EXPERIÊNCIA IV

INTERFERÔMETRO DE MICHELSON

1. OBJETIVOS

Determinar o comprimento de onda do laser e o índice de refração do ar.

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Uma onda luminosa incidente numa superfície semi-espelhada é parcialmente refletida e parcialmente transmitida. Tanto a componente refletida quanto a transmitida têm obviamente amplitudes inferiores à da onda incidente. Pode-se assim dizer, em sentido figurado, que a amplitude é dividida. Se a coerência inicial entre ambas as componentes não tiver sido destruída, ou seja, a diferença de fase entre as componentes for mantida constante, e se for possível voltar a reunir ambas as ondas num detector, obtém-se como resultado um padrão de interferência. O interferômetro de Michelson é o mais conhecido, e historicamente o mais importante interferômetro de divisão de amplitude. Ele está representado esquematicamente na figura 1 .

M2 O Laser M1 Detector (anteparo) Figura 1 – Esquema do interferômetro de Michelson visto de cima.

Uma fonte monocromática (laser) dá origem a uma onda que se propaga da

esquerda para a direita. O divisor de feixe O, que é uma placa de vidro com um revestimento fino de prata em uma de suas faces divide esta onda em duas ondas que se propagam segundo direções perpendiculares. As ondas são refletidas pelos espelhos M1 e M2 e regressam novamente ao divisor O. Parte da onda refletida em M1 é refletida pelo divisor de feixe em direção ao anteparo e parte da onda refletida em M2 atravessa o divisor de feixe sobrepondo-se à anterior. Havendo sobreposição de duas ondas, estão criadas as condições de interferência.

Para compreender a formação de franjas no interferômetro de Michelson analise-mos a figura 2, em que as várias componentes físicas estão representadas por superfícies matemáticas. Um observador colocado na posição do anteparo vê simultaneamente os espelhos M1 e M2 alinhados com a fonte Σ e com o divisor de feixe. O interferômetro pode, pois, ser desenhado como se todos os elementos óticos se encontrassem em linha.

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M1’ é a imagem de M1 criada pelo divisor de feixe e Σ está colocado em linha com O e

M2.

A posição destes elementos no diagrama depende das distâncias relativas a O (isto é, M1

’ pode estar à frente, atrás ou mesmo coincidir com M2. As superfícies Σ1 e Σ2 são imagens da fonte Σ dadas pelos espelhos M1 e M2 respectivamente. Considere o percurso de um dos raios emergentes de um ponto S da fonte. O raio proveniente de S divide-se em O e, consequentemente, ambas as secções se refletem em M1 e M2. No diagrama da figura, as reflexões ocorrem em M2 e M1

’. Para um observador em D, os dois raios refletidos parecem vir dos pontos imagem S1 e S2. Como representado na figura, a diferença entre os caminhos óticos destes dois raios é aproximadamente igual a 2d cos θ, o que corresponde a uma diferença de fase 2kdcos θ. Existe, no entanto, um termo de fase adicional para a onda que se desloca ao longo do braço OM2, resultante da reflexão interna no divisor de feixe, enquanto a onda que se desloca ao longo do braço OM1 sofre reflexão externa em O. Na ausência de qualquer revestimento sobre o divisor

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de feixe, a diferença de fase relativa resultante das duas reflexões é de π radianos e a interferência destrutiva ocorre quando:

2d cos θm = m λ (1)

onde m é um inteiro.Se esta condição for satisfeita para o ponto S, também será para qualquer outro ponto da superfície Σ, sobre um círculo de raio O’S, com O’ sobre o eixo do detector. Como a abertura do feixe do laser é pequena, o observador só consegue observar as franjas circulares concêntricas com o auxílio de uma lente. O padrão de interferências observado no anteparo é tipicamente constituído por vários anéis alternadamente claros e escuros. Cada anel corresponde a uma ordem bem definida, m. À medida que M2 se desloca em direção a M1

’, a distância d diminui e, como se vê na equação (2.1) cos θm aumenta e θm diminui. Os anéis retraem-se e sempre que d diminui de λ/2, a franja de ordem mais elevada desaparece. O diâmetro de cada anel aumenta à medida que as ordens mais elevadas desaparecem até que apenas algumas franjas preenchem completamente o plano de observação. Quando d=0 a franja central espalha-se e preenche todo o alvo. Em virtude da diferença de fase de π no divisor de feixe, a franja residual única corresponde a um mínimo. Se M2 se afastar mais, as franjas reaparecem no centro e começam a divergir. O interferômetro de Michelson pode ser utilizado para realizar medições de distâncias extremamente precisas. Quando um dos espelhos se afasta de λ/2, cada franja desloca-se de uma interfranja e ocupa o lugar da franja adjacente. Contando o número de franjas N, que passam em frente de uma posição de referência, é possível determinar a distância ∆d percorrida pelo espelho, isto é,

∆d = N λ (2) 2 Alternativamente, se contarmos um número elevado de franjas N tal que a distância ∆d seja suficientemente grande para que possa ser medida com precisão, podemos medir com precisão o valor do comprimento de onda λ.

O interferômetro de Michelson pode ser utilizado também para determinar o índice de refração do ar. Nesse caso uma célula de pressão, que pode ser evacuada, é introduzida em um dos braços do interferômetro (fig. 3).

M2 C

Laser M1 Figura 3 Observador

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O índice de refração é definido como a razão entre a velocidade de propagação da onda eletromagnética no vácuo (c) e a velocidade de propagação no meio (v).

n = c (3)

v

No vácuo (p=0) n = 1. Na medida em que o meio se torna mais denso o índice de refração aumenta. Diminuindo-se a pressão dentro da célula pode-se esperar que o índice de refração do ar diminua, pois, reduz-se na câmara o número de moléculas por cm3.

Pode-se considerar que o índice de refração do ar varia linearmente com a pressão segundo a equação

n (p) = n(p=0) + ∆n . p (4) ∆p

Onde ∆n = n(p+∆p) – n(p) e p é um valor qualquer de pressão. ∆p ∆p

O caminho ótico (x) do feixe luminoso depende do índice de refração, tal que, se

a célula tem comprimento geométrico S, e n(p) é o índice de refração do gás na célula então

x = n(p) S (5)

Se os dois feixes luminosos que se superpõem percorrem distâncias iguais, mas em meios de índice de refração diferentes ocorre uma defasagem entre os dois feixes. Nesse caso específico, a defasagem ocorre por que o caminho ótico do feixe que passa pela célula difere do caminho ótico do feixe que passa pelo outro braço do interferômetro, e o resultado da interferência quando eles se juntam dependerá da diferença de caminho ótico. Se a diferença de caminho ótico for igual ao comprimento de onda da radiação ocorrerá uma interferência construtiva. Entretanto, se a diferença de caminho for igual à metade do comprimento de onda da radiação incidente os feixes interferirão destrutivamente, criando uma região escura no centro do campo de observação. Variando-se lentamente a pressão na célula varia-se a diferença de caminho ótico e como consequência observa-se sobre o anteparo, o deslocamento das franjas. Fazendo uma relação entre o número de franjas que passam por um ponto de referencia em virtude da variação de pressão (∆N/∆p) e a variação do índice de refração (∆n/∆p) pode-se determinar o índice de refração.

Variando a pressão na célula, o caminho ótico varia de

∆x = n(p + ∆p) S – n(p) S (6) ∆p ∆p .

Partindo da pressão ambiente p0 e diminuindo a pressão, observa-se N vezes o

surgimento de um mínimo no centro do padrão até que seja atingida uma dada pressão p. A mudança de um mínimo para outro mínimo corresponde a uma mudança de caminho ótico de λ, então

∆x = {N(p) – N(p+∆p)} λ (7) ∆p ∆p

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Comparando as equações (6) e (7) e levando em conta que a luz atravessa duas vezes a célula encontra-se que

{n(p + ∆p) – n(p)} . 2S = {N(p) – N(p+∆p)} λ (8) ∆p ∆p

Ou seja, ∆n = - ∆N . λ (9)

∆p ∆p 2S Substituindo (9) em (4) e sabendo os valores de λ e S pode-se determinar o índice de refração para um dado valor de pressão ambiente (p).

3. MATERIAL UTILIZADO

Kit da Phywe com: Interferômetro de Michelson; Laser de He-Ne com comprimento de onda 632 nm e potência 1.0mW; célula de pressão de comprimento S=10mm, acoplada a uma bomba de vácuo manual; Lente com distância focal de 20mm; uma tela.

4. PROCEDIMENTOS

Para obter o maior número possível de franjas de interferência, ajusta-se primeiro os dois espelhos do interferômetro. Orienta-se o feixe do laser para atingir o divisor de feixe à 45°. Os dois feixes resultantes são refletidos pelos espelhos e atingem a tela. Atrás de um dos espelhos encontram-se dois parafusos de ajuste. Por meio desses parafusos ajusta-se o espelho para fazer com que os dois pontos refletidos coincidam sobre a tela. Colocando-se a lente no caminho do feixe, os pontos de luz são ampliados e os padrões de interferência são observados na tela. Fazendo-se um reajuste cuidadoso obtém-se uma imagem de interferência de círculos concêntricos.

Para medir o comprimento de onda, o parafuso micrométrico é ajustado para uma posição inicial na qual o centro do círculo é escuro. Gira-se o parafuso micrométrico, sempre na mesma direção, e contam-se as franjas escuras que se sucedem. A distância que o espelho foi deslocado corresponde a leitura no micrômetro dividida por dez (o nível de redução é 1:10). Se o centro dos círculos se mover para fora da área do spot luminoso faz-se necessário um reajuste. Faz-se a análise do gráfico de número de franjas versus deslocamento do espelho..

Para determinar o índice de refração do ar, a célula de pressão é adaptada ao interferômetro. A lente é colocada mais ou menos á meia distância entre o interferômetro e o laser para ampliar o feixe. Ajusta-se o espelho, com os dois parafusos, para superpor os spots e obter um padrão de interferência de círculos concêntricos na tela.

No início da medida, ajusta-se o segundo espelho com o parafuso micrométrico para que o centro da figura seja um anel escuro. Reduz-se gradualmente a pressão na célula com a bomba manual, e durante esse processo observa-se uma sucessão de anéis claro e escuro no centro da figura. Registra-se um a um o número da franjas que passam (N) e a pressão correspondente na câmara (P), até que seja atingido o mínimo de pressão. Repete-se a série de medidas para garantir a confiabilidade dos dados, ventilando a célula entre cada série. Faz-se a análise do gráfico do número de franjas versus pressão. Além dos dados de λ e S é necessário registrar o valor da pressão ambiente.

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5. SUGESTÃO PARA LEITURA Você encontra os temas envolvidos neste experimento nas referências listadas

abaixo. O fenômeno de interferência de ondas eletromagnéticas, o interferômetro de Michelson e o conceito de coerência, em nível básico, você encontra em: Física 4, 4a edição. D. Halliday, R. Resnick e K. S. Krane, LTC (Rio de Janeiro, 1996). Capítulo 45 Interferência. Ou, equivalentemente: Fundamentos de Física 4, Ótica e Física Moderna, 4a edição. D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, LTC (Rio de Janeiro, 1995). Capítulo 40 Interferência.

Os mesmos temas você encontra de forma mais aprofundada em:

Optics, E. Hecht, 4th edition. Addison Wesley, San Francisco (2002). Chapter 9 Interference, em particular as seções 9.1 a 9.4. Existe uma edição portuguesa desse livro: Óptica, E. Hecht, 2a. edição. Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa (2002). Introduction to modern optics, 2nd edition, G. R. Fowles, Dover (New York, 1989). Chapter 3. Coherence and Interference.

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