Eletromagnetismo I – Física e Física Computacional

5a LISTA DE PROBLEMAS Prof. Paulo Miranda “Provinha”: 17/05/10

1) Um elemento de corrente é definido como VdJ

r. (a) Mostre que ele pode ser expresso da seguinte

maneira, para distribuições de corrente volumétricas, superficiais, lineares e de cargas pontuais: ∑===

iiivqdlIdSKdJ rrrr

V . (b) Para uma configuração de cargas e correntes limitada a um volume

V, mostre que ∫ =V

VdtpddJrr

, onde pr é o momento de dipolo total da distribuição. Sugestão: integre

( )Jxr

⋅∇ . 2)

Figura 1

R h

d

3) Um resistor de filme de carbono é construído conforme ilustra a Figura 1 acima. A superfície

lateral de um cilindro isolante de raio R = 2,00 mm é recoberta com um filme de espessura uniforme h = 0,150 µm de carbono amorfo, cuja resistividade é ρ = 6,50⋅10-6 Ω⋅m. O cilindro é terminado com tampas metálicas de resistividade desprezível, que servem como terminais elétricos do resistor. (a) Calcule a distância d entre as tampas para que a resistência desse resistor seja 100 Ω. (b) Determine a maior diferença de potencial que pode ser aplicada entre os terminais do resistor sendo que a máxima potência que ele pode dissipar é 1,00 W. (c) Qual o módulo da densidade de corrente J no interior do filme de carbono para as condições do item (b)?

4) No semicondutor silício (Si), cuja resistividade elétrica é 4300 Ω⋅m, os portadores de carga são

elétrons (carga –e) e buracos (carga +e), presentes no material em igual densidade N = 1,0⋅1017 m-3. Um cilindro de Si com 10 cm de comprimento e raio igual a 1,0 cm tem dois contatos elétricos de resistência desprezível em suas tampas. Uma bateria mantém uma diferença de potencial de 100 V entre os contatos. (a) Calcule a corrente fluindo ao longo do cilindro. (b) Assumindo que a mobilidade de elétrons e buracos é a mesma no Si, qual a velocidade de arraste dos portadores de carga? (c) Se a velocidade térmica (média) dos portadores é vo ~ 105 m/s, estime o tempo médio entre colisões (τ) e o livre caminho médio dos portadores (l).

5) 6) (a) Use a equação da continuidade, a lei de Ohm e a lei de Gauss para mostrar que a densidade de

carga livre em um material com constante dielétrica ε e condutividade elétrica σe sempre diminui exponencialmente no tempo, com um tempo característico τ = ε/σe , denominado tempo de relaxação dielétrica. (b) Se no tempo t = 0 uma esfera dielétrica ligeiramente condutora tem uma densidade de carga livre uniforme ρo, determine ( )tr ,rρ e ( )trJ ,r

r. O que acontece com a carga livre

no limite t → ∞ ?

7)

(OBS: s = distância radial)

8) Um capacitor esférico (Figura (a) abaixo, raio interno a e raio externo b) é preenchido com um material de condutividade elétrica σ. Aplica-se uma tensão V = V(a) − V(b) entre as cascas condutoras. (a) Determine a densidade de corrente no material. (b) Determine a resistência elétrica do arranjo. (c) Mostre que se b >> a, a resistência independe de b (você entende por quê?). (d) Use o resultado do item (c) para calcular a corrente que flui entre duas esferas metálicas imersas no oceano e muito distantes entre si, quando a tensão entre elas é V (esse arranjo pode ser usado para medir a condutividade elétrica da água do mar – veja Figura (b) abaixo). (e) Calcule o campo magnético gerado pela corrente

Jr

Jr

na situação do item (a).

9) Em um magnetron (gerador de microondas utilizado em radares

e fornos), um capacitor cilíndrico (figura ao lado, raio interno a e raio externo b) acelera uma partícula de carga q e massa m, inicialmente em repouso, da casca interna à externa devido a uma diferença de potencial V (vamos considerar aqui q positiva, mas na prática o magnetron usa elétrons saindo de um filamento interno aquecido, no vácuo, com o sentido do campo elétrico invertido). Há um campo magnético B

r uniforme ao longo do

eixo do capacitor, de modo que a trajetória da carga curva-se conforme ilustrado na figura. Se B é pequeno, a carga eventualmente atinge a casca externa e uma corrente flui no dispositivo, mas para altos valores de B a carga q nunca atinge a casca externa e a corrente no dispositivo é nula. Neste problema vamos determinar esse valor crítico de B para que a corrente seja nula. (a) Usando coordenadas cilíndricas para o movimento da carga, escreva a equação de conservação da energia para a partícula saindo da casca interna e chegando à casca externa. (b) Aplique a condição de velocidade radial nula na casca externa (para o campo B crítico), e mostre

que ( ) 2

2mbqVb =ϕ& . (c) Escreva a equação de movimento para o momento angular da partícula.

Integre-a no tempo para mostrar que a grandeza ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

mqB2

2 ϕρ & é uma constante do movimento. (d)

B (saindo do plano)

Determine essa constante a partir das condições iniciais e mostre então que ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= 2

2

12 b

am

qBbϕ& .

(e) A partir dos resultados de (b) e (d) mostre que o campo crítico é igual a ( )2222 18

baqbmVB−

= .

10) Bobinas de Helmholtz: Duas espiras circulares coaxiais idênticas, de raio a e espessura desprezível,

transportam uma corrente I no mesmo sentido e estão colocadas uma acima da outra, com seus centros C e C’ separados por uma distância a. (a) Calcule o campo Bz(z) ao longo do eixo do conjunto de bobinas, tomando como origem o ponto médio O do segmento CC’.

(b) Calcule Bz(0). (c) Mostre que dBdz

d Bdz

z z( ) ( )0 02

2= = 0.

(d) Utilizando a identidade r r r r r r r∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇( ) ( )V V 2V ,

mostre que o campo magnético estático no vácuo obedece a equação de Laplace: ∇ =2 0

rB . (e) Utilize o resultado do

item (d) e a forma diferencial da Lei de Ampère para mostrar que ∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=Bx

Bx

By

By

z z z z( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02

2

2

2 .

Assim, o campo magnético nas vizinhanças de O é

praticamente uniforme, pois sua derivada e segunda derivada se anulam, em qualquer direção.

11) Um toróide é uma bobina em forma de câmara de ar

com N voltas enroladas em torno dela (esta forma geométrica é um toro). A figura ao lado ilustra um toróide típico. (a) Para um toróide ideal, o campo magnético só existe dentro do toro, como no caso de um solenóide infinito. Justifique essa afirmação. (b) Aplique a lei de Ampère ao trajeto circular da figura para calcular o módulo do campo magnético no interior do toróide. (c) Esboce um gráfico do módulo do campo magnético em função da coordenada radial, B(R). (d) Se N = 500 voltas, a = 75 mm, b = 90 mm e a corrente no toróide é I = 300 mA, calcule o módulo do campo magnético no centro da seção transversal do toróide.

c

12) Um fio retilíneo, com 2,0 m de comprimento, possui uma seção transversal circular de raio R = 2,0 mm, mas composta de dois materiais diferentes, alumínio e cobre, conforme ilustrado na figura ao lado. Suponha que uma diferença de potencial de 0,50 V seja aplicada entre as extremidades do fio. (a) Calcule a corrente total através do fio. (b) Determine o módulo do campo magnético na superfície lateral do fio, B(R). (c) Calcule o módulo do campo magnético na interface entre o cobre e o alumínio, B(R/2). Dados: ρAl = 2,75⋅10-8 Ω⋅m ; ρCu = 1,69⋅10-8 Ω⋅m ; µo = 4π⋅10-7 T⋅m/A.

Al Cu

R 2R

13) Um fio quadrado de lado 2a encontra-se no plano xy, com seus lados alinhados com os eixos e seu centro na origem. Uma corrente I flui ao longo do fio no sentido anti-horário, quando observada de

z > 0. (a) Calcule o potencial vetor no interior do quadrado. (b) A partir do resultado do item (a), é possível determinar o campo magnético B

r no interior do quadrado? Em caso afirmativo, calcule-o;

em caso negativo, obtenha a maior informação possível a respeito de Br

que seu resultado permite. 14) Dois fios infinitos, paralelos ao eixo z e separados por uma distância 2a, carregam cada um uma

corrente I, mas fluindo em sentidos opostos. (a) Tomando a origem no ponto médio entre os fios, determine o potencial vetor em todo o espaço. (b) A partir do resultado do item (a), calcule o campo magnético em todo o espaço.

15) Um disco uniformemente carregado de raio R e carga Q gira em torno de seu eixo com velocidade

angular ω. (a) Calcule o momento de dipolo magnético do disco. (b) Calcule o campo magnético no centro do disco.

Respostas:

2) b) c) d) com

e) , ρ = , v = f) 3) a) 2,90 cm b) 10,0 V c) 5,30⋅107 A/m2 4) a) 73 µA b) 7,3 m/s c) τ = 82 fs, l = 82 Å

6) b) ( ) τρρt

etr −= 0,r dentro da esfera ; ( ) rertrJ

t )rr τ

τρ −

=3

, 0

8) a) ( ) rrab

abVrJ )r2

0 1−

=σ b) d) e) nulo (resultado incorreto, pois a

corrente deve retornar de uma casca para outra!)

10) a) B z Ia a z a a z ao( ) ( ) ( )= + + + + −RSTUVW

− −µ 22 2

32 2 2

32

22 2 ; b) B I

ao( )0 4

5

32

= FHGIKJ

µ

11) b) B = µ0NI / (2πR) d) 3,64⋅10– 4 T 12) a) 132 A b) 13,2 mT c) 9,3 mT

13) a) ( )( )( )( )

( )( )( )( ) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+−−++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+−−++

=yayayayay

xaxaxaxaxIA

δβαγ

γδβα

πµ lnˆlnˆ4

0r

, onde

( ) ( )22 yaxa +++=α , ( ) ( )22 yaxa −++=β , ( ) ( )22 yaxa ++−=γ , ( ) ( )22 yaxa −+−=δ

b) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] 1111

1111

−−−−

−−−−

−+−−−−+++−+−++

+++−+−−+−+−−−+=

xaxayaxaxaya

yayaxayayaxaBz

δδββααγγ

γγδδββαα

14) a) ,

b) , ,

15) a) b) RQB πωµ 200 =