física moderna ii - social.stoa.usp.br · respeito a um livro editado originalmente em 1974 que...

Física Moderna II

Universidade de São PauloInstituto de Física

Física Moderna II

Profa. Márcia de Almeida Rizzutto

1o Semestre de 2011

FNC0376 - Fisica Moderna 2 Aula 1 1

Horário

2a feira 08:00 – 10:0019:00 – 21:00

5a feira 10:00 – 12:0019:00 – 21:00

Ala IISalas: 2a feira 212 – D e 206 - N

5a feira 208 – D e 206 - N

Professora: Márcia A. Rizzutto


Professora: Márcia A. RizzuttoSala 116 – Oscar Sala

tel. 3091 6939(secretária) e 30917102

e-mail: [email protected]

Monitor:Bruna - [email protected]

•Átomo de Hidrogênio (átomo de um elétron) � Equação de Schroedinger independente do tempo� Quantização de energia� Autovalores, nos quânticos, degenerescência.

• Momentos de dipolo magnético; spin; a experiência de Stern-Gerlach• Átomos multieletrônicos

� Indistinguibilidade e o princípio de Pauli. � A teoria de Hartree. � Estados fundamentais e a tabela periódica.

• Estatística quântica� Indistinguibilidade e estatística quântica� Funções de distribuição quânticas� Exemplos: laser, gás de elétrons livres

• Moléculas


• Moléculas � Ligações iônicas e covalentes � Espectros moleculares (rotação, vibração e eletrônicos)

• Sólidos� Tipos de sólidos� Propriedades elétricas� Condutores, Isolantes, Semicondutores; a junção p-n

• O núcleo atômico� Características e propriedades gerais�Forças entre nucleons�Radioatividade, Fissão, Fusão� Reações nucleares�Partículas Elementares�Aceleradores

- Física Quântica,R. Eisberg e R. Resnick, 4a edição, Ed. Campus Ltda., RJ, Brasil, 1986.O livro texto adotado apresenta prós e contras. Os contras dizemrespeito a um livro editado originalmente em 1974 que trata algunsassuntos de modo muito extenso, o que prejudica um pouco suacompreensão. Os prós são: vários exemplares disponíveis na Bibliotecado IFUSP; pode ser adquirido em livrarias; é bastante completo, cobrindotoda a matéria dos cursos de Física Moderna 1 e 2; e, finalmente, édisponível em português. Existem também exemplares em inglês naBiblioteca.-Física Moderna, origens clássicas e fundamentos quânticos,F. Caruso e V. Oguri, Ed. Campus, RJ, 2006.

Liv

ros

Te

xto

s


F. Caruso e V. Oguri, Ed. Campus, RJ, 2006.-Física Moderna,P. A. Tipler e R. A. Llewellyn, 3a edição, LTC editora, RJ, Brasil,2001.-Modern PhysicsSerway, Moses and Moyer-Modern physics,-S.T. Thornton e A. Rex, Thomson Brooks/Cole, USA, ThirdEdition.

Liv

ros

Te

xto

s

Textos adicionais: - The picture book of quantum mechanics, S. Brandt andH.D. Dahmen, Wiley, New York, USA, 1985.Podem também ser consultados, como leitura preliminar, os capítulos sobrefísica moderna de vários textos de física básica (por exemplo, Física, de P. A.Tipler (3a edição) ou Física, D. Halliday, R. Resnick e K. S. Krane (4a edição).Tenha em mente que a apresentação dos tópicos de física moderna nessestextos é feita em nível bastante introdutório.

Leituras recomendadas:- A matéria, uma aventura do espírito, Luís Carlos de Menezes, Editora Livrariada Física, SP, Brasil, 2005;


da Física, SP, Brasil, 2005;- A parte e o todo, W. Heisenberg, Contraponto Editora Ltda, RJ, Brasil, 1996;- Física Moderna, para iniciados, interessados e aficionados, Vol. 1, Ivan S.Oliveira, Editora Livraria da Física, 2005;- Thirty years that shook physics, G. Gamow, Dover Publications, NY, USA, 1985;- Great experiments in physics: firsthand accounts from Galileo to Einstein, M.H.Shamos, Dover Publ., NY, USA, 1987;- The Great Design: Particles, fields and creation, R. K. Adair, Oxford UniversityPress, NY, USA, 1987;- The force of symmetry, Vincent Icke, Cambridge University Press, Cambridge,UK, 1995.

++=>=

+><=

)3

321(0.7,

4.06.0

pppPsePPM

PFPM

• Critério:• E = média simples das (n-1) avaliações dos trabalhos

(listas de exercícios ou provinhas) onde n é o número total de trabalhos solicitados

• M = média das notas em 3 provas (60 %) (P) e uma prova final (PF) com toda matéria (40 %). PF substitui uma eventual ausência em uma das provas (P1-P3)

Av

alia

çã

o

3

0.5

2.08.0

>

+=

MF

EMMF


Primeira prova 7 de abril (12aulas)

Segunda prova 26 de maio (10 aulas)

Terceira prova 27 de junho (8 aulas)

PF 30 de junho

• Datas das provas:

Av

alia

çã

o

• Presença:• a presença será monitorada nas

provas e nas aulas. Assim, aausência em mais de uma provaimplica em reprovação por faltas ecaso a aluno não tenha muitaspresenças nas listas e reprovou pornota, também será reprovado porfaltas.

Átomo de Hidrogênio Por que estudá-lo?

•Átomo mais simples•E foi objeto de muitos experimentos e mais estudado que qualquer outro

Vocês se lembram?•Experimentos realizados mostraram que através do espectro de linha dos átomos podia-se identificar os

•elementos químicos •e a composição dos materiais

e que cada elemento tinha seus comprimentos de onda característicosA fórmula de Balmer (1885)

Se ajusta bem as linhas visíveis do H

A fórmula de Rydberg (1888)

Rydberg = 1,097373x10-7m-1

O Modelo de Bohr (1913)

Começa a realizar mais experimentos do espectro de H e entender melhor como as formulas empíricas descreviam o espectro

Publica em artigo “Os constituintes dos átomos e moléculas”

Postulados de Bohr

•1 ee-- em um átomo move-se em uma órbita circular em torno do núcleo,

sob ação da força coulombiana, de acordo com a mecânica clássica:sob ação da força coulombiana, de acordo com a mecânica clássica:

•Apenas as órbitas com momento angular (n inteiro)

formam estados estacionários

•Apesar de continuamente acelerado , o ee-- em uma dessas órbita não irradia

•Radiação eletromagnética é emitida quando um ee-- que se move em uma

órbita de energia total EE11 faz uma transição (descontínua) para uma órbita

de energia EEff . Nesse caso :

,hnL =

fi EEh −=ν

Raio de Bohr, somente Raio de Bohr, somente alguns valores de r são

permitidos

Estados de energia são quantizados. Para o estado mais baixo (n=1)

temos E=13,6eV

Diâmetro do átomo de H = 2*r ~10-10m.

Região do

infravermelho

Região do visível

Região do

ultravioleta

Sucessos e Falhas no modelo de Bohr (1913)

•Modelo de Bohr foi o primeiro passo para entender a estrutura do átomo

•No entanto medidas mais precisas exibiram desacordos com o resultados do Modelo de Bohr

Massa reduzida O elétron e o núcleo de H rodam entorno de um centro de massa comum que é localizado muito

próximo do núcleoMm

Mm

e

ee

+=µ

Mme +M é a massa do núcleo e no caso do H, é a massa do próton.Mudança na constante de Rydberg = 1,096776x10-7m-1

Outras limitações Com o aumento da precisão nos espectrógrafos óticos, observou-se que cada linha (originalmente descritas como simples) eram duas ou mais linhas

Limitações do Modelo:•Foi aplicado com sucesso em átomos de elétrons simples (H, He+, Li++, etc.)•Não foi suficiente para dar conta das intensidade e da estrutura fina das linhas

espectrais•Este modelo não pode explicar a ligação dos átomos nas moléculas

Proposto novo modelo de Sommerfeld

•Permitiu explicar algumas aberturas no espectro de linhas

•Campos magnéticos externos (Efeito Zeeman) •Campos elétricos externos (Efeito Stark)

Aplicados ao átomo afetam o espectro de linhas

abrindo e alargando ainda mais os níveis de energia

•Equação de Schroedinger

A função de onda é uma solução da equação de Schroedinger paraum dado potencial. É uma equação diferencial, pois a solução éuma função, e de mais de uma variável⇒ derivadas parciais.Propriedades desejadas da equação de movimento da MQ:

1. Ser consistente com de Broglie – Einstein;2. Consistente com E = p2/2m +V (não relativística);3. Linear em Ψ, de tal forma que, se Ψ1 e Ψ2 são soluções⇒

De Broglie: associa

propriedades de

onda as partículas

3. Linear em Ψ, de tal forma que, se Ψ1 e Ψ2 são soluções⇒⇒ Ψ = c1Ψ1 + c2Ψ2 também é solução (combinação linear).Daí podemos ter interferência.

t

txitxtxV

x

tx

m ∂

Ψ∂=Ψ+

∂

Ψ∂−

),(),(),(

),(

2 2

22

hh

Notem que a função de onda da partícula livre é complexa:

( ) ( )tkxitkxtx ωω −+−=Ψ sencos),(

Eq. de

Schroedinger

dependente

do tempo

Em muitos casos estudados , o potencial não depende explicitamente do tempo. A dependência do tempo e posição pode ser separada

Várias aplicações em vários modelos de sistemas

O potencial degrau II – E> Vo, etc... (poço infinito, finito, barreira de potencial)

Equação de Schröedinger para o átomo de H

Este será o primeiro sistema que será necessário a complexidade

Para uma boa aproximação para a energia potencial do sistema elétron-próton : é eletrostática:

r

erV

0

2

4)(

πε−=

O potencial depende

somente da distância

entre o próton e o elétron

Este será o primeiro sistema que será necessário a complexidade total da Equação de Schroedinger em três dimensões.

)(),,(),,(),,(

),,(

1

2 2

2

2

2

2

22

rVEz

zyx

y

zyx

x

zyx

zyxm−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

ψψψ

ψ

h

ψψψµ

ErV =+∇− )(2

22

vh

Massa

reduzida

Coordenadas esféricas: ψ ≡ ψ(r,θ,ϕ) e

2

2

2222

22

sen

1sen

sen

11

ϕθθθ

θθ ∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=∇

rrrr

rr

Interação Coulombiana entre um elétrone o núcleo de um átomo

Forças centrais

Átomo de hidrogênioAgora é função das

coordenadas r, θ e φ

Relações entre coordenadas esféricas


(Ângulo polar)

(Ângulo azimutal)

Relações entre coordenadas esféricas(r,θ,ϕ) e cartesianas (x,y,z)

Aplicação: Partícula confinada em uma caixa retangular

V(x,y,z) = 0, se: – a/2 < x < a/2; – b/2 < y < b/2;– c/2 < z < c/2

∞ no resto do espaço

lembrando o caso unidimensional ψψ

Edx

d

m=−

2

22

2

h


=

a

xnsen

a

a

xn

axn

π

π

ψ2

cos2

)(

lembrando o caso unidimensionalcom – a/2 < x < a/2 , V = 0

ψEdxm

=−22

Cuja solução é: cos kx ou sen kx 2

2

h

mEk =

Para n impar

Para n par

2

222

2

π

ma

nEn

h=

Com autovalores de energia

Aplicação: Partícula confinada em uma caixa retangular

V(x,y,z) = 0, se: – a/2 < x < a/2; – b/2 < y < b/2;– c/2 < z < c/2

∞ no resto do espaço

)()()(),,(321321

zyxzyx nnnnnn ψψψψ =o caso tridimensionalcba ≠≠


⋅

⋅

=c

zn

cb

yn

ba

xn

azyxnnn

π

sen

cos2π

sen

cos2π

sen

cos2),,( 321

321ψ

+

+

=

2

3

2

2

2

122

2

π

321 c

n

b

n

a

n

mE nnn

h

Os autovalores de energia são dados em termos dos 3 nos

quânticos (n1,n2 e n3)

cba ≠≠

No caso em que todas as arestas são iguais:

( )23

22

212

22

2

π

321nnn

maE nnn ++=

h

Degenerescência: diferentes estados apresentam a mesma energia


Temos aqui as densidades de probabilidades para a partículadentro da caixa:-Estado fundamental |ψ111|2

-Primeiro estado excitado |ψ211|2 e |ψ121|2

( )23

22

212

22

2

π

321nnn

maE nnn ++=

h

cba ≠≠cba ==

cba ≠=

Degenerescência: diferentes estados apresentam a mesma energia


A eq. de Schrödinger em coordenadas esféricas

2

2

2222

22

sen

1sen

sen

11

ϕθθθ

θθ ∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=∇

rrrr

rr

Lembre-se que a dependência temporal é

parametrizada por um autovalor da energia, E. Ψ=Ψ

∂

∂E

tih


Podemos, então, escrever a eq. de Schrödinger como:

ψψϕ

ψ

θθ

ψθ

θθ

ψ

µEV

senrsen

senrrr

rr=+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂−

2

2

2222

2

2 111

2

h

ψψψµ

ErV =+∇− )(2

22

vh

Ao aplicarmos a equação de Schrödinger temos:

),()(),()(),()(),()(

),()(1

2 2

2

2222

2

2

φθφθφ

φθ

θθ

φθθ

θθφθ

µYrERYrVR

Y

senr

rRYsen

senr

rRY

r

rRr

rr=+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂− h

),(

1),(1),(1))((

2)(

)(

12

2

22

22

φθφ

φθ

θθ

φθθ

θθ

µ

Y

Y

sen

Ysen

senrVE

r

dr

rdRr

dr

d

rR

∂

∂+

∂

∂

∂

∂−=−+

h

Separação de variáveis

0),()()(2),(1),(1

)(),()(

2

2

2

2

22 =−+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

φθ

µ

φ

φθ

θθ

φθθ

θθφθ YrRVE

rY

sen

Ysen

senrRY

dr

rdRr

dr

d

h

RY

r2

x


Este termo só depende de r,

Essa igualdade entre funções de variáveis diferentes só pode valer se ambas forem iguais a uma mesma constante, que escolheremos como λλλλ.

Então:

λµ

=

−+

RrVE

r

dr

rdRr

dr

d

R))((

2)(12

22

h

λφ

φθ

θθ

φθθ

θθφθ=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂−

2

2

2

),(1),(1

),(

1 Y

sen

Ysen

senY

Então:

e

A nossa hipótese inicial será válida se conseguirmos encontrar soluções para as equações acima, que são ligadas pela constante λ.

Vamos tratar inicialmente da parte angular. Lembrando :

λµ

=

−+

RrVE

r

dr

rdRr

dr

d

R))((

2)(12

22

h

φθφθ

∂ ∂∂ 2 ),(1),(11 YY


Podemos multiplicar por sen2θ e rearranjar:

λφ

φθ

θθ

φθθ

θθφθ=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂−

2

2

2

),(1),(1

),(

1 Y

sen

Ysen

senY

θφθλφ

φθ

θ

φθθ

θθ 2

2

2

),(),(),(

senYYY

sensen =

∂

∂+

∂

∂

∂

∂−

θϕθ 2),( senY

Então:

E aí podemos fazer a segunda separação de variáveis, uma vez que o lado esquerdo só opera em φ e o direito só em θ. Propomos então uma forma:

que, substituída na eq. acima e dividida por ΘΦΘΦΘΦΘΦ, leva a:


Posso escrever que: 22

21m

d

d−=

Φ

Φ φAssim,

A eq. em φ é bem conhecida e tem soluções oscilatórias da forma:

, com m positivo ou negativo

Parte que depende de φ

, com m positivo ou negativo

Aí aparece uma diferença fundamental com a partícula na caixa 3D: a variável φ é cíclica e se repete após o intervalo [0,2π].

:em implica que o )0()π2( =ψψ

As autofunções devem ser unívocas . Então, para garantir a unicidade da função de onda, temos que impor uma condição de periodicidade à autofunção:


......3,2,1,0=m

1π2sen2πcos

:em implica que o )0()π2( 0)π2( =±⇒=

=

mimeeimim

ψψ

Portanto os valores de m ficam restritos, uma vez que m tem que ser inteiro.

, m só pode ser inteiro, positivo ou negativo

Temos um novo número quântico m

Parte que depende de θ

,

Novamente a equação (1) depende de r e a equação (2) depende de θ, logo podemos escrever uma constante de igualdade entre as duas equações como:

λµ

=

−+

RrVE

r

dr

rdRr

dr

d

R))((

2)(12

22

h

λθθθ

θθ

θθθ=Θ+

Θ

Θ− )(

)(1

)(

12

2

sen

m

d

dsen

d

d

sen

Parte que depende de r)1(

)2(

)1(2)(1 RllrdRd + µ

FNC0376 - Fisica Moderna 2 Aula 1

Resolvendo as equações, encontraremos que a equação só tem soluções aceitáveis para certos valores de ml . Usando esses valores de ml

na equação também só tem soluções aceitáveis para certos valores de ℓ . Com estes valores de ℓ na equação R(r) encontramos soluções aceitáveis também para certos valore de energia total E (energia quantizada do átomo de H).

)()1()()(1

2

2

θθθθ

θθ

θθΘ+=Θ+

Θ− ll

sen

m

d

dsen

d

d

sen

222

2

)1())((

2)(1

r

RllRrVE

dr

rdRr

dr

d

r

+=−+

h

µ

)(ϕΦ

)(θΘ

Solucionar a equação diferencial que depende de θ

)1()()(1

)(

12

2

+=Θ+

Θ

Θ− llθ

θθ

θθ

θθθ sen

m

d

dsen

d

d

sen

A eq. para θ foi resolvida pela primeira vez por um matemático famoso

)1(

)2(

0)()1()(1

2

2

=Θ

−++

Θθ

θθ

θθ

θθ sen

m

d

dsen

d

d

sen

lll

( )ll

ll

l1cos

cos2

)()( 2 −

=Θ

+

θθ

θθ

mm

md

dsen

!


)(θmlΘ Funções de Legendre

O inteiro m junta-se um outro inteiro, ℓ , na determinação das soluções aceitáveis. Esses inteiros são ligados por uma condição que envolve o intervalo de valores aceitáveis para m:

A eq. para θ foi resolvida pela primeira vez por um matemático famoso Adrien-Marie Legendre (equação diferencial conhecida como Equação de Legendre Associada) Olhem o apêndice H do Eisberg, por exemplo.

llll

l

l,1,....2,1,0,1,2,...,1,

.....3,2,1,0

−−−+−−=

=

m

Harmônicos esféricos e são usados muito em física para sistemas com simetria esférica

Harmônicos esféricos normalizados ( ) ( ) ( )φφφφθθθθφφφφθθθθ mlmY ΦΘ=,


São normalizados de acordo com a relação:

com

física moderna ii - social.stoa.usp.br · respeito a um livro editado originalmente em 1974 que...

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