forma analÍtica e mÉtodos das diferenÇas finitas aplicado ao potencial dentro de uma calha...
TRANSCRIPT
1
FORMA ANALÍTICA E MÉTODOS DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO AO POTENCIAL
DENTRO DE UMA CALHA CONDUTORA
JÚLIO PEIXOTO DA SILVA JÚNIOR - 346283
Departamento de Teleinformática, Universidade Federal do Ceará
Resumo Este trabalho consiste em resolver analiticamente o problema de Dirichlet, aplicado a uma calha condutora fechada
com quatro condições de fronteira e comparar com uma solução de cálculo numérico utilizando o método das diferenças finita. Todas os resultados serão apresentados de forma gráfica e por fim será realizado uma comparação para análise do erro percentual
dos dois métodos utilizados.
Palavras-chave Problema de Dirichlet, Laplace, MATLAB, Método Numérico, Diferenças Finitas.
1 Introdução
A figura 1 apresenta as condições de fronteira
em uma calha condutora no qual será encontrado a so-
lução analítica e a solução numérica do potencial e do
módulo do campo elétrico. Serão traçados os gráficos
e por fim será verificado o erro percentual do método
numérico utilizado.
Figura 1: condições de fronteira
Para este problemas temos que a=1m e b=2m,
V0=10V, V1=V0sin(πx/a) e V3=V0cos2(πx).
2 Equações de Laplace e Poisson
É sabido que para um meio linear e a partir da
lei de Gauss:
∇. D = ∇. εE = 𝜌𝑣
E = −∇V
∇. (−ε∇V) = 𝜌𝑣
∇2V = −𝜌𝑣/ε (Eq. Poisson)
Para um meio livre de cargas, ou seja ρv=0,
∇2V = 0 (Eq. de Laplace)
Existem inúmeros métodos de resoluções da
equação de Laplace, nesse trabalho iremos utilizar o
método analítico e um método numérico. É necessário
observar que a solução da equação de Laplace deve
obedecer as diversas condições de fronteira. Portanto
qualquer solução que satisfaça todas as condições de
fronteiras deve ser a única solução, ou seja, o teorema
da unicidade.
Antes de iniciarmos a solução do problema em
questão é necessário definir a equação apropriada. Por
não haver cargas no interior da calha, utilizaremos a
equação de Laplace e verificaremos as condições de
fronteiras a serem satisfeitas.
3 Solução Analítica
No nosso caso o potencial varia em função de
x e y. Portanto as condições de fronteiras verificadas
são:
i. V(x=0, 0 ≤ y ≤ b) = 0
ii. V(x=a, 0 ≤ y ≤ b) = 0
iii. V(0 ≤ x ≤ a , 0) = V1-V3
iv. V(0 ≤ x ≤ a , b) = 0
Por não haver cargas no interior da calha a
equação apropriada para esse caso é a de Laplace e
para duas variáveis em sistemas de coordenadas car-
tesianos é escrita de seguinte forma:
∇2V =∂2𝑉
𝜕𝑥2+
∂2𝑉
𝜕𝑦2= 0
Pelo método da separação de variáveis o poten-
cial V(x,y) será igual a V(x,y) = X(x)Y(y), aplicando
na equação de Laplace e separando as variáveis obte-
mos:
−𝑋′′
𝑋=
𝑌′′
𝑌
As duas razões acima podem ser definidas
como uma constante de separação (λ). Então temos
que:
𝑋"+λX = 0 e Y" − 𝜆𝑌 = 0
Com as equações separadas, é possível deter-
minar X(x) e Y(y) separadamente, para isso é neces-
sário que as condições de fronteira nas equações este-
jam separadas.
i. V(0,y) = X(0)Y(y) = 0 X(0) = 0
ii. V(a,y) = X(a)Y(y) = 0 X(a) = 0
iii. V(x,0) = X(x)Y(y) = V1-V3
iv. V(x,b) = X(x)Y(b) = 0 Y(b) = 0
2
É verificado na condição de fronteira iii que a
equação é inseparável.
Solucionando X”+λX = 0 iremos adotar λ = β2 e
λ>0. Portanto tem-se:
𝑋"+𝛽2X= 0 Seja D=d/dx, então obtemos:
(𝐷2 + 𝛽2)𝑋 = 0 ↔ 𝐷𝑋 = ±𝑗𝛽𝑋
Então a solução em X(x) é:
𝑋(𝑥) = 𝑘0𝑒𝑗𝛽𝑥 + 𝑘1𝑒−𝑗𝛽𝑥
𝑋(𝑥) = 𝑐0cos (𝛽𝑥) + 𝑐1sin (𝛽𝑥)
Aplicando as condições de fronteiras do pro-
blema é possível determinar as constantes, pela sepa-
ração das variáveis das condições de fronteira i e ii
têm-se:
𝑋(0) = 0 = 𝑓0 cos(0) + 𝑓1 sin(0) ↔ 𝑐0 = 0
𝑋(𝑎) = 0 = 0 cos(𝛽𝑎) + 𝑓1 sin(𝛽𝑎) ↔ 𝛽 =𝑛𝜋
𝑎
para n pertencente aos naturais.
Portanto a solução geral para X(x) é:
𝑋(𝑥) = 𝑔𝑛 sin (𝑛𝜋𝑥
𝑎).
Para resolver Y” – β2Y =0, será aplicado o
mesmo procedimento que para X(x) cuja única dife-
rença será que o conjunto solução não é complexo.
Resolvendo Y(y) é obtido:
𝑌(𝑦) = ℎ𝑛𝑒−𝑛𝜋𝑏
𝑎 sin (𝑛𝜋(𝑦 − 𝑏)
𝑎)
A solução de V(x,y) = X(x)Y(y) agora pode ser
escrita de seguinte forma:
𝑉(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑐𝑛
∞
𝑛=1
(sin (𝑛𝜋𝑥
𝑎) sinh (
𝑛𝜋(𝑦 − 𝑏)𝑎
)
sinh (𝑛𝜋𝑏
𝑎)
Verifica-se que todas as condições de frontei-
ras do problema satisfazem a solução de V(x,y). Onde
cn deve ser encontrado através:
𝑐𝑛 =2
𝑎∫ 𝑓(𝑥) sin (
𝑛𝜋𝑥
𝑎) 𝑑𝑥
𝑎
0
Aplicando a condição de fronteira iii, temos que:
𝑉(𝑥, 0) = − ∑ 𝑐𝑛∞𝑛=1 (sin (
𝑛𝜋𝑥
𝑎) , substituindo o
valor de a=1 e sabendo que:
𝑓(𝑥) = 𝑉1 − 𝑉3 = 10(sin(𝜋𝑥) − cos2(𝜋𝑥)
resolvendo a integral para encontra cn:
- para n par cn=0;
- para n ímpar 𝑐𝑛 =30𝜋−40
3𝜋= 5,755
Portanto:
𝑉(𝑥, 𝑦) = 5,755 ∑(sin (
𝑛𝜋𝑥𝑎
) sinh (𝑛𝜋(𝑦 − 𝑏)
𝑎)
sinh (𝑛𝜋𝑏
𝑎)
∞
𝑛=1,3,5..
Achado o potencial elétrico para encontrar o
módulo do campo elétrico é necessário aplicar o gra-
diente de V(x,y).
𝐸 = −∇𝑉
𝐸 = −𝑑𝑉
𝑑𝑥â𝑥 −
𝑑𝑉
𝑑𝑦â𝑦
|𝐸| = ((𝑑𝑉
𝑑𝑥)
2
+ (𝑑𝑉
𝑑𝑦)
2
)
2
Figura 2: Potencial Elétrico
Na figura 2 é apresentado o gráfico referente
ao potencial elétrico dentro da calha V(x,y), visual-
mente é possível verificar que os resultados estão obe-
decendo todas as condições de fronteira.
O campo elétrico cresce na direção oposta a di-
reção em que V cresce, porém o |E| será sempre posi-
tivo. Na figura 2 é apresenta uma representação grá-
fica dos vetores campo elétrico gerado a parti do apli-
cativo PDE do MATLAB, na figura 3 é apresentado o
gráfico do modulo do campo elétrico.
Figura 3: Vetores do campo elétrico
Figura 4: Módulo de Campo Elétrico
3
4 Solução Numérica Computacional
O método computacional a ser utilizado será o
das diferenças finitas. Este método consiste em dividir
o domínio de solução em uma grade de nós, aproximar
a equação parcial (no caso a de Laplace) e as condi-
ções de contorno por um conjunto de equações algé-
bricas nos pontos da malha de nós gerada e por fim
resolve-se o as equações algébricas encontradas.
Figura 5: nós empregados para uma malha de potencial elétrico do método de diferenças finitas. (Fonte: Sadiku, 2006).
O domínio é dividido através da malha de pontos,
como apresentado na figura 6, um nó sobre a região de
contorno onde o potencial é especificado é denomi-
nado nó fixo e o restante são denominado nó livre.
Sabendo que,
∇2V =∂2𝑉
𝜕𝑥2+
∂2𝑉
𝜕𝑦2= 0
e que pela definição de derivada em um ponto
(x0,y0) temos que a primeira derivada e a segunda são:
V′ =𝑉(𝑥0 + 𝛥𝑥, 𝑦0) − 𝑉(𝑥0 − 𝛥𝑥, 𝑦0)
2𝛥𝑥
d2V
dx2=
(𝑉𝑖+1,𝑗 − 2𝑉𝑖,𝑗 + 𝑉𝑖−1,𝑗)
(Δ𝑥2)
d2V
dy2=
(𝑉𝑖+1,𝑗 − 2𝑉𝑖,𝑗 + 𝑉𝑖−1,𝑗)
(Δ𝑦2)
Aplicando na equação de Laplace e substi-
tuindo a variação de x e em y, temos que:
𝑉𝑖,𝑗 =1
4(𝑉𝑖+1,𝑗 + 𝑉𝑖−1,𝑗 + 𝑉𝑖,𝑗+1 + 𝑉𝑖,𝑗−1)
Foi utilizando um passo de h=0,05m e o có-
digo 2 em anexo apresenta a implementação do mé-
todo numérico.
Figura 6: resultado do método numérico.
5 Comparação dos Resultados
6 Conclusão
Referências Bibliográficas
Won Y. Yang, Wenwu Cao, Tae S.Chung, John
Morris. 2005, Applied numerical methods using
MATLAB. USA.
Kiusalaas, J. 2005, Numerical Methods In
Engineering With MATLAB, New York.
Sadiku, Matthew N. O. (2001). Numerical techniques
in electromagnetics. USA.
Sadiku, Matthew N. O. (2011). Elementos de
Eletromagnetismo.Brasil.
4
Anexo A – Código referente ao Método Analítico %Trabalho Computacional - Eletromagnetismo Aplicado %Júlio Peixoto da Silva Júnior-346283 %Método Análtico %Professor João Batista clc; %cria as matrizes nulas V=[]; V1=[]; V2=[]; %preenche as matriz com zeros, para evitar erros no meshgrid V=zeros(41,21); V1=zeros(41,21); V2=zeros(41,21); E=[]; E=zeros(41,21); %declaração das constantes envolvidas no problemas v0=10; b=2.0; a=1.0; i=0; %Método de varedura em y e depois x com o utilizando a formula analítica %apresenta no texto principal for y=0:0.05:b, j=0; i=i+1; for x=0:0.05:a, sum1=0.0; j=j+1; for k=1:200, n=2*k-1; lado1=sind(n*180*x)*sinh(n*pi*(b-y))/sinh(n*pi*b); sum1=sum1+lado1;
end %cálculo da matriz de tenção V1(i,j)=5*(sin(pi*x))*(sinh(pi*(b-y)))/(sinh(pi*b)); %cálculo do módulo do campio elétrico E(i,j)=5*pi*((cos(pi*x)*sinh(pi*(y-b)))^2 + (sin(pi*x)*cosh(pi*(y-
b)))^2)^(1/2); %pi*5.755 V2(i,j)=5.755*sum1;
end end %criação do gráfico do potencial elétrico V=V1; [X,Y] = meshgrid(0:0.05:1,0:0.05:b); figure(1) mesh(X,Y,V) hold on title('Potencial Elétrico'); xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('V'); hold off %criação do gráfico do campo elétrico
5
[X,Y] = meshgrid(0:0.05:1,0:0.05:b); figure(2) mesh(X,Y,E) hold on title('Módulo do Campo Elétrico'); xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('V'); hold off
Anexo B – Código referente ao Método Computacional
%Método Computacional %Júlio Peixoto da Silva Júnior - 346283 % Eletromagnetismo Aplicado - Professor João Batista clc; clear all; %v2,v3,v4 são as condições de fronteira nulas v2=0; v3=0; v4=0; ni=200; % número de interações do sistema nx=21; % para um passo de 0.05 até 1 ny=41;% para um passo de 0.05 até 2 x=0.05; %passo V=zeros(nx,ny); for i=2:nx-1 v(i,1)=10*sin(pi*x)-10*(cos(pi*x))*(cos(pi*x)); % condição de
fronteira %indices iniciais para a malha em x v(i,ny)=v3; x=x+0.05; end for j=2:ny-1 %indices iniciais para a malha em y v(1,j)=v2; v(nx,j)=v4; end for k=1:ni % interações for i=2:nx-1 for j=2:ny-1 %aplicação do método numérico v(i,j)=0.25*(v(i+1,j)+(v(i-1,j))+(v(i,j+1))+v(i,j-1)); end end end v=v'; % inverte a matriz para gerar o grafico 41x21 X,Y] = meshgrid(1:21,1:41); %gera a malha figure(1) % cria a imagem mesh(X,Y,v) % gera o gráfico hold on title('Potencial Eletrico - Método das Diferenças Finitas'); xlabel('Eixo X'); ylabel('Eixo Y'); zlabel('Potencial Eletrico'); hold off
6
Anexo C – Configuração do PDE
O PDE foi utilizado para exemplificar o vetor campo elétrico e servir de base para as possíveis soluções
encontradas na parte analítica e numérica pelo método da diferenças finitas por interação. O primeiro passo foi
definir o retângulo (1mx2m) utilizando a ferramenta de desenho de retângulo e escolher o modo de resolução
Eletrostatics.
Figura 1.B: retângulo proposto no problema.
O passo seguinte é apresentado a figura 2.B onde as condições de fronteiras são adicionadas para cada
borda do retângulo utilizando o tipo de condições de Dirichlet. Após as colocação das quatro condições de
fronteira é necessário verificar se o problema será resolvido utilizando Laplace ou Poisson, na figura 3.B é
possível configuras os valores desses coeficientes e determinar que tipo de solução será utilizada.
Por fim é gerado o mesh, caso seja necessário pode refinar o mesh e por fim encontra-se a solução e o
gráfico é plotado de acordo com as configuração desejadas, figura 4.B.
Figura 2.B: inserção das condições de fronteira.
Figura 3.B: configuração dos coeficientes de Poisson.
7
Figura 4.B: mesh e resultado gráfico obtido.