fernando josé mayer rodrigues · estudo analttico-experimental de· um mecanismo articulado para...
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ESTUDO ANALTTICO-EXPERIMENTAL DE· UM MECANISMO
ARTICULADO PARA MANIPULAÇÃO REMOTA
Fernando José Mayer Rodrigues
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAMAS DE POS-
GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENÇAO DO GRAU DE
MESTRE EM CIÊNCIAS(M.Sc.)
Aprovada por:
RIO DE JANEIRO, RJ
Agosto de 1978
V Jan Leon Sei eszko (Presidente)
William Mittias Mansour
BRASIL
RODRIGUES, FERNANDO JOSt MAYER Estudo analitico-experimental de um meca
nismo articulado para manipulação remotalRiõ de Janeiro! 1978 VIII,lé6 29,7cm (COPPE-UFRJ,M.Sc,
Engenharia Mecânica, 1978)
Tese - Univ. Fed. Rio de Janeiro. Fac. Engenharia
l. Estudo analitico-experimental de um mecanismo articulado por juntas esfêricas I. COPPE/UFRJ II. Titulo (sêrie).
i i i
A m.lnha e6 po6 a
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Ag.1tadeç.o,
i V
ao p.1to6. Jan Leon Sciehz~o peta o
Jtien.taç.ã:o,
à Nucteb.1tâh que pohhibiti.tou a Jtea
tizaç.ã:o deh.te .tJtabatho,
aoh colegah e amigoh que hemp.lte in
cen.tivaJtam e auxitiaJtam, con.tJtibuin
do dehhe modo pa.lta a Jteatizaç.ã:o deh
.te .tJtabalho.
V
RESUMO
Este trabalho consiste em um estudo básico anal,tico
experimental para um projeto de um mecanismo articulado para mani
pulação remota.
Foi analisado um mecanismo articulado por juntas esfé
ricas e paralelamente foi desenvolvido um protõtipo.
t apresentada a solução do problema de estabilidade da
junta esférica e é proposto um modelo matemático para descrever o a
trito nas juntas.
t também apresentado um modelo matemático.para o bra
ço atuando como uma viga engastada horizontalmente em uma extremi
dade e livre na outra.
Foram medidas as deflexões estáticas do protõtipo a
tuando como uma viga engastada.
A comparação dos resultados prova a consistência do
modelo matemático.
vi
ABSTRACT
The main concern of this work is to develop a basic
experimental-analytic study which aims to design an articulated
arm to be used in a remote handling device.
An articulated spherical joint system has been ideal
ized anda prototype of this system, developed.
A solution to the joint stability problem is proposed
as well as the joint friction has its behavior modeled throughout
a matematical formulation.
The calculational framework considers the overall
system as an arm working as an horizontal cantilever beam having
one of its ends free.
Measurements on the prototype static deflections were
performed to prove the consistence of the matematical model proposed.
Vi i
INDICE
Pãgina
I. INTRODUÇIIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01
I.l. Características de um manipulador . .. . . .. .. . ..... 04 • I.2. Tipos de manipuladores 06
II. DESCRIÇIIO DO BRAÇO . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . 15
II I.CINEMIITICA DO BRAÇO . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
III. l. Funcionamento do braço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
III.2. Graus de liberdade . .. .. . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . 30
II I.3. Movimentos passiveis .. . . . . • . . • • . . . . . . .. . . . . . . . 32
IV. PROBLEMA DO CENTRO DE ROTAÇIIO DA JUNTA ESFtRICA .. . ... 39
V •
VI.
IV.l. Anãlise geomêtrica ............................. 41
IV .2. Equacionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
IV.3. Anãlise do comportamento da junta ... . ..... ..... 48
PROBLEMA DO ATRITO . ................................. . 54
V .1. O atrito nas juntas esfêricas ...... -. . . . . . . . . . . . 54
V. 2 • O atrito nos cabos
MODELO MATEMIITICO PARA A DEFLEX/10 ESTIITICA ........... VI . l . Anãlise de uma junta genêrica sem atrito ....... VI. 2. Anãlise de duas juntas sem atrito .............. VI . 3 . Anãlise de n juntas sem atrito ............... VI . 4. Anãlise de uma junta com atrito ................ VI . 5 . Anãl i se de n juntas com atrito ...............
58
66
67
72
77
84 91
VII. RESOLUÇ/10 DO SISTEMA DE EQUAÇÕES . . ... .... .. .. .. .. ... 100
Vi i i
Pãgina
VII.l. Utilização de NLSYSl ........................ 101
VII.2. Resolução de um sistema para oito juntas sem
atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 103
VII.3. Resolução de um sistema para oito juntas com
atrito nos cabos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
VIII. MEDIÇÕES DAS DEFLEXÕES ESTI\TICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
VIII. l. Bancada de testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
VIII.2. Descrição das medições .. .. . .. ........ .... ... 120
IX. COMPARAÇÕES ANAL1TICO-EXPERIMENTAIS ..... .......... .. 132
X . CONCLUSÕES .................................. ·......... 139
BIBLIOGRAFIA
Apêndice I
Apêndice II
- d. Apen ice III ........................................ .
141
143
172
178
CAPITULO I
INTRODUCAO
O objetivo deste trabalho ê desenvolver um estudo bãsi-
co teõrico e experimental necessãrio para a realização do projeto
de um braço para um manipulador remoto de substâncias quimicas ou
radiativas.
A seguir estão explicados os conceitos de manipulação
remota e de manipulador, procurando situar, assim, a importância do
braço do manipulador nessa operação.
A manipulação remota ê necessãria quando se tem que mo
ver substâncias ou atuar sobre processos que possam trazer danos a
saude humana ou ao meio ambiente. Muitas vezes para assegurar uma
maior proteção são empregadas barreiras fisicas entre o operador e
a operaçao. Como exemplo de barreiras ê possivel citar desde sim
ples paredes atê cêlulas completamente fechadas.
Para vencer esses obstãculos são geralmente empregados
os manipuladores remotos. Os manipuladores se constituem de três
partes principais: manoplas de acionamento, braços e pinças(fig.l).
A manopla de acionamento, como o prõprio nome diz I a
extremidade por onde se aciona o manipulador.
O braço ê o responsãvel pela ligação entre a manopla e
a pinça. t atravês do braço que são transmitidos os movimentos da
manopla para a pinça e são vencidas as distâncias e as barreiras de
proteção.
A pinça e a peça que substitue a mao do operador na rea
2
lização dos trabalhos, e ela que entra diretamente em contato com
as substincias.
Deste modo fica situado o problema do braço como peça
fundamental num conjunto maior que e o manipulador.
O braço serã, portanto, o motivo deste trabalho e den
tro desse enfoque existe ainda neste ~rimeiro capitulo uma intro -
dução aos manipuladores de um modo geral. Procurou-se mostrar co
mo caracterizâ-los e como classificâ-los. Dentre os vãrios tipos
e ~presentado aquele cujo braço e objeto deste estudo.
3
BRAÇO
PINÇA
tz
FIG.-1 Elementos de um man'1pulador tipo master-slave.
dificuldade crescente
FIG.-2 Adaptabilidade de movimentos.
4
I. 1. Caracteristicas de um manipulador.
Na introdução foram apresentados os problemas de ma
nipulação remota e manipuladores. Foram tambem apresentadas as pa~
tes principais de um manipulador e como atuam.
Agora serão apresentadas mais informações sobre a
sua utilização e como eles podem ser caracterizadós.
Os manipuladores executam as seguintes tarefas tipi
cas:
1. abertura e fechamento, a distãncia, de conexoes,
grampos, fornos e outros equipamentos.
2. movimentação de equipamentos e substãncias perig~
sas entre locais que apresentem proteção adequada aos riscos exis
tentes.
3. operaçao de equipamentos especialmente adaptados,
tais como: equipamentos de soldagem, balanças analiticas, microscõ
pios, politrizes, etc.
4. manutenção de equipamentos que operem em proces
sos industriais especiais. Os processos industriais envolvidos em
uma industria de reprocessamento nuclear são um exemplo tipico on
de se requer uma manutenção a distância.
Na caracteri~ação do desempenho dos manipuladores s~
rao utilizadas qualidades tais como: versatilidade, naturalidade ,
reflexão de força e adaptabilidade!
5
Essas qualidades sao assim definidas:
1. Versatilidade: ê a capacidade do braço reproduzir
os movimentos do conjunto braço-mão humanos. A versatilidade e ma
ior na medida em que se consegue reproduzir um maior numero dos
graus de liberdade inerentes ao conjunto humano. Aceita-se como r~
zoãvel quando se tem nas pinças pelo menos 7 desses graus de liber
dade, ou seja: três translações (nos eixos X, V, Z), três rotações
(movimentos de torção, elevação e azimute) e um movimento de aber
tura e fechamento das pinças (fig.l).
A capacidade de carga de um manipulador simples ,
desprovido de servo-mecanismos, ê limitada pela capacidade da mao
humana, que e de aproximadamente 10Kg. Por outro lado a mão huma
na não pode pegar e reter com segurança, nos 7 graus de liberdade
acima mencionados, cargas que excedam 5Kg.
2. Naturalidade: ê a capacidade do manipulador repr~
duzir os movimentos da mão humana com a suavidade que os caracter~
za. Essa qualidade tambêm ê chamada sincronismo e depende das ca
racteristicas construtivas do manipulador. Ela estã tambêm associa
da a capacidade do operador possuir uma boa visibilidade das oper~
çoes que estã realizando e de sua habilidade natural.
3. Reflexão de força: ê a capacidade que o manipul~
dor tem de transmitir os esforços que estão sendo exercidos nas
pinças de volta as manoplas, de modo que o operador tenha sensa -
ções fisicas prõximas as que teria se utilizasse suas prõprias mãos
na operaçao.
Esta propriedade facilita a realização de tarefas
onde a utilização de uma força excessiva pode danificar os objetos
que estão sendo manipulados.
6
4. Adaptabilidade: e a capacidade do manipulador ex~
cutar tarefas que apresentam condições restritivas. Essas condições
restritivas são inerentes a tarefa e o manipulador serã mais adapt~
vel na medida em que conseguir sobrepujar um maior numero dessas
restrições. Esta característica estã intimamente associada ao p~
der de resolução do manipulador. Como exemplo de tarefas que exi
gem uma adaptabilidade de movimentos crescentes poder-se-ia citar:
o ato de verter um liquido, a colocação de um pino em um orifício
e o acionamento de uma manivela (fig.2).
Um detalhe que auxilia bastante a realização des
se tipo de tarefas e a possibilidade de ouvir os ruídos que ocor
rem durante a operação. São tambem importantes uma boa visibili -
dad do local da operação e a habilidade do operador.
Estão assim definidas algumas características com que
se analisa o desempenho de um manipulador. A seguir sao apresen
tadas algumas classificações existentes, de tipos de manipuladores,
visando com isso ilustrar o problema.
I.2. Tipos de manipuladores.
Os manipuladores sao dispositivos de utilização extre
mamente restrita e consequentemente pequena produção.
Geralmente eles se destinam a solucionar problemas es
pecificos apresentando, portanto, poucas semelhanças entre si.
A seguir são apresentadas algumas classificações que
ilustram como essa tarefa e complicada~
Segundo o tipo de tarefa a que se destinam os manip~
ladores podem ser classificados em: serviço leve ou pesado, ou ain
7
da, utilização geral ou especifica.
Segundo o seu principio de funcionamento existem duas
grandes classes: os manipuladores simples e os manipuladores servo
assistidos. Os simples não apresentam multiplicação de força en
quanto que os manipuladores servo-assistidos, como o nome demons -
tra, possuem multiplicação.
A classificação segundo o tipo ê a que ilustra melhor
os vãrios tipos existentes e o modo como devem ser empregados. Por
tanto:
l. Manipulador tipo master-slave: este manipulador
possui os sete graus de liberdade descritos anteriormente. A cone
xão entre a manopla e a pinça ê exclusivamente mecânica, não sendo
servo-assistido. O nome master-slave provem do modo como ele ope -
ra, ou seja, executa-se um movimento com a manopla e a pinça repr~
duz um movimento identico. Não hã defasagem alguma, nem alteração
da força empregada. Portanto , estes manipuladores apresentam boa
versatilidade, boa reflexão de força, bastante sincronismo e sao
bastante adaptãveis. O mais conhecido destes manipuladores ê o mo
• 3 * dela 8 do Argonne Nat1onal Laboratory (ANL-8) (fig.l e fig.3)
2: Manipulador tipo master-slave modificado: a modi
ficação consiste em alterar a autonomia do modelo anterior.
O braço passa a ser telescõpico de ação ·simples
ou reversa. Estando a extremidade do braço, que corresponde a man~
pla, estendida pode-se contrair a outra extremidade, conseguindo-se
com isso um aumento de resolução. Pode-se tambêm agir de modo in
verso, estendendo a extremidade correspondente a pinça, conseguin-
(*) As ilustrações foram copiadas da bibliografia consultada.
8
FIG.-3 Master-slave modelo ANL·S.
FIG.-4 Manipulador articulado.
9
do desse modo um aumento de autonomia com redução do poder de reso
lução.
Em alguns manipuladores usa-se um duplo telescõ
pio na extremidade da pinça. Esta extensão extra ê acionada por
um motor elêtrico.
Essas modificações implicam na redução do tama
nho total do manipulador. Por outro lado para aumentar a autonania
ê necessário tornar os componentes mais robustos. Essa robustez a
carretarã por sua vez mais inêrcia ao conjunto e consequentemente
menor poder de resolução.
Esses manipuladores apresentam basicamente as mes
mas caracteristicas que os anteriores, porêm com uma pequena redu
çao na adaptabilidade devido a maior inêrcia.
3. Manipulador tipo mlster-slave com servo-controle:
como o nome dizê igual ao anterior possuindo,porêm, servo-mecanis
mos para o seu controle e acionamento. Este sistema apresenta al
gumas vantagens sobre os anteriores pois não hã necessidade de gra~
de proximidade entre o operador e a operaçao. O manipulador pode
ser montado em uma uni9ade mõvel para aumentar sua autonomia. A ca
pacidade de carga não ê limitada pela capacidade humana. Alêm des
sas vantagens ele possui todas as caracteristicas do manipulador c~
mum~ quais sejam, reflexão de força, versatilidade, naturalidade e
adaptabilidade no controle das pinças.
Sua complexidade de controles e mecanismos, entre
tranto, acarreta um preço excessivo.
Dos três tipos vistos, os dois primeiros sao bastan
te versáteis e adaptáveis, apresentam naturalidade e reflexão de
força, entretanto, sua capacidade de carga ê reduzida. O terceiro
lo
tipo possue todas essas qualidades e ainda apresenta uma capacid~
de de carga bem superior, entretanto, devido as suas sofisticações
possui um preço muito elevado. Diante disso surgiram modelos mais
simpl~s e mais especTficos, isto ê, restritos a determinadas ativi
dades. Esses tipos custam menos e nao seguem o princTpio do master
slave, são eles:
4. Manipulador articulado: pode ser construido com
qualquer requisito de versatilidade e capacidade de carga. Seu a
cionamento ê eletro-mecânico, pneumâtico ou hidrâulico e o contro
le situa-se em um painel que pode ser colocado no local mais conve
niente (fig. 4).
Com esse tipo de manipulador consegue-se o mesmo
numero de graus de liberdade do tipo master-slave, portanto, mesma
versatilidade. Porem, o ganho em capacidade de carga implica em u
ma perda parcial da naturalidade e total da reflexão de força e a
daptabilidade. Seu acionamento ê mais lento e cansativo para o
operador do que o master-slave.
5. Manipulador retilTneo: trata-se de pontes rolan
tes que apresentam um movimento em duas direções, e que têm nela
fixados desde um simples guincho atê um manipulador articulado des
ses vistos anteriormente.
Existem tambêm alguns manipuladores bem mais sim
ples, que desenvolvem uma gama bastante variada de atividades, se
jam elas especTficas ou de apõio aos manipuladores vistos atê aqui.
São eles:
6. Manipulador com braço articulado: ê um manipula-i
dor destinado a serviços leves . Seu braço constitui-se de corpos
cilTndricos, unidos por juntas esfêricas, e agregados por quatro
cabos de aço diametralmente opostos dois·a dois(fig. 5).
CORTE A-A
11
. , . . , ... ,' . . . ... -~ ..
. : ~ ..... ,
FIG.-5 Manipulador com braço articulado.
FIG.-6 Manipulador com braco semi-articulado.
l 2
Possui uma pinça cujo funcionamento ê de abertura e fechamento so
mente. O acionamento dessa pinça se dã por um gatilho. Quando da
movimentação do braço ocorre um estiramento de um dos cabos e con
sequente afrouxamento do que lhe ê diametralmente oposto. Esse com
portamento se propaga provocando uma movimentação na outra extremi
dade, movimento esse que ê simêtrico em relação a seção central ,
porem, apresentando um rebatimento.
Seu poder de resolução e sua versatilidade sao razoãveis.
A adaptabilidade ê reduzida. A reflexão de força existe somente
em relação ao braço.
Este braço foi o escolhido para ser analisado neste tr!
balho e temos logo a seguir no capitulo dois uma descrição detalha
da de seus componentes e no capitulo três a anãlise de sua cinemã
tica.
7. Manipulador com braço semi-articulado: este manipul!
dor tambêm destina-se a serviços leves. Seu braço possui uma se-
çao central constituida de um tubo. Nas extremidades desse tubo
existem dois trechos articulados, semelhantes, em funcionamento,ao
braço anterior. Devido a esses trechos articulados o seu funciona
mento assemelha-se a um punho humano, ou seja, as pinças aproxi -
mam-se a dos braços {fig.6).
Sua resolução ê superior a do braço anterior, entretan
to, sua versatilidade ê mais reduzida. Aqui tambêm a reflexão de
força refere-se somente ao braço.
8. Manipulador com braço reto e junta esfêrica: comes
te manipulador podem ser realizados trabalhos mais pesados, do que 4
com o anterior, devido sua maior rigidez . Possui uma seçao central
reta, como no anterior , onde estão fixadas a manopla e a pin
ça. Esse braço tem como ponto de apoio uma junta esfêrica , que
13
FIG.-7 Manipulador com braço reto.
IP
FIG.-8 Manipu~dor com braço reto simples.
1 4
se localiza na parede de proteção. Os graus de liberdade dessem~
nipulador correspondem aos de uma junta esfêrica. Aciona-se a pi~
ça por meio de um gatilho (fig. 7).
O seu poder de resolução e reduzido pela inércia
da junta esférica.
9. Manipulador com braço reto simples: e o tipo de
manipulador mais simples que existe. Como o nome diz sao manipul~
dores com braços retos que possuem uma pinça em uma extremidade a
um gatilho de acionamento na outra. Sua utilização estã restrita
a atividades em que somente a distancia ê suficiente como proteção
(fig.8).
Com este ultimo estã encerrada a classificação dos
manipuladores por tipo.
A seguir serão apresentadas a descrição do braço ar
ticulado e a anãlise de sua cinemãtica.
l 5
CAPITULO II
DESCRIÇAO DO BRAÇO
Como foi visto no item 1.2. o manipulador com braço ar
ticulado originou o braço que e aqui estudado.
Esse braço e composto de seções cilíndricas interconec
tadas por juntas esfericas e agregadas por quatro cabos de aço(fig.
9. a) .
Partindo dessa ideia bãsica ve-se logo de inicio a ne
cessidade de que as sedes dessas juntas sejam suficientemente pr~
fundas para que o braço possua resistência ao cizalhamento.
Foram adotadas sedes cônicas com ângulo de 459 que se
mostraram satisfatõrias ao longo dos testes (fig. 9).
Inicialmente adotou-se uma junta em que o centro geom~
trico coincidia com o centro de rotação. Isso deu origem a um pr~
blema de instab_ilidade do conjunto em relação a sua posição de equ.:!_
librio. Esse problema serã analisado no capitulo quatro(fig.lOa).
Apõs esse estudo foi adotada uma junta cujo centro de
rotação localiza-se fora do centro geométrico. Desse modo o pro -
blema de instabilidade foi resolvido (fig.lOb).
Obviamente desenvolve-se atrito nesse braço. Existem
dois locais onde ele e maior: nas juntas esfericas e no contato do
cabo de aço com os elementos cilíndricos (fig.11). Esses proble
mas serao estudados no capitulo cinco.
Como se ve na (fig.12) o braço constitui-se de alguns
componentes bãsicos:
l. Seção cilíndrica central.
2. Elementos comuns,
16
j A
--===--t==
-=::t- -:. = -_-_-:::: =- --- -- -----·.$='=:-c:::;
==1=- ::_-_::_-_ :_-_ -_ -_-±. =::t:.- - - - - - - - -t:=:J"
A
CORTE A-A
FIG.-9a
=:::::l:: _-_- _-_-.::: _-:_-
-E==i . -- - ="-_=.',_c-E3
FIG.·9b
FIG~9 Junta esférica com sede cônica.
1 7
- --,E::::a:i - - - - - --------
==i=-------
F IG.-10a
C.G.M ... C.R.
FIG.-10b
C.R.
C.G.M.
FIG.-10 Evolu cão da junta esférica.
18
/ •Coeficiente de atrito
FIG~11 Locais onde existe atrito.
' 1 , , ',, '
' 1
' ''. ' , ' ,,
p
- =-- ---· .. --- ··---------- - - -1
•··H-· ~
-·------:.-.-.=-.-::.-:.·.::-..:-:.::
FIGc12 Aspecto do protótipo,
0 SECÃO CENTR(\,l (ver figura 141.
0 ELEMENTOS CILINORICOS COMUNS(ver figura15)
0 ELEMENTOS DAS EXTREMIDADES E SISTEMA OE MOLAS(ver figura16)
0 CABOS DE AÇO E SISTEMA REGULADOR DE HNSÃO(ver figura13)
0 LIMITA DOR DE ANGULOS(ver figura 17)
<.O
20
3. Elementos das extremidades.
4. Cabos de aço agregantes.
5. Limitadores de ângulos.
Os cabos de aço estâo dispostos ao longo de todo o br!
ço. Atravessam todos os elementos através dos orificios a eles des
tinados e possuem nas extremidades um sistema de molas e calibrado
res que permitem a fixação de suas tensões iniciais (fig. 13). As
molas possuem uma rigidez conhecida.
A seção central e cilindrica e alongada. Destina-se a
fixaçâo do braço (fig.14). Logicamente os cabos de aço a atraves
sam e ela funciona como uma divisõria entre a metade do braço que
estâ sofrendo a açao e a metade que estâ reproduzindo o movimento.
O protõtipo estudado constitui~ge de uma seção central
com oitos elementos comuns de-cada lado mais um elemento em cada
extremidade.
Os elementos comuns sao o resultado de um desenvolvi
menta paralelo a soluçio do problema de estabilidade das juntas e!
fericas. Como mostra a figura 10, eles evoluiram a partir de sim
ples cilindros para essa forma final (fig.15) que visa deslocar o
centro de rotação da junta para fora do centro geométrico. Nas ju~
tas são utilizadas esferas de rolamentos devido a perfeição de sua
forma.
Os elementos das extremidades apresentam um tamanho m!
ior pois servem para a fixação do sistema de pré-tensionamento dos
cabos de aço (fig.16).
Os limitadores de ângulos sao aneis colocados nas ju~
tas de modo a limitar o giro mâximo de cada junta esferica (fig.17)
Com isso consegue-se uma maior uniformidade no flexionamento de bra
ço.
21
fixador movei dos cabos
"'ª" , .. "ª"'ª''" ,. '"''" ~ ~
parafuso de fixacão da placa
~- • VISTA B
/ espaçador
FIG< 13 Regulador de tensão nos cabos.
ª--~,
, ' I \
' 1 1 , \ I \ / ,, ---
VISTA B
22
1 1
B
- __ I
- --1 ·-- - - -- - - - - - -' r- - -1 r--
- - -- ----i - __ I
----- --1---; r---t- - - -
B R :19,00mm
,,. - --
/ /
CORTE B-B
FIGs14 Seção central.
23
23
_1Q
d
C.R.
CORTE A-A
FIG.-15 Elemento cilíndrico comum com junta esférica.
R =19,00mm
d =-5,37mm
h~ 9,59mm
'X-= 23,30mm
=
Z4
5
10 2 de molas
..- ... / ....
/
/ ,,,.- --- ..... ,tai: \ / '
\ / \ -• I
1 \
, . /
VISTA D , I ,, a: ---- /,
/ /. -
/ VISTA D
C.R. extremidade fixa dos cabos R=19,00mm
FiGc16 Elemento da extremidade e sistema de molas.
5
r---1 --· ----.
1- - ---1
1 1
1 1 1 1 '
,t---1 ~---_ -_-_-_, 1 11---1 1 1 J 1
1
1 1 1--, ___ J
-·-·· r:--~-=1
CORTE D-D
25
F!Gc 17 Limitador de ângulo de giro.
D
D
26
O material empregado no protõtipo foi aluminio.
27
CAPITULO III
CINEMÃTICA DO BRAÇO
Para efeito de anãlise cinemãtica supoe-se que o bra
ço (fig. 12) estã posicionado em um sistema de coordenadas(X,Y,Z)
ao longo do eixo X. Sua seção central estã em principio localiza
da na origem dos eixos coordenados (fig. 18a).
O braço e normalmente preso através de sua seçao cen
tral. Esse tipo de fixação apresenta dois graus de liberdade,quais
sejam, deslocamento ao longo do eixo X e rotação em torno desse mes
mo eixo.
III.l. Funcionamento do braço.
O seu funcionamento se processa do seguinte modo:
Flexionando, por exemplo, a extremidade B para baixo
(fig.18b) ocorrerao dois movimentos nos cabos de aço que estão nas
posições superior e inferior. O cabo superior sofrerã um estira -
menta e o inferior um afrouxamento. Como e demonstrado, ainda na
{fig. 18b), esses movimentos dos cabos se transmitem para a outra
extremidade do braço. Portanto, a extremidade A sofrerã um flexio
namente para cima. O cabo superior, que foi estirado na esquerda,
tende a se acomodar diminuindo o cumprimento de sua metade direita.
O cabo inferior sofre um processo contrãrio, ou seja, afrouxamento
na esquerda e consequentemente aumento de seu comprimento na direi
28
y
- - - - - - - - A e--- z ,-, ,~ ,-, ~ -- - ·---~ '-' '-' ~ '-' X '/
,,,. . .,,
..,_~,;-~•-TRANSLAÇÃO
~~:J==~~~ROTAÇÃO
FIG,-18a Graus de f;berdade da secão central.
29
y
MOVIMENTAÇÃO DOS CABOS
NOS ORIFICIOS
FIG~18b Funcionamento do braço.
30
ta, vindo, portanto, auxiliar o flexionamento da extremidade direi
ta para cima.
Como deve ter ficado claro existe uma simetria em rela
çao ao ponto mêdio do braço. Qualquer movimento executado em uma
extremidade é reproduzido pela outra, sempre dentro dessa simetria
existente.
III.2. Graus de liberdade.
A seguir estão os graus de liberdade deste braço, que
sao em numero de cinco. Esta anãlise segue o conceito de versati
lidade de um braço visto em (I.l). As considerações se referem
sempre a extremidade do braço.
São êles:
III.2.1. Translação em X: e um movimento decorr~nte do modo
como a seçao central ê fixada (fig. 18a).
III.2.2. Translação em Y: nao ê uma translação perfeita, mas
sim um arco de circunferência (fig. 19a). Pode ser conseguida fle
xionando o braço no plano X-Y.
III.2.3. Translação em Z: nao ê uma translação perfeita, como
no parãgrafo anterior ê um arco de circunferência {fig.19b). Pode
ser conseguida flexionando o braço no plano X-Z.
vt 1
1
1 1
1
FIG.-19a Flexão em X-V
V
z
FIG719b Flexlto em X-Z
31
A
32
III.2.4. Rota~ão ao longo do eixo longitudinal: esse movimento
rotacional ê permitido pelo tipo de fixação da seção central. Ao
se girar uma extremidade em torno de seu eixo longitudinal, essa
rotação se propagarã ao longo do braço para a outra extremidade
(fig. 20).
Il!.2.5 .. Rotação em torno da seçao central: esse movimen~ t~m
bem e permitido pelo modo de fixação da seção central. Estando o
braço flexionado pode-se aplicar uma rotação em torno da seção cen
tral fazendo com que a extremidade percorra uma circunferência
(fig.21),
Todas as anãlises de graus de liberdade e logo a seguir
de movimentos passiveis referem-se a extremidade do braço. A razao
dessa referência ê que o estudo do braço sempre leva em conta o seu
possivel desempenho em um manipulador. Nesse caso seria adaptada
uma pinça em sua extremidade e os movimentos que interessariam
diretamente seriam os passiveis de serem executados pela pinça.
III.3. Movimentos passiveis.
Tendo analisado os graus de liberdade existentes e po~
sivel analisar algumas composições de movimentos passiveis.
l. A translação em X ê possivel com o braço em qual -
quer configuração como mostrado em (III.2.1.)
2. A translação em Y tambêm pode ser conseguida com
33
FIG~20 Torçâo longitudinal do braço.
34
y
A
X
A
FIG~21 Torção em torno da seção central.
35
perfeição se for feita uma associação entre a translação em X vis
ta em (111.2.1 .) e o arco de circunferincia visto em (111.2.2)
(fig.22).
3. A translação em Z se comporta do mesmo modo que em
Y, ou seja, associam-se a translação em X(lll.2.1) com o movimento
visto em (111.2.3) (fig.22).
Com essas duas considerações anteriores conclui-se que
podem ser executadas tarefas que necessitem de uma translação em
qualquer um dos tris eixos. Entretanto, as amplitudes dos movime~
tos não podem ser muito grandes pois a translação permitida pela
seçao central e limitada.
4. Pode-se flexionar o braço no plano X-Y, como em
(111.2.2), e aplicar uma rotação em torno da seçao central, como
em (111.2.5). Com isso se consegue que a extremidade percorra uma
circunferincia.
5. Pode-se flexionar o braço no plano X-Z, como em
(111.2.3), e tambem aplicar uma rotação em torno da seção central,
(111.2.5). Aqui tambem a extremidade percorrerã uma circunferin
cia, porem o resultado final e diferente do anterior.
6. O braço pode ser flexionado em qualquer plano in
termediãrio entre X-Y e X-Z. Pode-se tambem aplicar uma rotação
em torno da seçao central e novamente se terã a extremidade percoi
rendo uma circunferincia.
7. Se forem considerados cada um dos tris movimentos
anteriores em particular, ou algumas combinações entre iles, pode
se chegar a conclusão que a extremidade do braço pode percorrer to
dos os pontos de uma calota aproximadamente esférica (fig.21). A
geratriz dessa calota e função dos limitadores de ângulos, pois e
les estabelecem qual o ângulo mãximo permitido a cada junta e des
36
z 1,; ... 1..- : -.!;-..,.......... •.7·1- ------1---.!:..Cf--------f 1 , , ,( ~ 1- --b------1 ::;- ---.:7 1'-' ~ - ,. '. r,--: -· 1'--'
--·-··----'---= ---- ····- A X
PARA TRANSLAÇÃO EM Z,
MOVIMENTO ANALOGO NO PLANO X·Z
FIG.-22 Translaç!o em Y ou Z.
37
y
z X
A
FIG,-23 Volume cilíndrico limitado por calotas esféricas.
38
se modo qual o alcance da extremidade do braço.
8. Ao se fazer a associação entre o movimento anterior
e a translação em X permitida pela seção central conclui-se que a
extremidade do braço pode percorrer todos os pontos de um volume ci
l1ndrico limitado por calotas esfêricas (fig. 23).
9. A partir do movimento de rotação em torno do eixo
longitudinal visto em (Ill.2.4) seria possTvel, desde que o movimen
to fosse corretamente executado, verter-se um l1quido decantado,~
brir um trinco, etc. Essas açoes implicam em um movimento de rota
ção da extremidade do braço e nao exigem uma adaptabilidade muito
grande (fig. 20).
39
CAPITULO IV
PROBLEMA DO CENTRO DE ROTAÇAO DA JUNTA ESFtRICA
Na anãlise da junta esfêrica devem ser ressaltados al
guns pontos que visam facilitar a abordagem do problema.
- Primeiramente para efeito de anãlise da junta em rela
çao ao equilibrio estãtico serã considerado que o braço, como na
(fig. 18a), encontra-se localizado em um sistema de coordenadas (X,
Y,Z), ao longo do eixo X e com sua seçao central fixada na origem
do sistema. Sua possibilidade de movimento restringe-se ao plano
X-V.
- A aceleração da gravidade atua no sentido contrãrio ao
do eixo V.
- O braço ê simêtrico axialmente em relação ao eixo X.
Como foi citado no capitulo Ili, êle tambêm ê simêtrico em relação
a sua seção central, apresentando n
de cada lado.
juntas esfêricas idênticas
- Ainda com relação a sua possibilidade de movimenta-
çao, como jã foi citado no item (III.l), todos os movimentos reali-
zados em uma extremidade são reproduzidos pela outra.
Estando estabelecidos esses parâmetros iniciais, serao
feitas, a seguir, algumas hipõteses simplificadoras:
1. Como para efeito de anãlise da junta, quanto ao e
quilibrio estãtico, restringiu-se o movimento ao plano X-V e a s~
ção central foi considerada fixada, sem possibilidade de rotação ou
translação; então, serã considerado por hipÕtese que os elementos
40
SEÇÃO
CENTRAL
FIG.-24 Propagação das forças ao longo dos cabos . •
41
comuns sao bidimensionais.
2. Os cabos de aço estão fixados nas extremidades do
braço e sao considerados inextensiveis.
3. Não hã atrito entre os cabos e os seus orificios de
passagem. Nas juntas esféricas também não hã atrito.
4. Como não existe atrito as forças de sustentação e
movimentação do braço se propagam de modo uniforme ao longo dos ca
bos, sendo iguais em qualquer ponto dos mesmos (fig. 24).
5. Como se observa na {fig.25) para que haja o equill
brio estãtico o momento criado pelo peso dos elementos comuns deve
ser contrabalançado pelas forças F e F 1 2
Em principio seria su
ficiente F para equilibrar o sistema, porem, levando em cbnta a •
possibilidade de flexionar o braço em qualquer direção, tem de ha
ver equilibrio entre as tensões iniciais dos dois cabos de aço.
6. Sendo as juntas idênticas, o braço simétrico em re
l~ção a seção central e considerando que as forças atuantes nos ca
bos são as mesmas em qualquer ponto do braço, então, esta anãlise
se restringe a uma junta esférica onde supõe-se que o elemento si
tuado a esquerda estã fixo e o que estã a direita procura encontrar
sua posição de equilibrio {fig. 26).
IV.l. Anãlise geométrica.
Serão estudadas a seguir as coordenadas que definem a
geometria de uma junta esférica {fig. 27):
eixos de coordenadas fixos no centro de rotação
indice l = refere-se ao cabo superior.
42
A
F, F,
SEÇÃO
F,_ , F,_
A 1 caba superior
TENSÃO INICIAL IGUAL 3 4
NOS OUATRO CABOS
CORTE A-A 2 cabo infeiior
FIG.-25 Equilíbrio estático.
E.E'-ELEMENTO FIXO
E.F. E.M". E.M.-ELEM. MOVEL
w b,
Jl,
C.R,
F IG.-26 Análise de um elemento.
43
y
o:: E. F. E.M.
X
ª·
C.G. M;;; C.R.
FIG.·27 Geometria da junta esférica.
44
indice 2 = refere-se ao cabo inferior.
E.M. = elemento mõvel.
E.F. = elemento fixo.
C.G.M. = centro geométrico da junta, ou ponto equidis
tante dos orificios de saida e entrada dos ca
bos nos elementos.
C.R. = centro de rotação da junta.
R = raio de localização dos cabos de aço em rela
ção ao eixo longitudinal.
D = distância entre elementos. D= n+ d
n = distância entre o E.F. e o C.R.
d
A
A
B
B
r
2
2
=
=
=
=
=
=
=
distância do C. R. ao E. M.' orientação coinci-
dente com o eixo X •
orificio de saida do cabo superior no E. F.
orificio de saida do cabo inferior no E . F.
orificio de entrada do cabo superior no E.M.
orificio de entrada do cabo inferior no E.M.
distância do C . R. ate os orificios B e B 1 2
r = JR2+ d2Jl/2.
ângulo que depende da geometria, origem no ei
XO y e orientação no sentido horãrio
t (t) q,= are g "
Na (fig.28) estão definidas mais algumas coordenadas
que dizem respeito a junta quando esta sofre um giro de um ângulo
e :
e = ângulo de giro do elemento mõvel, orig·em
eixo X e orientação no sentido horârio.
= comprimento inicial dos cabos (e= 09).
no
45
y
E.F.
C.G.M. :C.R.
FIG.- 28 Rotação da junta esférica.
b,
X b,
--··-··· ... .i ---L
46
L = comprimento final dos cabos apos um giro de
8 graus.
A = orificios de saida dos cabos no E. F ..
B = orificios de entrada dos cabos no E .M. (8=09).
c = orificios de entrada dos cabos para um giro
de 8 graus.
b = distância da linha de açao das forças atê o
C . R. (8=09 ; b=R).
c = distância da linha de açao das forças até
C . R. para um giro de 8 graus.
Como se ve na (fig.28) as forças F e F causarao mo-1 2
mentas em relação ao C.R .. Momento esse que sera responsâvel pelo
equilibrio estâtico do conjunto. Com a rotação do elemento mõvel
ocorrera uma variação na distância entre a linha de ação das for
ças e o C.R. alterando desse modo o momento equilibrador do siste
ma.
IV.2. Equacionamento da junta esfêrica.
Serâ equacionado a seguir o comportamento do comprime~
to dos cabos e da distância da linha de ação das forças atê o C.R.,
quando a junta ê submetida a um giro de 8 graus (fig. 28).
A partir dos pontos:
A = (-íl,R) 1
; A = (-íl, -R) 2
C = (r sen ($+8), r cos ($+8)) 1
(IV-1)
(IV-2)
47
e = (r sen (<ji-8), -r cos (<ji-e)) (VI-3) 2
Sendo a junta simêtrica em relação ao seu eixo longit~
dinal ê possível analisar somente as equações correspondentes a me
tade superior, ou seja, para um ângulo maior que zero graus. Pa
ra a metade inferior bastarã adotar um ângulo de mesmo valor e, p~
rem negativo.
Da geometria analítica chega-se a:
[ 2 21Í2J L/ [(r sen(<ji+e) + n) + (r cos(<ji+e)-R) J (IV-4)
lÕgicamente
[ 2 21/21
L,= [(r sen (<ji-8) +n) + (r cos(<ji-e)-R) J J (IV-5)
Do mesmo modo chega-se a:
[
-Rr sen(<ji+8) -,ir cos (<ji+e) j c
1 = ---------
2-----
2 1/2 (IV-6)
[(r sen(<ji+e) +íl) + (r cos(cp+e)-R) J
e tambêm
c = [- -Rr sen (<P-8) -ílr cos(<ji-8) 2
[(r sen(<P-8) +íl)2
+(r cos(cp-e) 2
ih l ( IV - 7)
-R ] J
48
IV.3. Anãlise do comportamento da junta.
Inicialmente pensou-se numa solução em que o C.G.M.co
incidisse com o C.R. como na (fig.29a), ou seja, para um t maior
que zero graus. Para essa situação ê possivel simplificar as e
quações vistas anteriormente. Chega-se a:
L 1
w = [ i ~ + 2 ( R 2 -,i d) ( l - cose ) + 2 R D se n e] (IV-8)
L = 2
c =
c 2
denominando
[i~+ 2(R 2 -,id)(l - cose) - 2RD sen e] 1/2 1
-DR cose- {R2-,id) sen e
[i2+ 2(R 2-,id)(l- cose)+ 2RD 1
1/2 sen e]
-DR cose+ (R 2-,id) sen e
[t 2+ 2(R 2-,id)(l- cose) - 2RD 2
S = (L + L) - (R. +t) 1 2 1 2
1/2 sen e]
(IV-9)
(IV-10)
(IV-11)
(IV-12)
Foi feita uma anãlise dessas equaçoes empregando dimen
soes compativeis com o protõtipo e chegou-se a interessantes resul
tados que estão no grâfico l(fig.30a).
Nesse grâfico foram plotadas três curvas:s ,c e c . Cons l 2
tata-se que c diminui e c aumenta a medida que e se torna diferen l 2
49
y
_121 )O
i A,
I
ª· v 1 </ ~
V X \~
A, ª·
C.G.M.; C.R.
FIG.-29a
y
__ 0=0
A \ /
B,
\,í ...... ,, '
~
r~\ X . / ~' /
_/
/ \ A,, s.
C.G.MJ C.R.
FIG~29b
V '
0(0 L
A, \ / 8
\ ,;' ', ~,
:'/ \ \ • X , t
/' I
I', / ,'
I \ A,
1
8
lc.R. FIG.-29c C.G.M.;
FIG,29 Localização do C.R. e do C.G.M.
50
te de zero. Isso ê altamente instabilizante pois nao haverã mo-
mento restaurador da posição de equil'íbrio em e igual a zero graus.
Ou seja F não conseguirã em hipõtese alguma equilibrar os momen-1
tos causados pelo peso e por F
do.
xado.
2
Sabendo que:
L -2 = variação no comprimento do cabo 1 1
ta sofre um giro de e graus.
L -2 = anãlogo para o cabo dois. 2 2
Para e maior que zero graus:
l quando a jun
(IV-13)
(IV-14)
(I\L.13) ê maior que zero, ou seja, o cabo 1 foi estira-
(IV-14) e menor que zero, ou seja, o cabo 2 foi afrou-
Portanto s menor que zero significa que o afrouxamen
to ocorrido no cabo 2 e superior ao estiramento ocorrido em l.
Diante desses resultados estudou-se a solução alteran-
do a geometria da junta. Para• igual a zero graus (fig.29b) as
equaçoes (IV-4), (IV-5) ,(IV-6) ,(IV-7) tornam-se:
1 [i:+ 1/2
L = 2R 2(1-cose) + 2RD sen e] 1
(IV-15)
1 [2:+ 2R 2(1-cose) 1/21 L = - 2RD sen e] 2
( IV-16)
-DR cose- R2sen e c =
l 1/2 [22+ 2R 2(l-cose) + 2RD sen e]
l
(IV-17)
51
-DR cose+ R2 sen e (IV-18) c =
2 1n [2 2 + 2R 2 (1-cose) - 2RD sen e]
2
A anãlise destas equaçoes estã no grãfico 2 (fig.30b}e
jã se pode notar a existência de uma tendência no comportamento da
junta em relação ao parâmetro centro de rotação.
-Para
ior ou igual a c 2
$ igual a zero graus a distância c l
sempre e
portanto, tendendo a equilibrar o sistema.
ma
A
curva S mostra que para essa construção praticamente o que ocorre
de estiramento em um cabo estã ocorrendo de afrouxamento no outro.
Explorando essa tendência demonstrada por esses dois
grãficos anteriores foi feita uma anãlise para um$ menor que zero
graus {fig.29c), que estã no grãfico 3(fig.30c).
Simplificando as equações para$ menor que zero, chega-
se a:
1/2
L = [2 2 + 2(R 2 +íld}(l-cose) + 2RD sen e] (IV-19) 1 1
= 1 [2: 1/2
L + 2(R 2 +íld}(l-cose) - 2RD sen eJ (IV-20) 2
-DR cose- (R 2 +íld) sen e c = (IV-21)
1 1/2
[2 2 +2(R 2 +íld}(l-cose) + 2RD sen eJ 1 .
-DR cose+ (R 2 +íld) sen e c = (IV-22)
2 J/ 2
[2 2 +2{R 2 +íld) (l-cose) 2
-2RD sen e]
No grãfico 3 nota-se que, a medida que e aumenta, maior
52
~ ~ -~ y -E E -E E '2.0 -~ ~ -CII > --- - -1 ~ -> u -- -~ o .,..
"" -< --a: 1,0 1S" lq 0') o
-·- --·-- ....... ...... ...... .....
lf d •10mm
.fl. = 10 mm
30a R = 19 mm
Ê' ê' y E E· ~ ~ $ 'º . -· _LS-. CII > t4 O=o - = 6 1 > u ,= o "' .....
< ' ' a: ' ' 1.I " ' d = O mm ' ' .ri..= 20mm ' 30b \
R :19mm \/ /
? ~ / E y E §. / ãi > - = / 1 > u -=- -·-"' o .-·r· LO JS
< j't 6 0' ( o
a: ' ' ' ' ' ' ' ' ' u d ' = -5mm ' ' fL =25mm ' -·-·-&
' 30c R ~19mm ' ' e. ' \ -- - -·C,
FIG.-30 Análise dos parâmetros de estabilidade da junta.
53
fica a diferença entre c e c , tendendo, portanto, a equilibrar , l. 2
rapidamente o sistema.
A curva 6 tem uma tendência altamente positiva neste
caso, ou seja, o estiramento de um cabo supera de muito o afrouxa
mento do outro.
Essas anâlises B serao importantes quando do estabelec~
mento das equações de equilibrio para o conjunto todo. Os resulta
dos referentes ao ângulo~ foram utilizados no projeto do protõti
po e são comentados posteriormente quando da anâlise do mesmo.
54
CAPITULO V
PROBLEMA DO ATRITO
Como foi citado no item (II) e pode ser visto na (fig.
11) existem dois locais onde o atrito se faz presente. Ele atua
nas juntas esféricas e no contato dos cabos de aço com os seus ori
ficios de passagem.
~s juntas esféricas o atrito se faz presente dificul-
tando a movimentação da mesma. flbs cabos de aço o atrito atua di-
ficultando sua movimentação ao longo do braço, movimentação essa
que e fundamental para o funcionamento do braço.
Como esses dois problemas sao diferentes no modo de a
bordar serão estudados separadamente.
V. 1. O atrito nas juntas esféricas.
~s juntas esféricas, como jã foi dito, e atrito se o
poe ao movimento da junta, dificultando a rotação de um elemen-
to em relação ao outro. Portanto, o atrito é responsãvel por um
momento resistente. Como serã visto no capitulo referente as medi
ções efetuadas, essa caracteristica é interessante pois auxilia o
braço a sustentar uma carga. Porém, torna-se inconveniente no mo
mento em que se retira a carga, pois, impede que o braço
a sua posição de repouso inicial. 11
Sabe-se que a fõrmula bãsica do atrito seco e
retorne
onde
55
f=µ.N
f = força de atrito de tipo seco
µ=coeficiente de atrito
( V -1 )
N = mõdulo da força normal atuando entre as superficies
em contato.
Resta estabelecer para a junta esférica qual o valor
da componente normal.
Para se fazer essa anilise pode-se tomar uma junta(fig.
31). Existe uma força total de agregação entre dois elementos. Es
sa força e dada pela soma das quatro componentes, correspondentes
aos quatro cabos de aço agregantes.
Portanto :
+ + + + + F = F + F + F + F (V-2)
2 3 4
+ Para e igual a zero graus a resultante F esti alinha-
da com suas componentes, portanto:
+ + + + +
1 F 1 = iF 1 + iF 1 + 1 2
iF I+ 3
1 F 1 4
(V-3)
Quando ocorre um giro de uma seçao em relação a outra, +
ou seja, e diferindo de zero graus, obviamente o mõdulo de F· dei
xa de ser a soma dos mõdulos das suas componentes, e tambem nao
coincidiri em direção. Porem, como existem os limitadores de ang~
56
/ F.. A, - B,
I -E.F.
I -,,_ ,
~ ,'
-,, " / ,,
I
E.M.
~ \ '' A I F, B, - - ' 1..-~ F ___ _
, A; F, B, I 1 /
: \ /
' I
~ '
, ' -r.~
'""' : A,
F, B,
,
FIG~31 Resultante das forcas de agregação.
E. F. A 81 E.M.
I
' I _, 1 \
' '
B, N,
FIG~ 32 Forca normal atuante na junta.
tendência de movimentação
N=N+N ~ .
f = f,+f,
f: ,A,\ N =f'- _F_ / / COSO(
57
los nas juntas, o giro mãximo delas estã restrito a aproximada
·mente dez graus.
Diante disso foi assumido o valor (V-3) como sendo o
valor da força total de agregação para qualquer configuração. O er
ro cometido com essa simplificação nao é grande levando-se em con
ta que o coeficiente de atrito não possui um valor exato.
Estando estabelecido o valor da força total de agrega
çao resta saber qual sua relação com a normal a superficie da sede
da junta esférica.
Foi escolhida uma sede com formato cônico. Ve-se na
(fig.32) que o ângulo da sede desenpenha papel importante nessa re
lação entre a força total e a normal. Tem-se:
-,. -,.
1 F 1 = N cosa IFI = F (V-4)
f µ. N F = = µ (V-5) cosa
Da equaçao (V-5) podem-se tirar algumas conclusões.Por
exemplo, para a igual a zero graus a força de atrito é minima, p~
rem, nesse caso não existe resistência ao cizalhamento na junta.
Para a tendendo a 909 graus a força de atrito tende a um valor
infinito, o que também é muito ruim.
Da {fig.32) conclui-se ainda que o momento resistente
causado pela força de atrito ê função direta do raio da esfera,pois
a força de atrito atua tangente a superficie desta, ou seja:
Mf = f. r e = µ. F
re (V-6) cosa
onde
Mf =
=
58
Momento resistente devido a força de atrito.
raio da esfera.
Esse momento sera utilizado posteriormente na equaçao
de equilibrio.
V.2. O atrito nos cabos .
. Como foi visto no item (II) os cabos de aço estão dis
postos ao longo de todo o braço. Atuam como se fossem musculos,ou
seja, devido a variações nas tensões a que estão submetidos êles
impõem movimentos e configurações ao braço. Ainda no item (II)foi
visto que os braços apresentam um sistema de prê-tensionamento e
de fixação dos cabos nas extremidades.
Levando-se em conta que os cabos estão prê-tensionados,
então, quando hã uma rotação entre dois elementos cilindricos pa~
sarao a existir pontos de maior contato entre os cabos de aço e
esses elementos. fu {fig.33) estã sendo mostrado esse problema e
as setas indicam os locais de maior contato, ou seja, os pontos on
de o cabo muda de direção. Na {fig. 34) o problema de tensões no
cabo foi reduzido a um diagrama de forças. !'!esse diagrama vê-se
claramente que, nos locais onde o cabo muda de direção, passa a e
xistir uma componente de força responsãvel pelo equilibrio do sis
tema. Ainda na {fig.33) existe um detalhe do ponto de contato do
cabo com a borda do elemento cilindrico. Naturalmente apôs alguma
59
---DETALHE B
FIG.·33 Pontos de contato dos cabos.
• .. T,
T, e
r,
FIG.-34 Dobramento de um cabo tracionado.
60
movimentação do braço, com o consequente movimento dos cabos atra-
ves de seus orificios de passagem, ocorrerã uma acomodação entre
os cabos e as bordas. Dessa acomodação surgirão superficies de con
ta to.
Com o surgimento dessas superficies a componente exis
tente para equilibrar o sistema (fig.34) ficarã distribuida pores
sa superficie. Como os cabos tendem a se deslocar sobre essas su
perficies começarao a existir forças de atrito. Essa forma de ocor
rencia de atrito, por suas caracteristicas assemelha-se bastante ao
atrito entre correias e polias.
A seguir serã feita uma rãpida anãlise do atrito entre
cabos e superficies curvas para facilitar o enfoque do problema.
V.2.1. Atrito de cabos sobre superficies curvas.
Como se ve na (fig.35) serã analisado um elemento de
cabo submetido a uma variação de tensões (dT), uma variação angu
lar (de), com um comprimento (dS) e apoiado sobre uma superficie
com um raio genérico R.
Supondo que este elemento esteja a ponto de deslizar
da esquerda para a direita, então, as seguintes equações de equilf
brio podem ser escritas:
,: F s = T + dT - T - df = o (V-7)
,: F r = dN T sen de {T+dT) sen de o (V-8) - - - = 2 2
mas df = µdN (V-9)
sen de 2
de 2
a partir de (V-7) e (V-9)
dT = µdN
e de (V-8) e (V-10)
dN = Tde
donde
dT = µTde
61
(V-10)
(V-11)
(V-12)
(V-13)
portanto integrando ao longo de um comprimento Se que
implique em uma variação angular de e graus, sempre se consideran
do uma variação da esquerda para a direita, chega-se a uma expre~ 1 1
são bem conhecida, que calula a variação total da tensão atuante
no cabo, ou seja:
T = T .eY 8 (V-14) 2 1
mas de (V-7) deduz-se também que
T - T 2 1
= f e (V-15)
fe = força de atrito atuante entre o cabo e a
superf1cie curva para um abraçamento de
8 graus.
62
T+dT
T
F1Ge35 Atrito entra cabos e superfícies curvas.
FIG, 36 Força de atrito em cabos.
63
Portanto a força·de atrito atuante entre um cabo e uma
superficie curva e proporcional a uma tensão de referencia multi
plicada por um valor que varia exponencialmente com o ãngulo de a
braçamente (fig. 36), ou seja:
(V-16)
Prova-se facilmente que a anãlise acima aplica-se as
juntas. Nesse caso, em vez de uma superficie curva continua, como
uma polia, tem-se um somatõrio de pequenas iterações noslocais em
que o cabo entra em contato com os elementos cilindrices e
as mudanças de direção (fig.33).
sofre
Essa expressão deve ser amoldada ao problema em estu
do, com a substituição dos termos equivalentes para uma melhor com
preensao.
Na (fig.37) ve-se que existe uma força de atrito para
cada um dos cabos. Existindo, portanto:
(V-17)
f = F0
(JIY 8-1) e 2 2 (V-18)
onde
f81
e f82
= reaçoes do cabo sobre os elementos cilindrices
Causam um momento resistente, que tem a peculiaridade de ter o va
lor zero para e igual a zero graus. Portanto, f81
e f82
são funções
diretas do ângulo e de flexionamento da junta.
CABOS FIXOS NESTA
EXTREMIDADE
64
F,
a:
~ ' 1
F,
F'' F' ' '
}Mt,.,_,__~8 - t--TENOENCIA OE • r--MOVIMENTAÇAO
F• F' • •
fe,. "F:(el'" -1)
fe,,((e,.. 9 - 1)= F:(1 - e"!<")
FIG: 37 O atrito nos rabos-
'' F 2
65
e F = tensão no cabo correspondente ao lado 1
contrãrio ao do sentido de movimentação do cabo em relação ao ele-' " menta cilindrico. t importante mencionar que F e F sao funções
. 1 2
'' " tambem do ângulo e. F e F assim como, F e F diferem de uma 1 1 2 2
quantia equivalente a f81
e f82
respectivamente.
e= ângulo de flexionamento da junta.
µ = coeficiente de atrito existente entre os ca
bos e elementos cilindricos e considerado uniforme ao longo de to
do o braço.
Portanto, pode-se calcular o momento resistente atuan-
te na junta:
(V-19)
R = raio de localização do cabo em relação ao C.
R. da junta esferica {fig. 37).
Nota-se tambem, que quanto maior o flexionamento da ju~
ta, maior o momento resistente e consequentemente maior a dificul
dade de move-la. Esse comportamento poderia ser extrapolado para
o braço, que se constitui numa sequencia de juntas. Na verdade is
so foi posteriormente observado quando da realização das medições
e observação do desempenho do protõtipo.
66
CAPITULO VI
MODELO MATEMÁTICO PARA A DEFLEXAO ESTÁTICA
Neste capitulo sera proposto um modelo matemãtico para
a deflexão estãtica do braço atuando como uma viga engastada. Serã
estudado o braço submetido ao seu prõprio peso ou, acrescido de al
guma carga na extremidade.
Como foi visto no item {II) e pode ser visto na {fig.
12) o braço e simétrico em relação a sua seçao central e os cabos
de aço são pre-tensionados por molas.
Serão feitas algumas hipõteses simplificadoras na ela
boração do modelo matemãtico:
Supõe-se que o braço sõ se movimenta em um plano p~
raleio a direção de atuação da força gravitacional.
Inicialmente a anãlise e feita considerando-se que
nao hã atrito nas juntas esfericas e no contato dos cabos de aço
com os seus orificios de passagem. Posteriormente, ainda neste ca
pitulo, e proposta uma solução que leva o atrito em consideração,~
sanda para isso as anãlises feitas no capitulo (V).
Considerando que não hã atrito e a simetria do con
junto em relação a sua seçao central serã feita a anãlise somente
em uma metade do braço.
Considera-se para efeito da anãlise que somente os
cabos superior e inferior trazem contribuição ao equilibrio do sis
tema. Posteriormente serão considerados os outros dois cabos.
Nesta anãlise não vão ser considerados os limitado-
67
res de ângulo.
Levando-se em conta as hipõteses acima, é apresentada a
seguir uma anãlise detalhada do comportamento de uma junta genérica
e de um meio braço com duas juntas. Com isso se deseja esclarecer
melhor o mecanismo de equilibrio desse tipo de braço.
VI.l. Anãlise do comportamento de uma junta esférica genérica sem
atrito.
Pela descrição do braço sabe-se que os cabos estão pre-.
tensionados por molas. A rigidez dessas molas é conhecida. Apre
tensão em todos os cabos é idéntica.
~ (fig.38a) vé-se um desenho mostrando um elemento ci
lindrico fixo e preso a ele através de uma junta esférica um outro
elemento cilindrico mõvel. Este elemento estã apoiado. As forças
atuantes nos cabos superior e inferior são iguais e correspondem as
pré-tensões. O sistema estã logicamente em equilibrio.
Ao ser retirado o apoio o elemento mõvel procurarã a no
va posição de equilibrio.Vé-se que o peso do elemento cilindrico cau
sa um momento em relação ao C.R. (fig.38b). O equilibrio sera conse
guido mediante uma variação dos momentos causados por F e F .Pois 2
bem, o equilibrio processa-se do seguinte modo:
l. Como foi visto no item (IV-2) e pode ser constatado
na (fig. 39), a medida que e aumenta no sentido horãrio(fig.38b) a
torna-se maior que a . Portanto, o momento causado por F torna -2 1
se maior, tendendo a equilibrar os momentos causados por F e pelo 2
1
68
- ~ ,
F. .
, , , a, , , , , - 1- - J- -,
j, ª· , , , , , F, .
i. . ' w
FIGc 38a C.R.
C.L.=COMPRIMENTO LIVRE
C.R.
a,
a, ----L, w. FfGc38b
FIGs38 Variação no comprimento dos cabos.
69
peso (W) do elemento cilíndrico.
2. O sistema de prê-tensionamento dos cabos auxilia
nesse processo de equilibri.o. Com o ângulo aumentando no senti-
do horãrio vê-se pela (fig.38b) que hã uma variação nos comprimen-
tos livres dos cabos. Na (fig.39) estã a repetição do grãfico 3
(fig.30c) e estão ainda plotadas as curvas referentes a variação
dos comprimentos dos cabos, ou seja, as curvas(L -2) e (L -2 ). l l 2 2
Pois bem, esse grãfico evidencia o que se percebe grosseiramente na
(fig. 38b), ou seja, (L -2) com ordenadas maiores que zero signi-1 l
fica que o cabo 1 estã sendo encurtado em seu comprimento livre,
portanto, aumentando a deflexão da mola 1 e consequentemente aume~
tando o valor de F (VI-5). Jã a curva (L -2) apresenta ordenadas 2 2
menores que zero, portanto, o valor de F (Vl-7) estã diminuindo p~ 2
ra um e maior que zero graus no sentido horãrio. Dai conclui-se
que, também devido a esse efeito, o momento causado por F tenderã l
a contrabalançar os momentos causados por F e pelo peso (W), equi 2
librando o sistema.
Portanto, do que foi exposto acima ve-se que o sistema
tende a uma posição de equilíbrio estãtico para um e diferente de
· zero graus.
A seguir sera desenvolvida a equaçao de equilíbrio p~
ra o caso visto acima:
i:MC.R. = O (VI-1)
F .a - F .a - W.2 = O 1 1 2 2
(VI-2)
onde~ e dado por (IV-21)
'E' e ...s E y
~ > = • • a: ;:!, 3 o ~ < ·~ a: ~ ~
2. 20
1.
l'i
' '
·i
... !1
-3
70
~ .5. a, ~
• >-= /
"' /
/ /
/ /
/ /
/ /
/
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/
--· --· -· .-· -· ·-· -·-·
' ' ' ' ' ~
' \ '
d= - 5.37mm
fl.=18.99 mm
R =19.00mm
'\
' '\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\
/ /
/ /
/
/ /
/
/
-----to
FIG~ 39 Análise do comportamento da junta do protótipo.
/
, .,,. .,,. ..,.... ..,...
e
----R, ------ R,
---(L,-,Y,,)
-- - - -·(L,·i.)
-·-·-B
a = 1
71
-DR cose - (R 2 + íld) sen e 1/2
[2 2 + 2(R 2 + íld)(l - cose)+ 2RD sene] 1
(VI-3)
e a e dado por (IV-22) 2
onde
-DR cose.+ (R 2 + íld) .sen e a =
2 ~ [ 2 2 + 2 ( R 2 + íld ) ( l - cose ) - 2 R se n e J
1
F e da forma 1
F = K [ X + t.L ( e)] 2 1 O 1 1
K = rigidez da mola l 1
X = deflexão inicial da mola 1 O 1
(VI-4)
(Vl-5)
t.L1(e) = (L (9) -Q. ) = variação do comprimento livre
1 1
do cabo 1 L
1(e) ê obtido de (IV-19)
LI ( e ) = 1 [ Q,: + 2 ( R 2 + íld ) ( 1 - C o se ) + 2 R D se n e] 112
j ( V I - 6 )
Q. e o comprimento inicial do cabo l 1
F possui uma forma semelhante 2
F = K [X + t.L 1 2 2 O 2 2-
os termos sao análogos aos anteriores.
(Vl-7)
72
fendo concluido essa anâlise para uma junta genirica se
rã feita, a seguir, a anâlise para um braço composto de duas ju~
tas esfericas. O objetivo dessa anâlise para dois elementos e uma
melhor compreensão visando o estabelecimento de um modelo matemâti
co para n elementos.
VI.2. Anâlise de um conjunto com duas juntas sem atrito.
Primeramente sera feita uma convençao para a nomenclatu
ra a ser empregada na abordagem de um problema com mais de uma ju~
ta esferica (fig. 40):
As juntas serao nomeadas com letras maiúsculas do al
fabeto latino, A, B ' e , etc.
Os pesos correspondentes aos elementos cil Índricos
serao nomeados por W1 ' W2 ' W1 ' etc.
A carga da extremidade do braço terâ a designação p.
o ângulo e terâ como origem o eixo de simetria do e -lemento anterior. Os ângulos, assim como os pesos dos elementos ci
líndricos, serão designados e,e ,e , etc. A orientação e positiva 1 2 3
no sentido horârio.
As distãncias das linhas de açao das forças F1 e F2
em relação ao C.R. serão designadas pelas letras minúsculas corre~
pondentes a nomeação da junta, ou seja, a , a , b , b , etc. 1 2 1 2
As distâncias do C.R. aos centros de gravidade dos
elementos cilíndricos, para efeito de câlculo do momento com que es
tes contribuem, serão designadas por tAi' tA2
' A82
, etc; onde os
13
p
-°-tt- 4+ A B
•
• A CONVENÇÃO aos BRACOS DE MOMENTO ESTA NA FIG:41
FIGs 40 Conjunto tle 2 elementos.
74
índices de t contém a nomeaçao da junta esférica a qual pertence o
C.R. em questão e o número corresponde ao peso do elemento cilín
drico considerado {fig.40).
Todas as convenções apresentadas no item (IV. 1) {figs.
27 e 28) são também vãlidas aqui.
No equacionamento do problema serao utilizadas as ide -
ias apresentadas no item (VI.l) sõ que empregadas uma vez para cada
junta.
Como estã sendo considerado que o atrito é nulo, as fo~
ças (F e F ) se propagam ao longo de todos os cabos sem altera-1 2
çoes.
Portanto, como pode ser visto na (fig.40), primeiro se
ra proposta a equaçao de equilíbrio em relação a junta A:
Estando o conjunto em equilíbrio e sabendo-se que as
forças se propagam ao longo dos cabos sem alterações, então pode -
se também escrever em relação a junta 8:
F b 1 1
- F b 2 2
- W t - Pt = O 2 B 2 B 3
Portanto, sao duas equaçoes que descrevem o sistema:
75
F a - F a - W t - H t - Pt = O 11 22 1A1 2A2 A3
(VI-8)
F b l 1
- F b 2 2
- w l!. - p l!. 2 B 2 B 3
= o
A seguir os termos que compoem (VI-8) serao explicita-
dos:
- a e a 1 2
sao determinadas de modo análogo a {VI-3) e
{VI-4) para e= e , aliás, 1
é interessante notar que a = 1
f ( e ) l
e
a = f(-e ), e de modo análogo b = f{e) e b = f(-e ), portanto: ·2 l l 2 2 2
a = l
a = 2
b = 1
b = 2
-DR cos 8 - (R 2 + íld) 1
[!!. 2 + 2(R 2 + íld)(l - cose ) 1 1
sen e l
1/2 + 2RD sene J
l
-DR cose + (R 2 + íld) sen e
(VI-9)
l l
j/2 (VI-10)
sene [!!. 2+ 2(R 2 + íld)(l - cose) - 2RD l 1
-DR cose -2
[t2+ 2(R 2+ íld)(l l
-DR cose·+ 2
[l!.2+ 1
2 ( R 2 + íld ) ( 1
- F e da forma l
(R 2 + íld)
- cose ) 2
(R 2+ íld)
- cose ) 2
sen e 2
+ 2RD
sen e 2
- 2RD
F = K [X + til ( e ) + til ( e ) J 1 l O l l 1 l 2
1
sene ] 2
1/2 (VI-11)
1/l sena 1 (VI-12)
2
(VI-13)
análogo, portanto, a {VI-5) e
76
ól (8) = L (8) - 2 1 1 1 1 1
ól ( 8 ) = L ( 8 ) - 2 1 2 1 2 1
F possui uma forma semelhante a (VI-7) 2
F = K [X + ól ( 8 ) + ól ( 8 )] 2 2 02 2 1 2 2
óL (8) = L (8) - 2 2 1 2 1 2
ól (8 ) = L (8) - 2 2 2 2 2 2
(VI-14)
(VI-15)
(VI-16)
como pode ser observado em (IV-19) e (IV-20) a dife
rença entre L e L , do mesmo modo que para a e a , reside no 1 2 1 2
sinal do ângulo 8, ou seja, L = f(8) e L = f(-e), portanto, pode -1 2
se simplificar as expressões que decorrem de (VI-14) e (VI-16). U
tilizando (IV-19) e com o sinal adequado de e , chega-se a:
(VI-17)
1
1/2 1
L (e ) = [2 2 +2(R 2 + nd)(l - cose ) + 2RD sene2
] 1 1 2 1 2
(VI-19)
Pois bem, das duas equaçoes que compoem o sistema(~-~
resta definir os comprimentos 2Ai' 2A2
' 2A3
' 282
,283
• Esses com
primentos sao caracteristicos do projeto dos elementos cilindricos.
definindo (fig. 40):
77
x = distância entre os C.R. de dois elementos cilfndri
cos.
h = distância do C.R. ao centro de gravidade do ele -
menta cilfndrico.
pode-se escrever então:
R, = 83
R, = A1
h cos (e +e ) 1 2
X cos ( e +e ) 1 2
h cos e 1
R.A2= xcos e + h cos(e + 1 1
R, = A3 xcos e +
1 X cos(e +
1
(VI-21)
(VI-22)
(VI-23)
e ) = xcos e + R.B 2 (VI-24) 2 2
e ) = xcos e + R.B 3 (VI-25)
2 1
Donde conclui-se que as únicas incõgnitas do sistema de
equaçoes em estudo sao os ângulos e e e . Portanto, o sistema ê so 1 2
1 ucionãvel.
Estando equacionado o problema para duas juntas e fei -
tas as convenções de nomes e sinais serã apresentado a seguir o e
quacionamento para n juntas esféricas.
VI. 3. Análise para n juntas sem atrito.
A generalização fica bastante simplificada pelo que foi
78
visto ate aqui.
Primeiramente ve-se que surge uma nova equaçao de equi
librio para cada junta esferica que se acrescenta. Consequentemen
te surge tambem mais uma incógnita, ou seja, um novo ângulo e a ser
determinado.
O braço estâ sendo analisado a partir do engaste, em dl
reçao a extremidade. Considera-se que o sistema estã em equilibrio
e se estabelece a primeira equação de equilibrio para a junta mais
próxima ao engaste. Isto feito, passa-se a junta seguinte, basean
do-se no fato que, estando o conjunto em equilibrio, pode-se consi
derar a porção do braço que fica em direção ao engaste como sendo
rigida.
Pode-se, portanto, escrever as equaçoes:
i;M8
= O
F1b1- F2b2- W21B2- .......... -W(n-l)!B(n-l)-Wn1Bn -P1B(n+l) = o
i:M = O n
F n - F n 1 1 2 2
(VI-26)
A seguir serao definidos os termos das equaçoes acima:
- a e a , identicos a (VI-9) e (VI-1'0) l 2
79
A B e o N-1 N
IAl 1 1
1
IA?
IA~ 1 IAn-l 1 1 IAn 1 1 1 1.,.,
A Is
Is 1 len-,
1 len 1 1 Is~
B lc 1 lcn.,
lcn 1 lcn,•
e lu 1 1 1 n-, IN-ln
IN-1
"" N-1 INn lim.
N
F I Gc 41 Sistema d e referência
80
-b1
b-2
, idênticos a (VI-11) e (VI-12) ,•
. -n n serão definidos de modo anãlogo aos anteriores
l 2 '
para e n •
-DR cos e - (R 2 + íld) sen e n n n ( e n) = 1/2
[2 2 + 2(R 2+ íld)(l-cos e ) +2RD sen e] n n
n (8 )= n (-8) 2 n 1 n
- F F sao da forma l 2
F = K [X + liL ( e ) + liL ( e ) + .... + liL ( e ) J 1 1 01 1 1 1 2 1 n
F = K [X + liL ( e J + liL ( e ) + .... + liL ( e ) J 2 2 OI 2 1 2 2 2 n
onde
liL (e)= L (e) - 2 2 n 2 n 2
como foi visto em (VI-17) e (VI-18).
1/2 = [2 2 + 2(R 2 + nd)(l - cose ) + 2RD sene J
1 n n
L (e)= L (-e) 2 n i n
(VI-27)
(VI-28)
(VI-29)
(VI-30)
(VI-31)
81
resta, portanto, a definição dos R.JI para que o pr~
blema se torne solucionável. Pela análise feita para duas juntas
ve-se que é mais conveniente começar a definição dos ! pela extre
midade livre do braço, portanto:
onde
n 1 Nn = h cos ( I: e K)
K=l
n ! = ,jJ cos ( I: eK) N ( n+ 1 ) K=l
,JJ = distância do C.R. da enésima junta até o
de aplicação da carga (fig.41).
R. (N-l)(n-1) = h cos
(N-1) .e. = x c os ( I: e k) + .e.N n
(N-1 )n K=l
R.(N-1) (n+l) = X cos (N-1)
( I: 8k) + 1N(n+l) K=l
(VI-32)
ponto
(VI-33)
(VI-3
82
tB(n-l) = X cos
t 80 = X cos
tB(n+l) = X cos
= h cosa .1
tA(n-1) = X cos a.1 + tB(n-1)
x co s a + t80 .l
(VI-34)
(VI-35)
83
tA(n+l) = X cos ª/ tB(n+l) {Vl-35)
- esse conjunto de relações pode ainda ser represent~
do numa forma condensada por:
para I = J tJ I = h cos
para I ;. J tJI=xcos {VI-36)
J = 1,2,3, ... ' N
I = J ,J+l. J+2, ••• ' N ' N+l
N excessao: R.N ( n+ 1 ) = \fl cos ( I: eK)
K=l
Para que haja uma compatibilidade total entre esta for
ma condensada e a original deve-se considerar que os Índices J na
forma original sao representados por letras~ portanto:
J = 1
J = 2
J = 3
corresponderia A
corresponderia B
corresponderia C, e assim sucessivamente.
Desse modo o caso genérico estã equacionado sem o a
trito. Esse sistema de equações é não linear. No capítulo VII se
rã proposta uma solução para éle.
A seguir serã introduzido o atrito.
84
VI.4. Anilise para uma junta com a introduçio do atrito.
Para a introdução do atrito serao necessirias duas eta
pas devido aos dois tipos de atrito existentes.
A seguir seri feita uma anilise de uma junta esférica
com a existência de atrito somente na junta, posteriormente sera
feita a anilise do atrito nos cabos. Finalmente no item VI.5 sera
apresentado o problema genérico.
VI.4.1. Anilise de uma junta genérica com atrito.
Como foi visto no ttem (V.l), ao se considerar o atri
to nas juntas esféricas chega-se a uma. equação que fornece o momen
to resistente (V-6). Essa equação esti aqui repetida:
onde
... ...
F re
sena
... ... ... F = IFI~ IF I+ IF 1 + IF l+IF 1
1 2 3 •
(V-6)
(V-3)
Portanto, para efeito de cilculo do momento resistente
consideram-se as contribuições devido aos quatro cabos.
Na (fig. 42a) esti desenhada uma junta genérica, sem a
trito, que esti procurando encontrar sua posição de equilíbrio. Do
que foi visto em (VI.l) conclui-se que a posição de equilíbrio e
xiste para um ãngulo e diferente de zero graus.
85
/ F.. . ~ E.E E.M. / /
/ - - -
~ Ji ; ; , .
F. < F IG.-42a
E.F.
FIG.-42b
F,
E.F.
FIG.-42c
F I Go 42 A atuação dos momentos resistentes.
86
Considerando o atrito passa então a existir uma compo
nente a mais atuando na junta A (fig.42b). Nesse caso pode-se re
escrever a equação de equilíbrio da junta:
= o (VI-37)
F a + Mf - F a - W! = O 1 1 2 2
Com respeito a esse novo membro da equaçao de equilí
brio (Mf), é sabido que seu valor não é fixo. tle varia desde ova
lor zero, para uma junta em equilíbrio sem tendência a se movimen
tar, até o valor µN.r , para uma junta ainda em equilíbrio porém, e
prestes a entrar em movimento.
Isto posto, pode-se concluir que, com a existência do
atrito a posição de equilíbrio se alterará em relação ã
anterior, sem atrito.
situação
Para facilidade de análise e conveniente modificar um
pouco a forma de (VI-37):
F a + µNr = F a + W! 1 1 -e 2 2
(VI-38)
Ve-se que a equaçao acima apresenta duas possibilidades:
1. O primeiro membro é maior que o segundo. Nesse ca
soo equilíbrio se dará para e igual a zero graus.
2. O segundo membro é maior que o primeiro. Nesse caso
a posição de equilíbrio deixarã de ser em e igual a zero graus.Oco~
87
rem então as seguintes etapas na procura da nova posição de equi
líbrio:
a. O momento devido ao atrito jã atingiu o seu máxi
mo e o primeiro membro da equação foi superado. A junta começará
a se mover.
b. Na procura da nova posição de equilíbrio o compor
tamento do sistema é idêntico ao que foi exposto na análise sem a
trito (item VI.l), com a diferença que existe uma contribuição ao
equilíbrio, que e dada por Mf (VI-38).
Diante do que foi exposto até aqui é razoável conside
rar que o equilíbrio sera atingido para um ângulo inferior ao o
riginado pelo problema sem atrito. Naturalmente estã se conside -
rando que a aplicação da carga ao sistema é feita de um modo qua
si-estãtico. Com uma aplicação brusca e consequentes impactos co
meçariam a entrar em jogo equilíbrios de energia e o problema se
complicaria.
Pode-se então considerar que, com a adoção de algumas
hipóteses simplificadoras, seria possível propor um modelo matemá
tico para o problema de equilíbrio de uma junta esférica com a exis
tência de atrito. Isso será feito no item (VI.4.3) apõs a análise
do problema de atrito nos cabos.
VI.4.2. Análise de uma junta genérica com atrito nos cabos.
Como foi visto no item (V.2) chega-se a uma equaçao
(V-19), que dá o momento resistente atuante na junta (fig.37). A
88
qui está a equaçao (V-19) para facilitar a análise:
Mfe= (fe/ fe2). R (V.19)
f = F e 1 1
µ0 (2 - 1 ) (V-17)
-µe f = F ( 1 - 2 ) (V-18)
62 2
onde
µ=coeficiente de atrito.
Neste caso estão sendo considerados somente dois cabos
para facilitar a análise, posteriormente serão feitas considerações
a respeito de F e F 3 4
Reconsiderando a (fig.42), e em particular a (fig.42c),
ve-se que o momento resistente devido ao atrito dos cabos também
fornece sua contribuição ao equtlfbrio do sistema. r possfvel, en
tão, reescrever a equação de equilfbrio da junta A:
(VI-41)
r interessante, portanto, refazer a análise do equilf
brio do sistema, complementando o que foi feito no item anterior.A
gora serão considerados os dois tipos de atrito atuando conjunta -
mente.
Mfe como já foi mencionado em (V.2) e pode ser compro-
89
vado analisando (V-19), tem o valor zero para e igual a zero graus
e aumenta exponencialmente com e .-
Para facilitar a anãlise,(VI-41) sera ligeiramente mo
dificada:
çao (VI-42):
F a 1 l
= F a + W! 2 2
(VI-42)
A seguir sera feita a análise do equilíbrio da equa -
1. O primeiro membro ê maior que o segundo. Nesse ca
soe igual a zero graus sera solução da equação. Como foi cita
do acima, nesta situação de e igual a zero graus Mfe tem valor nu
lo e não contribui em nada para o equilíbrio do sistema.
2. O segundo membro ê maior que o primeiro. Nesse ca
soa posição de equilíbrio deixará de ser em e igual a zero graus.
A seguir serão descritas as etapas para se chegar a uma nova posi
ção de equilíbrio:
a. Mf jã atingiu o seu máximo, Mf 8tem valor nulo pois
e e igual a zero graus. Portanto, a junta começa a se mover.
b. Como hã uma movimentação o ãngulo e estã se torna~
do diferente de zero e aumentando. Começa, então, a haver uma con
tribuição devido a Mfe na equaçao de equilíbrio.
c. Do mesmo modo como foi analisado no caso anterior
ve-se que, agora, existe uma contribuição ainda maior ao equilí -
brio devido as duas formas de atrito existentes.
Desenvolvendo uma linha de raciocínio análoga ao caso
90
anterior ê razoável considerar que agora, com a atuação desses dois
momentos resistentes o ângulo e em que a equação entrará em equilf
brio , ê menor do que no caso sem atrito.
Novamente ê bom frisar que se está considerando uma a
plicação de cargas quasi-estática:.
Portanto, reunindo agora as considerações referentes
aos dois tipos de atrito ê possivel traçar hipóteses simplificado
ras para poder propor um modelo matemático para o problema de uma
junta esférica com atrito.
VI.4.3. Hipóteses simplificadoras para um modelo matemático de
uma junta com atrito.
1. A aplicação das cargas deve ser de modo quasi-está
tico, portanto, o problema a ser analisado ê estático.
2. Os momentos devidos ao atrito sempre se opoem ao
movimento da junta. Para que (VI-42) seja válida ê necessário as
sumir que a aplicação da carga será sempre no sentido de atuação
da força gravitacional, de modo que nao se tenham que considerar
variações nos sinais de Mf e Mfe
3. Com a retirada da carga atuante em um sistema nem
sempre a junta retornará a sua posição original, pois o atrito a
tuante tende a se opor a qualquer movimentação, como já foi dito.
4. O modelo matemático a considerar seria a equação
(VI-42). t necessário seguir a seguinte sequência na resolução do
problema:
91
1 .- testar se
F a + wi 2 2
(VI-43)
se a expressao acima for verdadeira, então, e igual a
zero graus é solução do problema.
2.- se (1.) for falsa, então considerar (VI-42)
F a 1 l
= F a 2 2
+ wi (VI-42)
a solução desta equaçao dará o novo valor de e.
VI.5. Análise para n juntas com atrito.
Tendo sido feita a análise para uma junta esférica com
a inclusão do atrito, serão feitas agora considerações complement~
res que permitam a generalização do problema.
A inclusão do atrito altera fundamentalmente uma das
hipÕteses simplificadoras que foram assumidas no infeto do capftu
lo VI. A hipÕtese de que as forças se propagam ao longo dos cabos
sem alteração. A seguir esse problema serã analisado cuidadosamen
te.
92
VI.5.J. A propagaçao das forças ao longo dos cabos.
No modelo apresentado para o problema sem atrito foi
proposto que as forças ao longo dos cabos eram da forma de (VI-28)
e (VI-29), ou seja:
N F = K J X + l: t.L ( ai ) j
a i = 1 (VI-44)
N = numero de juntas do braço
t.L(ai) leva em conta a variação do comprimento do cabo
de aço com os vãrios flexionamento das juntas (ver capítulo IV).
Portanto, estã sendo considerado somente o problema g~
omêtrico da variação do comprimento do cabo e o que essa variação
acarreta em termos de variação na tensão.
No item (V.2.1) foi visto que ao se considerar o atri
to existente entre os cabos e elementos cilíndricos (fig.37) fica
evidenciado que o valor da tensão no cabo varia cada vez que ile
sofre algum contato com mudança de direção.
Considerando (V.2.1) e as equaçoes (V-17) e (V-18) che
ga-se a:
" ' .eYª F = F (VI-45) 1 1
" , -µa F = F .e, (VI-46)
z z
O ângulo e nesse caso diz respeito a uma única junta.
93
Prova-se facilmente que ê possível estabelecer uma relação direta
entre a tensão no cabo antes e depois de passar por uma série de
juntas, bastando para isso considerar: e como sendo o somatório
de todas as mudanças de direção, e o coeficiente de atrito como
sendo uniforme ao longo de todo o braço.
Supondo que a aplicação de cargas, como foi assumido
na análise para uma junta, ê quasi-estática pode-se então consi
derar que o cabo tem condições de se acomodar ao longo do braço
devido áo atrito uniforme. Nesse caso, continua valendo aquele
primeiro enfoque da influência na tensão devido a variação geome
trica do comprimento do cabo.
Diante disso ê possível reunir esses dois conceitos e
propor um modelo matemático para descrever a variação das forças
ao longo dos cabos:
n F •
l 1
n
F . 21
F = K [X + 1 1 O 1
F = K [X + 2 2 02
n ( µ l:
i=l [e. J) 1
1
N l:
i=l
N l:
i = 1
n l:
i = 1
n = N, N-1, N-2, ••. ,2,l
i = 1,2,3, ..• , N
(VI-47)
{VI-48)
{VI-49)
(VI-50)
li li
94
exp(Z) = i2
N = numero total de juntas do braço
n = Índice que corresponde ao numero de ju~
tas que estão sendo consideradas na equ!
çao de equilíbrio.
i = numero da·junta que estã sendo analisada
F . e F . sao as forças que estão efetivamente equil_i 1 1 2 1
brando o sistema na junta em que se estã analisando o equilíbrio.
F e F sao as forças existentes nos cabos sem consi 1 2
derar o atrito. São originadas pelo sistema de tensionamento. Po
dem ser avaliadas comparando o comprimento das molas antes é de
pois da deflexão do braço.
Tendo sido feita essa análise das forças resta estabe-
lecer um modo de introduzir o atrito no modelo matemático para n
juntas (VI-26).
Seguindo o mesmo sistema utilizado no item (VI.3) se
rao consideradas as análises das juntas sempre a partir do engaste
em direção a extremidade do braço. Será considerado quando da anã
lise de uma nova junta, que os componentes do braço que se situam
em direção ao engaste podem ser considerados rígidos, pois estão
em equilíbrio (fig. 43).
Dentro desse enfoque será considerado:
1- O momento resistente devido ao atrito na junta a
tua somente na junta em análise (fig. 43). Serã empregada a equa
çao (V-6) jã adaptada ao novo conceito de forças nos cabos (item
VI.5.1):
95
FIGc 43 Equilíbrio das juntas.
onde
solução do
96
Mfi = f i. r e = µ.
1-+ " 1 FI i
li li
sen Cl
1-+ " 1 + F .
2 1
re
1-+ " 1 + F .
31
-+ + 1 F .1
41'
F1i e F
2i sao da forma (VI-47) e (VI-48).
" "
(VI-51)
F . 3 1
e F . 41
serão considerados devidamente quando da
sistema no capitulo VII.
2. O momento resistente devido ao atrito nos cabos tam
bim atua somente na junta em anilise (fig. 43). Para esse cilculo
de momento serã empregada a equação (V-19) ligeiramente modificada
e jÍ adaptada ao que foi visto em (VI.5.1):
Mf8i = ( f . + f 8 . ) . R 8 1 1 2 1
(VI-52)
" f = F 8 1 i 1 i [exp ( 1 - µ8 i)] (VI-53)
" f 8 . = F [exp(µ8i - 1)]
2 1 2 i (VI-54)
8i = ângulo de dobramento da junta i li li
F . e F . sao dados por (VI-47) e (VI-48) 1 1 2 1
3. Os momentos resistentes sempre se opoem ao movimen-
to da junta. Para a equação de equilibrio os momentos devido as
97
forças tem o sentido horãrio como sendo o positivo e o ãngulo e
tem orientação contrãria,.ou seja, anti-horãria. Portanto, sera
convencionado nas equações de equilibrio que Mfi e MfBi entrarão
com o sinal de e., ou seja: ,
(VI-55)
(VI-56)
Para que isso seja vãlido e importante considerar a hi
põtese de que as cargas são aplicadas a partir de uma posição de
repouso e sempre em um só sentido.
Estando com todos esses conceitos fixados ê possivel ~
laborar o modelo matemãtico para um conjunto com n juntas,e con
siderando o atrito.
A parti r d e ( V I - 2 6 ) , ( V I - 4 7) , ( V I -4 8 ) , ( V I - 5 5 ) e (V I-56)
pode-se escrever:
li li
F1/1 + Mf/ Mf81- F21ª2 - W/'A1 - W/'A2···· WntAn - PtA(n+l)= O
li li
F 1 2 b 1 + Mf / Mf 8 2 - F 2 2 b 2 - W 2 tB 2 - W 3 tB 3 • • • • wn tBn - p tB ( n+ 1) = Q
(VI-57)
li li
F 1(n-l)m1 + Mf(n-1)+ MfB(n-1)- F 2(n-l)m 2 -:- ••• -WntMn- PtM(n+l)= O
98
11 li
F1nn/ Mfn + Mfen - F 2n"2 - WnlNn - PlN(n+l) = O (VI-57)
a e a idênticos a (VI-9) e (VI-10) 1 2
b e b idênticos a (VI-11) e (VI-12) 1 2
m e m idênticos a (VI-27) para 8= e 1 2 ( n -1 )
n e n idênticos a (VI-27) 1 2
" " F 11
e F 2i idênticos a (VI-47) e (VI-48)
Mfi obtido de (VI-55)
MfSi obtido de (VI-56)
lAi, tA 2 , etc obtido de (VI-36)
obtido de (VI-36)
Para a aplicação deste modelo devem ser observadas as
hipóteses simplificadoras apresentadas em (VI.4.3). Todas as hipó
teses são válidas com excessão da ultima, que estabelecia um teste
devido a indeterminação do valor do momento resistente. Ao se tra
99
balhar com n juntas e impossível fazer esse teste. Esse modelo
apresenta uma indeterminação. Mas, considerando que o atrito sem
prese opoe a qualquer tentativa de movimento e razoãvel extrapo
lar que, o comportamento observado em uma junta e vãlido também
para um conjunto de n juntas.
Nas medições efetuadas com o protõtipo constata-se que
realmente hã uma influência muito grande devido ao atrito e que ,
em termos de posição de equilíbrio, não hã essa indeterminação a
presentada pelo modelo matemãtico.
Este e um sistema não linear de n equaçoes a n in
cõgnitas. As equações apresentam descontinuidades devido a intro
dução dos t~rmos originados pelos momentos resistentes. Este sis
tema de equações apresenta um grau de dificuldade bem superior ã
situação anterior em que não se considerava o atrito.
100
CAPITULO VII
RESOLUÇAO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES
O sistema de equaçoes a que se chegou e nao linear e a
presenta funções descontinuas, como se pode notar em (VI-57).
A sua resolução do modo como se apresenta é um probl~
.ma extremamente complexo. Neste capitulo serã, portanto, apresent!
da a resolução do sistema sem considerar o atrito nas juntas esfé
ricas. Serã solucionado o problema como foi visto em (VI-26). Ain
da neste capitulo é apresentada a solução considerando o atrito nos
cabos e a sua influência na propagação das forças. Essa compara -
ção de resultados é importante para demonstrar a influência devida
ao atrito. Esse tipo de influência do atrito não causa desconti -
nuidades ao sistema de equações. Isto posto, é importante levar em
conta que a resolução de (V!-26) por um método analítico é muito
trabalhosa, senão impossível. Foi então empregado um método nume
rico. 1 5
Optou-se pelo método desenvolvido por BROWN e CONTE
Esse algoritmo tem uma convergência aproximadamente quadrãtica e é
computacionalmente mais rãpido que o algoritmo de Newton-Raphson.
tle requer (N 2/2 + 3N/2) avaliações de função por passo de itera
çao contra (N 2+N) avaliações requeridas pelo método de Newton.
O algoritmo estã sendo empregado na forma da subrotina 1 6
NLSYSl A seguir serã feita uma descrição do modo de utilização
de NLSYS1.
lo l
VII.l. Utilização de NLSYS1
• A subrotina NLSYS1 se apresenta sob a forma:
SUBROUTINE NLSYSl{N,X,NUMSIG,MAXIT,IPRINT,IRF).
Pode-se dividir os parâmetros em:
Parâmetros de entrada:
N = numero de equações (ou número de incõgnitas).
X= vetor aproximação inicial da solução.
NUMSIG = numero de algarismos significativos.
MAXIT = numero mâximo de iterações permitido.
IPRINT = impressão de valores intermediârios se IPRINT=l.
IRF = fndice de referencia que controla o modo de operação. Serâ
posteriormente mais detalhado.
Parâmetros de salda:
MAXIT = número de iterações utilizado.
X = vetor solução do problema ou a melhor aproximação conseguida.
A subrotina NLSYS1 utiliza ainda duas subrotinas auxi
liares. São elas: BACK e AUXFCN.
BACK realiza operaçoes intermediârias de NLSYS1, perm~
nece inalterâvel pois independe do problema que se estã analisando.
AUXFCN depende do problema em anâlise. r construida es
pecialmente para cada problema.
Ela e montada a partir do sistema de equaçoes nao li
neares que estâ sendo estudado:
102
f (x , x , x , ... xn) = O 1 1 2 3
f ( X ' X ' X ' • • • xn) = o 2 1 2 3
(VII-1)
f (x , x , x , ... xn) = O n 1 2 3
Para se montar AUXFCN modifica-se ligeiramente o siste
ma acima:
f (x ' X
' X
' ... xn) = F
1 1 2 3
(VII-2) f (x '
X '
X '
... xn) = F 2 1 2 3 2
f (x , x , x , ... xn) = Fn n 1 2 3
Dufante a operaçao de NLSYS1 ela gera um Tndice k que
orienta qual a expressão Fk que deve ser calculada por AUXFCN. Pa
ra esse cãlculo o vetor X e trazido de NLSYS1.
Apôs calculado o valor de Fk haverão retorno dos valo
res calculados para NLSYS1
103
AUXFCN apresenta os seguintes parâmetros:
SUBROUTINE AUXFCN (X, F, K, IRF)
1. Parâmetros de entrada
X= e o vetor solução do problema. t trazido de NLSYS1 para ser uti
lizado em AUXFCN.
K = Tndice gerado por NLSYS1, varia entre e N e orienta qual expre~
são serâ calculada utilizando X de modo a obter Fk
IRF = Tndice de referência trazido de NLSYS1 de modo a orientar o
modo de operação de AUXFCN.
2. Parâmetros de retorno:
X= vetor solução, retorna inalterado.
F = retorna com o valor da k-êsima expressão do sistema F=Fk(X).
Desse modo estã definido o modo de operar de NLSYS1 .No
apêndice podem ser encontradas as listagens correspondentes ãs sub
rotinas aqui citadas.
A seguir serao feitas considerações sobre a adequação
do modelo teõrico ao protõtipo.
VII.2. Resolução de um sistema de equações para oito juntas sem a
trito.
Neste item serao feitas as adaptações necessãrias de
104
modo a adequar o problema generico ao protõtipo que foi construido
e testado e cujas caracteristicas estão descritas no capitulo (II).
O protõtipo foi testado com uma seçao central , sete e
l~mentos cilíndricos comuns e um elemento da extremidade. Desse mo
do hã oito juntas esféricas a considerar e, portanto, e necessãrio
reduzir o sistema (VI-26) a oito equações:
W tA - PtA = O B 8 9
F b - F b - W t8
- W t8 11 22 2 2 3 3
·W t P t8 9
= O a Ba
F c - F c - W tr - W te - W t - W t - W t - W t - Pt = O 5 Cs 6 c6 7 (7 B e. e. 1 l 2 2 3 9 3 4 4
F d - F d - w i0
- w i0 11 22 4 4 5 5
- w i - w i 0 - w i 0 - Pt09
= o 6 D6 7 7 8 8
F e - F e - W tE - W tE - W tE - W L - P tE = O 1 1 2 2 5 5 6 6 7 7 st 8 9
F f - F f - W tF - W tF - W tF 1 1 2 2 6 6 7 7 8 8
F g - F g - W tG - W tG - PtG 11 22 7 7 8 8 9
F h - F h - W tH - PtH = O 11 22 B 8 9
- Pt = O Fg
= o
(VII-1)
105
A este sistema de equaçoes aplicam-se todas as conven
çoes vistas no item (V.l) (figs. 27 e 28). Foi assumido tambem que
somente as forças F e F eram responsãveis pelo equil1brio,porem, l 2
devido a facilidades existentes no dispositivo de testes, todas as
medições foram realizadas com o braço girado de 45 graus. Como se
ve na (fig. 44) isso traz como consequências a mudança do valor R
e contribuições significativas ao equil1brio da parte de F e F 3 4
Portanto, reconsiderando (VI-28) e (Vl-29) e levando em
conta a modificação no valor de R pode-se definir F e F do sis
tema (Vll-1) como sendo:
onde
* F = F 1
* F = F 2 2
* 8
F=K[X+E 1 1 01 i=l
* F = K [X + 2 2 O 1
* *
8 E
i = 1
+
+
til
til
F e F podem ser 3
* 8
F = K [X + E til 3 3 O 3 i = 1
1 2
* F (Vll-2) 3
* F (Vll-3) 4
(VII-4) 1
2 (VII-5)
definidas de modo analõgo ·-
( e i ) J (Vll-6)
106
1 l ~I\
- -
1 1
CORTE N-N
POSIÇÃO DE AN.ÚISE
1 -- -- ---- - - - ----~ l'l " a:
- --1- -
/ - - - - -
1
CORTE K·K
POSICAO DE TESTE
FJGc 44 Posição de teste e de análise.
107
(VII-7)
e sabe-se ainda que
(VII-8)
(Vll-9)
adotanto R = R. sen(45Q), então, de (Vl-31)
' 2 ' 2(R + íld)(l - cose;)+ 2R D 1/2]
sene;J (Vll-10)
R tamb~m influencia as distãncias do centro de rota
çao at~ as linhas de ação de F e F , ou seja, de (Vl-27): 2
' 2 -DR cos e; - (R + íld) sen e; l
' 1 2 1 1/2
2(R + íld)(l - cose;)+ 2R D sene;J
(Vll-11)
Na avaliação dos tA1
, tA2
, t83
, etc pode ser empr~
gada a f6rm~la (Vl-36). Ela se adapta perfeitamente ao presente
caso bastando considerar que ocorrerã uma excessão correspondendo
ao elemento da extremidade pois suas dimensões diferem dos demais
108
elementos.
Ainda procurando adaptar o modelo matemãtico ao prot~
tipo e possível fazer algumas simplificações:
W = W = W = W = W = W = W = W; pois sao ele 2 3 4 5 6 7
mentos cilíndricos comuns (fig.15). No valor de W estã incluído
o peso correspondente a esfera de rolamento utilizada.
W possui peso diferente pois ê um elemento da extre-8
midade (fig. 16).
P corresponde a carga aplicada na extremidade dobra
ço para avaliação de sua deflexão estãtica.
Desse modo estão definidos todos os termos existentes
em (VII-1). Resta agora atribuir valores as vãrias grandezas exi~
tentes e poder-se-ã chegar a uma solução numêrica para o problema
sem atrito.
Para essa solução numêrica serao adotados os valores
característicos constantes em (VIII.2.1 .) e as dimensões foram re
tiradas do prot6tipo testado e podem ser consultadas nos desenhos
respectivos.
Foram adotados os seguintes dados:
a) geomêtri cos
h ,, 8, 9 mm
x = 23, 3 mm
R = 1 9, O mm
d= 5, 4 mm
L = 1 3, 5 mm
b) Rigidez das molas
foram utilizados os valores medidos e apresentados
em ( V I I I . 2 . l )
109
c) Tensões iniciais.
foram utilizados os mesmos valores das medições.
d) Pesos dos componentes.
W = 0,09 Kg (=peso elemento+ peso esfera+ peso
limitador)
W = 0,15 Kg (=peso elemento extre. + peso extre. 8
das molas)
e) Cargas
as mesmas utilizadas nas medições.
O programa foi elaborado de modo a se entrar com os va
lores da aproximação inicial dos ângulos em graus. A solução do pr~
blema, que ê obtida atravês de NLSYS1, ê na forma angular. Essa so
lução ê trabalhada pela subrotina DEFLEX que darã então a resposta
em termos de deflexões, desse modo pode-se comparar os valores teõ
ricos com os experimentais.
t importante frisar que nao foram considerados os limi
tadores de ângulo.
As listagens do programa, bem como das coluções podem
ser encontradas no Apêndice I junto a subrotina NLSYS1.
Na tabela (VII-!) a seguir, estão tabelados os valores
obtidos para o problema sem atrito. Esses resultados serão poste -
riormente plotados em grãfico (fig.45) para uma anãlise mais deta -
lhada. Esse grãfico tem por objetivo mostrar somente uma tendência,
nao se trata de uma curva. Estão plotadas deflexões X pontos de me
dição.
11 O
cargas (Kg)
ptosl o sol o 791 1 oo! 1 421 2 ool , 1 1 1 1
3 5,76 6,67 7,24 8,22 9,34
1~ serie 5 26,65 30,74 33,20 37,25 4 1 , 56
8 58,23 67,45 72,90 81 , 6 9 90, 81
1 O 66,98 78,44 85,40 96,99 1 O 9,6 7
3 4, 1 9 5,04 5 , 5 9 6,55 7 , 6 5
2~ serie 5 19,65 23,69 26,23 30,54 35,25
8 43,44 52,80 58,61 68,34 78;77
1 O 50,38 61 , 9 5 69,26 81 , 7 9 95,73
3 3,63 4,43 4,95 5,87 6 , 9 5
3~ serie 5 1 7 , O 9 20,93 23,40 2 7 , 6 7 32,43
8 38, 1 O 47,08 52,79 62,58 7 3 , 31
1 O 44,78 55,92 6 3 , 1 2 7 5 , 6 9 89,92
3 3 , 1 9 3,94 4,43 5, 31 6,36
4~ serie 5 1 5 , 11 18, 71 21 , 07 25,23 29,97
8 3 3, 94 42,43 4 7, 96 5 7 , 61 68,45
1 D 40,43 51 , O 5 58,04 70,45 84,77
TABELA VII - I
111
VII.3. Resolução d~ um siltema de oit6 juntas conliderando atrito
nos cabos.
No item {VII.2) foi resolvido o problema sem atrito
devido as descontinuidades que os momentos resistentes, atuantes
nas juntas, introduziam nas equações. Agora serã proposta uma solu
çao introduzindo somente o atrito nos cabos. Atrito esse que faz
com que as forças se modifiquem em sua propagação ao longo dos ca
bos. A introdução desse atrito não causa descontinuidades nas equ~
çoes.
Portanto, utilizando as expressoes (VIl-2) e (VII-3)
ligeiramente modificadas, chega-se a:
" " F = F
! i 1 + F
3 i (VII-12)
" " F = F 2i
+ F 4 i 2
li li
onde F . e F . sao definidas como em (VI-47) e (VI-48). 1 1 2 l
11 li
F . e F . podem ser definidas de modo anãlogo: 3 l 4 l
" n
F 1 i = F [exp ( µ ,:
1 e i I l] (VI-49) 1 i = 1
" n
F 2 i = F [exp (-µ ,: 1 e j] (VI-50)
2 i = 1
" n
F 3 i = F [exp {µ ,:
1 e i I D (VII-14) 3 i = 1
cargas (Kg)
0,50 0,79 1 , O O 1 , 4 2 2,00
µ 0,2 0,3 O , 4 0,2 O , 3 0,4 0,2 O , 3 0,4 0,2 0,3 O , 4 0,2 0,3 0,4
3 3,84 3, 1 7 2 , 6 6 4,57 3 , 7 9 3 , 1 9 5,04 4,20 3,53 5,88 4,90 4 , 1 3 6,85 5 , 7 2 4,80
5 1 8, 97 1 6, 1 O 1 3 , 81 2 2 , 61 19,37 1 6 , 7 3 24,89 21 , 4 4 1 8, 5 8 28,75 24,97 21 , 7 4 33,00 28,87 2 5, 23
8 42.71 36.66 31 . 6 6 51 , 4 8 44.70 39.33 56.85 50.02 4 4. 1 7 65.78 58.63 52.38 75.32 6 7 • 91 61 • 2 9 1 O 48,37 4 1 , 2 8 35,50 58,91 51, 11 44,59 65,49 5 7, 3 3 50,42 76,68 68,00 60,52 8 9 , 1 3 79,93 71 , 86
3 2, 5 5 2 , O 6 1 , 71 3 , 1 5 2 , 5 5 2, 11 3 , 5 5 2,88 2 , 3 9 4,29 3,50 2 , 91 5 , 1 9 4,25 3,53
5 1 2 , 7 7 10,57 8, 91 15,87 1 3, 21 11 , 1 8 1 7 , 9 3 1 5 , O O 1 2 , 7 3 21 , 6 3 18,24 1 5, 5 6 25,94 2 2, 09 18,96
8 29,07 24,22 20,45 36,76 3.1,04 7 6, 50 41 , 82 3 5 , 61 30,62 50,76 43,84 3 8 ,l 6 60,96 53, 4 5 4 7 , 11 "' 10 33.05 27.29 22.87 42.37 3 5, 51 3 O • 1 4 48.57 41 • 08 3 5 • 1 2 59,69 51 , 2 5 44,37 72,73 6 3 , 4 1 55,63
3 2, 1 4 1 , 7 2 1 , 4 2 2,67 2 , 1 5 1 , 7 8 3,04 2,45 2 , O 2 3 , 7 2 3,00 2,48 4,56 3 , 7 O 3,06
5 1 O, 81 8,89 7, 4 7 1 3 , 5 8 11 , 21 9,44 1 5 , 4 6 1 2 , 81 1 O, 81 1 8, 91 1 5, 7 9 1 3 , 3 8 23,06 1 9 , 43 1 6 , 5 5
8 24,88 20,62 1 7 , 3 7 31 , 8 2 26,67 22,68 36,50 30,82 26,36 45,00 38,49 33,26 55,03 4 7, 7 5 4 1 , 7 2
1 O 28.71 2 3 . 61 19.76 3 7 , 21 30,99 2 6 , 21 42,99 36,08 30,71 5 3 , 61 45,60 39,24 66,42 5 7, 3 5 4 9 , 91
3 1 , 8 5 1 , 48 1 , 2 2 2 , 3 2 1 , 86 1 , 5 3 2 , 6 5 2, 1 2 1 , 7 5 3,27 2,62 2 , 1 6 4,05 3 , 2 7 2,69
5 9,38 7, 68 6,44 11 , 8 5 9,74 8, 18 1 3 , 5 6 11 , 1 7 9,39 1 6 , 7 5 13,89 11 , 71 20,69 1 7 , 2 9 1 4 , 61
8 21 . 81 18.04 1 5 . 2 O 2 8. 1 O 23.46 1 9. 9 2 3 2 . 4 1 27.22 23, 23 0,39 34,31 29, 5 2 5 O, 07 4 3 , 11 3 7, 2 4
1 O 25,59 21 , O 2 1 7 , 6 2 33,36 2 7 , 71 23,43 38,73 32,38 27,52 .8, 7 7 4 1 , 2 5 35,37 61 , 1 7 52.45 45,20
onde
" F .
4 1
F l
F 2
F 3
F 4
113
n = F
4 Jexp (-11 i~ 1 Jei J) (VII-15)
* e idêntico a F (VII-4) l
* e idêntico a F (VII-5) 2
* e idêntico a F (VII-6) 3
* e idêntico a F (VII-7) 4
Utilizando o mesmo programa com uma pequena alteração
para introduzir esse atrito chega-se aos valores da tabela(VII-II).
Como hã uma indeterminação muito grande quanto ao co~
ficiente de atrito estão tabelados os valores correspondentes a
JJ = 0,2; JJ = 0,3; 11= 0,4. Esses valores estão tambêm listados no
Apêndice I e serão posteriormente plotados na (fig.45). Aliãs es
ses pontos plotados conjuntamente com os da solução sem atrito
mostram o importante papel desempenhado pelo atrito e pela tensão
inicial dos cabos no mecanismo de sustentação do braço.
o .. 4 [; ' 'I 'º PONTOS
DE '- ~
'• MEDIÇAO '-
2. '-'-
'-' ' ' ' ' ··-,, - -.
'E' ~ ' o ··-•< X 0 0,5 KG - SEM ATRITO --· w " -------~ ..J u. w
• 0.5 KG- /- =_0.3 o
A 1,00 KG-SEM ATRITO ·~~ •1,00KG- _!'- = 0,3
• ' Jt 'I /O
PONTOS
DE MEDIÇÃO
..
" ' e 0,79 KG- SEM ATRITO ' 'E' ' ·-&
o • 0,79 KG-)"- = O. 3 ' -.. ><( ' X ' ~-w ,q, 1,42 KG - SEM ATRITO -..J -u. -w -~: o
+1,42 KG- /-l =0.3 , + 2,00 KG - SEM ATRITO
• 2,00KG- / = 0,3
+ FIG, 4 5.a 1! série de tensões Ctab. VII -1 e ·11)
T ~
o ,< )( w _, u.. w o
'E'
"" o ><( )( w _, u.. w o
115
PONTOS
-- -· 4 -- --· ~ ·~. ~
º.--~~=::-_3 __ ~q __ _._•--~''-----'-----"---L-----~'º
..
..
•LEGENDAS-VIDE F1Gs45a.
FIG= 4 5b 2~ série de tensões
'-
' ... _ ' '
ltab. Vil-1 e-li)
PONTOS
- --
o ,<( X w ...1 u. w e
T E ~
o ,e:( X w ...1 u. w e
1
' o
2.
+
"
e
116
PONTOS
--._ -- - -• ,. --- - -• º-----.
2 ~ s ' /O
PONTOS
' ' ' ' ' ' -._ ' ' - -·
" -+- -
~ 4-----+
• LEGENDAS-VIDE FIGs 45a.
F1Ge45c 3! série de tensões (tab.Vll-le-11)
o •< X w ...J u. w o
E' ..§.
o •< X w ...J IL w o
'
,
o
..
'I
~
t
11 7
PONTOS
--- - -• .. _ --
... .1 $ ' q 10
PONTOS
---- - -.. '-
' -._ ' --
' - ..
' -._ -"' 'i~·
- --J
•LEGENDAS-VIDE FIG, 45a.
FIG~45d 4~ série de tensões (tab.Vll-1 e-li)
118
CAPITULO VIII
MEDIÇÕES DAS DEFLEXOES ESTATICAS
Este capitulo contêm o resultado final da parte exper!
mental deste trabalho. Procurou-se estabelecer o comportamento do
braço como uma viga engastada medindo, para isso, suas deflexões
estãticas. A parte experimental continua, portanto, a parte anali
tica.
As partes analiticas e experimentais deste trabalho f~
ram desenvolvidas paralelamente, como jã foi citado anteriormente
quando da explanação, sobre a evolução do projeto da junta esfêri
ca. ~ parte de medições procurou-se avaliar a sensibilidade do
braço. Foi estabelecida uma rotina de testes. Posteriormente es
ses valores obtidos serão comparados com os valores teõricos, sen
do que as dimensões e dados caracteristicos do protõtipo são util!
zados como entrada no programa feito para a solução numêrica(item
VII.3).
A seguir serã descrita a bancada de testes e finalmen
te hã a descrição das medições.
VIII.l. Bancada de testes.
Para as medições de deflexão estãtica tomou-se meio
braço. Esse meio braço constituiu-se de uma seção central, sete e
119
lementos comuns e um elemento da extremidade. O sistema de tensio
namento dos cabos sofreu como Ünica alteração a red~ção dos com -
primentos dos quatro cabos. Todos os detalhes referentes a banca
da de testes podem ser vistos nas fotos do Apéndice II.
Como pode ser visto nas fotos l e 2 a seçao central foi
fixada por um dispositivo a uma cantoneira. Essa fixação implicou
em uma disposição dos cabos de aço do modo como foi visto na {fig.
44), ou seja, dois na posição superior e dois cabos na posição in
feriar (ver foto 3). O braço, fixado desse modo, comporta-se como
se fosse uma viga engastada em uma extremidade.
O objetivo da montagem é realizar as medições das defl~
xoes estãticas. Para isso a cantoneira foi colocada sobre uma me
sa de desempeno (foto 2), que é utilizada como superfície de refe
réncia. Para a medição das deflexões foi utilizado um paquímetro
de altura (foto 4).
Utilizando como referencia a altura da seçao central
foi possível medir as deflexões ao longo do braço, como mostram as
fotos 5 e 6.
Nafoto 6 pode-se ver o pequeno gancho que foi adicio-
nado a extremidade do braço para poder aplicar as diferentes car
gas.
Para diminuir os erros de paralelismo entre a seçao cen
tral do braço e a mesa de desempeno foi utilizado um nivelador JE
NA Esse nivelador apresenta uma precisão de± O,lmm/metro. O bra
ço possui, para o teste, um comprimento aproximado de 300mm. Levan
do em conta esse comprimento e a precisão do nivelador vé-se que
a contribuição dos erros devido ao paralelismo da seção central s~
rão, na extremidade livre do braço, da ordem de trés vezes menores
que os erros devido a precisão de leitura do paquímetro de altura
120
utilizado. A precisão do paquímetro e de± 0,1mm.
VIII.2. Descrição das medições.
Para a realização das medições foi criada urna rotina de
testes. Essa rotina foi estabelecida ao longo do desenvolvimento
do protõtipo.
A rotina é a seguinte:
1. Com o braço fixado ã cantoneira corno foi descrito
anteriormente procurou-se sempre aplicar a carga lentamente de mo
do a reproduzir um processo quasi estático. Procurou-se sempre apli
cara carga em um sõ sentido, em urna mesma direção e a partir de u
ma posição de repouso com o braço estirado como uma viga engastada
(foto 1). A aplicação de carga foi feita manualmente.
2. Confirmou-se a previsão de que nao haveria retorno
do braço apos a retirada da carga. Diante disso, entre urna medida
e outra o braço foi retornado manualmente para a posição de repouso.
3. As molas tiveram suas tensões iniciais reguladas,de
modo que as tensões nos fios ficassem igualadas (ver VIII.2.1). Fo
ram estabelecidos quatro níveis de tensões iniciais diferentes, de
norninou-se cada urna das medições correspondentes a um desses níveis
de série, portanto, foram feitas quatro séries de medições.
4. Dentro de uma série foram feitas medições com qu!
tro cargas diferentes na extremidade: 0,5; 0,79; 1,0; 1,42 e 2,0Kg.
Para se comprovar a repetibilidade do experimento foram repetidas
1 21
10 vezes cada uma das medições.
5. A foto 9 mostra o braço em teste. Nessa foto es
tão assinalados os pontos onde foi feito o levantamento das defle
xões ao longo dos testes. Foram escolhidos os pontos 3, 5, 8 e 10.
Esses pontos representam pontos caracteristicos da deflexão dobra
ço.
6. Entre cada uma das séries de medidas foi feito um
relaxamento nas tensões dos cabos atê uma tensão zero. Isso e po~
sivel, do mesmo modo que a regulagem das tensões, através do par~
fuso de regulagem (nQ 3, foto 7). Além disso eram retirados os es
paçadores (nQ 2, foto 7) de modo que todas as peças do braço pude~
sem ser separadas, sem, entretanto, desagregar o conjunto. Os fi
xadores do cabo (nQ 1, foto 7) permaneciam na posição.
7. Houve dois testes. Um foi realizado com as super
ficies limpas e secas e o outro com aplicação de lubrificação nas
juntas e nos orificios de passagem dos cabos. O objetivo foi esta
belecer a influência do atrito na posição de equilibrio.
VIII.2.1. Caracteristicas d9s componentes.
Foram pesados os componentes para poder utilizar esses
valores na solução numérica.
Foram obtidos os valores:
peso da esfera ..........•................ 0,045Kg
peso do elemento cilindrico ..•••....•.... 0,035Kg
122
peso do anel limitador
total
O ,010Kg
0,090Kg
peso do elemento da extremidade .... 0,105Kg.
sist. de pré-tens: extremidade das
molas O ,050Kg
to ta 1 ........ ; >: . O , 1 5 5 Kg .
sist. de pré-tens.:extremidade de
regulagem ......................... 0,100Kg
peso dos cabos de aço ............. 0,040Kg/metro
Portanto o peso total de meio braço com oito juntas e
de aproximadamente 0,95Kg.
As molas tiveram as suas constantes de rigidez medidas
e chegou-se aos seguintes valores:
K = 2,48 Kg/mm. 1
K = 2
1 , 89 Kg/mm.
K = 3
2, 11 Kg/mm.
K = 1 , 88 Kg/mm. 4
A numeraçao 1 ,2 ,3 ,4 estã de acordo com a convençao ado
tada em (VII.3).
Foram realizadas medidas com quatro séries de tensões
iniciais diferentes. A seguir estão os valores de deflexão emprega
dos nas molas e as tensões correspondentes.
123
1~ serie
X = 3,36 mm F = 8,33 Kg O 1 O 1
X = 4, 61 mm 02
F = 02
8, 71 Kg
X = 4,00 mm F = 8,44 Kg O 3 O 3 '
X = 4,62 mm F = 8,69 Kg o 4 04
2~ serie
X = 5, 71 mm F = 1 4, 1 6 Kg O 1 O 1
X = 7,43 mm F = 1 4, 04 Kg 02 O 2
X = 6,82 mm F = 14,39 Kg O 3 O 3
X = 7,44 mm F = 13, 99 Kg 04 o 4
3~ serie
X = 6,89 mm F = 17,09 Kg O 1 O 1
X = 9,08 mm F = 17,16 Kg O 2- O 2
X = 8,24 mm F = 1 7, 39 Kg o ! O 3
X = o 4 9,09 mm F = o.
17,09 Kg
4~ serie
X = 8,07 mm F = 20,01 Kg O 1 O 1
X = 10,73 mm F = 20,28 Kg 02 02
X = 9,66 mm F = 20,38 Kg O 3 O 3
X = 04
10,74 mm F = o 4 20, 19 Kg
124
cargas (Kg)
0,50 0,79 1 , 00 1 , 4 2 2, 00 ·
- - - - -X (J X (J X (J X (J X (J
3 1 , 4 O • 1 1 • 5 o. l 1. 7 o. l l • 8 o. l ,._ 2 O • 3
1 ~ 5 6 , O 0,4 9 , l 0,4 l O, 3 0,4 l 1 , 5 0,4 l 3 , O 0,3
8 1 1 , 9 l 'o 20,4 0,9 25,5 0,4 33,2 0,8 40,7 0,6
lo l 8, 8 0,8 29,7 0,8 36,5 0,5 47,3 0,8 58,3 0,8
3 l ' l o' l 1 , l O, 1 1 , 2 O, 1 1 , 1 o' l 1 , l O, 1
2~ 5 4,3 O, 5 · 5, 5 0,4 7 , 1 O , 5 9,4 0,4 l 1 , 9 O , 5
8 7 , 5. l , 5 9,2 1 , 1 l 3 , O O, 9 2 2 , 5 l , 7 3 3 , l 1 , O
' 10 9 , 9 l , 3 1 3 , 7 1 , 2 18,9 0,9 31 , 8 l , 7 48,2 1 , 3
3 0,8 o' l 1 , 1 O, 1 l , 1 O , 1 l , 4 O , 1 l ' l o' l
3~ 5 2 , 4 0,4 4,2 0,3 5,3 0,5 7 , 7 0,5 l O, 8 0,3
8 3 , 5 l , 2 7 , 8 0,5 10,4 l , 4 l 7 , 8 1 , 6 28,7 1 , 2
lo 5,4 1 , O 11 , 8 0,7 16,0 1 , 4 27,2 l , 8 41 , 7 l , 7
3 1 , O O , 1 l 'o O, 1 1 , 3 0,2 1 , 3 O, 1 1 , O O, 1
5 l , 6 0,5 3 , 7 0,7 6 , 5 0,8 7 , 3 O , 7 10,3 0,3
8 2 , 4 1 , O 6,9 l , 3 11 , 3 l , 7 l 3 , 8 l , 7 2 3 , 6 l 'o
1 O 3 , 8 l , 3 11 , 6 l , 5 1 7 , 3 2 , 2 21 , 7 2 , 1 36,0 1 , O
TABELA VIII-I MEDIÇí'.lES A SECO
1 25
Na tabela anterior estão os valores correspondentes as
mêdias e desvios padrões das medi das rea 1 i zadas a seco, sem o empr~.
go de lubrificante (tabela VIII-!). As tabelas completas encontram
se no Apêndice III (tabelas l a 4). Esses valores estão plotados na
(fig.46).
A seguir estão tabelados os valores correspondentes as
medições com lubrificação (tabela VIII-II). As tabelas completas
estão no Apêndice III (tabelas 5 a 8) e estes valores tambêm estão
plotados na {fig.46), aqui também o objetivo do grãfico ê mostrar
uma tendência e como na {fig.45) tem-se (deflexões) X (pontos de me
dição).
Apresentadas essas duas tabelas ve-se na {fig.46) os
seus valores plotados conjuntamente. E interessante fazer algumas
observações:
1. Com relação a {fig. 46a) ve-se que ocorre um aume~
to razoãvel da deflexão pela diminuição do atrito com a adição do
lubrificante. O desvio padrão, para a medição a seco (tab.Vlll-I) ,
ê maior para as menores cargas, ou seja, com pequenas cargas o com
portamento do braço ê mais irregular. Vê-se tambêm que com a adição
de lubrificante (tabela VIII-II) o desvio padrão diminue mesmo para
pequenas cargas. Com relação as cargas intermediãrias o aumento da
deflexão foi da o~dem de 10% com a adição de lubrificante, os des
vios padrões diminuíram ligeiramente.
2. Com relação a (fig. 46b) nota-se que com o aumento
da tensão inicial nas molas hã um crescimento da presença do atrito
e portanto tornam-se maiores as diferenças entre as deflexões a se
coe com lubrificação. As diferenças de deflexão para uma mesma car
ga variam entre 20% e 30%, sendo que os desvios padrões reduziram
1 26
cargas {Kg)
0,50 0,79 1 , DO 1 , 4 2 2, DO
- - - - -X a X a X a X a X a
3 1 , 4 O, 1 1 , 5 O, 1 1 , 5 O, 1 1 , 5 O, 1 1 , 4 O, 1
1 ~ 5 8,4 0,2 l O , 8 0,2 1 2 , O 0,2 1 3 , l 0,3 1 3 , 8 0,4
8 1 7 , 2 0,5 24,9 0,6 29,3 O , 3 35,2 O , 4 43,0 O, 5
1 O 2 2 , 3 0,5 3 3 , 1 0,6 38,9 0,4 47, 8 0,6 59,6 0,5
3 l , o O, 1 l , 3 O, 1 1 , 4 O, 1 l , 5 O, 1 l , 4 O, 1
2~ 5 2,9 0,3 7 , 6 0,4 9,4 0,4 1 2 , O 0,3 12,9 0,4
8 8, 5 0,7 1 3 , 1 0,9 1 9 , 8 0,6 28,4 0,7 37,9 l , 2
lo 1 2 , O 0,6 18,9 0,8 27,9 0,7 39,9 0,6 53,9 0,7
3 l , o O, 1 1 , 3 O, 1 1 , 5 o, l 1 , 3 O , 1 l , 1 o, l
5 2 , 9 O, 1 5,2 0,3 6,6 0,3 1 O , 1 0,2 1 2 , 7 0,2
8 5 , 6 0,3 1 O, 7 0,6 13 , 8 0,7 24,5 0,9 33,7 0,4
10 8,5 0,4 1 6 , 4 O , 6 20,8 0,8 35,4 0,9 48,3 O , 9
3 0,5 O, 1 1 , 4 O, 1 1 , 4 O, 1 1 , 5 0,04 1 , 4 0,03
5 2 , 2 0,3 3,8 O, 1 6 , 2 0,3 8,9 0,2 11 , 3 O, 1
8 3 , 6 0,7 6 , 9 O, 1 1 3 , 8 O , 7 20,2 O, 5 2 9 , 4 0,4
1 O 5,7 0,9 1 O , 8 0,2 20,6 0,7 30,3 0,6 4 3 , 2 0,8
TABELA VIII-II MEDIÇÕES COM LUBRIFICANTE
127
o r--·-=~.a:---'•'-----_;s:__ _ _:6r._ _ _.L~ __ ..!, __ ...J•c_ ___ _!.l•O
~~.PO'TOS
'E 2
..§,
o •< )( w • _, u. w o
'
Q )(
~ 4 u. w o
'
----~º 0,50 KG -· ·~ ~:1,00KG
PONTOS
o A SECO -2POKG
• COM LU BRlflCANTE
F1Ga46a MEDIÇÕES-1~ série de tensões (TAB. Vlll-1 E-11)
'Ê' & o
>< X IL ...J IL w o
o •< X w ...J IL w o
128
:i!
4
'
ºr _ _.:. .. c._=~~~~4;::=~:=-:E,=---~~--~r __ __,_, _____ ,o PONTOS
• . o A SECO
2,00KG •
' • COM LUBRIFICANH
FIG, 46b MEDIÇÕES- 2:!. série de tensões (TAB- VIII-IE-11)
'E' .5.. o
,ci: X w ...J u. w o
'E' .É,
o ,ci: X w ...J u. w o
129
PONTOS º,-~-= .. 3:;;;,;;;:::i~t~==::;r==~·:;;;;:;:::=~:'.::::=~'==~'----__:~ .___., ~~--===-·~;::~~~.::::=========~0.50 KG -----~ ----====0 1.00 KG • %
4
'
PONTOS
o,-~-=;:~ ;.;;;~~4::==s~ _ _,,_ _ __:r: __ _,,'---1.------'';º
z.
4 o 2POKG
• oA SECO
' •COM LUBRIFICANTE
FIGe 46c MEDIÇÕES- 3! série de tensões (TAB. Vlll-1 E-11)
130
2 'E ~ o
><(
X w ~ ..J u.. w o
'
PONTOS
2 ~ ~ o
l<( X 4 w ...J "-w o
o A SECO
' • COM LUBRIFICANTE
FIG~46d MEDIÇÕES- 4! série de tensões (TAB. VIII-IE-ll)
131
bastante os seus valores, sempre comparando as duas condições de
medição. Ou seja, com o aumento da tensão inicial tornam-se evi-
dentes as diferenças provocadas no comportamento do braço pelo a -trito. Evidencia-se tambem que e possivel conseguir uma menor de
flexão do braço pelo controle da tensão inicial dos cabos.
3. Com relação a (fig. 46c) confirmam-se aqui as te~
dencias mostradas em l e 2. Houve novo aumento da tensão inicial
dos cabos e com isso aumentou a diferença entre as deflexões nas
duas condições de teste. Essa diferença, agora, gira em torno de
30% a 40% e os desvios padrões continuam a diminuir de maneira 9!
ral para o caso com lubrificação.
4. Com relação a (fig. 46d) nota-se que nao hã muita
diferença em relação a anterior, ou seja, mantem-se as tendencias
jã mdemostradas anteriormente. O fato mais marcante e que nas me
dições a seco começam a aumentar os valores dos desvios padrões,ou
seja, aumenta a dispersão das medidas devido ao aumento do atrito.
No caso com lubrificação esses valores mantem-se bem pequenos.
132
CAPITULO IX
COMPARAÇÕES ANALTTICO-EXPERIMENTAIS
Nas (figs. 45 e 46) estã resumido o resultado deste tra
balho.
Foi feito um experimento visando avaliar o comportamen
to do braço como uma viga engastada horizontalmente em uma extremi
dade e livre na outra. Esse experimento ê importante pois reproduz
uma das condições mais comuns de operação desse braço, numa possi -
vel utilização em um manipulador. Procurou-se avaliar quais parãm~
tros influem diretamente no seu comportamento. A razao de ter sido
feito um ensaio em que a aplicação de cargas foi feita por um pro -
cesso quasi-estãtico e que pelas suas caracteristicas esse
operara a baixas velocidades e sempre movido manualmente.
braço
No modelo analitico desenvolvido foi proposta uma solu
çao que inclue o atrito existente nas juntas e entre os cabos de a
ço e seus orificios de passagem. Esse modelo, entretanto, apresen
ta equações não lineares descontinuas, descontinuidades essas intra
<luzidas pelos momentos resistentes causados pelo atrito. Como aso
lução desse sistema foge ao nivel deste trabalho e apresentada so
mente a solução do problema sem atrito nas juntas, porem, com atri
to nos cabos.
Na {fig. 47) estão plotados os valores de deflexão X
carga para a l~ serie de tensões nos cabos. Os dados foram retira -
dos respectivamente das tabelas (VIII-I) e (VIII-II) para medições
'E' .s 010
,<(
>< w ...J u.. w e
133
;ºº·2
0"----1-------_,_--------l--------'------------1-----i.,DO 1,Sl>
CARGA [K~
o MEDIÇÃO A SECO
• MEDICÃO COM LUBRlflCANTES
FIG-, 47 Deflexiies na extremidade- 1~ série de tensões.
134
e (VII-I) e (VII-II) para valores calculados e referem-se a defle
xão correspondente ao ponto de numero 10 nas tabelas. Vê-se clara
mente que as curvas analíticas são paralelas a curva experimental.
Portanto a menos da introdução do atrito o modelo matemãtico estã
descrevendo o modelo experimental nessa faixa de valores em que foi
realizado o experimento.
Nesse mesmo grãfico hã as curvas referentes ao atrito
atuando nos cabos. Estão plotados valores de (µ= 0,2) e(µ= 0,4).
Percebe-se que hã uma sensível aproximação entre as curvas teõricas
e as experimentais.
Na (fig.48) estão plotadas as quatro sêries de resul
tados sem atrito calculados teoricamente (tab. VII-I) e as quatro series de
medições a seco (tab. VIII-I). Percebe-se que com o aumento da tensão inicial nos
cabos aumenta a influência do atrito e as curvas teõricas e experimentais estão
razoavelmente paralelas.
Na (fig.49) estã plotado para uma carga de 2,0 Kg um gr~
fico(deflexão)X(tensão inicial media nos cabos). Os dados foram retj_
rados de (VII-I), (VIII-I) e (VIII-II) e correspondem a deflexão do
ponto 10. O objetivo desse grãfico ê mostrar a influência da tensão
· inicial dps cabos no comportamento do braço. Aqui se percebe nova
mente o paralelismo entre curvas teõricas e experimentais. Quanto as
curvas experimentais percebe-se que divergem a medida que aumenta a
tensão inicial nos cabos. Isso ê explicãvel porque com o aumento da
tensão cresce proporcionalmente a influência do atrito e a curva com
lubrificante, por possuir um atrito menor, tende a deflexões maiores.
Na (fig.50) estão plotados os pontos (deflexão)X(pontos
de medição.Os valores foram tomados das tabelas (VII-I), (VII-II) ,
(VIII-I) e (VIII-II) e correspondem a carga de 0,50 Kg e
'E' ..§..
~10 >< w ...1 u. w e
135
______--· ~· .
/º .~: -·~?'
:~---.... -11
o
.. D
0 (O ~1) (i~t) 0---+----------+----------<~-----------1---
o,so i,00
MEDIÇÕES A
SECO
t.,so
o 1ª série de tensões
~ 2:ªsérie de tensões
e 3ª série de tensões
O 48 série eh tensões
FIG,- 48 Comparação teórico- experimental.
2.,00
CARGA [KG1
'E' ..§..
o •< )( w ...J u.. w o
!O
s
136
jt=O,O
7=0.2
:;l'-=0,4
r~~.l.SJ t'l0,22.)
12. 20
TENSAO INICIAL MÉDIA (KG)
• MEDICÁO A SECO
o MEDIÇÃO COM LUBRIFICANTE
F I Gc 49 lnfluêcia da tensâo inicial.
•
o ><I >< w ...J LL w
137
o MEDIÇÃ0-0,5 KG:-A SECO
o ' • IDEM-COM LUBRIFICANTE '---------+ -\-CÁLCULO SEM LIMITADOR DE ANGULO -,r,=o,o g A IDEM-j<-"0,2
o IDEM-j'""0,3
~ 1 DE M - J"" =,0,4
F I Gc 50 COMPARAÇÂO - 0,50 KG - 1! série de tensoês.
138
primeira serie de tensões iniciais. O objetivo deste grãfico e mo~
trar que as curvas teóricas descrevem razoavelmente bem o comporta
mento do braço como um todo. Próximo ao engaste existe uma diferen
ça maior entre as duas deflexões mas isso se deve ao atrito nas ju~
tas que não foi considerado e que com certeza reduziria essa defle
xão. Com a redução dessa deflexão próximo ao engaste todo o conju~
to teria suas deflexões reduzidas. t importante lembrar que o mede
lo teórico não levou em conta os limitadores de ãngulo das juntas ,
por isso para esta curva foi escolhido esse valor de 0,5Kg, pois u
ma pequena carga causa menores ãngulos nas juntas e, portanto, faz
com que o modelo teórico se aproxime mais dos resultados experimen
tais.
Ainda com respeito aos limitadores de ãngulos o proble
ma poderia ser resolvido bastando para isso impor que o ãngulo mãx!
mo a ser atingido por uma junta seria um valor fixo e que a partir
desse ãngulo a junta se comportaria rigidamente.
derações:
139
CAPITULO X
CONCLUSOES
Concluindo este trabalho serao feitas as seguintes consi-
O trabalho apresentou resuliados satisfat6rios preenchendo o objetivo a que se propunha como um estudo bâsico an~lTtico-ex perimental de um braço articulado.
A construção do prot6tipo se mostrou adequada, pois foi obtido um desempenho satisfat6rio do mesmo ao longo dos testes.
Foi proposto um modelo matemãtico, visando calcular as de flexões do braço como um viga engastada horizontalmente em uma extremidade, e livre na outra. Convêm frisar que a importãncia dessa avaliação, e de quais parâmetros a influenciam, se prende ao f~ to que quando numa possTvel utilização em um manipulador sera neces sãrio se ter um controle sobre carga a ser manipulada X deflexão permissTvel do braço.
Foi construTda uma bancada de testes visando medir as de-
flexões calculadas anteriormente. Essa bancada se mostrou adequ~ da ãs medições que se desejava fazer.
O modelo matemâtico mostrou pelas comparaçoes analTtico -- experimentais que ê consistente.
O atrito se apresentou como um problema grave. Causou dis persão nas medidas, e devido a isso foi necessãrio um grande numero de medidas. Posteriormente se trabalhou nos grãficos, com as medias e desvios padrões dos valores medidos.
O atrito tambêm causou dificuldades na resolução do modelo matemãtico, pois devido a ele surgem momentos resistentes, que causam descontinuidades nas equações de equilTbrio.
No modelo matemãtico não foram considerados os limitado -res de ângulos, o que explica em parte as diferenças analTtico-experimentais.
Convêm ressaltar que uma das partes mais importantes deste trabalho foi a resolução do problema de estabilidade das juntas esfêricas e a solução encontrada ê que o centro geomêtrico da ju~ ta deve ser o mais afastado possível do centro de rotação.
Conhecendo-se com mais precisão os coeficientes de atri
140
to, o que e possível se obter por uma medição, e possível utilizar o modelo matemãtico aqui apresentado na anãlise de futuros proje -tos para esse tipo de mecanismo.
O modelo matemãtico aqui desenvolvido e bastante complexo pois se constitui em um sistema de equações não lineares com des -continuidades. Os resultados obtidos experimentalmente confirmam sua validade para esse tipo de mecanismo.
141
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Stanford University - programa em poder do Depar
tamento de Mecinica da COPPE, 1978.
143
Apêndice I
Neste Apêndice estão as listagens dos programas utili
zados na resolução do modelo matemãtico e dos respectivos resulta
dos.
A seguir um pequeno índice para maior facilidade de lo
calização das vãrias subrotinas e resultados. Os parâmetros de en
trada estão explicados em cartões comentãrios.
Indice pag.
Subrotina NLSYSl . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Subrotina BACK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Subrotina AUXFCN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Subrotina TRANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Subrotina DEFLEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Subrotina INPUT
Subrotina OUTPl
............................................
............................................
158
1 5 9
Subrotina OUTPUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
PROGRAMA PRINCIPAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Dados de Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Resulta dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
144
SUBRDUTINE NLSYSl (N,X,NUMSJG,MAXIT,JPRINT,IRFJ e e C ESTA SUBROT!Nl RESOLVE UM SISTEMA DE N EQUACOES SIMULTANE• C AS N~O LINEARES. O ALGORITMO U1IL1SA00 E DE CONVERGENCIA C APROXIMADAMENTE QUADHAT!CA E E COMPUTACIONALMENTE MAIS RA• C PIDO QUE O METODO DE NEWTON•RAPHSON, C NECESSITA SOMENTE (N**2/2t3•N/2J AVALIACOES DE FUNCOES POR C PASSO DE ITERACAO,EH COMPARACAO COM CN••2•N) AV~LJACOES NE• C CESSARIAS AO METODO DE NE~TON. e e C REFERENCIA• BROWN, KENNETH M, ANO 5,0, CONTE C PROC, OF THE 22 ND NAT, CONF, OF THE •CM. e PP 111 - 11a e e C PROGRAMADOR: ALAN GEORGE C COMPUTER SCIENCE DEPARTMENT, C STANFORD UNIVERS!TY e e C PARAMETROS OE ENTRAPAI e C N= NUMERO DE EQUACOES (OU NUMERO DE INCOGNITAS) C X= VETOR DE APROXIMACAO INICIAL C NUHSIG: NUMERO DE ALGARISMOS SIGNIEICATIVOS DESEJADOS C MAXIT= NUMERO MAXIMO DE ITERACOES PERMITIDO C IPRJNT:IMPRESSAO DE RESPOSTAS SE IPRINT=I C IRF:JNDICE DE REFERENCIA e C PARAMETROS DE SAIDA e C X: SOLUCAO DO SISTEMA OU MELHOR APROXIMACAO CONSEGUIDA C MAXIT= NUMERO DE ITERACOES EMPREGADO e e e
DIMENSJON ISUB(30),LOOK1JP(30,30),XC30),PART(30),TEMP(3D), •COE(30,3t),YXX(30)
RELCON =to.o** (•NUMSIG) JTEST : 1 JF(IPRJNT,EO,IJ NRJTE(b,46)
Q8 FORMAT(IHI) DO 700 M:J,MAXJT Mt:M•I lF(lPRINT,NE,l) GOTO 9 DO 8000 JJK:t,N YXX{JJ~):X(tJK)
8000 YXX(JJK)=YXX(lJKJ•t80,l],1415q
e e e e
ç e c
e
e
e
e
li 9 e;
1.0
1 31
l 4 5
NRI1E(6,49)Mt,(YXX(l),I=1,Nl FORMAT(l5,qE28,16/CE]3~16,3E28,16ll DO I O. J = 1, N
A MATRIZ LOOKUP PERMITE UH EFEITO DE PJVOTAHENTO PARCIAL SEM TER QUE FlSlCAMENTE TROCAR LINHAS OU COLUNAS,
LOOKUP(l,J):J DO 500 K:t,N I F ( K • 1 ) 13 li , 1 3 4, 1. 3 1 KMlN: K • 1 CALL BACK (KHIN,N,X,ISUB,COE,LOílKUPl
ELiBORACAO DAS DERIVADAS PAHCIAIS DA K•ESIMA FUNCAO,
134 CALL AUXFCN (X,F 1 K,lRF) FACTOR :,OOI
135 ITALLY = O
DO 200 I :K, N · I1EHP: LOOKUP (K,ll HOLD: X (lTEMP) H: FACTOR * HOLD IF(H,EQ,O,OOOl H=,001 X C I TEMP l =tiOLO+H IF(K•tl16t,161,15!
151 CALL BACK(KMIN,N,X,ISUB,COE,LOOKUPJ 161 CALL AUXFCN(X,FPLUS,K,IRF)
PART(ITEMPJ:(FPLUS•FJIH
X C t'!EMP l :HOLO IF(ABS(PARTIITEMPJJ,EQ, 0,000) GOTO 199 IF(ABS(F/ PART(ITE~P)J,LT, l,OE+IOJ GOTO 200
!99 ITALLY = IIALLY t 1 200 Cí)"iT INUE
IF(ITALLY,LE,N • K) GOTO 202 FACTO~: FACTOR * 10,0 JF(FACTOR,GT,15 0 0) GOTO 775 GOTO IJS
202 lF(K,LT,N) GOTO 203 IF(ABS(PART(ITEMPJJ,EQ,0,000) GOTO 775 COE (K,N+)J : 0,0 KM-.x: ITEMP GOTO 499
C PROCURA DA DERJV4DA PARCIAL DE MAJOR VALOR A~SOLUTO, e
e
203 KMAX:LOOKUPCK,K) OERMAX: A8S(PART(KMAX)) KPLIJS:: K+I
DO ztO l=KPLUS,N JSUB:LOOKUPIK,l)
e
e
146
· TEST: AHSCPART(JSU~l) !F(TEST.LT.DERMAX) GOTO 2oq DERM>,X::TEST LOOKUP (KPLUS,ll : KMAX KMAX: JSUB GOTO 210
209 LOOKUP(KP(US,I)::JSUB 210 CONTPiUE
IF(ABS(PART(KMAXJ),EQ,O.UDO) GOTO 775
C ELABORACAO DOS COEFICIENTES DA K•ESJMA LINHA 00 SISTEMA LI• . C MEAR TR!ANGULARIZADO UTJLISAQO PARA RESOLVER .O SISTEMA PA•
C RA OS PRIMEIROS KX(!) VALORES. e
e e
e e e e
e
220
499 50 ()
ISUB(K):KM,!,X COE(K,N+t):o,o DO Z20 J:::KPLUS,N JSUB:LOOKUPCKPLUS,J) COECK,JSUB)::•PART(JSUBJ/PART(KMAXl COE(K,Ntl)=COE(K,N+l)+PARTcJSUB)-XcJSUB) CONT H<UE
COE(K,Ntl)=CCOE!K,Ntl)•F)/PART(KMAX)+XCKMAX) CONTINUE - - - . - - - .
SUBSTlTUICAO DE RETORNO PARA OBTER APROXIMA APROXIMACAO DE X
X(KMAXJ:COECN,N+I) IF(N.EQ.ll GOTO h!O CALL BACK(N•l,N,X,ISUB,COE,LDDKUP)
610 IFCM•l)ó50 1 ó50 1 625
C TESTE OE CONVERGENCIA e
e
e
e
e
IF(X(l),NE.o.ooo) GOTO 627 IF(ABSCTEMP(I)•X{l)l.LT,RELCONJ GOTO 630 GOTO ó/.lÇ
&27 If(ABS(ITEMP(Il•X(Il)/X(l))•RELCON)&30,630,&Q9 630 CONllNUE
JTEST: JTEST + l IF(JTEST •3)650,725,725
ólJ9 JTEST=! 650 DO 660 I=l,N óóO TEMP(JJ:X(X) 700 CONTINUE
IF(IPilINT,EO,I) !'/RITE(t,,1753)
147
1753 FOAMAT(/ 1 N~O HOUVE CílNVERGENCIA.fOI UTILISADO U NUMERO MAX' *,'!MO OE ITERACOES,')
725 IF(IPRINT.NE.I) GU TU eou DO- 750 K:t,N CALL AUXFC~IX,PaRTCK),~,IRF)
750 CONTINUE wRJTECo,751)(PART(Kl,K:t,N)
75l FORMA1(//,2X, 1 0S VALORES o, FUNCAO CALCUL•DOS NA ~PROXIMAC' *,'~O FIN~L F'QR;.•-11'/ / (E39.15,2EllU.lb))
GOTO bO() 775 "'RITECo,752) 752 FORM~T(20X, 'O JACORJANO MODIFICADO E STNGULAR.TENT!R UMA 1
•, 1 APROXIMACAO DIFERENTE.') 800 M4Xll = MI + 1
RE T Ul'i-1 END
e e
148
SUBAOUTINE H~CK(KMIN,N,X,!SUB,COE,LOOKUPl
C ESSA SUBROTINA RESOLVE AS PRJM(JRAS KMIN LINHAS DE UM SIS• C TEMA LINEAR TRIANGULARIZADO PARA VALORES MELHORADOS DE X EM e rfqMOS DOS VALORES A~TEPIDRES DO PROPRIO X, e e
DIMENSJON ISU8C3Dl,LOOKUP(30,30J,X(30J,COE(30,31l 00 200 KK:t,KMlN KM:MMJN•KK+2 KMAX=lSUB(KM•I) X(KMAX)=o.o DO 100 J:KM,N JSUB=LOOKUPCKM,J) X(KM,x):X(KMAN)+COE(KM•l,JSUBJ*XCJSUR)
100 COhTJNUE XCKM~X):X(KMAX)+COE(KM•l,Ntt)
iOO CONTINUl RETUPN END
e e
149
C A SUBROTINA AUXFCN CALCULA OS VALORES DE F(K) A PARTIR C DO PARAMETRO K, e e C PARAMETROS DE ENTRADA e e C Y:VfTOR APROXIMACAO DA SOLUCAO, C f:VALOR DE RETORNO,CORRESPONDE A F(K), C K:PARAMETRO GERADO POR NLSTSI E QUE ORINTA U CALCULO, C JRf:{NDTCE DE REFERENCIA,ORIENTA A UTILIZACAO OE AUXfCN, e e
e
COMMON/S/N,X(30),FL,ERRR,DE,ELE,CAP,~l,W2,W3,w4,w5,~o,w7,w6 *,MI,CK1,CK2,CK3,CK4,XZEROl,XZER02,XZEN03,XZEN04,CARGA, *NUMS!G 1 MAXIT,IPRI~T,ER~E,ERAE1,TENSA0(4,Al,FI
DIMEMSION Y(JD),XYCJOI RE •L !'! I
C FUNCOES e
e e
e e
e e
Xl(TETA):SQRT(Sl•2,•Ql•COSCTETAl•2.•Tl•SINCTETA)l X2(T!TAJ:SGRT(Si•2,*Q2*COS[TETAJ+2,*T2•5IN(TE1A)) Ft(TET~)=ABS(Tt*COS(TfTA)•wl•SlN(TETA)l/x\(TETAl f2(TETAl=lBS(T2*C0SITEJA)+02•SIN(TETA))/X2{TETA) ELLClfTAl=ELE•COS{TETA l CPPCTETA):C,;.P•COS(TfTA)
TI =E L •ERRE T2=EL*ERRfl Ql=ERRE••2+DE••2tfL•DE 02=ERREt••2+Df••2•fL•DE st=2,•0ttt::L••2 52=2.•íl2+EL••?
TETt=Y(t) TET2=Y(2) TET3:YO) TETl.i:Y('I) TET5:YC5) TErt,:Y(t>) TET7=Y(7) TET8:Y(8)
ATEll:1,BSCTETI J AH.T2:,',8SCT€T2J ATET3:ABS(TET3) ATET!l:AflSCTETIIJ
e e
e e ç e
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A TE T5"A8S C TE rs l 4TETó=A.8S(TETól 4 TE T 7=ABS C TE T 7) A T1: T ô::"6S C TE T !! )
ELl=ELL(TETI) XCI=CPP<TETI) EL1I:fLL(TETl+TET2) XCI1=CPP(TETltTET2i
150
ELII!=ELLCTFTltTET2+TET3) XC1II=CPP(TET1•TET2+TET3l ELIV=ELL(TETl+TET?+TET3+TETQ) XCIV::CPPCTETl+TET2+TET3+TETQJ ELV=ELL(fET1tTET2+TET3tTETA tTFT5l xcv=CPP(TET1+TET2+TEJ3+TET4 +TET5J llVl=fLL(TETl•TET2+Tf.T3tTfJQtTET5 +TETól xcvI:CPP(TETl+TET2tTET3+TET4+TET5 +TETól ELVtl=ELLCTETl+TET2tTEJJtTET4+TET5+TETó+TET7J XCVII=CPP(TETltTET2+TE13tTET4tTfT5tTF.To+TET7) ELVI1I=2,*ELL(TFTltTfT2+TET3+TET4+TET5tTETótJET7tTET8l xcv11r=2,•cPP(1ETl•re:,2+rEr3tTET4tTEJ5+JEJ6tJET7•rETBl
FORC!=CK!•(XZfP.O)tXI CTETI HXI (TFT2l+Xl (TET3l+XI C1ET4)+X1 ( *Tf"T5J+X\ (TETbl+XI (TET7 )+XI ClETfl)-8,*ELl
FORC2=CK2•(XZERO?tX\ (-1ET1 )+XI (-TET2)+XI (•TETJ)+Xt c-rETQ) •+Xl(•IETS)+Xl(•TE1b)tX1(•TlT7J+Xl(•ltT8l~!,*ELl
FORC3:CK3•CXZF.R03tX2(TETll+X2(TET2J+X2CTET3l+X?.(TfT4)+X2( •TET5l+X2(TET6l+X2(TET7)+X2(TET8l-~,•ELJ
FORC4:CKG*(XZfR04tl2(•TETl)tX2(•TET2J+X2(-TET3)+X2C•TET4J *+x2<•TET5)+x2<-TET6l+x2c-rET7l+x2(•TET8l•8,•EL)
IFCIRF.EQ,U)GO TO 1005 IF(IRf,fQ,IJGO TO IOCb IF(IRF,EQ,2JGO TO 1007 IF(lRf,EQ,3)Gíl TO 1ooe IF(IRF,EQ,4JGO TO 1009
1005 CO>;TINUE GOTO c1uo,2on,3an,qcn,S~n,bqn,7no,aooJ.K
1 oot, co,,r r Nut GO To c2on,Jno,aoo,5uo,&uo,7o~.eoo1,K
J()!l7 cn,HI!iUE Go TO c1on,qqo,Son,ban,7on,Roo1,K
1008 (ONTINUf GO 10 (q1o,5on,b0",7DD,Auo1,K
100'1 CO~T P•UE 'º TO (5UU,b00,70n,soo),K 100 CPNT{NUf'
Elfl:f:LI
e
e
e
e
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1 51
ELE2=XCl+EL1I ELE3=Xct••c11•ELIJI EL[Q:XCI+XCll+XCilltELIV ELE5:XCI+XC!ltXCIIl+XCIV+ELV fLE6=XCltXCIJtXCI1I+XCIV+XCV+ELVI ELE7=XCltXClI+XCIIl+XC1V+XCVtXCVI+ELVI1 ELE8=XCltXClI+XCIII+xc1v+xcv+xcv1+xcvr1•ELVIII ELE9=xc1+xcrr+xc111+xcrv+xcv+xcvr+xcv11+xcvrrr ,q:F 1 C TETI J A2:::F)(•TET!) A3=F2(TET1) 4il:F2<•TETI l
BEJt=ATETl+ATET2+AfET3+tTETl+ATET5+ATET6+ATET7+ATEJ8 FORCI :FORCl•EXPCMI*tiETAJ FORC3 :fORC3•EXP(Ml*BETA) F0RC2 =FORC2*EXPC•MI~tiETAl FoRC4 =•oRC~•EXP(•MI•~ETAl
F:fORC!•Al•FO?C2•A2+FORC3*A3•FORCa•Aq•~l•ELEI *•W2•ELE2•N3•ELE3•~4*ELE4-~5•ELE5•wb•ELEb·~7•ELE7•~8•ELE8• •CA«GA*ELE9
GO TO 10:)0 i!OO CONTINUE
l.lEló=ELil ELfl J.:XCtltELIII ELE12=xC1ItxCIIt+F.LIV ELE13=XCII+XClll+XCIV+ELV ELEl~=XCtttXCJIItXCrV+XCV+f.LVy ELE15:XCJitXCII1tXCIVtXCVtXCVltELVJI ELflb:XCit+XCIIl+XCIVtXCVtXCVI+XCVJI+ELVIII ELE17=xCII+xCII!txCIV+xcv+xcvr•xCVIItXCVIII B1=Ft(TET2) B2:F!(•TET2l l1J=Fc?(TF.T?,) l1t;::f2(•TET2l
ttÇr&=•rFr2+~TF.T5+,TF.Tqt\TET5+tTETbtATET1•-TF.TH FORC1 :fORCl*EXP(MI*BETA) FUNC3 :fORC3•EXP(MitBET~) f0NC2 =rORC2*EXPC•Ml*B[là) FONC4 :FoRCª*EXP(•HJ•BET&l
F=FORCl•Bl•FORC2*B2+FORC3•B3•FORCl•8U•~2•ELE10 ••w3•ELE11•~4•FLfl?•W5*ELE13•~6*fLf14•W7•ELEl5•w~•ELElb• •CARGA•ELEI 7
GO lo 1000 300 CONTINUE
ELE 18:EL II 1 ELflq:XCIII+ELIV ELE2o=xc11r+xc1v+ELV ELE21=XCIII+XCIVtXCV+ELVI
e
e
e
e
e
e
e
l 52
ELE?2:XCIII+XCIVtXCV+XCVI+ELVll ELE23=~CITI+XCJV+XCVtXCV!+XCV!I+ELVI1I ELE2a=xc1rr•xc1v+xcv+xcv1+xcvt1•xcv111 CJ·:F\!TET3J C2=Fl(•TET3) C3=F2CTl::T3J C4:F2C•TET3)
HET•=•TETJ+~TfT4+1TET5tAT~T6tATET7+~TET8 FOPCI =FOPCl*EXP(MI*bfT~) FORC3 :FORC3•EXP(MI*SETAJ FORC2 :FORC2•EXP(•Ml•BETA) FORC4 =FoRC4•EXP(•MI•BETA)
F=FORC1•Cl•FORC2•C2+FORCJ•CJ-FORC4•C4•~3*ELE18 ••W4•ELEl9·-5•ELE20•-6•ELE21-~7•EL~22·~B•ELE23•CARGA•fLE24
GOTO )(100 400 CONTINUE
E.LE25=ELIV ELE2ó:XCIV+ELV ELE27=xCIVtXCV+ELVI ELE28=XCIV+XCV+XCVI+ELV1I ELE29=XCJV+xcv+xcv1+xcvrr+ELVIII ELEJO=XCIV+XCV+XCVI+XCVII+XCV!ll ül:FICTET4l 02::;Fl (•TET4l D3:F2CTET4) D11=F2C•TET~)
6FTA=ATET4t•TET5t•TFTb+~TET7+•TF.T8 FORCI =FORC!tfXP(Ml•BETA) FORC3 :FORCJ•EXPCMI•BETA) f0RC2 =FORC2•EXP(•MI•BETA) FONC4 :FQRCq•fXPC•MI•BffA)
F=FORCl•Dl-fORC2•02+FORC3•D3-FORCa•Da-wa•ELE25 *•"S*ELE2b•Wb•ELE27•"7*Elte8•~~•f.LE29•CARGA•ELE30
GO lO 1000 SOO CO•iTlNUE
ELE3 l ::::EL V ELE32:XCV+ELVJ ELE33=•cv+xcvl+ELVI1 ELE34=xcv+xcvr+XCVII+ELVIII ELE35=XCV+XCVftXCVJJ+XCVIJI ~l=Fl CTETSJ E2:FIC•TE15J E3=F2 ( Tf TS) E4:f2C•TETSJ
BET•=4TET5tlTETbtATET7t~TET8 FORCI :fORCt•EXP(Ml*BETA) FOqç3 =FQRC3•EXP(Ml*BETAJ
e
e
e
e
e
e
e
e
e
153
FORC2 :FORC2•EXP(-MI*BETA) FORC4 :fORCO•EXP(-~l•BETA)
F:FORCl•El•fORC2•E2+fORCJ•E3-FORCO•F4-~5•ELE31 ••Wb•ELEJ2•W7•ELE33-~8*ELE34-CARGA•ELE35
GOTO 1000 ó O O co,n INUE
ELE3ó=tLVI ELE37=~CVI+ELV1I ELE3B=ICVItXCVII+ELV1Il ELEJq:xçVJtX(VIJ+XCVIJI EF!=Fl CTETb) EF2=FIC•TETb) EF3=F2(TETbl EFO=f2(•TETó)
BETA=ATETb+•TET7+lTETR FORCI :FORCt•EXP(MI•BETAJ FORC3 :FORC3•EXP(MI•~ETAJ F0RC2 =FORC2•EXP(•Ml•BETA) FORC4 :FQRC4•EXP(-Ml•NET~)
F=FORCl•Efl-FORC2•EF2tFORC3•EF3-FORCa•EFa *•~b•ELE3ó•"7*ELE37•wB•ELE38•CARGA*ELf3q
GOTO 1000 700 C.OI\ITI,..UE
ELEllO:ELVII ELE4l:XCVII+ELVI1I ELE42=xCvII+xCv1II Gt=F1CTET7) G2=FtC-H.T7l &3=f2 < TE T7 J Gl!:F2(•TET7l
BfTJ:ATEJ7tATf.T8 FORCI :FORCl•f.XP(Ml•BETA) FORC3 =FOkC3•EXP(MI•riET~) f0k[2 =FORC2•EXP(-Ml•8ET-) FORCU :FORC4•EXP(-M1•6ETa)
f:FORCl•GI-FORC2•G2+FONC3•G3-fOAC4•Gq-~7•ELE40 •-wR•ELEO!•C,RG,•ELE42
GO TO 1000 800 CONTINUE
ELEll3:f.LVll! Elf.l!ll=XCVIII Ht:FICH.Tt! l H2=Fl<•TET8) H3:F20ET8) H4:F2(•TET8)
e
e
e
154
tlf P,:ATET8 FOHC! =FOACl•FXP(MI•RETAJ FORC3 =FORCJ•EXP(Ml*tiETA) FO~C2 :FoRC?•FXP(•MI•HETA) FOPCa :fOPCQ•EXP(•MI•BETA)
1000 COt;TINUE
RETURN END
1 5 5
SUBRUUTINE TRANS(N 1X,Y,JND e e C A SUBROTINA TRANS OPERA AS MATRIZES REFERENTES AO VETOR C APROXJMAC&U, POSSUI QUATRO MUDOS OE OPERACAO: e e C PAR•HETROS DE ENTRADA e e C N:NUMERO DE COMPONENTES DO VETOR APROXIMACAO, C ~,Y=H•TAIZES DE ENTRADA OtJ SAJDA OE OIOOS DEPENDENDO C DO V4LOR DE INO, C JND:INOICE QUE CONTROLA A OPERACAO DE TRANS e e C SE lND=I CC C X:HATRIZ QUE ENTRA COM OS VALORES EM GRAUS, C Y:MATRIZ QUE SAI COM OS VALO,IES CONVERTIDOS EM RADIANOS, e e C SE l'lD=<! e C Y:MATRIZ QUE ENTRA COM OS VALORES EM RADIANOS, C X:"!llTRJZ QUE S41 COM OS VALORES C011VERTIDCTS t::rf GRAUS, e e C SE l'I0:3 e C OS VALORES CONTIDOS EM X PASSAM PARA Y E VICE•VERSA e e C SE lN0:4 e C 05 V4LORES CONTIDOS EM X SAO T~M~EM ACUMULADOS E~ Y, e e
e
e
DIMENSION ((30J,Y(30J,ZC3D),TC30) IFCINO,EQ,llGO TO JOO IF(lND,EQ,2)GO TO 20U IF(INO,EQ,3)GO TO 300 lF(IND.EQ,aJGO TO 40n
100 DO 2 J:J,N YCJ):K(J l YIJ ):Y(J)•J,14159/180,
2 CONTINUE RETURN
21)0 00 q J:t,N X(J):Y(J) ~(J):X(J)~180,l3,!4t59
4 CoNTI'<UE
l 56
RETU!<N e
?,00 00 t, J:t,N f(-J):X(J)
t, ZCJ):Y(J) 00 7 J:t,N Y(J):Q.fll)
7 x<J>=o.oo DO tl J:t,N Y(JJ:T(J)
8 X(J):l(J) RETURN
e 400 C ON'I I NUE
DO 10 J:t,N 1 O Y(J):X(J)
"lf. T URN e
ENO
157
SUBROUTINE DEFLEX(N,C•P,XX,DEF3,DEF5,DEF8,DEFTOTl e e C A SUBROTINA OEFLEX CALCULA~ PARTIR DOS ANGULOS ENCONTRADOS C POR NLSYSI AS DEfLfXOES CORkESPONDENTES. e e C PAP.AMETROS DE ENTRADA e e C N=NUMERO DE COMPONENTES DO VETOR SOLUCA0 0
e C•P=DISTANCIA ENTRE os e.A. DE DUAS JUNTAS ESFERICAS. C XX:VETOR SOLUC~O DO PROBLE'1J, ANbULOS EM RADIANOS e e e C PARAMETROS DE SAIDA e C DEF3,DEFs,DEF8=DEFLEXOES DOS PONTOS 3,5,8. C DEFTOT=DEFLEXAO DO PONTO 10. e e
DI~fNSION XX(,Ol 1 H(30),XXX(30) DEf(TfTA)=CAP*SlN(TETA) DO 10 1=1,N DO 20 K:t,l
20 xxx(1):XXX(J)tXX(K) 10 HC1)=DEf(XXX(1))
DEF3:H(l) Dff5:H(l)+H(2J+H(3) DEf8=H(l)+H(2)+H(3)+H(Q)tH(5)+H(6) OEfTQT:oEF8+H(7l•2.*H(8) RETURN f.ND
158
SUSADUTINE INPUT e e C A ~UBAUTINA INPUT LE 05 DADOS DE ENTRAD~ e e C SfR&O LIDOS OS SEGUINTES CARTOES DE ENTRADA NOS RESPECTIVOS C FOHMATS: e e e e e e e e e e e e
Df l A 35 TEXTO ... St>~ ! ">PR!: SSO NA SAIDA FORMAI 2<H4 31, -·~· FORMAT I2 37 ••X(I),J:t,N FORMAT 8F!O.c! 3 il ••EL,ERRR,DE,ELE,CAP FORMAT 5FI0.4 3'< ··~1,~2,~3,~a,wS,~b,~7,~B fORMAT 8F10.t.i 40 ••NUHSIG,,AXlT,lPRINT fORMAT 3I3 41 ••MJ,F!,CKl,CK2,CK3,CK4 FONMAT t:,F 1 O• 4 il2 -·TENSAO(I,Jl,I=l,d E J:J,IJ FORMAT 8F1ü.u
CO">MON/S/N,X(]Ol,EL,ERNN,DE,ELE,CAP,ftl,ft2,~3,~q,•5,~6,~7,•8 *,M[,CK1,CK2,CK5,CK4,AZEMOl,XZEN!l~,XZER03,AZEROQ,C&RG-, *NU~SIG,MAXIT,IPRINT,ERRE,ERREl,TENSAO(U,4},FI
COMMQN/T/TOI (2ul,TD2(2ol,T?ll2o),J04(20l,To5C2ol,T~b(2~), *T07(2Pl,T08(20),T09(2~),T\J(20),Tt1(20l,TJ2(2Dl,Ttl(2rl, *T\4(2D),T!5(2Pl,Tt6í2o),Tl7(20),T!8(20),rtq(20),T2)(2dJ, *T21(2flJ,T22(20),T?J(20),T24(20),T25C20J,T2bl20),T27(2~l, *T?8(20),T29(20J,T30(20),T3!C2u),TJ2(201,TJ3(2Dl,TJ4(2d), *135(20) . .
REr.L MI LR:S RE-D(LA,tt)TO!,T02,Fo3,T1Q,T05,TDl>,TD7,T08,Tu9,Ttu RfAD(LR,!llTlt,T!~,T!l 1 Tt4,T15,Ttb,Jt7,Tt8,Tt9 1 T2~ READ(LR,tl)T21,T22,T23,T24,T25,T2ó,T27,J28,T29,T3U READ(LR,ll)Tl1,TJ~,TJJ,TlQ 1 J35 RE40(LR, \OOO)'J AEAD(LR,IOOll(X(I ),l=t,N) RfAD(LR,IOD2)EL,ERRR,DE,ELE,CAP READ(LR,100\)~l,•2,ws,•Q,•5,N6,W7,w8 READ(LR,100U)NUMSIG,MAX!T,IPR!NT READ(LR,!OD5J M!,FI,CKl,C~2,CK3,CKq RfADCLA,100l)((TENSAO(I,JJ,J:l,4J,I:1,q)
11 FORMAT(20AII) )O(ll) FORM.1,T(l2J 1001 FORMAT(~flu,4) 1002 FORM~f(SFI0.4) !OOQ fORMAT(3J3) 1005 FORMAT(bf!O,U)
RETURN fND
e ç
SUBROUTrNE OUTPI
l 59
C • SUBROTINA OUTPI IMPRI~E ~s CARACTERISTICAS 00 PROBLEMA EM C AN~LlSE e e C N40 POSSUI PARAHETNOS OE ENTRADA e e
COMMON/S/N,X(30),fl,ERRR,DE,ELE,CAP,wt,w2,W3,Wq,~5,N6,W7,w8 •,HI,CKl,CK2,CK3,C~4,XZEROl,XZERU2,XZER03,XZENOq,CARGA, *NUHSIG,MAXIT,lPNINT,ERRE,ERREl,TENSAOlq,q),FI
C0HMONITITD1 l?Ol,T02(20l,T03(2~1,T04(20),Tq5{20),T3bC2,l, •ro7(20),J08(20),Tn9(2D),T!0(20l,T1!(20l,J12(20l,T13(i~J, *T14(20),J!5(20),T1b(2D),T17(20),Tl8(20l,Tl9(20l,T2D(2~), *T?1(20l,T22C20),T?3(2D),T24(2G),T25(20),T26(2D),T27(2•J, *T28(20l,T29(2Pl,JJq(zn),T\t(2U),T32(20),T33(2Dl,T34(2Pl, •T35(20)
RfAL MI Llll:t, .iRITE(LW, 9) wRITE(LW,IO)TOl,TD2,T02,Tn3 ~RITE(L~,1o)TD2,T02,TOq,ro5 wRIT[(Lw,1o)TOD,TD2,Tnt,To7 l'iRIH.(Lw, l l lT02 ,..RI TE t L ..i, 121 C X (I), l: 1, N l ;.,RITf.(U•,ll)H>2 wRJTE(U•, 1 ! JT02 ,.RITE (Lw, 11) TOB wRJTE(L", l l )102 tiRITE{Lw, 11 IT02 wRITE !L", 11) TOÇ 1<RITE(Lw, 13JC.AP wRITE(L", 11 )T02 wRITE(L",ll)TIO ,;RJT[(L"', 13)EL!:. wRilE(L"', 11 )H>2 ,;PITf.(L'f, 11 )TI 1 "RITE (Lio!, 13 )EL wRilE{LW, 1 I )T02 wRilE(Lw, 11 )T12 ..;R!Tf.(L",13JDE wRITE(Lw, 11 JTD2 wRITE(Llo!,Jt)T13 wRITf(L", 13)ERRR i'iRJ TE (Lw, 11) T02 ,,RITE (LW, 11 J T02 ~RI TE (LW, l J lT02 wRJTECU•, 11 )T02 i'IRITf.(LW, 11 )Tlli !HRITf (Lw, 11) 102 "RITE(Lw,tt)T15 "RITE(L", 13)WI
wwITE(Lw,lllT02 ;,RITE(Lw,11 )Tl6 wRilECL~, 13)1'1/l WR·l TE CL,;, 11 l T02 wRITE(Lw, 11 )T02 "RITE(L;,,1))102 wRITE(Lw, 11 lTI 7 NRITE (Lw, 11 )102 NRITECLN,Jq)C~1,CK2 wR ITE IL,., 11) T02 ,;RJTE(LN,15JCK3,CKq "RlTE(L",ll)T02 rlRI TE (U•, 11 )102 WR IT E ( L;;, 1 1 l TO 2 WR ITE (Lrl, 11 l T li! wAITE(Lw,lb)NUMSIG "'RITE (L>'I, 11) T02 ~RllECLw,Jt)Tl'I wRtT[(Li<,ló)M~XTT WRITE(Lw,11no2 .;RITE!Lw,ttll20 ~RITE(Lw,lbJIPRINT WRITE CU•, l 1 lT02 ,1PITE (L", 11 )TO 1
9 FORMAf(IHI)
160
11 FOR~A1(2JX,20•a,,,2nX,20A4,/,20X,2oAq,/,201,20AqJ 11 fOkMAT(20X 1 20•4J 1 2 F () ;, .. ~ 1 ( ?. ·1 X , ! * ' • 1 P. X , r I e • 4 ' ? o X , ' * ! )
1 5 F '"< 1'H 1 ( ' • 1 , b 3 X, f 7, 2 l 1 11 f (j.< M • [ ( 2 l X, ' • 1
, S X, ' K 1 , , • ' , f 5, 2, 1 KG/ "1" 1 , P. X, ' K 2, , • ' , F 5,?, ' KG/
"'•' -~~!,Jt",'*') ~ 5 F q ,'( M "1 ( 2 ') )( , ' * 1
, 5 X , ' t< ) •••• , F 5 • 2 , ' ~ G / !'1 "~ ' , f3 X , t k. ~ tl •• ' , F 5 • 2 , 1 KG /
.. ,, p,-1 1 ,ltx.,'•') lo f<h;.,~f('t',t>il~,1,l/
REI Ül<'I
tND
1 61
SUBROUTINE OUTPUJ(RESULTI e e C A SUBROTINA OUTPUT IMPRIME OS RESULTADOS FINAIS e e C POSSUI O SEGUINTE PARAMETRO DE ENTRADA e C RESULTCl,J,K):MATRIZ QUE CONTEM OS RESULTADOS GERADOS e e I=CORR(SPONDE ~s SERIES DE TENSOES. C J=CORRESPONDE AS CARGAS IPLICADAS. e K:(OkRESPONDE AS DEFLEXOES CALCUL•o•s. e e
COMMON/S/N,XC30l,EL,ERRR,DE,ELE,CAP,wt,w2,w3,~4,W5,wb,W7,~8 *,MI,CKl,CK2,CKJ,CK•,xzEROl,XZER02,XZER03,XZER04,CARGA, •NUMSIG,HAXIT,IPR!NT,ERRF,ERPEl,TENSA0(4,UJ,FJ C0MMON/T/T0\(20),T02(2ol,TD3(20l,To4(20),T~5(2D),TOb(2~),
•To7(20l,T08(20),T09C20),TIOC201,Tll(20),T!2(20),T13C2~), •r1uc20J,Tt5(20J,Ttb(20),Tt7(2Dl,Tl8(20),Tl9(20),T20(2a), *T21(2Dl,T22(2Dl,T23C20),T24(2Dl,T25(20),T2b(20l,T27C211, *T28(20),J?9(20),T30(2D},T3lC2Dl,T12C2Dl,T33C20),TJq{2~l, *T35(20)
DIMENSION RESULJ(a,5,a) REAL MI LW:6 "PITE(Lw, 9) "PITECL", 11 )TO! wRITE(LW, 11 )T02 "RlTE(L",ll)T02 lf(Ml.Nf. 0 0 0 )GO TO 200 WRITE(L,a,tt)T21 GOTO <!01
200 "PITE(L11<,IIJT32 viRI TE (LI•, 111 T 33 v.RITE(LW,ll)T02 WRI TE (Li,,, 11 l T02 wRITEILI'•, 11 )T3il "RITE:(Lw, 13)MJ ><RITE!Lrl, 1 l lT02
201 CONTINUE wRI Tf. (U1, 11) T•l2 l'IPITE(Lw, 11 )T22 \'IPJTE(Lw, 11 )T02 ,.PI TE: (1.w, 11 l T02 KK:I wRlTE(LW 1 17)(TENSAO(KK,I),l:1,4)
202 CONTINUE WR1TE(l.W,ll)T02 "RITf. (LW,11 JT3<; ~RITE(L,..,IIJT23 wRI T( (L", ! 1 )T02 wPITECU•, 11 )T24
,
162
,i RI TE C L"', 1 8 ) ( RE SUL 1 ( K K, 1 , l ) , I : 1 , 4 ) >'IRI TE (Lw, 11) T02 ·wR L H. ( L", 11 JT 25 ,.. P'I I E ( L " , 1 8 ) ( R E SUL T ( K K , 2, 1 l , 1 : 1 , a ) t1R ! Tl (L", 11 l T02 ,11, I TE ( L,., 11) T 2t> "" I H. ( L", 1 8 ) ( R E SUL 1 ( K K , 1 , l ) , I : 1 , G ) "PITECL"', 11 JT02 WR!l[ (L1', 11) f;:>7 "R!TE(Lw,t8)CRESIJLT(KK,4,1),l:t,4) wQ !TE CLw, \ 1 )[02 "PITE(LW, 1 \)T;:>8 wRITE(LW,18J(PESULT(KK,5,!l,l=1,4J ,,r; I Tf. (Lw, 11 J T!l2 i,RifE(Lw, 11 )TO! GOTO c110,12n,130,11,,11,KK
11 O CONT ltiUE W!'ll Tf. (Lw, l I lTP2 wRI'fl(Ln,ll)T2Q WPJTE(LW, 11 )Tü2 ,i'IITECL", 11 JT02 KK:2 ~RIT((LW,17)(TENSAU(KK,I),l:1,4) GO TíJ 202
120 Ç(H·H!NUE "PI TE(LW, 11 l T02 ,,.R{TE(L~,11)T30 ... R!TE (L"i, 111 rn2 ""'l Tf.(Lw, 11) T0,2 K!< :3 t1RJTE(L-,17)(TENS~O(KK,IJ,I:t,qJ GOTO 202
130 co,-,TI•HJf WPIH: (L!'i, 11) T02 API IE (L", 11 )T,t r1PITE(Ln,IIJT(l2 '<l>ITECLr•, 11 )T!J2 KK :14
WRITE(L~,17)(Tf.NSAU(KK 1 {J,I:l,4) G•J TO 2112
140 Cú'iTI"IUE 9 FORMA T ( 1 H l )
11 FOPMAT(?OX,20AQ) 13 FOPMAT('+',t>3X,F'1,2l l 7 F oR t< A T ( 2 ü X, ' • ' , 3 X, ' X o 1 :: ' , F 5. 2, !IX, ' X O 2 = ' , F 5, 2, a x, ' X ,}3: ' , F <,. 2
* !l;.( 11 X0lj=!,F5.2,3X,''*')
18 FORM4f('t',2oi,1x ,15X,Fíl,2,F8,2,FB,2,F8.2) 'H: f<_IRN ( l'llt)
163
C PROGRAMA PRINCIPAL e e
e e e
e e e
e
12
2i!
32
42
52
ó2
72
1 1
COMMQN/S/N 1 X(30),f.L,ERRR,DE,EL(,CAP,wt,w2,w3,w4,w5,~b,W7,~8 *,Ml,CKl,CK2,CK3,CK4,XZERUl,XZER02,XZER03,XZER04,C4RGA, *NUMSIG,MAXIT,IPRINT,ERR~,ERREl,TENSA0(4,4),FI COMMON/T/To1<20J,ro2c20),TD3(2U),T04(20),T05(20l,T06(2J),
*T07(20l,T08C2oJ,T09(2úl,TlúC20l,T11(20l,T12C20l,T13C21l, *Tl4(2Dl,Tt5(2nl,Tt0(2D),Tt7(20l,T!8(20),Tl9(20),T2ú(2D), *T21(2Dl,T22(2Dl,T23(20),T24(20l,T25(20),T26(20l,T27(2V), •r2R(20),T29(20l,T,o(20),T11(20l,T,2(20),T33(20),T34(20), •T35(20l
OIMENSION XX(30l,Y(30),Z(30) OIMENSION RESULT(4,5 1 4) REAL MI (,I.LL I"IPUT CALL OUTPI
VARIACAO DO COEFICIE•lTE DE ATRITO NOS CAbüS,
DO 1500 KJI=l,o GOTO (12,22,32,42,52,b2),KJI ÇQ!l TI NUF. MJ:0,00 GOTO 72 CON TI IIUE MI:0,10 GO lfl 72 CO•·IT !NUE M!:0,20 GO TO 72 Cíl'JT I NUE Ml:0,30 GO ro 12 CDNTJNUF. Ml:11,'IO GOTO 72 CO~H l NlJE Ml:0,50 CONTINUE
UO 11,00 KK:\,4 GOTO (11,21 1 3!,41),KK CONT lNlJE PRIMtlNA SERIE DE TENSDES XZEPOl:TENSAOCl,1) XZEAU2~TENSAO(l,2) XZEk03:TENSAO(l,3) XZE~U4:TENSAO(l,4) GOTO bl
21 CONTINUE C SEGUNDA SERIE DE TENSOES
XZEHOt=fENSA012,!I AlfN02=TEN5AU(2,2) XZEPU)=TENSAJ(2,3) Xlf_ !< •c;::Tf,;;;,,1(2, 4) Gtt T _, o t
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164
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1500 CONTINUE CALl fXIT [>;0
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166
********~·····~··**··*~·•·***~*********•***·•*********~* • * • CALCULO DAS DEFLEXOES PARA UM SISTEMA DE OITO JUNTAS• • PROCESSO ITERATIVO DE SOLUCAO PANA O SISTEMA NAO * * LINEAR DE EQU~COES A PARTIR DE UMA APROX!MACAO TNICI * * AL PARA OS ANGULOS DAS JUNTAS. * • VALOR D• APROXJMACAO(GRAUS) * • CARACTER!STJCAS GEOMETRICAS DAS JUNTAS * • DISTANCIA ENTRE CENTROS DE ROT4CA0,,,,,,,, MM* • DISTANCIA ENTRE C,R, E CENTRO DE GRAV,,,.. MM• • DISTANCIA E~TRE ELE11ENTOS ( L ),,,,,,,,,,, MM* • OISTAr,tIA 00 C.R. A dOROA (O)••••••••••• MM* • RAIO OE LOCALIZACAO DOS CAROS DE ACO,,,,,, MM• * PESOS DOS ELEMENTOS CILINORICOS *
• • * * * * * • * • • • •
ELEMENTO COMUM HAlS ESFERA,,,,,,,,,,,,,,,, ELF~ENTO DA EXTREMIDADE •••••••••••••••••••
RlGIDEl DA$ MOLAS NU~ERü DE ALGARISMOS SlGNIFICATlVOS.,,,,,,,,,,, ~UMERO MÃXJMO DE ITER~COES ••••••••••••••••••••• VALOR DE IPRINí•••••••••••~••••••••••••••••••••
CALCULO DE DEFLEX0E5:PR0BLEMA SEM ATRITO
CARG"S 0,50() O, 7c,o 1,000 1, il20 2.000
PRTMEIRA SERIE DE TENSOES 3 S 8 10
KG* KG.
• • * * • • * * * * * *
• SE~UNDA SERIE DE TENSOES * • TERCEIRA SERIE DE TENSOES * • QUARTA SERIE OE TENSOES • * C~LCULO DE DEFLEXOES:PROdLEMA CONSIDERANDO ATRITO • • SOMENTE NOS CABOS, • * COEFICINTE DE ATRITO NO CABO.,,,,,,,,,,,,, * • PONTOS •
8 8,00 5,00 3,00 ! • ºº -1 , o o •3,oo
00 13,50 19,00 5,37 '1,59 23,30 o,ot:/ fl,09 0,09 o,o'I 0,()'I o. f)<I
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OE SCL!JCAC PARA A PARTü, CE UMA C.~S JUN"'"AS.
O SISTEMA NAO * AP~ú~I~ACAO INICI *
* • * * • * * * • • * *
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* • * VALO~ DE IP~INT•••••••••••••••••••••••••••••••• O * * • ***~********•*•*•·•*************************************
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1 7 2
Apêndice II
Neste Apêndice estão as fotos da bancada de testes. As
medições foram realizadas nos laboratõrios do NEM -Núcleo de Ensaios
em Metrologia; situado no bloco I, sala 243, do Centro de Tecnolo
gia da UFRJ.
173
foto l - braço preso a cantoneira
foto 2 - outra vista do braço preso
a cantoneira
174
foto 3 - seção central, elemento da extre
midade e fixação dos cabos
foto 4 - paquimetro de altura
175
foto 5 - realização das medições
foto 6 - gancho de aplicação de
cargas.
176
foto 7 - sistema de pretensionamento dos cabos de aço
foto 8 - elemento da extremidade com sistema de molas
177
foto 9 - pontos de medição ao longo do braço
178
Apêndice III
Estão aqui tabelados os valores obtidos nos testes,bem
como o câlculo das medias e desvios padrões. A descrição das medi
çoes estã no capitulo (VIII). Cada tabela possui a descrição das
condições em que foi realizado o experimento.
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1 , 3 6,0 11 , 5 1 7 , 2 1 , 5 8,7 20,9 30,6
1 , 4 6,5 1 2 , 5 1 9, O 1 , 6 8,7 1 9 , 2 28,9
0,50 1 , 2 6 , 2 l 2 , O 18,6 0,79 l , 5 9,0 20,0 29,8
1 , 4 5,8 1 3 , 1 19,0 l , 5 9,0 20,0 2 9, 1
1 , 3 5,0 10,2 19,2 l , 5 9,0 20,2 30,0
1 , 4 6, 1 1 2, 5 19,3 1 , 6 8,9 20,2 29,9
l , 5 6 , 1 11 , 9 l 8, 5 1 , 6 9 , 7 21 , 5 30,2
1 , 6 5,8 1 1 , 5 1 9 , 6 1 , 5 9,5 20,8 30,3 -- l , 4 6 . O 1 1 . 9 l 8. 8 X X 1 , 5 9 , 1 20.4 29.7
(J O , 1 0,4 1 , O 0,8 (J O . 1 0.4 0.9 0.8
l , 8 l o' o 25,0 3 6 , 1 1 , 8 l 2, O 34,0 49,0
l , 7 9,7 24,9 3 5 , 7 1 , 8 11 , 2 3 3 , 2 4 7, 5
l , 7 10,0 25,4 36,0 1 , 8 11 , 9 33,5 47,9
l , 8 1 O, 2 25,7 3 6 , 5 1 , 7 1 1 , l 32,0 46,0
l , 00 l , 8 1 O , 1 2 5 , 6 3 6 , 5 l , 4 2 l , 8 1 2 , O 3 2 , 7 47,0
l , 7 1 O, 2 2 5 , 5 3 6 , 2 1 , 8 11 , 5 34,0 4 7 , 8
l , 8 1 O, 5 2 5 , 3 3 6 , 5 1 , 7 11 , O 34,0 4 7 , 5
l , 7 11 , O 25,8 37,0 1 , 8 11 , 5 32,0 46, 8
l , 7 10,4 2 6 , 2 3 7 , 5 1 • 8 11. 2 34.0 4 7 . 3 1 , 8 1 O, 5 2 5, 5 36,8 1 , 7 11 . 8 3 2 , 5 46,5
- -X 1 , 7 l O, 3 2 5 , 5 3 6 , 5 X 1 , 8 1 1 , 5 33,2 47,3
(J O , 1 0,4 0,4 O, 5 (J O. 1 0,4 0,8 0,8
1 , 8 1 2 , 5 39,6 57,4
1 , O 1 3 , 2 40,0 58,0 l , o 1 2 , 8 40,5 58,3
TABELAI
1.0 1 3 , O 40,8 58, 1 - MEDIÇÕES A SECO
2,00 l . o l 3 , O 41 , 8 60,0 - 1~ StRIE DE TENSÕES l , 2 1 2 , 7 40,5 57,9
l ' l l 3 , 2 40,5 58,8
l , 2 1 3 , O 41 , O 57,6
l 'o 1 3 , 3 41 , 6 59,0
l . 3 1 3 , 6 40,4 58,2 -X 1 , 2 1 3 , O 40,7 58,3
(J 0,3 0,3 0,6 0,8
Pt9s 1 cargas
0,50
-X
o
l ,o o
-X
(J
2, O O
-X
(J
3
0,9
l 'o
l ' l
l 'o
l , 2
l ' l
l 'o
l ' l l , 2 l , 2
l ' l
o' l
l ' l
l ' l l , 2
l ' l
l , 2
l , 3
l ' l l , 2
l , 2
l ' l
l , 2
o' l
l ' l
l ' l
l 'o l , 2
l ' l l , 2
l , l
l , 2
l ' l
l ' l
l ' l
o' l
5
3, 7 4,0
3,8
4,2
3,8 5 , l
4,7
4, l 5,0 4,6
4,3
0,5
6 , 7
7,0
7,0
6 , 9
7,3
6 , 8
7, 3 6 , 7
7,0 8,5
7 , l
O , 5
l 2 , l 11 , O
l 2 , O
l l , 8
11 , 6 l 2 , 5
11 , 5
l 2 , O l 2 , 6
11 , 9
11 , 9
0,5
l 80
8 1 º 1 7, 3 10,0
7 , 2 9,6
6, 7 9, 3
8,0 l O, 3
5,0 6 , 9 9 , 7 l l , 2
9 , 4 l l , 3
8,9 l o • l
6 , 9 10,2 6 , l 9 , 3
7,5 9,9
l , 5 l , 3
l 2 , O l 8, O
l 2 , 7 l 8 ,6
l 3 , O l 9, O
l 2 , 9 l 8, 3
l 3, O l 8, 5
l 2 , 3 18,3
l 4 , 2 20,0 l 2 , 2 l 8, 3
l 3 , l l 9 , O
l 5 , O 20,8
l 3, O l 8, 9
0,9 O , 9
34,5 50,0 34,0 48,5
33,9 49,7
3 2 , 5 47,0
32,8 46, 8 33,5 48,5
31 , O 47,0
33,7 49,9 3 3 , 2 48,4
32,2 46,5
3 3, l 48,2
l ' o l , 3
Pt9s 1 3 cargas
l ' l
l 'o
l , 3
l , 2
0,79 l . o
l ' l
l , 2
l 2 l , l
l 'o - l , l X
(J o' l
l , l
l , 2
l ' l l , l
l , 4 2 l , 2
l 'o
l , 3
l , 2 l , l
l ' l
X l ' l
(J o' l
5
4,9
5 , 5
5,4
5,6
5.0 4,9
6 , l
~ q
5,8 6 , O
5,5
0,4
9,0 10,0
9,8
l o' o
9 , l 9 , 5
9,0
8,8 9 , 6
9, 2
9 , 4
O , 4
TABELA II
8
8,6
l O, 5
9,0
9,4
8.0 7,4
l l , o
q~
9 , O
lo' o
9,2
l ' l
19,5 2 3 , l
2 2 , O
25,0
22,0 23,0
20,8
24, 8 2 2 , 5
21 , 9
22,5
l , 7
- MEDIÇÕES A SECO
- 22 SERIE DE TENSÕES
1 º 1 l 3, 5
l 5, l
l 3, O
l 3, 3
l 2. 5 11, 8
l 5, 5
111 l
l 3, O
l 5, O
l 3 , 7
1.2
29,3 34 , l
30,9
33,9
31,0
3 2 , 5
3 O , l
33,8 32,0
30,9
31 , 8
l , 7
1 81
ptQs J 3 1 o 1 5 8 carqa
ptQs 1 3 5 8 1 o 1
e ara as
0,8 2 , 1 2.0 4.0 1 , O 4,3 8,0 1 2 . 1
0,8 2 , 1 2 , 4 4.6 1 , 3 4,0 7,4 11 • 5
0,8 2, 1 3,5 6 , 2 1 , 1 4 , 2 7,6 11 , 4
0,8 2,0 2,9 5 , 1 1 , 2 4, 1 7 , 1 11 , O
0,9 1 , 8 2, 1 4, 2 1 , 2 4, 1 7,4 11 , 4
0,50 0,8 2,0 2,6 5 , O O, 79 1 , 1 4,9 8,5 1 3, O
0,9 3 , 1 5, 2 7,0 1 , O 4,5 8,0 12,0
1 , O 3,0 4,9 6 , 1 1 , 2 4,2 8, 1 11 , 9
0,8 3 , 1 4 , 6 6,0 1 , 1 4,0 7, 5 11 , O
O, 9 3, 1 4,4 5 , 5 1 , O 4 , 1 8,4 1 2, 7
--X 0,8 2,4 3,5 5,4 X 1 , 1 4,2 7,8 11 , 8
a O , 1 0,4 1 , 2 1 , O a O , 1 0,3 0,5 0,7
1 , 2 5, 3 10,9 15,9 1 , 3 7,2 1 6, 3 26,0
1 , 1 5, 5 11 , O 1 5, 9 1 , 5 7, 7 1 8, 1 27,4
1 , 3 5,8 1 2, 1 1 7, 7 1 , 4 7 , O 1 5 , 1 24,0
1 , 1 6,0 1 2, 2 1 8, O l , 3 7, 2 1 6 , O 24,9
1 , 2 5, 7 1 2, O 1 7 , 5 1 , 4 7,5 1 8, 2 27,2
1 , 00 1 , O 4,9 8,3 1 4, 5 1 , 4 2 1 , 4 8,3 20,0 30,0
1 1. ~.n Q ? 1 ~ n 1 , 3 7,4 1 8, O 27,8
1 , 2 4,5 8,9 1 2. 8 1,4 8,5 1 9 , 5 29,0
1 , 1 5,5 1 O, 5 1 6 . 5 1 , 4 8,3 l 8, 8 27,7
1 , 2 5,0 9,4 1 5 , O 1 , 4 8,0 1 7, 9 28,5
- 1 , 1 5, 3 10,4 1 6 , O X
- 1 , 4 7, 7 1 7, 8 27,2 X
a O, 1 O , 5 1 , 4 1 , 4 a O, 1 0,5 1 , 6 1 , 8
1 . O 11 . O 28.8 41 . 8
1 , O 1 O, 3 2 8, 1 39 , 1
1 , 2 11 , 2 28,6 42,7 TABELA III
1 , O 10,9 28,7 41 , 5
1 , 3 11 , 2 30,0 43,9
2,00 1 , O 11 , O 28,5 41 , 8
- MEDIÇÕES A SECO - 3~ StRIE DE TENSÕES
1 , 1 10,4 28,3 41 , 5
1 , 2 1 O, 9 30,0 43,0
1 , O 11 , O 30,0 4 3, 1
1 , 3 1 O, 5 26, 1 38,4
-X l, 1 1 O, 8 28,7 4 1 , 7
a O, 1 O, 3 1 , 2 1 , 7
Pt9s 1 cargas
3 8 5
1 , D l , 1 1 , 5
1 , O 1 , O l , 4
0,9 0,9 0,8
1 , D l , 8 2 , 5
0,50 1 , 1 l , 9 2,8
1 , O 1 , 1 l , 4
1 , D 2,3 3,8
1 , D 2,0 2 , 8
1 , 1 1 , 9 3 , 2
1 , O 2, 1 3 , 5
- 1 , D l , 6 2 , 4 X
a O, 1 0,5 1 , O
1 , 4 7 , 1 1 2 , 9
1 , 5 7, 1 1 3 , 1
1 , 4 7,3 l l , 3 l , 7 7,6 l 4, O
1 , O O 1 , 5 6,6 11 , 3
1 , O 5,0 8, 1
1 , 2 6,0 1 O , 6
1 , O 6, 2 1 O, 5 1 , 1 6 , 5 10,9
l , o 5,9 10,0
-X 1 , 3 6 , 5 11 , 3
a 0,2 0,8 1 , 7
1 , O 1 O , 1 23,0
1 , 1 10,0 2 2 , 1 1 , O l O, 3 22,8
l , o 1 O , 5 23,3
2,00 1 , O 1 O , 5 24,0
1 , 2 1 O , 7 24,9
1 , O 1 O, O 2 3 , 1
1 , O 10,0 2 2 , 7
1 , 1 10,5 25,0
l , o 1 O, 2 24,8 -X 1 , O 1 O , 3 23,6
a O, 1 0,3 1 , O
1 82
1 o 1 2 , 1
3,8
2 , O
3 , 9
4,2
2 , 5
5 , 5
4 , 3
5 , O
5, 1
3 , 8
1 , 3
1 8, 5
1 8, 2
1 7, 8 21 , O
1 9 , O
1 3 , 1
1 6 , 2
1 6 , 2 1 7, 5
1 5 , 5
1 7, 3
2 , 2
36,6
35,5 35,2
35,8
36,4
3 7 , 2
35,0
34, 1
37,0
37,5
36,0
1 , O
Pt9s 1 3 cargas
1 , O
1 , O
1 , 1
1 , O
0,79 1 , D
1,0
1 , 1
1 , O
1 , O
1 , 1
- 1 , O X
a O, 1
1 . 4 1 , 5
1 , 3
1 , 2
l , 4 2 1 , 4
1 , 3
1 , 2 1 , 5
1 , 3
1 , 4 -X 1 , 3
a O, 1
5
4 , 6
3,0
4 , 4
3,2
4 , 5
4,0
3 , O
3 , D
3,2
4 , 5
3 , 7
0,7
6.9 7 , 5
6 , l
7,3
7,9
6 , 6
6 , 5 8, 1
8,0
8, 1
7,3
0,7
TABELA IV - MEDIÇÕES A SECO
8
8,0
7 , O
7,6
7, 5
7,6
8,4
4,6
5 , 8
5,0
7,5
6 , 9
l , 3
1 3. 4 14,5
11 , 2
l 3, 5
l 5 , O
1 2 , O
1 2 , O 1 5 , 5
1 5 , D
1 6 , 1
1 3 , 8
1 , 7
- 4~ StRIE DE TENSÕES
1 o 1 l 3, O
1 1 , 2
1 2 , 2
1 2 , 1
1 2 , O
1 3, 5
9 , 2
1 O, O
9, 5
1 3 , O
11 , 6
1 , 5
21 . 2 2 2 , 9
1 8, 5
2 2 , O
23,5
1 9, 3
1 9 , O 24,5
2 3 , 5
2 2 , 9
21 , 7
2 , l
l 83
pt9s 1 º 1 3 5 8 cargas
l , 5 8,5 l 7 . 3 2 2 . l
l , 4 8,0 l 6, 5 21 . 4
l , 5 8,3 l 7 , 2 2 2 , l
l , 5 8,4 l 7 , 3 22.0
l , 5 8,4 l 7 , 4 2 2 . O 0,50
l , 5 8,6 17,8 23,0
l , 5 8,6 l 8, O 21 , O
l , 5 8,3 l 6 , 7 22.4
l , 3 8,4 16,9 22,0
l , 3 8,5 l 7 , O 2 2 , 5
-X l , 4 5 8,40 l 7 . 21 22.26
(J 0,08 O, l 8 0,46 O, 51
l . 5 l 2 . O 29 2 38 8
l , 5 l 2 , O 28.8 38.2
l , 5 l 2 , l 29,0 38,9
l , 5 12,2 2 9, l 38,5
l 'o o l , 5 11 , 8 29.2 38.9
l , 4 11 , 9 2 9, l 38,7
l , 5 l 2 , 3 29,9 3 9 , 3
l , 5 l 2 , l 29.5 39.2
l , 4 11 . 8 29.3 38.9
l , 4 l 2 , O 29,8 39.4 - l , 4 7 l 2 , O 2 29,29 38,88 X
(J 0,05 O, l 6 0,35 0,36
l , 3 l 3 , l 4 2 , l 58,6
l , 4 14,0 43, O 60,0
l , 5 l 3 , 5 42,8 59,0
l , 5 l 3 , 4 42,5 59,0
2,00 l , 4 l 4 , O 43, 5 60,0
l . 5 l 4 , l 43, 6 60,0
l • 5 l 3 , 9 43,0 59,3
l , 4 l 4 , l 43,5 60,0
l , 5 l 4, O 43,4 60,0
l , 2 l 4 , l 43 , l 59,9 - l , 4 2 13 , 82 43, 05 59,58 X
(J o, lo 0,36 0,48 O , 5 5
. pt9s 1 caraas 3 5 8 1 º 1
1.5 , , n ?~ ~ 3 3 . 7
l , 4 10,5 24,0 32,5
l , 5 l O, 8 24,9 33, 3
l , 5 10,8 2 5, l 33,3
l , 4 11, O 26, O 33, 5 0,79
l , 5 l l , l 2 5 , 2 34.0
l , 4 l O, 5 25,0 3 2 . 9
l , 5 l O, 8 24.2 32.8
l , 5 l l ' o 24,5 32,6
l , 5 l l ' o 2 5, l 3 2 . 3 - l , 4 7 X 10,85 24,93 33,09
(J 0,05 O , 21 0,58 0,56
l , 4 l 2 , 9 34,7 4 7 , l
l , 5 l 3 , O 34,9 4 7, 3
l , 5 l 3 , O 3 5 , O 47,5
l , 5 l 2 . 5 34.6 4 7. O
l , 4 2 l , 5 l 3 . 2 3 5 . 3 47.8
l , 4 l 3 , 5 3 5 , 5 48,3
l , 5 l 3 , 3 3 5 , 2 48,2
l. 5 13 . O 35.5 48.4
1.4 l 3 . l 35.3 48.2
l , 4 l 3 . 2 3 5 . 7 48.6 -X l , 46 l 3 , 07 3 5, l 7 47,84
(J 0,05 0,27 0,36 0,58
TABELA V
- MEDIÇÕES COM LUBRIFICAÇAO a
- 1- StRIE DE TENSÕES
184
ptQs 1 o 1 5 8 3 caraas
pt9s f 1 º 1 5 8 3 cargas
0,9 2,7 8,9 1 2 , O 1 , 2 7 . 7 1 2 . 2 l 8. O
1 , O 2,7 7 , 6 11 , O 1 , 3 7 , O 12.4 l 7 . 8
0,8 2,5 7 , O 12,0 l ' l 7 , 5 12,3 1 8 , O
1 , O 2,9 8,8 1 2 , O l , 4 8,0 13 , 2 l 9 , l
0,50 1 , O 2,6 8,7 1 2 • 5 0,79 l , 4 7 , B l 3 , 5 20,0
1 , 1 3 , 1 8,6 11 , 2 1 , 3 • 7 . O 1 3 • 3 1 9 . 2
1 , O 3 , 5 9 , 1 13 , O 1.4 8.2 14.8 20. 1
O , 9 3 , O 8,9 1 2 , 2 1 , 4 7 • 9 12.0 l 8. 5
1 , 1 3 , 4 9,2 1 2 , 3 1,3 B , l 12,8 1 9 , O
0,8 3,0 8,6 1 2 , 6 l , 3 7 , 3 l 4, 5 l 9, 4 -X 0,96 2,94 8,54 1 2 , 03 - 1 , 31 7 , 6 5 13 , l O l 8, 91 X
a O , 11 0,33 0,70 0,63 (J O, 1 O 0,44 0,96 0,82
1 , 4 8,7 1 9, O 2 7 , O l . 6 11. 9 28.3 39.2
1 , 4 8.9 1 9 . 1 27. 4 1 , 6 11 , 8 2 8 , 3 39,4
1 , 4 9,6 20,5 28,4 1. 5 l 1. 9 28.0 38.9
1 , 3 9 , 2 1 9, 6 2 7 , 5 1 , 5 11, 3 27,9 40.0
1 , O O 1 , 4 9,5 1 9, 7 27,3 l , 4 2 1 , 3 l 2 , O 29,0 40,5
1 , 5 9 , 8 1 9, 4 2 7 , 5 l , 6 l l , 9 28,9 40,3
1 , 4 9 , 8 20,7 28,7 1.6 11 . 8 27,3 40. 1
1 , 6 8,9 1 9 , 1 27 , 5 l • 5 l 2 • 5 28 . l 40.0
1 . 4 9.7 20.4 29.0 1 . 6 12.0 28.0 39.8
1. 5 9.6 20.0 28.8 l , 6 1 2, 5 29,8 4 l , O - -X 1 , 4 3 9,37 19,76 27 , 91 X l , 5 4 11 , 96 28,36 39,92
(J 0,08 0,41 0,62 0,73 (J o' l o 0,35 0,70 0,63
1 , 4 12,9 36,6 52,9
1 , 5 1 3 , O 38,2 54,0 TABELA VI
1 , 5 l 3 , l 3 8, 1 54,9 - MEDIÇDES COM LUBRIFICAÇ~O l , 4 12,8 3 7, 7 5 3 , l
- 2~ SERIE DE TENSOES 2,00 1 • 4 13,0 38,9 5 4, 1
1 , 4 l 3 , 5 40,0 54,7
l , 4 12,9 37,8 5 3 , 2
1.3 13 , 2 38,6 5 4 , 5 1 , 3 l 2 , 5 36,B 5 3 , 5
l , 2 11, 9 36,0 53,B - 1 , 3 B 12,88 37,87 53,87 X
(J 0,09 0,43 l , 1 8 O ,69
PtQs 1 cargas
0,50
-X
(J
l , 00
X
(J
2,00
-X
(J
3 5
l 'o 2 , 9
l ' l 3,0
0,9 3,0
l ' l 3,0 l 'o 2 , 9
l 'o 2,8
l 'o 3 , O
l 'o 2 , 9
l ' l 3·, O
0,9 2,8
l , o l 2, 9 3
O, 07 0,08
l , 5 6 , 4
l , 5 6 , 5
l , 5 6 , 6
l , 4 7 , O
l , 4 6 , l
l , 5 6,8
l , 5 6 , 5
l , 5 6 , 5
l , 4 6 , 7
l , 5 7 , l
l , 4 7 6,62
0,05 0,29
l 'o l 2, 8 l , l l 2, 6
l , o l 2 , 5
l , 3 l 2, 2 l , l 12,8
l ' l l 2, 5
l , o l 2, 8
l , o l 2 , 6
l , o l 3, O
l , o l 2 , 9
l , 06 l 2 , 6 7
o, l o 0,24
l 85
8 10
5,4 8. l 5,8 8,6
5 . 9 8.5 6,0 9 , O 6 , l 9 , O
5 , 5 8,3
5 , 7 8,7
5 , 3 8,0
5,2 8,0
5 , 5 8,9
5,64 8,51
O, 31 0,40
l 3 , O l 9 , 9
l 3, 5 20,9
l 3 , 4 20,9
l 4 , l 21 , 2 l 2 , 8 l 9 , 7
l 4 , 2 21 , 3
l 4 , 8 21 , 7
l 3, 4 20,0
l 4, O 20,2
l 5 , O 21 , 8
l 3 , 82 2 O, 7 f
o, 7 3 O, 7f
3 3 , 5 48,5 3 3 , 4 48,0
33,4 48,5
3 3, 5 46,0 34,0 49,0
37,8 48,7
33,9 4 8, l
33,4 48,6
34,5 49,0
34,0 48,5
33,74 48, 31
0,37 0,87
PtQs 1 cargas
0,79
-X
(J
l , 42
X
3
1 , 2
l , 2
1 11
l , 4 l , 4
l , 4
l , 3
l , 4
l , 3
l . 5
l , 3 5
o • l o
l , 3
l , 3
l , 4
l , 4
l , 4
l , 4
l , 3
l , 4
l , 3
l , 3
l , 3 5
(J 0,05
5 8
5 , O l O, 5
5 , 3 10,8
5 , l l O. 3
5 , 6 l l , 2 5,3 l l ' l
5 , 7 11 , 2
4,9 10,0
5 , l l O, 8
5, 3 11 , 5
5 O 9. 8
5 , 2 3 l O. 7 2
0.26 O 56
l o , l 25,0
l o , l 25,0
l O, 4 26,0
9,8 23,5
l o ' l 24,8
l o' l 25,4
lo, o 24, l
9,9 23,0
9,9 23,8
l O, 4 24,3
10,08 24,49
0,20 0,92
TABELA VII
1 º 1 l 6 , O
l 6 , 5
l 6 . O
l 7 , l l 6 , 9
l 7, 2
l 5 , 8
l 6 , O
l 7, O
l 5 . R
16.43
0.57
35,5
35,2
36,8
34,8
36,2 35,5
35,3
33,6
35,0
36, O
35,39
0,87
- MEDIÇÕES COM LUBRIFICAÇAO - 3~ SÉRIE DE TENSÕES
l 86
ptQs 1 º 1 5 8 3 carqas
O. 5 2. 5 3 . 5 ~ ~
O , 5 2, 5 3 , 6 5 , 6
0,5 l , 9 3 , 9 6 . l
O , 6 2, l 4 , l 6 , 2
0,50 O , 5 2,2 4, l 6, 5
0,6 2,0 4,3 7 , O
0,5 l , 9 2,2 4,5
0,7 2,9 4,3 6 , 7
0,5 l , 9 2,9 4 , 3
0,5 2 , l 3 , 2 4 , 9 -X 0,54 2,20 3 , 61 5 . 7 3
a 0,07 0,33 0,68 0,93
l . 4 6.4 14.4 21 . O l , 4 6 , 4 14,3 21 , O
l , 4 6 , 5 14,5 21 , l
l , 4 6, l l 3 , 9 20,5
l , DO l , 4 6 , 4 l 4, 4 21 , 4
l , 5 6,0 l 3 , 2 20,0
l , 4 5 , 8 l 2 • 7 l 9. 2
l , 4 6,0 l 3 , 5 20,8
l , 5 6, 5 14,4 21 , 2
- l , 43 6 , 2 O 13 , 81 2 O, 61 X
a 0,05 0,27 O, 71 0,70
l , 4 11 , l 2 9 , l 43,5
l , 4 l l ' l 28,9 43,0
l , 4 11, 4 29,9 4 3 , 5 l , 4 11 , 3 29,5 42,9
2,00 l , 3 11 , 5 3 O, l 45,0 l , 4 11 , O 2 9 , 3 43,6
l . 4 l l , 3 29,0 43,0 l , 4 l l , 3 28,9 41 , 9
l , 4 l l , 3 29,7 4 3 , l l , 4 l l , 3 29,9 42,9
-X l , 3 9 11 , 2 6 29,43 43, 24
a 0,03 O, l 5 0,45 0,78
ptQs 1 caraas 3 5 8 1 º 1
0,79
-X
a
1 , 4 2
-X
a
l , 3 3 , 9 6,9 10,8
l , 4 3,8 6,9 l O, 8
l , 4 4,0 7 , l l l 'o l , 4 3 , 7 6 , 7 l O, 5
l , 4 3 , 9 7 , O l O, 9
l , 4 3,8 6,9 l O, 7
1.4 3 • 9 7.0 l l. o l , 3 3 , 7 6,7 l O, 6
l , 5 4 , O 7 , l 11. l
l , 4 3.8 7 , l l l . o l , 3 9 3,85 6.94 10.84
0,06 o ' l l O, l 5 0,20
l . 5 8.9 20.2 30.9
l , 5 8,6 l 9, 6 2 9 , 5
l , 5 8,9 20,0 30,0
l , 6 9,0 20,6 30,9
l 5 9.0 l 9. 9 30.3
l , 5 9,3 20,9 30,8
l . 5 9 . O 20.5 30.7
l 6 9 l 20.6 30.8
1 5 8.7 19.5 29.0
l . 5 8.9 19.8 3 O . 2
l , 5 2 8,94 20, l 6 30,31
0,04 0,20 0,47 0,65
TABELA VIII
MEDIÇDES COM LUBRIFICAÇAO
4~ StRIE DE TENSDES