transferência de energia devido a uma força.

Trabalho realizado sobre uma partícula, transfere energia cinética à partícula.

Parte da energia transferida pode ser armazenada na forma de energia potencial.

2

1

P

P

ldFW

Forças conservativas

Quando voce é transportado por um elevador até o topo de um edifício de altura h, o trabalho realizado pela força peso é

Ao retornar ao solo o trabalho realizado pela força peso é

Se este movimento de subida e descida fosse feito através de uma escada rolante, o trabalho da força peso seria o mesmo.

Ele independe do caminho seguido, dependendo apenas das posições inicial e final.

mghWpeso

mghWpeso

O Trabalho da força peso

Dois esquiadores partem de um mesmo ponto em uma colina e chegam nabase da colina, através de caminhos diferentes.

22

2

1

2

1iftotal mvmvW

Não depende do caminho. Apenas da altura h.

Temos a força peso e a força normal.

gntotal WWW

0

0

n

nn

W

ldFdW

mghyymgymgW

jyixjmglFW

ldFdW

ifg

gg

gg

)(

)ˆˆ(ˆ

Os esquiadores podem ser tomados como partículas,portanto vale o Teorema Trabalho-Energia Cinética.

0y

hy

Forças que realizam trabalho que não dependem docaminho são chamadas de Forças Conservativas.

O trabalho realizado por uma forçaconservativa sobre uma partícula éindependente do caminho percorridopela partícula de um ponto ao outro.

Uma força é conservativa se otrabalho que ela realiza sobre umapartícula é zero quando a partículapercorre qualquer caminho fechado,retornando à posição inicial.

Forças Conservativas.

Trabalho realizado sobre o caminho fechado,

2

1

P

P

ldFW

CCCCC

ldFldFldFldFldFW

4321

4321

d

d

d

C

AdAdAxAxdxAidxiAxldF0

22

212

21

0

2

21

0

12

1)0()(ˆˆ

1

42

4

0

2 0ˆˆ

C

h

C

ldFjdyiAxldF

0

2

0

32

1ˆˆ

3 ddC

AdxdxAidxiAxldF

C

ldF 0

Este é o caso da força elástica

d

h

iAxF ˆ

Integral de linha

Funções Energia Potencial

Esta propriedade pode ser usada para definir a FunçãoEnergia Potencial U para uma força conservativa.

OuUldFW

P

P

2

1

Para um deslocamento infinitesimal

2

1

12

P

P

ldFUUU

ldFdU

Quando voce desce do topo de um edifício, o trabalho realizado pela gravidadediminui a energia potencial do sistema.

Definimos a Função Energia Potencial U de forma que o trabalho realizado pelaforça conservativa é igual à redução da Função Energia Potencial.

O trabalho realizado por uma força conservativa não dependedo caminho, mas apenas dos pontos extremos do caminho.

Energia Potencial Gravitacional

Para a força gravitacional, temos:

Integrando, temos

jmgF ˆ

Para um deslocamento infinitesimal

2

1

2

1

y

y

U

U

mgdydU

ldFdU

mgdykdzjdyidxjmgdU )ˆˆˆ()ˆ(

mgyUU 0

Energia Potencial Gravitacional próximo da superfície da Terra.

U0 é uma constante arbitrária, a ser definida convenientemente.

1212 mgymgyUU

01

2

01

2

UU

mgyU

yy

yy

Energia Potencial Elástica

Se voce aplica uma força sobre o bloco aolado e o desloca da posição x=0 até aposição x1, O trabalho realizado pela molaé negativo.

ldFdU

ikxF

com

Força mola F=-kx

Se voce permite que o bloco volte a posição inicial, o trabalho da força damola é positivo. O trabalho total realizado pelas forças na mola é nulo.

Podemos definir a energia potencial elástica:

fff x

xi

x

xi

P

Pi

dxxkidxikxldFW

)(

)()( 2

212

212

21

if

xf

ximola xxkxkW

1

0

1

0

x

x

U

U

kxdxdU

kxdxidxikxdU )ˆ()ˆ(

2

2

1kxU

xx

U

x

1

0

0

0

0

Força mola F=-kx

2

0

2

1012

1

2

1kxkxUU

Integrando, temos

ldFdU

U0 é uma constante arbitrária, a ser definida convenientemente.Podemos escolher U0= 0 (para elongação nula da mola).

ikxF

com

Energia Potencial

Considere o sistema constituido pelo jogadorde basquete (m= 110kg), o aro e a Terra.Suponha que a energia potencial do sistemaseja zero quando o jogador está no solo.Encontre a energia potencial total quando ojogador está dependurado no aro.

Suponha que o centro de massa do jogadorpassou de 80 cm do solo, para 130 cm quandodependurado. A constante elástica do aro é 7,2kN/m.

2

2

1kxmgyUUU cmelgtotal

mNxmNmNUtotal .102,6.81.540 2

2

1

P

P

ldFUW

ldFdU

dl

dUF

Relação energia potencial e força

Conservação da Energia Mecânica

Definimos a energia mecânica de um sistema como sendo asoma da energia cinética com a energia potencial do sistema.

sistsistmec UKE

A energia mecânica de um sistema de partículas é conservada(Emec = constante) se o trabalho total realizado por todas asforças externas e por todas as forças internas não-conservativasfor nulo.

ncmecext WEW

0

0

nc

ext

W

W

0

0

UK

Emec

para

Exemplos

Próximo à borda da laje de um prédio de 12 mde altura, uma bola é chutada com umarapidez inicial de 16 m/s a um ângulo de 60°.Desprezando a resistência do ar, encontre (a)a altura máxima atingida pela bola e (b) suarapidez ao tocar o solo.

Tomamos a bola + Terra, como o sistema.

ncmecext WEW

Como não existem forças externas ao sistema, Wext= 0. Como não existem forças internas não-conservativas, Wnc= 0. Portanto, a Energia Mecânica do sistema se conserva.

00 mecE 0 sistsistmec UKE

21 PP

mecmec

EE

EEaltolaje

altoaltolajelaje mgymvmgymv 22

2

1

2

1

Mas,

vlaje=16m/s

ylaje=0

valto= vlajecosθm

g

v

g

vvy

lajealtolaje

alto 8,92

)cos1(

2

2222

altoaltolajelaje UKUK

0

0

0

U

yP1

P2

solomecmec

PmecmecP

EE

EE

laje

21

solosololajelaje mgymvmgymv 22

2

1

2

1Mas,

ylaje=0

vlaje=16m/s

ysolo=-12 m

sololajesolo gyvv 222 smgyvv sololajesolo /2222

solosololajelaje UKUK

0

0

0

U

yP1

P2

Exemplos

Um pêndulo consiste de bola de massa m presaa um fio de comprimento L. A bola é largada dorepouso, com o fio fazendo um ângulo θ0.Quando passa pelo ponto inferior, (a) qual arapidez da bola e (b) a tensão no fio. Desprezea resistência do ar.

Tomamos a pêndulo + Terra, como o sistema.

ncmecext WEW

Como não existem forças externas ao sistema, Wext= 0. A tensão no fio éuma força interna não-conservativa, mas como esta força é perpendicular àtrajetório, Wnc= WT= 0. Portanto, a Energia Mecânica do sistema seconserva.

)cos1( 0 Lh

Pi

Pf

ifmec EEE 0

0

0

0

U

y

21 mecPmecP

mec

EE

UKE

ffii mgymvmgymv 22

2

1

2

1

Mas, yi=-Lcosθ0, vi=0 e yf=- L

)cos1(2 0

2 gLv f

)cos1(2 0 gLv f

L

vmmamgT

f

cp

2

)]cos1(2[)( 0

2

ggmL

vgmT

f

)cos23( 0mgT

ifmec EEE 0

No ponto final

)cos1( 0 LhPi

Pf

0

0

0

U

y

Exemplos

Um bloco de massa 2kg, em uma superfíciesem atrito é empurrado 30 cm contra umamola (K= 500N/m). O bloco é liberado e amola se descomprime. O bloco desliza esobe um plano sem atrito, com ângulo de45°. Qual é a altura final atingida pelo blocosobre a rampa, ao parar.

sistsistmec UKE

Tomamos a todos os elementos da figura + Terra, como o sistema.

ncmecext WEW

Como não existem forças externas ao sistema, Wext= 0.Como não existem forças internas não-conservativas,Wnc= 0. Portanto, a Energia Mecânica do sistema seconserva.

fi EE

2222

2

1

2

1

2

1

2

1fffiii kxmgymvkxmgymv

Mas, vi=0, yi=0, vf=0, e xf= 0

fi mgykx 2

2

1

mmg

kxy i

f 51,02

2

fi EE 0

0

0

U

y

P1

P2

Exemplos

O carrinho em uma montanha russa parte de uma altura H. Quando ele estáentrando no loop, cai um saco de areia sobre ele, que reduz a velocidade em 25%.Considere que o loop tem metade da altura inicial e despreze os atritos. Ocarrinho conseguirá completar o loop?

ncmecext WEW Wext= 0 e Wnc= 0 e a

Energia Mecânica do sistema se conserva.

2

2

21

2

12

1

2

1mgymvmgymv

2

22

14 mvRmg

Rgv 82 Rgvv 875,075,0 22

21 EE

P1

P2

P3

0

0

0

U

y

3

2

32

2

22

1

2

1mgymvmgyvm

Rmgmvvm 22

1

2

1 2

3

2

2

RgRgRgv 5,04875,0 22

3

R

vmF

topo

cep

2

32 EE

O carrinho não completa o loop !!!

P1

P2

P3

0

0

0

U

y

2

topo

n

vF mg m

R

gRvtopo 2

Limite para completar o

loop Fn=0

22

3 topovv

P2

Exemplos

Um trenó está deslizando no plano com uma rapidez inicial de 4,0 m/s. Se o coeficiente de atrito cinético for 0,14, que distância o trenó percorrerá?

sistsistmec UKE

Tomamos o trenó + Terra, como o sistema.

ncmecext WEW

Wext= 0 e Wnc 0. Portanto, a Energia Mecânica do sistema não se conserva.

0 ncmecext WEW

0 ncWUK

0)(2

1 22 mgxvvm cif

2

2

1ic vgx m

g

vx

c

i 8,52

2

mgf cat

xmgW cfat

0 xmgK c

Exemplos

Uma criança com 40 kg desce por um escorregador de 4 m de altura, cominclinação de 30°. O seu coeficiente de atrito cinético é 0,35. Partindo dorepouso no topo, qual é a sua velocidade ao chegar na base?

sistsistmec UKE

Tomamos os elementos da figura + Terra, como o sistema.

ncmecext WEW

Wext= 0 e Wnc 0. Portanto, a Energia Mecânica do sistema não se conserva.

0 ncmecext WEW

0 atnc WUKWUK222

2

1)(

2

1fif mvvvmK

mghU

sincos

hmgsfW ccat

)sin

cos1(22

cf ghv