ALGORITMOS FORMAS NORMAIS

Dalton ErasmoKelvin EltonJorge Luiz

UTILIDADES DA NORMALIZAO A normalizao de frmulas importante para

padronizar a notao, j que possvel escrever frmulas logicamente equivalentes de muitas maneiras diferentes. As frmulas lgicas na FND so usadas em circuitos lgicos. H dispositivos fsicos idealizados, chamados de portas lgicas, os quais utilizam funes relacionadas a conjuno, disjuno e negao.

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UTILIDADES DA NORMALIZAO Qualquer funo matemtica descrita por uma

tabela verdade pode ser especificada por uma frmula na FNC ou FND. Em Programao lgica, a simplificao ou padronizao de expresses resulta em um melhor desempenho ao verificar a satisfatibilidade de uma frmula. O mesmo ocorre em circuitos lgicos, quanto menor a frmula lgica menor o circuito.

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FRMULA NORMAL Uma frmula normalizada na FND ou na FNC

ser ou uma conjuno de clusulas ou uma clusula de conjunes. Ela pode ser tambm s uma clusula ou conjuno fundamental (CF).

A, A B, B C A, (AB)(BC), por exemplo, so frmulas normalizadas.

As formas normais conjuntiva e disjuntiva admitem apenas os conectivos lgicos , e .

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FORMA NORMAL DISJUNTIVA Uma FND uma conjuno fundamental (CF) ou

uma disjuno de duas ou mais CFs. Toda frmula proposicional pode ser

transformada em outra frmula logicamente equivalente na FND. Porm, algumas frmulas ficaro exponencialmente maiores.

Exemplos de frmulas na FND:A A (disjuno de duas CFs)B C A ( uma CF)(D A) (B C A) (D C A) (disjuno de 3 CFs)

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FORMA NORMAL DISJUNTIVA Exemplos de frmulas que NO esto na FND:

A (no um literal)B C B (repetio de B, portanto no CF)(A B) (B A) (no CF, por ter )

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FORMA NORMAL CONJUNTIVA Uma disjuno fundamental um literal ou a

disjuno de dois ou mais literais. Uma forma normal conjuntiva uma disjuno

fundamental ou uma conjuno de duas ou mais disjunes fundamentais.

Assim como ocorre com a FND, toda frmula proposicional pode ser transformada em outra frmula logicamente equivalente na FNC.

Porm, algumas frmulas normalizadas ficaro exponencialmente maiores.

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FORMA NORMAL CONJUNTIVA Exemplos de frmulas na FNC:

p ( p q)(p q) ( q p)(p q r) ( p q r)

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CONVERSO PARA FND OU FNC Uma frmula proposicional pode ser passada para

FND/FNC atravs dos seguintes passos: 1 passo: Remoo das equivalncias:

A B (A B) (B A) 2 passo: Remoo das implicaes:

A B A B. 3 passo: Internalizao das negaes:(A B) ( A B), (A B) ( A B)

4 passo: Eliminao das negaes duplas: A A

5 passo: Utilizao das leis distributivas para colocar a frmula resultante do passo anterior em FND ou FNC. 9

EXEMPLO DE CONVERSO PARA FND Passar (A B) (B A) para a FND: Remoo das implicaes:

(A B) (B A) Utilizao das leis distributivas:

((A B) B) ((A B) A)(A B) (B B) (A A) (B A)(A B) (A B)

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EXEMPLO DE CONVERSO PARA FNC Passar A (B (C A)) para a FNC: Remoo das implicaes:A (B (C A))

Internalizao das negaes:A (B ( C A))

Utilizao das leis distributivas:A (B C A)(A B) ( A C) ( A B)

Como pode-se perceber, a diferena da normalizao para FNC ou FND fica apenas na ordenao dos conectivos e do ltimo passo. 11

NORMALIZAO POR TABELAS-VERDADE Outro mtodo para normalizar uma frmula atravs

de tabelas-verdade. Primeiro necessrio fazer a tabela-verdade da frmula, como no exemplo abaixo para p q r:

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NORMALIZAO POR TABELAS-VERDADE Depois de identificar as linhas falsificveis,

proceder da seguinte forma: os tomos com o valor verdadeiro (1) devem ser modificados para a sua negao; os que j estavam com o valor falso (0) permanecem iguais; todos os tomos de uma mesma interpretao so conectados por e, por fim, cada interpretao conectada com .

Desse modo, o exemplo dado fica assim: Linha 2: (p q r), Linha 6: (p q r), Linha 8: (p q r) e, aps concatenar as interpretaes, o resultado ser uma frmula na FNC:(p q r) (p q r) (p q r) 13

NORMALIZAO POR TABELAS-VERDADE De maneira similar podemos produzir uma

frmula na FND: primeiro se constri a tabela, depois identificam-se as linhas com resultado verdadeiro (1); os tomos com o valor falso (0) devem ser modificados para a sua negao; os que j estavam com o valor verdadeiro (0) permanecem iguais; todos os tomos de uma mesma interpretao so conectados por e, por fim, cada interpretao conectada com .

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NORMALIZAO POR ADIO DE TOMOS A normalizao de uma frmula para FNC ou

FND pelos mtodos j apresentados acompanhada pela inconvenincia de se obter uma nova frmula de tamanho exponencialmente maior que a primeira. Nesse caso, possvel usar o artifcio da Adio de Novos tomos para que seu tamanho aumente apenas de forma linear.Para tanto, deve-se executar normalmente os passos de normalizao citados anteriormente. A nica mudana ser na distributividade das conjunes ou disjunes, pois um novo tomo ser adicionado nessa parte, como pode se verificar no exemplo a seguir:

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NORMALIZAO POR ADIO DE TOMOS X (Y Z) para a FNC por adio de tomos: Substituindo (Y Z) por um novo tomo p:

(X p) (p Y) (p Z) (Y Z p) A primeira clusula da frmula acima imediata,

porm, para achar as outras, preciso normalizar a equivalncia lgica p (Y Z), a qual ter como resultado:(p Y) (p Z) (Y Z p)

Desse modo, a transformao da frmula original para a FNC estar concluda. E, de modo semelhante, pode-se transformar uma frmula para a FND.

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NOTAO DE KOWALSKY Alm da notao tradicional da lgica

proposicional, as frmulas na FNC ou na FND podem ser representadas na notao de Kowalsky. Para isso necessrio separar os literais positivos dos negativos, deixando os positivos esquerda.

Na notao de Kowalsky, a virgula (,) a esquerda de representa uma disjuno e a direita, uma conjuno. Essa disjuno chamada de concluso e a conjuno chamada de premissa ou condio.

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EXEMPLOS DA NOTAO DE KOWALSKY p q r equivalente a escrever p, q r na

notao de Kowalsky. s p q equivalente a escrever s p, q na

notao de Kowalsky.

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REFERNCIAS 1. KAESTNER, Celso Antnio Alves. Lgica para Computao.

Disponvel em: . Acessado em: 19/03/2009.

2. WIKIPEDIA. Robert Kowalski. Disponvel em: . Acessado em: 22/03/2009.

3. CAMPOS, Paulemir Gonalves. Lgica Proposicional. Disponvel em: . Acessado em: 22/03/2009.

4. MARTINI, Alfio. Equivalncias e Formas Normais. Disponvel em: . Acessado em: 22/03/2009. 19

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