ficha n3-espa os euclidianos-2015

Espaos n-dimensionais. Espaos euclidianos/unitrios. 2015

1 Professora Doutora Natlia V. K. Dias Furtado

FICHA N3.

1. Provar que cada sistema de vetores nggg ,,, 21 e nfff ,,, 21 uma base

do espao cartesiano n -dimensional e encontrar a matriz da mudana de base. Escrever a expresso matricial da relao entre as coordenadas de um

vetor nas duas bases:

1.1.

6

1,

2

2,2 21 ggn e

1

2,

2

321 ff .

1.2.

3

2

1

,

1

3

4

,

0

4

1

,3 321 gggn e

1

2

3

,

2

3

5

,

1

2

4

321 fff .

1.3. 44332211 ,,,,4 egegegegn e

1

1

1

1

,

1

0

0

1

,

0

1

0

1

,

0

0

1

1

4321 ffff .

1.4.

1

0

1

1

,

1

1

2

1

,

1

1

1

1

,

0

1

2

1

,4 4321 ggggn e

2

1

3

1

,

2

1

1

2

,

2

2

1

0

,

1

0

1

2

4321 ffff .

(Soluo: 1.1.

2010

136B ; 1.2.

1313

414

405

B ;

1.3.

1111

1111

1111

1111

2

1B ; 1.4.

1111

1000

0011

1110

B ).

2. Provar que cada sistema dos polinmios 323233 1,,)1(,)1( tttttttt e 3332 )1(,51,, tttttt uma

base do espao dos polinmios de grau 3 . Encontrar as coordenadas de um polinmio qualquer na segunda base, quando so conhecidas as suas

coordenadas na primeira base.

(Soluo:

3051

4060

0120

101180

B ).



3. Provar que cada sistema dos polinmios 44242 ,1,1 ttttt e

1,)1(,)1( 2222 tt uma base do espao dos polinmios pares de grau no

superior a 4 . Encontrar a matriz da mudana de base e as coordenadas de um

polinmio par de grau 4 na base nova, quando so conhecidas as suas

coordenadas na base antiga. Encontrar as coordenadas do polinmio 4235)( tttp na base antiga e na base nova.

(Soluo:

1002

14

34

12

14

14

3

B ).

4. Sejam os polinmios 2322

1 2)(,3)(,2)( xxxpxxpxxp

considerados no espao dos polinmios reais de grau 2 . Ainda neste

espao consideram-se os polinmios ,2)(,21)( 221 xxqxxq

23 2)( xxxq .

4.1. Mostrar que os polinmios )(),(),( 321 xqxqxq constituem uma base

do espao; indicar a sua dimenso.

4.2. Escrever a notao matricial de um qualquer polinmio em termos daquela base.

4.3. Verificar se os polinmios )(),(),( 321 xpxpxp constituem uma base

do espao.

4.4. Em caso afirmativo, escrever a matriz da mudana de base. 4.5. Escrever, nas duas bases, a expresso matricial do polinmio

225)( xxxp .

(Soluo: 4.1. )(),(),( 321 xqxqxq uma base de 2P , 3)( 2 PDim ;

4.2.

cba

cba

cba

42

24

24

9

1; 4.3. )(),(),( 321 xpxpxp uma base de 2P .

4.4.

19

50

09

101

09

70

B ; 4.5. na base )(),(),( 321 xpxpxp )(xp :

9

5

25

7

1 ; na base )(),(),( 321 xqxqxq )(xp :

8

25

5

9

1 ).

5. Sejam os polinmios 2322

1 2)(,)(,41)( xxxpxxpxxp

considerados no espao dos polinmios reais de grau 2 . Ainda neste

espao consideram-se os polinmios ,)(,21)( 221 xxqxxq

23 2)( xxxq .

5.1. Mostrar que os polinmios )(),(),( 321 xqxqxq constituem uma base

do espao; indicar a sua dimenso.



5.2. Escrever a notao matricial de um qualquer polinmio em termos daquela base.

5.3. Verificar se os polinmios )(),(),( 321 xpxpxp constituem uma base

do espao.

5.4. Em caso afirmativo, escrever a matriz da mudana de base. 5.5. Escrever, nas duas bases, a expresso matricial do polinmio

223)( xxxp .

(Soluo: 5.1. 232

21 2)(,2)(,21)( xxxqxxqxxq uma

base de 2P , 3)( 2 PDim ;

5.2.

ba

cba

a

2

24 ; 5.3. )(),(),( 321 xpxpxp uma base de 2P .

5.4.

212

320

001

B ; 5.5. na base )(),(),( 321 xpxpxp )(xp :

7

17

2

; na base )(),(),( 321 xqxqxq )(xp :

7

13

2

).

6. Considere-se o espao 2P dos polinmios de grau 2 .

6.1. Provar que )(),(),( 321 xpxpxp , com 1!)( ii xixp , com

3,2,1i , constitui uma base do espao.

6.2. Sendo )(),(),( 321 xqxqxq , com 1)1( ii xiq , com 3,2,1i ,

uma nova base, determinar a matriz da mudana de base.

6.3. Determinar as coordenadas do polinmio 221)( xxxp na nova

base.

(Soluo: 6.2.

2300

03

20

002

1

B ; 6.3.

21

31

21

3

2

1

).

7. Seja o espao 2P dos polinmios de grau 2 e 2,,1 xx uma base desse espao.

7.1. Sabendo que

111

100

111

C matriz da mudana de base

)(),(),( 321 xpxpxp para 2,,1 xx , determinar )(),(),( 321 xpxpxp . 7.2. Seja )(xq um polinmio de 2P cujas coordenadas na base 2,,1 xx so: Tcba . Determinar as suas coordenadas na base )(),(),( 321 xpxpxp .



7.3. Determinar o conjunto dos polinmios de 2P que tm as mesmas

coordenadas nas duas bases.

(Soluo: 7.1. 222 1,1,1 xxxx ; 7.2.

bc

cab

cbaa

2

1

2

1

2

1

2

1

;

7.3. 2axaxa ).

8. Sejam nxxx ,,, 21 e nyyy ,,, 21 as coordenadas dos vetores x e y numa

certa base do espao cartesiano real / complexo. Esclarecer se a dada frmula

),( yxf ou no um produto escalar, e se no , ento indicar as

propriedades do produto escalar que no se realizam.

8.1. 2;),( 12 nyxyxf

8.2. 3;),( 32231221 nyxyxyxyxyxf

8.3. 3;2224),( 33233222122111 nyxyxyxyxyxyxyxyxf

8.4. 2;102),( 222111 nyxyxyxyxf

8.5. 2;522),( 22122111 nyxyxyxyxyxf

8.6. 2;334),( 22122111 nyxyxyxyxyxf

8.7. 2;5),( 22122111 nyxyxiyxiyxyxf

8.8. 2;),( 21 nyxyxf

8.9. 2;),( 1221 nyxiyxiyxf

(Solues: 8.1. No, falha 2P ; 8.2. No, falha 5P ; 8.3. No, falha 5P ;

8.4. No, falha 2P ; 8.5. ; 8.6. No, falha 5P ; 8.7. ; 8.8. No,

falha 2P ; 8.9. No, falha 5P ).

9. O produto escalar representado como uma funo de coordenadas

nxxx ,,, 21 e nyyy ,,, 21 dos vetores x e y no espao euclidiano /

unitrio. Calcular as matrizes da mtrica na base natural e na base, formada

pelos vetores nfff ,,, 21 . Indicar a expresso do produto escalar de x e y

atravs das suas coordenadas na base nfff ,,, 21 .

9.1. ;2211 yxyxyx

1

2,

2

121 ff

9.2. ;32224 33233222122111 yxyxyxyxyxyxyxyx

1

1

0

,

0

1

1

,

0

0

1

321 fff

9.3. ;2)1()1(3 22122111 yxyxiyxiyxyx

1

1,

1

021

iff



(Solues:

9.1 22122111 5445,54

45,

10

01yxyxyxyxyxGG

fe

9.2. ,

312

122

224

,

310

122

024

fe

GG

233231133322122111 2232224 yxyxyxyxyxyxyxyxyxyx

9.3. 2211 42,40

02,

21

13yxyxyxH

i

iH

fe

).

10. Utilizando as propriedades do produto escalar no espao unitrio

zyzxzyxyxyxxyyx )(,, ,

obter as seguintes propriedades: zxyxzyx )( ;

yxyx )( .

11. Sejam x e y os vetores do espao euclidiano, que so dados pelas suas

coordenadas na base natural, e a matriz da mtrica (de Gram) na base

nfff ,,, 21 . Calcular a matriz da mtrica eG na base natural e o produto escalar de x e y , se:

11.1.

1

0,

0

1;

63

32;2, 212211 yxGeefeef f

11.2.

1

0,

1

1;

22

23;,2 212211 yxGeefeef f

11.3. ;,

,

323

212

11

eef

eef

ef

1

1

1

,

1

2

1

;

211

121

113

yxGf

(Solues: 11.1. 1;21

12

yxG e ;

11.2. 2;31

11

yxG e ;

11.3. 3;

111

132

123

yxG e ).

12. 1. Seja 2332332211 224, yxyxyxyxyxyxf , onde ix e )3,2,1( iyi so coordenadas respetivamente de x e y numa dada base

de R 3 . Verificar que se dispe, deste modo, de um produto escalar em R 3 e

determinar a matriz da mtrica.



2. Sejam T011 e T102 as coordenadas respetivas de 1u e 2u na base de R 3 . Calcular 21uproju e ),( 21 uud .

(Solues: 2.

02

32

3

2

3121

uuproju ; 42),( 21 uud ).

13. Seja M o espao das matrizes triangulares superiores de ordem 2 e tome como base deste espao o conjunto formado pelas seguintes matrizes:

10

00,

00

01,

00

11CBA .

Considerando )( ABtrBA T , calcular a matriz da mtrica e o mdulo de

10

01D .

(Solues: 2;

100

011

012

DG ).

14. Seja 321 ,, vvv uma base ortonormal de R3 . Considere uma outra base de

R3 , 321 ,, uuu tal que:

33

322

211 2

vu

vvu

vvu

. Calcular a matriz da mtrica que lhe

corresponde.

(Soluo:

110

122

025

G ).

15. Sejam

1

1

0

,

0

1

2

,

1

2

1

321 uuu os vetores da base do espao R3 . O

produto escalar de dois vetores x e y definido pela frmula yxyx T

3322113

2

1

321 yxyxyx

y

y

y

xxx

.

15.1. Calcular a matriz da mtrica na base 321 ,, uuu .

15.2. Encontrar o produto escalar dos vetores

1

1

1

,

7

1

5

yx .

15.3. Calcular os mdulos destes vetores.



15.4. Calcular a distncia entre eles e o ngulo de x e y .

15.5. Calcular yprojx .

(Solues: 15.1. ;

213

154

346

uG 15.2. 13yx ;

15.3. 3;75 yx ; 15.4. 375

13),cos( yx ;

15.5. xyprojx75

13 ).

16. Encontrar um vetor normal que seja ortogonal ao dado sistema de vetores do

espao cartesiano real R n / complexo C n com o produto escalar

estandardizado.

16.1. TT uu 322;122 21 ; 16.2. Tiiu 111 .

(Solues: 16.1.

2

2

1

3

1w ; 16.2.

i

iw

1

1

2

1 ).

17. Determinar as coordenadas de um vetor normal de R 4 de base ortonormal e

que seja ortogonal aos vetores de coordenadas:

3

1

1

2

,

1

1

1

1

,

1

1

1

1

.

(Soluo:

02

12

1

0

x ou

02

12

1

0

x ).

18. Considere o espao R 3 e a seguinte base formada pelos vetores:

TTT vvv 100,001,011 321 . 18.1. Considerando yxyx T , calcular a matriz da mtrica e o ngulo

formado por 1v e 2v .

18.2. A variedade a que pertencem os vetores da forma 2211 vv

ortogonal variedade gerada por 3v ? Justificar.

18.3. Estudar a possibilidade de obter a partir de

110

102

110

A uma

nova base de R3 e em caso afirmativo determinar os vetores que a

compem.



(Solues: 18.1. 4

3 ; 18.2. 21 VV ; 18.3.

1

0

1

,

1

2

2

,

1

0

1

).

19. Considere-se o espao R 5 e uma base ortonormal. Sejam os vetores zwv ,,

de coordenadas, naquela base:

0

0

0

1

1

,

1

0

0

0

1

,

1

0

1

0

0

zwv e a variedade V por

eles gerada. Obter a respetiva variedade ortogonal complementar.

(Soluo: TTV 01000,101112 ).

20. Seja 1V a variedade linear das matrizes de ordem 2, triangulares superiores.

20.1. Apresentar uma base para esta variedade;

20.2. Determinar a variedade 2V complementar da anterior em relao ao

espao das matrizes quadradas de ordem 2 e apresentar uma matriz 22

que no pertence a qualquer dessas variedades.

20.3. A variedade obtida em 20.2. ortogonal a 1V ? Porque?

(Solues: 20.1.

10

00,

00

10,

00

01;

20.2.

11

11,

01

002 AV ; 20.3. 21 VV ).

21. Determinar uma matriz ortonormal cuja primeira linha : 3

23

23

1 .

(Soluo:

455

454

452

05

15

23

23

23

1

A ).

22. Supor que se dispe de quatro vetores de R 4 tais que:

7

4

11

3

,

4

14

5

12

,

16

2

8

1

,

6

4

3

2

4321 uuuu , onde o produto escalar

definido por yxyx T . Proceder ortonormalizao daqueles quatro

vetores.



(Soluo:

07,0

09,0

14,0

19,0

07,0

1,

8,2

2

6,5

4

2,59

1,

4

6

2

3

65

1,

6

4

3

2

65

14321 wwww ).

23. Supor que se dispe de trs vetores de R 3 tais que:

4

1

0

,

0

1

1

,

2

2

1

321 uuu , onde o produto escalar estandardizado.

Proceder ortonormalizao daqueles trs vetores.

(Soluo:

313

23

2

,

323

13

2

,

32

32

31

321 www ).

24. O sistema de vetores representado pelas colunas coordenadas na base ortonormal do espao euclidiano ou unitrio. Utilizando o processo de

ortonormalizao construir uma base ortonormal de envelopes lineares dos

seguintes vetores:

24.1.

1

3

1

,

1

4

3

,

1

2

1

321 xxx ;

24.2.

i

xx

i

i

x 2

0

,

1

0

2

,1 321 .

(Solues: 24.1.

1

1

1

3

1,

1

0

1

2

1,

1

2

1

6

1321 www ;

24.2.

0

1

2

1,1

3

121 iw

i

i

w ).

25. Um par de vetores indicado pelas colunas coordenadas na base ortonormal do espao euclidiano 4-dimensional. Complementar este sistema de vetores

at base ortogonal:

1

1

0

1

,

2

1

1

1

21 uu .



(Soluo:

2

1

6

1

,

0

1

0

1

21 vv ).

26. Consideram-se duas bases em R 2 e o produto escalar yxyx T : 1 base :

1

0,

0

121 uu e a 2 base:

1

1,

1

121 uu .

26.1. As bases so ortogonais, normais ou ortonormais? Justificar? 26.2. Determinar as matrizes L e T.

26.3. Sendo o vetor

5

4x , determinar as suas coordenadas na base 2.

26.4. Sendo os vetores

5

4x e

1

3y , determinar o vetor yprojx e a

distncia entre x e y .

(Solues: 26.1.A base 1 ortonormal, a base 2 ortogonal;

26.2.

11

11

2

1,

11

1111 LGLTL ;

26.3.

1

9

2

1x ; 26.4. 17),(;

41

17 yxdxyprojx ).

A Regente da Unidade Curricular: ____________________________

/Natlia V. K. Dias Furtado, Ph.D./

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