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FLUXOS ADVECTIVOS DE GRANDEZAS FLUXOS ADVECTIVOS DE GRANDEZAS EXTENSIVAS QUANTIFICANDO EXTENSIVAS QUANTIFICANDO

ESCOAMENTOSESCOAMENTOS

Disciplina: 1081 - Fenômenos de Transportes

Professor: Tsunao Matsumoto

Campus de Ilha Solteira

INTRODUÇÃO

A quantificação das grandezas transportadas pelo escoamento dá origem a varias definições de fluxos.

Conhecimento dos fluxos +

Principio de conservação da massa

Balanço das grandezas (aumentando ou diminuindo)

Exemplo de aplicação de balanço na prática: lago usina hidrelétrica – controle do volume acumulado no reservatório (vazões de entrada e de saída).

FLUXOS – TAXA DE TRANSFERÊNCIA

�Vazão: Fluxo de Volume.

Uma característica fundamental do escoamento é o volume de fluido transportado em um determinado tempo. Desse modo:

Pela definição:

Para o escoamento variável:

(valor instantâneo)

)s/m(decorridoTempo

doTransportaVolumeVAZÃOVolF 3==

t = 0 ∆

S S

t= t

∆Vol(valor médio)

Uma vazão só tem sentido quando associada a uma determinada área. No caso da figura anterior, a área S de saída do tubo.

Um sinônimo de fluxo é Taxa de Passagem. Então podemos dizer também que a vazão é a taxa de passagem de volume através de uma dada superfície.

Vazão é um fluxo de volume, ou seja, a

quantidade de volume por unidade de

tempo que atravessa uma determinada

área.

FLUXOS – TAXA DE TRANSFERÊNCIA

RELAÇÃO: VELOCIDADE – VAZÃO

A figura abaixo mostra o escoamento num duto retangular de seção transversal A, transportando água, com velocidade V uniforme e constante no tempo.

O perfil uniforme significa que qualquer partícula tem a mesma velocidade. Então, marcando uma partícula qualquer com corante, determina-se sua velocidade por meio do deslocamento:

∆

t=0 t= ∆ t

∆ x

∆x

Vol

A

V

Conhecendo a velocidade, é fácil determinar quais partículas serão capazes de atravessar a sessão A num intervalo ∆t. Basta calcular o deslocamento possível nesse tempo: ∆x = V∆t. Assim, um volume igual ao hachurado iráatravessar a seção A no intervalo ∆t. Então:

Esta equação é empregada na grande maioria dos cálculos de tubulação, com V igual à velocidade média no tubo.

A dimensão do fluxo de volume é [M³/T], e as unidades mais comuns são m³/s, m³/h, L/h, m³/dia.


Vale ressaltar que para a equação anterior, foram adotadas as seguintes simplificações:

�o módulo da velocidade é o mesmo em toda a seção A;

�a direção da velocidade é a mesma em toda a seção A;

�a direção é perpendicular à seção A.


FLUXO DE MASSA

Dada uma seção qualquer de um escoamento, a quantidade de massa que atravessa a seção por unidade de tempo é o Fluxo de Massa.

A dimensão do Fluxo de Massa é [M/T], e as unidades são: (kg/h), (ton/h), (kg/s), (utm/s) etc.

EXEMPLO PRÁTICO 01

Uma tubulação industrial de 50mm de diâmetro interno abastece um caminhão tanque de 15.000L de capacidade com gasolina ( ρ = 860 kg/m3). Sabendo que a velocidade média no tubo é de 2,0m/s, pede-se:

a)Qual a massa de gasolina transportada;

b)Vazão que sai do tubo;

c)Fluxo de massa que entra no tanque;

d)Qual o tempo de enchimento completo do tanque?

a)A partir da definição de massa específica, temos:

pode-se usar o valor médio porque a massa éuniformemente distribuída. Assim, considerando que 1,0m³equivale a 1.000L, obtem-se:

EXEMPLO PRÁTICO 01 – SOLUÇÃO

b) Sabendo que a vazão é a velocidade multiplicada pela área do escoamento, tem-se:


c) A descarga é a taxa de transferência de massa. Aplicando a definição:

d) O tempo de enchimento vem da aplicação da definição de vazão:


Um fluido com massa específica constante escoa pela redução de diâmetro de 100,0mm para 75,0mm representada na figura. Sabendo que a velocidade no tubo maior é 1,0m/s, calcule a velocidade no tubo de menor diâmetro.

∆ ∆x x

Vol1 Vol2V1 V2

1 2

EXEMPLO PRÁTICO 02

Como o volume de fluido no interior da redução éconstante, deduzimos que o volume trazido pelo tubo de 100mm em cada intervalo de tempo deve ser igual ao volume que sai pelo tubo menor no mesmo intervalo. Considerando a figura, temos Vol1=Vol2. Mas, pela definição de vazão é possível calcular os volumes, já que o intervalo de tempo considerado é o mesmo:


Substituindo os valores das áreas:


FLUXO DE GRANDEZAS EXTENSIVAS TRANSPORTADAS

Ao imaginar o escoamento de um fluido através de uma seção qualquer, pode-se quantificar não só os fluxos de volume e massa do fluido, mas também a quantidade das grandezas que o fluido carrega em seu meio.

Tem-se então que o Fluxo de uma grandeza extensiva N qualquer pode ser dado em relação à concentração da grandeza, ou em relação à quantidade específica.

� Fluxo de N em função da concentração:

� Fluxo em função da quantidade específica:


�Exemplo ilustrativo

Uma dedução alternativa das equações do fluxo ocorre quando se faz uma analogia entre o escoamento e um trem em movimento. Os vagões equivalem ao fluido em escoamento e os passageiros nos vagões são análogos às grandezas extensivas conduzidas pelo escoamento.

Seção SVEscoamento = Trem

Fluido = Vagões

Pessoas = Grandeza N

Analogia:

FluxoNum Pessoas

U Tempo

Num Pessoas

Vagão

Num Vagões

U TempoPessoas

definiç ãode Fluxo

QuantidadeEspecífica

Fluxo deVagões

= =.

.

. .

.1 244 344 1 244 344 1 244 344


Portanto, pensando num vagão como m³ (un. de volume), ou como kg (un. de massa) de fluido, obtemos as equações genéricas dos fluxos pela extensão do raciocínio utilizado para calcular o fluxo de pessoas:


EXEMPLO DE FLUXO DE GRANDEZAS EXTENSIVAS

O fluxo de qualquer grandeza cuja quantidade total no fluido dependa da massa de fluido considerada pode ser descrito em função do fluxo de massa. Tem-se então, por exemplo, para as diversas grandezas extensivas consideradas:

Nota-se que a quantidade específica da grandeza sempre é multiplicada por uma parte comum que é o Fluxo de Massa. Este representa a quantidade da grandeza transportada (por Advecção) por unidade de massa do fluido transportador.

FLUXOS ADVECTIVOS E DIFUSIVOS

Nem sempre é necessário um escoamento para transferir uma grandeza. Exemplos: uma gota de tinta atirada num recipiente com água inteiramente parada; calor também éconduzido em um corpo sólido por mecanismos moleculares, sem que nada se mova macroscopicamente.

Existe então uma classe de fenômenos que atua a nível molecular, não dependendo de escoamento na direção em que se efetua o transporte, chamada de DIFUSÃO.

Quando a grandeza é transferida juntamente com a massa que se movimenta no escoamento. Estes fenômenos pertencem à categoria da ADVECÇÃO.

É importante ressaltar que pode haver difusão na presença de escoamento. O que melhor diferencia a difusão é o fato de que o mecanismo se dá em escala molecular, ao passo que a advecção depende da movimentação macroscópica do fluido na direção em que ocorre o transporte advectivo.

FLUXOS ADVECTIVOS E DIFUSIVOS

DENSIDADE DE FLUXO

Muitas vezes é necessário saber o quanto uma determinada área contribui para o fluxo total, por exemplo, quando a velocidade não é constante na seção. É conveniente nesses casos definir um fluxo por unidade de área: a Densidade de Fluxo.

Portanto, considerando o fluxo de volume, temos:

SeçãodaÁrea

NGrandezadaFluxoFluxodeDensidade

N=

VA

AV

Área

VazãoDVolume ===

Usando a definição para outras grandezas extensivas, temos:

DENSIDADE DE FLUXO

�Fluxo de Massa:

Até aqui o equacionamento só era válido para uma velocidade constante ao longo de toda a seção. Na prática, as velocidades podem variar grandemente ao longo da seção de interesse.

Portanto, é necessária uma generalização da equação para comportar essas situações. No restante deste item vamos demonstrar como o fluxo de massa através de uma área Aqualquer pode ser expresso de forma geral pela equação seguinte:

FLUXOS – EQUACIONAMENTO GENERALIZADO

AdVF

A

M

rr⋅ρ= ∫

A melhor forma de compreender a equação anterior, ésentirmos fisicamente o seu significado. Para isso, deve-se concentrar primeiramente no termo:

�Identificando o produto escalar:A base para atingir o este objetivo será visualizar que o produto escalar da velocidade pelo diferencial de área da seção é o fluxo de volume que atravessa uma área dA com inclinação qualquer em relação à velocidade.

→→dA.V


Iniciando com uma situação mais simples dada por velocidade constante na seção, ( perfil uniforme ) e área com inclinação constante. Tendo então um escoamento com perfil uniforme de velocidades, representado pelas linhas de corrente da figura. A dimensão na direção z é dz.

dx

dh

ds

α

dA

V

y

x Seção dA = dsdz


Tem-se, por construção que:

Utilizando este dado em dQ vem:

�Demonstrando a Integral de Área:

Qualquer área e qualquer perfil podem ser aproximados, no limite, por uma sucessão de áreas planas e perfis constantes. Veja a figura:

dQ V ds dz VdA= = →cos cosα α dQ V dA=→ →.

dh ds= cosα


A vazão total é aproximada por uma soma que engloba as contribuições de toda a área:

Seção real

V

Perfil real

V

Perfil aproximado

Seção aproximada

1

2

3

4

V

V

V 4

3

2

1dA

dA

dA

dA

Situação real Modelo aproximado

4321 dQdQdQdQQ +++≈


A aproximação é exata no limite, quando o número de áreas dA → ∞:

O símbolo "A" na integral significa que o somatório das contribuições deve envolver toda a área A, e não que ela seja a variável de integração.

idA.VQn

i

→∑=

→≅

1

→→

=∞→∫∑ =→= dA.VQAd.VlimQ

Ai

n

in

rr

1


Dependendo da forma da equação para expressar dA, que é função da forma geométrica da área, pode ter que efetuar uma integração simples ou dupla.

Estabelecido o fluxo de volume, fica fácil escrever diretamente a massa desse volume para encontrar a equação do fluxo de massa:

F V dAMASSA A=

→ →

∫ ρ .


�Fluxo de Grandeza Extensiva N:

Sabendo a quantidade de massa de fluido que atravessa a seção por unidade de tempo (Fluxo de Massa), e também que cada unidade de massa transporta consigo η unidades da grandeza N, pode-se escrever:

Observe que também para o próprio fluxo de massa éválida essa generalização de fluxos para grandezas extensivas. Nesse caso, a quantidade específica é ηηηηηηηη = 1= 1.

→→

∫ ρη= dA.VFA

N


CONCLUSÃO

A equação da vazão (Q = VA), é um caso particular de fluxo de volume em que a velocidade é constante ao longo de toda a área, além de ter direção normal à seção.

Portanto, sempre que ver uma equação com a integral de área, deve-se traduzir seu significado por um Fluxo de alguma grandeza, e identificar qual é a grandeza pela aparência do tempo η. Assim torna-se fácil interpretar as equações de balanços integrais de grandezas.

EXERCÍCIOS

1) Precisando avaliar a vazão que sai de uma bomba hidráulica, um engenheiro mediu a altura da saída em relação ao chão e o diâmetro do tubo. Ligou a bomba e determinou a distância horizontal em que o jato tocava o chão.

a)Explique os princípios utilizados no cálculo;

b)Qual a vazão para o caso da figura a seguir?

3,5m

0,8m

φ 25mm

2) Um proprietário rural sonhava com uma micro-usina hidrelétrica, aproveitando um córrego na divisa da propriedade. Cuidadosamente instruído pelo engenheiro, ele volta para fazer a medição da vazão utilizando flutuadores. O resultado que o proprietário trouxe é o seguinte:

Sabendo que a seção é retangular, com profundidade 37cm, qual a vazão do córrego?

5m

t = 0 t

1,5m

medida tempo t (s)

1 8,3

2 7,9

3 9,0

4 8,7

5 7,5

6 8,0

EXERCÍCIOS

3) Ao fazer uma medição de vazão em campo, você verifica que existem duas subdivisões na seção do rio. Você decide então lançar dois flutuadores para determinação da velocidade em dois pontos, obtendo a situação a seguir. Determinar a vazão do rio.

2,5m 0,9m

0,8m0,15m1

2V1 = 0,3 m/s

V2 = 0,7 m/s

EXERCÍCIOS

4) Na entrada para uma turbina hidráulica a água passa com velocidade média de 5m/s por uma seção dada pela figura. Qual a vazão?

y

x x my

y emmetros( ),

;= ± −

2 1

15

2

EXERCÍCIOS

5) A instalacão de recalque da figura opera com duas bombas iguais segundo a figura. Os diâmetros de sucção são de 6" e os recalques são de 3'" antes da junção, e de 4"após.

Sabendo que a velocidade nos tubos de sução é 0,6 m/s, calcular as velocidades no tubo de recalque antes e após a junção das duas bombas.

sucção

recalque

junção

poço de sucçãobomba

6"

3"4"

6"

3"

EXERCÍCIOS

7) O duto da figura tem seção transversal quadrada com 0,1m de lado e descarrega água por quatro fendas de 0,01m por 1m loca-lizadas em suas faces laterais.

Com base nas velocidades nas faces dadas na figura, pede-se as vazões e velocidades médias nas faces 1 e 3, e a vazão total que sai do duto.

0.01m

1.0m

Z

0.1m

0.1m

V

Velocidades:

X

Y

V1

V3

V2

V4

V1 = V2 = 4 - 4Z

V3 = V4 = 2 - 2Z

V

Z

X

Y

EXERCÍCIOS

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