fichas de trabalho ficha de trabalho 1 resolução de triângulos - fichas de... · 227 2 parte...
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Fich
as d
e tr
abal
ho
DIMENSÕES • Matemática A • 11.o ano • © Santillana
Soluções das Fichas de trabalho
FICHa De traBaLHO 1 Resolução de triângulos
1 A
A
círculo
retângulo =
522910 568 . 0,5
2 2.1 a = 22,5°
2.2 tan a = 2 - 1
3 . 783 m
4 a) AV . 45,7° ; BU . 14,3° e a . 28,9 cm
b) BU . 99,4° ; CV . 45,6° e b . 25,8 cm ou BU = 10,6° ; CV . 134,4° e b . 4,8 cm
c) Não existe nenhum triângulo nas condições indicadas.
5 a) BU . 27,8° ; CV . 32,2° e a . 13 m
b) AV . 39,4° ; CV . 52,6° e c . 7,3 m
c) AV = 37,8° ; BU . 43,8° e CV . 98,4°
6 a) NB . 19,8 km
b) A[ANB] . 120 km2
7 a) P[ABCD] . 29 m
b) A[ABCD] . 50 m2
8 8.1 a . 24,5°
8.2 . 622 m
9 a) 34
2 1+
b) 3
10 a) 430
b) 1030
FICHa De traBaLHO 2 Ângulos orientados, ângulos generalizados e rotações
1 a) (280°, 1)
b) (-140°, -3)
c) (275°, 3)
d) (-175°, -7)
e) (0°, 17)
f) (-90°, -5)
g) (55°, 1)
h) (-45°, -2)
2 a1 e a2
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3 a) 2.º quadrante.
b) 4.º quadrante.
c) 3.º quadrante.
d) 4.º quadrante.
4 4.1 sin 225° = - 22
; cos (-45°) = 22
4.2 AB = 2 2- u. c.
4.3 R(O, 180°)(H) = D
4.4 D ,22
22
-e o
5 5.1 aV = °
16360
= 22,5°
5.2 4135r
m
5.3 . 53,2 m
6 a) 54
-
b) 43
c) 53
d) 5
12
7 a) A ,21
23
- -e o
b) C(1, 3 )
c) A[ABC ] = 23 3
u. a.
d) P[ABC ] =3 + 3 3 u. c.
8 a) 23
-
b) 23
-
9 9.1 a) 2r cm
b) 49r
cm
c) 11r cm
10 a) 32° 43' 30''
b) 71° 26' 00''
c) 171° 53' 24''
11 a) a . 26° 56' 11''
b) b . 276° 32' 45''
12 a) 57° 17' 45''
b) 51° 25' 43''
c) 22° 55' 06''
d) -(498° 28' 24'')
e) -(220° 00' 00'')
9.2 a) 6r cm2
b) 15r cm2
c) 263r
cm2
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13 a) 0,3 rad
b) 1,7 rad
c) -0,7 rad
d) -1,7 rad
e) 6,1 rad
f) -3,0 rad
14 a) a . -0,14 rad
b) c . 4,89 rad
FICHa De traBaLHO 3 Funções e equações trigonométricas
1 a) 21
b) 22
-
c) 0
d) 33
e) 3
2
f) 21
2 a) 22
b) 0
c) - 33
3 0
4 4.1 12 horas.
4.2 Maré baixa às 9 h e às 21 h ; maré alta às 3 h e às 15 h .
4.3 t ! ]1, 5[ , ]13, 17[
5 a) D'f = [-1, 1]
b) D'g = [1, 3]
c) D'i = [0, 6]
d) D'j = [0,5; 1]
6 6.1 A = 3 e B = 0,5
6.2 a) f 2rc m = 2
3 2
b) f 35rc m = 2
3
c) f 83r
c m = - 23 3
7 a) Zeros de f : x = - 4r
+ 2kr, k ! Z 0 x = 43r
+ 2kr, k ! Z
b) Zeros de g : x = (2k + 1)r, k ! Z 0 x = (2k - 1)r, k ! Z
c) Zeros de h : x = -k2 r, k ! Z 0 x =
k2 r, k ! Z
8 8.1 A[OAB] = AB OC
2#
= sin cos
22 #a a
= sin a cos a, a ! ,0 2r ;E
8.2 A 3rc m = 4
3 u. a.
8.3 O triângulo [AOB] tem área máxima em a = 4r
.
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9 a) Df = Ir ; f(-x) = sin(-2x) = -sin(2x) = -f(x) , pelo que f é ímpar.
b) Dg = Ir ; g(-x) = 1 + cos(-x) = 1 + cos x = g(x) , pelo que g é par.
c) Dh = Ir\{x: x = kr, k ! Z} ; h(-x) = tan x2-c m = -tan
x2 = -h(x) , pelo que h é ímpar.
10 10.1 Dilatação vertical de coeficiente 3 e translação vertical segundo o vetor de coordenadas (0, -2) .
10.2 D'f = [-5, 1]
10.3 f 6rc m =
32
3 4-
10.4 x = r ! 2kr, k ! Z
11 a) cos2 x - sin2 x = (1 - sin2 x) - sin2 x = 1 - 2 sin2 x
b) (4 cos x - 3 sin x )2 + (3 cos x + 4 sin x )2 = = 16 cos2 x - 24 cos x sin x + 9 sin2 x + 9 cos2 x + 24 cos x sin x + 16 sin2 x = = 25 cos2 x + 25 sin2 x = 25
c) x xcos tan1 2
-c m = x xx
cos cossin1 2
-c m = x
x( )cos
sin12
2- =
x
x( )sinsin
11
2
2
-
- =
= x x
x
( )( )( )sin sin
sin1 1
1 2
- +
- =
xx
sinsin
11
+-
12 a) -3 sin x
b) 2 tan x
c) 2 sin x
13 307 91
14 a) 2524
-
b) 257
-
c) 175502
-
15 15.1 f 313r
-c m = 22 2-
15.2 f(a) = 37
16 a) 3r
b) 22
-
c) - 21
17 a) 133 13
b) 43
-
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18 x = 1
19 a) C. S. = x x Z: ,k
k123 2 24!
!r r r
=+
( 2 ; C. S. = ,12 125r r
' 1
b) C. S. = x x Z: ,k k28! !r
r= +' 1 ; C. S. = , , ,7
8 8 887r r r r
- -' 1
c) C. S. = x x xZ Z: , ,k kk k40 !! !rr
r= = +' 1 ; C. S. = , ,,0 4 43r r
r' 1
d) C. S. = x x Z: ,k k6 !r
r= +' 1 ; C. S. = 56r
-' 1
e) C. S. = x x xZ Z: , ,k kk k2 3 20 !! !rr
r r= = ++' 1; C. S. = , ,3 35r
rr
' 1
f) C. S. = x x Z: ,k k3 2! !r
r= +' 1 ; C. S. = ,3 3r r
-' 1
g) C. S. = 132 13) 3
20 C.S. = ,0 67r ;E
FICHa De traBaLHO 4 Declive e inclinação de retas. Produto escalar1 a) 45°
b) 30°
c) 135°
d) 120°
2 a) . 108,4°
b) 120°
3 a) y = 3x - 32
b) y = -x + 4
4 4.1 . 98,2°
4.2 A ,79
710
-c m
4.3 CB - CA = CB + AC = AC + CB = AB ; AB ,730
710
-c m
5 a) y = 33
x
b) A ,23 3
23
e o
c) A[OABC ] = 3 3 u. a.
d) y = - 3x + 6
e) 120°
f) P[OABC ] = 6 + 32 u. c.
6 a) 8
b) -3
c) 0
7 a) 0
b) 4
c) 8
d) 0
e) 4
f) -4
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8 a) 3 3
b) -200 3
9 30 000 joules
10 O produto escalar de v e t , v $ t , é um número real, então, tvu $ $_ i representa o produto escalar entre um vetor e um número real, o que não faz sentido.
11 a) 30
b) -80
c) 0
12 a) a = 71
b) a = 43
-
c) a = 34
13 1,51 rad
14 14.1 AC $ BD = (-4, 0, 0) $ (0, 4, 0) = 0
14.2 a) 4
b) 8
c) 9
14.3 . 2,2 rad
14.4 a) Como MN(-1, 1, 0) e DC(-2, -2, 0) , então, DC = 2MN , pelo que os dois vetores são colineares.
b) 2MN $ BC = (-1, 1, 0) $ (-2, 2, 0) = 0
FICHa De traBaLHO 5 Equações de planos no espaço1 1.1 tem-se que AB(1, -2, 2) e AC(-2, 3, 4) . Como AB ! kAC, k ! Ir , então, A , B e C não são
colineares e, por isso, definem um único plano.
1.2 tem-se que r (2, 0, -1) . as retas AB e AC são retas não paralelas do plano ABC que se intersetam no ponto A , com vetores diretores (1, -2, 2) e (-2, 3, 4) , respetivamente. Como AB $ r = 0 e AC $ r = 0 , pelo critério de perpendicularidade de reta e plano, conclui-se que a reta r é perpendicular ao plano ABC .
1.3 Por exemplo, 2x - z = 0 .
1.4 Por exemplo, D(0, 1, 0) e E(3, 0, 6) .
1.5 Por exemplo, a , ,56 5
0 53 5
-e o .
2 a) Por exemplo, x - y + 4z = 9 .
b) Por exemplo, 2x + z = -1 .
c) Por exemplo, y + 2z = 7 .
3 Por exemplo, -14x + 11y + z = 21 .
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4
sf5p1h1
y
x
z
O
8
2
4
5 5.1 K(2, 2, 3)
5.2 KE KFc_ i . 58°
5.3 Por exemplo, 3x + 2z = 12 .
5.4 a) Por exemplo, (2, 2, 3) + k(3, 0, 2), k ! Ir .
b) Face EFB : , ,4 2 313
c m ; face GCD : , ,2 305
c m
5.5 a) Por exemplo, 3x + 2z = 24 .
b) (0, 0, 12)
6 6.1 Os pontos A , B e C são não colineares e definem um único plano ABC . as retas AC e BC pertencem ao plano ABC , logo, são complanares.
6.2 tem-se que AC(-4, 2, 4) e CB (2, -2, 4) . Seja n(a, b, c) um vetor normal ao plano ABC , então:
n $ AC = 0 / n $ CB = 0 + (a, b, c) $ (-4, 2, 4) = 0 / (a, b, c) $ (2, -2, 4) = 0 +
+ -4a + 2b + 4c = 0 / 2a - 2b + 4c = 0
Fazendo c = 1 , vem a = 4 e b = 6 , logo, a equação cartesiana do plano ABC é da forma 4x + 6y + z = d . Substituindo as coordenadas de um dos pontos A , B ou C na equação, obtém-se 4x + 6y + z = 24 como uma equação cartesiana do plano ABC .
6.3 V[OABC ] = 16 u. v.
7 7.1 2 + 2
7.2 Por exemplo, x + y - 2 z = -1 - 2 .
8 8.1 Por exemplo, 2x - 2y - z = -10 .
8.2 (0, 5, 0)
8.3 Por exemplo, (x, y, z) = (-1, 3, 0) + k(2, -2, -1), k ! Ir .
8.4 Por exemplo, x - y + 4z = 16 .
8.5 Pela condição de paralelismo de reta e plano, tem-se que r $ n = 0 . Como (2, -2, -1) $ (1, -1, 4) = 2 + 2 - 4 = 0 , então, a reta r é paralela ao plano CDF .
8.6 K(0, 0, 4)
8.7 I , ,31
31
37
-c m
8.8 V
Vpirâmide
prisma = 6
1
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9 9.1 Rx
, ,s t
y t s t Iz s t
2
3 2!
= +
=
= - -
*
9.2 Por exemplo, x + z = 7 .
9.3 Vcone = 32 2r
u. v.
FICHa De traBaLHO 6 Sucessões: generalidades, monotonia e recorrência. Princípio de indução matemática
1 a) 2n + 3
b) 2n - 2
c) -3n + 15
d) 25 - n
e) n2 - 3n + 9
2 2.1 u1 = 23
; u2 = 21
; u3 = 61
e u4 = 0
2.2 31
- é o 12.º termo; 178
- é o 68.º termo e 7528
- não é termo de (un) .
2.3 Como u1 = 23
e un + 1 - un < 0 , a sucessão é monótona decrescente e un G 23
, 6n ! IN .
3 a) u3 = 98
e u10 = 25256
b) v3 = -1 e v10 = 1
c) w3 = 43
e w10 = 1117
4 a) 32
b) 50
c) an =
nn
nn
2
21
se par
se ímpar
2
2 -*
d) bn =
nn
nn
2
21
se par
se ímpar
2
2 +*
5 a) Monótona crescente.
b) Monótona decrescente.
c) Não monótona.
d) Monótona decrescente.
e) Monótona decrescente.
f) Monótona crescente.
g) Monótona crescente.
h) Monótona crescente.
i) Monótona decrescente.
j) Monótona crescente.
k) Não monótona.
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6 I. a) Sim.
b) Sim.
c) Sim.
d) Sim (máximo: 5 ) .
e) Sim (mínimo: -3 ) .
f) [5, +3[
g) ]-3, -3]
II. a) Sim. b) Sim.
c) Sim.
d) Sim (máximo: 2 ) .
e) Não.
f) [2, +3[
g) ]-3, -1]
III. a) Não.
b) Sim.
c) Não.
d) Não.
e) Não.
f) 0
g) ]-3, 2]
IV. a) Sim.
b) Não.
c) Não.
d) Sim (máximo: 4 ) .
e) Não.
f) [4, +3[
g) 0
V. a) Sim.
b) Sim.
c) Sim.
d) Sim (máximo: 9 ) .
e) Sim (mínimo: 2 ) .
f) [9, +3[
g) ]-3, 2]
VI. a) Sim.
b) Sim.
c) Sim.
d) Sim 109
máximo:c m .
e) Sim 41
mínimo:c m .
f) ,109
3+; ;g) , 4
13-E E
7 a) Minorante: 0 ; majorante: 1 .
b) Minorante: 21
; majorante: 3 .
c) Minorante: -2 ; majorante: -2 .
d) Minorante: -2 ; majorante: 2 .
8 Como (un) é uma sucessão de termos negativos, tem-se que un < 0, 6n ! IN .
Por outro lado, tem-se que -3un < 2, 6n ! IN , ou seja, un > 32
- , 6n ! IN .
Portanto, 32
- < un < 0 , concluindo-se que (un) é limitada.
9 9.1 ao cuidado do aluno.
9.2 3
10 a) Para n = 1 , tem-se 1 + 2 = 3 , que é divisível por 3 . Hipótese: n3 + 2n é divisível por 3 . tese: (n + 1)3 + 2(n + 1) é divisível por 3 .
Demonstração: (n + 1)3 + 2(n + 1) = n3 + 3n2 + 3n + 1 + 2n + 2 = = n3 + 2n + 3n2 + 3n + 3 = n3 + 2n + 3(n2 + n + 1) 123 14243
divisível por 3 divisível por 3 por hipótese
c.q.d.
b) Para n = 1 , tem-se 1 + 2 = 22 - 1 , que é verdade. Hipótese: 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2n = 2n + 1 - 1 tese: 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2n + 2n + 1 = 2n + 2 - 1
Demonstração: 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2n + 2n + 1 = 2n + 1 - 1 + 2n + 1 = 2 # 2n + 1 - 1 = 2n + 2 - 1
c.q.d.
c) Para n = 1 , tem-se 12 = 1 , que é verdade. Hipótese: 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n - 1 n2 = (-1)n - 1
( )n n2
1+
tese: 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n - 1 n2 + (-1)n (n + 1)2 = (-1)n ( ) ( )n n
21 2+ +
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Demonstração: 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n - 1 n2 + (-1)n (n + 1)2 =
= (-1)n - 1 ( )n n
21+
+ (-1)n (n + 1)2 = (-1)n ( )n n
n21
12
-+
+ +_ i< F = = (-1)n
n n n n22 4 22 2- - + + +< F = (-1)n
n n23 22 + +
= (-1)n ( ) ( )n n
21 2+ +
c.q.d.
d) Para n = 1 , tem-se 32
= 1 - 31
, que é verdade.
Hipótese: 32
+ 92
+ 2
27 + … + 32
n = 1 - 31
n
tese: 32
+ 29 +
227 + … +
32
n + 3
2n 1+
= 1 - 3
1n 1+
Demonstração:
32
+ 92
+ 2
27 + … + 32
n + 3
2n 1+
= 1 - 31
n + 3
2n 1+
= 1 - 3
3n 1+
+ 3
2n 1+
= 1 - 3
1n 1+
c.q.d.
e) Para n = 6 , tem-se 6 # 4 < 62 - 7 + 24 < 29 , que é verdade. Hipótese: 4n < n2 - 7 para um certo n H 6 . tese: 4(n + 1) < (n + 1)2 - 7
Demonstração: 4n < n2 - 7 + 4n + 4 < n2 - 7 + 4 Como para n H 6 , 2n + 1 > 4 , então:
4n + 4 < n2 - 7 + 2n + 1 + 4(n + 1) < (n + 1)2 - 7 c.q.d.
f) Para n = 1 , tem-se 1 21#
= 1 1
1+
.
Hipótese: 1 21$
+ 21
3$ +
13 4$
+ … + ( )n n 1
1+
= n
n1+
tese: 1 21$
+ 21
3$ +
13 4$
+ … + ( )n n 1
1+
+ ( ) ( )n n1
12+ +
= nn
21
++
Demonstração:
1 21$
+ 21
3$ +
13 4$
+ … + ( )n n 1
1+
+ ( ) ( )n n1
12+ +
= n
n1+
+ ( ) ( )n n1
12+ +
=
= ( ) ( )n n
n n1 2
2 12
+ ++ +
= ( )
( ) ( )n
n n1
1 2
2+
+ + =
nn
21
++
c.q.d.
11 11.1 a1 = 1 ; a2 = 4 ; a3 = 13 ; a4 = 40 ; a5 = 121 e a6 = 364 ; b1 = 1 ; b2 = 4 ; b3 = 12 ; b4 = 32 ; b5 = 80 e b6 = 192
11.2 an = 23 1n -
e bn = 2n - 1 n ; ao cuidado do aluno.
12 a) a
a a
2
2n n
1
1
=
= ++
*
b) a
a a
2
2n n
1
1
=
=+
*
c) a
a a
1
1n n
1
1
2
=
= ++ ` j*
d) a
aa
a
1
1nn
n
1
1
=
=++
*
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DIMENSÕES • Matemática A • 11.o ano • © Santillana
FICHa De traBaLHO 7 Progressões aritméticas e progressões geométricas
1 1.1 a1 = 5 ; a2 = 12 ; a3 = 19 e a4 = 26
1.2 (an) é uma progressão aritmética porque cada termo se obtém, a partir do anterior, somando sempre a mesma constante, neste caso, 7 , ou seja , para todo n natural, tem-se an + 1 - an = 7 .
1.3 Para n = 1 , tem-se a1 = 7 # 1 - 2 = 5 , que é verdade. Hipótese: an = 7n - 2 tese: an + 1 = 7(n + 1) - 2
Demonstração:an + 1 = an + 7 = 7n - 2 + 7 = 7(n + 1) - 2
c.q.d.
1.4 a50 = 348
2 Como m , n e p são três termos consecutivos de uma progressão aritmética, então, existe k real, tal que n = m + k e p = m + 2k .
Logo, m + p = m + (m + 2k) = 2m + 2k = 2(m + k) = 2n .
3 a) Sim, r = 1 .
b) Sim, r = 32
- .
c) Não.
d) Sim, r = 4 .
4 7 , 10 e 13
5 5.1 a
a a
1
3n n
1
1
=
=
-
-+
*
5.2 an = -3n + 8
6 a) an = -3n + 8 ; decrescente. c) an = 2n ; crescente.
b) an = 21
n - 25
; crescente. d) an = -8n + 41 ; decrescente.
7 a) -1, -5, -9, -13
b) 62
- , 22
- , 625
- , 627
-
c) 42
, 22
- , 45 2
- , -2 2
8 119, 131, 143, 155, 167, 179
9 9.1 3 km
9.2 36 dias.
10 a) Não é uma progressão geométrica.
b) Não é uma progressão geométrica.
c) É uma progressão geométrica de razão 51
; cn = 500 51 n 1-
c m
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Fichas de trabalho
DIMENSÕES • Matemática A • 11.o ano • © Santillana
11 a) v1 = 1000 ; v2 = 100 ; v3 = 10 e v4 = 1
v
vv
1000
10nn
1
1
=
=+
*
b) v1 = 256 ; v2 = -64 ; v3 = 16 e v4 = -4
v
vv
256
4nn
1
1
=
=-+
*
12 12.1 cn = 926 # 1,03n - 1
12.2 aproximadamente, 1244 alunos.
13 -18
14 a) Decrescente.
b) Decrescente.
c) Crescente.
15 un = 4
1
8
1 n
5 5
1-
f p
16 a) un = 5 # 4n-1
b) S8 = 109 225
17 a) S14 = 3279(3 + 3 )
b) S14 - S8 = 3159(3 + 3 )
18 18.1 16 folhas.
18.2 1280 folhas.
18.3 102 400 folhas.
18.4 11,264 m
19 . 50,049
FICHa De traBaLHO 8 Limites de sucessões1 1.1 p = 1000
1.2 ao cuidado do aluno.
2 2.1 ao cuidado do aluno.
2.2 46 termos.
2.3 Majorante: 83
; minorante: 51
- .
3 a) Não monótona e não convergente.
b) Não monótona e convergente para 0 .
c) Monótona crescente e não convergente.
d) Monótona decrescente e não convergente.
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DIMENSÕES • Matemática A • 11.o ano • © Santillana
4 4.1 ao cuidado do aluno.
4.2 43G vn < 1
4.3 lim (unvn) = 0
5 5.1 a) n H 11
b) n H 47
c) n H 9 654 894
5.2 ao cuidado do aluno.
6 a) +3
b) -3
c) +3
d) -3
e) +3
7 7.1 a) ao cuidado do aluno.
b) ao cuidado do aluno.
7.2 apenas os primeiros 999 termos são comuns a ambas as sucessões e (un ) é convergente para 3 e (vn) é divergente.
8 a) -5
b) +3
c) 0
d) -1
e) 34
f) -1
9 a) 316
-
b) 4
c) 455
10 a) 2764
b) 74 7
c) 2
11 a) +3
b) +3
12 a) vn = 3n2 - 5
b) Por exemplo, vn = n3 .
c) Por exemplo, vn = n + 1 .
d) vn = 3n2 - 10
13 a) +3
b) Não é possível saber.
c) -3
d) -3
e) +3
f) +3
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Fichas de trabalho
DIMENSÕES • Matemática A • 11.o ano • © Santillana
14 a) 6
b) -9
c) -3
d) 0
e) 32
-
f) 0
15 a) -3
b) -3
c) 0
d) -3
e) 0
f) 23
-
g) 2
16 16.1 uu
n
n 1+ = 2
1 ; un = 16 2
1 n
c m
16.2 lim (Sn) = 16 , o que significa que a soma das áreas a cinzento tende para o valor da área do quadrado inicial.
FICHa De traBaLHO 9 Limites de funções reais de variável real. Indeterminações
1 a) {-2} , [3, 5]
b) [-3, 5] , {6}
c) {-2} , [3, 5]
d) [-3, 5] , {6}
e) ]-3, 3] , [5, +3[
f) {5}
2 limx 1" +
f(x) = limx 1" -
f(x) = f(1) = limx 1"
f(x) = 1
Logo, existe limite de f(x) em x = 1 .
limx 3" +
f(x) = -8 e limx 3" -
f(x) = -3 , pelo que não existe limite de f(x) em x = 3 .
3 3.1 ao cuidado do aluno.
3.2 Não existe limx 4"
f(x) .
3.3 limx 4" +
g(x) = limx 4" -
g(x) = limx 4"
g(x) = +3
4 a = -13 ; limx 1"-
f(x) = 6
5 5.1 ao cuidado do aluno.
5.2 lim f(an ) = 52
; lim f(bn) = 32
-
5.3 lim f(xn) = 52
6 a) +3
b) +3
c) -3
d) -3
e) -1
f) +3
7 a) 4
b) 1
c) 0
d) 4
e) 1
f) 1
g) 4
h) 3
i) Não existe.
j) 4
k) 4
l) Não existe.
m) Não existe.
n) 0
o) 1
p) Não existe.
q) 4
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DIMENSÕES • Matemática A • 11.o ano • © Santillana
8 a) 1
b) -4
c) 5
d) 23
-
e) 4
f) 13-
g) Não existe.
h) +3
i) Não existe.
j) 0
9 a) +3 d) -3
b) +3 e) -8
c) Não existe.
10 a) 3
b) 32
c) 21 3-
d) +3
e) +3
f) -4
g) 0
h) 1
i) 43
-
j) 41
k) 1
l) 3
m) 42
n) 23
o) 41
-
p) 21
q) 57
r) -3
s) -2
t) 32
11 a) a(0) = 9 m
b) t . 1 h 42 min
c) limt 400"
a(t) = 0 ; este valor significa que, à medida que o tempo após a abertura da torneira
se aproxima dos 400 minutos, o tanque tende a ficar vazio.
12 12.1 Concentração máxima de 2 mg/L ocorre após 1 h de administração do medicamento.
12.2 Com o passar do tempo, a concentração do medicamento no sangue diminui, até se tornar praticamente inexistente.
12.3 após 7 h 52 min .
FICHa De traBaLHO 10 Funções contínuas. Assíntotas. Funções racionais
1 a) f é contínua em x = 2 e descontínua em x = -3 .
b) f é contínua em x = -5 e em x = -2 .
c) f é contínua em x = 1 .
d) f é contínua em x = 0 e em x = 1 .
2 a) -k 2
b) -3
c) k = 34 3
3 a) f é contínua em Ir\{-1} .
b) f é contínua em Ir\{7} .
c) f é contínua em Ir .
d) f é contínua em ]0, 1] .
4 a = 4 e b = 1
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Fichas de trabalho
DIMENSÕES • Matemática A • 11.o ano • © Santillana
5 a = 417
- e b = 43
6 a) x = 1
b) x = 25
c) x = -1 e x = 1
d) Não existem.
e) x = 0
f) Não existem.
7 a) y = 3
b) y = 34
c) Não existem.
d) y = 0
e) y = 1 e y = -1
f) y = - 2 e y = 2
g) y = 2
h) y = 723
8 a) y = 2x - 7
b) y = x
c) y = 21
x - 45
d) y = 2x - 1
e) Não existem.
9 a) assíntotas verticais: x = -2 e x = 2
b) assíntota vertical: x = 1 ; assíntota horizontal: y = 2
c) assíntota vertical: x = 3 ; assíntota oblíqua: y = x
d) assíntotas verticais: x = 0 e x = 3 ; assíntota oblíqua: y = -x - 3
e) assíntotas verticais: x = -2 e x = 2 ; assíntota horizontal: y = 0
f) assíntotas verticais: x = -2 e x = 0 ; assíntotas horizontais: y = -2 e y = 1
10 a) Zeros: não tem; f é negativa 6x ! Df .
b) Zeros: ,41 17
41 17- +
) 3 ; f é negativa quando x ! ,41 17
41 17- + =G ;
f é positiva quando x ! ]-3, -1[ , ,1 41 17
-- =G , ,4
1 173
++ =G .
c) Zeros: não tem; f é positiva 6x ! Df .
d) Zeros: ,22
22
-) 3 ; f é negativa quando x ! ,22
22
- =G ;
f é positiva quando x ! ]-3, -2[ , ,2 22
- - =G , ,22
3+ =G .
e) Zeros: {-2, 2 } ; f é negativa quando x ! ,2 21
- - ;E , ,21
2- ;E ;
f é positiva quando x ! ]-3, -2[ , ]-2, +3[ .
f) Zeros: {2 } ; f é negativa quando x ! ]-3, -1[ , ]-1, 2[ ; f é positiva quando x ! ]2, +3[ .
g) Zeros: não tem; f é negativa quando x ! ]-3, -2[ , ]2, +3[ ; f é positiva quando x ! ]-2, 2[ .
h) Zeros: {-3, 3} ; f é negativa quando x ! ]-3, -2[ , ]2, 3[ ; f é positiva quando x ! ]-3, -3[ , ]-2, 2 [ , ]3, +3[ .
i) Zero: {9} ; f é negativa quando x ! ]5, 9[ ; f é positiva quando x ! ]-3, 3[ , ]3, 5[ , ]9, +3[ .
j) Zero: {-2} ; f é negativa quando x ! ]-2, -1[ , ]-1, 0[ ; f é positiva quando x ! ]-3, -2[ , ]0, +3[ .
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DIMENSÕES • Matemática A • 11.o ano • © Santillana
11 a) C. S. = ]3, 4]
b) C. S. = ,4 35
- -E E , ,35
4; ;c) C. S. = ]-5, -2[ , ]1, 2[
d) C. S. = ]-3, -4] , ]-1, 2] , ]3, +3[
12 a) a(x) = 2 - x 4
9-
; assíntota vertical: x = 4 ; assíntota horizontal: y = 2
b) b(x) = 23
- x2 1
21
- ; assíntota vertical: x = 2
1 ; assíntota horizontal: y = 2
3
c) c(x) = 25
- - x2
213
3- ; assíntota vertical: x = 2
3 ; assíntota horizontal: y = 2
5-
d) d(x) = 4 - x1
2-
; assíntota vertical: x = 1 ; assíntota horizontal: y = 4
FICHa De traBaLHO 11 Derivadas. Estudo de funções. Otimização 1 1.1
sf11p1h1
x
y6
O
2
322
23
1.2 a) [-2, 1] , por exemplo.
b) [1, 2] , por exemplo.
c) [-1, 1] , por exemplo.
d) [-2, 0] , por exemplo.
e) [-1, 2] , por exemplo.
2 a = -2
3 a) y = 10x - 29
b) y = 101
- x + 243
c) (-5,1; 22,01)
4 a) -400 m3/min b) -1000 m3/min c) -3000 m3/min
5 a) -9 cm/s b) 0 cm/s c) 36 cm/s
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Fichas de trabalho
DIMENSÕES • Matemática A • 11.o ano • © Santillana
6 a) f '(x) = 0 ; Df ' = Ir
b) f '(x) = 4 ; Df ' = Ir
c) f '(x) = -4x ; Df ' = Ir
d) f '(x) = x2 1
1
+ ; Df ' = ]-1, +3[
e) f '(x) = x( )2
32-
; Df ' = Ir\{2}
7 7.1 ao cuidado do aluno.
7.2 f '(1) = 4 , logo, f não pode ser decrescente em [1, 6] , caso contrário, f '(x) G 0, 6x ! [1, 6] e, em particular, f '(1) seria um valor não positivo.
8 a) f '(x) = 5 ; Df ' = Ir
b) g'(x) = 8x - 6 ; Dg' = Ir
c) h'(x) = 64x3 - 4x ; Dh' = Ir
d) i'(x) = -12x2 + 12x + 2 ; Di' = Ir
e) j'(x) = 12 - x
42 ; Dj' = Ir\{0}
f) k'(x) = x( )3
52-
; Dk' = Ir\{3}
g) l'(x) = x4 2
2
- ; Dl' = ,2
13+ ;E
h) m'(x) = x23
; Dm' = Ir0+
i) n'(x) = x x
x
( )
2 15
2 4 2 1 2-
+
+ + ; Dn' = ,4 2
1- - ;E , ,2
13- + ;E
j) p'(x) = x x x2
12
-+
; Dp' = Ir+
k) q'(x) = -3x
x
( )1
1 2 2
2-
-= G ; Dq' = Ir\ 2
1' 1
l) r'(x) = x3
123 -
x3
4
23 ; Dr' = Ir\{0}
9 b = -2 e c = 4
10 a) (f + g)'(x) = 8x + x2 1
1
+ ; D(f + g)' = ]-1, +3[
b) (fg)'(x) = 8x2 + x x8 12 + + x
x
1
2 2
+ ; D(fg)' = ]-1, +3[
c) (f % g)'(x) = x
41
4+
+ ; D(f % g)' = ]-1, +3[
d) (g % f )'(x) = x4 1
42 +
; D(g % f )' = Ir
11 a) (4, -2)
b) ,25
45
-c m
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12 12.2 a) f é uma função polinomial, logo, é contínua em Ir . Portanto, f é contínua em qualquer subconjunto de Ir e, por isso, é contínua em [-2, 2] .
b) f é uma função polinomial, logo, é diferenciável em Ir . Portanto, f é diferenciável em qualquer subconjunto de Ir e, por isso, é diferenciável em ]-2, 2[ .
c) Como f é contínua e diferenciável em ]-2, 2[ , então, pelo teorema de Lagrange, existe um
c ! ]-2, 2[ , tal que f '(c) = ( )
( ) ( )f f2 22 2
- -
- - =
2 20 0
+-
= 0 , pelo que se confirma que f ' tem,
pelo menos, um zero no intervalo ]-2, 2[ .
13 a) x ! {2}
b) x ! ]-3, 2[
c) x ! ]2, +3[
d) x ! 23' 1
e) x ! {3}
14 a) f é crescente em ,41
3+; ; e é decrescente em , 41
3-E E ; mínimo relativo 43
para x = 41
.
b) g é crescente em ,233-E E e em ,3
23+; ; e é decrescente em ,3
232
-; E ; mínimo relativo 9
7- quando x = 3
2 e máximo relativo 9
25 quando x = 3
2- .
c) h é crescente em ]-3, 0] e em ,34
3+; ; e é decrescente em ,0 34; E ;
mínimo relativo 2732
- quando x = 34
e máximo relativo 0 quando x = 0 .
d) i é crescente em , 32 2 7
3--G G e em ,3
2 2 73+
+= = e é decrescente em
,32 2 7
32 2 7- += G ; mínimo relativo 27
160 112 7-
+ quando x = 3
2 2 7+
e máximo relativo 27160 112 7
--
quando x = 32 2 7+
.
e) j é decrescente em ]-3, 4[ e em ]4, +3[ ; não tem extremos relativos.
f) k é crescente em [0, 1] e é decrescente em [1, +3[ ; máximo relativo 21
para x = 1 .
15 Deve alugar a casa a cerca de 5,3 km do seu local de trabalho.
16 O volume máximo do cilindro ocorre quando x = r 32
e h r 32 3
= .
17 a = 4 cm ; l = 3 cm ; Amáxima = 12 cm2
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Fichas de trabalho
DIMENSÕES • Matemática A • 11.o ano • © Santillana
FICHa De traBaLHO 12 Amostras bivariadas. Reta de mínimos quadrados e coeficiente de correlação linear
1 1.1 I e III
1.2 II e III
1.3 I " (D); II " (B); III " (a); IV " (C)
2 2.1
sf12p1h1
x
y
AB
CD
E250
200
150
100
50
40 8 12 16 20Investimento (milhares de euros)
Ven
das
(milh
ares
de
euro
s)
2.2 Variável explicativa: investimento; variável resposta: vendas.
2.3 associação linear positiva forte.
2.4 I = 12,6 milhares de euros ; V = 142,6 milhares de euros ; SI.4,6 milhares de euros ; SV.54,3 milhares de euros.
3 3.1 ea = 5 ; eB = 3 ; eC = 3
3.2 11 ; 43
3.3 y = 49
- x + 6151
4 a) n = 7
b) y = -1,75x + 24,5
c) r = -0,966 ; associação linear negativa forte.
5 r = -0,878
6 6.1
sf12p2h1
x
y
A
BC
D
E
200
150
100
50
20 4 6 8 10 12Número de faltas
Cla
ssi�
caçã
o
F
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246
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DIMENSÕES • Matemática A • 11.o ano • © Santillana
6.2 y = -7,53x + 178,47
6.3 103
7 7.1
sf12p2h2
x
y
A
B
C
DE
6
4
2
20 4 6 8Teor de fósforo à entrada (mg/L)
Teor
de
fósf
oro
à sa
ída
(mg/
L)
7.2 associação linear positiva forte.
7.3 y = 0,77x - 0,29
7.4 3,6 mg/L
7.5 r = 0,996
7.6 Dado que o coeficiente de correlação linear tem um valor muito próximo de 1 , a associação linear entre as duas variáveis é muito forte, pelo que devemos considerar muito boa a previsão obtida na alínea 7.4.
7.7 a afirmação é falsa, pois a reta obtida em 7.2 toma x como variável explicativa e y como variável resposta. Logo, apenas pode ser usada para, dado o teor de fósforo à entrada, prever o fósforo à saída.
7.8 O teor de fósforo à entrada da etar não deve ultrapassar os 6,9 mg/L .
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