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MATEMÁTICA FINANCEIRA

Fórmulas e Nomenclaturas

Prof. Esp. Mário Ferreira Neto1

10/AGOSTO/2011

1 Professor Especialista em Matemática e Estatística pela Universidade Federal de Lavras – Minas Gerais.

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Fator multiplicativo ou fator matemático:

100

iFm

Fm→ fator matemático i→ taxa de juros Fórmula da capitalização simples ou juros simples:

J = PV . i. n ou J = C . i . n

J→ juros PV→ valor presente i→ taxa de juros n→ número de períodos (período de tempo) C→ capital

FV = PV + J ou M = C +J

FV→ valor futuro PV→ valor presente M→ montante C→ capital J→ juros

J = FV – PV ou J = M - C

J→ juros FV→ valor futuro PV→ valor presente M→ montante C→ capital

Fórmulas auxiliares de juros simples:

3

1- Valor presente ou capital:

ni

JPV

.

PV→ valor presente J→ juros i→ taxa de juros n→ número de períodos (período de tempo) 2- taxa:

nPV

Ji

.

i→ taxa de juros J→ juros PV→ valor presente n→ número de períodos (período de tempo) 3- número de períodos ou período de tempo:

iPV

Jn

.

n→ número de períodos (período de tempo) J→ juros PV→ valor presente i→ taxa de juros Fórmula da capitalização composta ou juros compostos:

J = PV . [(1 + i)n - 1] ou J = C . [(1 + i)n – 1]) J→ juros PV→ valor presente

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i→ taxa de juros

n→ número de períodos (período de tempo) C→ capital

FV = PV . (1 + i)n ou M = C . (1 + i)n

FV→ valor futuro PV→ valor presente i→ taxa de juros

n→ número de períodos (período de tempo) M→ montante C→ capital

J = FV – PV ou J = M – C

J→ juros FV→ valor futuro PV→ valor presente M→ montante C→ capital Fórmulas auxiliares de juros compostos: 1- Valor presente ou capital:

11

ni

JPV

PV→ valor presente i→ taxa de juros n→ número de períodos (período de tempo) 2- taxa:

5

1 n

PV

FVi

i→ taxa de juros FV→ valor futuro PV→ valor presente n→ número de períodos (período de tempo) 3- número de períodos ou período de tempo:

iPV

FV

n

1log

log

n→ número de períodos (período de tempo) FV→ valor futuro PV→ valor presente i→ taxa de juros log→ logaritmo Fórmula de financiamento (coeficiente de financiamento):

ni

iCF

11

ou

ni

iCF

1

11

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CF→ coeficiente de financiamento i→ taxa de juros n→ número de períodos (período de tempo) Fórmula de financiamento (valor da prestação):

PMT = PV . CF ou VP = C . CF

PMT→ valor da prestação PV→ valor presente CF→ coeficiente de financiamento Vp→ valor da prestação C→ capital Fórmula de financiamento (valor da prestação com um valor de entrada):

PMT = (PV – PMT) CF ou VP = (C – Vpe). CF

PMT→ valor da prestação PV→ valor presente CF→ coeficiente de financiamento Vp→ valor da prestação C→ capital Vpe→ valor da prestação de entrada Fórmula de financiamento (valor da prestação igual ao valor da entrada):

PMT→ valor da prestação PV→ valor presente (igual ao valor á vista do produto)

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CF→ coeficiente de financiamento

CF

PMTPV

PV→ valor presente (igual ao valor á vista do produto) PMT→ valor da prestação CF→ coeficiente de financiamento Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira. Fórmula de taxa proporcional:

2

1

2

1

t

t

i

i

i1→ taxa inicial (taxa que tenho) i2→ taxa final (taxa que quero) t1→ tempo inicial (tempo que tenho em mês) t1→ tempo final (tempo que tenho convertido para o número de capitalizações) Fórmula de taxa equivalente:

ie = (1 + ik)k – 1

ie→ taxa equivalente (taxa que quero) ik→ taxa equivalente qualquer (taxa que tenho) k→ número de capitalizações convertido para a unidade padrão ou unidade apropriada

Fórmula de situações possíveis com taxa equivalente:

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Fórmula Taxa Período Número de

capitalizações

1+ia = (1+isem)2 isem semestre 2

1+ia = (1+iquad)3 iquad quadrimestre 3

1+ia = (1+itrim)4 itrim trimestre 4

1+ia = (1+imes)12 imes mês 12

1+ia = (1+iquinz)24 iquinz quinzena 24

1+ia = (1+isemana)24 isemana semana 52

1+ia = (1+idias)365 idias Dia 365

Taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.

iN = n x i

in→ taxa nominal i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos

Taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.

ie = (1 + ie)1/n – 1

in→ taxa nominal i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos

Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

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Taxa acumulada de juros com taxas variáveis é

normalmente utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral. Taxa aparente é a taxa que se obtém em uma operação financeira sem se considerar os efeitos da inflação. Taxa over é uma taxa usada pelo mercado financeiro para determinar a rentabilidade por dia útil, normalmente é multiplicada por 30 (conversão do mercado financeiro). Taxa média é a taxa de juros que tem como base teórica o conceito estatístico da média geométrica. Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: a taxa real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação. Na realidade existe uma ligação íntima entre as três taxas dadas por:

1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação)

Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado então o resultado

é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. A variação real no final deste mês será definida por:

vreal = 1 + ireal

pode ser calculada por:

vreal = resultado / (1 + iinflação)

isto é:

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vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02

o que significa que a taxa real no período foi de:

ireal = 2%

Capitalização em períodos fracionários:

CONVENÇÃO LINEAR por esta convenção calcula-se o montante ou valor futuro a juros compostos do número de períodos inteiros. Ao valor futuro (montante) obtido adicionam-se os juros simples correspondentes no período fracionário.

FV = PV . (1 + i)n + PV (1 + i)n . i . p/q

Juros compostos

Nos períodos inteiros

Juros simples

Nas frações de períodos (taxa proporcional)

FV→ valor futuro

PV→ valor presente i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos n + p/q→ prazo total p/q→ fração do período total

n + p/q: prazo total de n: número de períodos inteiros e p/q: fração desse período para calcular o montante ou valor futuro atingido pelo capital ou valor presente

na taxa: i no fim de n + p/q períodos:

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FV = PV (1 + i)n . [1 + i . (p/q)]

FV→ valor futuro PV→ valor presente i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos n + p/q→ prazo total p/q→ fração do período total

CONVENÇÃO EXPONENCIAL na convenção exponencial o capital ou valor presente renderá juros compostos durante todo o período de aplicação, ou seja, nos períodos inteiros e fracionários. É conveniente notar que, nos períodos fracionários, o

cálculo é efetuado pela taxa equivalente.

FV = PV (1 + i)n . (+ p/q)

FV→ valor futuro PV→ valor presente i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos n + p/q→ prazo total p/q→ fração do período total

ATENÇÃO: ao se resolverem problemas de capitalização com períodos fracionários, o primeiro passo é definir claramente qual a convenção a ser utilizada, isto é, se vai ser aplicada a convenção linear ou a exponencial. Se definido que a capitalização é LINEAR deve-se trabalhar com taxas proporcionais para o cálculo da capitallização no período fracionário. Se definido que será empregada a EXPONENCIAL será utilizada a taxa equivalente.

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DESCONTO COMERCIAL (POR FORA)

ATENÇÃO: O desconto comercial difere do desconto racional principalmente por que se trata de uma taxa aplicada ao valor nominal do título. Não é uma descapitalização, como no caso do desconto racional e as equações do desconto comercial, são diferentes das equações dos descontos racionais. O desconto comercial simples é o tipo de desconto aplicado no comércio e a taxa de desconto é única para cada prazo determinado. Assim, um título pago com um mês de antecedência deve ser descontado a uma taxa diferente de um título pago com três meses de antecedência. O valor do desconto é obtido diretamente do produto da taxa de desconto ao valor nominal do título. O valor atual ou valor a ser pago pelo título é o valor nominal descontado

Equação ou Formula do Desconto Comercial Simples:

Dc = N – Ac

Dc→ Desconto N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face

Ac→ Valor atual = valor líquido i→ taxa de juros n→ número de períodos de antecipação

Equação ou Formula do Desconto Comercial Simples:

Dc = N . i . n

Dc→ Desconto N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face i→ taxa de juros n→ número de períodos antecipação

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Fórmulas auxiliares do desconto comercial:

1- taxa:

nN

Di

.

i→ taxa de juros D→ Desconto N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face n→ número de períodos de antecipação

2- valor nominal:

ni

DN

.

N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face D→ Desconto i→ taxa de juros n→ número de períodos antecipação

Equação ou Formula do Valor Atual Comercial Simples:

A = N . (1 – i.n)

A→ Valor atual = valor líquido N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face i→ taxa de juros n→ número de períodos de antecipação

Fórmulas auxiliares do valor atual: 1- taxa:

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n

N

D

i

1

i→ taxa de juros D→ Desconto N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face n→ número de períodos de antecipação

Equação ou Formula do Desconto Comercial Composto:

Dc = N – Ac

Dc→ Desconto N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face Ac→ Valor atual = valor líquido i→ taxa de juros n→ número de períodos de antecipação

Ac = N . (1 + i) – n ou nci

NA

)1(

N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face Ac→ Valor atual = valor líquido i→ taxa de juros n→ número de períodos de antecipação

DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) COMPOSTO

Dr = N – Ar

Dr→ Desconto Racional Ar→ Valor atual = valor líquido i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos

Equação ou Formula do Desconto Racional Composto:

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nri

NA

)1(

Ar→ Valor atual = valor líquido N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos

Equivalência de taxas de descontos:

(1 + ic . (1 + ir) = 1 Ar→ Valor atual = valor líquido N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos ATENÇÃO: O desconto racional é juro. Ele é obtido exatamente da mesma forma que o juro, com a diferença que o desconto corresponde a uma descapitalização. Para obter o valor D do desconto racional simples a ser concedido sobre o valor nominal N de um título que vence em n períodos, sobre o qual se paga uma taxa de juros i, utiliza-se como taxa de desconto a taxa de juros e

calcula-se o valor do desconto. Se o desconto racional a ser aplicado é o composto, utiliza-se a mesma equação da descapitalização no juro composto (chamando de o valor a ser pago). O valor do desconto pode ser obtido com a equação equivalente do montante:

N = A + D

O desconto racional também é chamado de desconto verdadeiro, desconto justo e desconto real.