8/14/2019 Fsica - B2 12 Leis da Eletrosttica

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12 aula

Sumrio:

Resumo das leis da electrosttica. Distribuies contnuas de cargas elctricas. Campo

elctrico criado por uma esfera carregada. Campo elctrico criado por uma distribuio

uniforme linear de carga

Resumo das leis da electrosttica

Na ltima aula vimos a importante lei de Gauss que se exprime por

0

d

QAE

S=

. (12.1)

Na 9 aula vimos que a diferena de potencial o simtrico da circulao do campo

elctrico. Ora, a fora que se exerce sobre uma carga proporcional ao campo elctrico.

Como esta fora conservativa, o trabalho que realiza ao longo de um percurso fechado nulo. Logo tambm a circulao do campo elctrico num percurso fechado se anula o

que se exprime por

0dC

= lE

. (12.2)

Este integral ao longo de um circuito Cfechado [no confundir este integral de linha

ou de contorno com o integral de superfcie (12.1)]. A Eq. (12.2) apenas exprime que a

diferena de potencial entre um ponto e esse mesmo ponto nula.

As equaes (12.1) e (12.2) resumem as leis da electrosttica.

Distribuies contnuas de cargas elctricas

Quando o sistema em estudo formado por um conjunto de cargas pontuais,

como na Fig. 8.1, as linhas de fora do campo resultante podem ser difceis de traar

sem recurso a meios computacionais. Mesmo um dipolo elctrico j apresenta alguma

complexidade.

Muitas vezes as distribuies de cargas so to densas que se podem considerar

contnuas. Neste caso conveniente definir densidades de carga semelhana do que se

faz para a densidade de massa. Se tivermos uma carga total Q distribuda num volume V

define-se a densidade mdia de carga, , como a razo entre a carga e o volume que

esta ocupa:

V

Q= . (12.3)

Podemos tambm definir densidade de carga (ou, mais exactamente, densidade

volumtrica de carga) num ponto. Para tal consideramos um volume elementar Vd ,

arbitrariamente pequeno (Fig. 12.1), e dividimos a carga (elementar) a contida por esse

mesmo volume:

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V

Q

d

d= . (12.4

V

dV

Figura 12.1

Inversamente, se soubermos a densidade volumtrica de carga, podemos obter a carga

total somando (ou seja, integrando) sobre todo o volume:

=

V

VQ d . (12.5)

O integral que aparece nesta expresso de volume, sendo calculado atravs de trs

integrais de Riemann.

Alm de volumtricas, as distribuies de carga elctrica podem tambm ser

superficiais (sobre superfcies) ou lineares (sobre linhas). No primeiro caso define-se

uma densidade superficial de carga, que se designa habitualmente por , sendo a cargatotal contida numa superfcie de reaA dada por

=A

AQ d . (12.6)

O integral estende-se agora superfcie A de reaA (ver lado esquerdo da Fig. 12.2).

dA

A

l

dl

Figura 12.2

Se a distribuio for ao longo de uma linha, define-se uma densidade linear de carga

(carga elctrica por unidade de comprimento), e a carga elctrica contida numa linhade comprimento l

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3

=l

lQ d (12.7)

As distribuies contnuas de carga so comuns. Encontram-se, por exemplo,

nas superfcies de condutores carregados, em fluidos intracelulares de organismos, etc.

De facto, as cargas elctricas so electres ou ies (so corpsculos, portanto). Contudo,

muitas vezes, olhando para o sistema de um ponto de vista macroscpico, o carctercorpuscular das cargas no se revela e a distribuio das cargas pode ser vista como

contnua.

Campo elctrico criado por uma esfera uniformemente carregada

Consideremos uma esfera oca de espessura muito pequena. Se essa esfera estiver

carregada qual o campo elctrico no interior da esfera? A Fig. 12.3 mostra esta casca

esfrica e vrias superfcies de Gauss no seu interior. A forma destas superfcies

fechadas qualquer e nenhuma delas encerra carga elctrica dentro de si. Ento tem de

se concluir que o campo elctrico nulo pois apenas 0

=E pode garantir que

0d =S AE

(12.8)

para toda e qualquer superfcie S. Este resultado independente da maneira como a

carga se distribui na superfcie da esfera (seja esta distribuio uniforme ou

no-uniforme).

S1

S3

S2

+

+ +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++ +

+

0

=E

Figura 12.3

Consideremos que a carga superfcie est distribuda uniformemente. Qual o campo

no exterior? Um plano que contenha um ponto no exterior, P, e o centro da esfera, C,

divide a esfera carregada em duas semiesferas, como se mostra na Fig. 12.4

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4

+

+ +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++ +

+

P

2E

1E

E

C

Figura 12.4

A parte superior da esfera cria o campo 2E

para baixo; mas a parte inferior cria o

campo 1E

para cima. Por simetria, e tal como mostra a Fig. 12.4, as componentes na

direco perpendicular linha que une P ao centro da esfera anulam-se e s resta a

componente radial do campo. Claro que este raciocnio s vlido se a distribuio de

carga for uniforme!

r

E

Q r

Figura 12.5

O campo elctrico produzido pela distribuio uniforme de carga da carga Q numa

superfcie esfrica da forma r)()( rErE =

. Ento AEArE dd)( =

, com E uma

constante para todos os pontos da superfcie de Gauss esfrica de raio r (Fig. 12.5).

Como vimos na aula anterior, nestas condies o fluxo do campo elctrico radial atravs

da superfcie esfrica Er24 e, de 0

2/4 QEr = resulta o campo elctrico

r

4

12

0 r

QE

=

(ponto exterior) (12.9)

O campo criado por uma distribuio esfrica superficial e uniforme de carga a uma

distncia rdo centro igual ao que seria produzido se a carga estivesse concentrada no

centro.

Tambm nada muda no resultado (12.9) se a carga estiver distribuda

uniformemente em todo o volume da esfera. A forma radial para o campo a que

resulta de consideraes como as que acima tecemos baseadas na Fig. 12.4. Podemos

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mesmo ir mais longe e afirmar que o campo elctrico produzido por uma distribuio

esfericamente simtrica de carga (em superfcie ou em volume) produz um campo radial

(relativamente ao centro dessa distribuio esfrica).

Se for Q a carga contida numa esfera de raio R, o campo elctrico num ponto

exterior

r3

r4

12

0

3

2

0 rR

rQE

==

. (12.10)

Para se escrever a ltima igualdade levou-se em conta que a densidade de carga a

carga total a dividir pelo volume da esfera [ver (12.3)].

E qual o campo elctrico num ponto do interior da esfera? O caso da esfera oca

o campo zero mas agora j no vai ser nulo pois qualquer superfcie de Gauss interior

esfera encerra sempre alguma carga elctrica. Argumentos de simetria como os

expostos acima baseados na Fig. 12.4 podem ser invocados para se concluir que o

campo ainda radial no interior: r)()( rErE =

. A Fig. 12.6 mostra uma esfera de raio

R uniformemente carregada e duas superfcies de Gauss concntricas com essa esfera:

uma exterior e outra interior, cujos raios designamos genericamente por r.

E

E

r

r

R

Q Q'

Figura 12.6

Para Rr> (ponto fora da distribuio), o campo elctrico dado por (12.9) o

campo criado por uma carga pontual Q situada no centro. Para Rr< (ponto dentro da

distribuio), o campo elctrico ainda dado pela mesma expresso, mas agora a carga

Q substituda pela carga Q que est dentro da esfera de raio r. Esta carga

QR

rrQ

3

3

3

4'

== (12.11)

e o campo elctrico para Rr<

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rr

QE

'

4

12

0=

. (12.12)

Este campo ainda se pode escrever

rr

E 3 0

=

. (12.13)

Na Fig. 12.7 representa-se o valor do campo elctrico criado por uma esfera

uniformemente carregada,

( )

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