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FICHA PARA CATÁLOGO
PRODUCÃO DIDÁTICOPEDAGÓGICA
Avaliação no processo ensino aprendizagem de Matemática
Autor Juares Cordeiro da SilvaEscola de Atuação Colégio Estadual James Patrick Clark – E.M.F.DMunicípio da escola Terra RicaNúcleo Regional de Educação
Paranavaí
Orientador Nelma Sgarbosa Roman de Araujo Instituição de Ensino Superior
Universidade Estadual do Paraná – Campus de
ParanavaíDisciplina/Área (entrada no PDE)
Matemática
Produção Didáticopedagógica
Unidade Didática
Relação Interdisciplinar
Física e Ciências
Público Alvo Alunos do 1º ano do Ensino MédioLocalização Colégio Estadual James Patrick Clark – E.M.F.D.
Rua Duque de Caxias, nº 1918, Terra RicaApresentação Este projeto busca auxiliar a maioria dos alunos de
uma turma de Ensino Médio a superar as suas
dificuldades em Matemática por meio da utilização
da Metodologia de Ensino Resolução de Problemas
e de um instrumento de avaliação que compreende
três fases. Este instrumento, pouco conhecido,
pretende favorecer os alunos a superarem suas
dificuldades por meio de pesquisas, ajuda dos
colegas e orientação do professor, também pode
promover o desenvolvimento de atitudes e
habilidades que envolvam a argumentação oral e
escrita de idéias e conceitos matemáticos, o
companheirismo e a autonomia. Palavraschave Avaliação; Instrumento de avaliação; Resolução de
Problemas.
APRESENTAÇÃO
A presente Unidade Didática é relacionada com o tema de estudo: Concepção sobre
a Matemática e as práticas avaliativas. A Justificativa é que a temática Avaliação é
bastante polêmica e delicada, não havendo unanimidade entre os professores de
qual é a melhor forma ou quais são os melhores instrumentos que podem ser
utilizados efetivamente no processo ensino aprendizagem, mesmo havendo um
consenso de que a avaliação é imprescindível no decorrer deste.
Zabala (1998, p. 195), apud Pavanello e Nogueira, (2006, p.30), nos diz que
O estudo e a pesquisa de vários autores no que referese à avaliação em Matemática mostra que existem caminhos que apontam para uma melhoria no processo ensino aprendizagem dessa disciplina, que normalmente é apontada como uma das principais causadoras de traumas e principalmente da evasão escolar, ocasionando com isso a exclusão social.
Um dos caminhos que encontramos e pensamos ser coerente é a utilização de um
instrumento de avaliação que compreende três fases. O qual permitirá auxiliar a
maioria dos alunos a superar as suas dificuldades em matemática por meio da
pesquisa com utilização de recursos de apoio, da colaboração dos colegas, da
orientação do professor que com questionamentos conduz e estimula os alunos na
busca da solução desejada.
Assim, o tema relacionado com a avaliação mostra a sua importância no processo
ensino aprendizagem, pois ao pensarmos em avaliação, devemos refletir sobre o
que, para quem e para que ensinar, e, portanto, como ensinar.
Essa Unidade didática tem como público alvo os alunos do 1º ano do Ensino Médio,
Colégio Estadual James Patrick Clark – E.M.F.D.
O Objetivo Geral é auxiliar a maioria dos alunos de uma turma de Ensino Médio a
superar as suas dificuldades em matemática por meio da utilização da metodologia
de ensino de matemática Resolução de Problemas e de um instrumento de
avaliação que compreende três fases.
Este material tem como objetivos específicos utilizarse da metodologia Resolução
de Problemas no processo ensinoaprendizagem, no intuito de propiciar a
construção do conhecimento do aluno de forma mais significativa; acompanhar,
pelas situações problemas apresentadas e pelas fases da prova, quais os conceitos
que os alunos apresentam maior dificuldade na temática trabalhada; incentivar o
envolvimento dos alunos nas tarefas propostas, bem como no trabalho em grupo;
demonstrar que o aproveitamento dos alunos diante de um conhecimento trabalhado
pelo professor pode melhorar de acordo com as oportunidades dadas aos alunos no
processo ensino aprendizagem e, principalmente, no processo avaliativo.
Este material didático tem a intenção de apresentar subsídios para o trabalho dos
professores, de modo que consiga despertar o aluno para visualizar o movimento de
translação do gráfico de uma função polinomial do 2º grau com relação ao eixo das
abscissas e o eixo das ordenadas, no plano cartesiano ortogonal. Ressaltase que a
função quadrática é um tema que está interligado com a resolução de equações do
2º grau, conteúdo que o aluno já estudou.
É importante que antes de se começar o estudo sobre gráficos, os alunos sejam
estimulados a terem conhecimento do plano cartesiano e a relação existente entre
duas grandezas.
Nosso estudo é direcionado para a utilização da Metodologia de Resolução de
Problemas, e a aplicação de questões do diaadia, apresentando um nível de
dificuldade que seja desafiadora e motivadora ao mesmo tempo.
UNIDADE DIDÁTICA
AVALIAÇÃO NO PROCESSO ENSINO APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA
Neste material didático são explorados os seguintes conteúdos relacionados com
Função do 2º grau ou Função Quadrática: Gráfico da Função, Raízes ou Zeros da
Função, Interpretação Gráfica, Vértice e eixo de simetria, Conjunto Imagem e o
Estudo do sinal de uma Função Quadrática.
Breve Histórico da equação e função do 2º grau.
A resolução de problemas com equações do 2º grau aparece na história da
matemática desde a antiguidade com os babilônios, os egípcios, os gregos, os
hindus e os chineses.
Na Grécia, o estudo da matemática tinha cunho filosófico e pouco prático. Euclides
no seu trabalho Os Elementos fez a resolução de equações polinomiais do 2º grau
por meio de métodos geométricos. Diophanto deu uma grande contribuição para o
avanço na procura da resolução de equações do 2º grau, pois fazia a sua
representação utilizandose de alguns símbolos, sendo que anteriormente a
equação e a sua solução tinham sua representação pela forma discursiva.
Na Índia a resolução de equações polinomiais do 2º grau era feita completandose
quadrados. Este processo de resolução foi apresentado pelo matemático árabe
Muhammad Ibn Musa AlKhowarizmi, que viveu no século IX.
Na China, o método utilizado para as resoluções de equações do 2º grau foi o fan
fan, publicado por Zhu Shijie (também chamado de Chu ShihChieh), no século XIII,
em seu Tratado das Nove Seções. A redescoberta desse método aconteceu no
século XIX, pelos ingleses William George Horner e Theophilus Holdred e,
anteriormente, pelo algebrista italiano Paolo Ruffini. Assim o método fanfan passou
a ser conhecido na Europa como método de Horner (Texto extraído de:
<http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/requacoes.html>. Acesso em: 18 jun.
11)
No Ensino Médio, hoje, a resolução de equações do 2º Grau é feita utilizandose a
fórmula de Bhaskara.
O nome Fórmula de Bhaskara foi dada em homenagem ao matemático Bhaskara
Acharya, considerado o mais importante matemático indiano do século XII.
Bhaskara Acharya viveu de 114 a 1185 aproximadamente, na Índia. Nascido numa
tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família,
porém com uma orientação científica, dedicandose mais à parte matemática e
astronômica (tais como o cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das
posições e conjunções dos planetas) que dá sustentação à Astrologia.
Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do
Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da
Índia na época (Disponível em: <http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/bhaskara/
bhaskara.php>. Acesso em: 18 jun. 2011).
A fórmula de Bhaskara é principalmente usada para resolver equações quadráticas
de fórmula geral ax2+bx+c=0, com coeficientes reais, com a≠0 e é dada por:
Chamamos de discriminante: = bΔ 24ac
Dependendo do sinal de , temos:Δ
• =0, então a equação tem duas raízes iguais.Δ• >0, então a equação tem duas raízes iguais diferentes.Δ• <0, então a equação não tem raízes reais.Δ
A idéia da demonstração da fórmula de Bhaskara é o completamento de quadrados.
Vejamos:
ax2+bx+c=0
a2x2+abx+ac=0
4a2x2+4abx+4ac=0
4a2x2+4abx+b2+4ac=b2
(2ax)2+2(2ax)b+b2=b24ac
(2ax+b)2=b24ac
Pela Fórmula de Bhaskara, podemos deduzir uma expressão para a soma (S) e o
produto (P) das raízes da equação do 2º grau.
Sendo x1 e x2 raízes da equação ax2+bx+c=0, então:
S = x1+x2 = b/a
P = x1.x2 = c/a
Consideramos importante a Fórmula de Bhaskara pois nos permite resolver
qualquer problema que envolva equações quadráticas, os quais aparecem em
diversas situações importantes, como na Física por exemplo (Disponível em: <http://
www.infoescola.com/matemática/formuladebhaskara/>. Acesso em: 1 jun. 2011).
Para resolução de equações do 2º grau, utilizando a fórmula de Bhaskara, é muito
importante que os alunos saibam identificar quais são os coeficientes da equação,
classificar em completa ou incompleta, calcular o valor do discriminante e em
seguida identificar a quantidade de raízes. Para isto seria interessante que eles
montassem uma tabela do tipo:
Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=
1696>. Acesso em: 18 jun. 2011).
Segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná (DCEs),
Na Idade Moderna, o aprimoramento dos instrumentos de medida inspirou matemáticos a estudarem as noções de funções pela experiência e observação, o que contribui para a evolução do conceito. Desenvolveramse, então o tratamento quantitativo, as equações em x e y no tratamento das relações de dependência, as noções de curva nos movimentos e fenômenos mecânicos, as taxas de mudança de quantidade, as imagens geométricas e a linguagem simbólica (PARANÁ, 2008, p.58).
Podemos observar que durante a Idade Moderna, com o desenvolvimento das
Ciências e as novas descobertas, houve a necessidade de serem aprimorados
instrumentos de medidas, provocando a necessidade de se estudarem as funções e
o uso das equações com variáveis x e y. Dessa forma, o estudo de funções adquiriu
um valor muito grande, pois representava graficamente um fato ocorrido utilizando
se o plano cartesiano.
Ao fazermos a relação entre duas grandezas estamos trabalhando com funções e
isso acontece normalmente no nosso diaadia, sem notarmos que estamos
trabalhando com funções.
O uso das Funções e suas aplicações na vida prática.
Para que devemos aprender Funções?
Podemos notar que na ciência e em diferentes atividades desenvolvidas pelo
homem, as funções são utilizadas para demonstrar e estudar a relação existente
entre grandezas. Vemos aplicações de funções em situações do diaadia, como por
exemplo: no esporte, no trânsito e no trabalho. Explicitando melhor:
• O preço de uma passagem aérea é em função da distância percorrida pelo avião.
• O consumo de energia elétrica de um chuveiro elétrico é em função do tempo gasto no banho.
• O consumo de combustível é em função da distância percorrida pelo veículo.
• O consumo de combustível é em função da velocidade desenvolvida pelo veículo.
• O valor do juro pago por um empréstimo é em função da quantia do empréstimo.
Função Quadrática
O conceito de função pode ser considerado como um dos mais importantes dentro
da Matemática, pois tem aplicações em teorias de diversas outras ciências, tais
como: Física, Química, Biologia, Estatística e outras.
Notamos que as funções estão presentes em diversas situações do nosso diaadia.
Com certeza você já deve ter observado várias vezes, no seu diaadia, uma curva
que denominamos de parábola.
Podemos citar algumas situações em que essa curva aparece:
• Em uma partida de futebol, quando é cobrado o escanteio, a bola efetua
uma trajetória, na maioria das vezes curva que é semelhante a uma
parábola.
• Em um jogo de tênis, quando é bola é lançada ou rebatida pelo jogador,
ela apresenta uma trajetória muitas vezes curva que é semelhante a uma
parábola.
• O arremesso de uma bola de basquete na cesta. Apresenta uma trajetória
semelhante a uma parábola.
Curiosidade: antenas e espelhos
A palavra parábola está associada ao gráfico da função de forma y = ax² + bx + c.
Todos vocês devem conhecer as antenas parabólicas, mas nem todos fazem a
ligação entre essas antenas e a parábola.
Os espelhos dos telescópios e dos faróis dos automóveis também são parabólicos.
Mas, por quê?
Para responder a esta pergunta é preciso compreender um pouco sobre o
funcionamento de uma antena que capta sinais do espaço e de um espelho de
telescópio astronômicos. Nos dois exemplos, os sinais que recebem (ondas de rádio
ou luz) são muito fracos. Por isso, é necessário captálos em uma área
relativamente grande e concentrálos em um único ponto para que sejam
naturalmente amplificados. Portanto, a superfície da antena (ou espelho) nesses
casos deve ser tal que todos os sinais recebidos de uma mesma direção sejam
direcionados para um único ponto após a reflexão.
A parábola possui exatamente essas propriedades, por essa razão, as antenas e os
espelhos são parabólicos (Revista do Professor de Matemática, n. 33, 1997,
p.1213).
Podemos identificar uma função quando houver uma relação entre duas grandezas.
Chamase função quadrática a função f:IR IR que associa a cada número real x, o―
número real ax² + bx + c, com a, b e c reais e a ≠ 0.
Função Quadrática: f: IR IR sendo f(x) = ax² + bx + c = 0, com a, b e c E IR e―
a ≠ 0.
Exemplos:
f(x) = 3x² + 4x + 2, onde a = 3, b = 4 e c = 2
f(x) = 4x² + 5x – 6, onde a = 4, b = 5 e c = 6
f(x) = ½x² + 4, onde a = ½, b = 4 e c = 0
Sugestões de atividades:
1) Qual é a fórmula matemática que pode expressar a razão da área y do retângulo
EFGH ser dada em função da medida x indicada na figura.
E x 4 F
x Q1 R1
2 R2 R3
G H
2) Sabendo que o volume y de uma caixa d’água com forma de paralelepípedo é em
função da sua medida x indicada, encontre a fórmula matemática que representa
essa função
x + 3____________________________
x 3
3) A área do retângulo ABCD da figura a seguir é dada em função das medidas x
indicada na figura. Encontre a fórmula matemática que representa essa função.
A B x 4
x
D x 10 C
4) (PUCC SP) Um projétil da origem O (0,0), segundo um referencial dado, percorre
uma trajetória parabólica que atinge sua altura máxima no ponto (2, 4). Escreva a
equação dessa trajetória. (Atividade extraída do livro: Contexto e Aplicações, Luiz
Roberto Dante, São Paulo: Editora Ática, 2010, P.180)
5) José lança uma pedra verticalmente para cima. Após dois segundos do
lançamento, a pedra alcança 8 metros de altura e começa a descer. Sabendo que a
lei que descreve a altura h, em metros, com relação ao tempo t, em segundo, é da
forma h(t) = at² + bt, com a, b E IR e a ≠ 0,
a) Vamos determinar a lei de formação dessa função.
b) Determine a altura da pedra 4 segundos depois do lançamento.
c) Se fizermos a comparação do tempo de subida com o tempo de descida da pedra,
o que poderemos observar?
Gráfico da função do 2º grau ou quadrática
O sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido com Plano Cartesiano, foi
criado por René Descartes com o objetivo de localizar pontos. A sua utilização mais
simples é de representarmos graficamente a localização de pontos em um
determinado plano. Por meio dele também podemos representar um segmento de
reta ou um triângulo, por exemplo.
Ele é formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro vertical que se
cruzam na origem das coordenadas. O eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e
o vertical de ordenada (y). Os eixos são enumerados compreendendo o conjunto
dos números reais. Observe a seguir uma figura representativa do plano cartesiano:
As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados (x: y). Em
razão dessa ordem, devemos localizar o ponto observando primeiramente o eixo x e
depois o eixo y. Qualquer ponto que não se encontrar sobre os eixos, estará
localizado nos quadrantes, veja:
1º QUADRANTE: x > 0 e y > 0
2º QUADRANTE: x < 0 e y > 0
3º QUADRANTE: x < 0 e y < 0
4º QUADRANTE: x > 0 e y < 0
Localizando pontos no Plano cartesiano:
A(4 ; 3) x = 4 e y = 3→
B(1 ; 2) x = 1 e y = 2→
C( 2 ; 4) x = 2 e y = 4→
D( 3 ; 4) x = 3 e y = 4→
E(3 ; 3) x = 3 e y = 3→
O Plano cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções, onde os
valores relacionados à x constituem o domínio e os valores de y, a imagem da
função. A criação do Sistema de Coordenadas Cartesianas é considerada uma
ferramenta muito importante na Matemática, facilitando a observação do
comportamento de funções em alguns pontos considerados críticos.
Podemos associar o Plano cartesiano com a latitude e a longitude, temas
relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema de
posicionamento, GPS. O Sistema de Posicionamento Global permite que saibamos
nossa localização exata na terra, desde que tenhamos em mão um receptor de
sinais GPS, informando a latitude, a longitude e a altitude com o auxílio de satélites
em órbita da Terra. Um exemplo de utilização do GPS são os aviões, que para não
se colidirem são monitorados e informados em qual rota devem seguir viagem.
Para que finalidades devemos construir ou compreender gráficos de funções?
Vamos procurar responder a essa indagação, observando a seguinte situação:
O dono de uma chácara pretende construir um galinheiro com formato retangular
junto a um muro que já existe para fazer a engorda de frangos. Se ele possui 100m
Observação: O texto e gráfico acima foram extraídos do site: <http://www.mundo educacao.com.br/matematica/planocartesiano.html>. Acesso em: 19 jun. 2011.
de tela, quais devem ser as dimensões desse retângulo para que ele obtenha a
maior área possível?
Observe um esquema representando o galinheiro:
/////////// ///////////////////////////////////////////////////////////////////////
x x
Y
Sabendo que o perímetro do galinheiro novo é de 100 m, tal que:
y + 2x = 100
y = 100 – 2x → (I)
Utilizando a fórmula da área do retângulo: AR = C*L, temos:
AR = C*L → (II)
Fazendo a substituição do (I) em (II):
AR = C*L
AR = x*(100 – 2x)
AR = 100x – 2x²
A é uma função de x.
Ao construirmos o esboço do gráfico representado por essa função no plano
cartesiano obteremos:
Xv = b /2aXv = 100 / 2*(2)
Xv = 100 / 4 → Xv = + 25
Em seguida encontraremos o valor do Yv:
Yv = / 4aΔ
Sabendo que = b² 4 ac, faremos a substituição na fórmula:Δ
Yv = (b² 4ac) / 4aYv = [( 100)² 4*( 2)*(0)] / 4*( 2)Yv = [ + 10000 – 0] / 8
Yv = 10000 / 8 → Yv = + 1250
Utilizando o valor de Xv = 25, na equação y + 2x = 100, encontraremos o valor de y
para que a área tenha medida máxima.
y + 2x = 100y + 2•(25) = 100y + 50 = 100
y = 100 – 50 → y = 50
Dessa forma se x = 25, y = 50, portanto as medidas dos retângulo são 25 m e 80 m.
Observando o gráfico podemos determinar para quais valores de x a função
aumenta (crescente) e para que valores de x a função diminui (decresce), ou seja:
Quando temos um sistema cartesiano ortogonal, a função quadrática tem o seu
gráfico representado por uma curva, que chamamos de parábola. Se observarmos
os diversos gráficos que foram construídos ao longo do tempo podemos observar
que ao fazer a construção do gráfico de qualquer função de 2º grau, tendo o seu
domínio IR, este será uma parábola.
Podemos perceber que ao fazer a construção do gráfico da função do 2º grau no
plano cartesiano ela não é fácil e simples, como a construção do gráfico da função
do 1º grau, que é uma reta.
Chamamos de parábola o gráfico da função do 2º grau, que tem o formato
aproximado de curva em forma de U, apresentando um eixo de simetria vertical.
Esse eixo é cortado pela parábola em um único ponto e em ela se afasta dele
tendendo a infinito, à sua esquerda quanto a sua direita.
Par Ordenado
É denominado de par ordenado um par de números reais que apresentam uma
disposição e numa certa ordem. Se considerarmos a e b como números reais IR, o
símbolo (a, b) representa um par ordenado onde o a é o primeiro elemento que está
localizado nas abscissas e b o segundo elemento que está localizado nas
ordenadas.
Em um par ordenado (a, b), a pertence a IR e b pertence a IR.
(a, b)
Abscissa Ordenada
Primeiro elemento Segundo elemento
Observe:
(0, 2) abscissa = 0, ordenada 2
(5, 2) abscissa = 5, ordenada = – 2
(8, 8) abscissa = 8, ordenada = 8
(1/8 , 2/3) abscissa =1/8, ordenada = 2/3
Iremos agora esboçar o gráfico de uma função polinomial do 2º grau ou função
quadrática no plano cartesiano.
Exemplos:
1) Sendo a função y = x² + 6x + 9:
a) Vamos atribuir valores aleatórios para x e encontraremos os valores de y,
fazendo isso pelo uso de uma tabela onde determinarmos os pares (x, y).
x y
5 + 4 4 + 1
3 0
2 + 1
1 + 4
Encontrando os valores de y:
Para encontrar os valores de y, devemos substituir os valores de x na equação:
Para x = 5 Para x = 4 Para x = 3y = x² + 6x + 9 y = x² + 6x + 9 y = x² + 6x + 9y = (5)² + 6( 5) + 9 y = (4)² + 6(4) + 9 y = ( 3)²+ 6( 3) + 9y = + 25 30 + 9 y = + 16 24 + 9 y = + 9 18 + 9y = 4 y = + 1 y = 0
Para x = 2 Para x = 1y = x² + 6x + 9 y = x² + 6x + 9y = ( 2)²+ 6( 2) + 9 y = ( 1)² + 6( 1) + 9y = + 4 12 + 9 y = + 1 6 + 9y = + 1 y = +4
Agora iremos construir o gráfico da função:
b) Em seguida iremos esboçar o gráfico da função do 2º grau ou quadrática da
função y = x² 6x – 9
Vamos atribuir valores para x e encontraremos os valores de y, fazendo isso pelo
uso de uma tabela.
x y
5 4 4 1
3 0
2 1
1 4
Encontrando os valores de y:
Para encontrar os valores de y, devemos substituir os valores de x na equação
Para x = 5 Para x = 4 Para x = 3y = x² 6x 9 y = x² 6x 9 y = x² 6x 9y = (5)² 6( 5) 9 y = ( 4)² 6( 4) 9 y = ( 3)² 6( 3) 9y = 25 + 30 9 y = 16 + 24 9 y = 9 +18 9y = 4 y = 1 y = 0
Para x = 2 Para x = 1 Y = x² 6x 9 y = x² 6x 9y = ( 2)² 6( 2) – 9 y = ( 1)² 6(1) 9
y = 4 +12 – 9 → y = 1 y = 1 + 6 – 9y → y = 4
Construindo o gráfico da função:
c) Agora iremos construir no plano cartesiano o gráfico representado pela
função y = x² 8x + 12.
Podemos estabelecer uma relação entre o tipo de concavidade da parábola e o
coeficiente a.
O tipo do gráfico de qualquer função polinomial do 2º grau será sempre
representado por uma parábola, e a concavidade desta parábola estará voltada
para cima quando o a > o e a concavidade estará voltada para baixo quando a < 0.
Observamos que toda parábola possui um vértice e podemos indicálo utilizando a
letra V.
Os pares de todos os pontos (x, y), com o valor de x real e y = x² + 6x + 9,
determinam o gráfico da função, que será representado por uma curva que
chamamos de parábola.
Sugestões de atividades:
6) Um móvel faz o percurso de uma trajetória retilínea com um movimento
uniformemente variado e a sua lei de posição s (em metros) em função do tempo t
(em segundos) é expressa por s(t) = + 3t t² 2. Esse móvel parte da posição – 5
com uma velocidade de 3 m/s, com sentido do movimento a favor da sentido positivo
da trajetória. Reduz a velocidade até parar e retorna, aumentando a velocidade.
Sendo assim:
a) Encontrar em que intervalos de tempo esse móvel se movimenta a favor e
contra o sentido positivo da trajetória, respectivamente.
b) Quais são os instantes que o móvel passa pela posição 0 (zero) da trajetória?
7) Um projétil é lançado e descreve uma curva segundo a lei h(t) = 4,9 t² + 24,5 t +
9,8, com h em metros e t em segundos. Determine os intervalos de tempo em que o
projétil está subindo e descendo, respectivamente (BARROSO, 2010, p.165).
Vértice da parábola
Existem outras formas de fazermos a construção do gráfico de uma função do 2º
grau do tipo y = ax² + bx + c no plano cartesiano, com a utilização de um roteiro.
Sabendo que um ponto importante para a construção da parábola é o seu vértice,
seguiremos algumas etapas que favorecem a sua construção utilizando como base
o cálculo do valor do seu vértice Xv e Yv.
Essas etapas são:
a) Fazermos a determinação das coordenadas do vértice: V (xy, yv);
b) Construir uma tabela determinando valores para à variável x menores e maiores
que xv;
c) Executar a marcação das pontos (x, y) no plano cartesiano;
d) Fazermos a união desses pontos, para construir a parábola;
e) Traçamos uma curva que passa por esses pontos formando uma parábola.
Podemos determinar o ponto de vértice V na figura cujas coordenadas podem se
indicadas por (Xv, Yv). Vamos observar que o vértice V da parábola é representado
pelo ponto de intersecção do eixo de simetria com a própria palavra.
Se dois pontos em uma parábola possuírem a mesma ordenada, consideramos que
eles são simétricos entre si.
Iremos encontrar a fórmula para descobrir o valor do vértice (Xv, Yv) de uma
parábola descrita por y = ax² + bx + c, com a ≠ 0.
Primeiro iremos descobrir a fórmula do Xv.
Sabendo que o valor do Xv pode ser determinado pela média entre x’ e x” temos:
Xv = ( x’ + x” ) / 2 Xv = [ b + + ( b – )] / 2a / 2Δ Δ Xv = [ b + – b – ] / 2a / 2Δ Δ Xv = [ 2b] / 2a / 2 Xv = 2b / 2a x 1 / 2 Xv = b / 2a (abscissa do vértice)
Agora faremos um processo semelhante para encontrarmos o valor do vértice de Yv
de uma parábola descrita por y = ax² + ax + c, iremos fazer a substituição do valor
de x pelo vértice de Xv, para encontralo:
Yv = ax² + ax + cYv = a ( b / 2a)² + b ( b / 2a) + cYv = a ( + b² / 4a²) b² / 2a + cYv = ab² / 4a² b² / 2a + cYv = b² / 4a b² / 2a + cYv = b² 2 b² + 4ac / 4aYv = b² + 4ac / 4a
Yv = ( b² 4ac) / 4a
Sabendo que Delta (Δ) = b² 4ac, podemos fazer uma substituição na equação,
obtendo assim, a fórmula do cálculo do Yv.
Yv = / 4a (ordenada do vértice)Δ
Agora faremos a construção de gráficos de funções polinomiais do 2º grau,
utilizando coordenadas de vértice (Xv, Yv).
Exemplos:
1) Vamos utilizar como exemplo o gráfico da função y = x² + 2x 3
Xv = b / 2aXv = 2 / 2(1)Xv = 2 / 2Xv = 1
Em seguida calcularemos o valor do vértice de y:
Yv = / 4a Δ
Como = b² 4ac, temos:Δ
Yv = (b² 4ac) / 4aYv = [( 2)² 4•(1)•( 3)] / 4•(1)Yv = [ + 4 + 12] / 4Yv = 16 / 4Yv = 4
Podemos observar que o valor das coordenadas do vértice V(+ 3, 1).
Vamos organizar uma tabela e marcar os pontos (x, y), já introduzindo dentro da
tabela os pontos do vértice (Xv, Yv) que são V = (+ 3, 1). E com isso, marcando
valores para x menores e maiores que Xv.
x y
3 0 2 3
1 4
0 3
1 0
Agora pela substituição dos valores de x na função y = x² + 2x – 3 encontraremos os
valores de y:
Para x = 3 Para x = 2 Para x = 1
y = x² + 2x 3 y = x² + 2x 3 y = x² + 2x 3
y = ( 3)² + 2( 3) 3 y = ( 2)² + 2( 2) 3 y = ( 1)² + 2( 1) 3
y = + 9 – 6 3 y = + 4 4 3 y = + 1 – 2 3
y = 0 y = 3 y = 4
Para x = 0 Para x = 1
y = x² + 2x – 3 y = x² + 2x 3
y = (0)² + 2(0) – 3 y = (1)² + 2(1) 3
y = 0 + 0 – 3 y = 1 + 2 3
y = 3 y = 0
Construindo o gráfico da função:
2) Construiremos agora no plano cartesiano, o gráfico da função y = x² + 8x – 6
Para começar encontraremos os valores do vértice (Xy, Yv)
Encontrando o valor de Xy:
Xv = b / 2aXv = 8 / 2•(1)
Xv = 8 / 2 → Xv = 4
Agora encontraremos o valor de Yv:
Yv = / 4aΔ
Sabendo que é igual a b² 4ac e fazendo a substituição do na fórmula temos:Δ Δ
Yv = [(8)² 4•(1)•(6) / 4•a
Yv = [64 – 24] / 4•(1)
Yv = 40 / 4 → Yv = 10
Vamos organizar uma tabela e marcar os pontos (x, y), já introduzindo na tabela os
pontos do vértice (Xv, Yv) que são V = ( 4, 10). E com isso, marcando valores para
x menores e maiores que Xv.
x y
6 18 5 21
4 10
3 21
2 18
Agora, substituindo os valores de x na função y = x² + 8x – 6 encontraremos os
valores de y:
Para x = 6 Para x = 5 Para x = 3
y = x² + 8x – 6 y = x² + 8x – 6 y = x² + 8x – 6
y = ( 6)² + 8(6) – 6 y = ( 5)² + 8(5) 6 y = (3)² + 8(3) – 6
y = + 36 – 48 – 6 y = + 25 – 40 – 6 y = + 9 – 24 – 6
y = 18 y = 21 y = 21
Para x = 2
y = x² + 8x 6
y = (2)² + 8(2) – 6
y = + 4 – 16 – 6 → y = 18
Construindo o gráfico:
Sugestões de atividades:
8) (UFRGSRS) Uma bola é colocada no chão e chutada para o alto, percorrendo
uma trajetória descrita por u = 2x² = 2x, em que y é a altura dada em metros. A
altura máxima atingida pela bola é de: (RIBEIRO, 2010, p.120).
a) 36 mb) 18 mc) 6 md) 3 m
9) Na Lua, um astronauta lança uma rocha verticalmente para cima com velocidade
de 10 m/s. Ao chegar à Terra, o astronauta faz a mesma experiência com a mesma
rocha e à mesma velocidade. As leis que representam o movimento da rocha em
cada local são:
SLUA(t) = 10 t – 0,8 t² e STERRA(t) = 10 t – 5 t²
Em qual dos dois locais o tempo de subida e o de descida são menores? Qual é a
diferença entre esses tempos? (BARROSO, 2010, p.164)
10) Uma bola é arremessada ao ar. Sabese que a altura h em metros, t em
segundos após o lançamento, é definida pela função h = 2 t² + 8 t + 10. Descubra:
a) Qual é o instante que a bola vai alcançar a sua altura máxima?
b) Qual é a altura máxima que a bola pode atingir?
c) Depois de quantos segundos após o arremesso a bola toca o solo?
11) A parábola da figura abaixo é dada por y = x² x + 2. Calcule a área do
triângulo OAB (NETTO, 1995, p.226).
Raízes ou zeros da função quadrática
Ao igualarmos ax² + bx + c = 0, estamos estabelecendo que y = f(x) = 0, em muitos
casos poderemos encontrar os valores de x pertence a IR, e chamamos esses
valores obtidos de raízes ou zeros da função polinomial do 2º grau.
Os zeros da função polinomial do 2º grau são representados pelos pontos em que a
parábola corta o eixo de x, são aqueles valores reais de x em que a função f(x) =
ax² + bx + c se anula sendo f(x) = 0.
Assim para encontrarmos os zeros de uma função polinomial do 2º grau, vamos
encontrar o valor de f(x) = 0.
Sendo assim:
f(x) = 0
f(x) = ax² + bx + c
0 = ax² + bx + c equação do 2º grau
Para encontrarmos os valores das raízes da equação do 2º grau, usaremos a
fórmula de Bháskara.
De forma algébrica podemos encontrar os zeros da função polinomial do 2º grau
calculandose a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0.
Para expressar essas raízes, normalmente utilizamos símbolos tais como x’ e x” ou
x1 e x2.
Se tivermos y = 0, faremos ax² + bx + c = 0.
Pela fórmula de Bháskara podemos determinar o número de raízes por meio do
valor da discriminante ( ) Delta. É o que veremos a seguir:Δ
x’= ( b + ) / 2a e x” = ( b – ) / 2aΔ Δ
Mas temos que considerar o valor da discriminante ( ), ou seja:Δ
> 0Δ
Quando o valor do > 0, a função apresentará duas raízes reais e diferentes, dessaΔ
forma a parábola apresentará dois pontos diferentes no eixo de x: ( x’ , 0 ) e ( x” , 0 ).
= 0Δ
Quando o valor do = 0, a função apresentará raízes reais e iguais: x’ = x”, dessaΔ
forma a parábola vai tangenciar o eixo de x.
< 0Δ
Quando o valor do < 0, a função não apresentará raízes reais, portanto a parábolaΔ
não tocará em nenhum ponto no eixo de x.
Ao construirmos gráficos de funções polinomiais do 2º grau, iremos observar que:
A parábola poderá cortar o eixo de x em dois pontos;
A parábola poderá cortar o eixo de x em um único ponto (ela tangencia o eixo de x);
A parábola poderá não cortar o eixo de x.
Se observarmos de forma geométrica os zeros da função constataremos que eles
correspondem aos valores de x que têm valores correspondentes nos pontos de
intersecção da parábola com o eixo de x, sabendose que nesses pontos temse o
valor de y = 0.
Dessa maneira temos que:
Se > 0, a parábola cortará o eixo de x em dois pontos.Δ
Se = 0, a parábola cortará o eixo de x em apenas um ponto, ela tangenciará oΔ eixo de x.
Se < 0, a parábola não cortará o eixo de x.Δ
Segue um resumo dessas condições com um esboço do gráfico:
x² 7x + 10 = 0
x’ = 2, x” = 5
x² 10x + 25 = 0
x’= 5, x”= 5
x² + 9x – 18 = 0
x’ = 3, x” = 6
Sugestões de atividades:
12) Sabendo que dois móveis, A e B, partem ao mesmo instante de um ponto x e
desenvolvem movimentos retilíneos que atendem às leis sc(t) = 2 + 2 t e sD(t) = t² 2
t + 2. Em que intervalo de tempo o móvel c fica em frente ao móvel D?
13) Sendo o lucro de uma fábrica dado pela lei L(x) = x² + 6 x – 5, onde x é a
quantidade de produtos vendidos (em milhares de reais) e L é o lucro (em milhares
de unidades), perguntase:
a) Para quais valores de x os lucros são positivos?
b) Qual é a quantidade de produto que se deve vender para que a fábrica tenha
lucro máximo?
1. Qual é o lucro máximo dessa fábrica?
Estudando a concavidade da parábola
Vamos considerar algumas funções do 2º grau:
f(x) = x² + 16x + 64
f(x) = x² 7x + 12
Observando os esboços dos gráficos notamos que nesses gráficos, o valor de a > 0
e que a parábola tem a sua concavidade voltada para cima.
f(x) = x² 4x + 5
f(x) = 2x² + 8x 8
Notamos que nesses gráficos, o valor de a < 0 e que a parábola tem a concavidade
voltada para baixo.
Assim podemos concluir, que:
Se a > 0, a parábola terá a sua concavidade voltada para cima.
Se a < 0, a parábola terá a sua concavidade voltada para baixo.
Valor máximo e valor mínimo da função polinomial do 2º grau
Se considerarmos uma parábola da função y = ax² + bx + c, com a < 0, a
concavidade da parábola está voltada para baixo, a função possui um valor máximo,
que é o valor Xv = b / 2a (como veremos no esboço do gráfico a seguir)
Se fizermos uma caminhada pelo gráfico, começando da esquerda em sentido a
direita, observaremos que os valores de y aumentam, até atingir o vértice, em
seguida os valores de y começam a diminuir. Veremos que de todos os pontos da
parábola, o vértice é o que possui ordenada máxima, sendo assim, concluímos que
o vértice é o ponto de máximo.
Quando a concavidade da parábola está voltada para cima (a > 0), a função possui
um ponto mínimo, que é o valor Yv = / 4aΔ
Sugestões de atividades:
14) Uma bola de basquete ao ser arremessada em direção à cesta descreve uma
parábola, sabendo que a lei que descreve essa parábola é h(t) = t² + 5t, sendo t o
tempo (em segundos) levado depois do lançamento e h (em metros) sendo a altura
atingida pela bola no instante t. Quando a bola é arremessada pelo jogador ela está
a 2,20 metros de altura. Com essas informações, calcule a altura máxima alcançada
pela bola nesse arremesso.
15) (FGV – SP) Desejase construir um retângulo de semiperímetro p de modo que
o maior valor possível para a área seja 36. Então, o valor de p é:
a) 12 b) 13 c) 15 d) 20 e) 37
x
y
16) A prefeitura de Terra Rica pretende construir um centro esportivo e cercar a
quadra de vôlei que possui formato retangular com tela de alambrado. A prefeitura
dispõe de 90 metros de tela. Quais devem ser as dimensões da quadra para que a
área seja a maior possível?
x
45 – x
17)Durante um jogo de futebol amador entre as equipes do Juventude e do
Ipiranga, o atacante do time do Juventude deu um chute a gol, a trajetória da
bola descreveu uma parábola. Sendo a sua altura h, em metros, t o tempo em
segundos, seja uma função dada por h = t² + 8 t, calcule:
a) Qual o instante que a bola atinge sua altura máxima?
b) Qual é a altura máxima atingida pela bola?
18) Se temos uma horta retangular com perímetro igual a 360 m, para que
dimensões do retângulo a área da horta será máxima?
x
180 – x
19) Um projétil é lançado da origem, tendo um referencial dado; a trajetória
percorrida por ele é uma parábola e a função que representa essa parábola é y =
x² + 3x. Quais são as coordenadas do ponto que esse projétil atinge a sua altura
máxima?
20) Para quais valores reais de x a área do retângulo a seguir será maior que 12.
x + 8
x 3
Estudo dos sinais da função polinomial do 2º grau
Faremos o estudo dos sinais da função polinomial do 2º grau ax² + bx + c sendo a, b
e c reais e a ≠ 0 pela análise do seu coeficiente a e do discrimante .Δ
1º caso: a > 0
f(x) > 0 > 0Δ
+ +
_________________________
x’ x”
Sinal da função
f(x) > 0 = 0Δ
+ +
_________________________
x’ = x”
Sinal da função
f(x) > 0 < 0Δ
+ _________________________
Sinal da função
2º caso: a < 0 > 0Δ
+ ___________________________
x’ x”
Sinal da função
= 0Δ
______________________
x’ = x”
Sinal da função
< 0Δ
_________________________
Sinal da função
Sugestões de atividades:
21) Sendo o lucro de uma fábrica dado pela lei L(x) = x² + 6 x – 5, onde x é a
quantidade de produtos vendidos (em milhares de reais) e L é o lucro (em milhares
de unidades), responda:
b) Para quais valores de x os lucros são positivos?
b) Qual é a quantidade de produto que se deve vender para que a fábrica tenha
lucro máximo.
c) Qual é o lucro máximo dessa fábrica?
SUGESTÃO DE AVALIAÇÃO EM TRÊS FASES:
Essa sugestão de avaliação é composta por 10 questões envolvendo a resolução de
problemas relacionados com o conteúdo função quadrática.
1) Considerando a função cuja fórmula é y = x² 5x, sendo x e y números reais:
a) Encontre os valores de y e complete a tabela:
b) Agora vamos construir o gráfico dessa função, fazendo a representação dos
pares ordenados (x, y) encontrados na tabela. Em seguida, uniremos os
pontos, com uma linha curva.
c) Descubra as coordenadas do ponto mínimo dessa função e em que ponto y tem
o seu menor valor.
X 2 1 0 1 2 3 4 5
y
Essa curva representada
pelo gráfico da função y = ax²
+ bx + c é chamada de
parábola.
2) Se um terreno retangular possuir as seguintes dimensões, responda:
12 x
x
a) Qual é o perímetro desse retângulo?
b) Qual é a fórmula que representa a área (A) em função de x?
c) Faça a representação gráfica dessa função.
d) Analisando o gráfico, determine as coordenadas do ponto máximo da
parábola.
e) Em que valor de x se obtém a maior área? E qual é o valor dessa área?
f) Quais serão as dimensões desse terreno para que essa área seja
máxima?
3) Pedro pretende cercar um galinheiro retangular, utilizando um pedaço de muro
como está representado na figura a seguir, ele possui 36 metros de tela:
x
y = 36 – x
a) Escreva uma equação algébrica que faça a relação entre x e y.
a) Escreva a fórmula que determina a área do galinheiro cercada, em função da medida x.
b) Construa o gráfico da função.
c) Analisando o gráfico da função, determine para que valores de x e y a área cercada é máxima.
d) Qual é a área máxima que pode ser cercada com a quantidade de tela existente?
e) Quais são as dimensões dessa área?
4) Calcule a área do trapézio retângulo ABCD, sabendo que a parábola é dada
por y = x² + 9 e que as abscissas de A e B são respectivamente, 1 e 2 (NETTO,
1988, p.226).
5) Em uma partida de futebol, quando o jogador faz um lançamento, a bola
descreve, muitas vezes, uma trajetória que pode ser descrita como uma parábola.
Sabese que a trajetória da bola após o chute de um jogador, é representada pela
função y = 4x² + 10x, sendo y a altura da bola em relação ao solo do campo de
futebol e x a distância horizontal, em relação ao jogador, percorrida pela bola até
tocar o solo, ambos expressos em metros. Sendo assim, responda:
a) Ao chutar a bola e esta ter percorrido na horizontal 2 m em relação ao
jogador, qual é a altura atingida pela bola?
b) Qual é a distância horizontal total percorrida pela bola ao tocar o campo?
c) Dê exemplos de outras modalidades esportivas em que a bola descreve uma
trajetória parabólica. Resposta pessoal.
6) Em um terreno plano, um objeto é lançado de um determinado ponto no solo.
Esse objeto descreve uma trajetória parabólica que possui equação
y = x² / 4 + 12x. Sabendo que x e y são expressos em metros, a distância entre o
ponto de lançamento e o ponto em que o objeto toca o solo novamente representa
quantos metros?
a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 30
7) Calcule as dimensões de um reservatório d’água , sabendo que seu volume é 168
mil litros?
7
x 5
x
8) Qual é o perímetro de uma horta como a representada a seguir, sabendo que a sua área é 39 m²?
x
x + 10
9) Nas fábricas de ferragens e peças existe um processo de tratamento no qual as
peças sofrem uma variação de temperatura. Descubra o instante t (em segundos)
em que a temperatura alcança seu valor máximo, sendo essa variação determinada
pela função: f(t) = + 6 + 5 t t², com 0 < t < 6.
10) Paulo estava brincando de jogar bola com os seus amigos; ao dar um chute na
bola, esta atingiu uma altura de 8m, retornando ao solo do campo depois de 6 s do
chute. Defina a função do tempo t do percurso.
PROCESSO DE AVALIAÇÃO EM TRÊS FASES
Agora veremos de que forma ocorre o processo da avaliação em três fases.
Para resolver a primeira fase da prova, composta de 10 (dez) questões dissertativas,
é ideal que os alunos tenham o tempo de duas aulas consecutivas. Nesta fase, a
prova é resolvida de forma individual e sem a participação do professor. O aluno
deve responder todas as questões apresentadas.
Na segunda fase da prova (que ocorrerá no próximo dia de aula da disciplina duas
aulas consecutivas), os alunos se organizam em equipes formadas por três
integrantes cada. Cada equipe receberá uma das questões da prova da primeira
fase, acrescida de perguntas elaboradas pelo professor, a partir da análise da
resolução das questões da prova da primeira fase. Ou seja, após fazer a correção
da prova da primeira fase, analisando a forma de resolução de cada uma das 10
(dez) questões, o professor elaborará perguntas relacionadas a cada uma das
questões, para que, na segunda fase, as equipes, com o auxílio do professor e de
material de apoio (cadernos e livros) respondam às perguntas propostas. Esperase
nesta fase, que as perguntas ajudem a reflexão a respeito das estratégias mais
utilizadas pelos alunos, bem como proporcione momento para que os alunos tenham
a oportunidade de expor seus pontos de vista, tendo maior liberdade de expressão.
Considerando que as salas de aula do Ensino Médio têm aproximadamente 40
(quarenta) alunos, podemos fazer uma estimativa de que haja em torno de 13 (treze)
grupos, cada um respondendo uma questão. Quando todos concluírem suas tarefas,
cada grupo deverá fazer a exposição da resolução da questão justificandoa por
meio dos conceitos utilizados. Para concluir esta fase, cada aluno terá de entregar
um relatório relacionado com a exposição das outras equipes. Caso não terminem
nesta aula, podem terminar em casa e entregar na próxima aula.
Na terceira fase (que ocorrerá no próximo dia de aula da disciplina duas aulas
consecutivas), os alunos ainda nos mesmos grupos, fazem a correção das provas
que fizeram na primeira etapa, agora contendo também os comentários e indicações
do professor. Para realizar esta correção, utilizam o relatório que fizeram na
segunda fase da prova.
Ao utilizarmos na disciplina de matemática a prova em três fases como um
instrumento de avaliação, percebemos que a avaliação está atrelada ao processo
ensino aprendizagem, tornandoa mais significativa por meio de processos
dinâmicos e interativos.
Ainda pensamos, igualmente a Santos (2009, p. 25), que
Este instrumento de avaliação pode promover o desenvolvimento de atividades e habilidades que envolvem: argumentação oral e escrita de idéias e conceitos matemáticos, o companheirismo e autonomia para refletir e regular a aprendizagem, de modo que a avaliação seja considerada um momento em que a análise de erros e acertos tornase promotora de uma aprendizagem matemática mais efetiva.
Desta forma, almejamos que a avaliação seja capaz de orientar a prática do
professor, mas também orientar os alunos para que possam situar suas dificuldades,
analisálas e descobrir procedimentos que lhes permitam progredir.
PROPOSTA DE AVALIAÇÃO FINAL
O processo de avaliação em três fases ainda é pouco conhecido e utilizado nas
escolas públicas paranaenses. Sendo assim, precisa ser amplamente divulgado,
experimentado e discutido, a fim de avaliálo.
O Grupo de Trabalho em Rede GTR constitui uma das atividades do PDE e
caracterizase pela interação à distância entre o Professor PDE e os demais
professores da Rede Pública Estadual, cujo objetivo é a socialização e discussão
das produções e atividades desenvolvidas.
Desta forma, a avaliação dessa Unidade Didática será feita por mim, professor PDE
que a implementará com os alunos, juntamente com os professores participantes do
GTR, que terão a oportunidade de discutir e analisar a sua viabilidade, além de
contribuir com as suas sugestões. Esperase que as discussões e análises no GTR
sejam bastante produtivas, de forma a propiciar contribuições a respeito das
concepções sobre a matemática, práticas avaliativas e instrumentos avaliativos que
podem ser utilizados efetivamente no processo ensino aprendizagem.
REFERÊNCIAS:
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELOS, Maria José. Novo Praticando Matemática: 8º Série. São Paulo: Editora do Brasil, 2005.
BARROSO, Juliane Matsubara. Conexões com a Matemática. São Paulo: Moderna, 2010.
CENTURION, Marília Ramos; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Novo Matemática na Medida Certa: 8a Série. São Paulo: Scipione, 2003.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática (Ensino Médio). Volume Único. São Paulo: Ática, 2005.
FAVILLI, Ubirajara. Matemática. v.1, 2º grau. São Paulo: Ática, 1986.
FILHO, Benigno Barreto; SILVA, Claudio Xavier da. Matemática. Volume Único. São Paulo: FTD, 2000.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANI JR, José Ruy. Matemática Fundamental. 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JR, José Ruy. A Conquista da Matemática: Teoria e Aplicação. 8a Série. São Paulo: FTD, 1992.
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MAKIYAMA, Evandro. Fórmula de Bhaskara. São Paulo, 2011. Disponível em: <http://www.infoescola.com/matemática/formuladebhaskara/>. cesso em: 1 jun. 2011.
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SANTOS, Maria Cristina Conceição dos. Uma prática avaliativa em matemática. Artigo Científico (PDE) Universidade Estadual de Londrina. Londrina, 2009. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/ arquivos/15086.pdf>. Acesso em: 19 mar. 2011.
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TOSSATO, Claudia Miriam; PERACHI, Edilaine do Pilar; ESTEPHA, Violeta M. Coleção Idéias e Relatos. 8a Série. Curitiba: Positivo, 2001.