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Informática Educativa I :: Projeto de Aprendizagem Título: Solucionando graficamente um sistema de equações de primeiro grau, a partir da construção de gráficos traçados em objeto desenhado com software de Geometria Dinâmica. Nome do Aluno: Fernando Oliveira Mateus 1. Disciplina e anos envolvidos: Álgebra e Geometria da 9ª série do ensino fundamental e 1° ano do ensino médio. 2. Tema central : Estudo das funções solucionando questões que podem ser expressas em sistemas de equações de primeiro grau. 3. Temas de apoio: Teorema de Tales e Desenho geométrico. 4. Justificativa: Para um melhor entendimento da matemática é importante que o aluno perceba a interrelação entre os conteúdos que lhes são apresentados e identifique as possíveis aplicações das ferramentas que passa a conhecer. 5. Objetivos gerais e específicos: Relacionar uma aplicação do Teorema de Tales com o desenho geométrico, na elaboração de um objeto pedagógico que permitirá uma solução de um possível problema do mundo real, que envolve o estudo de funções e soluções de sistemas de primeiro grau. O software Geogebra, apenas para citar um, seria um programa mais eficiente para a solução do problema que envolve a plotagem de gráficos de função afim como proposto. Entretanto, ao utilizarmos um software de Geometria Dinâmica, no caso o Régua e Compasso, apenas como uma ferramenta de desenho e desprezando a ferramenta "exibir grelhas", permite que sejam explorados outros conceitos. Dessa forma, ampliamos o número de conteúdos matemáticos abordados, ao mesmo tempo em que se promove um treinamento do aluno com esse tipo de aplicativo. Evidentemente, é recomendável que o aluno já tenha tido contato com o software. 6. Enfoque pedagógico : A atividade representa uma abordagem construtivista sobre temas da matemática.

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7. Recursos tecnológicos: A tarefa envolve momentos em sala de aula e na sala de informática do colégio, dotada de computadores equipados com software de Geometria Dinâmica - Régua e Compasso, editor de texto e acesso à internet. 8. Etapas e suas estratégias de realização: Etapa 1- Apresentação Reunidos na sala de aula, inicialmente, é apresentada aos alunos a tarefa proposta, identificando: - seus objetivos, - a razão do emprego de um software de geometria dinâmica para a solução do problema, em lugar de outros mais eficientes para o caso, - a forma como seria realizada, - os elementos a serem utilizados, - a forma de apresentação dos resultados, - a forma de avaliação e - a divisão dos grupos de alunos que dividiriam o mesmo computador. Feita essa introdução, faz-se a apresentação da seguinte situação-problema hipotética: “ Um dispositivo aprovado em 2000 pela Assembleia Legislativa do estado de São Mathias, estabeleceu que o tesouro da cidade que possuísse o maior número de habitantes ao longo dos 50 anos seguintes, seria merecedora de um repasse não reembolsável, do equivalente a P$10.000,00 (dez mil patacas) por ano para cada habitante dessa cidade. A ideia era incentivar os governantes locais a promoverem o crescimento populacional de suas cidades, já que essas apresentavam baixa densidade demográfica e, portanto, eram incapazes de atrair investimentos externos importantes para o desenvolvimento da região. Para se verificar quais as cidades que seriam merecedoras desse benefício, o referido dispositivo legislativo fixou que a cada 5 anos seriam realizados censos para se aferir a população dos principais centros urbanos de São Mathias.

Assim, passou a haver uma disputa entre Fernandópolis e Juliópolis para receber tais recursos, já que aquelas seriam as maiores cidades daquele estado. O primeiro censo realizado para essa medição, ainda no ano 2000, mostrou que Juliópolis saiu na frente, pois foram contados 40.012 habitantes, enquanto Fernandópolis totalizou apenas 30.009. O segundo censo, realizado em 2005, revelou que a população de Juliópolis cresceu 5%, ao passo que em Fernadópolis foram encontrados 4002 moradores a mais que o indicado no censo anterior. Consequentemente, naquela ocasião constatou-se que Juliópolis continuaria a receber o incentivo financeiro, no mínimo por mais 5 anos. Considerando que as taxas de natalidade de cada cidade permaneçam constantes desde o primeiro censo, determine se a tendência é de que Juliópolis continue recebendo o benefício durante os 50 anos de vigência da regulamentação criada, ou haveria um momento em que Fernandópolis assumiria o posto de cidade mais habitada de São Mathias e, consequentemente, passaria a ser a cidade beneficiada com a medida? Se for o caso, indique em que ano tal situação ocorreria e qual seria a população aproximada de Fernandópolis na ocasião?

Utilize um gráfico cartesiano para obter essa solução construído em folha de quadriculada desenhada apenas com o software Régua e Compasso.”

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É de se esperar que os alunos apresentem dificuldades na interpretação e tradução simbólica dos dados fornecidos em linguagem natural, para sistemas de equações. Por essa razão, é aconselhável que seja discutido com toda a turma os elementos que lhes são apresentados no problema, identificando os dados disponibilizados e as estratégias que permitiriam a construção da solução. Aspectos relativos à suficiência no tratamento desses dados também merecem ser ressaltados nessa oportunidade, já que eles facilitariam a obtenção da solução.

Além dessa abordagem, o professor também deve rever alguns conteúdos sobre gráficos e sistemas de equações de primeiro grau, razão pela qual a lousa é indispensável para essa etapa.

Etapa 2- Solução do problema proposto: Já na sala de informática, organizados em duplas ou trios previamente escolhidos (isso agilizaria o começo dos trabalhos), se inicia a tarefa a partir da elaboração de uma figura que venha facilitar a plotagem de um gráfico. Essa figura apresenta linhas de chamadas equidistantes, onde são apontadas as coordenadas das funções que representam o fenômeno observado, conforme a escala entendida adequada para a solução do problema. O professor deve conduzir a discussão sobre a melhor subdivisão que a figura deve. Para a construção dessa figura, é disponibilizado pelo professor um arquivo em extensão zir (Figura 1), próprio do Régua e Compasso.

Figura 1

A partir desse arquivo, cada grupo de alunos desenha a região quadriculada onde serão traçados os gráficos que representam a estória de São Mathias. Para tanto, os alunos deverão dividir o retângulo em quadrículas de tamanhos iguais, utilizando-se de segmentos auxiliares divididos em partes iguais, numa aplicação do Teorema de Tales. A divisão desses segmentos poderia ser realizada com qualquer das ferramentas do aplicativo, conforme a escolha de

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cada grupo de alunos, que terão que ter como objetivo apresentar um gráfico com uma escala adequada. Nessa oportunidade, é recomendável que também se dedique um certo tempo para que os todos possam acessar os sítios da internet indicados na bibliografia de apoio desse documento, de modo que obtenham informações complementares que os auxiliem na tarefa. Embora seja uma etapa em que o professor deverá ser demandado de forma bastante intensa para solucionar dúvidas relativas à construção da figura, é recomendável que ele, na medida do possível permita que os grupos de alunos arrisquem e tentem por si só elaborar esse objeto. É importante se ressaltar que nessa etapa da tarefa, o professor também tem a oportunidade de chamar a atenção sobre as possíveis aplicações do Teorema de Tales, ao mesmo tempo em que promove uma maior familiaridade do aluno com o aplicativo de Geometria Dinâmica. Uma das soluções para a construção da figura onde será traçado o gráfico das funções que representam a evolução da população daquelas cidades, á apresentada na sequência das figuras 2 a 4, a seguir. Essa configuração considera que a subdivisões em 10 partes, tanto para as ordenadas quanto para as abscissas seria adequada para a representação:

Figura 2

Processo utilizado na construção detalhada na figura 2: -Construção de semiretas transversais a dois dos lados do retângulo da figura 1; - Após marcação de pontos que definem segmentos nessas semiretas, com o emprego da ferramenta "Ponto Médio" sucessivas vezes, se definem 8 segmentos congruentes em cada uma das semiretas; - para complementar os 10 segmentos congruentes, se utiliza da ferramenta "Círculo" duas vezes sucessivas.

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Figura 3

Numa aplicação do Teorema de Tales, se chega à subdivisão dos lados da figura em 10 partes iguais, a partir dos segmentos congruentes das semirretas auxiliares. O processo detalhado na figura 3 segue os seguintes passos: - Uni-se os pontos extremos das semirretas auxiliares aos respectivos pontos extremos dos eixos da figura; - A partir dos demais pontos das semirretas auxiliares, traçam-se paralelas às retas que unem esses pontos extremos. Em seguida, os alunos deverão indicar na figura os valores que representam cada intervalo entre as quadrículas desenhadas, conforme a escala escolhida e, considerando os valores fornecidos no problema, traçar as curvas que representam a evolução das populações dessas duas cidades.

Figura 4

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Considerando que a escala escolhida para cada subdivisão dos eixo das ordenadas em 4.000 habitantes, não possibilita a definição mais precisa dos dados compreendidos entre o número de 38.000 e 42.000, faz-se a subdivisão desse intervalo em quatro partes, conforme a figura 5.

Figura 5

Nesse processo de subdivisão, utiliza-se sucessivas vezes a ferramenta "Ponto Médio". Em seguida, traça-se segmentos paralelos aos eixos das abscissas a partir desses pontos médios que subdividem esse intervalo. Uma vez preparada a figura passa-se à etapa de desenho dos gráficos que representam as funções correspondentes à evolução da população de cada cidade. Inicialmente se processa a marcação dos pontos que representam as populações das cidades com os dados obtidos nos dois sensos, conforme a figura 6. É importante se observar que são considerados critérios de suficiência, pois para o que se pretende, a diferença de menos de 20 habitantes num universo que supera os 30.000 não influencia o resultado obtido e facilita à solução do problema. Portanto, o conceito de suficiência é mais um dos conteúdos que se pode explorar com essa atividade.

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Figura 6

Marcados os pontos, traçam-se os gráficos e encontram-se as soluções para o problema apresentado, conforme a figura 7.

Figura 7

Ao observar os gráficos traçados, os diversos grupos de alunos têm condições para responder às perguntas formuladas e, dessa forma podem encaminhar uma mensagem à caixa postal virtual disponibilizada pelo professor, apresentado as suas conclusões.

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A seguir apresento um exemplo de documento que pode ser encaminhado ao a professor como resposta:

ATIVIDADE : SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU COM O EMPREGO DE GRÁFICOS CONSTRUÍDOS COM SOFTWARES. PROFESSOR: Fernando DATA: ALUNO: JOÃO DA SILVA Nº 100 TURMA: 1111 1) PROBLEMA APRESENTADO:

“ Um dispositivo aprovado em 2000 pela Assembleia Legislativa do estado de São Mathias, estabeleceu que o tesouro da cidade que possuísse o maior número de habitantes ao longo dos 50 anos seguintes, seria merecedora de um repasse não reembolsável, do equivalente a P$10.000,00 (dez mil patacas) por ano para cada habitante dessa cidade. A ideia era incentivar os governantes locais a promoverem o crescimento populacional de suas cidades, já que essas apresentavam baixa densidade demográfica e, portanto, eram incapazes de atrair investimentos externos importantes para o desenvolvimento da região. Para se verificar quais as cidades que seriam merecedoras desse benefício, o referido dispositivo legislativo fixou que a cada 5 anos seriam realizados censos para se aferir a população dos principais centros urbanos de São Mathias. Assim, passou a haver uma disputa entre Fernandópolis e Juliópolis para receber tais recursos, já que aquelas seriam as maiores cidades daquele estado. O primeiro censo realizado para essa medição, ainda no ano 2000, mostrou que Juliópolis saiu na frente, pois foram contados 40.012 habitantes, enquanto Fernandópolis totalizou apenas 30.009. O segundo censo, realizado em 2005, revelou que a população de Juliópolis cresceu 5%, ao passo que em Fernadópolis foram encontrados 4002 moradores a mais que o indicado no censo anterior. Consequentemente, naquela ocasião constatou-se que Juliópolis continuaria a receber o incentivo financeiro, no mínimo por mais 5 anos. Considerando que as taxas de natalidade de cada cidade permaneçam constantes desde o primeiro censo, determine se a tendência é de que Juliópolis continue recebendo o benefício durante os 50 anos de vigência da regulamentação criada, ou haveria um momento em que Fernandópolis assumiria o posto de cidade mais habitada de São Mathias e, consequentemente, passaria a ser a cidade beneficiada com a medida? Se for o caso, indique em que ano tal situação ocorreria e qual seria a população aproximada de Fernandópolis na ocasião? Utilize um gráfico cartesiano para obter essa solução construído em folha de quadriculada desenhada apenas com o software Régua e Compasso.”

SOLUÇÃO:

S E C R E T A R I A E S T A D U A L D E E D U C A Ç Ã O

C O L É G I O E S T A D U A L A N D R É M A U R O I S

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A análise do gráfico permite afirmar que: a) Considerando-se a evolução das populações das cidades reveladas pelos dois sensos realizados, estima-se que a partir do vigésimo quinto ano da criação do benefício, a cidade de Fernandópolis passe a ter direito a recebê-lo, desde que as taxas de crescimentos das cidades permaneçam constantes. b) Na ocasião, a população de Fernandópolis deve atingir um número de aproximadamente 50.000 habitantes. __________________________________________________________ Etapa 3- Reflexão sobre a tarefa e resumo dos conteúdos trabalhados. Realizada a tarefa e já de volta à sala de aula tradicional, é conveniente que se faça uma reflexão sobre o que foi realizado, de modo que seja possível: - Inculcar nos alunos que a matemática é algo desenvolvido para apresentar soluções para o homem; - Sublinhar os conteúdos abordados, especialmente, o Teorema de Tales, Função afim, geometria, aspectos de suficiência, entre outros; - Discutir potenciais e limitações de elementos pedagógicos, em particular o software utilizado; - Alertar sobre o papel da internet como fonte de pesquisa não para se copiar soluções prontas, mas como uma ferramenta para oferecer referências para a construção dessas soluções; - Dar oportunidade para que o aluno se manifeste criticamente em relação ao

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que lhe foi apresentado, possibilitando que ele se sinta também um elemento importante para a construção do conhecimento; - Fornecer subsídios ao professor para aprimorar sua dinâmica e realizar os ajustes necessários para se eliminar eventuais falhas e possibilitem que se enfatize os aspectos que se revelem necessários para o seu emprego junto a outras turmas.

9. Definição de papéis: Os alunos podem realizar as tarefas em grupos de dois ou três, conforme a disponibilidade de computadores do colégio. Os próprios alunos é que desenvolvem as pesquisas que julguem necessárias e que operam os computadores. Evidentemente, é imprescindível a supervisão e o apoio do professor, de modo que não haja dispersão e a tarefa possa atingir os objetivos pedagógicos esperados. 10. Sites e bibliografia de apoio: http://www.youtube.com/watch?v=OUB0DarSWdI http://www.brasilescola.com/matematica/solucao-um-sistema-equacoes-1-grau-com-duas-incognitas-.htm http://www.klickeducacao.com.br/materia/20/display/0,5912,POR-20-86-966-5855,00.html http://www.youtube.com/watch?v=YRMLfNnUzM8 http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=V9Pf8X5TF84 11. Avaliação: A avaliação será pautada em três aspectos: a) Correta construção da região quadriculada com o uso do software Régua e Compasso; b) Definição de escala adequada e correção dos gráficos; c) Correção dos valores definidos como solução, demonstrando que foi entendida a dinâmica da solução gráfica de um sistema de equações; 12. Cronograma: Tomando-se como premissa a utilização de dias em que existam dois tempos de aulas consecutivos para as turmas envolvidas, a tarefa deve ser realizada em três blocos com as seguintes dinâmicas: Bloco 1- Em sala de aula tradicional é feita a apresentação do problema e eventuais revisões sobre os assuntos envolvidos na tarefa;

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Bloco 2- Na sala de informática do colégio. Primeiro dia: Contextualização, consulta bibliográfica e início da construção da figura auxiliar onde será traçado o gráfico necessário à solução do problema proposto; Segundo dia: Conclusão da figura complementar, plotagem do gráfico e explicitação das soluções. Terceiro dia: Elaboração da folha de resposta e envio do arquivo à caixa postal virtual do professor. Bloco 3 De volta à sala de aula tradicional, o professor fará a apresentação das avaliações, conduzirá a discussão de avaliação da tarefa e apresentará o resumo dos conceitos abordados com suas aplicações.