Departamento de Matematica Universidade de Aveiro

Matrizes e Sistemas de Equacoes Lineares

Algebra Linear e Geometria Analtica Folha Pratica 1

Matrizes

1. Considere as matrizes

A =

1 21 02 3

, B = 1 23 4

5 6

, C = [ 1 10 2], D =

[0 1 01 0 2

].

Calcule

(a) A+B; (b) B 2A; (c) AD; (d) DA; (e) ACD; (f) 15(I2 (DA)2

).

2. Considere as matrizes

A =

1 2 32 3 13 1 2

, B =1 0 12 3 11 2 0

.Calcule 2(A+B)AB.

3. Escolha uma maneira de ordenar as matrizes

A =[1 0 11 1 1

], B =

[1 11 1

], C =

[12

], D =

1 00 11 1

de modo que o produto das quatro matrizes esteja definido e calcule esse produto.

4. Calcule a primeira coluna e a segunda linha do produto1 1 4 02 0 1 12 0 1 0

1 31 10 11 1

.5. Mostre que se os produtos AB e BA estao ambos definidos e A e uma matriz m n, entao B e uma matriz

nm.

6. Verifique que o produto de matrizes nao e comutativo, calculando EA e AE para

E =

1 0 03 1 00 0 1

e A =1 2 34 5 67 8 9

.Qual o efeito na matriz A de efectuar os produtos EA e AE?

7. Calcule 1 0 . . . 00 2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . n

4

.

8. Considere a matriz

A =[

1 01 1

].

(a) Mostre que A2 = 2A I2.(b) Mostre que A3 = 3A 2I2, recorrendo a` alnea anterior.

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9. Verifique que as identidades algebricas

i. (A+B)2 = A2 + 2AB +B2 iii. (A+B)(AB) = A2 B2ii. (AB)2 = A2 2AB +B2 iv. (AB)2 = A2B2

nem sempre sao verdadeiras quando A e B sao matrizes. Considere, por exemplo, as matrizes:

(a) A =[1 10 2

], B =

[1 01 2

];

(b) A =[2 01 1

], B =

[1 03 4

].

Corrija os segundos membros das identidades i iv de forma a obter identidades verdadeiras para quaisquerA e B matrizes n n.

10. Indique, justificando, se as afirmacoes seguintes sao verdadeiras ou falsas.

(a) Se A,B,C sao matrizes tais que A+ C = B + C, entao A = B.

(b) Se A,B,C sao matrizes tais que AB = AC, entao A = O (matriz nula) ou B = C.

(c) Se A e uma matriz tal que A2 = In, entao A = In ou A = In.

11. Se A e uma matriz n n tal que AAT = O, mostre que A = O (sendo O a matriz nula n n).

12. Seja A uma matriz quadrada. Mostre que A + AT e uma matriz simetrica. E o que pode afirmar sobre amatriz AAT ?

13. Seja A = [aij ] uma matriz m n e

C =

c1c2...cn

uma matriz n 1. Verifique que AC = c1 col1(A) + c2 col2(A) + + cn coln(A), onde

coli(A) =

a1ia2i...ani

designa a coluna i de A.

14. Usando o exerccio anterior, calcule AC para

(a) A =

1 2 01 2 40 1 3

, C = 11

2

;(b) A =

[1 1 02 1 1

], C =

xyz

e determine C de modo que AC = [ 01].

15. Indique quais das seguintes matrizes sao matrizes na forma escalonada por linhas:

(a)

1 0 03 3 30 0 1

; (b)3 4 5 00 0 2 10 0 0 50 0 0 0

; (c)1 0 0 00 0 0 00 0 0 5

; (d) [10 14 25 100 2 2 1].

Determine matrizes equivalentes por linhas a`s matrizes dadas que estejam:

i. na forma escalonada por linhas;

ii. na forma escalonada por linhas reduzida.

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Sistemas de Equacoes Lineares

16. Resolva, quando possvel, os seguintes sistemas usando o metodo de eliminacao de Gauss (ou Gauss-Jordan).

(a)

4x1 + 3x2 + 2x3 = 1x1 + 3x2 + 5x3 = 13x1 + 6x2 + 9x3 = 2

; (b)

3x1 + 4x2 5x3 + 7x4 = 02x1 3x2 + 3x3 2x4 = 04x1 + 11x2 13x3 + 16x4 = 07x1 2x2 + x3 + 3x4 = 0

;

(c)

x1 + x2 = 1x1 + x2 + x3 = 4

x2 + x3 + x4 = 3x3 + x4 + x5 = 2

x4 + x5 = 1

; (d)

x1 2x2 + 3x3 4x4 + 2x5 = 2x1 + 2x2 x3 x5 = 3x1 x2 + 2x3 3x4 = 10

x2 x3 + x4 2x5 = 52x1 + 3x2 x3 + x4 + 4x5 = 1

.

17. Determine os valores de para os quais o sistema{x+ y = 1x+ y = 1

(a) nao tem solucao; (b) tem exatamente uma solucao; (c) tem uma infinidade de solucoes.

18. Considere o sistema de equacoes x+ y + z = 0x+ y + z = 0

x+ y + z = 2.

(a) Discuta o sistema em funcao de .

(b) Considere o sistema homogeneo associado a = 0 e determine a sua solucao.

19. Considere o sistema de equacoes lineares x y z = ax+ y + z = ax by + z = b

,

onde a e b sao parametros reais.

(a) Determine os valores de a e b para os quais o sistema e:

i. possvel determinado; ii. impossvel.

(b) Sabendo que (1,1, 1) e uma solucao do sistema, determine o conjunto de todas as solucoes.

20. Considere o sistema de equacoes lineares associada a` seguintes matriz ampliada:1 1 20 1 0 10 0 3

.Discuta o sistema em funcao do parametro e apresente as correspondentes solucoes (caso existam).

21. Considere o sistema de equacoes lineares 2x1 + 4x2 = 165x1 2x2 = 43x1 + ax2 = 94x1 + bx2 = 7

.

Determine a e b de forma que o sistema seja possvel e determine o conjunto de solucoes nesse caso.

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22. Considere o seguinte sistema, nas variaveis x, y e z, com parametros reais a, b, c:x+ y + z = a

2x y + 3z = b4x+ y + 5z = c

.

Verifique que o sistema e possvel se e so se 2a+ b c = 0.

23. Considere o sistema representado matricialmente por AX = B com

A =

+ 2 0 00 + 1 10 0

e B = 0+ 1

.Diga, justificando, para que valores do parametro o sistema e

(a) impossvel; (b) possvel e determinado, (c) possvel e indeterminado.

24. Seja A uma matriz qualquer. Se B e uma coluna de A, mostre que o sistema AX = B e possvel e indiqueuma solucao.

Matriz Inversa

25. Averigue se sao singulares as matrizes [2 15 3

]e

[3 26 4

].

26. Considere as matrizes

A =[2 35 7

], B =

[7 35 2

], C =

[17 635 12

], D =

[2 00 3

].

(a) Mostre que C = ADB.

(b) Verifique se B e a matriz inversa de A.

(c) Calcule C5, usando as alneas anteriores.

27. Determine as inversas das seguintes matrizes:

(a)[3 45 7

]; (b)

1 1 10 1 10 0 1

; (c) 0 2 11 1 12 5 4

; (d)2 3 4 53 3 4 54 4 4 55 5 5 5

.

28. Se A e uma matriz invertvel e R e nao nulo, mostre que a matriz A e invertvel e (A)1 = 1A1.

29. Sejam A e B matrizes quadradas. Mostre que, se AB e invertvel, entao A e B tambem sao.

30. Seja A uma matriz n n qualquer. Suponhamos que existe um numero natural k tal que Ak = O (matriznula n n). Mostre que, entao In A e invertvel tendo-se

(In A)1 = In +A+A2 + . . .+Ak1.

31. Usando o exerccio anterior, calcule 1 1 00 1 10 0 1

1 .

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32. Encontre todos os valores de para os quais 1 2 01 0 01 2

e invertvel.

33. Se A e B sao matrizes n n invertveis, mostre que

A1 +B1 = A1(A+B)B1.

Que igualdade e esta no caso n = 1?

34. Seja A uma matriz n n tal que A4 = O (matriz nula n n). Mostre que

(In +A)1 = (In A)(In +A2).

35. Verifique que A(I BA)1 = (I AB)1A.

36. Resolva a seguinte equacao matricial relativamente a` matriz X:[1 00 1

]X

[1 13 4

]=[1 00 2

].

37. Sabendo que

A1 =[1 11 1

]e B =

[2 00 1

],

determine a matriz M que satisfaz a equacao matricial AMA = B.

38. Considerando as matrizes

A =

1 0 11 1 10 0 1

, B = 1 1 00 1 0

1 2 2

, C = 2 13 1

0 1

, D = [ 1 2 10 1 1], E =

[4 0

4 8],

resolva as seguintes equacoes matriciais relativamente a` matriz X:

(a)((B1)TX

)1A1 = I3;

(b)(CTDTX

)T = E.39. Considere o sistema de equacoes lineares 4x+ y + 3z = 13x+ y + 3z = 05x+ y + 4z = 1 .

(a) Mostre que a matriz dos coeficientes do sistema e invertvel e calcule a sua inversa.

(b) Justifique que o sistema e possvel e determinado. Indique a sua solucao.

40. Mostre que se A e invertvel, entao AT tambem e invertvel e (AT )1 = (A1)T .

41. Uma matriz quadrada diz-se ortogonal se for invertvel e a sua inversa coincidir com a sua transposta. Mostreque

(a) o produto de duas matrizes ortogonais e ainda uma matriz ortogonal;

(b) a inversa de uma matriz ortogonal e ainda uma matriz ortogonal.

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Aplicacoes das Matrizes e Sistemas de Equacoes Lineares

42. Uma unidade de torrefacao de cafe esta interessada em testar uma mistura de tres tipos de graos para obterum lote final de 4500 kg com um custo de 17500 Euros. O primeiro tipo de grao custa 410 centimos porkilograma, enquanto o segundo custa 440 centimos por kilograma e o terceiro 375 centimos por kilograma. Naconfecao do lote e necessario que as quantidades utilizadas do primeiro e segundo tipos de grao sejam iguais.Verifique se e possvel obter o lote anteriormente referido.

43. Na combinacao de carbonato de calcio, Na2CO3, com vapor de bromo, Br2, obtem-se brometo de sodio,NaBr, bromato de sodio, NaBrO3, e dioxido de carbono, CO2:

Na2CO3 + Br2 NaBr + NaBrO3 + CO2(a) Determine, se possvel, o numero de moles de moleculas dos dois reagentes necessarios a` obtencao de dez

moles de moleculas de brometo de sodio, NaBr.

(b) Quantas moles de moleculas de bromato de sodio, NaBrO3, e de dioxido de carbono, CO2, obtemos naproducao de dez moles de moleculas de brometo de sodio?

Nota: Uma mole de moleculas sao 6 1023 moleculas.

44. O vidro e um produto inorganico, de fusao, que foi arrefecido ate atingir a rigidez, sem formar cristais. Oelemento basico do vidro e a slica. No entanto, na sua composicao entram outros componentes que conferempropriedades importantes ao vidro. A alumina melhora as propriedades de resistencia mecanica do vidro, osoxidos de calcio e de magnesio melhoram a durabilidade do vidro e o oxido de sodio ajuda a diminuir o pontode fusao do vidro.

Pretende-se produzir vidro com a seguinte composicao: 72% de slica, SiO2, 1, 5% de alumina, Al2O3, 9% deoxido de calcio, CaO, 3% de oxido de magnesio, MgO, e 14, 5% de oxido de sodio, Na2O. As materias-primasa utilizar sao areia, feldespato, dolomite, calcario e soda calcaria. A tabela seguinte mostra a composicao dasmaterias-primas em funcao dos componentes necessarios (% peso).

SiO2 Al2O3 CaO MgO Na2OAreia 0, 995 0, 005

Feldespato 0, 69 0, 18 0, 02 0, 11Dolomite 0, 31 0,21Calcario 0,5 0,05

Soda calcaria 0,585

Determine a quantidade de cada materia-prima necessaria para produzir 100 kg de vidro.

45. O Sr. Silva e dono de um pinhal que explora para producao de arvores de Natal. O corte das arvores paravenda e feito no incio de Dezembro. As arvores estao catalogadas em seis classes, c1, c2, c3, c4, c5 e c6,consoante o seu tamanho, de acordo com a seguinte tabela:

alturac1 menor que 50 cmc2 de 50 cm a 1 mc3 de 1 m a 1,3 mc4 de 1,3 m a 1,7 mc5 de 1,7 m a 2 mc6 maior que 2 m

Por cada arvore cortada e semeada uma nova. Supoe-se que nao ha perdas de arvores durante o seu crescimento.Num perodo de crescimento (de Janeiro a Dezembro de cada ano), em cada classe, uma fracao das arvorescresce o suficiente para passar a pertencer a` classe seguinte, enquanto a restante continua na mesma classe. Afracao de arvores da classe ci que cresce o suficiente para passar para a classe ci+1 e gi, i = 1, ..., 5. Os valoresde gi, i = 1, ..., 5, sao dados pela seguinte tabela:

g1 = 0, 28 g2 = 0, 31 g3 = 0, 25 g4 = 0, 23 g5 = 0, 37

O Sr. Silva pretende implementar uma florestacao sustentavel, isto e, pretende que a configuracao do pinhal (onumero de arvores em cada classe) apos o corte e plantacao de novas arvores seja igual a` configuracao inicial.

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Determine o numero de arvores a cortar em cada classe, sabendo que a configuracao inicial do pinhal e indicadana seguinte tabela:

n.o de arvoresc1 800c2 600c3 600c4 500c5 200c6 100

46. Considere o circuito electrico representado na figura seguinte:

3+

-

+ -

R

RR

1

2A

B

constitudo por duas pilhas A e B de 30 e 50 volts, respetivamente, e tres resistencias R1, R2 e R3 de 7, 3 e11 ohms, respetivamente. Determine as intensidades das correntes que passam pelas tres resistencias.

Observacao: De seguida, recordamos algumas leis basicas dos circuitos electricos.

Lei de Ohm: a diferenca de potencial, V , entre dois pontos de um condutor de resistencia R e proporcionala` corrente electrica, I, que o percorre.

Leis de Kirchhoff:

(a) (lei dos nodos) a soma algebrica das correntes que entram num nodo e igual a` soma algebrica dascorrentes que dele saem, ou seja, um nodo nao acumula carga;

(b) (lei das malhas) a soma algebrica da diferenca de potencial electrico ao longo de qualquer caminhofechado (malha) e nula.

Para aplicar a lei das malhas deve seleccionar uma direcao que considera positiva ao longo da malha (porexemplo, a direcao dos ponteiros do relogio) e fazer as seguintes convencoes:

numa fonte electrica (como por exemplo, uma pilha), a diferenca de potencial electrico mede-se do polopositivo para o polo negativo, isto e,

+

-

V

numa resistencia a diferenca de potencial electrico ocorre com o mesmo sentido que a corrente, isto e,

R

I

V

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47. Considere uma economia que consiste em tres setores interdependentes: industria, agricultura e servicos. Cadaum destes setores produz um bem e para produzir esse bem necessita de bens produzidos pelos outros doissetores e por ele proprio. Assim, os bens produzidos por cada setor destinam-se ao consumo intermedio (i.e.,bens a serem consumidos pelos tres setores) e a setores de economia nao produtivos, como por exemplo, oconsumidor final, exportacao, etc. Na tabela seguinte, as entradas de cada coluna representam as quantidadesde produto dos tres setores que sao necessarias para produzir uma unidade de produto do setor correspondentea` coluna.

Industria Agricultura ServicosIndustria 0,1 0,2 0,1Agricultura 0,3 0,2 0,2Servicos 0,2 0,2 0,1

A unidade utilizada para todos os setores e um milhao de euros. Por exemplo, a primeira coluna da tabeladiz-nos que para o setor da industria produzir uma unidade (i.e., um milhao de euros de produto) necessita de10% de uma unidade produzida por este setor (i.e., 100000 euros de produto proprio), de 30% de uma unidadedo setor da agricultura (i.e., 300000 euros de produto produzido por este setor) e 20% de uma unidade dosservicos (i.e., 200000 euros de produto do setor dos servicos).

A quantidade de produto dos tres setores destinada ao consumo intermedio chama-se procura intermedia e aquantidade de produto destinada a setores da economia nao produtivos chama-se procura final.

(a) Suponha que a industria, a agricultura e os servicos produzem c1, c2 e c3 unidades, respetivamente.

i. Determine a procura intermedia correspondente.ii. Determine a procura final correspondente.

(b) Suponha que a procura final e de 8, 5, 9, 5 e 2 unidades para o setor da industria, agricultura e servicos,respetivamente. Determine a producao que os varios setores tem de ter para satisfazerem esta procurafinal.

Nota: O modelo descrito e um exemplo de um modelo de economia aberta de Leontief. Wassily Leontiefrecebeu, em 1973, o premio Nobel da economia pelo desenvolvimento deste modelo e as suas aplicacoes aosproblemas economicos mais importantes. Este modelo continua a ser utilizado na analise de problemas daeconomia dos nossos dias.

48. A companhia aerea Voabem serve quatro cidades, C1, C2, C3 e C4, do seguinte modo:

existem voos de C1 para C2 e C3; existem voos de C2 para C1 e C3; existem voos de C3 para C1 e C4; existem voos de C4 para C2 e C3.

Estas ligacoes podem ser representadas pelo grafo orientado:

C

C

C

C1 4

2

(a) Escreva a matriz A = [aij ] 4 4 tal que

aij ={

1, se existe um voo de Ci para Cj0, caso contrario

chamada a matriz de adjacencia associada ao grafo.

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(b) A matriz Ar = [a(r)ij ] e tal que a(r)ij representa o numero de itinerarios diferentes de ligacao da cidade Ci

a` cidade Cj utilizando r voos. Determine quantos itinerarios diferentes existem para irmos da cidade C4para a cidade C3 utilizando:

i. apenas um voo;ii. dois voos;iii. tres voos.

Para cada uma das alneas anteriores, determine, explicitamente, todos os itinerarios.

49. Uma barra elastica encontra-se apoiada nos seus extremos e e sujeita a`s forcas f1, f2, f3 e f4 nos pontos 1, 2,3 e 4, respectivamente, como se mostra na figura.

yyy

y1

2 3

4

f 4

32

1

f f

f

Sejam y1, y2, y3 e y4 os valores da deformacao da barra, relativamente a` posicao em repouso, no pontos 1, 2,3 e 4, respectivamente. Considere

f =

f1f2f3f4

e y =y1y2y3y4

.Aplicando a lei de Hooke, temos que y = Df , onde D e a matriz de flexibilidade. Esta matriz e invertvel e asua inversa e chamada de matriz de rigidez. Considere

D =

0, 004 0, 003 0, 001 0, 00050, 003 0, 005 0, 003 0, 0010, 001 0, 003 0, 005 0, 0030, 0005 0, 001 0, 003 0, 004

,onde as unidades consideradas sao centmetros por Newton.

(a) Sabendo que as deformacoes nos pontos 1, 2, 3 e 4 sao de 0, 25, 0, 3, 0, 35 e 0, 3 cm, respetivamente,determine as forcas aplicadas nos quatro pontos.

(b) Determine as forcas que sao necessarias aplicar de modo a produzir uma deformacao de 0, 03 cm noquarto ponto da barra, deixando os restantes pontos sem qualquer deformacao.

(c) Como e que a resposta ao problema da alnea anterior esta relacionado com as entradas de D1?[Sugestao: Comece por responder a` mesma questao, considerando deformacao de 1 cm no quarto ponto].

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