fotônica4. interação não linear da luz com a matéria sem absorção por que acontecem efeitos...

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4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem AbsorçãoAbsorção

Por que acontecem efeitos não lineares?

Na óptica, uma onda de luz incide sobre uma molécula, a qual oscila.

Esta emite sua própria onda que interfere com a onda original.

Esquematizando este

processo em termo dos

níveis de energia das

moléculas:

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Por que acontecem efeitos não lineares?

Agora, suponha que intensidade é alta o bastante para excitar

as moléculas para um estado de alta energia. Esse estado

pode se tornar o nível inferior de uma excitação.

Esta gera vibrações em todas as freqüências correspondentes a

todas diferenças de energia entre estados ocupados.

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Óptica não linear é análoga à eletrônica não linear

Enviando um único sinal harmônico (“freqüência pura”)

para um alto-falante barato, resulta em um sinal de saída

truncado, mais parecido com uma onda quadrada.

Observando o espectro de freqüencias, observamos um

novo conjunto dessas.

O que ouvimos é distorção.

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Óptica não linear e osciladores não harmônicos

Para campos fracos, o movimento é harmônico, prevalecendo o regime e fenômenos de óptica linear.Para campos fortes (lasers), ocorre o movimento não harmônico, e outros harmônicos surgem, tanto no movimento, quanto na emissão de luz.

Olhando para o dipolo gerador da nova onda, a não linearidade óptica é visualizada através do potencial eletrônico, quando esse deixa de ser um simples potencial harmônico.Exemplo: o movimento vibracional em uma molécula:

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Equações de Maxwell em um Meio Material

A polarização induzida, P, contém o efeito do meio:

020

0

10

t

c t t

BE E

E PB B

2 2 2

02 2 2 20

1

z c t t

E E P

Soluções harmônicas; a polarização impõe a freqüência de oscilação (a fonte).

Estas equações podem ser reduzidas à equação de onda escalar:

“Equação de Onda não homogênea”

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Polarização Linear

Para baixas intensidades escrevemos:

0 P E

Desta forma, obtemos:2 2 2

2 2 2 2 20 0

1 1

z c t c t

E E E

0( , ) cos( )z t E t k z ECom a seguinte solução:

A polarização induzida apenas modifica o índice de refração.

onde = ck and c = c0 /n and n = (1+)1/2

Utilizando o fato que:2

0 0 01/ c

2 2

2 2 20

10

z c t

E E

Simplificando:

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A óptica não linear surge quando a polarização é resultante de termos de alta ordem (não lineares!) no campo:

P

Quais são os efeitos dos termos não-lineares? Considere o segundo termo:

2 = 2o harmônico!

Equações de Maxwell em um Meio Não Linear

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Geração de soma e de diferença de freqüências

Suponha que dois feixes de cores estão presentes:

Então:

*1 1 1 1

*2 2 2 2exp( ) e exp( ) exp( ) x (( )) pE i t E i t E i t E i tt E

* *1 2 1 2

2

2

2 *21 1 1 1

2 *22 2 2

* *1 2 1 2 1 2

1 2 1

1

2

1 2

2

2

2

( )

exp(2 ) e

2 exp( ) 2 exp

2 exp( ) 2 exp(

x

exp

( )

2

(2

p( 2

)

) xp

2

e ( )

)

2

E i t E

E E i t E E i

E i t E i t

E E i t E E

E

t

i

t

tt

i

E

E SHG

SHG

SFG

DFG

dc retificação

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Efeitos não-lineares complicados podem ocorrer

Quanto mais fótons (i.e., maior a ordem) porém mais fraco o efeito. Efeitos de ordem muito alta podem ser observados, mas esses requerem alta intensidade. Ainda, se as energias dos fótons coincidem com uma ressonância do meio, o efeito é amplificado.

Processos ópticos não lineares são usualmente denominados:

“Processos de mistura de N-ondas"

onde N é o número de fótons envolvido (inclusive o emitido).

Freqüência da luz emitida

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Polarização Induzida para efeitos não lineares

Setas apontando para cima correspondem a absorção de fótons e contribuem com um fator de campo, Ei;

Setas apontando para baixo correspondem à emissão de fótons e contribuem com um fator de complexo conjugado do campo:

(5) *0 1 2 3 4 5E E E E E P

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Resolvendo a equação de onda para ONL

2 2 2

02 2 2 2

1

z c t t

E E P Levando em conta a

polarização linear e trocando c0 por c.

O campo total E contém muitas freqüências discretas, 1, 2, etc.

Escrevendo separadamente as equações de onda para cada freqüência, considerando apenas a polarização induzida nesta freqüência:

2 2 2

02 2 2 2

1

z c t t

1 1 1E E P E1 e P1 são os campos elétrico e polarização na freqüência 1.

2 2 2

02 2 2 2

1

z c t t

2 2 2E E P e E2 e P2 são os campos elétrico e polarização na freqüência 2.

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Escrevendo o pulso do campo elétrico como o produto de um envelope e uma exponencial complexa: E(z,t) = E (z,t) exp[i(t – kz)]

Neste caso, consideramos ainda que o envelope do novo pulso não se altera rapidamente. Esta é a Aproximação de Envelope Lentamente Variável.

Se d é a escala de comprimento de variçào do envelope, esta aproximação resulta na condição: d >>

Aproximação de Envelope Lentamente Variável

2

020

/ /~ 20 0 0 0E E z E z E

kz d z

2

020

/ /~ 20 0 0 0E E z E z E

kz d z

~ 20 0 0

0 0

E E Ek E

z d

~ 20 0 0

0 0

E E Ek E

z d

22

20 0

0 0 0

E Ek k E

z z

Comparndo E0 e suas derivadas:

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Fazendo o mesmo no tempo:

Se é a escala de tempo da variação do envelope : >>

onde correponde ao período de um ciclo óptico,


2

020

/ /~ 20 0 0 0E E t E t E

t T t

0

~ 20 0 00 0

E E EE

t T

22

20 0

0 0 0

E EE

t t

Comparando E0 e suas derivadas temporais:

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Repetindo todo o procedimento para a polarização:

P (z,t) = P (z,t) exp[i(t – kz)]

Se é a escala de tempo da variação do envelope : >> onde T0 correponde ao período de um ciclo óptico, .


2

020

/ /~ 20 0 0 0P P t P t P

t T t

0

~ 20 0 00 0

P P PP

t T

22

20 0

0 0 0

P PP

t t

Comparando P0 e suas derivadas temporais:

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Calculando as derivadas:


222

2 22 exp[ ( )]0 0

0 0 0 0 0

E Eik k E i t k z

z z z

0E

222

2 22 exp[ ( )]0 0

0 0 0 0 0

E Ei E i t k z

t t t

0E

222

2 22 exp[ ( )]0 0

0 0 0 0 0

P Pi P i t k z

t t t

0P

xxx x

exp[ ( )]00 0 0 0

Eik E i t k z

z z

0E

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Como k0 = 0 / c, os dois útimos termos entre colchetes cancelam-se.


Substituindo os sobreviventes na equação para 0:

22 20 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2

22 exp[ ( )] exp[ ( )]

E i Eik k E E i t k z P i t k z

z c t c

20 0 00 0 0 02

22

E i Eik P

z c t

Aproximação de EnvelopeLentamente Variável

20 0 0 0

00

1

2

E Ei P

z c t k

Dividindo por 2ik0:

2 2 2

02 2 2 2

1

z c t t

0 0 0E E P

x x

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Incluindo dispersão

20 0 0 0

00

1

v 2g

E Ei P

z t k

Realizando a tranformada de Fourier, expandindo k()em primeira ordem em , substitui-se c por vg:

Dispersão de velodidade de grupo GVD em segunda ordem:

2220 0 0 0 0

02 20

1

v 2 2g

E E Ei d ki P

z t d t k

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20 0 0

0v 02

Ei P

z k

No referencial do envelope (surfando)

No sistema de coordenadas: zv = z

tv = t – z / vg

20 0 0 0 0

0v v v 0

1 1

v v 2g g

E E Ei P

z t t k

0 0 v 0 v

v v

E E z E t

z z z t z

Transformando as derivadas:

0 0 v 0 v

v v

E E z E t

t z t t t

0 0 0

v v

1

vg

E E E

z z t

0 0

v

0E E

t t

SVEA torna-se:

Canceling terms, the SVEA becomes:

We’ll drop the sub-script (v) to simplify our equations.

Cancelam-se asderivadas temporais!x x

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Escolhemos 0 como soma das

incidentes ’s:

O vetor-k da luz nesta freqüência é:

O vetor-k da polarização induzida é:

Infelizmente, kp pode diferir de k0!

Nem sempre cancela-se exp(-ikz)’s…

Vetores de onda de campos elétricos e

polarizações não são necessariamente iguais

1 2 3 4 5pk k k k k k

0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0/ ( ) /k c n c

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Casamento de fase

kp não ser o mesmo que k0 é efeito importante de casamento de fase. Ele deve ser considera em todos os problemas de óptica não linear.

Se os k’s não casam, a polarização induzida e o campo elétrico gerado se moverão dentro e fora de fase.

20 0 0

00

exp( )2

Ei P i k z

z k

onde:0Pk k k

0 0 0( , ) ( , ) exp[ ( )]z t E z t i t k z 0E0 0( , ) ( , ) exp[ ( )]z t P z t i t z 0P Pk

Integrando a SVEA ao longo do comprimento do meio (L) :

SVEA:

20 0

0 00 0

exp( )( , )

2

Li k z

E L t i Pk i k

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Casamento de fase2

0 00 0

0 0

exp( )( , )

2

Li k z

E L t i Pk i k

20 0

00

exp( ) 1

2

i k Li P

k i k

20 0

00

exp( / 2) exp( / 2)exp( / 2)

2

i k L i k Li P i k L

k i k

20 0

00

exp( / 2) exp( / 2)exp( / 2)

2

i k L i k Li P i k L

k i k

2

0 00

0

sin( / 2)exp( / 2)

k Li P i k L

k k

( , ) sin( / 2) /E L t k L k Portanto:

L

I

k large

k small

2 2( , ) sin ( / 2) /I L t k L k

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Dependência espacial senoidal da intensidade de SHG

Grande k Pequeno k

Se k não é zero, a luz gerada em uma região está fora de fase com a gerada em uma região posterior, causando cancelamento.

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Sinc2(kL/2)

20 0

00

sin( / 2)exp( / 2)

2 / 2

k Li P i k L L

k kL

0 0 0 exp( / 2) sinc( / 2)2

ic P i k L L k L

E0(L, t) P0 L sinc (k L / 2)

20 0

0 00

sin( / 2)( , ) exp( / 2)

k LE L t i P i k L

k k

Lembrando:

I(L, t) P0

2L2 sinc2 (k L / 2)

Multiplicando e dividindo por L/2:

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I

k

Sinc2(kL/2)

A intensidade

Para maximizar a intensidade,Temos que fazer k = 0. O casamento de fase.

k

E0

E0(L, t) P0 L sinc (k L / 2)

I(L, t) P0

2L2 sinc2 (k L / 2)

O campo:

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Casamento de fase = Lei da conservação de fótons

Adicionando as freqüências:

É o mesmo que a conservação de

energia multiplicando-se por h cortado:

Somando os k’s conserva-se momentum:

Casamento de fase é equivalente às leis

de conservação de energia e momentum

1 2 3 4 5 0

1 2 3 4 5 0k k k k k k

1 2 3 4 5 0

1 2 3 4 5 0k k k k k k

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