Unidade I - OndasFsica II 1

Ondas

Ondas um dos principais assuntos da fsica. Para vermos a importncia das ondasno mundo moderno, basta considerarmos a indstria musical. Cada pea musicalque voc escuta, desde algumas bandas tocando em apresentaes num campus aomais eloqente concerto transmitido na Internet, depende da produo de ondaspelos artistas e de sua capacidade de deteco destas ondas. Entre a produo e adeteco, a informao transportada pelas ondas pode necessitar ser transmitida(como no caso de uma apresentao ao vivo pela Internet) ou gravada e depoisreproduzida (como atravs de CDs, DVDs e outros). A importncia econmica docontrole de ondas musicais tremenda e a recompensa para engenheiros quedesenvolvam novas tcnicas de controle pode ser rica.

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Tipos de Ondas

As ondas so de trs tipos principais:

Ondas mecnicas:

Estas ondas so mais familiares porque as encontramos quase constantemente; soexemplos comuns ondas de gua, ondas sonoras e ondas ssmicas. Todas estasondas tm duas caractersticas essenciais: so governadas pelas leis de Newton eexistem apenas na presena de um meio material, como a gua, o ar ou uma rocha.

Ondas eletromagnticas:

Estas ondas so menos familiares, mas as usamos constantemente; so exemploscomuns a luz visvel e a luz ultravioleta, ondas de rdio e de televiso, microondas,raios x e ondas de radar. Estas ondas no requerem um meio material para suasexistncias. Ondas de luz provenientes de estrelas, por exemplo, propagam-seatravs do vcuo interestelar para nos alcanar. Todas as ondas eletromagnticas sepropagam no vcuo com a mesma velocidade da luz.

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Ondas de matria:

Embora estas ondas sejam usadas na tecnologia moderna, provavelmente elas noso muito familiares. Estas ondas so associadas com eltrons, prtons e outraspartculas elementares, e mesmo com tomos e molculas. Como normalmentepensamos nestas partculas como constituintes da matria, essas ondas sochamadas de ondas de matria.

Imagine uma corda, presa em uma de suas extremidades e esticadahorizontalmente por uma pessoa.

Propagao de um pulso

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Se esta pessoa movimentar sua mo para cima e, em seguida, para baixo,retornando posio inicial, verifica-se que um distrbio, ou pulso, propaga-se aolongo da corda, com uma certa velocidade.

Fixando nossa ateno em um ponto qualquer da corda, podemos perceber queeste ponto desloca-se para cima e para baixo, reproduzindo o movimento da mo,enquanto o pulso passa por ele. Assim, percebemos que apenas o pulso (aperturbao) que se desloca ao longo da corda, enquanto seus pontossimplesmente sobem e descem medida que o pulso passa por eles.

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Imagine, agora, que a pessoa ao segurar a corda, movimentasse sua mocontinuamente para cima e para baixo da posio inicial. Neste caso, teremos umasrie de pulsos, voltados alternadamente para cima e para baixo, propagando-sealternadamente ao longo da corda. Dizemos que esta srie de pulsos constitui umaonda propagando-se na corda. Os pontos mais altos dos pulsos que esto voltadospara cima so denominados cristas da onda e os pontos mais baixos dos pulsosinferiores so os vales da onda.

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Um ponto qualquer do meio material, ao ser atingido pela onda, inicia um movimentovibratrio, oscilando enquanto a onda passa por ele. Por exemplo, o ponto P dafigura anterior vibra, dirigindo-se de P a P1, indo at P2, retornando a P, e assimsucessivamente, enquanto passam por ele as cristas e vales. A amplitude e afrequncia de vibrao deste ponto definem a amplitude e frequncia da onda, ouseja:

A amplitude e a frequncia de uma onda so a amplitude e a frequnciadas vibraes de um ponto do meio no qual ela se propaga.

No movimento ondulatrio mostrado na figura anterior, os pontos da corda vibrampara cima e para baixo enquanto a onda se propaga, para a direita, ao longo dacorda. Um onda como esta, em que a vibrao dos pontos se faz em direoperpendicular direo de propagao, denominada onda transversal. Ondastransversais pode se propagar no apenas em uma corda, mas tambm em umamola esticada, em um longo tubo de borracha etc.

Onda transversal e onda longitudinal

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Entretanto, se uma pessoa movimentar para frente e para a extremidade de umamola esticada, dando a esta extremidade um movimento oscilatrio na direo daprpria mola, verificaremos que um distrbio, constitudo por uma srie decompresses e rarefaes, propaga-se ao longo da mola. Um distrbio comoeste propagando-se na mola denominado uma onda longitudinal.

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Quando um ponto P da mola atingido pela onda longitudinal, ele oscila entre P1 eP2, isto , sua vibrao se faz na mesma direo em que a onda est sepropagando.

Tanto as ondas transversais como as ondas longitudinais so chamadas de ondasprogressivas porque elas se propagam de um ponto a outro, como de umaextremidade outra da corda e da mola das figuras analisadas. Observe que aonda que se move de extremidade extremidade, e no o meio material (corda oumola) atravs do qual a onda se move.

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Para descrevermos completamente uma onda em uma corda (e o movimento dequalquer elemento ao longo do seu comprimento), precisamos de uma funo quefornea a forma da onda. Isto significa que necessitamos de uma relao da formay = h(x,t), na qual y o deslocamento transversal de qualquer elemento da cordacomo uma funo h do tempo t e da posio x do elemento ao longo da corda.

Comprimento de onda e freqncia

Em geral, uma forma senoidal como a da onda na corda pode ser descrita tomandoh como uma funo seno ou uma funo cosseno; ambas fornecem a mesma formageral para a onda. Nos nossos estudos usaremos a funo seno.

Imagine uma onda senoidal propagando-se no sentido positivo de um eixo x.Quando a onda passa atravs dos elementos sucessivos da corda, os elementososcilam paralelamente ao eixo y. Num tempo t, o deslocamento y do elemento dacorda localizado na posio x dado por:

( ) ( )tkxsenytxy m =,Fsica II 10

( ) ( )tkxsenytxy m =,Como esta equao est descrita em termos da posio x, ela pode ser usada paraencontrar os deslocamentos de todos os elementos da corda em funo do tempo.Assim, ela pode nos dizer a forma da onda em qualquer tempo e como esta formavaria medida que a onda se move ao longo da corda.

A amplitude ym de uma onda o mdulo do deslocamento mximo dos elementos apartir de suas posies de equilbrio enquanto a onda passa atravs deles.

Amplitude e fase

A fase da onda o argumento kx - t do seno da equao acima. Enquanto a ondapassa atravs de um elemento da corda em uma posio particular x, a fase varialinearmente com o tempo t. Isto significa que o seno tambm varia, oscilando entre+1 e -1. Seu valor extremo positivo (+1) corresponde a um pico da onda movendo-se atravs do elemento; neste instante o valor de y na posio x ym. Seu valorextremo negativo (-1) corresponde a um vale da onda movendo-se atravs doelemento; neste instante o valor de y na posio x ym.

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O comprimento de onda de uma onda a distncia entre repeties da formada onda. Um comprimento de onda tpico esta representado na figura abaixo.

Comprimento de Onda e Nmero de Onda

Tomando a funo de onda em t = 0, ela nos fornece a descrio da onda nestetempo.

y(x,0) = ymsen(kx-w(0))

y(x) = ymsen(kx).

(1)

(2)Fsica II 12

A expresso (2) nos fornece, assim, a forma da onda parada no instante t = 0.

Por definio, o deslocamento em y o mesmo nas extremidades destecomprimento de onda, ou seja, em x = x1 e em x = x1 + .

y(x) = ymsen(kx). (2)

Tomando a expresso para t = 0, onda parada no tempo (foto). Sabemos que oseu deslocamento em y o mesmo tanto para x = x1 quanto para x = x1 + .Podemos ento substituir na funo de onda.

ymsen(kx1) = ymsen(k(x1+ ))

ymsen(kx1) = ymsen(kx1+ k)

Uma funo seno, comea a se repetir aps completar um arco de 360 ou 2 rad.

k = 2 ou k = 2/ (nmero de onda).Unidade no SI radianos por metro ou simplesmente m-1.

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Se considerarmos a posio x = 0 de um elemento da corda, e monitorando estaposio em funo do tempo, observamos que este elemento sobe e desceexatamente na mesma posio y.

Perodo, Freqncia Angular e Freqncia

Tomando a funo de onda nesta posio x = 0 temos que:

( ) ( )( )tksenyty m = 0,0( ) ( )tsenyty m =,0( ) ( )tsenyty m =,0

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Definimos o perodo de oscilao T de uma onda como sendo o tempo quequalquer elemento da corda leva para realizar uma oscilao completa.

Aplicando a equao encontrada anteriormente s duas extremidades da cordadurante o intervalo de tempo gasto para realizar um perodo temos:

( ) ( )( )Ttsenytseny mm += 11 ( ) ( )Ttsenytseny mm += 11

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A equao encontrada s pode ser verdadeira se T = 2, ento:

T

2

=

Chamamos de freqncia angular da onda; sua unidade no SI o radiano porsegundo.

A freqncia f de uma onda definida como sendo o inverso do tempo e estrelacionada freqncia angular por:

21

==

Tf

A freqncia equivale ao nmero de oscilaes realizadas por um elemento decorda quando a onda passa por ele.

Unidade no SI o hertz (Hz).Fsica II 17

Observe a figura abaixo:

A figura mostra dois instantneos da onda separados por um pequeno intervalo detempo t. A onda est se propagando no sentido positivo de x, com todo o padroda onda se movendo uma distncia x neste sentido num intervalo de tempo t.A razo x/t (ou, no limite diferencial, dx/dt) a velocidade da onda (v).

Velocidade de uma Onda

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Quando a onda se move, cada ponto da forma de onda que se move, como o pontoA marcado sobre o pico, preserva seu deslocamento y. (Pontos sobre a corda nopreservam os seus deslocamentos, mas os pontos sobre a forma da ondapreservam.) Se o ponto A preserva seu deslocamento enquanto ele se move, a fasedeterminando este deslocamento deve permanecer constante:

Embora a fase seja constante, x e t aumentam, ou seja, quando t aumenta, xtambm aumenta para manter o argumento constante. Para encontrarmos avelocidade da onda v, tomamos a derivada da equao acima:

constante= tkx

kv

dtdx

dtdxk === 0

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Usando as equaes de nmero de onda e a freqncia angular, temos:

( )onda da velocidade 2

2 fTTk

v

====

Tek

22==

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A velocidade de uma onda est relacionada com o comprimento de onda e com afreqncia, mas ela determinada pelas propriedades do meio. Se uma onda sepropaga atravs de um meio como a gua, o ar ou uma corda esticada, ela fazcom que as partculas desse meio oscilem enquanto ela passa.

Para que isso acontea, o meio deve possuir tanto massa (para que possa haverenergia cintica) quanto elasticidade (para que possa haver energia potencial).Assim, as propriedades de massa e de elasticidade do meio determinam quorpido a onda pode se propagar nele.

Velocidade da Onda em uma Corda Esticada

Na anlise dimensional, examinamos as dimenses de todas as grandezas fsicasque entram em uma dada situao para determinarmos as grandezas que elasproduzem. Neste caso, examinaremos as propriedades de inrcia e de elasticidadepara encontrar a velocidade, que tem a dimenso de comprimento dividido portempo.

Anlise Dimensional

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Para caracterizarmos a inrcia da corda, consideramos a massa total m da cordadividida pelo seu comprimento l. Chamamos esta razo de densidade linear dacorda. Assim:

Porm, no se consegue enviar uma onda ao longo de uma corda a menos que acorda esteja sob tenso, o que significa que ela foi alongada e mantida esticadapor foras aplicadas nas duas extremidades. A tenso na corda igual intensidade comum dessas duas foras.

lm

=

Quando uma onda se propaga ao longo da corda, ela desloca elementos da cordaprovocando uma alongamento adicional, com sees adjacentes da corda puxandoumas s outras devido tenso. Assim, podemos associar a tenso na corda com oalongamento (elasticidade) da corda. A tenso e as foras de alongamento que elaproduz possuem a dimenso de uma fora.

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F = m.amassa

acelerao

M

LT-2 MLT-2

Combinando a massa () com a trao () por meio de suas dimenses, chegamosa melhor combinao para a velocidade (v) que sugere:

Cv =

em que C uma constante adimensional.

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Deduo a partir da Segunda Lei de Newton

Em vez da onda senoidal, vamos considerar um nico pulso simtrico propagando-se da esquerda para a direita com velocidade v ao longo de uma corda. Porconvenincia, escolhemos um sistema de referncia no qual o pulso permaneceestacionrio; ou seja, nos movemos juntamente com o pulso, mantendo-oconstantemente em vista. Neste referencial, a corda parece passar por ns,movendo-se da direita para a esquerda com velocidade v.

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Considere um pequeno elemento da corda de comprimento l na regio do pulso,um elemento que forma um arco de crculo de raio R e subtende um ngulo 2 nocentro desse crculo. Uma fora com um mdulo igual tenso na corda puxatangencialmente este elemento em cada extremidade. As componentes horizontaisdestas foras se cancelam, mas as componentes verticais se somam para produziruma fora restauradora . Em mdulo:

F

( ) ( )RlsenF == 22

onde aproximamos sen por para o ngulos pequenos. A partir da figura, usamostambm que 2 = l/R.

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A massa do elemento dada por:

lm =

onde a densidade linear da corda.O elemento de corda l est se movendo em um arco de crculo. Assim, ele possuiuma acelerao em direo ao centro (acelerao centrpeta), que dada por:

Rva

2

=

As equaes encontradas possuem os elementos da segunda lei de Newton(F = ma):

Rva

2

=lm = RlF =

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Rvl

Rl 2=

Combinando as equaes:

Resolvendo esta equao para a velocidade, temos:

aceleraomassafora =

Rva

2

=lm = RlF =

( )velocidade 22

=== vvv

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A velocidade de uma onda ao longo de uma corda ideal esticada depende apenasda trao e da massa especfica linear da corda e no da freqncia da onda.

A freqncia da onda fixada inteiramente por aquilo que a produz.

O comprimento de onda da onda, fica ento determinado por:

fv

=

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Considere a seguinte equao:

Esta equao diferencial geral que governa a propagao de ondas de todos ostipos.

A Equao de Onda

2

2

22

2 1ty

vxy

=

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Frequentemente, ocorre que duas ou mais ondas passam simultaneamenteatravs da mesma regio. Quando assistimos a um concerto, por exemplo, ondassonoras de muitos instrumentos chegam simultaneamente aos nosso ouvidos.

Suponha que duas ondas se propagam simultaneamente ao longo da mesma cordaesticada. Sejam y1(x,t) e y2(x,t) os deslocamentos que a corda sofreria se cada ondase propagasse sozinha. O deslocamento da corda quando as ondas sosuperpostas a soma algbrica:

Princpio da Superposio para Ondas

( ) ( ) ( )txytxytxy ,,,' 21 +=Esta soma de deslocamentos ao longo da corda significa que ondas superpostasse adicionam algebricamente para produzir uma onda resultante.

Este o princpio da superposio que nos diz que, quando vrios efeitos ocorremsimultaneamente, o efeito resultante a soma dos efeitos individuais.

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A figura abaixo, mostra uma seqncia de instantneos de dois pulsos que sepropagam em sentidos contrrios sobre a mesma corda esticada. Pode-seobservar que quando os dois pulsos se sobrepem, o pulso resultante a somados dois pulsos. Alm disso, cada pulso se move atravs do outro como se o outrono estivesse presente.

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Suponha que enviamos duas ondas senoidais de mesmo comprimento de onda emesma amplitude no mesmo sentido ao longo de uma corda esticada. Sabendoque o princpio de superposio se aplica, que onda resultante esse princpio prevpara a corda?

A onda resultante depende da extenso em que as ondas estejam em fase (emcadncia) uma em relao outra, ou seja, o quanto uma forma de onda estdeslocada em relao outra.

Interferncia de Ondas

Se as ondas estivem exatamente em fase (de modo que os picos e os vales deuma estejam exatamente alinhas com os da outra), elas se combinam para dobraro deslocamento produzido por apenas uma delas.

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Se elas estiverem exatamente fora de fase (os picos de uma alinhados exatamentecom os vales da outra), elas se combinam para se cancelar em todos os pontos e acorda permanece retilnea.

Chamamos este fenmeno de combinao de ondas de interferncia, e dizemosque as ondas interferem. Esses termos se referem apenas aos deslocamentos dasondas; a propagao das ondas no alterada.

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Seja uma das ondas se propagando ao longo de uma corda esticada dada por:

e uma outra, defasada da primeira, por:

( ) ( )tkxsenytxy m =,1

( ) ( ) += tkxsenytxy m,2Essas ondas tm a mesma frequncia angular (e, portanto, a mesma frequnciaf), o mesmo nmero de onda k (e, portanto, o mesmo comprimento de onda ) e amesma amplitude ym. Ambas se deslocam no sentido positivo do eixo x, com amesma velocidade. Elas diferem apenas por um ngulo constante , a constante defase. Dizemos que estas ondas esto fora de fase por , que tm uma diferena defase , ou que esto defasadas uma da outra por .

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Vimos que ondas mecnicas so ondas que necessitam de um meio material parasua existncia. Existem dois tipos de ondas mecnicas: ondas transversais eondas longitudinais.

Vamos definir onda sonora de uma forma genrica como qualquer onda longitudinal.

Ondas Sonoras

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Algumas ondas mecnicas longitudinais so capazes de impressionar os tmpanoshumanos (sensores do sistema auditivo) produzindo o efeito sonoro. Trata-se do somauditivo.

Aplicaes das ondas sonoras: Prospeco ssmica (busca de petrleo), Navios(estudo dos oceanos, petrleo no fundo do mar), submarinos (sonar paraperseguio ou obstculos), medicina (ultra-som), etc.

Para que nosso sistema auditivo perceba as ondas sonoras, elas devem estar dentrode uma certa freqncia, ou seja dentro de certos valores.

Acima de 20000 Hz, o sistema auditivo humano tambm no capaz de perceber osom, so os chamados ultra-sons, perceptveis pelos ces, baleias, morcegos,golfinhos, insetos, etc.

Abaixo de 20 Hz, o sistema auditivo humano no capaz de perceber o som, so oschamados infra-sons. Embora, imperceptveis pelos seres humanos, percebidapela maioria dos animais.

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Uma das grandes aplicaes do ultra-som na ultra-sonografia (ecografia)utilizada pelos mdicos, fornece a posio, imagem e sexo dos bebs no tero dame.

A velocidade das ondas sonoras depende das propriedades elsticas do meio emque se propagam, mas independe da freqncia. verificado experimentalmenteque quanto mais rgido um meio, tanto maior a velocidade de propagao das ondassonoras. Por isso, de uma maneira geral, podemos estabelecer que as ondassonoras so mais velozes nos meios slidos, depois nos meios lquidos e finalmentenos meios gasosos.

Velocidade do Som

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A velocidade de qualquer onda mecnica transversal ou longitudinal depende daspropriedades do meio.

=v onda transversal Bv = onda longitudinal

Se o meio de propagao desta onda longitudinal for o ar, tem que: B o mdulo de compresso e corresponde a massa especfica volumtrica do ar.

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Da mesma forma que na corda, os elementos do ar oscilam. S que no caso dasondas sonoras, eles oscilam paralelamente direo de propagao. Entopodemos descrever o deslocamento em termos de uma funo de onda da forma:

Em que s(x,t) o deslocamento longitudinal, sm a amplitude, e cos(kx-wt) otermo oscilatrio.

O nmero de onda k, a freqncia angular w, a freqncia f, o comprimento deonda , a velocidade v e o perodo T para uma onda sonora (longitudinal) sodefinidos exatamente como para a onda transversal, exceto que agora, adistncia, novamente na direo de propagao na qual o padro de compresso eexpanso comea a se repetir.

Propagao das Ondas Sonoras

( ) ( )tkxstxs m = cos,

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Quando a onda senoidal se move, a presso do ar em qualquer posio x variasenoidalmente. Ento, temos a variao da presso dada por:

Em que p(x,t) a variao da presso, pm a amplitude, e sen(kx-t) o termooscilatrio.

A amplitude pm o mximo aumento ou reduo na presso devido a onda. Elaest relacionada com a amplitude do deslocamento sm por:

msvp )( =

( ) ( )tkxsenptxp m = ,

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Quando um rdio est ligado com seu mximo volume, dizemos que o som emitidopor ele um som de grande intensidade (ou, vulgarmente, um som forte). Por outrolado, o tique-taque de um relgio um som de pequena intensidade (ou um somfraco).

A intensidade uma propriedade do som que est relacionada com a energia devibrao da fonte que emite a onda sonora. Ao se propagar, a onda transportaenergia, distribuindo-a em todas as direes. Quanto maior for a quantidade deenergia (por unidade de tempo) que a onda sonora transportar at nosso ouvido,maior ser a intensidade do som que perceberemos.

Intensidade do Som

A quantidade de energia transportada por uma onda tanto maior quanto for aamplitude da onda.

A intensidade do som medida em uma unidade denominada 1 bel (em homenagema Graham Bell). Na prtica, usa-se mais comumente o submltiplo desta unidade:1 decibel = 1 dB = 0,1 bel.

Os sons de grande intensidade, de maneira geral, so desagradveis ao ouvidohumano e quando atingem uma intensidade prxima de 140 dB, comeam a produzirsensaes dolorosas.Fsica II 41

Fsica II 42

Consideremos uma fonte sonora puntiforme F emitindo som num meio homogneo eistropo (mesma intensidade em todas as direes).

Uma superfcie esfrica de raio r e centro na fonte sonora uma superfcieperpendicular s direes de propagao do som. Admitindo que estamos num casoideal onde o som no absorvido pelo meio, a potncia do som ser totalmenterecebida na superfcie esfrica considerada temos:

24 rPotI

APotI

=

=

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Altura a qualidade do som que nos permite classific-lo como grave ou agudo. Deum modo geral, os homens tm voz grave (voz grossa) e, as mulheres, voz aguda(voz fina). Em linguagem musical, diz-se que um som agudo alto e um som grave baixo.

A altura de um som est relacionada com a freqncia, f, da onda sonora, de talmodo que quanto mais agudo for o som, maior a sua freqncia. Assim, podemosconcluir que a freqncia da voz masculina , em geral, menor que a freqncia davoz feminina (as cordas vocais dos homens vibram com freqncia menor que ascordas vocais das mulheres).

Altura do Som

Os cantores de msica clssica so classificados de acordo com as freqncias dasnotas que eles so capazes de emitir: os baixos (voz grave homem), os tenores(voz aguda homem), os sopranos (voz aguda mulheres) etc. As freqncias dasnotas que estes cantores so capazes de emitir variam desde cerca de 100 hertz(baixo) at cerca de 1200 hertz (soprano).

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Se tocarmos uma certa nota de um piano, e se esta mesma nota (mesma freqncia)for emitida, com a mesma intensidade, por um violino, seremos capazes de distinguiruma da outra. Dizemos, ento, que estas notas tm timbre diferentes.

Isto acontece porque a nota emitida pelo piano o resultado da vibrao no s dacorda acionada, mas tambm de vrias outras partes do piano (madeira, colunas dear, outras cordas etc.) que vibram juntamente com ela. Assim, a onda sonora emitidater uma forma prpria, caracterstica do piano. De modo semelhante, a ondaemitida pelo violino o resultado de vibraes caractersticas deste instrumento eapresenta uma forma diferente de onda emitida pelo piano.

Timbre

A figura ao lado, mostra a forma resultante deuma onda sonora, cuja freqncia 440hertz, emitida por um violino, e a mesma nota(440 hertz) emitida pelo piano. Sons demesma freqncia, mas de timbres diferentes,correspondem a ondas sonoras cujas formasso diferentes.

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O fenmeno ondulatrio denominado de batimento obtido atravs da superposiode ondas peridicas tanto transversal quanto longitudinal de mesma amplitude,porm de freqncias ligeiramente diferentes.

Pode ser observado que a resultante da figura tem amplitude varivelperiodicamente, apresentando pontos de mxima intensidade (interfernciatotalmente construtiva ) e pontos de mnima intensidade (interferncia totalmentedestrutiva).

D se o nome de batimento a essa variao gradual e peridica de amplitude daonda resultante.

A freqncia resultante dada pela mdia aritmtica das freqncias das ondas quese superpe:

221 fffres

+=

Batimentos

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Se escutarmos, com uma diferena de alguns minutos, dois sons cujas freqnciasso 552 e 564 Hz, possivelmente no conseguiremos distinguir um do outro.Entretanto, se os dois sons alcanarem os nossos ouvidos simultaneamente, o queiremos escutar ser um som cuja freqncia 558 Hz (mdia das duas freqncias).Escutaremos, tambm uma notvel variao na intensidade deste som elaaumenta e diminui produzindo um batimento lento e peridico que se repete a umafreqncia de 12 Hz, a diferena entre as duas freqncias originais.

21 fffbat =

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Denomina-se efeito Doppler a alterao da freqncia notada pelo observador emvirtude do movimento relativo de aproximao ou afastamento entre fonte eobservador.Este fenmeno caracterstico de qualquer propagao ondulatria mas o efeitoDoppler sonoro o mais comum no nosso dia-a-dia.

Quando um automvel aproxima-se de ns buzinando, percebemos um som maisagudo (maior freqncia) da buzina do que se o automvel estivesse em repouso.Da mesma forma, quando o automvel se afasta buzinando, percebemos que o somvai ficando mais grave (menor freqncia).

Efeito Doppler

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A equao para o efeito Doppler geral :

onde v a velocidade do som atravs do ar, vD a velocidade do detetor em relaoao ar e vS a velocidade da fonte tambm em relao ao ar.

S

D

vvvvff

='

A escolha dos sinais positivos e negativos determinado por:

Quando o movimento do detetor ou da fonte de aproximao em direo ao outro,o sinal de sua velocidade deve resultar em um aumento da freqncia. Quando omovimento do detetor ou da fonte de afastamento em relao ao outro, o sinal desua velocidade deve resultar em um decrscimo na freqncia.

Exemplos: se um detetor se move em direo fonte, use o sinal positivo nonumerador para obter um aumento na freqncia. Se ela se afasta da fonte, use umsinal negativo no numerador para obter uma reduo. Se ele estiver estacionrio,substitua vD por 0. Se fonte se mover em direo ao detetor, use o sinal negativo nodenominador para obter um aumento da freqncia. Se ela se afastar, use o sinalpositivo no denominador para obter uma reduo. Se a fontes estiver estacionria,substitua vS por 0.

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Unidade II - TermodinmicaFsica II 50

TEMPERATURA E TEORIA CINTICA DOS GASES

Temperatura a grandeza que, associada a um sistema, caracteriza seu estadotrmico (agitao das partculas), ou seja, o quente ou o frio de um corpo.

Mas nem sempre o estado trmico que caracteriza um sistema o mesmo, porexemplo, para indivduos diferentes.

Como avaliar fisicamente o estado trmico quente ou frio de um corpo?

SlidosLquidosGases

A concluso que podemos chegar que a temperatura est relacionada com oestado de movimento ou de agitao das partculas de um corpo.

Uma propriedade fsica que se altera com a temperatura chamada de propriedadetermomtrica. Uma alterao em uma propriedade termomtrica indica umaalterao de temperatura do corpo.

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Equilbrio Trmico

Suponha que uma barra de cobre quente seja colocada em contato com uma barrade ferro fria, de forma que a primeira resfrie e a segunda aquea. Nessa situao,dizemos que as duas barras esto em contato trmico.

A barra de cobre de contrai ligeiramente quando resfriada, e a barra de ferro sedilata ligeiramente quando aquecida. Ao fim de certo tempo, esse processo pra eos comprimentos das barras permanecem constantes. As duas barras, ento, estoem equilbrio trmico.

Assim, temos o enunciado da lei zero da termodinmica:

Se dois corpos esto em equilbrio trmico com um terceiro, ento elesesto em equilbrio trmico entre si.

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Medio da Temperatura e as Escalas de Temperatura Celsius e Fahrenheit

No temos condies de medir diretamente a energia de agitao das molculas deum corpo. Ento, como avaliar a sua temperatura?

A medio da temperatura feita atravs de um processo indireto, em que se usaum segundo corpo que sofra alteraes mensurveis em suas propriedades fsicasquando colocado em contato com o primeiro corpo. Esse segundo corpo denominado de termmetro.

Qualquer propriedade termomtrica pode ser usada para estabelecer uma escalade temperatura. O termmetro usual constitudo ou de mercrio ou de lcool.Quando o termmetro colocado em contato com um corpo mais quente, omercrio ou lcool se expande, aumentando o comprimento da coluna lquida.

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Todos os termmetros so constitudos de escalas denominadas de escalastermomtricas que um conjunto de valores numricos, em que cada valor estassociado a uma certa temperatura.

Uma escala termomtrica criada, colocando-se o termmetro em gelo e gua emequilbrio, a uma presso de 1 atm. Quando o termmetro estiver em equilbriotrmico com a gua e o gelo, a posio da coluna lquida marcada na coluna devidro. Essa a temperatura do ponto de gelo, tambm chamado de ponto normalde solidificao da gua.

Depois, o termmetro colocado em gua em ebulio, a uma presso de 1 atm.Quando o termmetro estiver em equilbrio trmico com a gua em ebulio, marcada a nova posio da coluna lquida. Essa a temperatura do ponto devapor, tambm chamado de ponto normal de ebulio da gua.

Desta forma, gradua-se uma escala termomtrica. Se dividirmos por 100 o espaoentre as duas posies marcadas temos uma escala graduada em que cadaespao refere-se a 1 (um grau).

Anders Celsius (1701 1774) foi que desenvolveu primeiramente esta escalaconsiderando como 0 para o ponto do gelo e 100 para o ponto de vapor.

Fsica II 54

Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736) por sua vez, escolheu os valores de 0 para atemperatura do dia mais frio de 1727, na Islndia, e 100 cem para a temperatura docorpo de sua esposa num determinado dia. O que levou a uma escala em que 32corresponde ao ponto de gelo na escala Celsius e 212 corresponde ao pondo devapor na escala Celsius. Esta escala comparada escala Celsius, possui 180divises.

Podemos ento converter a temperatura medida entre as escalas Clsius eFahrenheit da forma:

oo

oo

oF

oc

322120100

320

=

o

o

oF

c

180100

32=

( )oFc 3295

= Fsica II 55

Termmetro a Gs e a Escala de Temperatura Absoluta

Quando diferentes tipos de termmetros so calibrados considerando-se os pontosde gelo e de vapor, eles concordam (por definio) nas temperaturas de 0 C e100 C, mas fornecem leituras ligeiramente diferentes acima do ponto de vapor eabaixo do ponto de gelo.

No entanto, h um grupo de termmetros, os termmetros a gs em que astemperaturas medidas concordam entre si at mesmo longe dos pontos decalibrao.

Termmetro a Gs de Volume Constante

Fsica II 56

Os termmetros de gs a volume constante so dispositivos de medio detemperatura que apresentam leituras praticamente independente das substnciasutilizadas.

Na figura acima, temos um termmetro de gs a volume constante, o qual poderser calibrado da mesma forma utilizada para os termmetros de coluna lquida.

Fsica II 57

Realizando uma srie de medidas de temperaturas com um termmetro a gs,utilizando vrios tipos de gs e uma quantidade fixa muito pequena, observou que atemperatura variou linearmente com a presso e quando se extrapola para atingir apresso igual a zero, temperatura para todos os gases tende a -273,15 C. Esselimite, sempre o mesmo e no importa o gs utilizado.

Com base nestas curvas foi que surgiu a escala Kelvin cuja relao com a escalaCelsius

15,273= kc TTFsica II 58

em que Tc equivale a temperatura em Celsius, Tk equivale a temperatura em Kelvin.Note que para cada variao de 1 C, temos uma variao de 1K.

Atualmente as escalas so estabelecidas com base num nico ponto, chamadoponto triplo da gua e que corresponde temperatura a que vapor, gelo e gualquida coexistem em equilbrio (273.16 K) respeitando condies de presso (4,58mmHg).

Fsica II 59

Relaes entre as escalas

Supondo que a grandeza termomtrica seja a mesma, podemos relacionar astemperaturas assinaladas pelas escalas termomtricas da seguinte forma:

18032

100273

1003221232

273373273

01000

=

=

=

=

FKCFKC

932

5273

5

=

=

FKCFsica II 60

EXPANSO TRMICA DE SLIDOS E LQUIDOS

Admitindo-se que a temperatura dos corpos est intimamente relacionada com avibrao das suas partculas constituintes, facilmente se compreende que, emgeral, o aumento da temperatura corresponda a um aumento da distncia mdiaentre essas partculas

A dilatao dos materiais como por exemplo os slidos, ocorre simultaneamente emtodas as direes, mas por convenincia podemos estud-las sob a forma dedilatao linear, dilatao superficial e dilatao volumtrica.

Baseados nestas propriedades, todos os corpos (ou meios) materiais podem tersuas dimenses alteradas quando submetidos a variao de temperatura, sofrendouma contrao ao serem resfriados ou dilatao ao serem aquecidos.

Fsica II 61

Um objeto de comprimento L0 que fica sujeito a pequenas variaes de temperaturaT sofre um acrscimo de comprimento L da forma:

TLL = 0

A d-se o nome de coeficiente de expanso linear.

Um objeto de rea A0 sujeito a pequenas variaes detemperatura T sofre um acrscimo de comprimento A daforma:

TAA = 0A d-se o nome de coeficiente de expanso superficial.

Um objeto de volume V0 sujeito a pequenas variaes detemperatura T sofre um acrscimo de volume V da forma:

TVV = 0

A d-se o nome de coeficiente de expanso volumtrica.

Fsica II 62

Admitindo-se que a expanso igual em todas as direes do espao, asexpresses anteriores podem ser escritas da forma:

TLL = 0 TAA = 02 TVV = 03

onde foram utilizadas as relaes:

3 e 2 ==

Fsica II 63

No caso dos lquidos, para que possa ser observada uma dilatao, temos quecolocar o lquido em um recipiente. Sendo assim, muitas das vezes confundimos adilatao real de um lquido (que no depende do frasco) com a dilatao aparente(que depende do frasco).

Nos lquidos, no temos dilatao linear e superficial, temos somente a dilataovolumtrica.

A dilatao volumtrica nos lquidos segue os mesmos parmetros dos slidos, ouseja, podemos calcul-la utilizando a expresso:

TVV = 0

Fsica II 64

Calor e a Primeira Lei da Termodinmica

Calor a energia trmica que est sendo transferida de um sistema a outro emvirtude de uma diferena de temperatura.

Energia Trmica

o somatrio das energias de agitao das partculas de um corpo. Depende datemperatura do corpo e do nmero de partculas nele existente. (Formamacroscpica de energia cintica)

Como o calor uma forma de energia, energia em movimento, sua unidade no SI ojoule (J). No entanto, tambm muito usada a caloria (cal).

Uma caloria (cal) foi definida como sendo a quantidade de calor que uma grama degua pura deve receber, sob presso normal, para que sua temperatura seja elevadade 14,5 C para 15,5 C.

Foi James Joule com uma experincia simples que estabeleceu a correspondnciaentre energia trmica e mecnica. A correspondncia entre joule (J) e caloria foiobtida atravs deste experimento : 1cal = 4,186 JFsica II 65

Capacidade Calorfica e Calor Especfico

Quando um corpo recebe ou cede uma certa quantidade de energia trmica,podemos observar, como consequncia, uma variao de temperatura nesse corpoou ainda uma mudana em seu estado fsico.

Suponhamos que um corpo de massa m, que ao receber uma quantidade Q decalor sofre uma variao de temperatura T.

A capacidade calorfica (C) deste corpo definida como sendo:

TQC

=Unidade : cal / C

O calor especfico (c) a capacidade calorfica (C) por unidade de massa do corpo:

TmQ

mT

Q

mCc

=

== Unidade : cal / g C

em que m a massa do corpo.Fsica II 66

Numa situao mais geral em que se assume que o calor especfico depende datemperatura, sua definio ento:

= fi

T

TcdTmQ

Fsica II 67

Calorimetria

O calor especfico de um corpo pode ser medido aquecendo-se esse corpo at umatemperatura conhecida, como por exemplo o ponto de ebulio da gua.

Depois, transfere-se esse corpo para um banho de gua cuja temperatura e massainiciais so conhecidas.

Finalmente mede-se a temperatura do corpo e do banho de gua que esto emequilbrio. Se for um sistema isolado da vizinhana, ou seja, no h troca de calorcom o meio e sua vizinhana, ento o calor que deixa o corpo igual ao calor que agua do banho e o recipiente recebem. A este procedimento d-se o nome decalorimetria.

Esse recipiente que contm a gua e o corpo recebe o nome de calormetro.

Pelo fato de o sistema ser termicamente isolado, as trocas de calor ocorrem apenasentre os seus integrantes. Assim, toda energia trmica que sai do corpo recebidapelo banho de gua e o calormetro pois ambos fazem parte do mesmo sistema.Vale a relao:

= recebidocedido QQ =+ 0recebidocedido QQFsica II 68

Seja m a massa de um corpo, c o seu calor especfico e Tic a temperatura inicialdesse corpo. Se Tf for a temperatura final do corpo e do banho de gua, o calorliberado pelo corpo :

)( ficsai TTmcQ =

Analogamente, se Tia for a temperatura inicial da gua e do recipiente que a contme Tf for a temperatura final de equilbrio, ento o calor absorvido (que entra) pelagua e pelo recipiente :

)()( iafrriafaaent TTcmTTcmQ +=

em que ma e ca so a massa e o calor especfico da gua, respectivamente. Amassa e o calor especfico do recipiente so dados por mr e cr, respectivamente.

As diferenas de temperaturas so escolhidas de forma que o calor que entra e ocalor que sai sejam ambos grandezas positivas.

Igualando as duas expresses anteriores, podemos ter o calor especfico do corpoou seja:

entsai QQ = )()()( iafrriafaafic TTcmTTcmTTmc +=Fsica II 69

Calor Sensvel e Calor Latente

Quando a variao da temperatura de um corpo corresponde somente a umavariao no estado de agitao das partculas do corpo, dizemos que a energiatrmica transferida denominada de calor sensvel.

Quando a variao da temperatura de um corpo corresponde, no somente, a umavariao no estado de agitao das partculas do corpo mas tambm a uma variaodo estado fsico do corpo, dizemos que a energia trmica transferida denominadacalor latente. O calor latente recebido obedece a seguinte relao se a mudana deestado for por exemplo a fuso (gua para gelo):

fmLQ =

em que Lf o calor latente de fuso da substncia. A uma presso de 1 atm, o calorlatente de fuso da gua 333,5 kJ/kg = 79,7 kcal/kg. Se a mudana for vaporizao(gua para vapor), temos a relao:

vmLQ =em que Lv o calor latente de vaporizao da substncia. A uma presso de 1 atm, ocalor latente de vaporizao da gua 540 kcal/kg.

Fsica II 70

A 1 Lei da Termodinmica

Na mecnica, sabemos que uma fora pode realizar trabalho somente se elaproduzir um deslocamento.

Em um sistema pode ocorrer alteraes na sua temperatura sem que tenha havidotransferncia de energia trmica.Essa variao pode ocorrer atravs de um trabalho realizado pelo sistema ou sobreo sistema.James Joule utilizou um aparato, no qual ele conseguiu determinar a quantidade detrabalho necessrio para elevar de 1 C a temperatura de 1 g de gua.

O Sistema era constitudo de um recipiente termicamente isoladocom gua onde a energia potencial dos pesos ao cair convertida em trabalho realizado sobre a gua por meio de umconjunto de ps fixas.

Com esta experincia, Joule observou que a quantidade de calornecessria para elevar de 1 F uma libra de gua, equivale aotrabalho mecnico capaz de erguer 772 libras altura de 1 p.

Nas unidades do SI Joule constatou que eram necessrios 4,186J para elevar de 1 C a temperatura de 1 g de gua.

1 cal = 4,186 JFsica II 71

Um gs tambm pode realizar trabalho a partir das foras geradas pela presso queele aplica sobre as paredes de um recipiente que o contm.

Trata-se do que denominamos de TRABALHO TERMODINMICO que estdiretamente ligado s dilataes ou contraes sofridas pelo gs.

Vamos imaginar um recipiente dotado de um mbolo (tampa mvel) que aprisionaum gs perfeito temperatura ambiente.

Gs

mbolo

Fornecendo calor ao sistema, pode serobservado que h uma expanso, oumelhor, um aumento no volume ocupadopelo gs. O gs empurra o mbolo paracima.Neste caso, dizemos que o gs realizaum trabalho positivo.

partir da situao inicial, podemosretirar calor do gs, resfriando-o, ouutilizar um agente externo que exerauma fora sobre ele de forma a comprimi-lo.Com a reduo do volume, dizemos queo gs recebe um trabalho que leva o sinalnegativo.Fsica II 72

Trabalho realizado Positivo, aumento do volume

Trabalho recebido negativo, reduo do volume

Quando representamos os estados do sistema num diagrama PV (transformaoisotrmica) o trabalho realizado nesse processo dado pela rea abaixo da curvaque corresponde ao processo.

Quando um sistema recebe ou libera uma certa quantidade de calor Q, ele podeestar recebendo ou realizando trabalho. Em ambas situaes, a energia interna dosistema fica sujeita a variaes.

Estas variaes podem ser estimadas com base no princpio de conservao deenergia.

Fsica II 73

Assim, se um gs, recebe calor do meio externo, ele pode armazen-lo aumentandosua prpria energia interna (U) e/ou utiliz-lo na realizao de trabalho (W).

Sendo assim, uma vez que a energia no pode ser criada nem destruda, somentetransformada ou transferida (princpio de conservao da energia) podemosenunciar a 1 Lei da Termodinmica da seguinte forma:

A quantidade de calor trocada entre um sistema e o meio externo igual soma da variao da energia interna com o trabalho realizado ou recebido

WQUWUQ

=+=

Observaes:1) Nas elevaes de temperatura, h um aumento na energia interna de um

sistema, logo, U > 0 e, nas redues de temperatura, como a energia internatambm diminui, tem-se U < 0.

2) A primeira lei da termodinmica valida para todos os processos que impliquemem trocas de energia.

em quantidades infinitesimais dWdQdUdWdUdQ

=

+=

Fsica II 74

A 1 Lei da Termodinmica e as Transformaes Particulares

A primeira lei da termodinmica vlida para todos os processos que impliquem emtrocas de energia.

Vamos tomar um caso particular que so os sistemas gasosos.

Um sistema gasoso troca trabalho termodinmico com o meio externo quando ocorrevariao em seu volume.

Um sistema gasoso sofre variao de energia interna quando ocorre variao emsua temperatura.

Temos que em um processo de transformao isomtrica ou isovolumtrica:

Fsica II 75

Temos que em um processo de transformao isotrmica:

Temos que em um processo de transformao isobrica:

Fsica II 76

Temos que em um processo de transformao adiabtica no h troca de calorentre o sistema e o meio externo. Neste processo, se h a realizao de trabalho, fois custas da prpria energia interna do sistema, ou seja:

SISTEMA

U Realiza Trabalho

WUWUWUQ

=+=+=

0

Como a variao da energia interna negativa, h uma queda na temperatura dosistema.

W

Fsica II 77

SISTEMA

UW

WUWU

WUQ

=+=

+=)(0

Temos que em um processo de transformao adiabtica no h troca de calorentre o sistema e o meio externo. Neste processo, se a realizao de trabalho, foi scustas da prpria energia interna do sistema, ou seja:

O trabalho recebido provoca uma variao positiva da energia interna, acarretandoum aumento na temperatura do gs.

Realiza Trabalho

Fsica II 78

Processos de Transferncia de Energia em Processos Trmicos

O processo de transferncia de energia pelo calor tambm pode ser chamado deconduo ou conduo trmica. Nesse processo, o mecanismo de transfernciapode ser visto em uma escala atmica com uma troca de energia cintica entremolculas, na qual as molculas menos energticas ganham energia colidindo commolculas mais energticas.

Por exemplo, se voc segurar uma extremidade de uma longa barra de metal einserir a outra extremidade em uma chama, a temperatura do metal na sua mo logose eleva. Pode-se entender como isso ocorre examinando-se o que estacontecendo com os tomos no metal.

Conduo

Inicialmente, antes de inserir a barra na chama, os tomos esto virando em torno desuas posies de equilbrio. medida que a chama fornece energia para a barra, ostomos prximo chama comeam a vibrar com amplitudes cada vez maiores, e,por sua vez, colidem com seus vizinhos e transferem um pouco de sua energia nascolises. Lentamente, os tomos do metal cada vez mais distantes da chamaaumentam a prpria amplitude de vibrao.Fsica II 79

Embora a transferncia de energia atravs do material possa ser parcialmenteexplicada pelas vibraes atmicas, a taxa de conduo tambm depende daspropriedades da substncia. Por exemplo, possvel segurar um pedao de amiantoem uma chama indefinidamente. Isso implica que muito pouca energia est sendoconduzida por meio do amianto.

Geralmente os metais so bons condutores trmicos porque eles contm um grandenmero de eltrons que so relativamente livres para se mover atravs do metal epodem transportar energia de uma regio para outra. Logo, um bom condutortrmico, como o cobre, a conduo corre pela vibrao dos tomos e pelomovimento dos eltrons livres.

Materiais como amianto, rolha, papel e fibra de vidro so maus condutores. Os gasestambm so maus condutores trmicos por causa da grande distncia entre asmolculas.

A conduo ocorre apenas se as temperaturas forem diferentes nas duas partes domeio condutor. A diferena de temperatura impulsiona o fluxo de energia.

Fsica II 80

Considere um bloco cujo material tem espessura x e um corte transversal de rea Acom suas faces opostas a temperaturas diferentes T1 e T2, com T2 > T1. O blocopermite que a energia seja transferida da regio de alta temperatura para a de baixatemperatura por meio da conduo trmica.A conduo ocorre apenas se as temperaturas forem diferentes nas duas partes domeio condutor. A diferena de temperatura impulsiona o fluxo de energia.

Fsica II 81

O bloco permite que a energia seja transferida da regio de alta temperatura para ade baixa temperatura por meio da conduo trmica. A taxa de transferncia deenergia pelo calor proporcional rea do corte transversal do bloco e diferenade temperatura e inversamente proporcional espessura do bloco:

Observe que P tem unidades de watts quando Q est em joules e t em segundos.Isso no surpreendente, porque P potncia a taxa de transferncia de energiapelo calor. Para um bloco de espessura infinitesimal dx e diferena de temperaturadT, podemos escrever a lei de conduo como

xTA

tQP

=

dxdTkAP =

Fsica II 82

onde a constante de proporcionalidade k chamada de condutividade trmica domaterial e dT/dx o gradiente de temperatura (a variao de temperatura deacordo com a posio).

Suponha que uma substncia esteja na forma de uma barra longa e uniforme decomprimento L, como na figura, e seja isolada de modo que a energia no possaescapar pelo calor a partir de sua superfcie exceto nas extremidades, que estocom contato trmico com reservatrios que tm temperaturas T1 e T2. Quando oestado estacionrio alcanado, a temperatura em cada ponto ao longo da barra constante no tempo. Neste caso, o gradiente de temperatura o mesmo emqualquer ponto da barra e dado por:

LTT

dxdT 12

=

Fsica II 83

Logo, a taxa de transferncia de energia pelo calor:

LTTkAP 12 =

As substncias que so boas condutoras trmicas tm valores grandes decondutividade trmica, enquanto os bons isolantes trmicos tm valores baixos decondutividade trmica.

Fsica II 84

Em algum momento voc pode ter aquecido suas mos colocando-as sobre umachama. Em tal situao, o ar diretamente acima da chama aquecido e se expande o que resulta em uma diminuio da densidade do ar, e ele sobe. A massaaquecida de ar transfere energia pelo calor para suas mos medida que flui atravsdelas. A transferncia de energia da chama para suas mos realizada por meio datransferncia de matria a energia se propaga com o ar.

A energia transferida pelo movimento de um fluido um processo chamado deconveco. Quando o movimento resulta de diferenas de densidade, como noexemplo do ar em torno de uma fogueira, o processo chamado de conveconatural. Quando o fluido forado a se mover por um fole ou uma bomba, como emalguns sistemas de aquecimento de ar e de gua, o processo chamado deconveco forada.

Conveco

Se no fosse pelas correntes de conveco, seria muito difcil ferver a gua. medida que a gua aquecida em uma chaleira, as camadas inferiores soaquecidas primeiro. Essas regies se expandem e sobem porque sua densidade mais baixa que a da gua mais fria. Ao mesmo tempo, a gua mais fria e mais densavai para o fundo da chaleira e a pode se aquecida.

Fsica II 85

Outro mtodo de transferncia de energia que pode ser relacionado com a mudanade temperatura a radiao eletromagntica. Todos os corpos irradiam energiacontinuamente na forma de ondas eletromagnticas.

Radiao

A radiao eletromagntica vem da acelerao de cargas eltricas. Sabemos quetemperatura corresponde ao movimento aleatrio das molculas que estoconstantemente mudando de direo e, portanto, acelerando. Uma vez que asmolculas contm cargas eltricas, as cargas tambm aceleram. Logo, qualquercorpo emite radiao eletromagntica devido ao movimento trmico de suasmolculas. Essa radiao chamada de radiao trmica.

A taxa de emisso de energia de um corpo por meio da radiao trmica a partir desua superfcie proporcional quarta potncia de sua temperatura superficialabsoluta. Esse princpio, conhecido como a lei de Stefan, expresso na forma deequao como

4AeTP =

Fsica II 86

onde P a potncia irradiada pelo corpo em watts, a constante de Stefan-Boltzmann, igual a 5,669 x 10-8 W/m.K4, A rea da superfcie do corpo em metrosquadrados, e uma constante chamada de emissividade e T a temperatura dasuperfcie do corpo em kelvins. O valor de e pode variar entre zero e um,dependendo das propriedades da superfcie. A emissividade igual frao daradiao incidente que absorvida pela superfcie.

Ao mesmo tempo em que irradia, o corpo tambm absorve radiao eletromagnticado ambiente. Se o segundo processo no ocorresse, um corpo irradiariaconstantemente sua energia e sua temperatura diminuiria espontaneamente at ozero absoluto. Se um corpo estiver na temperatura T e suas vizinhanas estiveremna temperatura T0, a taxa resultante de variao da energia para o corpo emconsequncia da radiao

( )404 TTAeP =

Fsica II 87

Quando um corpo est em equilbrio com suas vizinhanas, irradia e absorve energia mesma taxa, de maneira que sua temperatura permanece constante. Quando umcorpo est mais quente que sua vizinhana, irradia mais energia do que absorve e seresfria.

Fsica II 88

Transformaes Cclicas ou Fechadas

Sempre que um sistema, aps diversas evolues, retorna s mesmas condiesiniciais de temperatura, presso e volume, ou ainda que seu estado inicial e final soiguais, dizemos que houve uma transformao cclica ou fechada.

No difcil perceber que, ao desenvolver uma transformao cclica, o sistemageralmente realiza e recebe trabalho, sendo o trabalho total igual a soma algbricadesses trabalhos parciais.O trabalho total tem seu mdulo determinado pela rea interna curva fechada.

Nas transformaes cclicas a variao da energia interna nula, uma vez que ascondies iniciais coincidem com as finais, no havendo variao de temperatura.

Fsica II 89

2 Lei da Termodinmica

De acordo com a primeira lei da termodinmica, possvel a transformao decalor em trabalho e vice-versa. Entretanto, as condies para que talinterconverso realmente acontea so impostas pela segunda lei.

No enunciado proposto pelo fsico francs Nicolas Sadi Carnot, a segunda lei datermodinmica estabelece o princpio fundamental das mquinas trmicas e podeser enunciada da forma:Para converter calor em trabalho, o sistema deve operar continua e ciclicamenteentre duas fontes trmicas, uma fonte quente e uma fonte fria. Em cada ciclo, retirada uma quantidade de calor Q1 da fonte quente, que parcialmente convertidaem trabalho W, e rejeitada para a fonte fria a quantidade de calor Q2, que no foiconvertida.

Por definio, fonte trmica um sistema cuja temperatura no varia, apesar deestar trocando calor. Obviamente, a fonte quente apresenta uma temperatura T1maior que a temperatura T2 da fonte fria.

Fsica II 90

O rendimento de uma mquina trmica definido como a relao entre a energiatil obtida em cada ciclo o trabalho e a energia total fornecida pela fonte quente a quantidade de calor Q1. Teremos, ento:

1QW

=

Podemos obter outra expresso para o rendimento, considerando que o trabalho Wcorresponde diferena entre as quantidades de calor: W = Q1 Q2:

1

2

1

21 1QQ

QQQ

=

=

Alguns autores usam o termo eficincia para se referir ao rendimento de umamquina trmica.

Fsica II 91

Ciclo de Carnot

De acordo com a segunda lei da termodinmica, no possvel uma mquinatrmica ter um rendimento de 100% pois para isso ela teria que operar com umanica fonte, da qual retiraria calor e o converteria totalmente em trabalho.

Carnot estabeleceu que o mximo rendimento possvel para uma mquina trmicacorresponde ao de um ciclo terico, constitudo por duas transformaesisotrmicas (nas temperaturas das fontes quente e fria), alternadas com duastransformaes adiabticas.

Fsica II 92

Nesse diagrama, est esquematizado o ciclo, conhecido como ciclo de Carnot.A B : expanso isotrmica o sistema transforma o calor recebido da fontequente em trabalho.B C : expanso adiabtica o sistema, ao realizar trabalho, sofre umabaixamento de temperatura.C D : expanso isotrmica o trabalho realizado sobre o sistema convertidoem calor, que transmitido fonte fria.D A : expanso adiabtica - o trabalho realizado sobre o sistema produz umaumento de temperatura.As quantidades de calor Q1 e Q2 so trocadas nas etapas AB e CD. O trabalhoobtido por ciclo corresponde rea interna deste ciclo.

Fsica II 93

No ciclo de Carnot, as quantidades de calor trocadas com a fonte quente e fria sodiretamente proporcionais s respectivas temperaturas absolutas das fontestrmicas:

1

2

1

2

1

1

2

2

TT

QQ

TQ

TQ

==Substituindo na expresso do rendimento, obteremos a expresso para orendimento de Carnot ou rendimento mximo de uma mquina trmica:

1

21TT

mx =

Podemos concluir que a mquina que funciona realizando o Ciclo de Carnot,apresenta um rendimento que s depende das temperaturas absolutas das fontestrmicas. Seu rendimento no depende da substncia que realiza os ciclos(substncia trabalhante).

Considerando que o Ciclo de Carnot terico, tal mquina ideal. A importncia doCiclo de Carnot estabelecer o maior rendimento possvel entre duas dadastemperaturas. Portanto, constitui uma limitao para a construo de mquinastrmicas prticas.

Fsica II 94

Processos Reversveis e Irreversveis

Quando uma transformao pode ocorrer em ambos os sentidos, passando, na idae na volta pelos mesmos estados intermedirios, sem que acontea alteraes nasvizinhanas, dizemos que se trata de um processo ou uma transformaoreversvel.

Se para voltar situao inicial, o sistema exige modificaes na vizinhana, temosum processo ou uma transformao irreversvel.

Um caixote deslizando sobre uma superfcie comum ( isto , que no perfeitamente lisa) acaba parando mas no se v um caixote inicialmente emrepouso comear a se mover por si s.

Perfura-se um balo de gs cheio de hlio em um quarto fechado, o gs hlio seespalha por todo o quarto mas os tomos de hlio individuais nunca voltaro a sereunir na forma do balo.

Tais processos so ditos irreversveis.Fsica II 95

Entropia

Os processos naturais, por serem irreversveis, ocorrem sempre num sentidopreferencial. Por exemplo, se colocarmos uma gota de tinta na gua, essa tintaespalha-se espontaneamente e cora todo o lquido. altamente improvvel que asmolculas de tinta se juntem e restaurem a gota inicial.

Num outro exemplo, se ligarmos por um tubo dois recipientes, um contendooxignio e outro nitrognio, os dois gases espontaneamente se misturam. Emborano seja impossvel, muito improvvel que os gases se separem e voltem aocupar recipientes diferentes.

Assim, a tendncia natural sempre a de aumentar a desordem do sistema. A essaidia de aumento da desordem nos processos naturais, associamos o conceito deentropia.

Podemos entender a entropia como sendo uma propriedade dos sistemas queaumenta, quando aumentar a desordem nos processos naturais.

Assim, medida que o universo evolui, h um aumento da entropia.

Fsica II 96

Unidade III - ticaFsica II 97

tica, tica Geomtrica e tica Fsica

tica a parte da Fsica que estuda a propagao da luz nos diferentes meios e osfenmenos que dela decorrem.

tica Geomtrica: estuda os fenmenos ticos em que apresenta interesse atrajetria seguida pela luz. Fundamenta-se na noo de raio de luz e nas leis queregulamentam seu comportamento.

tica Fsica: Estuda os fenmenos ticos que exigem uma teoria sobre a naturezaconstitutiva da luz.

Fontes de Luz e sua Classificao

Corpos que emitem luz prpria so considerados fontes de luz primria fontesluminosas. Corpos que no emitem luz, mas tornam-se visveis por receberem erefletirem a luz exterior so considerados fontes de luz secundria fontesiluminadas.

Fsica II 98

Fontes incandescentes: so aquelas que emitem luz em razo de sua altatemperatura. Fontes Luminescentes: so aquelas que produzem luz temperatura ambiente,partindo de causas no trmicas.

Fontes Fluorescentes: so aquelas que emitem luz na presena de um elementoexcitador. Fontes Fosforescentes: so aquelas que emitem luz por algum tempo, mesmo naausncia de um elemento excitador.

Raio e Feixe Luminoso e sua Classificao

Raio Luminoso: uma linha orientada que representa a direo e o sentido depropagao da luz. Trata-se de um ente puramente geomtrico.

Feixe Luminoso: uma denominao atribuda a um conjunto de raios luminososque partem de uma determinada fonte puntiforme ou extensa. Eles podem serconvergentes, divergentes ou paralelos.Fsica II 99

Meios Transparentes, Translcidos e Opacos

Transparente permite a livre propagao da luz, possibilitando-nos uma viso ntida dos objetos atravs dele.

Translcidos dificultam a propagao da luz, permitindo uma visualizao dos objetos sem nitidez.

Opacos no permitem absolutamente a passagem da luz. No se pode ver os objetos atravs desses meios.Fsica II 100

Velocidade da Luz

A velocidade da luz no ar e no vcuo assume os seguintes valores:

Com bons resultados prticos pode-se admitir:

A luz se propaga no espao interestelar e tambm no vcuo, isto , para apropagao da luz no h necessidade de matria.

km/s299700km/s)3,00,299793(

=

=

ar

vcuo

vv

m/s103km/s300000 8=== arvcuo vv

A velocidade da luz no vcuo uma das constantes de maior importncia na Fsicae no pode ser ultrapassada por nenhum outro movimento existente na natureza.

Fsica II 101

Princpios da tica Geomtrica

Princpio da propagao retilnea: Nos meios comuns, a luz se propaga em linhareta.

Princpio da Independncia dos raios de luz: Quando dois raios de luminosos secruzam, cada um deles segue o seu trajeto como se os demais no existissem.

Princpio da reversibilidade: Quando a luz se desloca entre dois pontos, o caminhopercorrido sempre o mesmo, independente do sentido da propagao, isto ,quando se inverte o sentido de propagao da luz, sua trajetria a mesma.

Fsica II 102

Cmara Escura de Orifcio

A cmara de orifcio consiste de uma caixa totalmente fechada de paredes opacase com um pequeno orifcio feito numa das paredes, por onde pode penetrar a luz.Esta cmara tem o mesmo princpio de funcionamento da mquina fotogrfica.

o comprimento do objeto

i comprimento da imagem

p distncia do objeto cmara

p - profundidade da cmarapp

oi

=

Fsica II 103

Reflexo da Luz

Ao incidir luz sobre uma superfcie de separao entre dois meios,(gua e ar) partedos raios luminosos absorvida ou passa a se propagar pelo novo ambiente, eparte retorna ao meio de origem. Assim, d-se o nome de reflexo da luz aosretorno dos raios que retornaram ao meio de origem.

Quando a superfcie de separao perfeitamente polida, como nos espelhos, oretorno da luz ordenado. Dessa forma temos uma reflexo dita regular ouespecular.

Quando a superfcie de separao apresenta rugosidade, o retorno da luz desordenado. Dessa forma temos uma reflexo dita irregular ou difusa.

Fsica II 104

Fsica II 105

Fsica II 106

A Cor de um Corpo qualquer por Reflexo

A cor que um corpo apresenta determinada pela constituio da luz que elereflete difusamente.

Se um corpo iluminado pela luz solar apresenta-se amarelo a um observador porque ele reflete difusamente a componente amarela da luz solar e absorve asdemais componentes.

Quando h a absoro da luz, tem-se a transformao de energia luminosa emoutra forma de energia, como, por exemplo, a trmica.

Um corpo iluminado pela luz solar apresenta-se branco quando reflete difusamentetodas as componentes da luz solar. J um corpo negro absorve todas ascomponentes da luz e no reflete nenhuma.

Refletir difusamente uma s componente da luz solar, ou refletir todas ou aindaabsorver todas constitui situaes ideais, isto , estamos admitindo os corpos comcores puras (vermelho, alaranjado, amarelo, verde, azul, anil e violeta). Narealidade, os corpos refletem e absorvem porcentagens variadas dos diversoscomponentes da luz incidente. Da as diversas tonalidades nas cores dos objetos.Fsica II 107

Fsica II 108

Fsica II 109

Leis da Reflexo

Conforme vimos, a luz, ao atingir uma superfcie, pode voltar ao prprio meio deonde provm. Porm, isso no ocorre de modo aleatrio e sim de acordo comdeterminadas leis. Vamos considerar a reflexo da luz em uma superfcie S, qualpode ser plana ou curva.

Chama-se plano de incidncia daluz ao plano que contm o raioincidente, o raio refletido e a retanormal. Plano de reflexo asuperfcie onde ocorre a reflexo.

1 Lei: O raio incidente, o raio refletido e a linha normal superfcie so coplanares.

2 Lei: O ngulo de incidncia igual ao ngulo refletido. (i = r)

Fsica II 110

Fsica II 111

Espelhos Planos

Espelho toda superfcie polida com grande poder de reflexo (quase 100%)capaz de refletir regularmente a luz.

Em geral, a superfcie refletora se obtm atravs do depsito de uma fina camadade material prateado numa das faces de um vidro transparente.

Simplificadamente iremos representar o espelho da forma:

Face da luz incidente erefletida

Face no espelhada(lado de trs do espelho)

Formao de Imagens nos Espelhos Planos

Um ponto objeto luminoso o diante de um espelho plano, envia luz a todas asdirees.

Fsica II 112

Para se determinar a posio de sua imagem, no entanto, basta localizar ocruzamento de dois raios luminosos refletidos no espelho.

A sensao de um observador colocado em frente ao espelho de que os raiosque chegam aos seus olhos, provenientes do objeto o, se cruzam atrs do espelho,ou seja, em i.

Podemos notar que os olhos do observador so atingidos pelos raios de luzrefletidos no espelho, o que determina uma imagem. Mas estes raios no se cruzamna frente do espelho, e a imagem s obtida pelo encontro dos raios atravs do seuprolongamento atrs do mesmo, formando um ponto virtual.Fsica II 113

Propriedades das Imagens nos Espelhos Planos

Se chamamos de p a distncia do objeto ao espelho e p distncia da respectivaimagem, verificamos que so iguais em mdulo. Isso significa que o objeto e imagemso simtricos em relao ao espelho ou seja, p = p.

Assim, para construir a imagem de um objeto, basta achar por simetria, em relaoao plano do espelho, a imagem de alguns pontos do objeto.

Nos espelhos planos as imagens apresentam uma diferena em relao ao objeto.H reverso da direita para a esquerda, mas no ocorre inverso de baixo paracima. Assim, a imagem especular da mo esquerda a mo direita, mas a imagemdos ps no est na cabea.

Fsica II 114

Propriedades das Imagens nos Espelhos Planos

Pelas figuras abaixo, percebe-se que um objeto localizado na frente do espelho(real) fornece uma imagem que d a impresso de estar situada atrs desse espelho(virtual). Logo, o objeto e a imagem so de naturezas opostas.

Das figuras acima, podemos notar que o objeto e a imagem possuem o mesmotamanho e, em caso de movimento relativo ao espelho, possuiro iguais velocidades.

Portanto, a imagem de um objeto real, conjugada por um espelho plano, sempredireita em relao ao objeto, virtual e de mesmo tamanho.Fsica II 115

Campo Visual de um Espelho Plano

Campo visual de um espelho plano a denominao atribuda regio do espaoque pode ser vista por um observador atravs da reflexo da luz neste espelho.

Para definir o campo visual, traamos duas linhas retas que partem da imagemobservada (i) e passam pelos bordos do espelho. A regio delimitada pelas retas frente do espelho corresponde ao campo visual.

Pode-se observar nas figuras abaixo que o campo visual depende das dimensesdo espelho e da posio do observador.

Fsica II 116

Fsica II 117

Translao dos Espelhos Planos

No esquema seguinte, tem-se um objeto AB situado diante de um espelho plano.Neste caso, o espelho conjuga a AB a imagem AB. O espelho ento trasladado,afastando-se de AB paralelamente a si mesmo. Agora, em sua nova posio, oespelho conjuga a AB a nova imagem AB.

x = 2d2 2d1 = d2 d1 (2)x = 2(d2 d1) (1) substituindo (2) em (1) temos que x = 2

Fsica II 118

Associao de dois Espelhos Planos

Um espelho plano d apenas uma imagem de cada objeto. Colocando-se porm, oobjeto entre espelhos que formam um ngulo entre si, notam-se mais de duasimagens em geral.

O nmero de imagens resultado de reflexes sucessivas nos dois espelhos, eaumenta medida que diminui o ngulo entre os mesmos.

Mais genericamente, imagine dois espelhos E1 e E2 formando entre si um ngulo .Dada uma fonte puntual P de luz, as sucessivas imagens atuam como objeto, oraem relao a E1, ora em relao a E2. Este processo termina quando a imagem finalse forma na regio oposta a , denominada de ngulo morto onde as imagens nopodem mais funcionar como objeto.Fsica II 119

Determina-se o nmero de imagens utilizando-se a expresso

1360 =

n

n o nmero de imagens.

o valor do ngulo entre os espelhos.

Fsica II 120

1360 =

n

Algumas observaes:

Quando n for mpar, esta equao vlida para qualquer posio do objeto nafrente dos espelhos.

Quando n for par, esta equao vlida se o objeto estiver contido no planobissetor de .

Se tende a zero graus (espelhos paralelos), o nmero de imagens deveria serinfinito o que no ocorre na prtica, pois cada nova imagem formada, o espelhoabsorve um pouco de luz.

Fsica II 121

Espelhos Esfricos

Chama-se espelho esfrico qualquer calota esfrica polida e com alto poderrefletor.

Se a superfcie refletora da calota est voltada para dentro da esfera, o espelhoesfrico correspondente denominado de espelho cncavo. Caso a superfcierefletora da calota est voltada para fora da esfera, o espelho correspondente denominado de espelho convexo.

Espelho esfrico convexo

Fsica II 122

Na figura abaixo, apresentamos os elementos principais dos espelhos esfricostanto cncavo quanto convexo.

Elementos dos Espelhos Esfricos

C o centro de curvatura ou centro tico doespelho. o centro da esfera que originou acalota esfrica.

O plo V da calota o vrtice do espelho.

A reta que passa por C e por V o eixo principal do espelho.

Todas as demais retas que contm o centro C so chamadas de eixos secundrios.

O ngulo que possui o vrtice no centro C e os lados passando por pontosdiametralmente opostos da calota chamado de ngulo de abertura do espelho.

O raio R da esfera que originou a calota chamado de raio de curvatura.

Qualquer plano perpendicular ao eixo principal denominado de plano frontal.

F o foco principal que um ponto localizado no eixo principal e o ponto mdioentre o centro de curvatura e o vrtice.

F

Fsica II 123

Foi verificado terico e experimentalmente que os espelhos esfricos fornecemimagens destorcidas.

Gauss experimentalmente observou que quanto menor o ngulo de abertura deum espelho esfrico mais ntida a imagem fornecida pelo espelho.

Foi ento constatado que para inferior a 10 podemos obter imagens ntidas.

Nestas condies, os raios que definem as imagens devem incidir sobre osespelhos prximos ao vrtice V e devem ser paralelos ou pouco inclinados emrelao ao eixo principal.

Os espelhos esfricos deste caso, so chamados de espelhos esfricos de Gauss.E nos limitaremos em nosso estudo aos espelhos esfricos de Gauss cujarepresentao ser:

Fsica II 124

Foco de um Espelho Esfrico de Gauss

Quando um feixe de raios paralelos ao eixo principal incide em um espelho esfrico cncavo de Gauss, o feixe refletido converge para um ponto no eixo principal onde temos o foco (F). No caso do espelho esfrico convexo de Gauss, o feixe refletido diverge como se partisse de um ponto do eixo principal.

Nos espelhos de Gauss, o foco principal tem natureza real para os espelhoscncavos e natureza virtual para os espelhos convexos.

A distncia entre o foco principal F e o vrtice V chamada de distncia focal sendorepresentada por f .

A distncia entre o foco principal F e o vrtice V igual a R/2.Fsica II 125

Todo raio de luz que incide em um espelho esfrico paralelamente ao eixo principalreflete-se em uma direo que passa pelo foco principal.

Raios Notveis

Todo raio de luz que incide em um espelho esfrico em uma direo que passapelo foco principal F, reflete-se paralelamente ao eixo principal.

Todo raio de luz que incide em um espelho esfrico em uma direo que passapelo centro de curvatura, reflete-se sobre si mesmo. Isso acontece porque aincidncia normal.

Fsica II 126

Todo raio de luz que incide no vrtice de um espelho esfrico reflete-sesimetricamente em relao ao eixo principal. Neste caso, o eixo principal representaa normal no ponto de incidncia.

Raios Notveis

Fsica II 127

Vamos considerar um objeto real O disposto em frente de um espelho esfricocncavo. Dependendo da posio do objeto, o espelho conjuga imagens comdiferentes caractersticas. Para a obteno da imagem i, os raios incidentes devemser emitidos pela extremidade superior do objeto.

Construo Grfica de Imagens nos Espelhos Esfricos

Utilizaremos no mnimo dois raios notveis para que possamos obter a formaoda imagem e suas caractersticas.

Utilizando o cruzamento dos raios refletidos nos fornece a extremidade da imagemformada.

Analisaremos, ento, os vrios casos possveis que so:

a) Objeto O situado antes do centro de curvatura (C).

b) Objeto O situado sobre o centro de curvatura (C).

c) Objeto O situado entre o centro de curvatura (C) e o foco principal (F).

d) Objeto O situado sobre o foco principal (F).

e) Objeto O situado entre o foco principal (F) e o vrtice (V).Fsica II 128

1 Caso - Objeto (O) situado antes do centro de curvatura (C).

A imagem i frontal ao espelho e situa-se entre o centro de curvatura (C) e o focoprincipal (F). Temos como caractersticas desta imagem:

REAL, INVERTIDA E MENOR QUE O OBJETO

Fsica II 129

2 Caso - Objeto (O) sobre o centro de curvatura (C).

A imagem i frontal ao espelho e situa-se sob o centro de curvatura (C). Temoscomo caractersticas desta imagem:

REAL, INVERTIDA E DE MESMO TAMANHO DO OBJETO

Fsica II 130

3 Caso - Objeto (O) entre o centro de curvatura (C) e o foco principal (F).

A imagem i frontal ao espelho e situa-se antes do centro de curvatura (C). Temoscomo caractersticas desta imagem:

REAL, INVERTIDA E MAIOR DO QUE O OBJETO

Fsica II 131

4 Caso - Objeto (O) sobre o foco principal (F).

Os raios refletidos so paralelos. Dizemos, neste caso, que a imagem se forma noinfinito. Temos como caractersticas desta imagem:

IMPRPRIA

Fsica II 132

5 Caso - Objeto (O) entre o foco principal (F) e o vrtice (V).

A imagem i no frontal ao espelho situa-se atrs do espelho sobre eixo principal.Temos como caractersticas desta imagem:

VIRTUAL, DIREITA E MAIOR DO QUE O OBJETO

Fsica II 133

Imagem em um Espelho Convexo

Um espelho esfrico convexo conjuga sempre uma imagem virtual, direita e menorque um objeto real, qualquer que seja sua posio. A determinao das imagensnos espelhos esfricos convexos so feitas da mesma forma que nos espelhoscncavos.

VIRTUAL, DIREITA E MENOR QUE O OBJETO

Fsica II 134

Estudo Analtico dos Espelhos Esfricos

No estudo analtico dos espelhos esfricos, aprenderemos como determinar aimagem de um dado objeto, atravs de um processo analtico, admitindo-se queestamos trabalhando somente com espelhos esfricos de Gauss.

Equao de Conjugao de Gauss

ppf +=

111

em que f a distncia focal do espelho, p a distncia do objeto ao espelho(posio do objeto) e p a distncia da imagem ao espelho (posio da imagem).

Isolando p na relao anterior temos:

fppfp

=

Fsica II 135

fppfp

=

Nesta expresso, por conveno, as posies do foco, da imagem e do objeto terosinal positivo se forem reais (localizados na frente do espelho), e tero sinalnegativo se forem virtuais (atrs do espelho).

Fsica II 136

Aumento Linear Transversal

A relao entre o tamanho da imagem, AB, e o tamanho do objeto, AB, denominada aumento ou ampliao fornecido pelo espelho.

pp

oiA

ABBAaumento '''

objeto do tamanhoimagem da tamanho

====

Fsica II 137

InterfernciaFsica II 138

Interferncia

Uma feia mancha negra de leo sobre o asfalto pode tornar-se uma bela imagemcomo as cores do arco-ris, quando chove. Reflexos multicoloridos tambm podemser observados sobre a face de um CD ou na superfcie de uma bolha de sabo.

No estudo de tica, foi estudada a tica geomtrica, segundo o qual representou-sea luz por meio de raios linhas retas que mudam de direo quando sofremreflexo ou refrao em uma superfcie. Contudo, existem muitos aspectos da luzque no podem ser explicados mediante o uso de raios.

A luz fundamentalmente uma onda, e em diversas situaes preciso considerarapenas suas propriedades ondulatrias. Os efeitos ticos que dependem danatureza ondulatria da luz so analisados pela tica fsica.

Fsica II 139

Suponha que enviamos duas ondas senoidais de mesmo comprimento de onda emesma amplitude no mesmo sentido ao longo de uma corda esticada. Sabendoque o princpio de superposio se aplica, que onda resultante esse princpio prevpara a corda?

A onda resultante depende da extenso em que as ondas estejam em fase (emcadncia) uma em relao outra, ou seja, o quanto uma forma de onda estdeslocada em relao outra.

Interferncia de Ondas

Se as ondas estiverem exatamente em fase (de modo que os picos e os vales deuma estejam exatamente alinhas com os da outra), elas se combinam para dobraro deslocamento produzido por apenas uma delas.

Fsica II 140

Se elas estiverem exatamente fora de fase (os picos de uma alinhados exatamentecom os vales da outra), elas se combinam para se cancelar em todos os pontos e acorda permanece retilnea.

Chamamos este fenmeno de combinao de ondas de interferncia, e dizemosque as ondas interferem. Esses termos se referem apenas aos deslocamentos dasondas; a propagao das ondas no alterada.

Fsica II 141

Seja uma das ondas se propagando ao longo de uma corda esticada dada por:

e uma outra, defasada da primeira, por:

( ) ( )tkxsenytxy m =,1

( ) ( ) += tkxsenytxy m,2Essas ondas tm a mesma frequncia angular (e, portanto, a mesma frequnciaf), o mesmo nmero de onda k (e, portanto, o mesmo comprimento de onda ) e amesma amplitude ym. Ambas se deslocam no sentido positivo do eixo x, com amesma velocidade. Elas diferem apenas por um ngulo constante , a constante defase. Dizemos que estas ondas esto fora de fase por , que tm uma diferena defase , ou que esto defasadas uma da outra por .

Fsica II 142

Os efeitos de interferncia podem ser estudados com mais facilidade quandocombinamos ondas senoidais com uma nica frequncia f e comprimento de onda. A figura abaixo mostra um instantneo de uma nica fonte S1 de ondassenoidais e algumas frentes de onda produzidas por essa fonte. A figura mostraapenas as frentes de onda que correspondem s cristas das ondas, de modo quea distncia entre duas ondas igual a um comprimento de onda. O material quecircunda a fonte S1 uniforme; assim, a velocidade da onda a mesma em todasas direes e, portanto, no existe nenhuma refrao (ou seja, as frentes de ondasno sofrem nenhum desvio.) Quando as ondas se propagam em duas dimenses,com ondas na superfcie de um lquido, as circunferncias da figura representamfrentes de onda circulares; quando as ondas se propagam em trs dimenses, ascircunferncias representam frentes de onda esfricas que se espalham a partir dafonte S1.

Fsica II 143

Fsica II 144

Na tica, uma onda senoidal caracteriza uma luz monocromtica (luz de uma nicacor). Embora seja fcil produzir ondas de gua ou ondas sonoras com uma nicafrequncia, as fontes de luz comuns no emitem luz monocromtica (com uma nicafrequncia). Contudo, existem diversas maneiras de gerar um feixe de luzaproximadamente monocromtico. Por exemplo, alguns filtros bloqueiam quasetodos os comprimentos de onda, deixando passar apenas uma faixa muito estreitade comprimentos de onda. A melhor fonte de luz monocromtica disponvelatualmente o laser. O laser comum, de nenio-hlio, emite uma luz vermelha com632,8 nm e com uma variao de comprimento de onda da ordem deaproximadamente 0,000001 nm.

A figura a seguir mostra duas fontes idnticas de ondas monocromticas S1 e S2.As duas fontes produzem ondas com a mesma amplitude e o mesmo comprimentode onda . Alm disso, as duas fontes esto permanentemente em fase. Quandotemos duas fontes monocromticas com a mesma frequncia, dizemos que elasso coerentes, quando h uma relao de fase constante entre elas.

Interferncia construtiva e destrutiva

Fsica II 145

Fsica II 146

Colocamos em pontos equidistantes da origem duas fontes de mesma amplitude emesmo comprimento de onda. Considere o ponto a sobre o eixo Ox; por simetria,vemos que a distncia de S1 at a igual distncia de S2 at a; portanto, as fonteslevam o mesmo tempo para se deslocar at a. Logo, as ondas provenientes dasduas fontes S1 e S2 esto em fase e atingem o ponto a em fase. As duas ondas sesomam e a amplitude total no ponto a o dobro da amplitude de cada ondaindividual.

Analogamente, notamos que a distncia de S2 at b exatamente doiscomprimentos de onda maior do que a distncia de S1 at b. Uma crista de ondaproveniente de S1 chega ao ponto b exatamente dois ciclos antes que uma cristade onda emitida no mesmo instante pela fonte S2, e novamente as duas ondaschegam em fase. Tal como ocorre no ponto a, a amplitude total a soma dasamplitudes das ondas provenientes de S1 e S2.

Em geral, quando ondas provenientes de duas ou mais ondas chegam a um pontoem fase, a amplitude resultante a soma das amplitudes das ondas individuais.Esse efeito constitui a interferncia construtiva.

Fsica II 147

Fsica II 148

Seja r1 a distncia entre qualquer ponto P e S1 e seja r2 a distncia entre qualquerponto P e S2. Para que ocorra interferncia construtiva no ponto P, a diferena decaminho r2 r1 para as duas fontes deve ser um mltiplo inteiro do comprimento deonda :

Algo diferente ocorre no ponto c da figura abaixo:

3...) 2, 1, 0,(m12 == mrr

Fsica II 149

Nesse ponto, a diferena de caminho dada por r2 r1 = -2,5, que equivale a umnmero semi-inteiro de comprimentos de onda. As ondas provenientes das duasfontes chegam ao ponto c com uma diferena de fase igual a meio ciclo. Umacrista de onda chega a um ponto ao mesmo tempo em que uma crista invertida(um vale) da outra onda. A amplitude resultante a diferena das amplitudes dasondas individuais. Se as amplitudes das onda individuais so iguais, ento aamplitude resultante igual a zero.

Esse cancelamento completo ou parcial das ondas individuais chamadointerferncia destrutiva. A condio para interferncia destrutiva nas circunstnciasdescritas :

3...) 2, 1, 0,(m21

12 =

+= mrr

Fsica II 150

Fsica II 151

A imagem de interferncia produzida por duas fontes coerentes de ondas na guacom o mesmo comprimento de onda pode ser facilmente observada em um tanquede ondas com uma camada de gua rasa.

Interferncia da luz produzida por duas fontes

Fsica II 152

Entretanto, essa imagem no facilmente visvel quando a interferncia ocorre comfontes luminosas, pois quando a luz se propaga em um meio uniforme, a figura nopode ser vista.

Uma das primeiras experincias quantitativas para revelar a interferncia da luzproveniente de duas fontes foi realizada pelo cientista Thomas Young. Odispositivo experimental de Young pode ser visto na perspectiva abaixo:

Fsica II 153

Para simplificar a anlise da experincia de Young, consideramos a distncia Rentre o plano das fendas e a tela muito maior do que a distncia d entre as fendas,de modo que as linhas que ligam S1 e S2 com o ponto P so aproximadamenteparalelas.

Fsica II 154

Portanto, a diferena de caminho dada por:

sendrr = 12Onde o ngulo entre uma das retas traadas a partir de uma das fendas e adireo da normal ao plano das fendas.

Fsica II 155

Vimos que a interferncia construtiva ocorre nos pontos em que a diferena decaminho d sen igual a um nmero inteiro de comprimentos de onda, m.Portanto, as regies brilhantes sobre a tela ocorrem para os ngulos em que

Interferncia construtiva e destrutiva produzida por duas fontes

3...) 2, 1, 0,(m == msendAnalogamente, a interferncia destrutiva, com a formao de regies escuras sobrea tela, ocorre nos pontos em que a diferena de caminho igual a um nmero semi-inteiro de comprimento de onda,

3...) 2, 1, 0,(m21 =

+= msend

Fsica II 156

A figura de interferncia que se forma natela uma sucesso de faixas claras eescuras, ou franjas de interferncia,distribudas paralelamente direo dasfendas S1 e S2. O centro da figura deinterferncia uma franja larga brilhanteque corresponde a m = 0.

Fsica II 157

Podemos deduzir uma expresso para localizar as posies dos centros das franjasbrilhantes sobre a tela. Na figura abaixo, y medido a partir do centro da figura deinterferncia, que corresponde distncia a partir do centro da figura da franjas deinterferncia (m = 0).

Fsica II 158

Seja ym a distncia a partir do centro da figura de interferncia (m = 0) at o centroda franja brilhante de ordem m. Seja m o valor correspondente de , ento:

mm tg tg RyRy

mm

==

Fsica II 159

Em experincias desse tipo, as distncias ym so geralmente muito menores do quea distncia R entre as fendas e a tela. Portanto, m muito pequeno, tg m aproximadamente igual a sen m e

m senRym =Como

dmsenmsend ==

Temos

dmRym

=

Como possvel medir R e d, assim como as posies ym das franjas brilhantes,essa experincia fornece uma medida direta do comprimento de onda .

Fsica II 160

DifraoFsica II 161

Difrao

Suponhamos que um feixe de luz incida sobre duasfendas, como na experincia de Young, da duplafenda. Se a luz se propagasse rigorosamente em linhareta, depois de passar pelas fendas, como na figura aolado, as ondas no se superporiam e no se veriaqualquer figura de interferncia. Ao contrrio, porm,conforme o princpio de Huygens, as ondas seespalham, a partir das fendas.

Fsica II 162

Pela figura ao lado, percebemos que a luz secomporta conforme o princpio de Huygens. Aluz se afasta da trajetria retilnea e penetranuma regio que, no fosse assim, estaria nasombra. Este afastamento da luz em relao reta da propagao inicial a difrao.

Fsica II 163

Fsica II 164

Em geral, ocorre difrao quando as ondas passam por pequenas aberturas, ouencontram obstculos ou arestas relativamente agudas. Como exemplo da difrao,consideremos o seguinte efeito. Um anteparo opaco colocado entre uma fonteluminosa puntiforme e uma tela, como mostra a figura.

Fsica II 165

A prxima figura mostra a figura de difrao de uma moeda e a sombra da moeda.No centro da figura h um ponto brilhante e nas bordas da sombra aparecem franjascirculares; outras franjas aparecem fora da regio de sombra.

A fronteira entre a regio iluminada na tela e a regio ensombrecida no ntida.Uma observao cuidadosa desta fronteira mostra que uma pequena frao da luzdesvia-se para a regio de sombra. A regio fora da sombra tem franjas alternadas,brilhantes e escuras. A intensidade da primeira franja brilhante maior que aintensidade da luz na regio de iluminao uniforme. Efeitos deste tipo forammencionados, pela primeira vez, por Francesco Grimaldi, no sc. XVII.

Fsica II 166

Fsica II 167

interessante relatar um incidente histrico que ocorreu pouco antes de o pontobrilhante central ser observado. Um dos defensores da tica geomtrica, SimeonPoisson, arguia que, se a teoria ondulatria da luz defendida por Augustin Fresnelfosse vlida, ento se observaria um ponto brilhante no centro da sombra. Comoeste ponto foi observado, pouco depois, a objeo de Poisson reforou a teoriaondulatria em vez de enfraquec-la. Esta foi, com toda certeza, a mais notvelprova da natureza ondulatria da luz.

Este tipo particular de observao foi observado pela primeira vez em 1818 porDominique Arago. O ponto brilhante no centro da sombra s pode ser explicado pelateoria ondulatria da luz, que prev interferncia construtiva neste ponto. Com aconcepo da tica geomtrica, o centro da figura estaria na sombra do objeto enunca se esperaria observar um ponto central brilhante.

Fsica II 168

Os fenmenos de difrao so usualmente classificados em dois tipos,denominados de acordo com os cientistas que primeiro os explicaram. O primeirotipo, a difrao de Fraunhofer, ocorre quando os raios que interferem soaproximadamente paralelos. Esta situao pode ser conseguida, praticamente,colocando a tela de observao longe da abertura ou ento usando uma lenteconvergente para focalizar os raios paralelos sobre a tela.

Observa-se uma franja brilhante, sobre o eixo = 0, com franjas escuras ebrilhantes, alternadas, em ambos os lados da franja central.

Fsica II 169

Fsica II 170

Quando a tela de observao estiver a