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FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
Título: O uso da resolução de problemas no ensino do teorem a de Tales e do teorema de Pitágoras
Autor Carolina Welfer
Escola de Atuação Colégio Estadual Padre Sigismundo
Município da escola Quedas do Iguaçu
Núcleo Regional de Educação Laranjeiras do Sul
Orientador Izabel Passos Bonete
Instituição de Ensino Superior UNICENTRO/ Irati
Disciplina/Área (entrada no PDE) Matemática
Produção Didático-pedagógica Unidade Didática
Relação Interdisciplinar
Público Alvo 8º Séries do ensino fundamental
Localização
Colégio Estadual Padre Sigismundo –Ensino, Fundamental., Médio, Normal e Profissional. Rua Marfim,1177 Centro fone:/fax: (46) 3532-1013/1785 - Cep: 85460-000 Quedas do Iguaçu Paraná
Apresentação:
É comum os livros didáticos apresentarem a geometria como um dos últimos assuntos a serem estudados, sendo abordada superficialmente ou, às vezes, nem sendo abordada, prejudicando a formação do cidadão. Embora a matemática esteja presente no cotidiano do cidadão e seja considerada uma ferramenta indispensável à vida e sobrevivência do homem, o ensino dessa disciplina deve ir além do estudo de conteúdos obrigatórios, tornando-se uma ferramenta fundamental para o desenvolvimento do educando. Nesse sentido, não basta que a geometria seja abordada em sala de aula, mas que esteja conectada a realidade dos alunos.
Assim, a presente produção didática pedagógica tem por objetivo investigar o uso da História da Matemática e da Resolução de Problemas no ensino da geometria, especificamente no estudo do Teorema de Tales e do Teorema de Pitágoras por meio do desenvolvimento de uma proposta de implementação na escola. A implementação será desenvolvida com as 8ª séries do Colégio Estadual Padre Sigismundo, ensino fundamental, médio e profissionalizante.
Palavras-chave ( 3 a 5 palavras) Problemas, geometria, proporcionalidade, teoremas
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ – SEED
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
UNIDADE DIDÁTICA
O USO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DO TEOREM A DE
TALES E DO TEOREMA DE PITÁGORAS
Produção didática pedagógica apresentada a SEED/SUED – PR, como requisito para o cumprimento das atividades previstas dentro do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE do Estado do Paraná, orientado pela Professora Ms. Izabel Passos Bonete da UNICENTRO/Irati.
QUEDAS DO IGUAÇU
2011
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DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
Professor PDE : Carolina Welfer
Área PDE : Matemática
NRE: Laranjeiras do Sul
Professor Orientador IES : Izabel Passos Bonete
IES vinculada : UNICENTRO – Campos de Irati
Escola de implementação : Colégio Estadual Padre Sigismundo – Ensino
Fundamental, Médio e Profissionalizante.
Público alvo : Alunos da 8ª série
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SUMARIO
INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 5
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................................ 7
1. A Geometria e seu ensino na perspectiva da Educação Matemática ................... 7
2. A Resolução de Problemas no ensino da Geometria ............................................ 10
ESTRATÉGIAS DE AÇÃO .............................................................................................. 12
ATIVIDADES ..................................................................................................................... 13
1ª atividade: História da Geometria ............................................................................... 13
2ª atividade: Geometria Plana ........................................................................................ 13
3ª atividade: Razão e proporção .................................................................................... 16
4ª atividade: Teorema de Tales ...................................................................................... 18
5ª atividade: Semelhança de triângulos ........................................................................ 19
6ª atividade: Teorema de Pitágoras............................................................................... 22
AVALIAÇÃO ...................................................................................................................... 23
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 23
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INTRODUÇÃO
É comum os livros didáticos apresentarem a geometria como um dos
últimos assuntos a serem estudados, sendo abordada superficialmente ou, às
vezes, nem sendo abordada, prejudicando a formação do cidadão. Segundo
Lorenzato e Vila (1993) a geometria é um dos ramos da Matemática essencial
para a formação dos indivíduos e para compreensão de outras áreas do
conhecimento. Sem a compreensão dos conceitos geométricos básicos, torna-se
impossível atuar efetivamente num espaço tridimensional, como se supõe ser o
nosso.
Embora a matemática esteja presente no cotidiano do cidadão e seja
considerada uma ferramenta indispensável à vida e sobrevivência do homem, o
ensino dessa disciplina deve ir além do estudo de conteúdos obrigatórios,
tornando-se uma ferramenta fundamental para o desenvolvimento do educando.
Nesse sentido, não basta que a geometria seja abordada em sala de aula, mas
que esteja conectada a realidade dos alunos.
Hoje o ensino da Matemática no Paraná segue as orientações das
Diretrizes Curriculares para a Educação Básica, documento de referência
construído coletivamente a partir de 2003, por todos os professores da rede e
publicadas oficialmente em 2008. Tal documento aponta a “Educação Matemática
como campo de estudos que possibilita ao professor balizar sua ação docente,
fundamentado numa ação crítica que conceba a Matemática como atividade
humana em construção” (PARANÁ, 2008, p. 48).
A educação matemática objetiva uma educação voltada para a formação
de seres que compreendam as noções matemáticas, de modo que sejam capazes
de tomar decisões próprias na resolução de situações do dia-a-dia. D’Ambrosio
(1996, p.7) reforça essa perspectiva ao assumir sua visão sobre a Matemática:
Vejo a disciplina de matemática como uma estratégia desenvolvida pela espécie humana ao longo de sua história para explicar, para entender, para manejar e conviver com a realidade sensível, perceptível, e como o seu imaginário, naturalmente dentro de um contexto natural e cultural. (D’AMBROSIO, 1996, p.7)
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Nesta perspectiva, as diretrizes propõem que os conteúdos matemáticos
sejam abordados por meio de tendências metodológicas da Educação
Matemática que fundamentam a prática docente, das quais destacam: a
resolução de problemas; a modelagem matemática; as mídias tecnológicas; a
etnomatemática; a história da Matemática; e as investigações matemáticas. Além
disso, considerando que tais tendências metodológicas, isoladamente, podem não
realizar com eficácia o difícil processo de ensinar e aprender Matemática, sempre
que possível, deve-se buscar a articulação entre elas. (PARANÁ, 2008).
A metodologia da resolução de problemas pode ser eficaz para explorar
situações ligadas a vida prática dos alunos e desenvolver um olhar crítico sobre a
situação, a ponto de o aluno perceber a utilização de conteúdos matemáticos
muitas vezes sem sentido e sem utilidade prática. A contextualização na
Matemática é fundamental para promover um aprendizado significativo, pois
relacionando as noções matemáticas à vivência do aluno este pode compreender
a importância de estudar determinados conteúdos, além de generalizar a
aplicação para outros campos.
Considerando que a Matemática surgiu a partir das necessidades práticas
do homem, é fundamental que o professor articule também, a Resolução de
Problemas a metodologia da História da Matemática para que o aluno
compreenda como esta ciência surgiu e quais os problemas que levaram ao
aparecimento de determinados conteúdos matemáticos.
“A história da Matemática é um elemento orientador na elaboração de
atividades, na criação das situações-problema, na busca de referências para
compreender melhor os conceitos matemáticos”. Possibilita ao aluno analisar e
discutir razões para aceitação de determinados fatos, raciocínios e
procedimentos’ (PARANÁ, 2008, p. 66).
Ensinar à matemática utilizando-se do seu histórico e de suas aplicações
torna a aprendizagem mais interessante e motivadora, podendo auxiliar os alunos
a se prepararem para viver melhor sua cidadania.
A presente produção didática pedagógica tem por objetivo investigar o uso
da Resolução de Problemas no ensino da geometria, articulada a metodologia da
história da Matemática, especificamente no estudo do Teorema de Tales e do
Teorema de Pitágoras por meio do desenvolvimento de uma proposta de
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implementação na escola. A implementação será desenvolvida com as 8ª séries
do Colégio Estadual Padre Sigismundo, ensino fundamental, médio e
profissionalizante.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
1. A Geometria e seu ensino na perspectiva da Educa ção Matemática
O desenvolvimento do pensamento matemático se deu por necessidades
do homem, em diferentes épocas, em diversas culturas e em diferentes
momentos. No decorrer da história o conhecimento matemático expandiu-se
quantitativa e qualitativamente, de tal modo que hoje a Matemática abrange
diversas áreas, como a geometria, a álgebra, o cálculo diferencial, a análise.
No sentido próprio da palavra, ‘geometria’ deriva do grego geometrein que
significa medição de terras, ou seja: geo – terra e metrein – medir. Surgiu como
ciência empírica para resolver problemas práticos do homem. Os Egípcios, assim
como os Babilônios, povos da antiguidade, por volta de 2.000 anos a.C já
utilizavam uma geometria, entretanto, restringia-se a conhecimentos geométricos
necessários a resoluções de seus problemas práticos. Nada que se pudesse
caracterizar como uma ciência organizada. Antes de se transformar em ciência, a
geometria era utilizada na medição de terras na construção de monumentos e nas
operações comerciais.
A geometria foi o primeiro campo da Matemática a se transformar em
ciência. Essa transformação se deu em 300 anos a.C., com a organização e
sistematização da geometria por um matemático grego, chamado Euclides de
Alexandria.
De acordo com BOYER (1974, p. 78), o trabalho de Euclides
…constitui o desenvolvimento lógico mais rigorosamente tratado da matemática elementar que já fora erigido, e dois mil anos deveriam passar-se antes que surgisse uma apresentação mais cuidadosa. Durante esse intervalo a maior parte dos matemáticos considerou a exposição de Euclides como logicamente satisfatória e pedagogicamente aceitável.
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Embora Euclides seja considerado o responsável pela organização e
sistematização da geometria, hoje conhecida como geometria euclidiana, a
transformação desse conhecimento em ciência, teve início com os trabalhos de
outros dois matemáticos gregos, Tales de Mileto (624-548 a.C.) e Pitágoras de
Samos (580-500 a.C.).
Atribui-se a Tales, entre outras descobertas, o enunciado de um dos
principais teoremas de geometria, o teorema de Tales que diz: ‘retas paralelas
cortadas por retas transversais determinam segmentos correspondentes
proporcionais’. Tal propriedade foi descoberta por Tales ao observar que os raios
solares chegavam a Terra, inclinados e paralelos e, portanto havia uma
proporcionalidade entre a medida das sombras e a altura dos objetos.
Entre as atividades práticas realizadas por Tales usando o seu teorema,
está o cálculo da altura das pirâmides do Egito. Através da observação dos
comprimentos das sombras da pirâmide e de um bastão vertical, Tales observou
que no instante em que a sombra projetada por um bastão vertical é igual a sua
altura, a sombra da pirâmide seria igual a altura da pirâmide.
A Pitágoras de Samos atribui-se a demonstração do famoso teorema de
Pitágoras que diz ‘o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a
soma dos quadrados dos catetos”. O Teorema de Pitágoras pode ser utilizado na
resolução de inúmeros problemas relacionados a vida prática do homem.
Embora a geometria euclidiana seja considerada o corpo de
conhecimentos fundamental para a compreensão do mundo e participação ativa
do homem na sociedade, pois facilita na resolução de problemas de diversas
áreas do conhecimento e desenvolve o raciocínio visual, o ensino da geometria
tem sofrido um aparente abandono nas últimas décadas. Pavanello (2004) aponta
que o abandono da geometria em nossas escolas não é um fenômeno local, mas
sim um acontecimento que pode ser percebido mundialmente. Este fato tem
levado educadores matemáticos do mundo todo a uma preocupação sobre o que
ensinar, como ensinar e quando ensinar em geometria.
No ensino fundamental, a geometria é vista como parte integrante do
currículo de Matemática, uma vez que proporciona ao aluno o desenvolvimento
de um pensamento capaz de “compreender, descrever, e representar, de forma
organizada, o mundo em que vive” (BRASIL, 1997, p. 55).
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No ensino médio, a geometria deve proporcionar a leitura e a interpretação
do espaço. Os alunos deverão ser capazes de utilizar e ampliar os conhecimentos
já construídos no ensino fundamental e desenvolver capacidades como a de
abstração, de raciocínio, de resolução de problemas de qualquer tipo, de
investigação, de análise e compreensão de fatos matemáticos.
As Diretrizes Curriculares para a Educação Básica do Paraná, área
Matemática, apresentam as geometrias como um dos conteúdos estruturantes.
Considerados como conhecimentos de grande amplitude devem ser trabalhados
no ensino fundamental e médio desdobrado nos conteúdos específicos: geometria
euclidiana plana, geometria euclidiana espacial, geometria analítica e noções de
geometrias não-euclidianas.
As geometrias não euclidianas surgiram no século XIX e “trouxeram uma
nova maneira de ver e conceber o conhecimento geométrico” (PARANÁ, 2008, p.
55). A geometria de Euclides que era considerada como a única geometria
possível, passou a ser considerada como uma das possíveis geometrias e hoje,
entende-se que, todas as geometrias são verdadeiras e o interesse por cada uma
depende da aplicação. Para usos práticos, a geometria euclidiana é a que melhor
se adapta. Já na matemática pura ou na Física, as geometrias não-euclidianas
são as que melhor se adaptam.
É fundamental que o professor estabeleça relações entre as geometrias, de
modo que elas não sejam trabalhadas isoladamente e os conceitos sejam
construídos e não simplesmente transmitidos aos alunos. Brito (2005) corrobora
essa preocupação ao afirmar que os conceitos em geometria usualmente são
apresentados apenas com definições. Há desvinculação entre a geometria plana
e a espacial e a geometria é ensinada isoladamente, sem o estabelecimento de
elos e relações com outras ciências.
Segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná, “a
valorização de definições, as abordagens de enunciados e as demonstrações de
seus resultados são inerentes ao conhecimento geométrico. No entanto, tais
práticas devem favorecer a compreensão do objeto e não reduzir-se apenas às
demonstrações geométricas em seus aspectos formais” (PARANÁ, 2008, p. 57).
Nesta perspectiva, as diretrizes propõem que os conteúdos sejam
abordados através de tendências metodológicas, entre elas a resolução de
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problemas e a história da matemática que articuladas podem proporcionar
resultados positivos no processo de ensino e aprendizagem.
2. A Resolução de Problemas no ensino da Geometria
A metodologia da resolução de problemas permite que a abordagem do
conteúdo se torne mais dinâmica, pois “não restringe o ensino da Matemática a
modelos clássicos” (PARANÁ, 2008, p. 63), em que o aluno repete um raciocínio
sem compreender o que realmente está calculando e, consequentemente, sem
entender a relação entre o que está calculando e a Matemática.
Dante (2000) afirma que uma aula de Matemática em que os alunos são
incentivados e orientados pelo professor na busca da solução de um problema,
certamente é uma aula inovadora, dinâmica e motivadora para o aluno, pois foge
do modelo clássico em que o professor apresenta o conteúdo e o aluno
passivamente repete, sem compreender o significado.
Soares e Pinto (2001) salientam que a abordagem dos conteúdos
matemáticos através da resolução de problemas, ajuda os alunos a
desenvolverem a capacidade de aprender a aprender, levando-os a encontrar
respostas a questões que os inquietam, ao invés de aceitar uma resposta pronta,
dada pelo professor ou pelo livro didático.
Utilizar a metodologia da resolução de problemas significa utilizar, em sala
de aula, problemas que despertam a curiosidade do aluno. Para tanto, os
problemas devem apresentar um enunciado que suscite uma investigação,
diferente dos tradicionais problemas em que o enunciado, praticamente, já traz a
solução, cabendo ao aluno, apenas realizar uma operação matemática para
encontrar a solução. Nestes tipos de problema, o aluno resolve o problema sem
compreender o porquê de ter realizado a operação, faz apenas por repetição de
um modelo já resolvido pelo professor.
Soares e Pinto (2001) destacam que o papel do professor que utiliza a
metodologia da resolução de problemas na abordagem dos conteúdos, é o de
incentivador, facilitador e mediador das idéias dos alunos. Entretanto, para que o
professor desempenhe essas funções é necessário que crie em sala de aula, um
ambiente de colaboração, de busca, de exploração e descoberta, no sentido de
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que o mais importante seja o processo e não o tempo que o aluno leva para
resolver o problema ou o resultado final.
Através da resolução de problemas em sala de aula pode-se envolver o
aluno em situações reais, motivando-o para o desenvolvimento do pensar
matemático. Para a contextualização da matemática, o uso de jornais e revistas
apresenta inúmeras situações reais que podem ser exploradas em sala de aula.
Além disso, conforme a realidade do aluno podem ser explorados problemas que
envolvam agricultura, pecuária e outras situações típicas da região em que o
aluno reside.
Assim, vinculando o problema a realidade do aluno ou utilizando problemas
que envolvam questões históricas sobre o mundo que nos cerca e que levaram o
homem a descobertas sobre essa área pode-se proporcionar melhoria na
qualidade do ensino da matemática.
Nesta perspectiva, a articulação entre a metodologia da resolução de
problemas e a história da matemática pode oferecer uma importante contribuição
ao processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. D’Ambrosio
(1996) argumenta que a história da matemática no âmbito do ensino porta o fator
motivacional para a matemática e auxilia a compreender o que é matemática.
De acordo com Miguel e Miorim (2004) citados nas Diretrizes Curriculares
da Educação Básica do Paraná (2008, p. 66), “A história deve ser o fio condutor
que direciona as explicações dadas aos porquês da Matemática. Assim, pode
promover uma aprendizagem significativa, pois propicia ao estudante entender
que o conhecimento matemático é construído historicamente a partir de situações
concretas e necessidades reais
Quanto ao papel do professor com relação ao uso da metodologia da
História da Matemática em sala de aula, Lorenzato (2008) argumenta que ao
utilizar a história da matemática cabe ao professor não apenas relatar fatos
históricos, mas realçar os nexos existentes neles, pois são os nexos que
possibilitam uma aprendizagem significativa aos alunos. Cada professor deve
escolher da história aquilo que pode ser explorado, em função dos seus
Sendo uma criação humana, ao ser utilizada a História da Matemática em
sala de aula é possível evidenciar necessidades e preocupações de diferentes
culturas e diferentes momentos históricos, estabelecer comparações entre os
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conceitos e processos matemáticos do passado e do presente. Desse modo, o
professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais
favoráveis diante desse conhecimento.
Além disso, conceitos abordados em conexão com sua história constituem
veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande valor
formativo. A História da Matemática é nesse sentido um instrumento de resgate
da própria identidade cultural.
Ao verificar o alto nível de abstração matemática de algumas culturas
antigas o aluno poderá compreender que o avanço tecnológico de hoje não seria
possível sem a herança cultural de gerações passadas. O aluno terá condições
para entender as razões que levam alguns povos a respeitar e conviver com
práticas antigas de calcular, como o uso do ábaco ao lado de computadores de
ultima geração.
A história da matemática pode esclarecer idéias matemáticas que estão
sendo construídas pelo aluno especialmente para dar respostas a alguns porquês
e desse modo, contribuir para a constituição de um olhar mais critico sobre os
objetos de conhecimento.
ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
A pesquisa será desenvolvida com as 8ª séries do ensino fundamental do
Colégio Estadual Padre Sigismundo, situado no município de Quedas do Iguaçu,
através de 12 aulas.
Os conteúdos serão abordados com a utilização da metodologia de
Resolução de Problemas articulados a metodologia da História da Matemática.
Buscar-se-á motivar os alunos, através da discussão de problemas
contextualizados, partindo das noções prévias que os alunos possuem sobre os
conceitos geométricos. Desse modo, os alunos terão oportunidade de estabelecer
relações entre a geometria e sua vida cotidiana. Para a abordagem sobre a
história do surgimento dos teoremas serão utilizados slides.
Além disso, serão utilizadas atividades exploratórias através do uso do
origami. A palavra origami é uma palavra japonesa composta por oru que
significa ‘dobrar’ e kami que significa ‘papel’. Paiva e Bezerra (2009) destacam
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que o origami no ensino da geometria caracteriza-se como instrumento
pedagógico interessante e eficaz pela motivação lúdica e sensação de descoberta
que provoca no aluno. O estudo da Geometria através de construções com o
auxílio do Origami proporciona momentos para explorações e representações que
permitem investigar as propriedades dessas construções. Desse modo, o aluno
amplia suas possibilidades de percepção e exploração do espaço, fundamental
para a leitura e interpretação do mundo que o cerca.
ATIVIDADES
1ª atividade : História da Geometria
Objetivo: compreender a Geometria desde suas origens até o momento atual
destacando as obras dos matemáticos gregos Tales de Mileto e Pitágoras de
Samos.
Carga horária : 02 h/a
Metodologia: exposição do histórico usando PowerPoint para posterior debate,
discussão e elaboração da síntese pelos alunos.
Atividade : Elaborar uma síntese sobre a origem da Geometria.
2ª atividade : Geometria Plana
Objetivo: identificar segmentos, retas paralelas, retas perpendiculares, ângulos e
triângulos.
Carga horária : 02 h/a
Metodologia: construção e visualização da geometria em origamis.
Atividade:
Segundo Paiva e Bezerra (2009) para a utilização do origami em sala de
aula é fundamental que sejam seguidas algumas dicas, tais como: deve-se evitar
o uso de cola e tesoura, dando à dobradura o formato adequado; ao iniciar as
etapas para a construção do origami, deve-se certificar-se que o papel é
exatamente quadrado, pois esta é a forma inicial do papel utilizado na maior parte
dos origamis; os vincos devem ser feitos com firmeza, calma e exatidão e o papel
a ser usado não deve ser nem muito grosso, nem fino demais.
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Assim, as instruções serão repassadas aos alunos e estes, primeiramente
seguindo os passos, irão construir os origamis. Haverá intervenção da professora
PDE, para comunicar as dicas fundamentais na construção de um origami e caso
os alunos encontrem dificuldades.
Em cada etapa da construção, os alunos serão questionados a respeito
dos elementos geométricos formados, tais como segmentos paralelos, segmentos
perpendiculares, ângulos e triângulos e ao final, deverão responder algumas
questões, registrando-as, resultantes da observação do origami construído.
1) Construa o rosto de um cachorro, seguindo as instruções e, na
seqüência, responda as questões: Instruções:
Fonte: http://www.comofazerorigami.com.br/origami-de-cachorro/
Questões: a) Identifique dois segmentos paralelos no origami?
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b) Identifique dois segmentos perpendiculares no origami? c) Identifique um ângulo no rosto do cachorro e determine sua medida com o uso do transferidor? d) Quantos triângulos foram podem ser observados no rosto do cachorro?
2) Construa um envelope, seguindo as instruções e, na seqüência, responda as questões: Instruções:
Fonte: http://www.comofazerorigami.com.br/origami-de-envelope-simples/
Questões: a) Identifique dois pares de segmentos paralelos? b) Identifique dois pares de segmentos perpendiculares? e) Identifique um ângulo no origami e determine sua medida com o uso do transferidor? f) Quantos triângulos foram podem ser observados no origami?
3) Construa um peixe de papel, seguindo as instruções e, na seqüência, responda as questões:
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Instruções:
Fonte: http://mestresdoorigami.blogspot.com/2009/05/origami-peixe.html
Questões:
a) Identifique dois segmentos paralelos? b) Identifique dois segmentos perpendiculares? c) Identifique um ângulo no origami e determine sua medida com o uso do transferidor? d) Quantos triângulos foram podem ser observados no origami?
3ª atividade : Razão e proporção
Objetivo: abordar razão e proporção
Carga horária : 02 h/a
Metodologia: resolução de problemas
Atividades:
As atividades serão apresentadas aos alunos, uma de cada vez, os quais
terão oportunidade de ler, interpretar e buscar a solução das questões. Haverá
intervenção da professora PDE se for observado que os alunos não apresentam
conceitos prévios sobre o conteúdo abordado. A primeira e a segunda atividade
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têm por objetivo abordar razão. As atividades serão discutidas até que os alunos
compreendam o conceito de razão e sua aplicação.
1) Usando dobraduras em uma folha de papel construa um retângulo com as seguintes medidas 10 cm a medida maior (comprimento) e o lado menor (largura) com 4 cm. A. Qual a razão entre a medida do lado maior e o lado menor desse retângulo? B. Qual a razão entre a medida do lado menor e o lado maior desse retângulo? C. Se aumentarmos 3 cm em cada lado do retângulo formado, a razão entre o comprimento e a largura permanecerá a mesma?Justifique.
2) Em uma sala de aula, sabe-se que a razão do número de meninos para
o número de meninas é de 5/4. Se o número total de alunos presentes na turma é de 40 alunos: A. Quantas meninas estão presentes na sala de aula? B. Quantos meninos estão presentes na sala de aula?
A partir da terceira atividade será explorada a igualdade entre duas
razões e a sua importância para determinar um quarto termo desconhecido,
utilizado a propriedade fundamental das proporções, bem como, grandezas
diretamente proporcionais e inversamente proporcionais em regras de três
simples.
3) A ESCALA é a razão entre o comprimento de um desenho representado no plano e o comprimento real. Os dois comprimentos são diretamente proporcionais e exprimem-se sempre na mesma unidade. Assim, se um mapa que representa a cidade de Quedas do Iguaçu indica que foi construído com a escala 1/50000, significa que cada 1 cm no desenho corresponde a 50.000 cm do real. A. Qual a distância real que se encontram duas ruas cuja distância no mapa é de 8 cm? B. Qual a medida no desenho entre dois bairros cuja distância real igual a 6 km?
3) Ao desenhar a planta de uma sala de aula que tem 6 metros de comprimento em uma folha de papel, usando uma escala de 1/20, qual será o comprimento da sala de aula no desenho?
5) Trabalhando durante 20 dias numa panificadora uma pessoa recebeu R$ 400,00. Quanto receberia se tivesse trabalhado 5 dias a mais?
6) Em um determinado instante do dia foi observado que um prédio de 5 metros de altura projetava uma sombra de 2 metros. Nesse mesmo instante quanto irá medir a sombra de uma pessoa que mede 1,80m?
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7) Para donos de carros bicombustíveis, o álcool é mais vantajoso
economicamente se o preço do álcool não ultrapassar 70% do preço da gasolina. Sabendo que o preço do litro da gasolina é de R$ 2,49 e o preço do litro do álcool é de R$ 1,36, o que é mais vantajoso usar no momento: álcool ou gasolina?
8) Um automóvel com velocidade de 100 km/h demora 3 horas para ir de
Quedas do Iguaçu a Guarapuava. Quanto tempo levará para percorrer essa mesma distância se aumentar a velocidade para 120 km/h?
4ª atividade : Teorema de Tales
Objetivo: compreender e utilizar o Teorema de Tales na resolução de problemas
práticos.
Carga horária : 02 h/a
Metodologia: Resolução de Problemas
Atividades:
As atividades buscam explorar o teorema de Tales, que afirma ‘retas
paralelas cortadas por retas transversais determinam segmentos proporcionais’
através de problemas práticos.
1) No loteamento do Jardim Floresta no alinhamento da Rua Gira sol, as
frentes de dois terrenos medem 20m e 30m. Se as divisas laterais são paralelas e no alinhamento do fundo dos terrenos o terreno que tem a menor frente mede 24m. Qual é a medida do fundo do outro terreno?
2) A torre da Igreja Matriz mede 34m de altura e projeta uma sombra de
8,5 m, a antena que fica no alto da torre projeta uma sombra de 35 cm
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de comprimento. Determine a altura da antena, sabendo que os raios solares são inclinados e paralelos.
3) Para a instalação elétrica de uma residência, um eletricista planejou utilizar três fios paralelos e dois fios transversais, indicando-os respectivamente, por a, b, c os fios paralelos e, por r e s, os fios transversais, conforme figura.
Para esticar os fios transversais possuía apenas 20 metros de fio, então percebeu que faltaria fio elétrico para finalizar a instalação. A) Quanto mede o pedaço de fio da reta s entre os fios b e c? B) Quanto de fio o eletricista precisou comprar a mais para finalizar a instalação?
5ª atividade : Semelhança de triângulos
Objetivo: Reconhecer triângulos semelhantes.
Carga horária : 02 h/a
Metodologia: Resolução de Problemas
Atividades:
Através de diálogo entre professor e alunos, buscar-se-á investigar
primeiramente o que os alunos entendem por semelhança de figuras,
apresentando figuras triangulares, quadrangulares, hexagonais de medidas iguais
e de medidas proporcionais, no intuito de diferenciar semelhança de figuras de
congruência de figuras.
Na seqüência, como primeira atividade serão apresentados tipos de
triângulos para que os alunos encontrem os triângulos semelhantes, recortando e
comparando por sobreposição de figuras. Nesta primeira atividade, os alunos
terão oportunidade de perceberem, discutirem e concluírem no grupo que dois
triângulos são semelhantes quando possuem ângulos congruentes e lados
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homólogos proporcionais. Poderá ocorrer intervenção da professora PDE caso os
alunos não consigam chegar ao conceito de semelhança de triângulos
independentemente.
Assim, como primeira atividade, os alunos receberão uma folha de papel
com oito tipos de triângulos, os quais serão recortados e comparados por
sobreposição, conforme segue:
1) Recorte os triângulos A, B, C, D, E, F, G, H e encontre os pares de triângulos semelhantes: A.
B. C. D.
E.
F. G. H.
A. O que pode ser observado nos pares de triângulos semelhantes? B. Existe algum par de triângulos semelhantes e congruentes?
Na seqüência, serão apresentados os critérios de semelhança, de modo
que os alunos possam determinar se dois triângulos são semelhantes sem a
necessidade de sobreposição de figuras e novamente poderão comparar os
triângulos da primeira atividade. Primeiramente deverão determinar as medidas
dos ângulos usando transferidor e a medida dos lados usando régua. Pelos dados
obtidos poderão verificar a semelhança dos triângulos sem a necessidade de
sobreposição de figuras.
Para exemplificar a aplicação de semelhança de triângulos, a segunda
atividade vai explorar o cálculo da altura da pirâmide de Queóps, cálculo realizado
por volta de 600 a.C por Tales de Mileto. Aqui também, os alunos terão a
oportunidade de fazer a leitura e interpretação da situação, bem como de buscar
a solução por meio de discussões em grupos.
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2) Tales de Mileto foi um filósofo e matemático grego que viveu por volta de 600 a.C. Foi o primeiro matemático a organizar os conhecimentos geométricos dos egípcios e babilônios e entre suas descobertas, determinou, sem escalar, a altura da pirâmide de Quéops, surpreendendo o faraó egípcio Amásis. O procedimento utilizado por Tales resultou de suas observações da natureza. Tales observou que os raios solares chegavam a Terra inclinados e paralelos e, portanto, que havia uma proporcionalidade entre a altura dos objetos e suas sombras. Assim, fincou uma estaca verticalmente na extremidade da sombra projetada pela grande pirâmide e observou que a altura da pirâmide e a sua sombra seriam os lados de um triângulo retângulo e o mesmo aconteceria com o bastão e a sua sombra. Observando a figura abaixo que esquematiza a situação, responda:
A. O que pode ser observado com os triângulos retângulos formados; B. Que relação você acha que pode ser tirada observando a figura; C. Se a estaca usada por Tales media 2m, sua sombra 0,8m e a
sombra da pirâmide 58,8m, quantos metros mede a altura da pirâmide de Queóps.
Para finalizar a atividade, será apresentada mais uma situação de
utilização de semelhança de triângulos, conforme segue:
3) Para fazer um investimento, pequenos agricultores investiram na
plantação de eucaliptos justificando que o crescimento é rápido e o resultado financeiro é positivo. Para determinar a medida do eucalipto para a venda os agricultores utilizam-se de uma vara de 0,8m colocada verticalmente ao lado do eucalipto e medem a sombra projetada por essa vara. No mesmo instante medem a sombra projetada pelo eucalipto e estabelecem relações geométricas. A. Se a sombra projetada pela vara for de 0,6m e a sombra do eucalipto for de 5m, qual a medida da altura desse eucalipto? B. Que tipo de relação os agricultores estabelecem? C. Porque é possível estabelecer esse tipo de relação?
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6ª atividade : Teorema de Pitágoras
Objetivo: compreender e utilizar o Teorema de Pitágoras em situações
contextualizadas.
Carga horária : 02 h/a
Metodologia: dobraduras de papel e Resolução de Problemas
Atividade:
Na primeira e segunda atividade os alunos serão incentivados a encontrar
a relação entre as medidas dos catetos e a medida da hipotenusa de um triângulo
retângulo, conhecida como teorema de Pitágoras, usando dobraduras de papel.
Primeiramente será solicitado que calculem a medida da hipotenusa usando
régua. Haverá a intervenção da professora PDE, caso os alunos não consigam
perceber que o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos
catetos.
1) Construa com as dobraduras de papel quadrados com as seguintes medidas :2 cm de lado, 3 cm de lado, 4 cm de lado, 5 cm de lado. Utilizando uma régua determine a medida da diagonal em cada quadrado dobrado. Responda: A. Quais regularidades podem ser observadas ao comparar as medidas calculadas? B. Que figuras ficaram determinadas ao se traçar essa diagonal? C. Que tipo de relação existe entre as medidas dos lados do quadrado e a medida da diagonal? D. Escreva uma fórmula que permita calcular a medida da diagonal de um quadrado com lado medindo 1 u.m..
2) Dobrando papel forme um triângulo equilátero cujo lado mede 6 cm. Calcule a altura do triângulo equilátero.
A partir da terceira atividade serão realizadas aplicações do teorema de
Pitágoras, conforme segue:
3) O objetivo do governo é levar a luz para todos, para isso utiliza-se de postes para a rede elétrica. Numa avenida foram colocados dois postes que medem 20m e 50m de altura e a distância entre eles é de 45m. Um fio elétrico liga as extremidades dos postes. Qual é o comprimento desse fio?
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4) O portão de uma fazenda mede 1,2 m de largura por 1,6m de comprimento e tem uma tábua transversal na diagonal na porteira, conforme figura:
Pede-se: qual o comprimento dessa tábua transversal?
4) Um avião está percorrendo o seu de Quedas do Iguaçu. Suponha que você o observa sob um ângulo de 60°
AVALIAÇÃO
A avaliação será realizada no decorrer do processo de implementação das
atividades na escola, a partir de questionamentos aos alunos sobre os seus
conhecimentos prévios, bem como na participação e desenvolvimento das
atividades, discussão e formação de conceitos, no intuito de promover a
assimilação dos conteúdos propostos e, consequentemente, uma aprendizagem
significativa.
Também será realizada a avaliação sobre as práticas desenvolvidas, por
meio de reflexões sobre o que deu certo e o que precisa ser melhorado, ni intuito
de promover sugestões para a melhoria do processo de ensino.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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BOYER, Carl B. História da Matemática ; trad.: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais : Matemática. Vol.3. Brasília: MEC/SEF, 1997.
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D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da teoria á pratica. Campinas, São Paulo: Papirus, 1996.
DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas. São Paulo: Ática, 2000.
LORENZATO. S. O laboratório de ensino de matemática na formação d e Professores . 3 ed. Campinas,SP: Autores Associados. 2008. LORENZATO, Sérgio e VILA, Maria do Carmo. Século XXI: qual Matemática é recomendável? Revista Zetetiké , Campinas, SP: março de 1993, n. 01, p. 41 à 49 PAIVA, Jussara Patrícia A. Alves e BEZERRA, Maria da Conceição Alves. O origami no ensino de geometria: uma experiência em sala de aula. II EREM/RN-Anais do SBEM/Rio Grande do Norte. 12 a 14 de agosto de 2009. Disponível em: http://www.sbemrn.com.br/site/II%20erem/comunica/doc/comunica17.pdf. Acesso em: 04/08/2011.
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PAVANELLO, Regina Maria; Porque ensinar/aprender geometria? Anais do VII EPEM, USP, 2004. Disponível em: http://www.sbempaulista.org.br/epem/anais/mesas_redondas/mr 21-Regina.doc. Acesso em: 20/07/2011. SOARES, Maria Teresa Carneiro e PINTO, Neuza Bertoni. Metodologia da Resolução de Problemas. SOARES, Maria Teresa Carneiro e PINTO, Neuza Bertoni. Metodologia da Resolução de Problemas. 33ª reunião Anual da Anped, GT 19, 07/10 a 11/10/2001 Disponível em: http://www.ufrrj.br/emanped/paginas/conteudo_producoes/docs_24/metodologia.pdf. Acesso em: 16/06/2011. Sites: http://www.comofazerorigami.com.br/ http://mestresdoorigami.blogspot.com/2009/05/