formulario_conducao_tcalor

Transmisso de Calor

Resumo de formulas e tabelas de Conduo Joo Lus Toste de Azevedo Outubro de 2007

Formulrio de Conduo de Calor 2 Toste Azevedo, 10/2000

Resistncias trmicas de paredes

Geometria Parede plana Casca cilndrica Casca esfrica Conveco em superfcie

R [K/W] kAL ( )

kLDDln ie

2

( ) ( )k

DD ei2

11

hA1

R [mK/W] (1) ( )kDDln ie

2

jDh1 (2)

R [m2K/W] kL ( )

kDDlnD iej

2 (2) ( ) ( )[ ]

kDDD jei

211 2 (2) h

1

Raio crtico [m] hk

hk2

1) por unidade de comprimento de cilindro; 2) Resistncia definida em relao rea j. Distribuio de temperatura em slidos com fontes de calor uniforme q& Parede plana com temperaturas impostas Ts1 em x=0 e Ts2 em x=L.

( )22

12

21122

22,s,s,s,s TT

LxTT

Lx

kLqxT

++

+

=

&

Caso com superfcie adiabtica em x=0 ou r=0 e conveco na superfcie x=L ou r=R.

Parede plana Cilndro Esfera

( )hLqT

Lx

kLqxT

&&++

= 2

22

12

( )hRqT

Rr

kRq

rT2

14 2

22 &&++

= ( ) h

RqTRr

kRq

rT3

16 2

22 &&++

=

Rendimento de Alhetas Configuraes de superfcies estendidas consideradas: - Alhetas planas e pinos (seco circular) com diferentes perfis caracterizados por:

2ty =

=l

x2ty

23

x2ty

=l

2x

2ty

=l

A B C D

l

2Dr =

21

x2Dr

=l

=l

x2Dr

2x2Dr

=l

x

y

r


Alheta y = (t/2)(x/ l )n Pino r = (D/2)(x/ l )n

Config. n Parmetro u n Parmetro u Rendimento

funo do parmetro u

A 0 kth2u l= 0 kDh4u l= ( )

uutgh

=

B 1 kth22u l= 1 2 ( ) kDh434u l=

( )( )uIuuI2

0

1

=

C 3 2 kth24u l=

1 kDh42u l= ( )( )uI*uuI*4

1

2=

D 2 kth22u l= 2 ( ) kDh432u l=2u11

2

++=

O rendimento definido pelas expresses acima encontra-se representado em funo do parmetro kthl para as alhetas planas e kDhl para os pinos (seco circular) na tabela A1. - Alhetas tipo anilha em tubos. Consideram-se alhetas com espessura constante ou de seco triangular conforme os esquemas (ambas com espessura na base t).

tr1 r2

r1r2

dr

Ac

O rendimento destas alhetas depende da sua largura 12 RR =l e da razo entre o raio exterior da alheta (R2) e do raio interior desta igual ao raio do tubo (R1). O rendimento da alheta dado pela expresso seguinte:

( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

++

=

10212110

112121112

121 uKuIuKuIuKuIuKuI

RR1u2 onde

( )1RRkt/h2u

121

=l ou kt/h2Ru 11 = e kt/h2Ru 22 = ou ( )1212 RRuu =

Os valores deste rendimento so apresentados em funo do parmetro kthl na tabela A1. Na pgina da disciplina encontra-se a folha de clculo onde estas funes foram calculadas ( necessrio activar a Analysis Tool Pack)


0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

f

t

x

y (x)

(a)

(b)

(c)

(d)

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

t/2

L

f

x

Grficos extrados de Gardner, 1945 Notar que o argumento inclui o factor 2 omitido no Incropera


0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.82

4

31.6

1.4

ri

L

ro

t

1i

o

r

rf

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x /x = 1.0e

b

2.03.04.0

f

xe

xb

L

t

x

Grficos extrados de Gardner, 1945 Notar que o argumento inclui o factor 2 omitido no Incropera O ultimo grfico diz respeito a alhetas de seco varivel que deduzido com perfil hiperblico.


Distribuio de temperatura em alhetas (com condio de fluxo nulo na extremidade)

Alhetas de seco constante ( ) ( )( )

( )( )( )

( )ucosh/x1ucosh

mcoshxmcoshx

b

l

l

l =

=

sendo para alheta plana e pino cilindrico:

tetanconste == kth2u l= e com d=D=constante, kDh4u l=

Alhetas de seco varivel terminando em vrtice com rea nula.

Neste caso o referencial x tem origem na extremidade da alheta.

A espessura ou dimetro variam da seguinte forma: nxte

=l

ou nxDd

=l

onde t a espessura da alheta na base e D o dimetro do pino na base da alheta.

=l

xte ( ) ( )( )( )

( )uI/xuI

m2Ixm2Ix

0

0

0

0

b

l

l==

kth22u l=

21

xDd

=l

( ) ( )( )( )uI/xuI

m34I

mx34Ix

0

43

0

43

0

43

0

b

l

l=

=

( ) kDh434u l=

23

xte

=l

( ) ( )( )( ) ( ) 411

41

1

41

1

41

141

b /x*uI/xuI

m4I

mx4I

xx

l

l

l

l=

=

kth24u l=

=l

xDd ( ) ( )( ) l

l

l

l

x*uIxuI

m2I

mx2I

xx

1

1

21

1

21

121

b

=

=

kDh42u l=

2xte

=l

( ) r

b

xx

=

londe

21u1r

2 += kth22u l=

2xDd

=l

( ) r

b

xx

=

londe

21u1r

2 += ( ) kDh432u l=

Alheta de espessura constante em anel ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

++

=

10211021

021021

b uKuIuIuKuKuIuIuKr onde kt/h2ru = ou

+= 1

RRx1uu

1

21

l

com ( )1RRkt/h2u

121

=l ou kt/h2Ru 11 = e kt/h2Ru 22 = ou ( )1212 RRuu =


Tabela A1 - Rendimento de alhetas. Alheta tipo anilha com espessura constante Pinos seco circular Alhetas planas

kthl r2/r1=1 r2/r1=1.5 r2/r1=2 r2/r1=3 r2/r1=5 r2/r1=10 r=R(x/l)2 r=R(x/l) r=R(x/l)1/2 r=R y=(t/2)(x/l)2 y=(t/2)(x/l) y=(t/2)(x/l).5 y=t/2 0.0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.1 0.993 0.992 0.991 0.989 0.986 0.981 0.996 0.993 0.991 0.987 0.993 0.990 0.987 0.981 0.2 0.974 0.968 0.964 0.956 0.945 0.928 0.983 0.974 0.966 0.950 0.974 0.962 0.951 0.931 0.3 0.944 0.932 0.922 0.907 0.885 0.852 0.963 0.945 0.928 0.895 0.944 0.920 0.898 0.865 0.4 0.905 0.886 0.871 0.846 0.813 0.765 0.938 0.908 0.880 0.830 0.905 0.868 0.838 0.797 0.5 0.860 0.835 0.813 0.781 0.737 0.677 0.908 0.866 0.828 0.762 0.861 0.812 0.776 0.732 0.6 0.813 0.780 0.754 0.714 0.663 0.594 0.877 0.823 0.775 0.695 0.814 0.756 0.716 0.673 0.7 0.764 0.726 0.696 0.651 0.594 0.521 0.845 0.779 0.723 0.632 0.765 0.701 0.662 0.621 0.8 0.716 0.674 0.640 0.592 0.531 0.457 0.812 0.736 0.674 0.576 0.717 0.651 0.613 0.576 0.9 0.670 0.624 0.589 0.538 0.476 0.402 0.781 0.696 0.628 0.526 0.671 0.605 0.569 0.535 1.0 0.627 0.579 0.542 0.490 0.428 0.356 0.750 0.658 0.586 0.482 0.628 0.563 0.530 0.500 1.1 0.587 0.537 0.499 0.447 0.386 0.316 0.721 0.623 0.549 0.444 0.588 0.526 0.495 0.469 1.2 0.550 0.499 0.461 0.410 0.350 0.283 0.693 0.591 0.515 0.410 0.551 0.492 0.465 0.441 1.3 0.516 0.465 0.428 0.377 0.318 0.254 0.666 0.561 0.484 0.380 0.517 0.462 0.437 0.416 1.4 0.485 0.434 0.397 0.347 0.291 0.230 0.642 0.534 0.457 0.355 0.486 0.435 0.413 0.393 1.5 0.457 0.407 0.370 0.322 0.267 0.209 0.618 0.508 0.432 0.332 0.458 0.411 0.391 0.373 1.6 0.431 0.382 0.346 0.299 0.247 0.191 0.596 0.485 0.409 0.311 0.432 0.389 0.371 0.355 1.7 0.408 0.360 0.325 0.279 0.228 0.175 0.575 0.464 0.389 0.293 0.409 0.370 0.353 0.338 1.8 0.387 0.339 0.306 0.261 0.212 0.162 0.556 0.445 0.370 0.277 0.388 0.352 0.337 0.323 1.9 0.368 0.321 0.288 0.245 0.198 0.150 0.537 0.426 0.353 0.263 0.369 0.335 0.322 0.309 2.0 0.350 0.305 0.273 0.231 0.185 0.139 0.520 0.410 0.338 0.250 0.351 0.321 0.308 0.297 2.1 0.334 0.290 0.258 0.218 0.174 0.130 0.503 0.394 0.323 0.238 0.335 0.307 0.295 0.285 2.2 0.319 0.276 0.246 0.206 0.164 0.122 0.488 0.380 0.310 0.227 0.320 0.294 0.284 0.274 2.3 0.305 0.263 0.234 0.196 0.155 0.114 0.473 0.366 0.298 0.217 0.307 0.283 0.273 0.264 2.4 0.293 0.252 0.223 0.186 0.147 0.107 0.459 0.353 0.287 0.208 0.294 0.272 0.263 0.254 2.5 0.281 0.241 0.213 0.177 0.139 0.101 0.446 0.342 0.276 0.200 0.282 0.262 0.253 0.246 2.6 0.271 0.232 0.204 0.169 0.132 0.096 0.434 0.331 0.267 0.192 0.272 0.253 0.245 0.237 2.7 0.261 0.223 0.196 0.162 0.126 0.091 0.422 0.320 0.258 0.185 0.262 0.244 0.237 0.230 2.8 0.251 0.214 0.188 0.155 0.121 0.086 0.411 0.310 0.249 0.179 0.252 0.236 0.229 0.223 2.9 0.243 0.207 0.181 0.149 0.115 0.082 0.400 0.301 0.241 0.172 0.244 0.228 0.222 0.216 3.0 0.235 0.199 0.175 0.143 0.111 0.079 0.390 0.293 0.234 0.167 0.236 0.221 0.215 0.210


Conduo de calor transiente no interior de corpos de dimenso finita Distribuio de temperatura em placa de rea infinita, cilindro de comprimento infinito e esfera considerando o corpo a uma temperatura inicial Tinicial trocando calor por conveco (com coeficiente h) com um fluido a temperatura no perturbada Too. Apresentam-se as solues analticas obtidas pelo mtodo da separao das variveis. As solues so apresentadas em termos adimensionais utilizando / i =(T-Too)/(Ti-Too), e os nmeros adimensionais de Fourier e de Biot:

khLBi = 2L

tFo = onde L uma dimenso caracterstica.

Para baixos nmeros de Fourier (~


Cilindro de comprimento infinito. Dimenso caracterstica raio do cilindro R Distribuio de temperatura

( )( ) ( )( ) ( )

+=

= RrJFo

JJJ

nnn nnn

n

i

02

12

120

1 exp2

Fraco de energia transferida ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )n

nn

n nnn

n

n

n

i

JFo

JJJJ

QQ

12

12

120

11

0

2exp

2121

+==

=

Em ambas as equaes n so as razes da equao ( ) ( ) BiJ/J n0n1n = e o valor para n=1 encontra-se na tabela A2 em funo do nmero de Biot. Para Fo < 0,21 o primeiro termo permite um erro inferior a 1%:

( )

=

RrBiFoBi

RrFoBi

ii

,*,,,0

0

onde se define o valor 0=T0-Too para a temperatura relativa no centro do cilindro (r=0). A figura C1 apresenta a parcela referidas 0/i e a figura C2 a parcela /0 A figura C3 apresenta a variao de 0/i para baixos n Fourier com base em toda srie. A figura C4 apresenta a fraco de energia acumulada em funo de Bi2Fo. Esfera

( ) ( )[ ]( ) ( )

Rr

Rrsen

Fosen

n

n

nn nn

nnn

i

=

=

2

1exp

2sin2cos4

Distribuio de temperatura

( ) ( )[ ]( )[ ] ( )Fo

senn

n nnn

nnn

i

2

1

2

exp2sin2

cos4*3.1

=

=

Fraco de energia transferida

Em ambas as equaes n so as razes da equao ( )1. cot = n ng Bi e o valor para n=1 encontra-se na tabela A2 em funo do nmero de Biot. Para Fo < 0,18 o primeiro termo permite um erro inferior a 1%:

( )

=

Rr,Bi*Fo,Bi

Rr,Fo,Bi

0i

0

i

onde se define o valor 0=T0-Too para a temperatura relativa no centro da esfera (r=0). A figura C1 apresenta a parcela referidas 0/i e a figura C2 a parcela /0 A figura C3 apresenta a variao de 0/i para baixos n Fourier com base em toda srie. A figura C4 apresenta a fraco de energia acumulada em funo de Bi2Fo.


Tabela A2 Primeira raz da equao caracterstica e primeiro coeficiente da srie.

Placa plana Cilindro Esfera

Bi

0.01 0.0998 1.0017 0.1412 1.0025 0.1730 1.00300.02 0.1410 1.0033 0.1995 1.0050 0.2445 1.00600.03 0.1732 1.0049 0.2439 1.0075 0.2989 1.00900.04 0.1987 1.0066 0.2814 1.0099 0.3450 1.01200.05 0.2217 1.0082 0.3142 1.0124 0.3852 1.01490.06 0.2425 1.0098 0.3438 1.0148 0.4217 1.01790.07 0.2615 1.0114 0.3708 1.0173 0.4550 1.02090.08 0.2791 1.0130 0.3960 1.0197 0.4860 1.02390.09 0.2956 1.0145 0.4195 1.0222 0.5150 1.02680.1 0.3111 1.0160 0.4417 1.0246 0.5423 1.0298

0.15 0.3779 1.0237 0.5376 1.0365 0.6608 1.04450.2 0.4328 1.0311 0.6170 1.0483 0.7593 1.0592

0.25 0.4801 1.0382 0.6856 1.0598 0.8448 1.07370.3 0.5218 1.0450 0.7465 1.0712 0.9208 1.08800.4 0.5932 1.0580 0.8516 1.0932 1.0528 1.11640.5 0.6533 1.0701 0.9408 1.1143 1.1656 1.14410.6 0.7051 1.0814 1.0185 1.1346 1.2644 1.17130.7 0.7506 1.0919 1.0873 1.1539 1.3525 1.19780.8 0.7910 1.1016 1.1490 1.1725 1.4320 1.22360.9 0.8274 1.1107 1.2048 1.1902 1.5044 1.2488

1 0.8603 1.1191 1.2558 1.2071 1.5708 1.27322 1.0769 1.1795 1.5995 1.3384 2.0288 1.47933 1.1925 1.2102 1.7887 1.4191 2.2889 1.62274 1.2646 1.2287 1.9081 1.4698 2.4556 1.72015 1.3138 1.2402 1.9898 1.5029 2.5704 1.78706 1.3496 1.2479 2.0490 1.5253 2.6537 1.83387 1.3766 1.2532 2.0937 1.5411 2.7165 1.86748 1.3978 1.2570 2.1286 1.5526 2.7654 1.89219 1.4149 1.2598 2.1566 1.5611 2.8044 1.9106

10 1.4289 1.2620 2.1795 1.5677 2.8363 1.924920 1.4961 1.2699 2.2881 1.5919 2.9857 1.978130 1.5202 1.2717 2.3261 1.5973 3.0372 1.989840 1.5325 1.2723 2.3455 1.5993 3.0632 1.994250 1.5400 1.2727 2.3572 1.6002 3.0788 1.9962

100 1.5552 1.2731 2.3809 1.6015 3.1102 1.9990 1.5708 1.2733 2.4048 1.6018 3.1416 2.0000

11 11C 1C1C


Grficos de soluo para placa plana

P1 Variao de temperatura no centro de placa em funo de Bi e Fo (Fo>0,24)

P2 Diferena de temperatura numa posio na placa em relao diferena no centro.

Grficos extrados de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004) Erro de 1% para Fo < 0,24.

P1 o i

Fo=t/L2


P3 Variao da temperatura no centro de placa para baixo n Fourier.

P4 Variao da razo entre a energia acumulada e o mximo de energia que se pode

acumular em funo do tempo (expresso por Bi2Fo). Grficos extrados de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)

P3 o i

P4


Grficos de soluo para cilindro

C1 Variao de temperatura no centro de cilindro em funo de Bi e Fo (Fo>0,21)

C2 Diferena de temperatura numa posio do cilindro em relao diferena no

centro. Grficos extrados de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)

Erro de 1% para Fo < 0,21.

Fo=t/R2

C1 o i

C2 o i


C3 Variao da temperatura no centro do cilindro para baixo n Fourier.

C4 Variao da razo entre a energia acumulada e o mximo de energia que se pode


C3 o i


Grficos de soluo para esfera

E1 Variao de temperatura no centro de esfera em funo de Bi e Fo (Fo>0,18)

E2 Diferena de temperatura numa posio da esfera em relao diferena no centro.

Grficos extrados de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004) Erro de 1% para Fo < 0,18.

Fo=t/R2

E1 o i

E2 o i


E3 Variao da temperatura no centro da esfera para baixo n Fourier.

E4 Variao da razo entre a energia acumulada e o mximo de energia que se pode


C3 o i


Distribuio de temperatura e fluxo de calor na superfcie em slidos semi-infinitos. A distribuio de temperatura em slidos semi-infinitos inicialmente com valor uniforme Ti definida com base na equao fronteira imposta na superfcie. Temperatura

imposta Ts Conveco com coeficiente h com fludo a T

T

=

txerf

TTTT

si

s

2

+

++

=

kth

txerfc

kth

txexp

txerf

TTTT

i

2

2 2 2

2

q" ( )tTTk

q is

= ( )

= k

therfck

thexpTThq i

2

2

erf Funo Erro e erfc=1-erf Complementar A soluo do caso com conveco apresentada sob forma grfica na figura seguinte: (Notar que se usa uma definio diferente da do Incropera que considera (T-Ti)/(T-Ti))

No caso de fluxo imposto a distribuio de temperatura ao longo do tempo dada por:

=

txerfc

kxq

txexp

ktq

TT i 2 4 2 2

Tabela 3 - Funo erro (utilizada em solues de transientes)

0.02 0.022565 0.52 0.537899 1.00 0.842701 2.25 0.998537 0.06 0.067622 0.56 0.571616 1.10 0.880205 2.35 0.999111 0.10 0.112463 0.60 0.603856 1.20 0.910314 2.45 0.999469 0.14 0.156947 0.64 0.634586 1.30 0.934008 2.55 0.999689 0.18 0.200936 0.68 0.663782 1.40 0.952285 2.65 0.999822 0.22 0.244296 0.72 0.691433 1.50 0.966105 2.75 0.999899 0.26 0.286900 0.76 0.717537 1.60 0.976348 2.85 0.999944 0.30 0.328627 0.80 0.742101 1.70 0.983790 2.95 0.999970 0.34 0.369365 0.84 0.765143 1.80 0.989091 3.05 0.999984 0.38 0.409009 0.88 0.786687 1.90 0.992790 3.15 0.999992 0.42 0.447468 0.92 0.806768 2.00 0.995322 3.25 0.999996 0.46 0.484655 0.96 0.825424 2.10 0.997021 3.35 0.999998 0.50 0.520500 1.00 0.842701 2.20 0.998137 3.45 0.999999

( )( )27856.0y7182.0exp5577.1.1)y(erf + com erro inferior a 1%.

formulario_conducao_tcalor

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