FísicaFascículo 03

Eliana S. de Souza Braga

Índice

Dinâmica - Trabalho, Energia e Potência

Resumo Teórico ..............................................................................................................................1

Exercícios............................................................................................................................................2

Gabarito.............................................................................................................................................4

Dinâmica - Trabalho, Energia e Potência

Resumo Teórico

Trabalho de uma força constante

cos 0º = 1 τ = F .d

cos 90º = 0 τ = 0

cos 180º = –1 τ = – F .d

Trabalho de uma força de direção constante e módulo variável

Teorema da Energia Cinética (T.E.C.)

τFres = ∆Ec = Ecfinal – Ecinicial

Ec =m.v

2

2

Trabalho da Força Peso

τP = P ⋅ (hi – hf)

Energia Potencial Gravitacional

Epg = P.h = m.g.h

Trabalho da Força Elástica

τFel i2

f=k2

(x x− 2 )

Energia Potencial Elástica

Ep =k.x

2el

2

1

τ = F . d . cosθ

F

d

θ

F

Fd

.

d

F d180º

A

F

d

τ=ÁreaN

Potência média

Pot =t

= F.v .cosm mτ

θ∆

Potência Instantânea

Poti = F.v.cosθ

Rendimento

η =Pot

Potútil

totalPottotal = Potútil + Potdissipada

Energia Mecânica

Emec = Ec + Ep

Trabalho realizado pelas forças dissipativas

τFdiss = Emecfinal – Emecinicial

Exercícios

01. (FUVEST-98-1.a FASE) Uma esteira rolante transporta 15 caixas de bebida por minuto, de um depósitono subsolo até o andar térreo. A esteira tem comprimento 12 m, inclinação de 30º com a horizontal emove-se com velocidade constante. As caixas a serem transportadas já são colocadas com a velocidadeda esteira. Se cada caixa pesa 200 N, o motor que aciona esse mecanismo deve fornecer a potênciade:

a. 20 Wb. 40 Wc. 300 Wd. 600 We. 1800 W

02. (VUNESP-99) Para tentar vencer um desnível de 0,5 m entre duas calçadas planas e horizontais,mostradas na figura, um garoto de 50 kg, brincando com um skate (de massa desprezível),impulsiona-se até adquirir uma energia cinética de 300 J. Desprezando-se quaisquer atritos econsiderando-se g = 10 m/s², pode-se concluir que, com essa energia:

a. Não conseguirá vencer sequer metade do desnível.b. Conseguirá vencer somente metade do desnível.c. Conseguirá ultrapassar metade do desnível, mas não conseguirá vencê-lo totalmente.d. Não só conseguirá vencer o desnível, como ainda lhe sobrarão pouco menos de 30 J de energia

cinética.e. Não só conseguirá vencer o desnível, como ainda lhe sobrarão mais de 30 J de energia cinética.

2

0,5 m

03. (Vunesp-2000) Um corpo cai em queda livre, a partir do repouso, sob a ação da gravidade.Se suavelocidade, depois de perder uma quantidade E de energia potencial gravitacional, é v, podemosconcluir que a massa do corpo é dada por:

a. 2.E.vb. 2.E/v2

c. 2.E.v2

d. 2.E.ve. 2.v2/E

04. (FUVEST-2000) Uma pessoa puxa um caixote, com uma força F, ao longo de uma rampa inclinada de30º com a horizontal, conforme a figura, sendo desprezível o atrito entre o caixote e a rampa. Ocaixote, de massa m, desloca-se com velocidade v constante, durante um certo intervalo de tempo ∆t.Considere as seguintes afirmações:

I. O trabalho realizado pela força F é igual a F.v.∆tII. O trabalho realizado pela força F é igual a m.g.v.∆t/2

III. A energia potencial gravitacional varia de m.g.v.∆t/2

Está correto o que se afirma em:

a. III b. I e II c. I e III d. II e III e. I, II e III

05. (FUVEST-99) Um corpo de massa m é lançado com velocidade inicial v0

→na parte horizontal de uma

rampa, como indicado na figura. Ao atingir o ponto A, ele abandona a rampa, com uma velocidade

vA

→(vAx ;vAy), segue uma trajetória que passa pelo ponto de máxima altura B e retorna à rampa no

ponto C. Despreze o atrito. Sejam hA , hB e hC as alturas dos pontos A, B e C, respectivamente. vB

→(vBx ,

vBy) a velocidade do corpo no ponto B e vC

→(vCx , vCy) a velocidade do corpo no ponto C. Considere as

afirmações:

I. v0 = vAx = vB = vCx

II. vAx = vB = vCx

III.12

m vB2 =

12

m.vA2 – m.g.(hB – hA )

IV.12

m v02 = m g hB

V.12

m vAy2 = m g ( hB – hA )

São corretas as afirmações:

a. todasb. somente I e IIc. somente II, III e IVd. somente II, III, IV e Ve. somente II, III e V

3

30º

F

v

06. (FUVEST99) Um veículo para competição de aceleração (drag racing) tem massa M = 1100 kg, motorde potência máxima P = 2,64.106 W (~ 3 500 cavalos) e possui um aerofólio que lhe imprime umaforça aerodinâmica vertical para baixo, Fa, desprezível em baixas velocidades. Tanto em altas quantoem baixas velocidades, a força vertical que o veículo aplica à pista horizontal está praticamenteconcentrada nas rodas motoras traseiras, de 0,40 m de raio. Os coeficientes de atrito estático edinâmico, entre os pneus e a pista, são iguais e valem µ = 0,50. Determine:

a. A máxima aceleração do veículo quando sua velocidade é de 120 m/s, (432 km/h), supondo que nãohaja escorregamento entre as rodas traseiras e a pista. Despreze a força horizontal de resistência do ar.

b. O mínimo valor da força vertical Fa, aplicada ao veículo pelo aerofólio, nas condições da questãoanterior. Adote g = 10 m/s2.

c. A potência desenvolvida pelo motor no momento da largada, quando: a velocidade angular das rodastraseiras é ω = 600 rad/s, a velocidade do veículo é desprezível e as rodas estão escorregando(derrapando) sobre a pista.

Gabarito

01. Alternativa c.

A esteira se move com velocidade constante e, portanto a aceleração é nula, o que faz a forçaresultante: ser nula (Primeira lei de Newton ou Princípio da Inércia). Isto nos permite calcular a forçamotora que a esteira faz.

F – P.sen30º = 0F = P.sen30ºF = 200 . 0,5 = 100 N

Agora se calcula o trabalho que a força F faz, lembrando queeste é dado por:

τ = F.d.cos0ºτ = 100.12 = 1200 J para cada caixa

Como são 15 caixas por minuto o trabalho total é: τt = 1200.15 = 18 000 J

Potência = trabalho/tempo e tempo = 1 min = 60 s

P =18000

60= 300W

Dica:

A esteira se move com velocidade constante e, portanto a aceleração é nula, o que faz a forçaresultante ser nula (Primeira lei de Newton ou Princípio da Inércia). Isto nos permite calcular a forçamotora que a esteira faz. Agora se calcula o trabalho que a força F faz, lembrando que este é dado

por τ = F.d.cos0º. Por último, deve-se lembrar que potência = trabalho sobre o tempo P =τ

∆t. (τ em

joules e ∆t em segundos).

02. Alternativa e.

Adotando-se como referencial, para Epg = 0, o plano mais baixo da trajetória, a energia necessáriapara o garoto conseguir vencer o desnível é dada por:

Eg = m.g.h → Eg = 50.10.0,5 → Eg = 250 J

4

Psen30º

NF

30º

P cos30º

Como o sistema é conservativo (não há atritos) e o garoto havia adquirido 300 J de energia cinética,ele consegue vencer o desnível e ainda lhe sobram Ec = 300 – 250 = 50 J de energia cinética que nãoforam transformadas em energia potencial gravitacional.

03. Alternativa b.

O sistema é conservativo e por isso a energia potencial gravitacional perdida pelo corpo, E, étotalmente transformada em energia cinética:

E=m.v

2

2

m =2E

v2

04. Alternativa e.

I. Correta. A potência da força F é: Pot = F.v.cos 0º =τ

∆t,

τ = F.v.cos0º é o trabalho realizado pela força F no intervalo detempo ∆t.

II. Correta. Como o movimento é uniforme a variação da energiacinética é nula e, portanto o trabalho resultante é nulo.(Teorema daEnergia Cinética)

τF + τP + τN = 0 τF + τP + 0 = 0 τF = –τP

τF = – (–m.g.∆h)

sen 30º =∆∆h

v. t∆

∆h=

v. t2

τF = m.g.v.∆t2

III. Correta. ∆Epot = m.g.∆h = m.g.v.∆t2

05. Alternativa e.

Lembrando que:

v2 = vx2 + vy

2

• No ponto B, vBy = 0 e vB = vBx• Como não há atrito: (EC + EP)0 = (EC + EP)A = (EC + EP)B = (EC + EP)C• Como no trecho ABC o corpo está sujeito à ação exclusiva do seu peso (vertical), não há aceleração

horizontal e portanto a componente horizontal da velocidade é constante : vAx = vB = vCx .

I. Errado: Como (EC + EP)0 = (EC + EP)A temos 0 + (1/2) m.v02 = m.g.hA + (1/2)m.vA

2

vA< v0 e vAx2 = vA

2 – vAy2 conclui-se que: vAx < vA < v0

II. Certo: No trecho ABC o corpo está sujeito apenas à ação de seu próprio peso, não havendoaceleração horizontal não há variação da velocidade horizontal.

III. Certo: (EC + EP)A = (EC + EP)B12

m.vA2 + m.g.hA =

12

m.vB2 + m.g.hB

12

m.vA2 + m.g.hA – m.g.hB =

12

m.vB2

12

m.vB2 =

12

m.vA2 + m.g.(hA – hB)

5

30º

F

v

P

N

∆h

30º

v.∆t

12

m.vB2 =

12

m.vA2 + m.g.{– (–hA + hB)}

12

m.vB2 =

12

m.vA2 – m.g.(hB – hA)

IV. Errado: (Ec + Ep)0 = (Ec + Ep)B12

m.v02 =

12

m.vB2 + m.g.hB

V. Certo: (Ec + Ep)A = (Ec + Ep)B12

mvA2 + mghA =

12

mvB2 + mghB

12

m(vA2 – vB

2) = mg(hB – hA) Como vB = vAx

12

m(vA2 – vAx

2 ) = mg(hB – hA) Como vA2 = vAx

2 + vAy2

12

mvAy2 = mg(hB – hA)

06.a. Supondo que a potência seja máxima, temos:

Potmáx = Fmáx . v

2,64.106 = Fmáx.120 Fmáx = 2,2.104 N

Desprezando a componente horizontal da força de resistência do ar, Fmáx = Fres

2,2.104 = m.a2,2.104 =1100.a

b. A força que acelera o veículo é a força de atrito estático entre o chão e a roda de tração:

Fmáx ≤ Fatdestaque

2,2.104 ≤ µ .(P + Fa)

2,2.104 ≤ 0,50 (1,1.104 + Fa)

2 2100 50

4, .,

≤ 1,1.104 +Fa

4,4.104 – 1,1.104 ≤ Fa Fa ≥ 3,3.104 N ∴

c. Com as rodas derrapando o atrito é dinâmico:

Fat = µ .N = µ .P = 0,50.1100.10 Fat = 5 500 N

v = ω .R v = 600. 0,40 v = 240 m/s

Pot = F. v Pot = 5500.240

6

a = 20 m/s2

o mínimo valor de Fa é 3,3.104N

P

Fa

N

Pot = 1,32.106 W