www.famat.ufu.br

Revista Científica Eletrônica daFaculdade de Matemática - FAMAT

Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG

Número 12 - Abril de 2009

fÀW

e-mail: revista@famat.ufu.br

Comitê Editorial: Alessandro Alves Santana Luis Antonio Benedetti - FAMAT/UFU Marcos Antônio da Câmara - FAMAT/UFU Gabriela Aparecida dos Reis - PETMAT - FAMAT/UFU Claiton José Santos - PETMAT - FAMAT/UFU - DAMAT - FAMAT/UFU

- FAMAT/UFU

Douglas Silva Oliveira

FAMAT em Revista

FAMAT em RevistaISSN 1806-1958

www.famat.ufu.br

e-mailrevista@famat.ufu.br

Revista Cientıfica Eletronica Semestral daFaculdade de Matematica - FAMAT

Universidade Federal de Uberlandia - UFU - MG

Comite Editorial:

Alessandro Alves Santana - Famat/UfuLuis Antonio Benedetti - Famat/Ufu

Marcos Antonio da Camara - Famat/UfuGabriela Aparecida dos Reis - Petmat - Famat/Ufu

Claiton Jose Santos - Petmat - Famat/UfuDouglas Silva Oliveira - Damat - Famat/Ufu

Numero 12Abril de 2009

Editorial

A Revista FAMAT em Revista chega a sua décima segunda edição cumprindo

a proposta de ser uma forma ágil de promover a circulação de idéias, de estimular o

estudo da Matemática e despertar a curiosidade intelectual dos estudantes e de todos

aqueles que se interessam pelo estudo de Matemática.

O Comitê editorial desta décima edição é composto por:

Alessandro Alves Santana – Editor Responsável

Marcos Antonio da Câmara – Tutor do PET/Matemática

Luis Antonio Benedetti – Coordenador do Curso de Matemática

Gabriela Aparecida dos Reis - Aluna do Pet/Matemática

Claiton José Santos – Aluno do Pet/Matemática

Douglas Silva Oliveira - Representante do DAMAT

O décimo segundo número da revista contempla as atividades desenvolvidas

no segundo semestre de 2008 e parte do primeiro semestre de 2009.

O sucesso e a aceitação da revista no meio acadêmico ficam evidenciados pelo

consistente número de artigos submetidos para a publicação, tanto na seção de

trabalhos completos de iniciação científica como na seção de trabalhos desenvolvidos

em sala de aula.

Convidamos o leitor a “navegar” pelas páginas desta décima segunda edição

onde encontrará 7 trabalhos na seção “Trabalhos Completos de Iniciação Científica”

e 1 trabalho na seção “Em Sala de Aula”.

As resoluções dos problemas apresentados na décima primeira edição e 4

novos problemas proposto para a décima segunda edição encontram-se em

“Problemas e Soluções”.

Na seção “Reflexões sobre o Curso de Matemática”, a Profa. Geovana

Ferreira Melo Teixeira, professora da Faculdade de Educação da Universidade

Federal de Uberlândia, um artigo intitulado “O curso de Matemática da UFU: novo

projeto, novos desafios ”.

Em “E o Meu Futuro Profissional” temos um resumo abordando sobre as

perspectivas profissionais para pessoas formadas em Matemática.

Nas seções, “Merece Registro”, “Iniciação Científica em Números” e

“Eventos” são apresentados alguns fatos de destaque na Faculdade de Matemática, as

orientações e os projetos de Iniciação Científica desenvolvidos ou em

desenvolvimento, no período.

Esperamos que os leitores apreciem esta décima segunda edição da FAMAT

em Revista e contamos com contribuições e sugestões para edições futuras.

Comitê Editorial

Indice de Secoes

Secao 1: Trabalhos Completos de Iniciacao Cientıfica 7

Secao 2: Problemas e Solucoes 127

Secao 3: Eventos 131

Secao 4: Reflexoes sobre o Curso de Matematica 137

Secao 5: Em Sala de Aula 147

Secao 6: Iniciacao Cientıfica em Numeros 159

Secao 7: E o meu Futuro Profissional? 167

Secao 8: Merece Registro 173

FAMAT em Revista

Revista Científica Eletrônica daFaculdade de Matemática - FAMAT

Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG

Número 12 - Abril de 2009www.famat.ufu.br

Trabalhos Completos deIniciação Científica

PBIIC-FAPEMIG-UFU - Programa de Bolsas Institucionais de Iniciação Científica da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais

PETMAT-UFU - Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática

PIBIC-CNPq-UFU - Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico

PROMAT-UFU - Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria da Faculdade de Matemática

IM-AGIMB - Instituto do Milênio - Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira

pad

Comitê Editorial da Seção

Trabalhos Completos de Iniciação Científica

do Número 12 da FAMAT EM REVISTA:

Alessandro Alves Santana (coordenador da seção)

Valdair Bonfim

Marcos Antônio da Câmera

Instrucoes para submissao de Trabalhos

A Secao de Trabalhos de Iniciacao Cientıfica visa divulgar trabalhos que estejam as-sociados a projetos cadastrados na(o) PBIIC-FAPEMIG / PETMAT / PIBIC-CNPq /PROMAT ou IM-AGIMB e orientados por docentes da FAMAT.

Trabalhos completos em nıvel de iniciacao cientıfica dos programas acima listadossubmetidos para publicacao na Revista Eletronica “Famat em Revista” estarao sujeitosa apreciacao pelo Comite Editorial responsavel por essa secao de artigos e, se for o caso,por consultores ad hoc ligados a area ou subarea do trabalho. Caso se faca necessario,sugestoes para o aperfeicoamento do trabalho serao dirigidas aos interessados pelo ComiteEditorial.

Alem da redacao clara e concisa que todo trabalho submetido a boa qualidade devepossuir, pede-se evitar o estilo arido e extremamente tecnico caracterıstico de algumaspublicacoes matematicas, nao perdendo de vista que o publico-alvo ao qual se destina arevista e constituıdo por alunos de graduacao.

Os trabalhos submetidos ate o final de um semestre letivo serao publicados na edicaoda revista lancada no inıcio do semestre letivo subsequente.

Quanto as normas tecnicas para submissao dos trabalhos:

1) Formato do arquivo: PDF

2) Tamalho da Folha: A4

3) Margens: 2,5 cm (portanto, area impressa: 16 cm x 24,7 cm)

4) Tamanho de fonte (letra): 12 pontos (exceto tıtulos, subtıtulos, notasde rodape, etc, que ficam submetidos ao bom senso)

5) Espacamento entre linhas: Simples

6) Orientador(es), tipo de programa e orgao de fomento (se houver)devem constar no trabalho.

Envio:Por e-mail: revista@famat.ufu.br

Indice de Trabalhos

Teoria dos Jogos: uma Questao da OBMEP 13

Claiton Jose Santos, Gustavo Franco Marra Domingues eMarcos Antonio da Camara

Compacidade e Continuidade no Rn 25

Giselle Moraes Resende Pereira, Luciana Yoshie Tsuchiya eGeraldo Marcio de Azevedo Botelho

Compacidade em espacos metricos 35

Giselle Moraes Resende Pereira, Luciana Yoshie Tsuchiya eGeraldo Marcio de Azevedo Botelho

Uma Introducao aos Sistemas Dinamicos Caoticosvia Famılia Quadratica. 51

Lıvia Silva Rosa e Weber Flavio Pereira

Teoria dos Numeros e suas aplicacoes 83

Luis Armando dos Santos Junior e Antonio Carlos Nogueira

Distribuicao dos numeros primos 91

Rafael Afonso Barbosa e Antonio Carlos Nogueira

Algebra Linear: uma introducao as aplicacoes 101

Ruan Carlos M. Tizzo e Weber Flavio Pereira

Teoria dos Jogos: uma Questao da OBMEP

Claiton J. Santos∗ Gustavo F. M. Domingues†

Marcos A. da Camara‡

Faculdade de Matematica - Universidade Federal de Uberlandia - MG

1 Resumo

Fizemos uma questao1 da Olimpıada Brasileira de Matematica objeto de nosso estudo,generalizando uma relacao para aquele problema inicialmente levantado pela OBMEP.Sucintamente, a questao propoe: “Dois jogadores iniciam uma partida com 128 palitoscada; em cada jogada disputam par ou ımpar, onde o perdedor nesta disputa cede a metadeda soma de palitos que tem em maos ao seu oponente. Repetindo tal procedimento,seguem disputando ate que um tenha uma soma ımpar de palitos em maos, vencendoaquele que somar maior numero de palitos ao seu final”. Nomeamos tal questao comosendo o “Jogo dos Palitos”, alem disso, analisamos e relacionamos as variaveis presentesno jogo buscando uma relacao que nos fornecesse informacoes sobre a definicao do seuresultado, ou ainda, a possibilidade de jogos inicializados com quantidades diferentes depalitos, alem de uma relacao geral para tais.

2 Definicoes

Definicao 1 (Jogada) Uma “jogada” e o momento em que os dois jogadores disputamo par-ımpar, o que implicara em alteracao da soma de palitos de cada jogador.

Definicao 2 (Partida) Uma “partida” e todo o conjunto de jogadas que compoem o jogo,sendo que a ultima jogada implica no fim da disputa para os jogadores, isto e, algum delesdetem uma soma ımpar de palitos.

Definicao 3 (Soma do jogador m) Denotamos por SJm a soma de palitos do jogadorJm, m ∈ {1, 2} (somente dois jogadores participam do jogo).

∗Bolsista do PET-MAT - claiton.pet@gmail.com†Bolsista do PET-MAT - gmarra86@hotmail.com‡Orientador - Tutor do PET-MAT - camara@ufu.br1Prova da 2a fase da OBMEP, Nıvel 2, Questao 6, realizada em 20 de Outubro de 2007

Definicao 4 (Variaveis de vitoria e derrota) Na disputa de par-ımpar para o joga-dor m, a variavel ykm = 1 se o resultado for derrota e ykm = 2 se o resultado for vitoria,sendo k o ındice relativo a k-esima jogada, isto e, k = {1, . . . , n} para n ∈ N− {0}.

Definicao 5 (Vetor solucao do jogador m) Para um jogo com 2n palitos, para n ∈N−{0}, uma entrada do tipo (y1m , y2m , y3m , y4m , . . . , ykm), com k ≤ n e m ∈ {1, 2}, e ditovetor solucao do jogador Jm para a k-esima jogada da disputa.

3 Analise das jogadas

Sem perda de generalidade, ao inves de um jogo com 27 palitos, consideraremos umjogo com 24 palitos em virtudade de maior facilidade de sua analise, posteriormente,denotaremos uma relacao para jogos com 27 palitos, e por fim para jogos com 2n.

3.1 Jogada 1

Ao inıcio do jogo cada jogador tem em maos 24 palitos e, conforme as regras, naprimeira jogada um deles ganhara a metade daquilo que seu oponente tiver em maos, fatoque representaremos por:

SJm(y1m) = 24 +24

2(−1)y1m = 24 + 23(−1)y1m (1)

Para ficar claro, imagine que J1 ganhe (y11 = 2) esta jogada. Atraves da relacao acima,ele tera em maos: SJ1(2) = 24 + 23(−1)2 = 16 + 8 = 24 palitos. Consequentemente, J2

perde (y12 = 1) e sua soma de palitos sera dada por: SJ2(1) = 24 + 23(−1)1 = 16− 8 = 8palitos. Obviamente a soma que cada um deles tiver em maos sera complementar a dooutro no que diz respeito ao total de palitos em jogo, isto e, SJ1 + SJ2 = 32 em qualquermomento da disputa.

3.2 Jogada 2

Observemos qual e o comportamento da relacao anterior com relacao ao novo ganhoou perda de cada jogador nesta jogada. Vale destacar que, conforme estruturamos os ykmna Definicao 4, teremos na jogada k

−(−1)yk1 = +(−1)yk2 (2)

pois alem de muito bem caracterizado, cada ykm e unicamente determinado para cadajogador em qualquer jogada k. Imediatamente surge, atraves da relacao (1), que:

24−23(−1)y11 = 24+23(−1)y12 (3)

Imaginemos agora que J1 ganhe (y21 = 2) esta jogada. Entao sua soma sera:

SJ1(y11 , y21) = 24 + 23(−1)y11 +

[SJ2(y12)

2

]

= 24 + 23(−1)y11 +

[24 + 23(−1)y12

2

](4)

a qual, pela relacao (2), pode ser reescrita como

SJ1(y11 , y21) = 24 + 23(−1)y11 +

[24 − 23(−1)y11

2

]= 24 + 23(−1)y11 +23 − 22(−1)y11

= 24 + 23(−1)y11 +23(−1)y21 − 22(−1)y11 (5)

pois, y21 = 2⇒ +23 = 23(−1)y21 .Se, ao inves de ganhar, J1 perder (y21 = 1), ele cedera metade do que tem em maos

ao seu oponente, o que e dado por:

SJ1(y11 , y21) = SJ1(y11)−[SJ1(y11)

2

]

= 24 + 23(−1)y11 −[

24 + 23(−1)y11

2

]= 24 + 23(−1)y11−23 − 22(−1)y11

= 24 + 23(−1)y11 +23(−1)y21 − 22(−1)y11 (6)

pois, y21 = 1⇒ −23 = 23(−1)y21 . Portanto, as relacoes (5) e (6) sao equivalentes.Analogamente, imaginando que J2 ganhe (y22 = 2), sua soma sera:

SJ2(y12 , y22) = 24 + 23(−1)y12 +

[24 + 23(−1)y11

2

](7)

a qual, pela relacao (2) pode ser reescrita como

SJ2(y12 , y22) = 24 + 23(−1)y12 +

[24 − 23(−1)y12

2

]= 24 + 23(−1)y12 +23 − 22(−1)y12

= 24 + 23(−1)y12 +23(−1)y22 − 22(−1)y12 (8)

pois, y22 = 2⇒ +23 = 23(−1)y22 .Se, ao inves de ganhar, J2 perder, ele cedera metade do que tem em maos ao seu

oponente, o que e dado por:

SJ2(y12 , y22) = 24 + 23(−1)y12 −[

24 + 23(−1)y12

2

]= 24 + 23(−1)y12−23 − 22(−1)y12

= 24 + 23(−1)y12 +23(−1)y22 − 22(−1)y12 (9)

pois, y22 = 1⇒ −23 = 23(−1)y22 . Portanto, as relacoes (8) e (9) sao equivalentes.Consequentemente, considerando os resultados de (5), (6), (8) e (9) concluımos que

na jogada 2

SJm(y1m , y2m) = 24 + 23(−1)y1m + 23(−1)y2m − 22(−1)y1m = (10)

= 24 + 23 [(−1)y1m + (−1)y2m ]− 22(−1)y1m

ou, distribuindo os coeficientes e efetuando as operacoes possıveis,

SJm(y1m , y2m) = 24 + 23(−1)y1m + 23(−1)y2m − 22(−1)y1m =

= 24 + 23(−1)y2m + 22(−1)y1m (11)

3.3 Jogada 3

O raciocınio e analago ao utilizado para encontrar a relacao (10) e nos permite concluirque

SJm(y1m , y2m , y3m) = 24+ 23[(−1)y1m+ (−1)y2m+

+ (−1)y3m ]− 22 [2(−1)y1m + (−1)y2m ] + 21(−1)y1m (12)

ou, distribuindo os coeficientes e desenvolvendo as adicoes e subtracoes,

SJm(y1m , y2m , y3m) = 24 + 23[(−1)y1m + (−1)y2m+

+ (−1)y3m ]− 22 [2(−1)y1m + (−1)y2m ] + 21(−1)y1m

= 24 + 23(−1)y3m + 22(−1)y2m + 21(−1)y1m (13)

3.4 Jogada 4Seguindo o mesmo procedimento utilizado na subsecao 3.2 teremos:

SJm(y1m , y2m , y3m , y4m) = 24 + 23[(−1)y1m + (−1)y2m + (−1)y3m + (−1)y4m ]− 22[3(−1)y1m+

+ 2(−1)y2m + (−1)y3m ] + 21 [3(−1)y1m + (−1)y2m ]− 20(−1)y1m (14)

ou, simplificadamente,

SJm(y1m , y2m , y3m , y4m) = 24 + 23(−1)y4m + 22(−1)y3m + 21(−1)y2m + 20(−1)y1m (15)

3.4.1 Exemplo 1

Os jogadores J1 e J2 se reuniram para algumas partidas do Jogo dos Palitos. Inici-almente, cada um tem em maos 24 = 16 palitos. Eles tiram o par-ımpar (jogada 1) emque J2 ganha e recebe a metade do que J1 tem em maos, isto e, 16

2= 8 palitos. Assim

J2 tem 16 + 8 = 24 palitos e J1 tem 8 palitos. Como nao tem soma ımpar, seguem parauma nova disputa (jogada 2) tirando o par-ımpar, em que J1 vence e recebe a metadedo que J2 tem, isto e, 24

2= 12. Neste ponto J1 soma 8 + 12 = 20 palitos e J2 fica com

12 palitos. Ainda nao ha soma ımpar, outra disputa ocorre (jogada 3) e no par-ımpar J2

ganha, o que o faz receber a metade do que J1 tem 202

= 10. Agora J2 soma 12 + 10 = 22palitos e J1 fica com 10 palitos. Nao ha soma ımpar, eles seguem disputando (jogada 4)e J1 perde novamente na disputa de par-ımpar o que faz J2 recebe a metade do que seuoponente tem 10

2= 5. Assim, J2 soma 22 + 5 = 27 palitos e J1 5. Conforme as regras

do jogo, por aparecer uma soma ımpar de palitos, ocorre o fim do jogo, em que J2 vencea partida. A Tabela 1 expressa os resultados obtidos no decorrer da partida (em que ascores expressam vitoria e derrota na disputa do par-ımpar):

J1 J2

jogada 0 16 16

jogada 1 162

= 8 16 + 8 = 24

jogada 2 8 + 12 = 20 242

= 12

jogada 3 202

= 10 10 + 12 = 22

jogada 4 102

= 5 22 + 5 = 27

Tabela 1

Seguindo a relacao que propomos, a Tabela 2 destaca as variaveis de vitoria e derrota dojogo:

Jm J1 J2

y1m 1 2

y2m 2 1

y3m 1 2

y4m 1 2

(y1m , y2m , y3m , y4m) (1,2,1,1) (2, 1, 2, 2)

SJm SJ1(1, 2, 1, 1) = 5 SJ2(2, 1, 2, 2) = 27

Tabela 2

Substituindo os valores acima na relacao (15), teremos:

SJ1(1, 2, 1, 1) = 24 + 23(−1)1 + 22(−1)1 + 21(−1)2 + 20(−1)1 =

= 16− 8− 4 + 2− 1 = 5

SJ2(2, 1, 2, 2) = 24 + 23(−1)2 + 22(−1)2+

+ 21(−1)1 + 20(−1)2 = 16 + 8 + 4− 2 + 1 = 27

Assim, os valores SJ1(1, 2, 1, 1) = 5 e SJ2(2, 1, 2, 2) = 27 nos permitem obter o resultadoda partida considerando apenas os resultados especıficos de cada jogada. Vale o destaque,o jogo e decidido exclusivamente na ultima jogada, pois nela o jogador vencedor somaraa metade do que seu oponente tiver com o que tiver em maos, mas o jogador perdedorapenas cedera metade do que tem, o que o fara ter uma soma menor, sempre.

4 Discussao dos Resultados

4.1 Jogos com 27 palitos

Obtivemos na secao 3.4 a relacao (15) para um jogo com 24 palitos. Evidentemente,em um jogo inicializado com esta quantidade de palitos, vimos que seu fim se dara naquarta jogada, pois nela ambos os jogadores terao uma soma ımpar de palitos em maos,fato confirmado pela presenca do numero ımpar 20(−1)y1m nesta relacao. Considerandoeste resultado, se fizermos

2 · SJm(y1m , y2m , y3m , y4) = 2 · [24 + 23(−1)y4m + 22(−1)y3m + 21(−1)y2m + 20(−1)y1m ] =

= [25 + 24(−1)y4m + 23(−1)y3m + 22(−1)y2m + 21(−1)y1m ] (16)

Nao e difıcil observar que esta relacao seria equivalente aquela que obterıamos seutilizassemos os procedimentos presentes na secao 3 para um jogo inicializado com 25

palitos. Assim, pelos termos presentes em (16) observamos que em tal jogo seu fim aindanao teria ocorrido, pois nao ha numero ımpar presente; em tal jogo estarıamos na jogada4 pois temos quatro variaveis de vitoria e derrota presentes. Basta entao imaginar umaquinta jogada acontecendo e, seguindo o processo utilizado na subsecao 3.2, teremos:

2 · SJm(y1m , y2m , y3m , y4m) = SJm(y1m , y2m , y3m , y4m , y5m) =

= 25 + 24(−1)y5m + 23(−1)y4m + 22(−1)y3m + 21(−1)y2m + 20(−1)y1m (17)

que e a relacao para um jogo com 25 palitos. Repetindo este procedimento, teremos paraum jogo com 27 palitos a relacao:

SJm(y1m , . . . , y7m) = 27 + 26(−1)y7m+

+ 25(−1)y6m + 24(−1)y5m + 23(−1)y4m+

+ 22(−1)y3m + 21(−1)y2m + 20(−1)y1m (18)

Para esclarecer o procedimento utilizado acima, ao obtermos uma relacao para um jogocom 25 palitos partindo da relacao de um jogo com 24 palitos, utilizemos o Exemplo 1da subsecao 3.4.1. Como multiplicamos toda a relacao por 2, fazemos o mesmo para osresultados obtidos ate a jogada 4. Veja a Tabela 3:

J1 J2

jogada 0 2 · 16 = 32 = 25 2 · 16 = 32 = 25

jogada 1 2 · 8 = 16 2 · 24 = 48

jogada 2 2 · 20 = 40 2 · 12 = 24

jogada 3 2 · 10 = 20 2 · 22 = 44

jogada 4 2 · 5 = 10 2 · 27 = 54

Tabela 3

Portanto, na jogada 4 J1 soma 10 palitos e J2 54 palitos, o que, conforme regras do jogo,nao implica em fim da disputa, pois ainda nao tem soma ımpar em maos. Deve assimocorrer mais uma jogada (jogada 5), no caso, supomos que J1 ganha (para evidenciar oque destamos ao final do Exemplo 1 na subsecao 3.4.1, a saber, que o jogo e decididoexclusivamente na ultima jogada) e J2 perde:

J1 J2

jogada 0 2 · 16 = 32 = 25 2 · 16 = 32 = 25

jogada 1 2 · 8 = 16 2 · 24 = 48

jogada 2 2 · 20 = 40 2 · 12 = 24

jogada 3 2 · 10 = 20 2 · 22 = 44

jogada 4 2 · 5 = 10 2 · 27 = 54

jogada 5 10 + 27 = 37 542

= 27

Tabela 4

Temos agora o fim da partida, pois os jogadores tem uma soma ımpar de palitos em maos.Utilizando a relacao (17) para as variaveis de vitoria e derrota, temos: SJ1(1, 2, 1, 1, 2) = 37e SJ2(2, 1, 2, 2, 1) = 27.

4.2 Jogos com 2n palitos

Os procedimentos apresentandos na subsecao 4.1 nos levam as relacoes para jogos comn palitos. Seguem as relacoes, onde n ∈ N− {0} e m ∈ {1, 2}:

SJm(y1m) = 21 + 20(−1)y1m (19)

SJm(y1m , y2m) = 22 + 21(−1)y2m + 20(−1)y1m (20)

SJm(y1m , y2m , y3m) = 23 + 22(−1)y3m + 21(−1)y2m + 20(−1)y1m (21)

......

SJm(y1m , ..., ynm) = 2n + 2n−1(−1)ynm + 2n−2(−1)y(n−1)m + · · ·+ 21(−1)y2m + 20(−1)y1m

(22)

4.3 O Triangulo de Pascal e as Relacoes encontradas

E natural procurarmos padroes em tudo aquilo que resolvemos e relacionamos. Ealgo inerente a forma do pensamento humano. Em busca destes padroes percebemos nasrelacoes encontradas a presenca de um “link” com o popularmente conhecido Triangulo dePascal. Vejamos a relacao (14), que fornece resultados para um jogo com 24 palitos:

SJm(y1m , y2m , y3m , y4m) = 24+

+23[1(−1)y1m+1(−1)y2m+1(−1)y3m+1(−1)y4m ]−− 22[3(−1)y1m + 2(−1)y2m + 1(−1)y3m ]+

+ 21 [3(−1)y1m + 1(−1)y2m ]−− 1(−1)y1m (23)

Observamos os termos do Triangulo de Pascal (Figura 1).

11 11 2 11 3 3 1

Figura 1

E nıtida a relacao entre os coeficientes da nossa relacao e os termos do Triangulo de Pascal.Reescrevendo-o em termos de binomios de Newton, teremos que a relacao (14) pode serexpressa da seguinte forma:

SJm(y1m , y2m , y3m , y4m) = 24+

+ 23

[(3

0

)(−1)y1m +

(2

0

)(−1)y2m +

(1

0

)(−1)y3m +

(0

0

)(−1)y4m

]

− 22

[(3

1

)(−1)y1m +

(2

1

)(−1)y2m +

(1

1

)(−1)y3m

]+

+ 21

[(3

2

)(−1)y1m +

(2

2

)(−1)y2m

]−

−(

3

3

)(−1)y1m (24)

Para um jogo com 25 palitos, utilizando o procedimento apresentado na subsecao 4.1,teremos na relacao (23):

2 · SJ(y1m , y2m , y3m , y4m) = 25 + 24[1(−1)y1m+

+ 1(−1)y2m + 1(−1)y3m + 1(−1)y4m ]−− 23 [3(−1)y1m + 2(−1)y2m + 1(−1)y3m ] +

+ 22 [3(−1)y1m + 1(−1)y2m ]− 21(−1)y1m (25)

Ha mais uma jogada no jogo, entao, sem perda de generalidade, basta supor que ojogador Jm perdeu a disputa e seguirmos para a relacao desta quinta jogada, pois comovimos, as relacoes de vitoria e derrota dos jogadores serao equivalentes:

2 · SJm(y1m , y2m , y3m , y4m) = 25 + 24[1(−1)y1m+

+ 1(−1)y2m + 1(−1)y3m + 1(−1)y4m + 1(−1)y5m ]−− 23 [4(−1)y1m + 3(−1)y2m + 2(−1)y3m + 1(−1)y4m ] +

+ 22 [6(−1)y1m + 3(−1)y2m + 1(−1)y3m ]−− 21 [4(−1)y1m + 1(−1)y2m ] + 1(−1)y1m (26)

Observando os coeficientes, temos o Triangulo de Pascal acrescido de uma linha (Figura2).

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1

Figura 2

Utilizando a presenca do Triangulo de Pascal e os numeros binomiais, tambem poderemoster as relacoes apresentadas na subsecao 4.2 escritas conforme segue:

SJm(y1m , ..., ynm) = 2n +n−1∑k=0

(−1)k(2n−k−1

) [n−1∑i=k

(i

k

)(−1)y(n−i)m

](27)

com n ∈ N − {0} e m ∈ {1, 2}. Para um dado n, ao desenvolvermos esta expressaoteremos uma relacao com a mesma estrutura daquelas aprensetadas na subsecao 4.2,porem os coeficientes estarao representados na forma binomial, como na relacao (24).

4.4 O fim de um jogo com 2n palitos

As relacoes do tipo (22) evidenciam que jogos com 2n palitos terminarao sempre na n-esima jogada pois, apos n repeticoes sucessivas do processo apresentado nas subsecoes 3.1,3.2, 3.3 e 3.4, teremos um termo ımpar ao final do somatorio.

4.5 Jogos com t · 2n palitos, t ∈ N− {0}Em nossas analises consideramos tambem jogos inicializados com t ·2n palitos, t ∈ N−

{0}. O procedimento utilizado para estudar as relacoes destes jogos foi aquele apresentadonas subsecoes 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4. Os teoremas seguintes fundamentaram nossos resultados:

Teorema 1 (T. Fundamental da Aritmetica) Todo numero natural maior do que 1ou e primo ou se escreve de modo unico (a menos da ordem de seus fatores) como umproduto de numeros primos.

Teorema 2 Dado um numero natural t > 1, existem primos p1 < · · · < pr e α1, . . . , αr ∈N− {0}, univocamente determinados, tais que t = pα1

1 · pα22 · · · pαrr

Os teoremas mencionados permitem que, escolhendo um t ∈ N, t ≥ 2, teremos em suadecomposicao primos tais que t = 2α1 · pα2

2 · · · pαii · · · pαrr , em que os pi, i ∈ {2, 3, . . . , r},serao maiores que 2. Para um jogo iniciado com t · 2n palitos teremos entao, consideradoos fatores primos, t · 2n = 2α1 · pα2

2 · · · pαrr · 2n = 2α1+n · pα22 · · · pαrr . Consequentemente, a

relacao geral para este jogo e dada por:

SJm(y1m , ..., y(α1+n)m) = (pα22 · · · pαrr ) · [2α1+n + 2α1+n−1(−1)y(α1+n)m + · · ·+ 21(−1)y2m+

+ (−1)y1m ]

(28)

Fazendo q = α1 + n teremos:

SJm(y1m , ..., yqm) = (pα22 · · · pαrr ) · [2q + 2q−1(−1)yqm + · · ·+ 21(−1)y2m + 20(−1)y1m ] (29)

com q ∈ N− {0} e m ∈ {1, 2}.Para esclarecer, considere um jogo com 22 palitos, em que

SJm(y1m , y2m) = 22 + 21(−1)y2m + 20(−1)y1m

e um t = 252 = 22 · 32 · 50 · 71. Ao multiplicar a relacao do jogo por t temos:

t · SJm(y1m , y2m) = t · 22 + t · 21(−1)y2m + t · 20(−1)y1m

= 252 · SJm(y1m , y2m)

= 252 · 22 + 252 · 21(−1)y2m + 252 · 20(−1)y1m

=(22 · 32 · 71

)· SJm(y1m , y2m)

=(22 · 32 · 71

)· 22 +

(22 · 32 · 71

)· 21(−1)y2m +

(22 · 32 · 71

)· 20(−1)y1m

=(32 · 71

)· 22 · 22 +

(32 · 71

)· 22 · 21(−1)y2m +

(32 · 71

)· 22 · 20(−1)y1m

=(32 · 71

)· 24 +

(32 · 71

)· 23(−1)y2m +

(32 · 71

)· 22(−1)y1m

=(32 · 71

)· [24 + 23(−1)y2m + 22(−1)y1m ]

Esta relacao lembra aquela para um jogo com 24 palitos, como vimos na secao 3, de-senvolvida para as duas primeiras jogadas apenas, isto e, ainda ocorrerao 2 jogadas ateque chegue o fim da partida. Porem, este jogo foi iniciado com cada jogador tendo(32 · 50 · 71) · 22+2 = (32 · 71) · 24 = 1008 palitos. Desenvolvendo a relacao acima com osmesmos procedimentos da secao 3 expressamos a soma de cada jogador por:

SJm(y1m , y2m , y3m , y4m) = (32 · 71) · [24 + 23(−1)y4m + 22(−1)y3m + 21(−1)y2m + 20(−1)y1m ]

Esta e a relacao para um jogo com 1008 palitos, em que o seu final sempre se dara naquarta jogada. Concluımos que jogos iniciados com t ·2n palitos, t ımpar, terminarao comn jogadas.

Para exemplificar, considere um jogo com 24 palitos. Seja t = 9 e considere os resulta-dos do jogo apresentado na subsecao 3.4.1, Exemplo 1. Na Tabela 5 temos os resultadosdeste jogo multiplicados por 9. Vejamos que isto nao altera o numero de jogadas queantecedem o fim do jogo.

J1 J2

jogada 0 9 · 24 = 144 9 · 24 = 144

jogada 1 9 · 8 = 72 9 · 24 = 216

jogada 2 9 · 20 = 180 9 · 12 = 108

jogada 3 9 · 10 = 90 9 · 22 = 198

jogada 4 9 · 5 = 45 9 · 27 = 243

Tabela 5

Assim, este jogo sempre termina na jogada 4.

5 Referencias

[1] FRIEDMAN, James W., Game theory with aplications to economics, Oxford Univer-sity Press, Inc., New York, 1991.[2] HEFEZ, Abramo, Elementos de Aritmetica - 2a Edicao - Sociedade Brasileira de Ma-tematica, Brasil, 2005.[3] http://www.obmep.org.br, acesso em Abril/2008.

Continuidade e Compacidade no Rn

Giselle Moraes Resende Pereira∗, Luciana Yoshie Tsuchiya∗

e Geraldo Marcio de Azevedo Botelho†

Abril de 2009

1 Introducao

A topologia emergiu no seculo vinte como um tema que unifica grande parte da matematica,

de certa forma como a filosofia procura coordenar todo o conhecimento. E um ramo da

matematica no qual sao estudadas, com grande generalidade, as nocoes de limite, de con-

tinuidade, de proximidade e as ideias relacionadas.

Para que se tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma

funcao, o domınio e o contradomınio da mesma devem possuir certo tipo de estrutura que

permita de alguma forma expressar a nocao de proximidade. E esse tipo de estrutura que

torna um conjunto um espaco topologico. Em outras palavras, espacos topologicos sao

conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em proximidade,

e portanto faz sentido falar em limites de sequencias e limites e continuidade de funcoes.

Com a nocao de distancia induzida pelo valor absoluto, o corpo ordenado completo

dos numeros reais e o espaco topologico mais frequentemente usado e por isso e utilizado

como modelo para ambientes mais gerais. No contexto da reta introduz-se os conceitos

topologicos basicos: ponto interior, conjunto aberto, ponto de aderencia, ponto de acu-

mulacao, conjunto fechado, sequencia convergente, funcao contınua, conjunto compacto,

etc. O proximo passo e considerar os espacos euclidianos Rn com n ∈ N. O objetivo

deste trabalho e explorar a topologia dos espacos Rn e mostrar, em particular, que nesse

contexto os conceitos de funcao contınua e de conjunto compacto gozam das mesmas

equivalencias que sao tao uteis no caso da reta. Essas equivalencias, alem de conferirem

flexibilidade aos respectivos conceitos e de servirem para provar diversos resultados im-

portantes, abrem a porta para a generalizacao desses conceitos no ambito de espacos

topologicos, onde nem sempre a nocao de distancia se encontra disponıvel.

∗Alunas do PET-FAMAT†Orientador

2 Topologia no Rn

Definicao 2.1 Seja n ∈ N. O espaco euclidiano n-dimensional Rn e o produto cartesiano

de n fatores iguais a R : Rn = R×(n)· · · ×R.

Entao todo elemento x ∈ Rn e da forma x = (x1, . . . , xn), onde para cada i = 1, . . . , n

o numero xi ∈ R e chamado de i-esima coordenada de x.

Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) temos x = y se e somente se x1 = y1, . . . , xn = yn.

Exemplo 2.2 R1 = R e o corpo ordenado completo dos numeros reais.

Exemplo 2.3 R2 e o plano.

Exemplo 2.4 R3 e o espaco euclidiano tridimensional.

Chamaremos x ∈ Rn de ponto ou vetor x.

Para os vetores x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) e α ∈ R, o conjunto Rn se torna

um espaco vetorial real com as operacoes

x+ y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) e α · x = (αx1, . . . , αxn).

Se x = (x1, ..., xn) entao, o numero nao-negativo ‖x‖ =√x2

1 + . . .+ x2n chama-se a

norma euclidiana (ou comprimento) do vetor x.

2.1 Propriedades da norma

1- ‖x‖ > 0 para todo x ∈ Rn e ‖x‖ = 0⇐⇒ x = 0 = (0, . . . , 0);

2- ‖αx‖ = |α| ‖x‖ para todos x ∈ Rn e α ∈ R;

3- ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ para todos x, y ∈ Rn (desigualdade triangular).

2.2 Bolas

Definicao 2.5 (i) A bola aberta de centro a ∈ Rn e raio r > 0 e o conjunto

B(a; r) = {x ∈ Rn : ‖x− a‖ < r}.

(ii) A bola fechada de centro a ∈ Rn e raio r > 0 e o conjunto

B[a; r] = {x ∈ Rn : ‖x− a‖ 6 r}.

(iii) A esfera de centro a ∈ Rn e raio r > 0 e o conjunto

S[a; r] = {x ∈ Rn : ‖x− a‖ = r}.

Note que B[a; r] = B(a; r) ∪ S[a; r].

2.3 Conjuntos limitados

Definicao 2.6 (i) Dizemos que um conjunto X ⊂ Rn e limitado quando existe k > 0 tal

que X esta contido na bola B[0; k], ou seja ‖x‖ 6 k para todo x ∈ X.

(ii) Uma aplicacao f : X −→ Rn diz-se limitada no conjunto X ⊂ Rn quando f(X) ⊂ Rn

e um conjunto limitado, isto e, quando existe c > 0 tal que ‖f(x)‖ 6 c para todo x ∈ X.

2.4 Conjuntos abertos

Definicao 2.7 (i) Seja a ∈ X ⊂ Rn. Dizemos que o ponto a e interior ao conjunto

X quando para algum r > 0 tem-se B(a; r) ⊂ X. Isso siginifica que todos os pontos

suficientementes proximos de a tambem pertencem a X.

(ii) O conjunto int X de todos os pontos interiores a X chama-se interior do conjunto

X. Quando a ∈ intX, dizemos que X e uma vizinhanca de a.

(iii) Um conjunto A ⊂ Rn chama-se aberto quando todos os seus pontos sao pontos

interiores, isto e quando A = intA.

Exemplo 2.8 Toda bola aberta B = B(a; r) e um conjunto aberto.

De fato: para todo x ∈ B temos que ‖x− a‖ < r. Temos que mostrar que existe um

s > 0 tal que B(x; s) ⊂ B.

Escolhendo s = r − ‖x− a‖ > 0, vejamos que B(x; s) ⊂ B.

De fato, para todo y ∈ B(x; s) temos que

‖y − x‖ < s = r − ‖x− a‖ =⇒

‖y − x‖+ ‖x− a‖ < s = r − ‖x− a‖+ ‖x− a‖ =⇒

‖(y − x) + (x− a)‖+ ≤ ‖y − x‖+ ‖x− a‖ < r =⇒

‖y − a‖ < r.

Disso segue que y ∈ B(a; r), donde concluımos que B(x; s) ⊂ B.

Teorema 2.9 (a) O Rn e o conjunto vazio sao abertos.

(b) Se A1,A2, . . . , An sao abertos em Rn, entao a interseccao A = A1∩A2∩ · · · ∩An e um

conjunto aberto.

(c) Se (Aλ)λ∈L e uma famılia arbitraria de conjuntos abertos Aλ ⊂ Rn, entao a uniao

A =⋃λ∈L

Aλ e um conjunto aberto.

Demonstracao.

(a) E imediato que o Rn e aberto. Que o vazio e aberto decorre do fato de que um

conjunto so pode deixar de ser aberto se existir nele algum ponto que nao seja interior.

Como nao existe ponto algum em ∅, concluımos que ele e aberto.

(b) Seja a ∈ A1 ∩A2. Entao a ∈ A1 e a ∈ A2. Como A1 e A2 sao abertos, existem ε1 > 0

e ε2 > 0 tais que B(a; ε1) ⊂ A1 e B(a; ε2) ⊂ A2. Seja ε = mın{ε1, ε2}. Segue entao que

B(a; ε) ⊂ A1 e B(a; ε) ⊂ A2, logo B(a; ε) ⊂ A1 ∩ A2. Assim, todo ponto a ∈ A1 ∩ A2 e

interior. Portanto o conjunto A1 ∩ A2 e um conjunto aberto.

Agora seja A = A1 ∩ · · · ∩ Ak, onde Ak ⊂ Rn e aberto para k = 1, . . . , n. Do que vimos

logo acima segue que A e um conjunto aberto. Basta fazermos (A1 ∩ A2) ∩ A3 e assim

sucessivamente, obtemos que intersecoes finitas de conjuntos abertos sao abertos.

(c) Seja x ∈ A =⋃λ∈LAλ. Entao existe um λ ∈ L tal que x ∈ Aλ. Como Aλ e aberto,

existe um ε > 0 tal quer B(x; ε) ⊂ Aλ ⊂ A. Logo todo ponto x ∈ A e um ponto interior.

Portanto A =⋃λ∈L

Aλ e aberto.

Observacao 2.10 Seja X ⊂ Rn. Dizemos que um subconjunto A ⊂ X e aberto em X

quando cada ponto a ∈ A e centro de uma bola aberta B(a; r) tal que B(a; r) ∩ X ⊂ A.

Ou seja, os pontos de X que estao sufcientemente proximos de cada a ∈ A pertencem a

A. E facil ver que um conjunto A ⊂ X e aberto em X se e somente se existe um aberto

U em Rn tal que A = U ∩X.

2.5 Sequencias em Rn

Definicao 2.11 Uma sequencia em Rn e uma funcao x : N −→ Rn que associa a cada

numero natural k um ponto xk ∈ Rn.

Usaremos a notacao (xk) para indicar uma sequencia cujo k-esimo termo e xk.

Para cada i = 1, . . . , n, denotamos por xik a i -esima coordenada do termo xk, isto e

xk = (x1k, x

2k, . . . , x

nk).

Entao dar uma sequencia em Rn equivale a dar as n sequencias de numeros reais

(x1k), . . . , (x

nk).

Definicao 2.12 (i) A sequencia (xk) e limitada se existe uma bola em Rn que contem

todos os termos xk, ou seja se existe c > 0 tal que ‖xk‖ ≤ c para todo k ∈ N.

(ii) Uma subsequencia de uma sequencia x = (xk), e a restricao da funcao x a um

subconjunto infinito N′ = {k1 < k2 < · · · < km < · · · } de N.

(ii) Dizemos que a e o limite da sequencia (xk) de Rn se para qualquer numero real ε > 0,

existe um k0 ∈ N tal que para todo k > k0 temos a condicao ‖xk − a‖ < ε, ou seja,

xk ∈ B(a; ε) sempre que k > k0.

Usaremos a seguinte notacao:

a = limxk.

Pode-se tambem usar a notacao: xk → a.

(iv) Dizemos que uma sequencia e convergente quando ela possui limite.

Exemplo 2.13 Seja (xn) =

(1

n

), vista como uma sequencia R. Temos que limn→∞

1

n=

0, ou seja, (xn) =

(1

n

)converge para 0. De fato, dado ε > 0, podemos obter n0 ∈ N tal

que n0 >1

ε. Entao n > n0 =⇒ 1

n<

1

n0

< ε, ou seja, n > n0 =⇒∣∣∣∣ 1n − 0

∣∣∣∣ < ε.

2.6 Conjuntos fechados

Definicao 2.14 (i) Dizemos que o ponto a e aderente ao conjunto X ⊂ Rn quando existe

uma sequencia de pontos xk ∈ X tais que lim xk = a.

(ii) Chamamos de fecho do conjunto X ⊂ Rn ao conjunto X formado por todos os pontos

aderentes a X. Portanto a ∈ X ⇐⇒ a = lim xk com xk ∈ X.

(iii) Um conjunto F ⊂ Rn e fechado quando F = F, ou seja, quando o limite de toda

sequencia convergente de pontos de F e ainda um ponto de F.

Todo ponto x ∈ X e aderente a X pois e limite da sequencia constante (x, x, . . .).

Assim X ⊂ X qualquer que seja X ⊂ Rn.

Definicao 2.15 Dizemos que a ∈ Rn e ponto de acumulacao do conjunto X ⊂ Rn quando

toda bola de centro a contem uma infinidade de pontos de X.

Teorema 2.16 O conjunto F ⊂ Rn e fechado se, e somente se, F c = Rn − F e aberto.

Demonstracao. F e fechado⇐⇒ Todo ponto aderente a F pertence a F

⇐⇒ Se a ∈ Rn − F entao a nao e aderente a F⇐⇒ Se a ∈ Rn − F entao existe uma bola aberta B centrada em a tal que B ∩ F = ∅⇐⇒ Se a ∈ Rn − F entao existe uma bola aberta B centrada em a tal que B ⊂ Rn − F⇐⇒ Todo ponto a ∈ Rn − F e interior a Rn − F⇐⇒ Rn − F = F c e aberto.

3 Continuidade

Definicao 3.1 (i) Uma aplicacao f : X → Rn, definida no conjunto X ⊂ Rm, associa a

cada ponto x ∈ X sua imagem f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)).

(ii) Uma funcao f : X −→ Rn diz-se contınua no ponto a ∈ X quando para cada ε > 0

pode-se obter um δ > 0 tal que ‖f(x)− f(a)‖ < ε sempre que ‖x− a‖ < δ e x ∈ X.

Observacao 3.2 Equivalentemente, f e contınua no ponto a ∈ X se para cada ε > 0

dado, existe um δ > 0 tal que f(B(a; δ) ∩X) ⊂ B(f(a); ε).

Definicao 3.3 Dizemos que f e contınua quando e contınua em todos os pontos do seu

domınio.

Notacao. Se A e B sao conjuntos arbitrarios, f : A −→ B e um funcao e C ⊂ B,escrevemos

f−1(C) = {x ∈ A : f(x) ∈ C}

e dizemos que f−1(C) e a imagem inversa de C pela funcao f .

Teorema 3.4 Seja X ⊂ Rm. Uma aplicacao f : X −→ Rn e contınua se e somente se a

imagem inversa f−1(A) de todo conjunto aberto A ⊂ Rn for um subcojunto aberto em X.

Demonstracao. Suponha que f seja contınua e que A ⊂ Rn seja aberto. Devemos

mostrar que f−1(A) = {x ∈ X : f(x) ∈ A} e aberto em X.

Para isso seja x0 ∈ f−1(A). Entao f(x0) ∈ A. Como A e aberto, existe ε > 0 tal que

B(f(x0), ε) ⊆ A. Como f e contınua em x0, existe δ > 0 tal que ‖f(x)− f(x0)‖ < ε

sempre que ‖x− x0‖ < δ e x ∈ X. Entao f(B(x0, δ) ∩X) ⊆ B(f(x0), ε) ⊆ A e portanto

B(x0, δ) ∩X ⊆ f−1(A). Segue que x0 e ponto interior de f−1(A). Logo f−1(A) e aberto

em X.Reciprocamente, suponha que f−1(A) = {x ∈ X : f(x) ∈ A} e aberto em Rm para

qualquer A ⊆ Rn aberto. Entao para todo aberto A em Rn existe U aberto em Rm tal

f−1(A) = X ∩ U . Mostremos que f e contınua. Sejam a ∈ X um ponto qualquer e ε > 0

dado. Como a bola B(f(a), ε) e um aberto, existe um aberto U em Rm tal que X ∩U =

f−1 (B(f(a), ε)) . Por hipotese f−1(B(f(a), ε)) e aberto em X. Como f(a) ∈ B(f(a), ε)

entao a ∈ f−1(B(f(a), ε)) = X ∩U . Logo a ∈ U , e como U e aberto, existe δ > 0 tal que

B(a, δ) ⊂ U. Disso segue que

f(B(a, δ) ∩X) ⊆ f(U ∩X) = f(f−1(B(f(a), ε))) = B(f(a), ε).

Logo f e contınua em a. Como a e arbitrario temos que f e contınua.

Conclusao. Segue do teorema acima que, para definir continuidade, nao e imprescindıvel

a nocao de distancia. Se soubermos quem sao os abertos dos espacos envolvidos, a carac-

terizacao acima ensina como definir continuidade. E a colecao de abertos de um espaco

pode ser dada usando-se o Teorema 2.9.

4 Compacidade

Definimos compacidade em Rn da mesma maneira que o fazemos na reta:

Definicao 4.1 Um subconjunto K do Rn e dito compacto se K for fechado e limitado.

A compacidade, entre outras utilidades, garante que funcoes definidas em compactos

apresentam um comportamento mais regular e conveniente. Para demonstrar varias

dessas boas propriedades garantidas pela compacidade, a definicao nao e suficiente, tor-

nando necessaria uma investigacao das consequencias da compacidade. Duas dessas con-

sequencias tem interesse especial, pois, alem de flexibilizar a utilizacao da compacidade,

sao tambem caracterizacoes desse importante conceito. Descreveremos sob forma de

equivalencias essas duas caracterizacoes.

A primeira caracterizacao afirma que K e compacto se e somente se toda cobertura

aberta de K admite subcobertura finita. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, toda

sequencia em um compacto K admite subsequencia convergente em K. A segunda carac-

terizacao garante a recıproca desse resultado, isto e: K e compacto se e somente se toda

sequencia em K admite subsequencia convergente em K.

Definicao 4.2 (i) Seja K um subconjunto do Rn. Uma cobertura aberta de K e uma

colecao A de conjuntos abertos cuja uniao contem K.

(ii) Uma subcobertura finita de A, se existir, e uma sub-colecao finita desses conjuntos

que continua contendo A.

Exemplo 4.3 Na reta R, os intervalos C1 =(0, 2

3

), C2 =

(13, 1)

e C3 =(

12, 9

10

)con-

stituem uma cobertura C = (C1, C2, C3) do intervalo[

14, 3

4

]. De fato,

[14, 3

4

]⊂ C1∪C2∪C3 =

(0, 1) . Tomando C ′ = {C1, C3}, temos que C ′ e uma subcobertura de C, pois ainda vale[14, 3

4

]⊂ C1 ∪ C3 =

(0, 9

10

).

Teorema 4.4 (Bolzano-Weierstrass) Toda sequencia limitada em Rn admite subsequenciaconvergente.

Demonstracao. Seja (xk) uma sequencia limitada em Rn. As primeiras coordenadas

dos seus termos formam uma sequencia limitada (xk1)k1∈N de numeros reais, a qual, pelo

teorema de Bolzano-Weierstrass na reta, possui uma subsequencia convergente. Isto e,

existem um subconjunto infinito N1 ⊂ N e um numero real a1 tais que limk1∈N1

x1k1

= a1.

Por sua vez, a sequencia (x2k2

)k2∈N1 , formada pelas segundas coordenadas dos vetores

(xk)k∈N1 , e limitada em R e portanto possui subsequencia convergente. Assim existem

um subconjunto infinito N2 ⊂ N1 e um numero real a2 tais que limk2∈N2

x2k2

= a2. Repetimos

o procedimento ate obtermos n conjuntos infinitos N ⊃ N1 ⊃ · · · ⊃ Nn e numeros reais

a1, a2, . . . , an tais que limki∈Ni

xiki = ai para i = 1, 2, . . . , n. Tomando a = (a1, a2, . . . , an)

segue imediatamente que limkn∈Nn

xkn = a, o que completa a demonstracao do teorema.

Teorema 4.5 (Cantor): Seja K1 ⊃ · · · ⊃ Kk ⊃ · · · uma subsequencia decrescente de

compactos nao vazios em Rn. Existe pelo menos um ponto a ∈ Rn que pertence a todos

os Kk, ou seja,∞⋂k=1

Kk 6= ∅.

Demonstracao. Para cada k ∈ N escolhamos um ponto xk ∈ Kk. A sequencia (xk) e

portanto limitada, logo possui uma subsequencia (xr)r∈N′ que converge para a = limr∈N ′

xr.

Mostremos que a ∈ Kk para todo k ∈ N. De fato, dado k, temos Kr ⊂ Kk sempre que

r ∈ N′ e r > k. Assim, r ∈ N′, r > k ⇒ xr ∈ Kk. Segue-se que a = limr∈N ′

xr pertence ao

conjunto fechado Kk.

Provaremos agora as caracterizacoes de compacidade citadas acima:

Teorema 4.6 As seguintes afirmacoes sobre um conjunto K ⊂ Rn sao equivalentes:

1- K e compacto.

2- Toda cobertura aberta de K admite subcobertura finita.

3- Todo subconjunto infinito de pontos de K possui um ponto de acumulacao pertencente

a K.4- Toda sequencia de pontos (xk) de K possui uma subsequencia que converge para um

ponto de K.

Demonstracao. (1) =⇒ (2) (Teorema de Borel Lebesgue) Sabemos por hipotese que

K ⊂ Rn e compacto. Suponhamos, por absurdo, que exista uma cobertura aberta (Aλ)

de K que nao admite subcobertura finita.

Como K e limitado, K pode ser escrito como uma uniao finita de compactos todos eles

de diametro menor que 1. Segue entao que pelo menos um deles, o qual chamaremos de

K1, e tal que K1 ⊂ ∪Aλ e nao admite subcobertura finita. Da mesma forma podemos

escrever K1 como uniao finita de compactos todos eles de diametro menor que1

2. Segue

que pelo menos um deles, o qual chamaremos de K2, e tal que K2 ⊂ K1 ⊂⋃λAλ e nao

admite subcobertura finita. Prosseguindo assim, obtemos uma sequencia decrescente de

compactos K1 ⊃ K2 ⊃ · · · ⊃ Kk ⊃ · · · tal que cada Kk tem diametro menor que1

ke tal

que nenhum deles esta contido numa uniao finita de conjuntos Aλ.

Em particular, todos os Kk sao nao vazios. Pelo teorema de Cantor, existe a ∈∞⋂k=1

Kk.

Para algum λ, tem-se B(a, 1k) ⊂ Aλ para algum k.

Como a ∈ Kk e o diametro de Kk e menor que1

k, concluimos que Kk ⊂ B(a, 1

k), donde

Kk ⊂ Aλ. Mas isso e uma contradicao, pois nenhum Kk admite subcobertura finita. Logo

toda subcobertura aberta de K admite subcobertura finita.

(2) =⇒ (3) Seja X ⊆ K um subconjunto de K sem pontos de acumulacao em K. Entao

para todo x ∈ K, x nao e ponto de acumulacao de X. Portanto para cada x ∈ X existe

Ax = B(x, δx), δx > 0, tal que B(x, δ) ∩ X = {x} ou ∅. E claro que K ⊆⋃x∈X

B(x, δx),

logo por (2) podemos extrair uma subcobertura finita, isto e, existem x1, x2, . . . , xk ∈ Ktais que K ⊆ Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axk . Em particular, essa subcobertura cobre X. Assim,

X = (X ∩ Ax1) ∪ (X ∩ Ax2) ∪ · · · ∪ (X ∩ Axk).

Logo X = ∅ ou X possui no maximo k elementos, e portanto X e finito. Logo subcon-

juntos infinitos de K possuem pontos de acumulacao.

(3) =⇒ (4) Seja (xk) uma sequencia em K. Existem duas possibilidades para o con-

junto X = {x1, . . . , xk, . . .}: X e finito ou infinito.

Suponhamos primeiramente que X e finito. Entao existe pelo menos um xk que se repete

uma infinidade de vezes, logo temos uma subsequencia constante e portanto convergente.

Suponhamos agora que X e infinito. Por (3) existe a ∈ K ponto de acumulacao de X.

Entao para todo δ > 0 a bola B(a, δ) contem uma infinidade de pontos de X. Portanto

contem termos xk com ındices arbitrariamente grandes. Podemos entao formar uma sub-

sequencia (xk)k∈N′ que converge para a ∈ K. Logo toda sequencia de pontos de K possui

uma subsequencia que converge para um ponto de K.

(4) =⇒ (1) Valendo (4) segue que K e limitado, pois do contrario existiria para cada

k ∈ N um ponto xk ∈ K tal que ‖xk‖ > k. Daı a sequencia (xk) assim obtida nao

possuiria subsequencia limitada, logo nenhuma das suas subsequencias seria convergente.

Alem disso, K e fechado pois se a = limxk com xk ∈ K para todo k ∈ N, entao por (4),

uma subsequencia de (xk) convirgiria para um ponto de K. Mas toda subsequencia de

(xk) converge para a. Logo a ∈ K.

Conclusao. Temos do teorema acima que a condicao de ser fechado e limitado e equiva-

lente a todas as outras condicoes que se deseja para um conjunto compacto. Como ser

fechado e limitado e, dentre todas elas, a mais facil de ser verificada caso a caso, justifica-

se assim a definicao de compacto por essa propriedade. Alem disso, o conceito de limitado

exige a presenca da nocao distancia, ou seja, em ambientes mais gerais pode nao fazer

sentido falar em conjunto limitado. Assim as caracterizacoes acima servem de alternativas

para a definicao de conjunto compacto.

Referencia Bibliograficas

[1] LIMA, E. L. Analise Real. vol. 1 10th ed. IMPA, Rio de Janeiro, 2008

[2] LIMA, E. L. Analise Real. vol. 2 7th ed. IMPA, Rio de Janeiro, 2007

[3] LIMA, E. L. Curso de Analise. vol. 1 12th ed. IMPA, Rio de Janeiro, 2000

[4] LIMA, E. L. Curso de Analise. vol. 2 9th ed. IMPA, Rio de Janeiro, 2000

Compacidade em espacos metricos

Giselle Moraes Resende Pereira∗, Luciana Yoshie Tsuchiya∗

e Geraldo Marcio de Azevedo Botelho†

3 de abril de 2009

1 Introducao

Compacidade e um dos conceitos centrais da topologia. Na reta, um conjunto e com-

pacto se e fechado e limitado. Desde a Analise na Reta sabemos que conjuntos compactos

gozam de propriedades importantes (por exemplo, sequencias em conjuntos compactos

tem subsequencias convergentes e coberturas abertas de compactos admitem subcober-

turas finitas) e que funcoes contınuas definidas em compactos gozam de propriedades

especiais (por exemplo, sao limitadas e assumem maximo e mınimo). Neste trabalho

analisaremos o conceito de compacidade no ambito de espacos metricos. Faremos uma in-

troducao aos espacos metricos com enfase aos espacos lp, que nos serao uteis mais adiante.

A seguir introduzimos os conceitos basicos, como convergencia, conjuntos abertos e fecha-

dos. Entao passamos a analisar o conceito de compacidade. Primeiro mostramos, usando

os espacos lp, que a condicao de ser fechado e limitado nao serve para definir compactos.

Definimos compacidade entao atraves da condicao de toda sequencia ter subsequencia

convergente e no final provamos que tambem vale a propriedade de toda cobertura aberta

admitir subcobertura finita.

2 Espacos Metricos

Definicao 2.1 Um espaco metrico e um par (X, d) onde X e um conjunto e d e uma

metrica em X (ou funcao distancia em X), de modo que d e uma funcao definida em

X ×X que para todo x, y, z ∈ X satisfaz

(M1) d e um valor real, finito e nao negativo,

∗Alunas do PET-FAMAT†Orientador

(M2) d(x, y) = 0 se e somente se x = y,

(M3) d(x, y) = d(y, x),

(M4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (desigualdade triangular)

Para x e y fixos chamamos o numero nao-negativo d(x, y) de distancia de x ate y. As

propriedades de (M1) ate(M4) sao os axiomas da metrica.

Ao inves de (X, d) podemos apenas escrever X se nao houver perigo de confusao.

Exemplo 2.2 A reta real R com a metrica d(x, y) = |x− y|.

Exemplo 2.3 Espaco lp:

Seja p ≥ 1 um numero real fixo. Por definicao, cada elemento do espaco lp e uma sequencia

x = (xj) = (x1, x2, . . .) de numeros tal que |x1|p + |x2|p + · · · converge, assim

∞∑j=1

|xj|p < ∞ (p ≥ 1, fixo) (1)

e a metrica definida por

d(x, y) =

(∞∑

j=1

|xj − yj|p) 1

p

(2)

onde y = (yj) e∞∑

j=1

|yj|p < ∞.

Provaremos a seguir que lp e um espaco metrico. Para isso verificaremos que d(x, y) =(

∞∑j=1

|xj − yj|p) 1

p

satisfaz os quatro axiomas da metrica.

Se a serie∞∑

j=1

|xj − yj|p convergir, entao claramente temos (M1) satisfeito, pois d sera

entao um numero real, nao negativo e finito.

Provaremos, mais adiante, que isso acontece.

Devemos ter que

(∞∑

j=1

|xj − yj|p) 1

p

= 0 se e somente se |xj − yj| = 0; e isso ocorre se

e somente se xj = yj. Portanto temos o axioma (M2) satisfeito.

E obvio que (M3) tambem e satisfeito, pois

d(x, y) =

(∞∑

j=1

|xj − yj|p) 1

p

=

(∞∑

j=1

|yj − xj|p) 1

p

= d(y, x).

Seguiremos os seguintes passos para provar que d(x, y) tambem satisfaz (M4):

(a) Uma inequacao auxiliar,

(b) A desigualdade de Holder,

(c) a desigualdade de Minkowski,

(d) a desigualdade triangular.

Os detalhes sao como se segue:

(a) Dado p > 1, definimos q de forma que

1

p+

1

q= 1. (3)

Usualmente chamamos p e q de conjugados.

De (3) podemos obter entao as seguintes equacoes,

1 =p + q

pq, pq = p + q, (p− 1)(q − 1) = 1. (4)

Assim,

1

p− 1= q − 1,

e disso segue que se u = tp−1, fazendo (u)1

p−1 = (tp−1)1

p−1 , entao u1

p−1 = t.

0

0

b

a

u

t

u = tp-1

0

0

b

a

u

t

u = tp-1

1

2

1

2

Agora, sejam α e β numeros reais positivos. Observando que αβ e a area do retangulo

da figura acima, obtemos por integracao a seguinte desigualdade

αβ ≤α∫

0

tp−1dt +

β∫

0

uq−1du =αp

p+

βq

q. (5)

(b) Sejam (xi) e (yi) tais que

∑i

|xi|p = 1,∑

i

|yi|p = 1. (6)

Colocando α = |xi| e β = |yi| , temos de (5) a desigualdade

|xiyi| ≤ 1

p|xi|p +

1

q|yi|q .

Fazendo o somatorio sobre i e usando (6) e (3) obtemos

∑i

|xiyi| ≤∑

i

(1

p|xi|p +

1

q|yi|q

)

∑i

|xiyi| ≤ 1

p

∑i

|xi|p +1

q

∑i

|yi|q

∑i

|xiyi| ≤ 1

p+

1

q= 1. (7)

Tomando agora x = (xj) ∈ lp e y = (yj) ∈ lq e definindo

xj =xj(∑

k

|xk|p) 1

p

, yj =yj(∑

k

|ym|q) 1

q

(8)

temos

∑j

|xj|p =∑

j

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

xj(∑k

|xk|p) 1

p

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

p

=

∑j

|xj|p∑k

|xk|p =1∑

k

|xk|p∑

j

|xj|p = 1.

Analogamente obtemos

∑j

|yj|q = 1.

Assim, temos (6) podemos aplicar (8) em (7) para obter

1 ≥∑

j

|xj yj| =∑

j

|xj| |xj| =∑

j

|xj|(∑k

|xk|p) 1

p

|yj|(∑m

|ym|q) 1

q

,

e entao obtemos a desigualdade de Holder

(∑

k

|xk|p) 1

p(∑

m

|ym|q) 1

q

≥∑

j

|xj| |yj| (9)

onde p > 1 e1

p+

1

q= 1.

(c) Provaremos agora a desigualdade de Minkowski

( ∞∑j=1

|xj + yj|p) 1

p

≤( ∞∑

k=1

|xk|p) 1

p

+

( ∞∑m=1

|ym|p) 1

p

, (10)

onde x = (xj) ∈ lp, y = (yj) ∈ lp e p ≥ 1.

O caso p = 1 segue imediatamente da desigualdade triangular para numeros. Facamosentao o caso p > 1.

Escrevemos xj + yj = zj para simplificar.

Observe que

|zj|p = |xj + yj| |zj|p−1 .

A desigualdade triangular nos da entao

|zj|p ≤ (|xj|+ |yj|) |zj|p−1 .

Fazendo o somatorio de j ate n fixo obtemos

n∑j=1

|zj|p ≤n∑

j=1

|xj| |zj|p−1 +n∑

j=1

|yj| |zj|p−1 . (11)

Aplicando a desigualdade de Holder para a primeira parcela a direita obtemos

n∑j=1

|xj| |zj|p−1 ≤(

n∑j

|xj|p) 1

p(

n∑m=1

(|zm|p−1)q

) 1q

.

Daı, de1

p+

1

q= 1, obtemos (p− 1) =

p

qe entao temos,

n∑j=1

|xj| |zj|p−1 ≤(

n∑

k=1

|xk|p) 1

p(

n∑m=1

|zm|p) 1

q

.

Analogamente para a segunda parcela da soma obtemos

n∑j=1

|yj| |zj|p−1 ≤(

n∑

k=1

|yk|p) 1

p(

n∑m=1

|zm|p) 1

q

.

Assim

n∑j=1

|zj|p ≤

(n∑

k=1

|xk|p) 1

p

+

(n∑

k=1

|yk|p) 1

p

(n∑

m=1

|zm|p) 1

q

.

Dividindo tudo por(∑

m

|zm|p) 1

q

e lembrando que1

p= 1− 1

qobtemos,

n∑j=1

|zj|p

(n∑

m=1

|zm|p) 1

q

≤(

n∑

k=1

|xk|p) 1

p

+

(n∑

k=1

|yk|p) 1

p

n∑j=1

|zj|1−1q ≤

(n∑

k=1

|xk|p) 1

p

+

(n∑

k=1

|yk|p) 1

p

n∑j=1

|zj|1p ≤

(n∑

k=1

|xk|p) 1

p

+

(n∑

k=1

|yk|p) 1

p

.

Fazendo n −→∞ a direita da desigualdade, as duas series convergem porque x, y ∈ lp.

Assim a serie a esquerda tambem converge e com isso, (10) esta provado.

(d) De (10) segue que para x e y em lp, a serie

(∞∑

j=1

|xj − yj|p) 1

p

converge pois

( ∞∑j=1

|xj − yj|p) 1

p

=

( ∞∑j=1

|xj + (−yj)|p) 1

p

≤( ∞∑

j=1

|xj|p) 1

p

+

( ∞∑j=1

| − yj|p) 1

p

=

( ∞∑j=1

|xj|p) 1

p

+

( ∞∑j=1

|yj|p) 1

p

e sabemos que as duas ultimas series convergem. Com isso provamos que (M1) e satisfeito.

Observe que (10) se torna tambem a desigualdade triangular, basta fazermos

( ∞∑j=1

|xj − yj|p) 1

p

=

( ∞∑j=1

|(xj − zj) + (zj − yj)|p) 1

p

e aplicando (10) obtemos

( ∞∑j=1

|xj − yj|p) 1

p

≤(

n∑

k=1

|(xj − zj)|p) 1

p

+

(n∑

k=1

|zj − yj|p) 1

p

.

E assim provamos (M4) .

2.1 Sequencias

Definicao 2.4 Uma sequencia (xn) no espaco metrico X = (X, d) e dita convergente se

existe um x ∈ X tal que

limn

d(xn, x) = 0.

O elemento x e chamado de limite de (xn) e escreve-se

limn−→∞

xn = x,

ou simplesmente

xn → x.

Se (xn) nao e convergente, entao ela e dita divergente.

Assim se xn → x, para qualquer ε > 0, existe um N = N(ε) tal que os termos xn com

ındice n > N estao na ε-vizinhanca B(x; ε) de x, ou seja, d(x, xn) < ε para todo n > N.

Definicao 2.5 Um subconjunto M ⊂ X e limitado se o seu diametro

δ(M) = supx,y∈M

d(x, y)

e finito.

Definicao 2.6 Uma sequencia (xn) em X e limitada se o conjunto de seus pontos e um

conjunto limitado de X, ou seja, se supn,m

d(xn, xm) e finito.

Teorema 2.7 Uma sequencia convergente e limitada e seu limite e unico.

Demonstracao. Suponha que xn → x. Entao tomando ε = 1, podemos encontrar um N

tal que d(xn, x) < 1 para todo n > N.

Assim para todo n temos

d(xn, x) < 1 + a,

onde a = max{d(x1 , x), . . . , d(xN, x)}.

Pela desigualdade triangular obtemos

d(xm, xn) ≤ d(xm, x) + d(x, xn) ≤ 1 + a + 1 + a = 2 + 2a, para qualquer m,n.

Isso nos mostra que (xn) e limitada.

Para mostrar a unicidade, assumiremos que xn → x e xn → z e entao de (M4) obtemos

0 ≤ d(x, z) ≤ d(x, xn) + d(xn, z) para todo n =⇒0 ≤ lim

nd(x, z) ≤ lim

n(d(x, xn) + d(xn, z)) =⇒

0 ≤ limn

d(x, z) ≤ limn

d(x, xn) + limn

d(xn, z) =⇒

0 ≤ d(x, z) ≤ 0 + 0 =⇒0 ≤ d(x, z) ≤ 0.

Disso segue que d(x, z) = 0 e de (M2) concluımos que x = z.

Definicao 2.8 Uma sequencia (xn) em um espaco metrico X = (X, d) e uma sequencia

de Cauchy se para todo ε > 0 existe um N = N(ε) tal que

d(xn, xm) < ε, para n,m > n0. (12)

Definicao 2.9 Um espaco metrico X e dito ser completo se toda sequencia de Cauchy

em X converge para um elemento de X.

Assim a reta R e o espaco euclidiano Rn sao espacos metricos completos.

Para um espaco metrico qualquer, a condicao (12) ja nao e suficiente para a con-

vergencia, mas o proximo teorema nos diz que ela e necessaria para a convergencia.

Teorema 2.10 Toda sequencia convergente em um espaco metrico e uma sequencia de

Cauchy.

Demonstracao.

Se xn → x, para todo ε > 0 existe um N = N (ε) talque d(xn, x) < ε2

para todo

n > N.Assim da desigualdade triangular obtemos para todo m, n > N

d(xm, xn) ≤ d(xm, x) + d(x, xn) <ε

2+

ε

2= ε.

Portanto (xn) e de Cauchy.

Entao, se uma sequencia em um espaco metrico e de Cauchy nao temos a garantia de

sua convergencia, mas com certeza se uma sequencia nao e de Cauchy, ela nao converjira.

2.1.1 Conjuntos abertos, fechados e vizinhancas

Definicao 2.11 (Bolas e esfera) Consideremos o conjunto X com a metrica d. Tome

x0 ∈ X e r > 0.

a) Definimos a bola aberta de centro x0 e raio r como o conjunto B(x0, r) = {x ∈ X :

d(x, x0) < r}.

b) A bola fechada de centro x0 e raio r e o conjunto B[x0, r] = {x ∈ X : d(x, x0) ≤ r}.

c) A esfera de centro x0 e raio r e o conjunto S(x0, r) = {x ∈ X : d(x, x0) = r}.

Note que S(x0, r) = B[x0, r]−B(x0, r).

Definicao 2.12 Um ponto x e um ponto interior de um conjunto X se existe r > 0 tal

que B(x, r) ⊆ X.

Definicao 2.13 Um subconjunto X de um espaco metrico M e dito ser aberto se todosos seus pontos sao pontos interiores.

Definicao 2.14 Um subconjunto X de um espaco metrico M e dito ser fechado se Xc =

M −X e aberto.

Definicao 2.15 Seja M espaco metrico e x0 ∈ M. Uma vizinhanca de x0 e um conjunto

V tal que existe um ε > 0 tal que B(x0, ε) ⊂ V.

Proposicao 2.16 Seja (M, d) espaco metrico e chame τ = {A ⊆ M : A e aberto}. Entao

1- ∅,M ∈ τ

2- Se (Ax)x∈λ e tal que Ax ∈ τ para todo x ∈ λ, tem-se⋃

x∈λ

Ax ∈ τ.

3- Se A1, . . . , An ∈ τ entao A1 ∩ · · · ∩ An ∈ τ.

Demonstracao. 1) ∅ e aberto pois se ele nao fosse aberto, ele teria um ponto que nao

e interior, mas como ele nao possui ponto algum segue que ele e aberto. Temos que M e

aberto, pois dado x ∈ M , tome ε > 0 qualquer e daı temos B(x, ε) = {y ∈ M : d(y, x) <

ε} ⊆ M .

2) Seja a ∈⋃

x∈λ

Ax. Entao existe x0 tal que a ∈ Ax0 . Como Ax0 e aberto, existe ε > 0

tal que B(a, ε) ⊂ Ax0 . Segue entao que B(a, ε) ⊂⋃

x∈λ

Ax. Segue que a e ponto interior, e

portanto⋃

x∈λ

Ax e aberto.

3) Sen⋂

i=1

Ai = ∅, entao pelo item (1) temos quen⋂

i=1

Ai e aberto. Podemos entao supor

quen⋂

i=1

Ai 6= ∅. Tome a ∈n⋂

i=1

Ai. Entao a ∈ Ai para todo i = 1, . . . , n. Como Ai e aberto,

existe ri > 0 tal que B(a, ri) ⊂ Ai para todo i = 1, . . . , n. Tome r = min{r1, r2, ..., rn} > 0.

Mostremos que B(a, r) ⊂n⋂

i=1

Ai:

Temos que r ≤ ri, para todo i = 1, . . . , n, portanto B(a, r) ⊂ B(a, ri) ⊆ Ai para todo

i = 1, . . . , n. Daı B(a, r) ⊂n⋂

i=1

Ai. Logo a e ponto interior, e portanton⋂

i=1

Ai e aberto.

Definicao 2.17 Dizemos que x0 ∈ X e ponto de acumulacao de M ⊆ X se para qualquer

ε > 0, (B(x0, ε)\{x0}) ∩ M e um conjunto infinito, isto e, toda bola de centro x0 deve

conter infinitos pontos de M distintos de x0.

Se x0 ∈ X e x0 nao e um ponto de acumulacao de X, entao x0 e um ponto isolado de

X.

Definicao 2.18 Seja X espaco metrico e M ⊆ X. Um ponto x0 ∈ M e dito ponto

aderente ao conjunto M se para qualquer ε > 0 vale B(x0, ε) ∩M 6= ∅.

O conjunto formado pelos pontos de M e pelos pontos de acumulacao de M chama-se

fecho de M , e e denotado por M.

3 Compacidade

De acordo com o que acontece em R e em Rn, o natural seria definir conjunto compacto em

um espaco metrico como sendo um conjunto fechado e limitado. Para essa definicao ser

adequada, deveria ser verdade que os conjuntos fechados e limitados em espacos metricos

gozassem das propriedades que os fechados e limitados de R e Rn gozam. Por exemplo,

sequencias em conjuntos fechados e limitados deveriam ter subsequencias convergentes

dentro do conjunto. Vejamos que isso nao e verdade em geral:

Exemplo 3.1 Para p ≥ 1, considere o espaco metrico

lp =

{(xn)∞n=1 :

∞∑n=1

|xn| < ∞}

com a norma

‖(xn)‖ =

( ∞∑n=1

|xn|p) 1

p

.

Considere os seguintes vetores de lp:

e1 = (1, 0, 0, . . .),

e2 = (0, 1, 0, . . .),

e3 = (0, 0, 1, 0, . . .),

...en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .) onde a n-esima coordenada e igual a 1 e todas as outras

sao iguais a 0,...

Construimos entao uma sequencia (en)∞n=1 inteiramente contida em lp. E claro que ‖en‖ =

1 para todo n, portanto a sequencia (en)∞n=1 esta contida no conjunto fechado e limitado

B[0, 1].

Para todos n,m ∈ N, n 6= m, e verdade que

‖en − em‖ = ‖(0, 0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . . , 0,−1, 0, . . .)‖ = (1p + (−1)p)1p = 2

1p .

Entao para 0 < ε < 21p nao teremos nunca ‖en − em‖ < ε. E claro que o mesmo

raciocınio funciona para qualquer subsequencia (enj) de (en), portanto toda subsequencia

de (en) nao e de Cauchy. Segue entao que qualquer subsequencia de (en) nao e convergente.

Portanto o conjunto fechado e limitado B[0, 1] contem um sequencia (en) que nao tem

subsequencia convergente.

Esta claro entao que fechado e limitado nao e uma boa definicao de compacto em

espacos metricos. Definimos compacidade entao atraves da propriedade que queremos

que seja valida:

Definicao 3.2 Um conjunto X ⊂ M e dito ser compacto em M quando toda sequencia

em X possuir subsequencia que converge para um ponto de X.

O Exemplo acima mostra que nem todo fechado e limitado e compacto. Vejamos que

a recıproca e verdadeira:

Lema 3.3 Todo conjunto compacto em um espaco metrico e fechado e limitado.

Demonstracao. Seja X ⊂ M um compacto em um espaco metrico. Mostremos que

X = X. Como vale sempre que X ⊆ X, basta mostrar que X ⊆ X. Seja x ∈ X. Temos

entao que existe (xn) ⊆ X tal que xn −→ x. Como X e compacto, existe uma subsequencia

(xnj) tal que xnj

−→ y ∈ X. Como xn −→ x, entao xnj−→ x. Pela unicidade do limite

temos que x = y. Logo x ∈ X.

Mostremos que X e limitado. Suponha que X nao e limitado. Daı existiria uma

sequencia (yn) tal que d(yn, b) > n para todo n, onde b ∈ M e um elemento fixado. Essa

sequencia nao possui subsequencia convergente visto que toda subsequencia convergente

deve ser limitada. Mas isso contradiz o fato de X se compacto. Logo X e limitado.

Definicao 3.4 Sejam M um espaco metrico e X ⊂ M .

Uma colecao de subconjuntos de M se chama uma cobertura de X se X esta contido

na uniao dos conjuntos da colecao.

Se cada conjunto de uma cobertura de X e aberto, entao a cobertura e chamada de

cobertura aberta de X.Se a uniao dos conjuntos sm uma subcolecao da cobertura ainda contem X, essa sub-

colecao e chamada de subcobertura de X.

Teorema 3.5 Sejam M um espaco metrico e E ⊂ M. Entao E e compacto se e somente

se toda cobertura aberta de E admite subcobertura finita.

Demonstracao. Seja {Uα} uma cobertura aberta arbitraria de E. Mostremos que {Uα}contem uma subcobertura finita.

Primeiramente suponhamos que para cada inteiro positivo n podemos encontrar um

yn ∈ E tal que B(yn,1n) = {x ∈ E : d(yn, x) <

1

n} nao esteja contida em nenhum Uα.

Como E e compacto, (yn) tem uma subsequencia convergente (zn) tal que zn −→ z ∈E.

Note que z ∈ Uα0 para algum Uα0 .

Escolhendo ε > 0 tal que B (z, ε) ⊆ Uα0 e n suficientemente grande de modo que

d(zn, z) <ε

2para n > N e

1

N<

ε

2, teremos entao B

(z, 1

N

) ⊆ Uα0 , o que e uma con-

tradicao.

Assim, existe r > 0 tal que para todo y ∈ E, B(y, r) ⊆ Uα para algum α.

Segundo, suponha que existe ε > 0 tal que E nao pode ser coberto por um numero

finito de bolas de raio ε. Construiremos uma sequencia (yn) indutivamente da seguinte

forma; seja y1 um elemento qualquer de E, escolheremos y2 ∈ E − B(y1, ε), y3 ∈ E −(B(y1, ε) ∪B(y2, ε)) e assim por diante.

Entao d(yn, ym) > ε para todos n e m.

Assim (yn) nao nao tem subsequencia convergente, mas isso contradiz o fato de E sercompacto.

Entao para cada ε > 0, nos podemos cobrir E com um numero finito de bolas de raioε.

Finalmente, seja r > 0 como acima.

Sabemos que podemos cobrir E com um numero finito de bolas de raio r.

Sejam x1, . . . , xn seus centros, entao cada B(xk, r) esta contida em Uαkpara algum

Uαk.

A colecao Uα1 , . . . , Uαn e entao a subcobertura finita de {Uα} procurada.

Reciprocamente, suponha que toda cobertura aberta de E admita subcobertura finita.

Suponha agora que exista uma sequencia (xn) em E que nao admita subsequencia con-

vergente. Entao o conjunto {x1, xn, . . .} e infinito, pois caso contrario (xn) admitiria uma

subsequencia constante, portanto convergente. Logo existem infinitos x′ns distintos, os

quais chamaremos de {yn}∞n=1.

Para cada k, tome Uk um conjunto aberto contendo yk mas nao contendo nenhumoutro yn.

Visto que o conjunto {yn}∞n=1, nao tem ponto de acumulacao, ele e fechado. De fato, um

conjunto deixaria de ser fechado se possuisse um ponto de acumulacao que nao pertencente

a ele mesmo; como {yn}∞n=1 nao possui ponto de acumulacao, nao pode deixar de ser

fechado. Assim concluımos que M − {yn}∞n=1 e aberto.

Entao {Uk}k ∪ (M − {yn}∞n=1) forma uma cobertura aberta de E. Segue entao da

hipotese que essa cobertura aberta possui uma subcobertura finita, digamos

U1, . . . , UN ,M − {yn}∞n=1.

Entao U1, . . . , UN e uma cobertura finita do conjunto {yn}∞n=1. Mas isso contradiz a

construcao dos conjuntos U ′ks. Logo toda sequencia em E admite subsequencia conver-

gente, e portanto E e compacto.

Conclusao. Apos nos convencermos de que a condicao de ser fechado e limitado nao

e adequada para a definicao de compacidade em espacos metricos, definimos conjuntos

compactos como aqueles em que toda sequencia tem subsequencia convergente. O teorema

acima comprova que essa e a definicao adequada, pois e equivalente a propriedade que se

deseja de conjuntos compactos, a saber, a condicao de que coberturas abertas admitam

subcoberturas finitas.

Referencia Bibliograficas

[1] KREYSZIG, E., Introductory Functional Analysis With Applications, John Wiley

e Sons, 1987,

[2] LIMA, E. L., Espacos Metricos, 3rd ed, IMPA, Rio de Janeiro, 1993,

[3] SAXE, K., Beginning Functional Analysis, Springer, 2002.

Uma Introducao aos Sistemas Dinamicos Caoticos via

Famılia Quadratica.

LIVIA SILVA ROSA∗, WEBER FLAVIO PEREIRA†

Resumo

O caos esta presente em diversas situacoes do nosso cotidiano. Neste trabalho, estudamos

as propriedades que geram um sistema caotico e o aparecimento deste comportamento em

um sistema dinamico extremamente simples, dado pela famılia quadratica Qc(x) = x2 + c.

Apresentamos tambem uma breve introducao a teoria dos fractais.

Palavras-Chave: Sistemas dinamicos, Famılia quadratica, Caos, Fractal.

Abstract

The chaos is present in several situations of our daily. In this work, we studied the properties

that generate a chaotic system and the appearance of this behavior in an extremely simple

dynamic system, given by the quadratic family Qc(x) = x2 + c. We also presented an brief

introduction to the theory of the fractals.

Keywords: Dynamic systems, Quadratic family, Chaos, Fractal.

∗Faculdade de Matematica, Universidade Federal de Uberlandia, Avenida Joao Naves de Avila 2121, Bloco

1F, Uberlandia, CEP: 38.408-100, livia−s−r@yahoo.com.br†Faculdade de Matematica, Universidade Federal de Uberlandia, Avenida Joao Naves de Avila 2121, Bloco

1F sala 1F105, Uberlandia, CEP: 38.408-100, weberf@famat.ufu.br

Introducao

Muitos fenomenos que nos cercam apresentam a caracterıstica de imprevisibilidade. Quem

ja nao foi surpreendido com um dia chuvoso, mesmo que no dia anterior a previsao do tempo

era de um dia claro e ensolarado? Como prever as oscilacoes das bolsas de valores por um

perıodo de tempo razoavel? Jogue, de modo aleatorio, varias pedras em um lago e observe o

comportamento imprevisıvel das ondas.

Todos esses exemplos sao situacoes claras do nosso cotidiano onde os fenomenos impre-

visıveis estao presentes. A propriedade que produz essa imprevisibilidade e a realimentacao

do erro, ou popularmente conhecido como, efeito borboleta.

Estas situacoes ocorrem pois, por tras dessa imprevisibilidade, esta toda uma teoria,

chamada ”Teoria do Caos”. Essse trabalho apresenta de forma simples e contextual, essa teo-

ria dentro de um exemplo dinamico real. Uma geometria presente nesses sistemas caoticos, e

a chamada ”geometria fractal”, que aqui apresentamos somente alguns conceitos e exemplos.

1 Iteracao e Orbitas

Nesta secao, definiremos iterada de uma funcao, falaremos sobre a orbita de um ponto e

citaremos alguns tipos de orbitas.

Iteracao significa um processo de repeticao. Vamos discutir sobre funcoes quadraticas da

forma: Qc (x) = x2 + c, onde c ∈ R e o chamado de parametro.

Iterar uma funcao significa avaliar a funcao mais de um vez, compondo a funcao com ela

mesma. Para a funcao F , F 2(x) e a segunda iterada de F , F 3(x) e a terceira iterada, em geral

F n(x) seria a n-esima iterada, ou seja, a n-esima composicao de F com ela mesma. Dado

x0 ∈ R, definimos a orbita de x0 sobre F sendo a sequencia de pontos: x0, x1, x2, . . . , xn, . . .

, onde

x1 = F (x0)

x2 = F 2 (x0)

...

xn = F n (x0)

...

o ponto x0 e chamado a origem da orbita.

Exemplo 1.1 Seja F (x) =√

x e x0 = 4.

Temos,

x1 = F (x0) =√

4 = 2

x2 = F (x1) =√

2 = 1.414213 . . .

x3 = F (x2) =√

1.414213 = 1.1892069 . . .

Note que ao repetirmos esse processo, vemos que a a orbita de x0 converge para 1.

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

Figura 1: Analise Grafica da Funcao F (x) =√

x, com x0 = 4.

1.1 Tipos de orbitas

Existem varios tipos de orbitas. O tipo de orbita mais importante e a do ponto fixo.

Um ponto fixo para uma funcao F e um ponto x0 que satisfaz F (x0) = x0. Note que

neste caso temos, F 2 (x0) = F (F (x0)) = F (x0) = x0, em geral, F n (x0) = (x0). Conse-

quentemente, a orbita de um ponto fixo e uma sequencia constante x0, x0, . . ..

Os pontos fixos de F sao encontrados resolvendo a equacao F (x) = x. Podemos encontra-

los tambem geometricamente, examinando a interseccao do grafico da funcao F com a reta

identidade y = x.

Outro tipo de orbita importante e a orbita periodica. O ponto x0 e periodico de perıodo

n para F , se F n (x0) = x0 para algum n positivo e F k(x0) 6= x0 para k < n. Se x0 e um

ponto periodico de perıodo n, entao a orbita de x0 e uma sequencia de numeros que se repete

a cada bloco de n elementos, a saber, x0, F (x0) , F 2 (x0) , . . . , F n−1 (x0) , x0, F (x0) , . . . ,

F n−1 (x0) , x0, . . . .

Se x0 e ponto periodico de perıodo k, entao x0 e ponto fixo para F k, ou seja, F k (x0) = x0.

Logo os pontos periodicos de perıodo k podem ser encontrados resolvendo a equacao F k(x) =

x.

Exemplo 1.2 Seja F (x) = x2−1, temos que F possui dois pontos fixos, a saber, x1 = 1+√

52

e x2 = 1−√52

. Alem disso, note que F (0) = −1 e F (−1) = 0, ou seja F possui uma orbita

periodica de perıodo 2. Assim, a orbita de x0 = 0 por F (x) = x2− 1, e composta por 0 e −1

da forma

0,−1, 0,−1, 0,−1, . . . .

1.2 Outros Tipos de Orbitas

Falamos anteriormente sobre a orbita do ponto fixo e a orbita periodica. Existem tambem

as orbitas eventualmente fixa e eventualmente periodica.

Definicao 1.1 Um ponto x0 e dito eventualmente fixo ou eventualmente periodico se x0 nao

e um ponto fixo ou periodico, mas algum ponto da orbita de x0 e fixa ou periodica.

Exemplo 1.3 1) Seja F (x) = x2 − 2 e x0 = 0. Temos que a orbita de 0 e eventualmente

fixa e dada por:

0,−2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, . . . .

–2

–1

1

2

3

–2 –1 1 2

Figura 2: Analise Grafica da Funcao F (x) = x2 − 1 e x0 = 0.3

2) Seja F (x) = x2 − 1, vamos considerar como ponto inicial x0 = 1. Daı, F (1) = 0,

F (0) = −1 e F (−1) = 0. Logo, F possui uma orbita eventualmente periodica para x0 = 1.

Temos a seguinte sequencia como orbita

1, 0,−1, 0,−1, 0,−1, . . . .

2 Analise Grafica

Suponhamos que temos o grafico de uma funcao F e desejamos explicitar a orbita de um dado

ponto x0. Comecaremos sobrepondo a reta diagonal, y = x, sobre o grafico de F . Vimos que

os pontos das interseccoes de F com a diagonal sao os pontos fixos de F . Para encontrar a

orbita de x0 comecamos com o ponto (x0, x0) que se encontra na reta diagonal. Deste ponto,

tracamos uma reta vertical que tocara o grafico de F no ponto (x0, F (x0)). Tracando uma reta

horizontal por este ponto, tocaremos a reta diagonal no ponto (F (x0), F (x0)), novamente se

tracarmos uma reta vertical, tocaremos o grafico de F no ponto (F (x0), F2(x0)), daı tracando

novamente uma reta horizontal, tocaremos a diagonal no ponto (F 2(x0), F2(x0)). Assim,

fazendo este processo sucessivas vezes, iremos obter na figura a orbita de x0.

Exemplo 2.1 1) Na figura 3, a analise do grafico da funcao F (x) =√

x, mostra que

para um ponto x0 positivo dado podemos observar que sua orbita tende para o ponto

de interseccao do grafico da funcao F com a reta diagonal. Este ponto e o ponto fixo,

x = 1, para a funcao F .

4.0

3.6

3.2

2.4

2.8

1.6

0.8

2.0

0.0

0.4 4.0

3.6

2.8

3.2

2.0

1.2

2.4

0.4

1.61.20.80.0

Figura 3: Analise grafica de F (x) =√

x.

2) Na figura 4, podemos observar que o grafico da funcao F (x) = x2 − 1.1 tem um 2-ciclo.

Este 2-ciclo e ilustrado na analise grafica por uma caixa. Podemos observar que a orbita

de alguns pontos tendem para este 2-ciclo.

0

21−1

1

2

−2 0

−1

−2

Figura 4: Analise grafica da funcao F (x) = x2 − 1.1.

2.1 Retrato de Fase

Um metodo para representar todas as orbitas de um sistema dinamico e o retrato de fase

deste sistema. Tal metodo consiste de uma representacao na reta real (no caso dimensao 1)

de todas as orbitas do sistema. No caso de uma dimensao, o retrato de fase nos da mais

informacoes que a analise grafica. No caso de duas dimensoes vamos confiar somente no

retrato de fase para descrever o comportamento das orbitas.

No retrato de fase, os pontos fixos sao representados por pontos na reta real e a dinamica

da orbita e representada por setas.

Exemplo 2.2 Para a funcao F (x) = x3, os pontos fixos sao -1, 0 e 1. Se | x0 |< 1, entao

F n(x0) → 0, por outro lado se | x0 |> 1, entao F n(x0) → ±∞. O retrato de fase desta

funcao e representado na figura 5.

10-1

Figura 5: Retrato de fase de F (x) = x3.

3 Pontos Fixos e Periodicos

Teorema 3.1 (Teorema do ponto fixo) Suponhamos que F : [a, b] → [a, b] e contınua.

Entao existe um ponto fixo para F em [a, b].

Demonstracao. Defina, H : [a, b] → R, por H(x) = F (x) − x. Como F e contınua,

temos que H e contınua. Note que F (a), F (b) ∈ [a, b], logo F (a) ≥ a e F (b) ≤ b, daı

F (a) − a = H(a) ≥ 0 e F (b) − b = H(b) ≤ 0. Pelo Teorema do Valor Intermediario, existe

x0 ∈ [a, b] tal que H(x0) = 0, ou seja, H(x0) = F (x0) − x0 = 0, logo F (x0) = x0. Portanto,

x0 e um ponto fixo de F em [a, b].

3.1 Ponto Fixo Atrator e Repulsor

Definicao 3.1 Suponhamos que x0 e um ponto fixo de F . Entao, x0 e um ponto fixo atrator

se | F ′(x0) |< 1. O ponto x0 e um ponto fixo repulsor se | F ′(x0) |> 1. Por fim, se

| F ′(x0) |= 1 dizemos que x0 e um ponto fixo neutro.

Seja F (x) = 2x(1− x) seus pontos fixos sao 0 e 12. Agora F ′(x) = 2− 4x, logo F ′(0) = 2 e

F ′(12) = 0. Portanto, 0 e um ponto fixo repulsor e 1

2e um ponto fixo atrator.

Teorema 3.2 (Ponto Fixo Atrator) Se x0 e um ponto fixo atrator para f . Entao existe

um intervalo I que contem x0 em seu interior e no qual a seguinte condicao e satisfeita: se

x ∈ I, entao fn(x) ∈ I para todo n e fn(x) → x0 quando n →∞.

Demonstracao. Como x0 e ponto fixo atrator, temos que existe um λ > 0, tal que |f ′(x0) |< λ < 1.

Entao podemos escolher um numero δ > 0, de modo que | f ′(x) |< λ < 1 para todo

x ∈ I = [x0 − δ, x0 + δ]. Agora, tome p ∈ I e aplicando o teorema do valor medio para um

subintervalo [x0, p] de I, temos que existe um numero c ∈]x0, p[, tal que f ′(c) = f(p)−f(x0)p−x0

.

Como c ∈ I e para todo x ∈ I temos que | f ′(x) |< λ, temos | f ′(c) |< λ, ou seja,

| f(p)− x0 |< λ | p− x0 |.Como p pertence ao intervalo [x0 − δ, x0 + δ], temos | p− x0 |< δ. O fato de λ estar entre

0 e 1, faz com que λ | p − x0 |< δ. Temos, | f(p) − x0 |< λ | p − x0 | logo | f(p) − x0 |< δ,

isto quer dizer que f(p) ∈ I.

Agora, aplicando o teorema do valor medio para f 2(x) = f(f(x)) no intervalo [f(x0), f(p)],

temos que existe um f(c) ∈ [f(x0), f(p)] tal que: f(f(c)) = f2(p)−f2(x0)f(p)−f(x0)

⇒| f ′(f(c)) |=|f2(p)−f2(x0)||f(p)−f(x0)| .

Temos que, [f(x0), f(p)] ⊂ I, logo f(c) ∈ I. Como para todo x ∈ I, temos | f ′(x) |< λ.

Entao, | f ′(f(c)) |< λ.

| f 2(p) − f 2(x0) |=| f ′(f(c)) | . | f(p) − f(x0) |⇒| f 2(p) − f 2(x0) |< λ | f(p) − f(x0) |⇒|f 2(p)− x0 |< λ | f(p)− x0 |⇒| f 2(p)− x0 |< λλ | p− x0 |⇒| f 2(p)− x0 |< λ2 | p− x0 |.

Temos λ2 | p− x0 |<| p− x0 |< δ ⇒ λ2 | p− x0 |< δ. Logo, | f 2(p)− x0 |< δ ⇒ f 2(p) ∈ I.

Vamos generalizar:

Aplicando o teorema do valor medio para fn(x) no intervalo [fn−1(x0), fn−1(p)] tal que

| f ′(fn−1(c)) |= |fn(p)−fn(x0)||fn−1(p)−fn−1(x0)| ⇒| fn(p)− fn(x0) |=| f ′(fn−1(c)) || fn−1(p)− fn−1(x0) |⇒|

fn(p)− x0 |< λ | fn−1(p)− x0 |.Como | fn−1(p)−x0 |< λn−1 | p−x0 |, temos | fn(p)−x0 |< λλn−1 | p−x0 |⇒| fn(p)−x0 |<

λn | p− x0 |.Sabemos que λn | p− x0 |<| p− x0 |< δ. Logo, | fn(p)− x0 |< δ ⇒ fn(p) ∈ I.

Agora falta provar que fn(p) → x0 quando n → +∞, ou seja, limn→+∞ fn(p) = x0.

Temos, | fn(p)− x0 |< λn | p− x0 |. Daı, limn→+∞ | fn(p)− x0 |≤ limn→+∞(λn | p− x0 |) ⇒ limn→+∞ | fn(p)− x0 |≤ 0 pois λ < 1. Daı, limn→+∞ | f(p)− x0 |= 0, logo fn(p) → x0

quando n →∞.

Teorema 3.3 (Ponto Fixo repulsor) Se x0 e um ponto fixo repulsor para f . Entao, existe

um intervalo I que contem x0 em seu interior e que satisfaz a seguinte condicao: se x ∈ I e

x 6= x0, entao existe um inteiro n > 0 tal que fn(x) /∈ I.

Demonstracao. A demonstracao deste teorema segue de forma analoga ao teorema do

ponto fixo atrator.

3.2 Pontos Perıodicos

Um o ponto periodico tambem pode ser classificado como atrator, repulsor ou neutro.

O calculo aqui e mais complicado, vamos comecar com um exemplo.

A funcao F (x) = x2 − 1 tem um ciclo atrator de perıodo 2 com orbita 0, −1, 0, −1, ....

Os pontos 0 e −1 sao os pontos fixos da segunda iterada F 2(x) = (x2− 1)2− 1 ⇒ F 2(x) =

x4 − 2x2.

Temos ,

(F 2)′(x) = 2(x2 − 1)2x ⇒ (F 2)′(x) = 4x(x2 − 1)

(F 2)′(0) = 0 ⇒| (F 2)′(0) |< 1

(F 2)′(−1) = 0 ⇒| (F 2)(−1) |< 1

Os pontos fixos de F 2, 0 e −1, sao pontos fixos atratores. Um ponto perıodo de perıodo n

e atrator (ou repulsor) se este e um ponto fixo atrator (ou repulsor) para F n.

Algumas orbitas periodicas podem conter alguns pontos que sao atratores e alguns que sao

repulsores.

Para determinar se um ponto periodico x0 de perıodo n e atrator ou repulsor, devemos

computar a derivada da F n para x0 usando a regra da cadeia, temos

(F n)′(x0) = F ′(F n−1(x0)).(Fn−1)′(x0)

= F ′(xn−1).F′(xn−2)....F

′(x0).

4 Bifurcacoes

Nesta secao, vamos definir e estudar alguns tipos de bifurcacoes. Em particular, estudaremos

essas bifurcacoes na famılia quadratica Qc(x) = x2 + c, com c ∈ R.

4.1 A Dinamica das Funcoes Quadradicas

Nosso objetivo e entender a dinamica da famılia Qc quando o parametro c varia. Para isso,

encontramos inicialmente os pontos fixos, que sao:

x+ = 12(1 +

√1− 4c)

x− = 12(1−√1− 4c)

Note que x+ e x− sao reais se, e somente se, 1 − 4c ≥ 0 ou c ≤ 14. Se c > 1

4nao temos

pontos fixos, se c = 14

temos x+ = x− = 12

e se c < 14, entao x+ e x− sao reais e distintos. E

sempre x+ > x−.

Para o caso c > 14. O grafico da funcao e uma parabola concava para cima e este grafico

nao intercepta a diagonal y = x .

Quando c = 14, o grafico de Qc toca a diagonal em um unico ponto e quando c < 1

4, o

grafico de Qc toca a diagonal em dois pontos.

Portanto, em c = 14, encontramos nossa primeira bifurcacao. Bifurcacao significa uma

divisao em dois. Para c > 14

nao temos ponto fixo, para c = 14

temos exatamente um ponto

fixo, como mostra a figura 7, mas para c < 14, estes pontos fixos sao divididos em dois. Nesta

proxima secao chamaremos este tipo de bifurcacao de sela-no ou bifurcacao tangente.

Usando o resultado previsto no capıtulo anterior podemos checar se os pontos fixos sao

atratores, repulsores ou neutro. Desde que Q′c(x) = 2x, encontramos

–2

–1

0

1

2

3

4

–2 –1 1 2

x

Figura 6: Grafico de Qc para c > 14.

–2

–1

0

1

2

3

4

–2 –1 1 2

x

Figura 7: Grafico de Qc para c = 14.

–2

–1

0

1

2

3

–2 –1 1 2

x

Figura 8: Grafico de Qc para c < 14.

Q′c(x+) = 1 +

√1− 4c

Q′c(x−) = 1−√1− 4c

Note que Q′c(x+) = 1 se c = 1

4e Q′

c(x+) > 1 para c < 14. Logo x+ e um ponto fixo neutro

quando c = 14

e um ponto fixo repulsor quando c < 14.

Agora vejamos para o ponto fixo x−. Temos que Q′c(x−) = 1 quando c = 1

4. Quando c < 1

4,

temos Q′c(x−) < 1, para x− ser atrator temos que | Q′

c(x−) |< 1, ou seja, −34

< c < 14.

Assim x− e um ponto fixo atrator quando −34

< c < 14.

Obs: Quando c = −34, temos Q′

c(x−) = −1 (neutro) e Q′c(x−) < −1 quando c < −3

4

(repulsor).

Proposicao 4.1 Para a famılia Qc(x) = x2 + c, temos:

1) todas as orbitas tendem ao infinito se c > 14;

2) quando c = 14, Qc tem um unico ponto fixo x+ = x− = 1

2e este e neutro;

3) para c < 14, Qc tem dois pontos fixos distintos x− e x+. O ponto fixo x+ e sempre

repulsor

a)se −34

< c < 14, x− e o atrator

b)se c = −34, x− e neutro

c)se c < −34, x− e repulsor.

Note que Qc(−x+) = x+, entao −x+ e um ponto eventualmente fixo. Na verdade, a analise

grafica mostra que se x > x+ ou x < −x+, entao a orbita de x tende para o infinito.

Para −34

< c < 14, todas orbitas no intervalo (−x+, x+) tende para o ponto fixo atrator x−.

Quando c < −34

aparece um ciclo de perıodo 2. Para encontrar os pontos deste ciclo basta

resolver a equacao, Q2c(x) = x.

Todavia, conhecemos duas solucoes desta equacao que sao x+ = 12(1 +

√1− 4c) e

x− = 12(1 − √

1− 4c), daı fazendo a divisao de Q2c (x) por (x− x+) (x− x−) encontramos

o polinomio x2 + x + c + 1, que possui como raızes os pontos q+ = 12

(−1 +√−4c− 3

)e

q− = 12

(−1−√−4c− 3). Fica facil ver que se c = −3

4temos q+ = q− = x− que e um ponto

fixo neutro para Qc. Note que q+ e q− sao reais se e somente se −4c − 3 ≥ 0, ou seja, se

c ≤ −34

. Daı, temos um novo tipo de bifurcacao chamada bifurcacao de duplicacao de perıodo.

Proposicao 4.2 Para a famılia Qc = x2 + c, temos:

1) Para −34

< c < 14, Qc tem um ponto fixo atrator x− e nao 2-ciclo;

2) Para c = −34

, Qc tem um ponto fixo neutro x− = q± e nao 2-ciclo;

3) Para −54

< c < −34

, x± sao ponto fixos repulsores e q± e um 2-ciclo atrator;

4) Para c < −54

, temos que x± sao pontos fixos repulsores e q± e um 2-ciclo repulsor.

4.2 Bifurcacao Sela-No e Duplicacao de Perıodo

Definicao 4.1 Uma famılia de funcoes a um parametro Fλ sofre uma bifurcacao sela-no no

valor λ0, se ha um intervalo aberto I e um ε > 0 tal que:

1) para λ0 − ε < λ < λ0, Fλ nao tem pontos fixos neste intervalo I;

2) para λ = λ0, Fλ tem um ponto fixo no intervalo I e este ponto fixo nao e atrator e nem

repulsor;

3) para λ0 < λ < λ0 +ε, Fλ tem dois pontos fixos no intervalo I, um atrator e um repulsor.

Exemplo 4.1 A famılia quadratica Qc (x) = x2 + c possui bifurcacao

sela-no para c = 14, como foi discutido anteriormente. Qc nao

admite ponto fixo quando c > 14, Qc possui um unico ponto fixo quando c = 1

4e este

nao e atrator e nem repulsor e, por fim, Qc possui um par de pontos fixos para −34

< c < 14

sendo um atrator e outro repulsor.

Definicao 4.2 Uma famılia de funcoes a um parametro Fλ sofre bifurcacao de duplicacao

de perıodo no valor λ0, se ha um intervalo aberto I e um ε > 0 tal que:

1) para cada λ no intervalo [λ0 − ε, λ0 + ε], existe um unico ponto fixo pλ para Fλ em I;

2) para λ0−ε < λ < λ0, Fλ nao tem 2-ciclo em I e pλ e atrator(respectivamente, repulsor);

3) para λ0 < λ < λ0 + ε, existe um unico 2-ciclo qλ1, qλ2 em I com Fλ (qλ1) = qλ2.

Este 2-ciclo e atrator(respectivamente, repulsor). Entretanto, o ponto fixo pλ e repul-

sor(respectivamente, atrator).

4) quando λ → λ0, temos que qλ1 → pλ0.

5 A Transicao Para o Caos e a Dinamica Simbolica

5.1 O Caso c = −2

Teorema 5.1 A funcao Q−2 tem pelo menos 2n pontos fixos de perıodo n no intervalo [−2, 2].

Demonstracao. Resolvendo a equacao Q−2(x) = x, encontramos dois pontos fixos que sao

o −1 e o 2, sendo x+ = 2. Tomando o intervalo −x+ ≤ x ≤ x+, ou seja, [−2, 2]. Observando

o grafico da funcao Q−2 no intervalo [−2, 2], vemos que a funcao tem um “vale”, enquanto

que o grafico da funcao Q2−2 possui dois “vales”, que e o dobro de “vales”da primeira iterada.

E isso ocorre com as proximas iteradas, que terao o numero de “vales”sempre o dobro da

iterada anterior. Logo, temos

Q−2 → 20 vale

Q2−2 → 21 vales

Q3−2 → 22 vales

...

Qn−2 → 2n−1 vales.

Por outro lado, podemos ver no grafico da funcao Q−2, que a reta diagonal intersecta o grafico

de Qc em dois pontos, que sao os pontos fixos para Q−2. Para Q2−2 temos quatro pontos fixos,

que e o dobro de pontos fixos de Q−2. Logo,

Q−2 → 21 pontos fixos

Q2−2 → 22 pontos fixos

Q3−2 → 23 pontos fixos

...

Qn−2 → 2n pontos fixos.

Portanto, Qn−2 tem pelo menos 2n pontos fixos, que sao pontos periodicos de perıodo n para

Q−2.

−1

6

0

2

−2

−2

32

5

1

4

3

1

−3

−3

0

−1

Figura 9: Grafico de Q−2.

5.2 O Caso c < −2

Seja o intervalo I = [−2, 2], temos que para c < −2, a orbita de alguns pontos nao per-

manecem neste intervalo I e tendem para o infinito. Mas existem orbitas que nunca deixam

este intervalo I, por exemplo, a orbita dos pontos fixos. Vamos denotar o conjunto de pontos

cujo a orbita nunca deixa o intervalo I por Λ. Isto e,

Λ = {x ∈ I | Qnc (x) ∈ I para todo n ∈ N.

Seja o intervalo A1 formado pelo conjunto de pontos cujo a primeira iterada sai do intervalo

I, daı a orbita desses pontos tende para o infinito. Para a segunda iterada, temos um par

de intervalos que chamaremos de A2, formado pelos pontos onde a segunda iterada sai do

intervalo I, daı a orbita desses pontos tende para o infinito. Assim, sucessivamente, temos

o conjunto An formado pelos pontos cujo a n-esima iterada sai do intervalo I e vai para

o infinito. Retirando os conjuntos A1, A2, · · · , An do intervalo I temos a construcao do

conjunto Λ.

Teorema 5.2 Suponha c < −2. Entao o conjunto dos pontos Λ cujo as orbitas sobre Qc

nao tendem para o infinito e um conjunto nao vazio em I que nao contem intervalos.

Demonstracao. Temos que os dois pontos extremos do intervalo I pertencem ao conjunto

Λ. Alem disso, os pontos extremos de cada conjunto Ai com i = 1, ..., n que foram retirados

do intervalo I tambem pertencem ao conjunto Λ. Logo, o conjunto Λ nao e vazio.

Vamos supor que c < −(5 + 2√

5)/4. O resultado desta suposicao e que | Qc(x) |> 1 para

todo ponto x ∈ I − A1. Temos que existe uma constante µ > 1 tal que | Qc(x) |≥ µ para

todo x ∈ I − A1. Agora suponhamos que Λ contem um intervalo J . Tome l o comprimento

de J , l > 0. Desde que | Qc(x) |> µ para todo x ∈ J , temos pelo Teorema do Valor Medio

que | Qc(J) |> µl, isto e, seja x, y ∈ J , temos

| Qc(x)−Qc(y) |> µ | x− y | .

Como J ⊂ Λ temos que Qc(J) ⊂ Λ. Daı, para Q2c(J), seu comprimento e | Q2

c(J) |> µ |Qc(J) |, ou seja,

| Q2c(x)−Q2

c(y) |> µ2 | x− y | .

Entao, para Qnc (J), temos | Qn

c (x)−Qnc (y) |> µn | x− y |. Como µ > 1, temos que µn →∞.

Logo, | Qnc (J) |→ ∞, o que e uma contradicao. Portanto, o conjunto Λ nao contem intervalos.

5.3 O Conjunto de Cantor Terco Medio

O conjunto de Cantor Terco Medio que veremos adiante e o fractal mais simples definido no

intervalo [0, 1]. A construcao do conjunto de Cantor e semelhante a construcao do conjunto

Λ. Daı, podemos mostrar que o conjunto de Cantor e fechado e totalmente desconexo.

Definicao 5.1 A sequencia de inteiros 0.s1s2s3 . . . onde cada si pode ser 0, 1 ou 2 e chamada

de expansao ternaria de x se

x =∞∑i=1

si

3i.

Note que para um mesmo x ∈ [0, 1] podemos ter duas expansoes ternarias diferentes. Se

x tem a expansao ternaria 0.s1s2s3 . . ., entao s1 nos mostra em qual terco do intervalo [0, 1]

x pertence, ou seja, se s1 = 0 entao x ∈ [0, 13], se s1 = 1 entao x ∈ [1

3, 2

3] e se s1 = 2 entao

x ∈ [23, 1].

Teorema 5.3 O conjunto de Cantor Terco Medio e nao enumeravel.

Demonstracao. Sabemos que todo numero com representacao binaria 0 e 1 esta no intervalo

[0, 1] e que para todo x ∈ [0, 1] existe uma unica representacao binaria.

Por outro lado, o conjunto dos numeros com representacao binaria esta em correspondencia

biunivoca com o conjunto dos numeros com representacao ternaria, e o conjunto de Cantor

pode ser representado pela expansao ternaria. Portanto, existe uma bijecao entre o conjunto

de Cantor e o intervalo [0, 1]. Como tal intervalo nao e enumeravel, temos que o conjunto de

Cantor nao e enumeravel.

5.4 Dinamica Simbolica

Considere Λ, I e A1 os conjuntos definidos nas secoes anteriores. Para valores de c < −2, o

conjunto I −A1 consiste de dois intervalos fechados que sao denotados por I0 e I1. Note que

tais intervalos sao disjuntos.

Definicao 5.2 Seja x ∈ Λ. O itinerario de x e a sequencia infinita de 0′s e 1′s dada por

S(x) = (s0s1s2 . . .)

onde sj = 0 se Qjc(x) ∈ I0 e sj = 1 se Qj

c(x) ∈ I1.

Definicao 5.3 O espaco de sequencia em dois sımbolos, e o conjunto Σ = {(s0s1s2 . . .) |sj = 0 ou 1}.

Definicao 5.4 Seja s = (s0s1s2 . . .) e t = (t0t1t2 . . .) dois pontos em Σ. A “distancia”entre

s e t e dada por

d [s , t ] =∞∑i=0

| si − ti |2i

. (1)

Proposicao 5.1 A funcao d em Σ dada por (1) e uma metrica em Σ.

Demonstracao. Ver referencia [1].

Teorema 5.4 (Teorema da Proximidade) Seja s, t ∈ Σ e suponhamos si = ti para i =

0, 1, 2, . . . , n. Entao d[s, t] ≤ 12n . Consequentemente, se d[s, t] < 1

2, entao si = ti para i ≤ n.

Demonstracao. Se si = ti para i ≤ n, entao

d[s, t] =n∑

i=0

| si − ti |2i

+∞∑

i=n+1

| si − ti |2i

onde∑n

i=0|si−ti|

2i = 0. Entao temos

d[s, t] =∞∑

i=n+1

| si − ti |2i

≤∞∑

i=n+1

1

2i=

1

2n.

Por outro lado, se sj 6= tj para j ≤ n, entao temos d[s, t] ≥ 12j ≥ 1

2n . Portanto se

d[s, t] < 12n , temos si = ti para i ≤ n.

Definicao 5.5 A funcao deslocamento σ : Σ → Σ e definida por

σ (s0s1s2 . . .) = (s1s2s3 . . .) .

Definicao 5.6 Suponhamos F : X → X e uma funcao e X e um conjunto equipado com a

metrica d. Entao F e contınua em x0 ∈ X se, para qualquer ε > 0, existir um δ > 0 tal que,

se d[x, x0] < δ entao d[F (x) , F (x0)] < ε. Dizemos que F e uma funcao contınua se F e

contınua para todo x0 ∈ X.

Teorema 5.5 A funcao σ : Σ → Σ e contınua para todo ponto em Σ.

Demonstracao. Sejam s e t dois pontos de Σ, sendo s = (s0s1s2 . . .) e t = (t0t1t2 . . .).

Entao, dado um ε > 0 qualquer, sabemos que existe um n ∈ N tao grande quanto se queira,

tal que 12n < ε. Considere δ = 1

2n+1 > 0 se s, t ∈ Σ e d[s, t] < δ ⇒ d[s, t] < 12n+1 . Pelo

Teorema da Proximidade, temos que si = ti para i = 0, 1, 2, . . . , n + 1. Entao, os primeiros

n + 2 termos de s e t sao iguais. Assim, os primeiros n + 1 termos de σ (s) e σ (t) sao iguais.

Novamente, pelo Teorema da Proximidade, temos d[σ (s) , σ (t)] ≤ 12n < ε.

Agora temos nosso sistema modelado, a funcao deslocamento σ no espaco de sequencia Σ,

vamos relacionar o sistema dinamico Qc com Λ. A funcao que relaciona esses dois sistemas

e a func˜so itinerario S : Λ → Σ definida anteriormente.

Teorema 5.6 Se x ∈ Λ, entao S ◦Qc (x) = σ ◦ S (x).

Demonstracao. Ver referencia [1].

Definicao 5.7 Seja F : X → X e G : Y → Y duas funcoes. Dizemos que F e G sao

conjugadas se existir um homeomorfismo h : X → Y tal que h ◦ F = G ◦ h. A funcao h e

chamada conjugacao.

Teorema 5.7 (Teorema da Conjugacao) A funcao deslocamento em Σ e conjugada a Qc

em Λ quando c <−(5+2

√5)

4.

Demonstracao. A demonstracao desse teorema segue do teorema anterior e do resultado a

seguir.

Teorema 5.8 Suponhamos c <−(5+2

√5)

4. Entao, S : Λ → Σ e um homeomorfismo.

Demonstracao. Injetividade: Suponhamos que x, y ∈ Λ com x 6= y. Assumimos que

S (x) = S (y). Isto significa que Qnc (x) e Qn

c (y) sempre permanecem no mesmo intervalo I0

ou I1. Sabemos que Qc e injetora em cada um destes intervalos e que | Q′c (x) |> µ > 1 para

todo x ∈ I0∪ I1 e para algum µ. Agora considere o intervalo [x, y]. Para cada n, Qnc leva este

intervalo de forma injetiva, sobre o intervalo [Qnc (x) , Qn

c (y)]. Pelo Teorema do Valor Medio,

temos

| ([Qnc (x) , Qn

c (y)]) | ≥ µ| ([x, y]) |.

Como µn → ∞ temos comprimento ([Qnc (x) , Qn

c (y)]) → ∞, que e absurdo, pois

[Qnc (x) , Qn

c (y)] ⊂ I. Esse absurdo surgiu de termos suposto S (x) = S (y). Portanto

S (x) 6= S (y) e entao S e injetora.

Sobrejetividade: Primeiro introduziremos a seguinte notacao. Seja J ⊂ I um intervalo

fechado. Seja Q−nc (J) = {x ∈ I | Qn

c (x) ∈ J}. Em particular, Q−1c denota a pre-imagem de

J . Se J ⊂ I e um intervalo fechado, entao Q−1c (J) consiste de dois subintervalos fechados,

um em I0 e um em I1.

Para encontrar x ∈ Λ com S (x) = s, definimos Is0s1s2...sn = {x ∈ I | x ∈ Is0 , Qc (x) ∈Is1 , . . . , Q

nc (x) ∈ Isn}. Desde que sj = 0 ou 1 para cada j, o conjunto Isj

ou e I0 ou I1.

Daı, temos Is0s1s2...sn = Is0 ∩Q−1c (Is1) ∩ . . . ∩Q−n

c (Isn). Para qualquer par de intervalos A e

B, temos Q−1c (A ∩B) = Q−1

c (A) ∩ Q−1c (B). Assim podemos tambem escrever Is0s1s2...sn =

Is0 ∩Q−1c (Is1s2...sn). Temos que Is0s1s2...sn e um intervalo fechado, logo Is1s2...sn tambem e um

intervalo fechado.

Estes intervalos sao encaixados porque Is0s1s2...sn = Is0s1s2...sn−1 ∩ Q−nc (Isn) ⊂ Is0s1s2...sn−1 .

Portanto concluımos que ∩n≥0Is0s1s2...sn e nao vazio. Note que se x ∈ ∩n≥0Is0s1s2...sn , entao

x ∈ Is0 , Qc (x) ∈ Is1 , e assim sucessivamente. Daı, S (x) = (s0s1 . . .). Isto prova que S e

sobrejetora.

Continuidade: Seja x ∈ Λ e suponhamos que S (x) = (s0s1 . . .). Seja ε > 0. Tome n

tal que 12n < ε. Considere os subintervalos fechado Is0s1s2...sn definido para todas as possıveis

combinacoes t0t1t2 . . . tn. Estes subintervalos sao todos disjuntos e Λ esta contido na uniao

destes subintervalos. Existem 2n+1 subintervalos e Is0s1s2...sn e um deles. Escolhemos δ tal

que se | x − y |< δ e y ∈ Λ, implica que y ∈ Is0s1s2...sn . Simplesmente escolhemos um δ tao

pequeno tal que o intervalo de comprimento 2δ centrado em x nao intercepta nenhum dos

It0t1...tn com execao do intervalo Is0s1s2...sn . Portanto, S (y) coincide com S (x) nos primeiros

n + 1 termos. Daı, pelo Teorema da Proximidade, temos

d[S (x) , S (y)] ≤ 1

2n< ε.

Isto prova que S e contınua. E facil checar que S−1 tambem e continua. Portanto, S e um

homeomorfismo.

6 Caos

Nesta secao, iremos introduzir a nocao de caos. Iremos mostrar que existem alguns sistemas

dinamicos que sao caoticos, contudo, podem ser compreendidos. Iremos descrever como isto

acontece primeiro para a funcao deslocamento e depois outros exemplos incluindo a famılia

quadratica.

6.1 Tres Propriedades de um Sistema Caotico

Definicao 6.1 Suponhamos que X e um conjunto e Y e um subconjunto de X. Dizemos

que Y e denso em X se, para qualquer ponto x ∈ X, existir um ponto y ∈ Y arbitrariamente

proximo de x.

Sobre a dinamica da funcao deslocamento σ no espaco de sequencia Σ. Podemos fazer a

observacao sobre esta funcao e que o subconjunto de Σ de todos os pontos periodicos de σ e

um subconjunto denso. Para mostrar que isto e verdadeiro temos que dado qualquer ponto

S = (s0s1s2 . . .) em Σ, podemos encontrar um ponto periodico arbitrariamente proximo de

S. Dado ε > 0, escolhemos um n inteiro tal que 12n < ε. Podemos agora escrever um ponto

periodico que dista 12n de S. Seja tn = (s0s1...sns0s1...sn) tal ponto. As primeiras n + 1

entradas de s e tn sao as mesmas. Daı, pelo Teorema da Proximidade temos que

d[s, tn] ≤ 1

2n< ε.

A segunda e mais interessante propriedade de σ, e que existe um ponto cujo a orbita e

densa em Σ. Isto e, podemos encontrar uma orbita a qual fica arbitrariamente proximo

de qualquer ponto de Σ. Claramente, este tipo de orbita nao pode ser periodica. Vamos

descrever tal orbita. Considere o ponto

s′ = (0 1 00 01 10 11 000 001 . . .).

Onde s′ e a sequencia que consiste de todos os possıveis blocos de 0′s e 1′s de comprimento

1, em seguida de comprimento 2 e assim sucessivamente.

O ponto s′ tem uma orbita que forma um subconjunto denso de Σ. Escolhemos novamente

s = (s0s1s2 . . .) ∈ Σ e um ε > 0. Tambem escolhemos um n tal que 12n < ε.

Agora mostraremos que a orbita de s′ esta a uma distancia de 12n de s. Temos que um

dos blocos de s′ de comprimento n + 1 que consiste dos digitos s0s1....sn. Suponhamos que

a entrada s0 e o k-esimo digito na sequencia. Logo se aplicarmos σk em s′, teremos que

as primeiras n + 1 entradas de σk(s′) sera s0s1.....sn. Entao, pelo Teorema da Proximidade

temos

d[σk(s′), s] ≤ 1

2n< ε.

O conceito de transitividade que apresentaremos a seguir, esta intimamente relacionado

com a propriedade de orbita densa.

Definicao 6.2 Um sistema dinamico e transitivo se, para um par de pontos quaisquer x e

y e qualquer ε > 0 existir um terceiro ponto z a uma distancia de no maximo ε de x e sua

orbita estar a uma distancia ε de y.

Um sistema dinamico que tem uma orbita densa e transitivo. A reciproca tabem e verdadeira.

A terceira propriedade exibida pela funcao deslocamento e a dependencia sensitiva das

condicoes iniciais.

Definicao 6.3 Um sistema dinamico F depende sensitivamente das condicoes iniciais se

existe β > 0 tal que para quaisquer x e ε > 0, existe y a uma distancia menor que ε de x e

existe k um numero natural tal que a distancia entre F k(x) e F k(y) e pelo menos β.

Veremos que a aplicacao σ depende sensitivamente das condicoes iniciais, para isso,

tomemos β = 1 e para algum s ∈ Σ e ε > 0 escolheremos n tal que 12n < ε. Suponhamos

t ∈ Σ que satisfaz d[s, t] < 12n mas t 6= s.

Como d[s, t] < 12n ⇒ si = ti para i ≤ n, daı temos que existe k > n, tal que sk 6= tk.Se

aplicarmos σ em s e em t k vezes, as primeiras entradas de σk(s) e σk(t) sao respectivamente

sk e st. Como sk 6= tk, temos que | sk − tk |= 1. Daı,

d[σk(s), σk(t)] ≥ | sk − tk |20

+∞∑i=0

| si − ti |2i

=

= 1 +∞∑i=0

0

2i= 1 ⇒ d[σk(s), σk(t)] ≥ 1 = β.

Isto prova que a funcao deslocamento depende sensitivamente de condicoes iniciais.

Definicao 6.4 Um sistema dinamico F e caotico se:

1 - Os pontos periodicos de F sao denso;

2 - F e transitivo;

3 - F depende sensitivamente de condicoes iniciais.

Temos que a funcao deslocamento satisfaz as tres condicoes necessarias para um sistema

dinamico ser caotico. Logo, provamos o seguinte teorema.

Teorema 6.1 A funcao deslocamento σ : Σ → Σ e um sistema dinamico caotico.

Proposicao 6.1 Suponhamos F : X → Y e uma funcao contınua e sobrejetora e supon-

hamos tambem que D ⊂ X e um subconjunto denso. Entao, F (D) e denso em y.

Demonstracao. Ver referencia [1].

Teorema 6.2 Suponhamos c < −(5+2√

5)4

. Entao a funcao quadratica Qc(x) = x2 + c e

caotica no conjunto Λ.

Demonstracao. S : Λ → Σ, temos que S e uma conjugacao para valores de c < −(5+2√

5)4

.

Daı, temos que S e um homeomorfismo, ou seja, S e injetora, sobrejetora, contınua e possui

inversa contınua.

Portanto a proposicao densidade garante que o conjunto de pontos periodicos de Qc e denso

em Λ, desde que S−1 leve pontos periodicos de σ para pontos periodicos de Qc.

Tambem, se s′ e uma orbita densa para σ, entao a proposicao densidade garante que a

orbita de S−1(s′) e uma orbita densa para Qc e entao Qc e transitivo.

Entao, para provar que Qc e caotico, precisamos exibir uma dependencia sensitiva.

Para completar a prova precisamos encontrar um β > 0. Relembraremos que Λ esta

contido na uniao de dois intervalos fechados I0 e I1 os quais sao disjuntos. Escolhemos β

menor que a distancia mınima entre estes intervalos. Seja x, y ∈ Λ com x 6= y. Desde que S e

um homeomorfismo, S(x) 6= S(y). Como consequencia, estas duas sequencias se diferem em

alguma entrada, digamos na k-esima. Isto significa que Qkc (x) e Qk

c (y) permanece cada um

em um intervalo Ij. Daı, a distancia entre Qkc (x) e Qk

c (y) e ao menos β. Portanto, qualquer

orbita proxima de x, em algum momento se separa da orbita de x a uma distancia pelo menos

β.

Portanto a famılia quadratica Qc(x) = x2 + c e caotica no conjunto Λ.

7 Teorema de Sarkovskii

Teorema 7.1 Suponhamos que F : R → R seja contınua. Suponhamos tambem que F tem

um ponto periodico de perıodo 3. Entao F tambem tem pontos perıodicos de todos os outros

perıodos.

Demonstracao. Ver referencia [1].

Observacao 7.1 Suponhamos I = [a, b] e J = [c, d] sao intervalos fechados e I ⊂ J . Se

F (I) ⊃ J , entao F tem um ponto fixo em I.

Observacao 7.2 Suponhamos I e J sao dois intervalos fechados e F (I) ⊃ J . Entao existe

um subintervalo I ′ ⊂ I tal que F (I ′) = J .

Definimos uma nova ordem dos numeros naturais, chamada ordem de Sarkovskii, da

seguinte forma:

3, 5, 7, 9, . . .

2 · 3, 2 · 5, 2 · 7, 2 · 9, . . .22 · 3, 22 · 5, 22 · 7, 22 · 9, . . .

...

. . . , 2n, . . . , 23, 22, 2, 1.

Teorema 7.2 (Sarkovskii) Suponhamos F : R → R e contınua. Suponhamos que F tem

um ponto periodico de perıodo n e que n precede k na ordem de Sarkovskii. Entao F tambem

tem ponto periodico de perıodo primo k.

Demonstracao. Vamos provar este teorema dividindo em casos especiais.

Caso 1: Perıodo k ⇒Perıodo 1. Suponhamos x1, x2, . . . , xk formam um k-ciclo, com x1 <

x2 < . . . < xk. Agora F (x1) e um dos xi com i > 1, e F (xk) e um dos xi com i < k.

Assim, F (x1) = xi para i > 1, temos que F (x1) − x1 > 0. Similarmente F (xk) − xk < 0.

Portanto, pelo teorema do Valor Intermediario existe um x entre x1e xk tal que F (x)− x =

0 ⇒ F (x) = x, logo x e ponto fixo, ou seja, tem perıodo 1.

Caso 2: Perıodo 4 ⇒Perıodo 2. Suponhamos x1, x2, x3, x4 de forma que tenhamos um

4-ciclo com x1 < x2 < x3 < x4. Escolhemos um ponto a entre x2 e x3. Entao existem dois

casos. O primeiro caso ocorre se ambos F (x1) > a e F (x2) > a. Entao temos F (x3) < a e

F (x4) < a. Seja I0 = [x1, x2] e I1 = [x3, x4]. Desde que I0 ⊂ F (I1) e F (I0) ⊃ I1, as duas

observacoes anteriores nos garante que existe um 2-ciclo entre I0 e I1.

Caso 3: Perıodo 2n ⇒Perıodo 2k quando n > k. Anteriormente, provamos para os casos

em que n = 1 ou 2. Entao assumiremos que n ≥ 3. Seja l = 2n−2 e considere G (x) = F l (x).

Os ciclos de perıodo 2n para F e um ciclo de perıodo 4 para G. Do caso anterior, segue que

G tem um 2-ciclo. Mas um 2-ciclo de G e um 2n−1-ciclo de F .

7.1 A Derivada Schwarziana

Definicao 7.1 A derivada Schwarziana de uma funcao F e

SF (x) =F ′′′ (x)

F ′ (x)−3

2

(F ′′ (x)

F ′ (x)

)2

.

Proposicao 7.1 (a) Suponhamos que P (x) e uma funcao polinomial e que todas as raızes

de P ′ (x) sao reais e distintas. Entao SP < 0.

(b) Suponhamos F e G sejam funcoes. Entao,

S (F ◦G) (x) = SF (G (x)) · (G′ (x))2+SG (x) .

Demonstracao. Ver referencia [1].

Corolario 7.1 Suponhamos SF < 0 e SG < 0. Entao S (F ◦G) < 0. Em particular, se

SF < 0 entao SF n < 0.

Proposicao 7.2 Suponhamos que SF < 0. Entao F ′ nao pode ter mınimo local positivo ou

maximo local negativo.

Demonstracao. Ver referencia [1].

7.2 Ponto Crıtico e Bacias de Atracao

Definicao 7.2 Suponhamos que x0 e um ponto fixo atrator para F . A bacia de atracao de x0

e o conjunto de todos os pontos cujo as orbitas tendem para x0. A bacia de atracao imediata

de x0 e o maior intervalo que contem x0 e esta contido na bacia de atracao.

Teorema 7.3 Suponhamos SF < 0. Se x0 e um ponto periodico atrator para F , entao a

bacia de atracao imediata de x0 extende para +∞ ou −∞, ou existe um ponto crıtico de F

cujo a orbita e atraıda pela orbita de x0.

Demonstracao. Faremos a demonstracao deste teorema para o caso mais simple onde x0 e

um ponto fixo (ponto periodico de erıodo 1) atrator. Para o caso geral, ver[1]. Provaremos

que a bacia de atracao imediata de um ponto fixo atrator p ou contem um ponto crıtico, ou

extende para o infinito.

A bacia de atracao imediata de p deve ser um intervalo aberto, por outro lado, pela

continuidade, podemos estender a bacia para os pontos finais. Suponhamos que a bacia de

atracao imediata de p e o intervalo (a, b). Se a ou b sao infinitos nao ha mais nada a fazer.

Entao, suponhamos que ambos a e b sao finitos.

Desde que F aplica o intervalo (a, b) nele mesmo, seque que F preserva os pontos finais do

intervalo. Isto e, F (a) = a ou b e F (b) = a ou b. Assim, temos:

1 - F (a) = a, F (b) = b;

2 - F (a) = b, F (b) = a;

3 - F (a) = a, F (b) = a;

4 - F (a) = b, F (b) = b.

Observe pela figura 7.1, que nos casos 3 e 4, F possui claramente um maximo ou um

mınimo no intervalo (a, b) cuja orbita e atraıda para p. Portanto, nestes dois casos, o teorema

e verdadeiro.

Figura 10: Casos 3 e 4.

Para o caso 1, temos que F nao pode ter ponto fixo alem de p em (a, b). Entao, temos

que F (x) > x em (a, p). Veremos que nao podemos ter F (x) = x em (a, p), por isto poderia

ser dado um segundo ponto fixo em (a, b). Tambem, se F (x) < x para todo x em (a, p),

entao a analise grafica mostra que p nao e ponto fixo atrator. Consequentemente, temos que

F (x) > x no intervalo (a, p). Atraves de argumentos semelhantes provamos que F (x) < x

no intervalo (p, b).

Pelo Teorema do Valor Medio temos que existe um ponto c em (a, p) tal que

F ′ (c) =F (a)− F (p)

a− p=

a− p

a− p= 1.

Note que c 6= p desde que F ′ (p) < 1. Similarmente, existe um ponto d em (p, b) para o

qual F ′ (d) = 1.

Assim, no intervalo [c, d], o qual contem p em seu interior, temos F ′ (c) = 1, F ′ (d) = 1 e

F ′ (p) < 1.

Pela proposicao 7.2, temos que F ′ nao pode ter mınimo local positivo em [c, d]. Assim,

temos que F ′ torna-se negativa em [c, d], entao existe ao menos um ponto na bacia de atracao

de p para o qual a derivada se anula. Isto nos da um ponto crıtico na bacia.

Por outro lado o caso 2, vamos considerar G (x) = F 2 (x). O ponto fixo p e atrator para

G e (a, b) e a bacia de atracao imediata de p sobre G. Alem disso, SF < 0 pela Regra da

Cadeia para Derivadas Schwarziana. Desde que G (a) = a e G (b) = b o argumento de caso

1 mostra que G tem ponto crıtico x′ em (a, b). Desde que G′ (x′) = F ′ (F (x′)) · F ′ (x′), disto

segue que x′ ou F ′ (x′) e ponto crıtico de F em (a, b). Isto completa a prova.

8 Fractais

Iremos estudar a geometria de determinados conjuntos, chamados fractais. Iniciemos esse

estudo com um “jogo”simples, chamado “jogo do caos”.

8.1 Jogo do Caos

Sejam tres pontos A, B, C em um plano, formando um triangulo equilatero. Escolhemos um

ponto x0 qualquer e tambem um dos vertices. O ponto medio entre o vertice escolhido e

x0, que denotaremos por x1, sera a primeira iterada de x0. Daı, escolhemos novamente um

vertice qualquer. O ponto medio entre x1 e o vertice escolhido, que denotaremos por x2, sera

a segunda iterada de x0. Note que, se escolhermos sempre o mesmo vertice, a orbita de x0

tende para esse vertice. Se a escolha deste vertice for aleatoria, temos, que a orbita deste

ponto tende para um conjunto chamado Triangulo de Sierpinski.

Definicao 8.1 Um fractal e um subconjunto do Rn o qual e auto-similar e cujo a dimensao

fractal, que definiremos adiante, excede a dimensao topologica.

8.2 O Conjunto de Cantor

O conjunto de Cantor Terco-Medio e obtido atraves de sucessivas remocoes de intervalos

abertos que sao o terco medio do intervalo anterior. Uma das propriedades mais importantes

de um fractal e o fato de ser auto-similar, ou seja, se ampliarmos uma parte microscopia deste

fractal a imagem que obteremos sera semelhante a original. A diferenca entre a imagem apos

as retiradas dos tercos-medio e a imagem original e que conforme retiramos os tercos-medio

a imagem fica 13

menor. Assim, para obter a imagem original, basta ampliar em um fator de

3. Temos que o conjunto de Cantor no n-esimo estagio de sua construcao tera 2n intervalos

e o fator de ampliacao de cada um destes intervalos e de 3n.

8.3 O Triangulo de Sierpinski

O triangulo de Sierpinski, inicialmente obtido atraves do jogo de caos, pode ser construıdo

de forma semelhante a construcao do Conjunto de Cantor. Iniciamos com um triangulo

equilatero, entao dividimos cada lado em dois e retiramos o triangulo central, obtendo tres

triangulos equilateros, onde cada um deles possui a metade da dimensao de original. Fazendo

isto sucessivas vezes, obtemos o Triangulo de Sierpinski. O triangulo de Sierpinski tambem

e auto-similar, mas o fator de ampliacao e 2. No n-esimo estagio de construcao temos 3n

triangulos equilateros e o fator de ampliacao de cada um destes triangulos para obter o

triangulo original e de 2n.

8.4 Flocos de Neve de Koch

O fractal de Koch chamado Flocos de Neve de Koch, ao contrario de Conjunto de Cantor e do

Triangulo de Sierpinski, que eram construıdos atraves de sucessivas remocoes de intervalos

e de triangulos. O Flocos de Neve de Koch e construıdo atraves de sucessivas adicoes de

parte de um triangulo. Comecamos inicialmente com um triangulo equilatero, dividimos

cada lado deste triangulo em tres partes e retiramos o terco-medio em seguida adicionamos

Figura 11: O Triangulo de Sierpinski.

duas partes com o mesmo comprimento. Conforme figura 12 abaixo. Fazendo este processo

sucessivamente, em cada novo pedaco, obtemos o fractal de Koch. Cada pedaco dos Flocos

de Neve de Koch e auto-similar, o fator de ampliacao do fractal de Koch tambem chamado

curva de Koch e 3.

Figura 12: Primeiro passo da construcao do floco de neve de Koch.

A curva de Koch tem uma propriedade geometrica importante: tem area finita, mas seu

perımetro e infinito. Para calcular o numero de lados da curva de Koch no k-esimo estagio

temos,

Nk = 4Nk−1 = 4k · 3.

Daı, temos que o comprimento de cada pedaco no k-esimo estagio e dado por

Lk =1

3k.

Portanto, o calculo do perımetro e feito da seguinte forma

Pk = Nk · Lk = 4k · 3 · 1

3k=

(4

3

)k

· 3.

Quando k →∞ temos que Pk →∞.

Figura 13: Floco de Neve de Koch.

8.5 Dimensao Topologica

Definicao 8.2 Um conjunto S tem dimensao topologica 0 se todo ponto tem arbitrariamente

uma pequena vizinhanca cujo as franteiras nao interceptam o conjunto S.

O Conjunto de Cantor tem dimensao topologica igual a 0.

Definicao 8.3 Um conjunto A tem dimensao topologica k se cada ponto em A tem arbi-

trariamente uma pequena vizinhanca cujo as fronteiras interceptam A em um conjunto de

dimensao (k − 1) e k e o menor inteiro nao negativo para o qual isto ocorre.

O Triangulo de Sierpinski tem dimensao topologica igual a 1.

8.6 Dimensao Fractal

Definicao 8.4 Um conjunto S e chamado auto-similar afim se S pode ser subdividido em

k subconjuntos congruentes, cada um destes subconjuntos pode ser ampliado por um fator

constante M para obter o mesmo conjunto S.

Para calcular dimensao fractal temos a seguinte definicao.

Definicao 8.5 Suponhamos que o conjunto auto-similar afim S pode ser subidividido em k

pedacos congruentes, e cada um destes pedacos pode ser ampliado a um fator M para produzir

o conjunto S. Entao, a dimensao fractal D de S e

D =log (k)

log (M).

Vamos mostrar alguns exemplos de como calcular a dimensao fractal de alguns conjuntos.

Exemplo 8.1 Vamos calcular a dimensao fractal do Triangulo de Sierpinski. Sabemos que

no n-esimo estagio da construcao do Triangulo de Sierpinski tem 3n triangulos e o fator de

ampliacao e de 2n. Daı, temos

D =log (3n)

log (2n)=

log (3)

log (2).

Exemplo 8.2 O Flocos de Neve de Koch tem no n-esimo estagio 4n pedacos e o fator de

ampliacao e de 3n. Daı, sua dimensao fractal e

D =log (4n)

log (3n)=

log (4)

log (3).

8.7 Sistemas de Funcoes Iteradas

Vamos retornar ao jogo do caos para mostrar que muitos fractais podem ser obtidos por

variacoes deles mesmos. Usaremos vetores para denotar pontos no plano. Seja

p0 =

x0

y0

um ponto no plano e suponhamos 0 < β < 1. A funcao

A

x

y

= β

x− x0

y − y0

+

x0

y0

temos que p0 e ponto fixo para esta funcao pois, A (p0) = p0. Desde que β < 1, segue que A

leva algum ponto no plano proximo de p0. Na verdade, se

p =

x

y

,

entao A (p) − A (p0) = β (p− p0) e a distancia entre p e p0 e contraıda a um fator de β. A

funcao A e um exemplo de uma contracao linear do plano.

Note que a orbita de qualquer ponto p no plano converge para p0. O jogo do caos foi

feito aleatoriamente, iterando tres diferentes contracoes. Os pontos fixos desta funcao sao

os vertices do triangulo original, e a contracao do raio para cada caso e β = 12. Note que

a ampliacao de Triangulo de Sierpinski no primeiro estagio e 2 = 1β. Podemos, portanto,

construir diferentes fractais escolhendo diferentes valores para β e variando as contracoes.

Definicao 8.6 Sejam 0 < β < 1 e p1, p2, p3, . . . , pn pontos no plano. Seja Ai (p) =

β (p− pi) + pi para i = 1, . . . , n. Os conjuntos das funcoes {A1, . . . , An} e chamado de

sistema de funcoes iteradas.

Para produzir um fractal, escolhemos um ponto inicial arbitrario no plano e computamos

a orbita fazendo iteracoes aleatoria de Ai. Daı, podemos provar que a orbita converge com

probabilidade 1 para um subconjunto especıfico do plano.

Definicao 8.7 Suponhamos que {A1, . . . , An} e um sistema de funcao iterada. O conjunto

de pontos para o qual uma orbita arbitraria no plano converge e atrator para o sistema. Tal

atrator e um fractal para esse sistema.

Referencias

[1] Devaney, R. L. A First Course In Dynamical Systems: Theory and Experiment, Addison

– Wesley Publishing Company, 1992.

[2] Domingues, H.H. Espacos Metricos e Introducao a Topologia, Sao Paulo, Atual, 1982.

[3] Lima, E.L. Um Curso de Analise, Volume I, Rio de Janeiro, IMPA, CNPq, 1982.

[4] Guidorizzi, H.L. Um Curso de Calculo, Volumes I e II, Rio de Janeiro, Livros Tecnicos

e Cientıficos, 1987.

Teoria dos Números e suas aplicações

Luis Armando dos Santos Júnior1 e Antônio Carlos Nogueira

2

Universidade Federal de Uberlândia

Abril- 2009

1:Orientando Programa de Educação tutorial do curso de Matemática.

E-mail: canarexmg@yahoo.com.br

2: Orientador. E-mail: anogueira@ufu.br

Resumo

Este trabalho tem como objetivo mostrar através de demonstrações, exposição de

definições e exemplos algumas aplicações de Teoria dos Números, em particular aplicações

na criptografia e calendários.

Considerações Preliminares

Para a aplicação de Teoria dos Números em Criptografia é necessário que se relembre

algumas definições e teoremas importantes para entendimento do processo.

Definição 1: Seja n um número inteiro positivo. Dois inteiros a e b são ditos congruentes

módulo n, simbolizado por

)(modnba ≡

se n divide a diferença ba − ; ou seja, knba =− para algum inteiro k.

Definição 2: Uma equação da forma )(mod nbax ≡ , com a, b e n inteiros é chamada de

congruência linear, e como solução desta equação dizemos que é um inteiro 0x para o qual

)(mod0 nbax ≡ .

Função ϕ de Euler: Para 1≥n , existe )(nφ que denota o número de inteiros positivos que são

relativamente primos de n e que não são maiores que n .

Teorema 1: Se p é um primo e 0>k , então

)1

1()( 1

ppppp

kkkk −=−=φ −

Demonstração: Claro que, 1),( =kpnmdc se e somente se p não divide n. Existem 1−kp

inteiros entre 1 e kp divisíveis por p , ou seja,

p , p2 , p3 , ...., pp k )( 1−

Já que },...,2,1{ kp contêm exatamente 1−− kk pp inteiros que são relativamente primos com kp , então pela definição da função φ , 1)( −−=φ kkk ppp .

Teorema 2: Se o inteiro 1>n tem uma fatoração em primos rk

r

kkpppn ...21

21= , então

−

−

−=

=−−−=φ −−−

r

k

r

k

r

kkkk

pppn

ppppppn rr

11...

11

11

))...()(()(

21

11

22

1

112211

Demonstração: Pretende-se usar indução em r o número de fatores primos distintos de n .

Pelo Teorema 1, o resultado é verdadeiro para 1=r . Suponha que é verdadeiro para ir = . Já

que

1),...( 121121 =+

+ii k

i

k

i

kkppppmdc

Da definição de função multiplicativa, temos

)()...(

)()...())...((

1

111

11121

111

11121

−

++

++

++

++

−φφ=

=φφ=φ

iii

iiii

k

i

k

i

k

i

k

k

i

k

i

kk

i

k

i

kk

pppp

ppppppp

Através da indução têm-se então que

))...()(()...(11

22

1

1121221121 −−−

−−−=φ iii k

i

k

i

kkkkk

i

kkppppppppp

Concluiu-se os passos da indução e a demonstração do teorema.

Lema 1: Seja 1>n e 1),( =namdc . Se )(21 ,...,, naaa φ são os inteiros positivos menores que

n que são relativamente primos com n , então

)(21 ,...,, naaaaaa φ

são congruentes módulo n com )(21 ,...,, naaa φ em qualquer ordem.

Demonstração: Observe que não há dois inteiros )(21 ,...,, naaaaaa φ que são congruentes

módulo n . Para )(mod naaaa ji ≡ , com )(1 nji φ≤<≤ , então a lei do cancelamento

permite que )(mod naa ji ≡ , daí ji aa = que é um absurdo. Além disso, como

1),( =namdc i para todo i e 1),( =namdc , o fato de φ ser uma função multiplicativa garante

que cada iaa é relativamente primo de n.

Para um iaa particular existe um único inteiro b , onde nb <≤0 , para o qual

)(mod nbaai ≡ . Como

1),(),( == naamdcnbmdc i

b deve ser um dos inteiros )(21 ,...,, naaa φ .

Teorema 3 (Teorema de Euler): Se 1≥n e 1),( =namdc , então )(mod1)( na n ≡φ .

Demonstração: Não há problema em pegar 1>n . Seja )(21 ,...,, naaa φ os inteiros positivos

menores que n que são relativamente primos com n . Como 1),( =namdc , segue do lema

que )(21 ,...,, naaaaaa φ são congruentes, não necessariamente em ordem de aparência, com

)(21 ,...,, naaa φ . Logo

)(mod

)(mod

'

22

'

11

naaa

naaa

≡

≡

M M

)(mod'

)()( naaa nn φφ ≡

onde '

)(

'

2

'

1 ,...,, naaa φ são os inteiros )(21 ,...,, naaa φ em alguma ordem qualquer. Fazendo o

produto dessas )(nφ congruências, têm-se

)(mod...

)(mod...))...()((

)(21

'

)(

'

2

'

1)(21

naaa

naaaaaaaaa

n

nn

φ

φφ

≡

≡

e então

( ) )(mod...... )(21)(21

)( naaaaaaa nn

n

φφ

φ ≡

Como o 1),( =namdc i para cada i , então pela função φ ser multiplicativa implica que

1),...( )(21 =φ naaamdc n . Logo, pode-se dividir os dois lados da congruência pelo fator comum

)(21 ,...,, naaa φ , deixando apenas

)(mod1)( na n ≡φ

Definição 3: Para um número real arbitrário x , nós denotamos por [ ]x o maior inteiro menor

ou igual a x ; ou seja, [ ]x é o único inteiro que satisfaz [ ] xxx ≤<−1 .

Aplicação na Criptografia

Criptografia: Do grego Kryptos significando “escondido” e graphein significando “escrever”,

ou seja, é a ciência de fazer as comunicações ininteligíveis para todos exceto órgãos

autorizados.

Na linguagem de criptografia, os códigos são as cifras e a informação neles escondidos é

chamado texto plano. Após a transformação do texto plano em sua forma secreta, este passa

a ser chamado texto cifrado.

Criptografia de Júlio César: Um dos primeiros sistemas de criptografia, usado pelo grande

imperador romano Júlio César por volta de 50 anos A.C. Este sistema usava uma substituição

rudimentar de cifras, o qual consistia de apenas de substituir cada letra do alfabeto pela letra

3 posições abaixo no alfabeto, com as últimas 3 letras correspondentes as 3 primeiras

respectivamente, ou seja, em ciclo. Representando o texto plano e o texto cifrado

correspondente, têm-se:

Texto plano: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

Texto cifrado: DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC

Por exemplo, a mensagem

FAMAT EM REVISTA

é transformada no texto cifrado

IDPDW HP UHYMVWD

O método de César pode facilmente ser descrito usando-se teoria das congruências.

Expressando o texto plano numericamente transferindo os caracteres do texto em dígitos

através da seguinte relação

A B C D E F G H I J K L M

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Se P é o dígito equivalente a uma letra do texto plano e C é o dígito equivalente a letra no

texto cifrado, então

)26(mod3+≡ PC

Por exemplo, convertendo-se as letras da mensagem para seus correspondentes numéricos

05 00 12 00 19 04 12 17 04 21 08 18 19 00

Usando-se a congruência acima, obtêm-se

08 03 15 03 22 07 15 20 07 24 11 21 22 03

Para recuperar a mensagem a partir de um texto cifrado, basta usar a congruência

)26(mod233 +≡−≡ CCP

O método de César é muito simples e extremamente inseguro. Um sistema de criptografia no

qual cada letra é substituída por uma mesma cifra é conhecido como cifra monoalfabética.

Este tipo de criptografia é extremamente vulnerável aos métodos estatísticos de ataque já que

o método preserva a freqüência de letras individuais. Um sistema polialfabético seria aquele

que uma mesma letra do texto plano corresponde a diferentes cifras inclusive em uma mesma

mensagem.

Método da palavra chave: Este método foi publicado pelo Criptográfo Blaise de Vigenère

(1523-1596) em Traicté de Chiffres de 1586. O método de Blaise é um sistema polialfabético

, para implementar este sistema ambas partes comunicantes combinariam o uso de uma

palavra ou frase de fácil recordação. Com o alfabeto transformado em dígitos conforme a

tabela anterior, os dígitos equivalentes a “palavra-chave” é repetido quantas vezes

necessárias sob os dígitos correspondentes ao texto plano. A mensagem então seria

codificada através da adição, módulo 26, de cada número do texto plano com o número

imediatamente abaixo dele. Para ilustrar o processo usa-se a palavra-chave MAT, a qual tem

versão numérica 12 00 19. Seja a mensagem

CRIPTOGRAFIA

Cujo equivalente numérico é 02 17 08 15 19 14 06 17 00 05 08 00, usando-se do método

têm-se

02 17 08 15 19 14 06 17 00 05 08 00

12 00 19 12 00 19 12 00 19 12 00 19

quando as colunas são adicionadas módulo 26 têm-se

14 17 01 01 19 07 18 17 19 17 08 19

convertendo em cifras

ORBBTHSRTRIT

Note que uma mesma letra do texto plano é representada por mais de uma letra diferente no

texto cifrado (observe o I), o fato de que para o A e R repetiram foram meras coincidências,

tudo depende da escolha da palavra chave.

Em geral, qualquer seqüência de n letras com equivalentes numéricos nbbb ,...,, 21

( )2500 ≤≤ ib servirá como palavra-chave. O texto plano da mensagem é representado como

blocos sucessivos nPPP ...21 de n inteiros de dois dígitos iP , e então convertido para o texto

cifrado cujos blocos são nCCC ...21 por meio das congruências

)26(modiii bPC +≡ ni ≤≤1

A decodificação é pelas relações

)26(modiii bCP −≡ ni ≤≤1

Por causa da distribuição das letras do texto cifrado em relação ao texto plano ser tão

obscura o sistema foi pensado como “inquebrável”, porém a fraqueza no métode de Vigenère

é que uma vez determinado o tamanho n da palavra-chave, uma mensagem criptografada

pode ser recuperada como sendo feita de n cifras monoalfabéticas, sendo feito a análise de

freqüência de cada uma.

Método de Lester Hill: Em 1929, Lester Hill, um professor de matemática assistente no

Colégio Hunter criou um método de Criptografia que se baseava em dividir o texto plano em

blocos de n letras (possivelmente completando o último bloco por letras determinadas, X

por exemplo), e então codificar bloco por bloco usando um sistema linear de n congruências

com n variáveis. Numa forma simples ( 2=n ) o procedimento seleciona duas letras

sucessivas e transforma seus equivalentes numéricos 21PP em um bloco 21CC de números

do texto cifrado através do par de congruências

)26(mod

)26(mod

212

211

dPcPC

bPaPC

+≡

+≡

Para permitir a decodificação, os 4 coeficientes dcba ,,, devem ser selecionados de modo

que 1)26,( =− bcadmdc .

Para ilustrar o método de Hill, considere as congruências

)26(mod85

)26(mod32

212

211

PPC

PPC

+≡

+≡

para codificar a mensagem BUY NOW. O primeiro bloco BU de duas letras é

numericamente equivalente a 01 20, de acordo com o quadro anterior. Substituindo

( ) ( )

)26(mod09165)20(8)01(5

)26(mod1062203012

≡≡+

≡≡+

Continuando duas letras por vez, encontram-se os números do texto cifrado

10 09 09 16 16 12

que pode ser expresso alfabeticamente por KJJ QQM.

Decodificação requer a resolução do sistema original de congruências para 1P e 2P em

termos de 1C e 2C . Logo

)26(mod25

)26(mod38

212

211

CCP

CCP

+−≡

−≡

Para o bloco 10 09 do código, calcula-se

)26(mod2032)09(2)10(5

)26(mod0153)09(3)10(8

2

1

≡−≡+−≡

≡≡−≡

P

P

Que correspondem as letras originais BU. O restante do texto plano pode ser restaurado de

maneira similar.

Criptografia de chave-pública: Nos métodos anteriores o emissor e o receptor da mensagem

conheciam o código secreto da codificação, a chave do método, e somente eles. No método

de chave pública existem duas chaves, uma pública liberada para qualquer um que desejar

enviar a mensagem ao receptor conseguir codificar e uma secreta para decodificação que

apenas o receptor conhece.

Método RSA de Criptografia: Em 1977, R. Rivest, A. Shamir e L. Adleman propuseram um

método de chave pública que usa somente idéias elementares de teoria dos números. A

segurança do método depende da corrente tecnologia computacional, a fatoração de números

compostos com grandes números primos é com certeza cansativa.

Cada usuário do sistema RSA escolhe um par de primos distintos, p e q , grandes o

suficiente para que a fatoração de seu produto pqn = , chamado de módulo codificador, vai

além de qualquer capacidade computacional. Por exemplo, pode-se escolher p e q com 200

dígitos cada, deste modo n terá em torno de 400 dígitos. Selecionado n , o usuário escolhe

um inteiro positivo qualquer k , o expoente codificador, de modo que satisfaça

1))(,( =φ nkmdc . O par ),( kn é colocado em um arquivo público, análogo a uma lista

telefônica, como chave de codificação para os usuários. Isto permite que qualquer um, na

rede de comunicação, codifique uma mensagem e envie ao receptor. Note que apesar de n ser

acessível a todos, isto não significa que os fatores p e q sejam, p e q fatores primos de n .

O processo de codificação se inicia com a conversão da mensagem em um inteiro M por

meio do alfabético digital abaixo no qual cada letra, número ou símbolos do texto plano é

substituído por um inteiro de dois dígitos.

A=00 K=10 U=20 1=30

B=01 L=11 V=21 2=31

C=02 M=12 W=22 3=32

D=03 N=13 X=23 4=33

E=04 O=14 Y=24 5=34

F=05 P=15 Z=25 6=35

G=06 Q=16 ,=26 7=36

H=07 R=17 .=27 8=37

I=08 S=18 ?=28 9=38

J=09 T=19 0=29 !=39

com 99 indicando espaço entre palavras. Neste esquema, a mensagem

THE BROWN FIX IS QUICK

é transformada para o número inteiro

0210271899162008051423990817142213991907049901=M

Assume-se que nM < , onde n é módulo codificador. Do contrário seria impossível

distinguir M de qualquer inteiro maior que seja congruente a ele módulo n . Quando a

mensagem é muito longa para ser analisada como um único número nM < , então M é

quebrado em blocos de dígitos sMMM ,...,, 21 de tamanho apropriado. Cada bloco é

codificado separadamente.

Usando da chave pública ),( kn , o emissor codifica a mensagem do número M (que

representa o texto plano) e transforma em número do texto cifrado r elevando M a k -ésima

potência e reduzindo o resultado módulo n , ou seja

)(mod nrM k ≡

Uma mensagem de 200 caracteres pode ser codificada em segundos em um computador de

alta velocidade. Lembrando que o expoente codificador k foi originalmente selecionado pela

condição 1))(,( =φ nkmdc . Apesar de existir muitas escolhas boas para k , uma sugestão

óbvia é de escolher k como sendo um número primo maior que p e q .

Por outro lado, para determinação da chave de codificação, primeiro determina-se o inteiro

j , o expoente de recuperação secreto, para o qual

))((mod1 nkj φ≡

Já que 1))(,( =φ nkmdc , esta congruência linear tem uma solução única módulo )(nφ . De

fato, o algoritmo euclidiano produz j como solução da equação

1)( =φ+ ynkx

O expoente de recuperação pode somente ser calculado por alguém que conhece p e q ,

fatores primos de n . Logo, j é desconhecido para todos com exceção do receptor. Logo,

com a chave de decodificação determinada pode se recuperar o número M à partir de r

simplesmente calculando jr módulo n . Já que tnkj )(1 φ+= para algum inteiro t , segue-se

que

( ) ( ) )(mod1)()(1 nMMMMMMr ttntnjkj ≡⋅≡≡≡≡ φφ+

de acordo com o Teorema 3 acima e sempre que 1),( =nMmdc . Em outras palavras,

elevando-se o número do texto cifrado a j -ésima potência e reduzindo módulo n recupera-

se o número original M correspondente ao texto plano.

Teve-se que assumir que 1),( =nMmdc para poder usar o Teorema 3 (Teorema de Euler).

No caso em que M e n não sejam relativamente primos, um argumento similar estabelece

que )(mod pMr j ≡ e )(mod qMr j ≡ , o que nos dá a congruência desejada

)(mod nMr j ≡ .

A maior vantagem deste método é que a codificação de uma mensagem não requer o

conhecimento dos dois primos p e q , mas somente de seu produto n , ou seja, não há

necessidade de ninguém além do receptor da mensagem saber os fatores primos essenciais

para a decodificação.

O método direto de ataque ao método seria a tentativa de fatoração de n , um inteiro de

grande magnitude. Uma vez que seus fatores forem determinados, o expoente recuperador j

pode ser calculado a partir de )1)(1()( −−=φ qpn e k . Porém essa fatoração dependerá da

capacidade computacional e do tamanho de n , quanto maior mais difícil a fatoração.

Aplicação nos Calendários

Nosso calendário, o calendário Gregoriano, vem desde a segunda metade do século XVI.

O calendário anterior, introduzido por Júlio César, foi baseado em um ano de 4

1365 de dias,

com um ano bissexto de 4 em 4 anos. Esta não foi uma medida precisa porque o ano solar é

de aproximadamente 365,2422 dias. Este pequeno erro fazia com que o calendário de César

pulasse um dia a cada 128 anos.

Por volta do século XVI, o erro acumulado fez com que o 1º dia da primavera caísse dia

11 de março em vez do dia correto, 21 de março. O papa Gregório XIII corrigiu essa

discrepância em um novo calendário, imposto nos principais países católicos da Europa. Foi

decretado que 10 dias seriam omitidos no ano de 1582, fazendo com que 15 de outubro

viesse logo depois de 4 de outubro daquele ano. Os anos bissextos seriam os anos divisíveis

por 4, exceto aqueles que fosse anos centenários. Anos centenários só seriam bissextos se

fossem divisíveis por 400.

Objetivo: Dado uma data após o ano de 1600 deve-se determinar a qual dia da semana esta

data corresponde usando Teoria dos Números.

Método: Como o dia adicionado no ano bissexto é 29 de fevereiro, vamos adotar como 1º de

março sendo o primeiro dia do ano e o último dia de fevereiro como sendo o último dia do

ano. De acordo com isso, no ano Y março e abril são os primeiro e segundo mês do ano,

respectivamente. Janeiro e fevereiro do ano Y+1 são contados como o 11º e o 12º mês do ano

Y. Outra conveniência é designar os dias da semana por:

Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado

0 1 2 3 4 5 6

O número de dias de um ano comum é )7(mod1365 ≡ , em anos bissextos existem

)7(mod2366 ≡ dias. Por 28 de fevereiro ser o 365º dia do ano, e )7(mod1365 ≡ , 28 de

fevereiro sempre cai no mesmo dia da semana que o anterior 1º de março do mesmo ano.

Logo, o próximo 1º de março é um dia da semana depois do 1º de março do ano anterior.

Mas se o próximo 1º de março é depois de 29 de fevereiro, o dia da semana correspondente

deve ser somado 2 módulo 7.

Seja 1600D , o dia da semana que representa o dia 1º de março do ano de 1600, então o 1º

de março dos anos 1601, 1602, 1603 é dado por 11600 +D , 21600 +D e 31600 +D ,

respectivamente.

Logo, o dia primeiro de março de um ano Y( YD ) é dado por:

)7(mod)1600(1600 LYDDy +−+≡

Onde L é o número de dias de anos bissextos entre 1º de março de 1600 e 1º de março do ano

Y. O número de anos n no intervalo de Yn ≤<1600 que são divisíveis por 4 é dado por:

O número de anos centenários é dado por:

Dentre esses o número de anos bissextos são:

Logo, o valor de L é dado por:

Considerando-se o fato de que 1600D (1º de março de 1600) caiu numa quarta-feira:

Uma fórmula alternativa para L pode ser feita escrevendo Y como:

c: número de séculos e y denota o número de anos daquele século. Substituindo:

Logo, a congruência YD aparece como:

Que se reduz a:

Referências Bibliográficas

- Burton, M. David- Elementary Number Theory- Ed. McGraw Hill- 5ª edição-2004

4004

40044

1600−

=

−=

− YYY

16100

16100100

1600−

=

−=

− YYY

4400

4400400

1600−

=

−=

− YYY

3884001004

4400

16100

4004

−

+

−

=

−

+

−

−

−

=

YYYYYYL

)7(mod)1600(3 LYDY +−+≡

ycY += 100 1000 <≤ y

38844

2438840041004

25 −

+

+=−

++

+−

+=

cyc

ycyc

ycL

)7(mod38844

24)1600100(3 −

+

++−++≡

cycycDY

)7(mod44

23

+

++−≡

ycycDY

Distribuição dos Números Primos

Rafael Afonso Barbosa1, Antônio Carlos Nogueira2

1Bolsista do PET-Matemática da Universidade Federal de Uberlândia 2Docente da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia

Introdução

Historicamente, um problema que tem recebido uma atenção considerável por parte dos matemáticos é a distribuição dos números primos. Algumas questões relacionadas são: 1) Quantos números primos existem? 2) Existe algum polinômio com coeficientes inteiros que possua em seu conjunto imagem somente números primos? 3) Existem primos em progressão aritmética? 4) Quantos primos existem menores que certo inteiro? Neste trabalho apresentaremos soluções para cada uma destas questões, podendo assim compreender melhor como os números primos estão distribuídos no conjunto dos números inteiros. 1 Números primos Começaremos discutindo algumas questões básicas como, por exemplo, a quantidade de números primos, teorema fundamental da aritmética, dentre outras. Definição 1.1: Um número Ν∈p se diz primo se:

i) 0≠p e 1≠p . ii) Os únicos divisores de p são1 e p .

Teorema 1.1: Todo inteiro 1>n pode ser expresso como produto de primos. Dem:

i) Se n é primo, então nn = , que é produto de primos. ii) Se n é composto, então 21 nnn ×= , onde nn << 11 e nn << 21 .

iii) Se 1n e 2n são, então n é produto de primos caso contrário, proceda como no passo (ii) e assim sucessivamente, um número finito de passos.

r

rppppααα

×××= ...21

21

Teorema 1.2: (Teorema Fundamental da aritmética) A fatoração de qualquer inteiro 1>n em primos é única, a menos da ordem dos fatores.

Dem:

Suponha por contradição que exista um inteiro nn << 11 com duas fatorações distintas. Dividindo pelos primos comuns as duas representações teríamos uma igualdade da forma:

sr qqqpppn ×××=×××= ...... 2121

Onde os spi ` e sqi ` são primos não necessariamente distintos, mas com nenhum

primo dede lado direito da igualdade ocorrendo do lado esquerdo. Daí, ....| 211 sqqqp ××× Logo,

iqp |1 para algum si ,...,2,1= . O que é um absurdo,

pois siqp i ,...,2,1,1 =≠ , ou seja, },...,2,1{,1),( 1 sipqmdc i ∈∀= .

Teorema 1.3: Existem infinitos números primos. Demonstração de Euclides:

Suponhamos por contradição que exista um número finito de primos rppp ,...,, 21 .

Façamos 1...21 +×××= rpppn e seja p um primo que divide n . Esse número p não pode

ser igual a nenhum dos números rppp ,...,, 21 porque então ele dividiria

1...21 =×××− rpppn , o que é impossível. Assim p é um primo distinto de rppp ,...,, 21 e,

por conseqüência, rppp ,...,, 21 não podem formar o conjunto de todos os números primos. Demonstração de kummer: Suponhamos que exista um número finito de primos nppp <<< ...21 . Seja

2...21 >×××= npppN , pelo teorema fundamental da aritmética temos que o inteiro 1−N

teria um fator primo ip que dividiria também N . Então ip dividiria 1)1( =−− NN , o que é

absurdo. Demonstração de Hermite: Basta mostrar que para todo número natural n existe um número primo np > . Tome então 1!+= nN , pelo teorema fundamental da aritmética temos que existe um número primo p qualquer dividindo N . Se 1−N então np < divide !n , então como p divide N e divide !n teríamos que p dividiria 1! =−Nn , o que é absurdo. Logo, 1−N . Demonstração de Goldbach: Daremos aqui somente a idéia utilizada por Goldbach em sua demonstração. Basta achar uma sucessão infinita ,...,, 321 aaa de números naturais, primos entre si, dois a dois, isto

é, sem fator primo comum. Se 1p é um fator primo de 1a , 2p um fator primo de 2a ,..., np um

fator primo de na ,..., então ,...,...,,, 321 npppp são todos distintos.

Uma seqüência infinita de números naturais, primos entre si dois a dois, descoberta pro Goldbach e, independentemente a mesma demonstração foi descoberta por Hurwitz em 1891 é a seguinte.

Os números de Fermat 122 +=n

nF (para 0≥n ) são, dois a dois, primos entre si. Por

recorrência sobre m demonstra-se que 110 ...2 −×××=− mn FFFF ; então, se mn < , nF

divide 2−mF . Se existisse um primo p que dividisse simultaneamente nF e mF , dividiria

2−mF e, portanto dividiria 2 , então 2=p , o que é impossível porque mF é ímpar.

Demonstração de Euler: Se p é um número primo qualquer, então 1/1 <p . Daí, a soma da série geométrica de razão p/1 e primeiro termo 1 é dada por:

p

pkk 1

1

11

0 −

=∑∞

=

Igualmente, se q é outro número primo, então:

q

qkk 1

1

11

0 −

=∑∞

=

Multiplicando membro a membro as duas igualdades acima, obtemos:

qp

qpqpqp 11

11

1

1...

111111

22

−

×

−

=++++++

O primeiro membro é a soma dos inversos de todos os inteiros naturais da forma khqp

(com 0≥h , 0≥k ), cada um sendo contando uma e uma só vez, porque a expressão de cada número natural, como produto de primos é única. Supõe-se que rpppp ,...,,, 321 formam a totalidade dos números primos. Para cada

ri ,...,3,2,1= , tem-se:

i

kk

i

p

p 11

11

0 −

=∑∞

=

Multiplicando, membro a membro, essas r igualdades, obtêm-se:

∏∏ ∑==

∞

= −

=r

i

i

r

i kk

i

p

p 11 0 11

1)

1(

E o primeiro membro, uma vez efetuadas às operações, é a soma dos inversos de todos os números naturais, cada um contado uma só vez, como resulta do teorema fundamental.

É sabido que a série ∑∞

=1

1

n n é divergente e, como seus termos são positivos, a ordem de

soma dos termos é irrelevante; O primeiro membro da igualdade será então infinito, enquanto que o segundo membro será finito. Isto é absurdo. Demonstração de Saidak: Toma-se uma seqüência crescente de números ,...,...1 KNN de tal modo que cada

termo KN tenha pelo menos K fatores primos. Dessa forma, conclui-se que existem infinitos números primos.

A seqüência inicia com 0>N , como 1N e 11 +N não tem divisores primos em

comum, o produto )1( 112 += NNN possui ao menos 2 divisores. Do mesmo modo, 2N e

12 +N não tem fatores em comum, logo )1( 223 += NNN possui ao menos 3 fatores primos.

O processo pode continuar indefinidamente, definindo-se sempre )1( 11 += −− KKK NNN e

cada KN terá no mínimo K fatores primos. A seguir vamos apresentar uma nova demonstração para a existência de infinitos números primos.

Teorema 1.4: Considere a seqüência de números naturais da forma 12 −=np

nR , p é primo

impar. Sempre temos que kRR nn ×=+1 e 1),( =kRmdc n , Nn ∈∀ .

Dem:

Observe que )12...)2()2)((12()1)2(12 211

++++−=−=− −−+ nnnnnn ppppppppp .

Suponha que dmdcnnnn pppppp =++++− −− )12...)2()2(,12( 21 , daí vem que

1212 +=⇒=− dxdxnn pp substituindo na expressão acima temos:

11...)1()1(12...)2()2( 2121 +++++++=++++ −−−− dxdxdx ppppppp nnn

Como cada uma das potencias podem ser escritas da forma 1+dm , temos que

1111...11 221 ++++++++++ − dxdmdmdm p , fazendo 221 ... −+++= pmmmM e

observando que o 1 aparece 2−p vezes, segue que:

pxMd

dxpdM

dxdmdmdm

nnn

nnn

nnn

ppppp

ppppp

p

ppppp

++=++++

+++−+=++++

+++++++++=++++

−−

−−

−−−

)(12...)2()2(

11212...)2()2(

111...1112...)2()2(

21

21

22121

Logo, como d divide 12...)2()2( 21 ++++ −− nnn ppppp temos que pdpd =⇒| ou 1=d . Observe que:

)1(mod1 −≡ pp

)1(mod12 −≡×≡ pppp

)1(mod123 −≡×≡ pppp Daí vem que )1(mod1 −≡ pp n , Nn ∈∀ , ou seja, Nnptp n ∈∀+−= ,1)1( . Logo:

12)2(1212 11)1( −×=−=− −+− tptppn

Pelo teorema de Euler que diz se Zmamamamdc m ∈∀≡⇒= ,),(mod11),( )(ϕ . Temos

)(mod12 1 pp ≡− . Segue que:

)(mod112112)2(1212 11)1( ptptppn

≡−×≡−×=−=− −+−

Logo, p não divide 12 −np , então 1)12...)2(,12( 1 =+++−= − nnn ppppmdcd .

Como cada número da seqüência é o anterior vezes pelo menos mais um numero primo que não aparece na decomposição do mesmo, podemos afirmar que existem infinitos números primos. 1.1 Primos em certas progressões aritméticas Vamos agora fazer algumas observações interessantes relacionadas às varias maneiras que os números primos podem ser escritos usando o algoritmo de divisão de Euclides. Sabemos pelo algoritmo da divisão que todo inteiro pode ser escrito da seguinte maneira:

,4n 14 +n , 24 +n , 34 +n Tendo em vista que n4 e 24 +n são sempre pares. Então todos inteiros primos estão em duas progressões: * 14 +n 1, 5, 9, 13, 17, 21,... * 34 +n 3, 7, 15, 19,... É claro que estas progressões contem os números primos. Uma questão que surge então é quantos primos existem em tais progressões. Vamos então fazer uma demonstração usando o argumento parecido com o de Euclides para a infinitude dos números primos. Lema 1.1.1: O produto de dois ou mais inteiros da forma 14 +n é da mesma forma. Dem:

Tome 14 += nk e 14' += mk , tendo em vista que é suficiente considerar o produto de apenas dois inteiros. Multiplicando-os temos:

1)4(414416)14()14(' +++=+++=+×+=× mnnmmnnmmnkk O que conclui a demonstração. Teorema 1.1.1: Existem infinitos números primos da forma 34 +n . Dem:

Suponha pro contradição que existem finitos números primos da forma 34 +n , são eles rpppp ,...,,, 321 . Considere N tal que:

3)1...(41...4 321321 +−=−= rr ppppppppN

Sendo trrrrN ...321= sua fatorização em primos. Como n é impar temos que ,,2 krk ∀≠ então

cada kr é da forma 14 +n ou 34 +n . Pelo lema temos que o produto dos inteiros da forma

14 +n é da mesma forma, como N é da forma 34 +n temos que algum 34 += nri , mas ir

não pode ser igual a algum rpppp ,...,,, 321 , pois se fosse teríamos que 1|ir . O que é absurdo.

Daí, temos que existem infinitos números primos da forma 34 +n . A existência da infinidade de números primos da forma 14 +n também é verdadeira, mas em sua demonstração é necessário desenvolver alguns mecanismos matemáticos.

Teorema 1.1.2: Existem infinitos primos da forma 56 +n . Dem:

Sabemos que todos os primos maiores que exceto 2 e 3 são da forma 56 +n ou 16 +n , observe que o produto de números da forma 16 +n são da mesma forma. Cosindere um número q da forma

5)1...(61...6 321321 +−=−= rr ppppppppq

Em que rpppp ,...,,, 321 sejam todos os primos da forma 56 +n . Como q é da forma 56 +n

algum dos sqi ' também será. Mas se isto acontecesse teríamos que tal iq dividiria 1. O que é

absurdo. Então existem infinitos números primos da forma 56 +n . Teorema 1.1.3: Se a e b são primos entre si, então todo primo impar divisor de 22

ba + é da forma 14 +n . Não faremos a demonstração do teorema acima, mas o tomaremos como verdadeiro para demonstrar a infinitude de primos da forma 58 +n . Teorema 1.1.4: Existem infinitos primos da forma 58 +n . Dem:

Considere q, tal que: 22222 2...753 +×××= pq

é a soma de dois quadrados que não tem fator em comum. O quadrado de um número impar

12 +m é 1)1(4 ++mm . Observe que m pode ser par ou ímpar, vamos analisar ambas as situações: * rm 2= 181)12(81)12)(2(4 +=++=++ nrrrr * 12 += rm 181)132(81)2244(41)22)(12(4 22 +=+++=++++=+++ nrrrrrrr Temos então que o quadrado de um número impar é sempre da forma 18 +n . Daí, segue que q é da forma 58 +n . Pelo teorema 5 todos os primos impares que dividem q são da forma 14 +n , entretanto eles também são da forma 18 +n ou 58 +n , já que 38 +n e 78 +n não podem ser escritos da forma 14 +n , e como o produto de dois números 18 +n é da forma temos que existe pelos menos um fator de q da forma 58 +n . Se tal fator fosse menor que p teríamos que ele dividiria 22 , o que é absurdo, pois ele é ímpar. Logo, existem infinitos primos da forma 58 +n . Teorema 1.1.5: (Dirichlet) Se a e b são inteiros positivos primos entre si, então a progressão aritmética

,...3,2,, bababaa +++ Contém infinitos números primos. Não faremos a demonstração devido a dificuldade apresentada em seu desenvolvimento.

Teorema 1.2.6: Não existe uma progressão aritmética formada apenas por números primos. Dem:

Seja a progressão ,...3,2,, bababaa +++ , suponha pnba =+ onde p é primo. Se

colocarmos ,...3,2,1, =+= kkpnnk , temos:

kpbpkpbnbabkpnabna k +=++=++=+ )(

Então temos que bna k+ é divisível por p.

Discutiremos agora um famoso problema sobre os números primos. Por séculos os matemáticos tentam encontrar uma fórmula que fornecesse somente primos, por exemplo:

41)( 2 ++= nnnf Este polinômio assume valores primos para n variando de 0 ate 39. Observe a tabela:

n )(nf n )(nf n )(nf 0 41 14 251 28 853 1 43 15 281 29 911 2 47 16 313 30 971 3 53 17 347 31 1033 4 61 18 383 32 1057 5 71 19 421 33 1063 6 83 20 461 34 1231 7 97 21 503 35 1301 8 113 22 547 36 1373 9 131 23 593 37 1447

10 151 24 641 38 1523 11 173 25 691 39 1601 12 197 26 743 13 223 27 797

No entanto, isto não é verdade para os casos n = 40 e n = 41:

241414140)40( =+×=f e 4341414241)41( ×=+×=f

Mas para n = 42 temos que 1747)42( =f é um número primo.

Vamos provar que não é possível encontrar um polinômio com coeficientes inteiros que tivesse como conjunto imagem somente números primos.

Tome 0

22

11 ...)( aannanananf

k

k

k

k +++++= −− com todos os coeficientes inteiros e

0≠ka . Fixado o valor de n, 0nn = , pnf =)( 0 é um número primo. Agora, para algum

inteiro t, consideremos a expressão )( 0 tpnf + :

002

021

0100 )()(...)()()( atpnatpnatpnatpnatpnfk

k

k

k +++++++++=+ −−

)()...()( 002

021

0100 tpQaannananatpnfk

k

k

k ++++++=+−

−

)()()( 00 tpQnftpnf +=+

))(1()()( 0 tQptpQptpnf +=+=+

Onde Q(t) é um polinômio em t com coeficientes inteiros. Nós consideramos que )(| 0 tpnfp + , consequentemente, como todos os valores de )(nf são números primos

ptpnf =+ )( 0 para qualquer inteiro t. Como se trata de um polinômio de grau k ele não pode

assumir o mesmo valor mais de k vezes, nós encontramos então uma contradição. Teorema 1.1.7: Teorema dos números primos

O teorema dos números primos é um importante resultado sobre a distribuição dos números primos. Este resultado foi primeiramente demonstrado independentemente por dois matemáticos franceses Jacques Hadamard e Charles Jean De La Valle-Poussin através do estudo da função zeta de Riemann. Seja )(nπ a função de contagem dos números primos, que retorna o numero de primos entre 1 e n. Então vale o limite:

nn

p

nn

n n

nn lnlim1

ln/

)(lim

∞→∞→≈=

π

N )(nπ

nn

n

ln/

)(π

10 4 0,921 100 25 1,151

1000 168 1,161 10.000 1229 1,132

100.000 9.592 1,104 1.000.000 78.498 1,084

10.000.000 664.579 1,071 100.000.000 5.761.455 1,061

1.000.000.000 50.847.534 1,054 10.000.000.000 455.052.511 1,048

100.000.000.000 4.118.054.813 1,043

Tabela de )(nπ e nn

n

ln/

)(π

2 Números Perfeitos Vamos estudar agora outro tipo de número especial são os chamados números

perfeitos. Definição 2.1: Um inteiro positivo n é chamado de número perfeito se n for igual à soma de seus divisores positivos, excluindo o próprio n. A soma dos divisores positivos de um inteiro n, cada um deles menores que n, é dada por φ(n)-n. Deste modo, a condição “n é perfeito” é equivalente a dizer φ(n)-n= n. Por exemplo: φ(6) =1+2+3+6=12 φ(28) =1+2+4+7+14+28=2.28 Então 6 e 28 são números perfeitos.

Teorema 2.1: Se 12 −k é primo 1≥k , então )12(2 1 −×= − kkn é perfeito e todo numero perfeito par é desta forma. Dem:

Tome pk =−12 , primo, e considere )2( 1−×= kpn temos ,1),2( 1 =− pmdc k sabemos que:

)()2()2()( 11 ppn kk ϕϕϕϕ ×=×= −−

)1()12()( +×−= pn kϕ

nn kk 2)2()12()( =×−=ϕ

Tornando n um número perfeito. Vamos provar agora que todo número perfeito par é desta forma. Tome mn

k ×= −12 , onde m é um número inteiro impar e 2≥k . Temos que ,1),2( 1 =− mmdc k daí

)()12()()2()2()( 11 mmmn kkk ϕϕϕϕϕ ×−=×=×= −−

Sabemos que para um número perfeito temos mnn k ×== 22)(ϕ , consideraremos então:

)(122 mm kk ϕ×−=×

Temos então que mkk ×− 2|12 , mas 12 −k e k2 são relativamente primos, então

mk |)12( − ; Daí Mm k ×−= )12( .

Substituindo este valo na equação anterior temos Mm k ×= 2)(ϕ . Como m e M são divisores de m mM < , nós temos:

MMmmM kk ×=+≥=× 2)(2 ϕ Fazendo Mmm +=)(ϕ a implicação é uma igualdade se m tiver somente dois divisores positivos, M e m. Considerando m primo tem-se que M = 1; em outras palavras,

12)12( −=×−= kk Mm é um numero primo, o que completa a prova.

Então o problema de encontrar números perfeitos se reduz a procurar primos da forma 12 −k .

Lema 2.1: Se 1−k

a é primo )2,0( ≥> ka , então a = 2 e k é primo também. Dem: Podemos escrever

)1...)(1(1 21 ++++−=− −− aaaaa kkk Onde, na presente situação:

111...21 >+≥++++ −−aaaa

kk Mas da hipótese 1−k

a é primo, o outro fator na decomposição tem que ser 1; isto é, 11 =−a então 2=a . Se k fosse um número composto, teríamos srk ×= , com r<1 e s<1 . Deste modo

)1...)())((1(1)(1 21 ++++−=−=− −− rsrsrrsrk aaaaaa

E cada fator da direita é mairo que 1. Mas isto viola a primaridade de 1−ka , então temos k

gerando uma contradição. Logo k é primo. Para p = 2, 3, 5, 7, os valores 3, 31, 127 de 12 −p são primos, então temos:

6)12(2 2 =−×

28)12(2 32 =−×

496)12(2 54 =−×

8128)12(2 76 =−× , são todos números perfeitos. Teorema 2.2: Todo numero perfeito ar n, termina com 6 ou 8, ou seja, )10(mod6≡n ou

)10(mod8≡n . Dem:

Seja n um número perfeito par, n pode ser escrito como )12(2 1 −×= − kkn , onde

12 −k é primo. De acordo com o lema nterior, o expoente k é primo. Se k = 2, então n = 6 o que está deacordocom o teorema. Vamos provar para k > 2, dividiremos o prova em duas partes. Sabemos que pode ser 14 +m ou 34 +m .

Se 14 += mk , então

mmmmmmn 1616222)12(2 2418144 −×=−=−= ++

Como ),10(mod616 ≡t para todo inteiro positivo t. Usando congruência temos:

)10(mod6662 ≡−×≡n Agora, se 34 += mk :

mmmmmmn 16416222)12(2 124183424 ×−×=−=−= ++++

Como )10(mod616 ≡t temos: )10(mod8126462 ≡−≡×−×≡n

Conseqüentemente todo numero perfeito partermina em 6 ou 8. Conclusão

Neste trabalho obtivemos importantes informações sobre o problema da distribuição dos números primos, podendo assim compreender um pouco melhor o mistério e o fascínio causado nos matemáticos pelos chamados números primos. Bibliografia [1] Hardy, G.H.; Wright, E.M. An Introduction To The Theory Of Numbers. 5° ed. Oxford Science Publications, 1979. [2] Burton, D.M. Elementary Number Theory. 5° ed. Mc-Graw-Hill Higher Education, 2002. [3] Hygino H. Domingues, São paulo, ed. Atual, 1991. [4] Ribenboim P., Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 2001.

Algebra Linear: uma Introducao as Aplicacoes.

Ruan Carlos M. Tizzo∗, Weber Flavio Pereira†

Resumo

Neste trabalho, apresentamos algumas aplicacoes da Algebra Linear em diversas areas damatematica.

Palavras-Chave: Cadeia de Markov, Formas Bilineares, Equacoes Diferenciais.

Abstract

In this work, we presented some applications of the Lineal Algebra in several areas of math-ematics.

Keywords: Markov Chains, Bilinear Forms, Differential Equations.

Introducao

A Algebra Linear e, conforme sabemos, uma ferramenta matematica de extrema importancia.Seus resultados apresentam muitas aplicacoes em diferentes areas da matematica, fısica, en-genharia, administracao, computacao, entre outras. Por exemplo, dentro da matematica,mais especificamente nas equacoes diferenciais ordinarias, a teoria dos autovalores e autove-tores tem grande aplicabilidade na obtencao das orbitas. Outras aplicacoes em diferentesareas podem ser citadas, como a transmissao de informacao, registro de sons, mecanismo debusca da Web na internet.

1 Formas Bilineares

No estudo das formas bilineares encontraremos semelhancas com o estudo dos espacos comproduto interno e com o de determinantes, uma vez que o produto interno e uma formabilinear simetrica, e o estudo das formas bilineares anti-simetricas esta, de certa forma ligado,ao dos determinantes. As formas bilineares tambem tem muita aplicacao na fısica, por terrelacao com energia.

∗Faculdade de Matematica, Universidade Federal de Uberlandia, Avenida Joao Naves de Avila 2121, Bloco1F, Uberlandia, CEP: 38.408-100, donruancarlos@hotmail.com

†Faculdade de Matematica, Universidade Federal de Uberlandia, Avenida Joao Naves de Avila 2121, Bloco1F sala 1F105, Uberlandia, CEP: 38.408-100, weberf@famat.ufu.br

Definicao 1.1 Sejam U e V espacos vetoriais, uma funcao f : U × V → R e uma formabilinear se, e somente se ∀u, u1, u2 ∈ U ; v, v1, v2 ∈ V e λ ∈ R:

a) f(u1 + u2, v) = f(u1, v) + f(u2, v)b)f(λu, v) = λf(u, v)c)f(u, v1 + v2) = f(u, v1) + f(u, v2)d)f(u, λv) = λf(u, v)

O conjunto de todas as formas bilineares sera denotado por B(U ; V ), e B(U) quandoU = V . Tal conjunto tem uma estrutura de espaco vetorial sobre R, poıs sendo f e g formasbilineares desse conjunto, defini-se f +g por (f +g)(u, v) = f(u, v)+g(u, v) e αf(λ ∈ R) por(αf)(u, v) = αf(u, v), para todo (u, v) ∈ U × V . Entao provemos que f + g, αf ∈ B(U ; V ):

Para f + g, temos:a)(f+g)(u1+u2, v) = f(u1+u2, v)+g(u1+u2, v) = f(u1, v)+f(u2, v)+g(u1, v)+g(u2, v) =

(f + g)(u1, v) + (f + g)(u2, v)b)(f + g)(λu, v) = f(λu, v) + g(λu, v) = λf(u, v) + λg(u, v) = λ(f(u, v) + g(u, v)) =

λ(f + g)(u, v)c)(f +g)(u, v1+v2) = f(u, v1+v2)+g(u, v1+v2) = f(u, v1)+f(u, v2)+g(u, v1)+g(u, v2) =

(f + g)(u, v1) + (f + g)(u, v2)d)(f + g)(u, λv) = f(u, λv) + g(u, λv) = λf(u, v) + λg(u, v) = λ(f(u, v) + g(u, v)) =

λ(f + g)(u, v)Para αf , temos:a)(αf)(u1 + u2, v) = αf(u1 + u2, v) = α(f(u1, v) + f(u2, v)) = αf(u1, v) + αf(u2, v) =

(αf)(u1, v) + (αf)(u2, v)b)(αf)(λu, v) = αf(λu, v) = λα(f(u, v)) = λ(αf)(u, v)c)(αf)(u, v1 + v2) = α(f(u, v1 + v2)) = α(f(u, v1) + f(u, v2)) = αf(u, v1) + αf(u, v2) =

(αf)(u, v1) + (αf)(u, v2)d)(αf)(u, λv) = αf(u, λv) = α(λf(u, v)) = λ(αf)(u, v)

Exemplos de formas bilineares:

1. Todo produto interno e uma forma bilinear, o que e consequencia da propria definicaode produto interno, que e:

Um produto interno (indicado por 〈u, v〉) sobre o espaco vetorial V , assume as seguintespropriedades ∀u, u1, u2, v ∈ V e λ ∈ R:

i) 〈u1 + u2, v〉 = 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉ii) 〈λu, v〉 = λ〈u, v〉iii) 〈u, v〉 = 〈v, u〉 (assim para o segundo membro, vale as propriedades i) e ii), sendoentao uma forma bilinear).

2. Seja a funcao f : U × V → R definida por: f(u, v) = ϕ(u)σ(v), onde ϕ : U → R eσ : V → R sao formas lineares, tal funcao e uma forma bilinear chamada de produtotensorial das formas lineares ϕ e σ, e tambem e denotada como ϕ⊗ σ.

Verificacao, ∀u, u1, u2 ∈ U ; v, v1, v2 ∈ V e λ ∈ R, temos:

a)f(u1 + u2, v) = ϕ(u1 + u2)σ(v) = (ϕ(u1) + ϕ(u2))σ(v) = ϕ(u1)σ(v) + ϕ(u2)σ(v) =f(u1, v) + f(u2, v)

b)f(λu, v) = (λϕ(u))σ(v) = λ(ϕ(u)σ(v)) = λf(u, v)

c)f(u, v1 + v2) = ϕ(u)σ(v1 + v2) = ϕ(u)(σ(v1) + σ(v2)) = ϕ(u)σ(v1) + ϕ(u)σ(v2) =f(u, v1) + f(u, v2)

d)f(u, λv) = ϕ(u)(λσ(v)) = λ(ϕ(u)σ(v)) = λf(u, v)

3. Seja M =

−2 0 04 2 00 0 2

, podemos associar a M uma forma bilinear f : R3 × R3 → R

definida por

f((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) =[

x1 x2 x3

]−2 0 04 2 00 0 2

y1

y2

y3

=

= −2x1y1 + 4x2y1 + 2x2y2 + 2x3y3.

a)f(u1 + u2, v) = f((x1, x2, x3) + (y1, y2, y3), (z1, z2, z3)) = f((x1 + y1, x2 + y2, x3 +y3), (z1, z2, z3)) = −2(x1 + y1)z1 +4(x2 + y2)z1 +2(x2 + y2)z2 +2(x3 + y3)z3 = −2x1z1 +4x2z1 + 2x2z2 + 2x3z3 − 2y1z1 + 4y2z1 + 2y2z2 + 2y3z3 = f(u1, v) + f(u2, v).

Para todos u1 = (x1, x2, x3) ∈ U ; u2 = (y1, y2, y3) ∈ U ; v = (z1, z2, z3) ∈ V .

b)f(λu, v) = f((λx1, λx2, λx3), (y1, y2, y3)) = −2λx1y1 + 4λx2y1 + 2λx2y2 + 2λx3y3 =λ(−2x1y1 + 4x2y1 + 2x2y2 + 2x3y3) = λf(u, v)

c)f(u, v1 + v2) = −2x1(y1 + z1)+4x2(y2 + z1)+2(x2 + y2)z2 +2(x3 + y3)z3 = f(u, v1)+f(u, v2).

Para todos u = (x1, x2, x3); v1 = (y1, y2, y3) e v2 = (z1, z2, z3).

d)f(u, λv) = f((x1, x2, x3), (λy1, λy2, λy3)) = −2λx1y1 + 4λx2y1 + 2λx2y2 + 2λx3y3 =λ(−2x1y1 + 4x2y1 + 2x2y2 + 2x3y3) = λf(u, v).

Para todos u = (x1, x2, x3); v = (y1, y2, y3) e λ ∈ R.

1.1 Matriz de uma Forma Bilinear

Suponhamos que U e V sejam espacos vetoriais sobre R de dimensoes m e n respectivamente,e a forma bilinear f : U × V → R. Tomemos a bases B = {u1, ..., um} e C = {v1, ..., vn}de U e V respectivamente. Seja u =

∑mi=1 αiui ∈ U e v =

∑nj=1 βjvj ∈ V , daı f(u, v) =

f(∑m

i=1 αiui,∑n

j=1 βjvj) =∑m

i=1

∑nj=1 αiβjf(ui, vj). Logo temos a matriz:

(f(ui, vj)) =

f(u1, v1) f(u1, v2) ... f(u1, vn)... ... ... ...

f(un, v1) f(un, v2) ... f(un, vn)

,

e chamada de matriz da forma bilinear f em relacao as bases B e C.Uma forma bilinear e dita simetrica quando f(u, v) = f(v, u) para todo u, v ∈ V.

Agora pretendemos provar que toda forma bilinear simetrica existe uma base no qual suamatriz e diagonal. Para isso, precisamos definir a mudanca de base para formas bilineares.Tomando duas bases de V , {u1, ... , un} e {v1, ... , vn}, seja P a matriz mudanca de baseda primeira para a segunda. Logo tomando u, v ∈ V , eles se apresentam da seguinte forma:

u =n∑

i=1

xiui =n∑

i=1

yivi e v =n∑

i=1

x,iui =

n∑i=1

y,ivi.

Como P e a matriz mudanca de base, entao temos as igualdades:

x =

x1

...xn

= P

y1

...yn

= Py e x, =

x,1

...x,

n

= P

y,1

...y,

n

= Py,

Portanto,

f(u, v) = f(n∑

i=1

xiui,

n∑j=1

x,juj) =

n∑i=1

n∑j=1

xif(ui, uj)x,j

e

f(u, v) = f(n∑

i=1

yivi,

n∑j=1

y,jvj) =

n∑i=1

n∑j=1

yif(vi, vj)y,j,

ou seja, f(u, v) = xtAx, e f(u, v) = ytBy,, agora levando em consideracao as igualdadesx = Py e x, = Py,, ytBy, = f(u, v) = xtAx, = (Py)tA(Py,) = yt(P tAP )y,. LogoB = P tAP.

Entao, por inducao sobre a dimensao de V , provemos que existe uma base onde a matrize diagonal.

Se f = 0 entao a matriz sera a nula, e se a dimensao de V for 1 entao a matriz vaiter somente uma entrada, portanto diagonal. Agora suponha que f nao seja nula e que adimensao de V seja diferente de 1. Tomemos o vetor v1 onde f nao se anula e, assim, todov ∈ V adimite a seguinte decomposicao:

v = (v − (f(v1, v1)/f(v1, v1)) · v1) + (f(v1, v1)/f(v1, v1)) · v1 = x1 + x2.

Observemos que x2 e multiplo de v1 e que:f(x1, v1) = f(v, v1)− ((f(v, v1)/f(v1, v1)) · f(v1, v1) (x e ortogonal a v1).Como um multiplo nao nulo de v1 nao pode ser ortogonal a v1, a decomposicao acima e

unica no seguinte sentido: todo vetor de V se decompoe de maneira unica em uma soma deum multiplo de v1 e um ortogonal a v1.

O sub-espaco gerado por v1 e de dimensao 1, logo os vetores ortogonais a v1 formam umsub-espaco de dimensao n−1. A restricao f de f e simetrica a este sub-espaco. Pela hipotesede inducao, existe uma base {v2, ... , vn} deste sub-espaco onde f(vi, vj) = 0 se 2 ≤ i; j ≤ n. Considerando a base {v1, ... , vn} de V , temos sempre que i difere de j, e portanto a baseprocurada.

2 Formas Quadraticas

A forma quadratica sobre V associada a forma bilinear f (simetrica) e a funcao qf : V → R(denotaremos somente por q quando nao houver risco de confusao) definida por qf (v) =f(v, v), para todo v ∈ V . Temos desta definicao o simples resultado:

q(u+v) = f(u+v, u+v) = f(u, u+v)+f(v, u+v) = q(u)+q(v)+2f(u, v) =⇒ f(u, v) =1/2(q(u + v)− q(u)− q(v)).

q(u−v) = f(u−v, u−v) = f(u, u−v)−f(v, u−v) = q(u)+q(v)−2f(u, v) =⇒ f(u, v) =1/4(q(u + v)− q(u− v)), para todo (u, v) ∈ V .

Tais resultados mostram que tambem q determina f univocamente e sao chamados deidentidades de polarizacao.

Seja qf : V → R e {v1, ... , vn} uma base de V . Entao todo vetor u =∑n

i=1 αivi ∈ V .Daı,

q(u) = f(u, u) = f

(n∑

i=1

αivi,

n∑j=1

αjvj

)=

n∑i=1

n∑j=1

αiαjf(vi, vj) =

=n∑

i=1

α2i f(vi, vi) + 2

∑i<j

αiαjf(vi, vj).

Seja A = (f(vi, vj)) a matriz de f em relacao a base considerada q(u) = X tAX (sendoX a matriz das coordenadas nessa base). Por resultados anteriores, existe uma base de V naqual a matriz de f e diagonal. Supondo Y a matriz das coordenadas de u nessa base e

D =

d1 0 0 ... 0 00 d2 0 ... 0 00 0 d3 ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... dn−1 00 0 0 ... 0 dn

a representacao diagonal de f , teremos

q(u) = Y tDY = d1y21 + ... + dny2

n. (1)

Entao (1) e uma expressao diagonal de q e a base com a qual conseguimos esta ultimaigualdade diagonalizou a forma quadratica q.

Tomando a base {u1, ... , un} que diagonalizou q e ordenemos de forma a deixar primeirod1, ... , ds que sejam positivos e depois ds+1, ... , dt que sejam negativos e por ultimo dt+1,... , dn que sejam nulos. Consideremos uma nova base assim construıda w1 = u1/(d1)

1/2, ..., ws = us/(ds)

1/2, ws+1 = us+1/(−ds+1)1/2, ... , wt = ut/(−dt)

1/2, wt+1 = ut+1, ... , wn = un.Logo, nessa nova base temos a matriz das coordenadas Z e entao:

q(u) = Zt ·

1 0 ... 0 0 0 0 0 00 ... 0 ... 0 0 0 0 00 0 1 0 ... 0 0 0 00 ... 0 −1 0 ... 0 0 00 0 ... 0 ... 0 ... 0 00 0 0 ... 0 −1 0 ... 00 0 0 0 ... 0 0 0 ...... ... ... ... ... ... ... ... ...0 0 0 0 0 0 0 0 0

· Z = z21 + ... + z2

s − z2s+1 − ...− z2

t ;

Com isso, dizemos que q foi reduzida a uma soma de quadrados.

3 Curvas de Segundo Grau

Vamos nesta secao, aplicar a teoria das formas bilineares para identificar o tipo de curva no R2

podemos obter por meio de uma equacao geral do segundo grau. A equacao geral do segundograu em duas variaveis e da forma f(x, y) = a11x

2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a = 0.

Tomemos A =

[a11 a12

a12 a22

]e x =

[xy

]. Logo,

f(x, y) = 0 ⇒ f(x, y) = xtAx + 2(a1a2)x + a = 0,

mas como A e simetrica, existe uma matriz diagonal P tal que P tAP =

[δ1 00 δ2

], onde δ1

e δ2 sao os auto valores de A. Considerando a mudanca de base x = Py com y =

[x1

y1

],

temos:

f(x, y) = (Py)t · A · Py + 2(a1a2)Py + a = yt(P tAP )y + 2(a1a2)Py + a =

yt

[δ1 00 δ2

]y + 2(a1a2)Py + a = δ1x

21 + δ2y

21 + 2b1x1 + 2b2y1 + a = 0.

Facamos uma analise de δ1 e δ2:Caso 1: Primeiro, para ambos diferentes de zero, temos

f(x1, y1) = δ1(x1 + b1/δ1)2 + δ2(y1 + b2/δ2)

2 + a− (b21/δ1)− (b2

2/δ2) = 0.

Agora tomemos:

{x2 = x1 + (b1/δ1)y2 = y1 + (b2/δ2)

; e b = a− (b21/δ1)− (b2

2/δ2), e entao ficamos com

f(x2, y2) = δ1x22 + δ2y2

2 + b = 0.

Portanto, o primeiro caso para b = 0 temos x2 = y2 = 0.Caso 2: Agora o caso em que δ1, δ2 e b tem sinais iguais: δ1x2

2+δ2y22 = −b. Suponhamos

−b negativo, assim, por hipotese, δ1 e δ2 sao positivos, entao temos que δ1x22 + δ2y2

2 ≥ 0,

mas −b ≤ 0, logo para este caso a equacao representa o conjunto vazio. Se −b ≥ 0, bastamultiplicar a igualdade por −1 que caımos na mesma igualdade anterior.

Caso 3: Suponhamos neste caso que δ1, δ2 tem sinais iguais e b tem sinal diferente destes.Temos x2

2/(−b/δ1) + y22/(−b/δ2) = 1 como −b e δ1; e −b e δ2 tem mesmo sinal entao −b/δ1

e −b/δ2 sao numeros positivos, logo podemos escrever:

x22/(

√−b/δ1)

2 + y22/(

√−b/δ2)

2 = 1

ou seja, temos uma elipse.Caso 4: Agora o caso em que δ1e δ2 tem sinais contrarios. Se b = 0 e δ2 negativo, entao

δ1x22 + δ2y2

2 = 0 ⇒ (√

δ1x2 +√−δ2y2)(

√δ1x2 −

√−δ2y2) = 0

e assim temos um par de retas, se δ2 for o positivo, de forma analoga, teremos um par deretas.

Caso 5: Se b 6= 0, entao ele tem o mesmo sinal que δ1 ou δ2. Daı, processando como ocaso da elipse mas fazendo as devidas modificacoes temos:

x22/(

√−b/δ1)

2 − y22/(

√b/δ2)

2 = 1

com o sinal de b e δ2 iguais. Essa equacao nos da uma hiperbole.Caso 6: Suponhamos que δ1δ2 = 0 e b1 6= 0. Suponhamos tambem que δ1 = 0 (o caso

em que δ2 = 0 e analogo), entao temos:

δ2y21 + 2b1x1 + 2b2y1 + a = 0 ⇒ δ2(y1 + b2)

2 + 2b1(x1 + (a/2b1)− (b22/2δ2b1)) = 0.

Tomando

{y2 = y1 + b2

x2 = x1 + (a/2b1)− (b22/2δ2b1)

, temos

δ2y22 + 2b1x2 = 0,

que caracteriza uma parabola.Casos 7 e 8: Suponhamos que δ1δ2 = 0 e b1 = 0. Temos

δ2y21 + 2b2y1 + a = 0 = δ2(y1 + b2/δ2)

2 + a− b22/δ2,

tomemos entao y2 = y1 + b2/δ2 e b = a− b22/δ2. Logo,

δ2y22 + b = 0 ⇒ y2

2 = −b/δ2,

como o primeiro membro e sempre positivo, se b e δ2 tiverem o mesmo sinal, a equacaorepresenta o conjunto vazio. Se b e δ2 tiverem sinais contrarios, entao temos

y22 + b/δ2 = (y2 +

√−b/δ2)(y2 −

√−b/δ2) = 0

gerando entao um par de retas paralelas. E se b = 0 temos y22 = 0 que sao um par de retas

coincidentes.

Tınhamos no inıcio f(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a1x + 2a2y + a = 0, denotando

por A =

[a11 a12

a12 a22

], o traco de A por s e o determinante de A de γ.

Consideraremos tambem ∆ =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a1

a12 a22 a2

a1 a2 a

∣∣∣∣∣∣= a11a22a+2a12a1a2−a2

1a22−a22a11−a2

12a.

Agora tomemos caso a caso novamente:

Para δ1 e δ2 diferentes de zero temos δ1x22 + δ2y2

2 + b = 0; e ∆ =

∣∣∣∣∣∣

δ1 0 00 δ2 00 0 b

∣∣∣∣∣∣= δ1δ2b =

γb ⇒ b = ∆/γ.1) Se ∆ = 0, entao b = 0 e assim x2 = y2 = 0.2) Se γ for positivo, entao δ1 e δ2 tem o mesmo sinal. Assim temos b = ∆/γ, logo b tem o

mesmo sinal de ∆. Como δ1 e δ2 tem o mesmo sinal s, que por sua vez, tem o mesmo sinal deδ1, temos que ∆s positivo implica em δ1b positivo e tal equacao representa o conjunto vazio.

3) Usando as informacoes do item anterior, ∆s negativo implica em δ1b negativo e aequacao representa uma elipse.

4) Se γ for negativo (δ1 e δ2 tem sinais contrarios) e ∆ = 0 (b=0), entao a equacaorepresenta um par de retas.

5) Se γ for negativo (δ1 e δ2 tem sinais contrarios) e ∆ 6= 0, entao a euqcao representauma hiperbole.

6) Se γ = 0 (δ1 ou δ2 e igual a zero) e ∆ 6= 0, entao a equacao representa uma parabola,poıs como vimos numa parabola com δ2 6= 0, temos que b1 tambem e diferente de zero naequacao δ2y

22 + 2b1x2 = 0. Logo temos que

∆ =

∣∣∣∣∣∣

0 0 b1

0 δ2 0b1 0 0

∣∣∣∣∣∣= −b2

1δ2,

que assim definido e diferente de zero.7 e 8) Se γ = 0 (δ1 ou δ2 e igual a zero) e ∆ = 0, entao a reta representa um par de

retas paralelas ou coincidentes. Pois em δ2y22 + b = 0 e δ2y

22 = 0 temos: ∆ =

∣∣∣∣∣∣

0 0 00 δ2 00 0 b

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

0 0 00 δ2 00 0 0

∣∣∣∣∣∣= 0.

4 Superfıcies de Segundo Grau

Vamos agora fazer uma classificacao das superfıcies usando a teoria das formas bilineares. Demodo analogo ao feito para curvas, faremos uma mudanca de base para uma matriz diagonale analizaremos caso a caso da equacao:

f(x, y, z) = a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x + 2a2y + 2a3z + a = 0.

Assim, temos A =

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

e x =

xyz

e, com isso,

f(x, y, z) = xtAx + 2(a1a2a3)x + a.

Considerando a mudanca de base

xyz

= P

x1

y1

z1

onde P e tal que P tAP = D com

D diagonal obtemos:

f(x1, y1, z1) = δ1x21 + δ2y

21 + δ3z

21 + 2b1x1 + 2b2y1 + 2b3z1 + a = 0.

Para δ1, δ2 e δ3 diferentes de zero, podemos modificar a equacao acima da seguinte maneira

δ1(x1 + b1/δ1)2 + δ2(y1 + b2/δ2)

2 + δ3(z1 + b3/δ3)2 + a− (b2

1/δ1)− (b22/δ2)− (b2

3/δ3) = 0.

Tomando:

x2 = x1 + b1/δ1

y2 = y1 + b2/δ2

z2 = z1 + b3/δ3

e b = a− (b21/δ1)− (b2

2/δ2)− (b23/δ3), temos

δ1x22 + δ2y

22 + δ3z

22 + b = 0.

Se b tiver o mesmo sinal de δi, entao um lado da igualdade ficara positivo e o outronegativo quando analizarmos δ1x

22 + δ2y

22 + δ3z

22 = −b, entao a equacao representa o conjunto

vazio.Para δ1, δ2 e δ3 com o mesmo sinal e b = 0 temos o ponto x2 = y2 = z2 = 0.Para δ1, δ2 positivos, δ3 negativo e b = 0 temos

x22/(

√1/δ1)

2 + y22/(

√1/δ2)

2 − z22/(

√1/δ3)

2 = 0.

Cortando seccoes no plano x2y2, temos um ponto ou uma elipse

δ1x22 + δ2y2

2 = c.

Nos planos x2z2 e y2z2 temos as retas concorrentes

δ1x22 + δ3z2

2 = k1 ⇒ (√

δ1x2 +√−δ3z2)(

√δ1x2 −

√−δ3z2) = k1

eδ2y2

2 + δ3z22 = k2 ⇒ (

√δ2y2 +

√−δ3z2)(

√δ2y2 −

√−δ3z2) = k2

formando assim um cone.Para δ1, δ2 e δ3 positivos e b negativo temos

δ1x22 + δ2y

22 + δ3z

22 = −b ⇒ x2

2/(√−b/δ1)

2 + y22/(

√−b/δ2)

2 + z22/(

√−b/δ3)

2 = 1,

formando um elipsoide.

Para δ1e δ2 positivos e δ3 e b negativos temos

x22/(

√−b/δ1)

2 + y22/(

√−b/δ2)

2 − z22/(

√−b/δ3)

2 = 1,

que representa um hiperboloide de uma folha. E quando δ1 positivo e δ2, δ3 e b negativostemos

x22/(

√−b/δ1)

2 − y22/(

√−b/δ2)

2 − z22/(

√−b/δ3)

2 = 1,

que representa um hiperboloide de duas folhas.Para δ3 = 0 temos

δ1x21 + δ2y

21 + 2b1x1 + 2b2y1 + 2b3z1 + a = δ1(x1 + b1/δ1)

2 + δ2(y1 + b2/δ2)2 + 2b3z1+

+a− (b21/δ1)− (b2

2/δ2) = 0.

Considerando

{x2 = x1 + b1/δ1

y2 = y1 + b2/δ2e b = a− (b2

1/δ1)− (b22/δ2), temos

δ1x22 + δ2y

22 + 2b3z1 + b = 0,

que representa um paraboloide elıptico. E quando δ2 negativo um paraboloide hiperbolico

x22/(

√−b/δ1)

2 − y22/(

√b/δ2)

2 + 2(b3z1/− b) = 1.

Por ultimo, quando δ2 = δ3 = 0, temos

δ1x21 + 2b1x1 + 2b2y1 + 2b3z1 + a = 0.

5 Cadeias de Markov

Vamos nesta secao, apresentar uma segunda aplicacao da Algebra Linear, que sao as cadeiasde Markov. Chama-se processo de Markov o fenomeno que passa de um estado inicial poruma sequencia de estados, onde a transicao de um estado para o outro depende de uma certaprobabilidade e esta depende apenas do estado em que o fenomeno se encontra e do estadoseguinte. Uma sequencia de estados que segue este processo chama-se cadeia de Markov.Este processo tem muitas aplicacoes no ramo da genetica, em problemas da agricultura e dapecuaria.

A matriz das probabilidades de transicao T e a matriz obtida da tabela de probabilidadesonde o elemento na i-esima linha e j-esima coluna indica a probabilidade de transicao doj-esimo para o i-esimo estado. O vetor probabilidade Vn e aquele cuja i-esima linha da aprobabilidade de ocorrencia do estado ai apos n transicoes. Estas definicoes ficam melhorcompreendidas apos o exemplo.

Exemplo 5.1 Choveu bastante durante um ano, a probabilidade de ocorrer seca no anoseguinte e 3/4 e que chova e 1/4. E se faz seca durante o ano, a probabilidade de ocorrer os2 estados sera o mesmo, ou seja, 1/2 (e mesmo que nao ocorra na pratica, supomos que naoha mudanca na probabilidade com o tempo, e assim teremos um bom auxilio na previsao).Se no primeiro ano choveu bastante a probabilidade do terceiro ano chover tambem e a soma

das probabilidades do segundo ano chover e de nao chover. Se for chover no segundo anotemos (1/4).(1/4), pois e a probabilidade do primeiro ano, que choveu, para o segundo, quetambem choveu, e do segundo para o terceiro, onde aconteceu a mesma coisa. Se nao choveuno segundo ano, temos (3/4).(1/2), pois e a probabilidade do primeiro ano, que choveu, parao segundo, que nao choveu, e do segundo para o terceiro, que e de um que nao choveu paraum que choveu.

Assim temos: (1/4).(1/4) + (3/4).(1/2) = 7/16.Mas em um perıodo muito longo de tempo fica complexo analisar todos os casos, assim,

desta maneira, usamos:

T =

Chuva SecaChuva 1/4 1/2Seca 3/4 1/2

,

Vn =

(P n

c (probabilidade de que haver chuva no n-esimo ano)P n

s (probabilidade de que haver seca no n-esimo ano)

)

{P 2

s = 3/4P 1c + 1/2P 1

s

P 2c = 1/4P 1

c + 1/2P 1s

Logo,

T · V1 =

(1/4 1/23/4 1/2

)(P 1

c

P 1s

)=

(1/4P 1

c + 1/2P 1s

3/4P 1c + 1/2P 1

s

)= V2.

Como para cada ano aplicamos as mesmas probabilidades de chuva ou seca, usamos a mesmamatriz, assim temos do segundo para o terceiro ano TV2 = V3 = T 2V1, assim teremos para on-esimo ano Vn = T n−1V1.

Logo, se os termos de T n tendem a uma matriz P o clima podera ser previsto, contudo,falta definir condicoes sobre T para que isto ocorra.

De uma forma geral, a matriz T se apresenta como

T =

Pr1 P12 ... P1r

Pr1 P22 ... P2r

... ... ... ...Pr1 Pr2 ... Prr

,

que pertence a um processo de Markov que possui r estados e que de um estado ai para umestado aj, tem a probabilidade de acontecer Pij. Logo, Pij ≥ 0 e P1i + P2i + ... + Pri = 1.

Assim, temos apos n passos

P n1

...P n

r

= T n−1

P1

...Pr

Definicao 5.1 Dizemos que T e regular se alguma de suas potencias tem todos os elementosnao nulos.

Teorema 5.1 Se T ∈ Mr(R) e regular, entao temos:

i) As potencias T n aproximam-se de uma matriz P ;

ii) Todas as colunas de P sao iguais, sendo dadas por um vetor coluna V =

P1

...Pr

,

Pi ≥ 0;

iii) Para qualquer vetor de probabilidade inicial V1 =

P 11

...P 1

r

, o vetor de probabilidades

T nV1 tende para um vetor V ;

vi) V e o unico vetor que satisfaz V = TV .

O processo de demonstracao deste teorema nos desviara do nosso objetivo, que e o estudoe apresentacao das aplicacoes da algebra linear. Note que o processo utilizado para encontraro vetor final de probabilidades, usando o ıtem (iv) do teorema anterior, consiste na procurade autovetor associado ao autovalor 1 da matriz T .

Exemplos de cadeia de Markov

Exemplo 5.2 A cada ano 3% da populacao rural migra para as cidades, e 1% faz o caminhoinverso. Qual deve ser a relacao a longo prazo entre as populacoes urbana e rural? (Adim-itindo que estas porcentagens nao mudem, independente de questoes polıticas, ambientais,etc).

Usemos R para representar a populacao rural e U para a urbana. Logo temos a matrizdas probabilidades de transicao:

T =

R UR 0, 97 0, 01U 0, 03 0, 99

.

Como ja na primeira potencia nao tem nenhum elemento nulo a matriz e regular, eassim usando o item iv), do teorema anterior, podemos concluir que quaisquer que sejam asprobabilidades iniciais, as probabilidades a longo prazo sao dadas por:

Sejam Pr a probabilidade de se viver no meio rural e Pu no meio urbano, temos:

[0, 97 0, 010, 03 0, 99

] [Pr

Pu

]=

[Pr

Pu

]⇒

{0, 97Pr + 0, 01Pu = Pr

0, 03Pr + 0, 99Pu = Pu⇒ Pu = 3Pr .

Logo,Pr + Pu = 1 ⇒ Pr = 25% e Pu = 75%.

Exemplo 5.3 Se uma especie de peixe tem sua populacao diminuıda, naturalmente em umano, no ano seguinte a probabilidade de que diminua e 0,6, e se aumentou no ano seguinte aprobabilidade de diminuir e de 0,3. Com a pesca industrial se a populacao diminuir em umano, no ano seguinte a probabilidade de que diminua e 0,6, e se aumentou no ano seguinte aprobabilidade de diminuir e de 0,5, a longo prazo, a pesca afeta a populacao desses peixes?

Usemos D para representar que a populacao diminuiu e A se ela aumentou no ano, daı

T =

D AD 0, 6 0, 3A 0, 4 0, 7

.

Como ja na primeira potencia nao tem nenhum elemento nulo a matriz e regular, eassim usando o item iv), do teorema anterior, podemos concluir que quaisquer que sejam asprobabilidades iniciais, as probabilidades a longo prazo sao dadas por:

Tomemos Pd como a probabilidade de a populacao diminuir e Pa a de aumentar. Assim,[

0, 6 0, 30, 4 0, 7

] [Pd

Pa

]=

[Pd

Pa

]⇒

{0, 6Pd + 0, 3Pa = Pd

0, 4Pd + 0, 7Pa = Pa⇒ Pa = (4/3)Pd .

Logo,Pd + Pa = 1 ⇒ Pd = 3/7 e Pa = 4/7.

Portanto, como Pa e maior que Pd entao a populacao tem razoavel chance de sobreviver.Com a pesca temos:

[0, 6 0, 50, 4 0, 5

] [Pd

Pa

]=

[Pd

Pa

]⇒

{0, 6Pd + 0, 5Pa = Pd

0, 4Pd + 0, 5Pa = Pa⇒ Pa = (4/5)Pd .

Logo,Pd + Pa = 1 ⇒ Pd = 5/9 e Pa = 4/9.

Portanto como Pd e maior que Pa a sobrevivencia da especie esta ameacada com a pesca,e esta entao deve ser diminuıda para garantir a opcao da pesca para geracoes futuras.

Exemplo 5.4 Temos duas substancias em contato, que trocam ıons de sodio entre si. Pordeducao teorica, ou experimentacao, temos que para que um ıon de sodio passe do meio Apara o B a probabilidade e 0,7, e de B para A de 0,1. Colocando-se 2 mols de sodio no meioA, quais serao as concentracoes d sodio em cada um dos meios, apos um longo perıodo detempo?

Temos,

T =

(1) (2)(1) 0, 3 0, 1(2) 0, 7 0, 9

.

Como ja na primeira potencia nao tem nenhum elemento nulo a matriz e regular, eassim usando o item iv), do teorema anterior, podemos concluir que quaisquer que sejam asprobabilidades iniciais, as probabilidades a longo prazo sao dadas por:

Sejam P1 a probabilidade de permanencia dos ıons no meio A e P2 no meio B:[

0, 3 0, 10, 7 0, 9

] [P1

P2

]=

[P1

P2

]⇒

{0, 3P1 + 0, 1P2 = P1

0, 7P1 + 0, 9P2 = P2⇒ P2 = 7P1 .

Logo,P1 + P2 = 1 ⇒ P1 = 1/8 e P2 = 7/8.

A longo prazo, teremos que (1/8) de 2 mols estarao no meio A e (7/8) estarao no meioB, ou seja, 0,25 e 1,75 mols respectivamente.

6 Equacoes Diferenciais

Daremos nesta secao uma breve aplicacao da algebra linear no estudo das equacoes diferenci-ais. Trataremos de equacoes de primeira ordem simultaneas em varias variaveis (ou sistemade n equacoes diferenciais de primeira ordem), essas equacoes se apresentam da seguinteforma:

dx1/dt = f1(x1, x2, ..., xn)dx2/dt = f2(x1, x2, ..., xn)

...dxn/dt = fn(x1, x2, ..., xn)

(2)

Uma solucao de (2) sao n funcoes x1(t), x2(t), ..., xn(t) tais que

dxj(t)/dt = fj(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t)), j = 1, 2, ...n.

Podem aparecer tambem relacionadas as equacoes, condicoes iniciais sobre as funcoesx1(t), x2(t), ... , xn(t). Estas condicoes serao dadas da seguinte forma: x1(t0) = x0

1, x2(t0) =x0

2, ..., xn(t0) = x0n. Quando sao dados estes valores, chamamos o sistema (2) de problema de

valor-inicial.Se cada uma das funcoes f1, ..., fn e linear em x1, ..., xn, entao dizemos que o sistema e

linear. Temos:

dx1/dt = a11(t)x1 + ... + a1n(t)xn + g1(t)dx2/dt = a21(t)x1 + ... + a2n(t)xn + g2(t)

...dxn/dt = an1(t)x1 + ... + ann(t)xn + gn(t)

(3)

Trataremos aqui, os casos onde as funcoes g1, ... , gn sao identicamente nulas (sistemahomogeneo) e os termos aij nao dependem de t. Assim temos:

dx1/dt = a11x1 + ... + a1nxn

dx2/dt = a21x1 + ... + a2nxn

...dxn/dt = an1x1 + ... + annxn

(4)

Para podermos trabalhar com este sistema, uma vez que esta notacao e incomoda, usare-mos vetores e matrizes. Portanto, consideraremos as funcoes com valores vetoriais:

x(t) =

x1(t)x2(t)...

xn(t)

,

sua derivada

x = dx(t)/dt =

dx1(t)/dtdx2(t)/dt

...dxn(t)/dt

e o valor-inicial sera representado como x0 =

x01

x02

...x0

n

Sendo uma matriz A n× n:

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...an1 an2 ... ann

Temos,

Ax =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...an1 an2 ... ann

x1

x2

...xn

=

a11x1 + ... + a1nxn

a21x1 + ... + a2nxn

...an1x1 + ... + annxn

.

Desta forma, podemos escrever (4) como:

x = Ax. (5)

Lema 6.1 Seja A uma matriz real de ordem n. Para quaisquer vetores x, y e qualquerconstante c, temos que:

i) A(cx) = cAx.

ii) A(x + y) = Ax + Ay.

Demonstracao.

i) Tomando a i-esima componente de A(cx) temos: ai1(cx1) + ai2(cx2) + ... + ain(cxn) =c(ai1x1 + ... + ainxn) e a i-esima componente de cAx e: cai1x1 + cai2x2 + ... + cainxn =c(ai1x1 + ... + ainxn). Assim como foi escolhida uma componente generica, temos quetodas as componentes sao iguais, logo A(cx) = cAx.

ii) Novamente tomaremos a i-esima componente dos dois membros da equacao para anal-isarmos se a igualdade ocorre. De A(x + y), temos ai1(x1 + y1) + ... + ain(xn + yn) =(ai1x1 + ... + ainxn) + (ai1y1 + ... + ainyn), mas esta e justamente a i-esima componentede (Ax + Ay), portanto os vetores sao iguais.

Teorema 6.1 Sejam x(t) e y(t) duas solucoes de (5), e c uma constante, entao cx(t) ex(t) + y(t) tambem o sao.

Demonstracao. Se x(t) e uma solucao de (5), entao

(d/dt)(cx(t)) = c(d/dt)(x(t)) = cAx(t) = A(cx(t)).

Portanto (d/dt)(cx(t)) = A(cx(t)), logo cx(t) tambem e solucao de (5).Agora,

(d/dt)(x(t) + y(t)) = (d/dt)(x(t)) + (d/dt)(y(t)) = Ax(t) + Ay(t) = A(x(t) + y(t)).

Logo (d/dt)(x(t)+y(t)) = A(x(t)+y(t)), ou seja, (x(t)+y(t)) tambem e solucao de (5).

Assim, deste teorema, temos que qualquer combinacao linear de solucoes de (5) tambeme solucao de (5).

Teorema 6.2 Existe uma, e somente uma, solucao do problema de valor inicial{

x = Axx(t0) = x0 (6)

Demonstracao. (i) Existencia: Defina a sequencia,

x0(t) = x0

x1(t) = x0 +∫ t

t0(Ax0(s))ds

x2(t) = x0 +∫ t

t0(Ax1(s))ds

...

xk(t) = x0 +∫ t

t0(Axk−1(s))ds

.

Note que xk(t) e uma funcao de n componentes, onde a i-esima componente e dada porxk

i (t) = x0i +

∫ t

t0(Σn

j=1aijxk−1j )ds.

Sejam m e q constantes positivas tais que:|a| ≤ m, para i, j = 1, 2, ..., n e|x1

i − x0i | ≤ q para i = 1, 2, ..., n.

Daı,∣∣x2

i (t)− x1i (t)

∣∣ =

∣∣∣∣x0i +

∫ t

t0

(Σnj=1aijx

1j)ds− x0

i +

∫ t

t0

(Σnj=1aijx

0j)ds

∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∫ t

t0

(Σnj=1aij(x

1j − x0

j))ds

∣∣∣∣ ≤∫ t

t0

Σnj=1 |aij|

∣∣x1j − x0

j

∣∣ ds ≤

≤ m

∫ t

t0

Σnj=1

∣∣x1j − x0

j

∣∣ ds ≤ nmq(t− t0).

Analogamente,

∣∣x3i (t)− x2

i (t)∣∣ ≤

∫ t

t0

Σnj=1 |aij|

∣∣x2j − x1

j

∣∣ ds ≤ m

∫ t

t0

Σnj=1

∣∣x2j − x1

j

∣∣ ds ≤

≤ nm2q

∫ t

t0

(s− s0)ds = (n2m2q(t− t0)2)/2.

Por inducao, temos:

∣∣xk+1i (t)− xk

i (t)∣∣ ≤ (nkmkq(t− t0)

k)/k!. (7)

De (7) temos que{xk

i (t)}

convergem para cada i = 1, 2, ..., n. Usaremos a seguintenotacao: xi(t) = limk→∞xk

i (t).Essas funcoes xi(t) sao contınuas, daı:

xi(t) = limk→∞xki (t) = limk→∞(x0

i +

∫ t

t0

(Σnj=1aijx

k−1j )ds =

= x0i +

∫ t

t0

(Σnj=1aijlimk→∞xk−1

j (s))ds = x0i +

∫ t

t0

(Σnj=1aijxj(s))ds.

Derivando, temosx,

i(t) = Σnj=1aijxj(s), (8)

para i = 1, ..., n.

Denotando por x(t) =

x1(t)...

xn(t)

onde xi(t) sao os limites das sequencias iniciais. Pela

equacao (8), temos que x(t) = Ax(t) e x(t0) = x0, portanto x(t) e solucao do sistema.(ii) Unicidade: Suponha que o problema de valor inicial admita duas solucoes x(t) e

y(t), entao x = Ax e y = Ay ⇒ x− y = Ax− Ay = A(x− y).Logo a funcao z(t) = x(t) − y(t) e solucao de (6). Temos que provar que z(t) = 0 para

provar que x(t) = y(t).Defina u(t) =

∫ t

t0(|z1(s)|+ ... + |zn(s)|)ds, onde zi(t) sao as funcoes coordenadas de z(t).

Note que zi(t) =∫ t

t0z,

i(s)ds, daı

|z1(s)|+ ... + |zn(s)| =∣∣∣∣∫ t

t0

z,1(s)ds

∣∣∣∣ + ... +

∣∣∣∣∫ t

t0

z,n(s)ds

∣∣∣∣ ≤∫ t

t0

|z,1(s)| ds + ...+

+

∫ t

t0

|z,n(s)| ds =

∫ t

t0

(|z,1(s)|+ ... + |z,

n(s)|) ds =

∫ t

t0

(∣∣∣∣∣n∑

j=1

a1jzj(s)

∣∣∣∣∣ + ...+

+

∣∣∣∣∣n∑

j=1

anjzj(s)

∣∣∣∣∣

)ds ≤

∫ t

t0

(n∑

j=1

|a1j| |zj(s)|+ ... +n∑

j=1

|anj| |zj(s)|)

ds =

=

∫ t

t0

n∑i=1

n∑j=1

|aij| |zj(s)| ds ≤ nm

∫ t

t0

n∑j=1

|zj(s)| ds =

= nm

∫ t

t0

(|z1(s)|+ ... + |zn(s)|)ds = nmu(t).

Portanto, |z1(s)|+ ... + |zn(s)| ≤ nmu(t), para qualquer t ∈ I, ou seja, u,(t) ≤ nmu(t).Multiplicando por e−nmt temos

e−nmtu,(t) ≤ nmu(t)e−nmt ⇒ e−nmtu,(t)− nmu(t)e−nmt ≤ 0 ⇒

⇒ (d/dt)(e−nmtu(t)) ≤ 0,

com u(t0) = 0.Portanto e−nmtu(t) e decrescente ou constante. Mas e−nmtu(t) ≥ 0, poıs u(t) = 0 e

e−nmtu(t0) = 0 (u(t0) = 0) ⇒ e−nmtu(t) e constante e igual a zero no intervalo [t0, b]. Tomet0 = a, e teremos que e−nmtu(t) = 0 em I = [a, b].

Mas como e−nmt e sempre positivo, entao u(t) = 0 em I. Logo u(t) = 0 =∫ t

t0(|z1(s)| +

... + |zn(s)|)ds ⇒ zi(t) = 0 ⇒ z(t) = 0, ou seja, x(t) = y(t) conforme querıamos. Portanto,temos a unicidade da solucao.

Teorema 6.3 A dimensao do espaco V de todas as solucoes do sistema linear homogeneode equacoes diferenciais (5) e n.

Demonstracao. Seja f j(t), j = 1, ..., n a solucao do problema de valor inicial onde cadaf j(0) = ej = (0, · · ·, 0, 1, 0, · · ·, 0) (com o 1 na j-esima linha).

Pelo teorema anterior f j(t) existe para todo t e e unica. Tome c1, c2, ..., cn constantes econsidere a equacao:

c1f1 + c2f

2 + ... + cnfn = 0.

Para t = 0 obtemos:c1f

1(0) + c2f2(0) + ... + cnfn(0) = 0 =c1e

1 + c2e2 + ... + cnen

Como e1, e2, ... , en sao linearmente independentes em Rn, temos c1 = c2 = ... = cn = 0e daı f 1, ..., fn sao linearmente independentes em V. Portanto falta provar que f 1, ... , fn

tambem geram V .

Tomemos x ∈ V e que c =

c1

c2

...cn

seja o valor de x em t = 0. Com estas constantes

c1, ..., cn construımos q(t) = c1f1(t) + c2f

2(t) + ... + cnfn(t). Logo q e solucao de (5) poıs e

combinacao linear de solucoes, e para t = 0, temos:

q(0) = c1f1(0) + c2f

2(0) + ... + cnfn(0) = c1e

1 + c2e2 + ... + cnen =

c1

c2

...cn

= x(0).

Novamente pelo teorema anterior concluımos que q e x sao identicas, portanto f 1, ..., fn

geram V e assim temos uma base de n elementos linearmente independentes que geram todoo espaco V . Logo dim(V )= n.

Teorema 6.4 Tomando f 1, ... , fn n solucoes de (5), escolhendo um conveniente t0, estassolucoes serao linearmente independentes se os seus vetores em t0 o forem em Rn.

Demonstracao. Tomando f 1, ... , fn n solucoes de (5) linearmente dependentes. Entaoexistem constantes c1, ... , cn nao todas nulas tais que:

c1f1 + c2f

2 + ... + cnfn = 0.

Daı para t = t0, temos:

c1f1(t0) + c2f

2(t0) + ... + cnfn(t0) = 0.

Portanto os vetores f 1(t0), ... , fn(t0) sao linearmente dependentes.Reciprocamente, suponhamos que os valores de f 1, ... , fn em algum t0 sao vetores

linearmente dependentes em Rn. Entao, existem constantes c1, ... , cn, nao todas nulas taisque

c1f1(t0) + c2f

2(t0) + ... + cnfn(t0) = 0.

Podemos construir uma funcao com valores vetoriais da seguinte forma

q(t) = c1f1(t) + c2f

2(t) + ... + cnfn(t).

Esta funcao e solucao de (5), pois e uma combinacao linear de solucoes. Como q(t0) = 0,pelo teorema da existencia e unicidade q(t) = 0 para todo t, logo f 1, ... , fn sao linearmentedependentes.

Agora, com o intuito de encontrar n solucoes linearmente independentes x1(t), ... , xn(t)da equacao diferencial linear homogenea de primeira ordem:

x = Ax, onde x =

x1

...xn

e A =

a11 ... a1n

... ... ...an1 ... ann

. (9)

Tomemos x(t) = eλtv, onde v e um vetor constante, assim notemos que:

(d/dt)(eλtv) = λeλtv e A(eλtv) = eλtAv.

Logo para que x(t) = eλtv seja solucao de (9), e necessario que λeλtv = eλtAv. E comoeλt e sempre maior que zero, podemos dividir toda a equacao por eλt. E assim ficamos com

Av = λv. (10)

Portanto, para definir as solucoes de (9), passamos para o problema de encontrar osauto-valores λ e auto-vetores v de A.

De (10) temos que0 = Av − λv = (A− λI)v.

Um vetor nao nulo que satisfaz a equacao (10) se det(A− λI) = 0. Note que det(A− λI)e um polinomio, denominado polinomio caracterıstico.

p(λ) = det(A− λI) = det

a11 − λ a12 ... a1n

a21 a22 − λ ... a2n

... ... ... ...an1 an2 ... ann − λ

.

Este polinomio e de grau n, e suas raızes (que podem ser complexas), sao denominadasauto-valores. Cada auto-valor tem associado a ele pelo menos um auto-vetor. E claro que sev e um auto-vetor, entao para qualquer constante c nao nula, cv e tambem auto-vetor, poisA(cv)=cAv = cλv = λ(cv).

Teorema 6.5 Quaisquer k vetores proprios de A, v1, ... , vk, com auto-valores distintosλ1, ... , λk respectivamente, sao linearmente independentes.

Demonstracao. Faremos por inducao sobre k. Para k = 1 isto e verdadeiro, pois umconjunto de um unico vetor e linearmente independente. Agora suponhamos que a afirmacaoe verdadeira para k = j e provemos sua veracidade para k = j + 1.

Se aplicarmos A a ambos os membros da equacao

c1v1 + c2v2 + ... + cj+1vj+1 = 0. (11)

Temos,λ1c1v1 + λ2c2v2 + ... + λj+1cj+1v

j+1 = 0. (12)

Assim multiplicando (11) por λ1 e subtraindo de (12) ficamos com:

(λ2 − λ1)c2v2 + ... + (λj+1 − λ1)cj+1vj+1 = 0.

Pela hipotese de inducao v2, ... , vj+1 sao linearmente independentes, e entao

(λ2 − λ1)c2 = 0, ..., (λj+1 − λ1)cj+1 = 0.

Como λ1, ... , λj+1 sao distintos, entao c2, ... , cj+1 sao todos nulos. Agora voltandoem (11), temos que c1 = 0 e consequentemente v1, ... , vj+1 sao linearmente independentes,conforme querıamos.

6.1 Auto-valores Distintos

Vimos que se A possui n auto-valores reais todos distindos, entao teremos n auto-vetoreslinearmente independentes e, consequentemente, as n solucoes do sistemas x = Ax sao daforma x(t) = eλtv, e sao todas linearmente independentes. Veremos a seguir, como procederquando temos auto-valores complexos e auto-valores reais iguais.

6.2 Auto-valores Complexos

Seja λ = α+βi auto-valor de A com auto-vetor v = v1 + iv2, entao x(t) = eλtv e uma solucaocom valores complexos da equacao diferencial x = Ax, assim essa solucao x(t) = y(t) + iz(t)gera duas outras solucoes linearmente independentes y(t) e z(t). Pois y(t)+ iz(t) = A(y(t)+iz(t)) = Ay(t) + Az(t) ⇒ y(t) = Ay(t) e z(t) = Az(t). Assim tanto a parte real quanto aparte imaginaria de uma solucao complexa sao solucoes do sistema.

Usando as formula de Taylor das funcoes ex, cos x e sin x em torno de x = 0, pode-mos escrever eix = cos x + i sin x, assim temos que a funcao com valores complexos x(t) =e(α+βi)t(v1 + iv2) pode ser escrita sob a forma

x(t) = eαt(cos βt + i sin βt)(v1 + iv2) = eαt[(v1 cos βt− v2 sin βt) + +i(v1 sin βt + v2 cos βt)].

Portanto, se λ = α + iβ e um valor proprio de A com vetor proprio v = v1 + iv2, entao

y(t) = eαt(v1 cos βt− v2 sin βt) e z(t) = eαt(v1 sin βt + v2 cos βt)

sao duas solucoes de (9). Alem disso, essas duas solucoes devem ser linearmente indepen-dentes. Para verificar isso, e suficiente verificar que v1 e v2 sao L.I.. Usando que v = v1 + iv2

e v = v1 − iv2, escrevemos v1 = v+v2

e v2 = v−v2

. Entao para a, b ∈ R, temos:

av1 + bv2 = 0 ⇒ (a + bi)v + (a− bi)v = 0. (13)

Aplicando A na equacao (13), obtemos

(a + bi)λv + (a− bi)λv = 0. (14)

Multiplicando (13) e subtraındo de (14), temos a− bi = 0, ou seja, a = b = 0.

6.3 Autovalores Iguais

Se o polinomio caracterıstico de A nao tem n raızes distintas, entao A pode nao ter n vetoresproprios linearmente independentes. Logo se o polinomio caracterıstico tiver k raızes, entaonosso problema esta em encontrar n−k solucoes linearmente independentes. Entao a equacaodiferencial x = Ax tem somente k solucoes linearmente independentes da forma eλtv.

Trataremos desse problema da seguinte maneira engenhosa. Relembremos que x(t) = eatce uma solucao da equacao diferencial escalar x = ax, para toda constante c. Analogamente,gostarıamos de dizer que x(t) = eAtv e uma solucao da equacao diferencial vetorial x = Axpara todo vetor constante v. Entretanto, eAt nao e definida se A e matriz n× n. Isto poremnao e uma dificuldade seria. Existe uma maneira muito natural de definir eAt de modo alembrar a exponencial escalar eat ; definimos simplesmente (pela serie de Taylor de ex):

eAt ≡ I + At + ((A2t2)/2!) + ... + ((Antn)/n!) + ... (15)

Pode ser mostrado que a serie infinita (15) converge para todo t e que pode ser diferenciadatermo a termo. Em particular,

(d/dt)(eAt) = A + A2t + ... + ((Antn−1)/(n− 1)!) + ((An+1tn)/n!) + ... =

= A[I + At + ... + ((An−1tn−1)/(n− 1)!) + ((Antn)/n!) + ...] = AeAt.

Isto implica em que eAtv e uma solucao de x = Ax para todo vetor constante v, uma vezque (d/dt)(eAtv) = AeAtv =A(eAtv).

Observemos que a matriz exponencial eAt e a exponencial escalar eat satisfazem muitaspropriedades similares, como

(eAt)−1 = e−At, eA(t+s) = eAteAs e eAeB = eA+B, se AB = BA.

Mostraremos agora como encontrar n vetores linearmente independentes para os quais asoma da serie infinita eAtv possa ser determinada com exatidao. Para isso, temos eAtv =e(A−λI)teλItvpara qualquer constante λ, pois (A− λI)(λI) = (λI)(A− λI). Alem disso,

eλItv = [I + λIt + ((λ2I2t2)/2!) + ...]v = [1 + λt + ((λ2t2)/2!) + ...]v = eλtv.

Portanto, eAtv =eλte(A−λI)tv.

A seguir, faremos a observacao crucial de que se v satisfaz (A − λI)mv = 0 para alguminteiro m, entao a serie infinita e(A−λI)tv termina depois de m termos. Se (A − λI)mv = 0,entao (A−λI)m+lv = 0 e tambem zero, para todo inteiro positivo l, pois (A−λI)m+lv =(A−λI)l[(A− λI)mv] = 0. Consequentemente,

e(A−λI)tv = v + t(A− λI)v + ... + (tm−1/(m− 1)!)(A− λI)m−1v

eeAtv =eλte(A−λI)tv =eλt[v + t(A− λI)v + ... + (tm−1/(m− 1)!)(A− λI)m−1v].

Temos que para encontrar n solucoes linearmente independentes, para isso, precisamosencontrar primeiramente todos os auto-valores e auto-vetores de A. E assim acharmos assolucoes da forma eλtv relativos a cada auto-valor com seu respectivo auto-vetor. Assim,se nao obtivermos n solucoes linearmente independentes, tomamos um auto-valor λ de A edeterminamos todos os vetores v para os quais (A− λI)2v = 0, com (A− λI)v 6= 0 e paracada um desses vetores ganhamos uma solucao da forma

eAtv = eλte(A−λI)tv = eλt(v+t(A− λI)v).

E ainda se nao tivermos solucoes suficientes, determinamos os vetores v onde (A−λI)3v =0 e (A− λI)2v 6= 0 e obtemos para cada vetor uma solucao da forma

eAtv = eλt(v+t(A− λI)v + (t2/2!)(A− λI)2v),

continuamos procedendo desta forma ate conseguir as n solucoes linearmente independentes.Apresentaremos a seguir o seguinte lema da algebra linear, que limita o numero de passos

que devemos fazer para encontrar as n solucoes linearmente independentes.

Lema 6.2 Suponhamos que o polinomio caracterıstico de A tem k raızes distintas com mul-tiplicidade n1, ... , nk, respectivamente. Suponhamos que A tem somente vj menor que nj,auto-vetores linearmente independentes com auto-valor λj. Entao a equacao tem no mınimovj + 1 solucoes independentes. De forma mais geral se (A − λI)m tem mj menor que nj,solucoes independentes entao (A− λI)m+1 = 0 tem no mınimo mj + 1 solucoes linearmenteindependentes.

Apresentaremos agora um importante teorema da Algebra Linear

Teorema 6.6 (Teorema de Caley-Hamilton) Suponhamos que p(λ) = p0 + p1λ + ... +(−1)nλn seja o polinonmio caracterıstico de A. Entao p(A) = p0I + p1A+ ...+(−1)nAn = 0.

Demonstracao. Usando λ = A na equacao p(λ) = det(A − λI) obtemos p(A) = det(A −AI) = 0, mas nao podemos subtrair uma matriz dos elementos da diagonal de A. Entretantousando a adjunta classica C(λ) da matriz (A− λI) obtemos:

(A− λI)C(λ) = p(λ)I, onde C(λ) = C0 + C1λ + ... + Cn−1λn−1 e as C0, C1, ... , Cn−1

sao matrizes n× n.

Portanto (A−λI)C(λ) = p(λ)I = (A−λI)(C0+C1λ+ ...+Cn−1λn−1) = p0I+p1λI+ ...+

(−1)nλnI. Assim, igualando os coeficientes de mesma potencia dos dois lados da igualdadetemos:

p0I = C0Ap1I = C1A−C0Ip2I = C2A−C1Ip3I = C3A−C2I

...pn−1I = Cn−1A−Cn−2I(−1)nI = CnA−Cn−1I

Agora multipliquemos por potencias de A da seguinte forma:

p0I = C0A(p1I = C1A−C0I) × A

(p2I = C2A−C1I) × A2

(p3I = C3A−C2I) × A3

...(pn−1I = Cn−1A−Cn−2I) × An−1

((−1)nI = CnA−Cn−1I) × An

O ultimo passo e somar as igualdades. Fazendo isso, temos

p(A) = p0I + p1A + ... + (−1)nAn = 0.

7 Solucoes Matrizes Fundamentais

Sejam x1(t), ... , xn(t) n solucoes linearmente independentes da equacao diferencial

x = Ax (16)

Entao toda solucao x(t) pode ser escrita como:

x(t) = c1x1(t) + c2x

2(t) + ... + cnxn(t).

Logo seja X(t) a matriz cujas colunas sao x1(t), ... , xn(t) e c =

c1...cn

, entao x(t) =

X(t)c. Essa matriz X(t) e chamada de uma solucao matriz fundamental de (16).

Teorema 7.1 Seja X(t) uma solucao matriz fundamental da equacao diferencial (16). EntaoeAt = X(t)X−1(0).

Para demonstrar este teorema usaremos 3 lemas.

Lema 7.1 Uma matiz X(t) e uma solucao matriz fundamental de (16) se, e so se, X(t) =AX(t) e detX(0) 6= 0. Onde as componentes de X(t) sao as derivadas das componentescorrespondentes de X(t).

Demonstracao. Indiquemos por x1(t), ... , xn(t) as n colunas de X(t). Observemosque X(t) = (x1(t), ..., xn(t)) e AX(t) = (Ax1(t), ..., Axn(t)). Logo as n equacoes vetoriaisx1(t) = Ax1(t), ... , xn(t) = Axn(t) sao equivalentes a X(t) = AX(t). E para x1(t), ... ,xn(t) serem linearmente independentes e necessario que x1(0), ... , xn(0) o sejam, mas istoso ocorre se detX(0) 6= 0 . Assim X(t) e uma solucao matriz fundamental de (16) se, e so se,X(t) = AX(t) e detX(0) 6= 0.

Lema 7.2 A funcao com valores matriciais eAt ≡ I + At + A2t2/2! + A3t3/3! + ... e umasolucao matriz fundamental de (16).

Demonstracao. Como (d/dt)(eAt) = AeAt, temos que eAt e uma solucao da equacao difer-encial X(t) = AX(t) e como para t = 0 e0 = I o determinante da funcao em torno de t = 0 e1, logo e diferente de zero, e assim pelo lema anterior eAt e uma solucao matriz fundamentalde (16).

Lema 7.3 Sejam X(t) e Y(t) duas solucoes matrizes fundamentais de (16). Entao, existeuma matriz constante C tal que Y(t) = X(t)C.

Demonstracao. Temos que, por definicao, as colunas x1(t), ... , xn(t) de X(t) e y1(t),... , yn(t) de Y(t) sao conjuntos de solucoes linearmente independentes de (16), com issoconclui-se que existem constantes cj

1, ... , cjn tais que

yj(t) = cj1x

1(t) + cj2x

2(t) + ... + cjnxn(t), j = 1, ..., n. (17)

Ou seja, cada coluna de Y(t) pode ser escrita como combinacao linear das colunas deX(t).

Definindo C como a matriz (c1, c2, ... , cn) onde cj =

cj1

...cjn

, observamos que as n

equacoes de (17) sao equivalentes a unica equacao Y(t) = X(t)C.Demonstracao do Teorema 7.1. Seja X(t) uma solucao matriz fundamental de (16)entao pelos lemas 7.2 e 7.3, temos que existe uma matriz constante C tal que eAt = X(t)C,para t = 0 temos I = X(0)C ⇒ C = X−1(0). Portanto eAt = X(t)X−1(0).

Por exemplo, achemos n solucoes linearmente independentes do sistema de equacoes difer-

enciais x =

−1 −1 00 −1 00 0 −2

x.

det

−1 −1 00 −1 00 0 −2

= (−1− λ)2(−2− λ) = 0 ⇒ λ = −2 ou λ = −1.

Para λ = −1 temos:

(A + 1I)v = 0 ⇒

0 −1 00 0 00 0 −1

v1

v2

v3

= 0 ⇒ v2 = v3 = 0 ⇒ v =

v1

00

.

Logo esse auto-valor nos fornece a solucao

x(t) = e−t

100

.

Para λ = −2 temos:

(A + 2I)v = 0 ⇒

1 −1 00 1 00 0 0

v1

v2

v3

= 0 ⇒ v1 = v2 = 0 ⇒ v =

00v3

.

Logo esse auto-valor nos fornece a solucao

x(t) = e−2t

001

.

Agora para λ = −1 temos

(A + 1I)2v = 0 ⇒

0 −1 00 0 00 0 −1

0 −1 00 0 00 0 −1

v1

v2

v3

=

0 0 00 0 00 0 1

v1

v2

v3

=

= 0 ⇒ v3 = 0 ⇒ v =

v1

v2

0

.

Logo esse auto-valor nos fornece a solucao

x(t) = eAtv = eλt(v + t(A− λI)v) = e−t

110

+ t

0 −1 00 0 00 0 −1

110

=

= e−t

1− t10

.

Entao, uma forma geral das solucoes do problema e

x(t) = c1e−t

100

+ c2e

−2t

001

+ c3e

−t

1− t10

=

e−t(c1 + c3(1− t))c3e

−t

c2e−2t

.

Referencias

[1] Braun, M., Equacoes Diferenciais e suas Aplicacoes, Campus, Rio de Janeiro,1979.

[2] Boldrini, J.L [et. all.], Algebra Linear, Editora Harbra ltda, Sao Paulo, 1980.

[3] Callioli, C.A, Domingues, H.H., Costa, R.C., Algebra Linear e aplicacoes, AtualEditora, Sao Paulo, 1990.

[4] Lima, E.L., Algebra Linear, Rio de Janeiro, IMPA, CNPq, Colecao MatematicaUniversitaria, 1996.

[5] Kolman, B., Hill, D.R., Introducao a Algebra Linear com Aplicacoes, LTC, Riode Janeiro, 2006.

[6] Noble, B., Daniel, J.W., Albegra Linear Aplicada, Prentice-Hall, Rio de Janeiro,1986.

[7] Tenemblat, K., Introducao a Geometria Diferencial, Editora da Unb, Brasılia,1988.

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Revista Científica Eletrônica daFaculdade de Matemática - FAMAT

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Problemas e Soluções

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Comitê Editorial da Seção

Problemas e Soluções

do Número 12 da FAMAT EM REVISTA:

Luiz Alberto Duran Salomão (coordenador da seção)

Alessandro Alves Santana

Marcos Antônio da Câmara

Problemas nº 12

45. O conjunto dos n primeiros números primos 2, 3, 5, . . ., pn é dividido em dois

conjuntos disjuntos A e B. Os primos em A serão representados por a1, a2, . . ., ah

enquanto os de B por b1, b2, . . ., bk, sendo h + k = n. São formados dois produtos

∏∏==

k

i

i

h

i

iii ba

11

eβα

, onde os ii βα os e são inteiros positivos. Se d divide a diferença

desses dois produtos, demonstre que d = 1 ou d > pn.

46. Dado um ponto O no plano, chame S o disco de centro O e raio 1. Suponha que S

contenha sete pontos tais que a distância entre dois quaisquer deles seja maior do que ou

igual a 1.Demonstre que um dos tais sete pontos é O.

47. No interior de um cubo de aresta 15 são dados 11000 pontos. Demonstre que existe

uma esfera de raio unitário contendo pelo menos seis dos pontos dados.

48. Demonstre que nenhum termo da sequência infinita

10001, 100010001, 1000100010001, . . .

é primo.

Resoluções dos Problemas - nº 11

41. Qual dos dois números é maior: 200620072008ou 2007 ? Justifique sua resposta.

Resolução: Observe que 20062006

2006

200720062007

2007

112007

2007

2008

2007

200720082007

+>⇔

>⇔>

Agora, veja que

20062007

2007

11

2007

112007

+>

+>> e .

Portanto, 20062007 20082007 > .

42. Quantas são as sequências estritamente crescentes de números naturais começando

com 1 e terminando com 1000?

Resolução: Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto das tais sequências e

o conjunto dos subconjuntos de {2, 3, . . . , 999}. Portanto, a resposta é 9982 .

43. Se cba e , são números inteiros e 222cba =+ , demonstre que 3 é divisor do

produto ab .

Resolução: Todos os quadrados perfeitos são congruentes a 0 ou a 1 módulo 3 (essa

afirmação é de fácil justificativa). Portanto, 22 e ba não podem ser simultaneamente

congruentes a 1 módulo 3. Daí, pelo menos um dentre os inteiros a e b é congruente a 0

módulo 3. Isso garante que o produto ab é múltiplo de 3.

44. Dentre 2+n inteiros, demonstre que há dois deles cuja diferença ou cuja soma é um

múltiplo de n2 .

Resolução: Represente os n + 2 inteiros dados por 221 ,...,,+naaa . Pelo Algoritmo da

Divisão,

.2,...,2,1 para ,20 onde ,2,...,2,2 222222111 +=<≤+=+=+=+++

ninrrnqarnqarnqa innn

Por absurdo, suponha que, , com},2,...,2,1{, jinji ≠+∈∀

( ) ( ) (*)2 jijiji rrqqnaa −+−=−

e

( ) ( ) (**)2 jijiji rrqqnaa +++=+

não sejam múltiplos de 2n. Assim, de (*), temos que ji rr ≠ ,

. com},2,...,2,1{, jinji ≠+∈∀ Portanto, os elementos do conjunto

{ }21: +≤≤= nirC i coincidem com exatamente n+2 elementos do conjunto

{ }12,...,2,1,0 −n . Por outro lado, de (**), temos que

,2 de múltiploser pode não nrr ji + , com},2,...,2,1{, jinji ≠+∈∀ ou seja, 1 e 2n-1

não podem estar simultaneamente em C; o mesmo se pode afirmar de 2 e 2n-2, 3 e 2n-3,

e assim por diante. Daí, o número de elementos de C em { }12,...,2,1,0 −n é, no máximo,

112

12++

−n (admitindo-se a possibilidade de 0 e n pertencerem a C). No entanto,

22

3211

2

12+<

+=++

−n

nn. Absurdo!

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Eventos

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Comitê Editorial da Seção

Eventos

do Número 12 da FAMAT EM REVISTA:

Douglas Silva Oliveira (coordenador da seção)

Marcos Antônio da Câmara

Alessandro Alves Santana

Eventos

CNMAC 2009 - XXXII Congresso Nacional de Matemática Aplicada e

Computacional

Período: 8 a 11 de setembro de 2009

Informações: www.congresscentral.com.br/cnmac2009/index.php

I Simpósio de Matemática e Matemática Industrial (SIMMI)

Período: 27 a 30 de abril de 2009

Informações: www.catalao.ufg.br/mat

SIBGRAPI 2009 - XXII Brazilian Symposium on Computer Graphics

and Image Processing (Jointly with SBGames 2009)

Período: 11 a 14 de outubro de 2009

Informações: www.matmidia.mat.puc-rio.br/sibgrapi2009

VIII Brazilian Workshop on Continuous Optimization

Período: 13 a 17 de julho de 2009

Informações: www.impa.br/opencms/pt/eventos/store/evento_0902

III ENAMA – Encontro Nacional de Análise Matemática e Aplicações

Período: 4 a 6 de novembro de 2009

Informações: www.enema.org

XIII EBEM – Encontro Baiano de Educação Matemática

Período: 01 a 04 de julho de 2009

Informações: www.sbemba.com.br

27º Colóquio Brasileiro de Matemática

Período: 27 a 31 de julho de 2009

Informações:www.impa.br/opencms/pt/pesquisa/pesquisa_coloquio_brasileiro_de_mat

ematica/CBM27/

XIX EIEM - XIX Encontro de Investigação de em Educação

Matemática

Período: 16 a 17 de maio de 2009

Informações: www.home.utad.pt/~eiem2009/index.html

X EGEM – Encontro Gaúcho de Educação Matemática

Período: 02 a 05 de junho de 2009

Informações: www.unijui.edu.br/xegem

XIII EBRAPEM - XIII Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-

Graduação em Educação Matemática

Período: Setembro de 2009

Informações: www.ufg.br/this2/page.php?id_pagina=1233838499&site_id=37

II EnGEM- II Encontro Goiano de Educação Matemática

Período: 22 a 24 de outubro de 2009

Informações: www.sbem-go.com.br/noticia.html

IV SIPEM - IV Seminário Internacional de Pesquisa em Educação

Matemática

Período: 25 a 28 de outubro de 2009

Informações: www.sbem.com.br/files/sipem.pdf

VI CNMEM - VI Conferência Nacional sobre Modelagem em

Educação Matemática

Período: Segundo semestre de 2009

Informações: www.sbem.com.br/gt10/eventos.html

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Reflexões Sobre oCurso de Matemática

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Comitê Editorial da Seção

Reflexões sobre o Curso de Matemática

do Número 12 da FAMAT EM REVISTA:

Alessandro Alves Santana (coordenador da seção)

Marcos Antônio da Câmara

Valdair Bonfim

O curso de Matemática da UFU: novo projeto, novos desafios Geovana Ferreira Melo Teixeira1

O propósito desse texto é analisar as principais modificações no projeto pedagógico do curso de Matemática, realizadas em função das exigências de políticas instituídas pelo CNE – Conselho Nacional de Educação, por meio da Resolução CNE/ 1, de 18 de Fevereiro de 2002, que institui as Diretrizes Curriculares para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura.

O projeto pedagógico do curso de Matemática foi elaborado por uma comissão composta por professores, representantes discentes e técnicos administrativos. A prioridade das discussões foi no sentido de contemplar, no novo projeto, além das orientações gerais contidas no Projeto Institucional, aspectos importantes como os impactos das novas tecnologias de informática e comunicação no ensino de matemática, práticas educativas, integração da formação específica e pedagógica, interdisciplinaridade, contextualização, formação humanística do profissional da educação, comprometidos com processos de inclusão social no exercício da profissão. Segundo a comissão, há alguns desafios que precisam ser vencidos, como a efetiva implantação e manutenção de um programa de mestrado, a diminuição da evasão e reprovação nos cursos de licenciatura e bacharelado e a redução do tempo de integralização do curso (UFU, Projeto Pedagógico do curso de Matemática, 2005, p. 10).

Diante dessa realidade de mudanças, os cursos de formação de professores foram incitados a construir e assumir um projeto pedagógico que possa viabilizar uma sólida formação teórico-prática para os futuros professores, no sentido de contemplar as diferentes dimensões - científica, cultural, humana, política e ética - para que possam realmente se tornar profissionais capazes de atuar criticamente na sociedade, com o objetivo de contribuir com a realização de processos de educação mais humanos e democráticos. Assim, se por um lado as modificações implementadas pelas políticas públicas se apresentam, em alguns aspectos, de forma equivocada, por outro, abriram espaços de discussões e reflexões com relação aos cursos de licenciatura. No entanto, de acordo com Sacristán (2002, p. 86),

(...) a vontade é a grande faculdade esquecida da filosofia ocidental, vítima do racionalismo estreito parcial. Isso quer dizer que devemos dar bastante importância aos motivos de ação do professorado, pois temos educado as mentes, mas não o desejo, não educamos a vontade. Damos conhecimentos, mas não educamos os motivos. Para educar é preciso que se tenha um motivo, um projeto, uma ideologia. Isso não é ciência, isso é vontade, é querer fazer, querer transformar. E por um projeto de emancipação social, pessoal, etc. os motivos, as motivações do professorado têm sido um capítulo ausente da formação de professores e da investigação sobre a formação de professores.

Nesse sentido, e em resposta aos desafios colocados pela necessidade de reorganização dos currículos dos cursos de licenciatura é que evidenciamos a importância da discussão coletiva, do espaço fecundo a ser criado no interior das IES para a elaboração do projeto institucional da formação de professores que contemple, dentre outros aspectos, a questão das subjetividades, da construção da identidade

1 Professora da Faculdade de Educação da Universidade Federal de Uberlândia, leciona a disciplina de Didática Geral no curso de Matemática. Pedagoga, Mestre e Doutora em Educação.

profissional, dos diferentes saberes que irão contribuir para o exercício do magistério. Dessa forma, reafirmarmos que a universidade é, e deve continuar sendo, o lócus privilegiado de formação dos profissionais da educação. Não uma formação banalizada pelo aligeiramento, mas enquanto processo intenso de estudos, pesquisas e experiências formativas que, certamente, enriquecerão a formação inicial dos professores.

Sendo assim, a problemática aqui discutida nos mostra que as atuais políticas de formação de professores, apesar das dificuldades evidentes a serem enfrentadas, trouxeram à baila discussões que estavam latentes, como a valorização da profissão docente e da profissionalização, a importância da formação inicial e continuada, a autonomia das universidades, dentre outros aspectos. Nesse sentido, queremos crer que os caminhos até então percorridos nos mostram que muito ainda há por ser feito com relação à formação de professores, e que apesar dos impasses e dificuldades enfrentadas, temos a possibilidade de promover um diálogo que vá desaguar em ações e práticas formativas que definitivamente contribuam para o processo de formação e profissionalização docente.

Os fundamentos para a elaboração do projeto do curso de Licenciatura em Matemática buscam assegurar a formação de professores com base nos seguintes princípios:

“contextualização e visão crítica dos conhecimentos; indissociabilidade entre ensino, pesquisa e extensão, de modo a desenvolver nos estudantes, atitudes investigativas e instigadoras de sua participação no desenvolvimento do conhecimento; interdisciplinaridade, evitando a fragmentação dos conteúdos; rigoroso trato teórico-prático, histórico e metodológico no processo de elaboração e socialização dos conhecimentos; ética; desenvolvimento de uma prática de avaliação qualitativa do aprendizado dos estudantes e uma prática de avaliação sistemática do Projeto Pedagógico do Curso, de modo a produzir re-significações constantes no trabalho acadêmico” (idem, p. 11).

Grande parte dos problemas apresentados no currículo anterior, conforme analisamos na pesquisa desenvolvida sobre o curso (Teixeira, 2007) foi abordada nesses princípios, principalmente, com relação à avaliação da aprendizagem, pois se trata de uma das dificuldades enfrentadas pelos alunos, cuja conseqüência é o alto índice de reprovação e evasão do curso.

Há, ainda, no projeto, um item totalmente dedicado à avaliação, denominado “Diretrizes gerais para os processos de Avaliação”, que engloba dentre outros aspectos uma discussão teórica a respeito da avaliação do processo ensino-aprendizagem, em que é ressaltada a concepção de uma prática avaliativa contínua, a partir do desenvolvimento de ações dinâmicas, formativas e diagnósticas. No projeto, é ressaltado que:

Faz-se necessária uma profunda reflexão a respeito do tema avaliação, não havendo como manter inalterada a prática avaliativa em funcionamento. Por certo, o simples fato da inclusão de novas e diversificadas componentes curriculares no curso, tais como as Atividades Complementares, o Trabalho de Conclusão de Curso, o PIPE dentre outras, provocam mudanças de postura no processo de avaliar. Todavia, entendemos que a operacionalização efetiva desta nova cultura avaliativa não deve se processar de forma impositiva, ela somente terá sucesso se houver envolvimento

e disposição individual de todos os segmentos diretamente associados com o processo avaliativo.

Há uma evidente preocupação demonstrada pela comissão que elaborou o projeto com relação às práticas avaliativas, principalmente, por identificar os problemas e entender que a solução destes não se encontra apenas em uma proposta escrita, representada no projeto pedagógico do curso, mas demanda uma profunda reflexão da concepção que os professores formadores possuem a respeito da temática Avaliação. Quanto à estrutura curricular, o curso continuará oferecendo as duas modalidades: licenciatura e bacharelado, sendo que “nos quatro primeiros semestres

serão oferecidas disciplinas de formação básica em Matemática preparando o futuro

professor (licenciado ou bacharel) à prática docente de tal conteúdo, com rigor

matemático e suporte de recursos metodológicos adequados” (idem, p. 13). Os conteúdos de Matemática trabalhados nestes semestres contemplam aspectos a serem desenvolvidos no ensino fundamental e médio, além de outros específicos do ensino superior, como por exemplo, as disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral 1, 2 e 3, Álgebra Linear e Estruturas Algébricas.

A importância de se trabalhar esses conteúdos também para o bacharel é justificada no projeto pela possibilidade de atuação deste profissional no ensino superior. A opção por uma das modalidades será feita no início do quinto período; no qual o aluno já teve oportunidade de compreender melhor o campo de atuação profissional de cada uma das modalidades. De acordo com o Projeto (p. 13),

No caso específico dos cursos de Matemática das universidades públicas, os quais genericamente vêm apresentando um número reduzido de formandos e grande evasão, o ingresso unificado com posterior opção no início do quinto período minimiza custos operacionais, garantindo o oferecimento das duas modalidades e atendendo, assim, as demandas sociais e regionais de ambos os profissionais.

A integração entre licenciatura e bacharelado, nos dois primeiros anos do curso, poderá amenizar o abismo que há entre essas duas modalidades, conforme destacado pelos alunos em seus depoimentos. No entanto, será preciso uma interação entre os professores que ministram as disciplinas nos períodos iniciais, no sentido de promover um maior envolvimento dos alunos nas diferentes atividades que compõem o currículo. Além disso, segundo os alunos, há um distanciamento entre os professores da licenciatura e do bacharelado e entre eles próprios e, como conseqüência, há o distanciamento entre as duas modalidades, ficando a licenciatura numa posição desprivilegiada em relação ao bacharelado, de acordo com os alunos do curso. No entanto, as intenções professadas no currículo novo sinalizam para a integração entre as duas modalidades, o que significará um salto qualitativo para a formação de professores de Matemática na UFU. A estrutura curricular está organizada em oito períodos semestrais e é composta por trinta disciplinas obrigatórias, além de vinte disciplinas optativas. Para a integralização do curso o aluno deverá cumprir uma carga horária de 2.130 h/a em conteúdos de natureza científico-cultural, 405 h/a em Prática como componente curricular, 410 horas de estágio supervisionado e 200 horas de atividades científico-culturais complementares, totalizando 3.145 horas, em período integral, durante quatro anos. O quadro abaixo apresenta as disciplinas de formação pedagógica que são obrigatórias.

Quadro IX: Disciplinas de Formação Pedagógica Obrigatórias DISCIPLINAS OBRIGATÓRIAS

CARGA HORÁRIA TEÓRICA PRÁTICA PIPE TOTAL PERÍODO

Introdução à Matemática 0 0 45 45 1° Informática e Ensino 0 60 30 90 2° Política e Gestão da Educação 60 0 15 75 5° Psicologia da Educação 60 0 15 75 5° Didática Geral 60 0 15 75 6° Metodologia no Ensino de Matemática 60 0 0 60 6° O Ensino de Matemática Através de Problemas

0 60 30 90 6°

Oficina de Prática Pedagógica 60 60 7° TOTAIS 240 180 150 570 Fonte: Projeto Pedagógico do Curso de Matemática, 2005, p. 15.

Com relação às disciplinas de formação pedagógica, ao estabelecermos uma comparação com o currículo anterior, verificamos que grande parte dessas disciplinas permaneceu após a segunda metade do curso. Houve, apenas, o acréscimo de carga horária referente ao desenvolvimento dos PIPEs, como foi o caso das disciplinas: Didática, Psicologia e Política e Gestão da Educação. Para o desenvolvimento dos PIPEs, será destinada uma carga horária de 195 h/a, a partir de ações integradas ao longo de disciplinas do curso, desde o primeiro período, conforme o quadro a seguir: Quadro X: Disciplinas agregadas ao PIPE PIPE

DISCIPLINAS AGREGADAS AO PIPE

CARGA HORÁRIA PRESENCIAL

NÃO PRESENCIAL

TOTAL

PIPE 1 • Introdução a Matemática (1º. Período – 45 h )

45 0 45

PIPE 2

• Informática e Ensino (2º. Período – 30 h ) • Matemática Finita (3º. Período – 15 h ) • Estatística e Probabilidade (4º.Período –15

h )

0

60

60

PIPE 3 • Geometria Eucl.Espacial (3º. Per. – 15 h ) • Ensino de Matemática através de

Problemas (6º. Período – 30 h )

0

45

45

PIPE 4 • Psicologia da Educação (5º. Per. – 15 h ) • Política e Gestão da Ed. (5º. Per. – 15 h ) • Didática Geral (6º. Período – 15 h )

0

45

45

TOTAIS 45 150 195 Fonte: Projeto Pedagógico do Curso de Matemática, 2005, p. 18.

Os Projetos Integrados de Prática Educativa – PIPE – foram subdivididos em quatro

subprojetos, a saber: • PIPE 1: “Contextualização Sócio-Cultural”;

• PIPE 2: “Novos Temas no Currículo do Ensino Básico”;

• PIPE 3: “Investigação e Compreensão”;

• PIPE 4 “Temas e Questões Educacionais Transversais”.

Além do desenvolvimento desses projetos, está prevista também uma carga

horária de 210 horas para o desenvolvimento da Prática Educativa, definida como componente curricular. Este componente será tomado como um conjunto de atividades

ligadas à formação profissional e voltadas para a compreensão de práticas educacionais distintas e de diferentes aspectos da cultura das instituições escolares. No sentido de complementar as exigências legais, o novo projeto estabelece o desenvolvimento de diferentes atividades vinculadas à prática educativa, perfazendo 210 horas que, associadas às ações dos PIPEs, integralizam 405 horas de dimensão prática. Apesar de as disciplinas pedagógicas continuarem alocadas na segunda metade do curso, há uma significativa mudança, não só de carga horária, mas de concepção de práticas formativas. Nesse sentido, um dos problemas recorrentes no currículo antigo do curso, com relação ao distanciamento das disciplinas de formação específica e pedagógica poderá, a partir dessa proposta, ser resolvido ou, pelo menos, amenizado.

O projeto prevê, ainda, o desenvolvimento de atividades práticas com o objetivo de simular situações reais de ensino. Quanto à prática pedagógica dos professores formadores, o projeto indica uma maior aproximação na relação professor-aluno, principalmente, a partir do desenvolvimento dos Projetos Integrados de Prática Educativa, que requerem o envolvimento do grupo de professores e licenciandos. De acordo com o projeto, no item “Metodologias Específicas para a Licenciatura em Matemática” (p. 36), é possível ler:

Visando desenvolver no estudante as habilidades necessárias em sua futura atuação profissional, os professores do curso de Matemática deixarão de ser provedores de fatos e regras e atuarão mais como facilitadores da aprendizagem, estimulando os alunos a serem pesquisadores ativos na busca de soluções para os problemas inerentes ao ensino de Matemática.

Esta proposta requer dos professores formadores uma mudança de concepção na relação professor-aluno e na forma de organizar suas aulas. A pesquisa realizada nos cursos de licenciatura (Teixeira, 2007) apontou que a prática de vários professores do curso ainda é baseada no modelo de aulas expositivas, com ausência de diálogo, a partir da transmissão de fórmulas e regras prontas a serem aplicadas pelos estudantes.

Algumas modificações também sinalizam para a melhoria de grande parte dos problemas apresentados anteriormente, por exemplo, a inserção da disciplina Introdução à Matemática, que será ministrada no primeiro período do curso, com o objetivo de

proporcionar aos estudantes um contato com a realidade escolar, possibilitando-lhes experiências concretas como professor, preparando-os para assumir no futuro a liderança de uma sala de aula, assim como propiciar as trocas de experiências com profissionais da educação em efetivo exercício e com profissionais da administração escolar.

Para a concretização destes objetivos, esta disciplina incluirá, dentre outras atividades, a visita orientada dos alunos em ambientes escolares. Acreditamos ser esta uma possibilidade de os licenciandos terem uma visão mais próxima da realidade escolar, do exercício da docência e de toda a complexidade inerente a essa profissão desde o início do curso, sendo que, no currículo anterior essa oportunidade acontecia somente a partir do sexto período do curso.

Além disso, na disciplina Oficina de Prática Pedagógica, os alunos terão a oportunidade de vivenciar diferentes metodologias de ensino, a partir da construção de materiais concretos, por exemplo, para o desenvolvimento de conceitos como: comprimento, área, volume, frações, fatoração, equações, trigonometria, dentre outros. O projeto apresenta o seguinte argumento:

Com o conhecimento matemático proporcionado por estas disciplinas, a análise crítica a respeito dos métodos de ensino e de avaliação da aprendizagem, ou seja, a transposição didática do objeto de ensino fica muito mais desenvolvida. Desse modo, pretende-se um equilíbrio entre os conteúdos da matemática superior e aqueles que o futuro professor irá desenvolver nos ensinos fundamental e médio, apresentando-se a compreensão dos primeiros como fator também relevante para compreender melhor os últimos.

Esse aspecto referente à transposição didática se traduz num salto qualitativo, pois, na proposta curricular anterior, não havia nenhuma preocupação quanto aos objetos de ensino e sua adequação ao ensino fundamental e médio, sendo que esta dificuldade ainda se configura num dos grandes problemas enfrentados pelos alunos quando assumem a docência.

O “equilíbrio” entre os conteúdos referentes à matemática superior e os conteúdos a serem ensinados na educação básica, proposto no projeto, será um dos maiores desafios a serem enfrentados no desenvolvimento do processo formativo, na medida em que há uma cultura instalada de que os saberes disciplinares são mais importantes que os saberes pedagógicos, havendo no curso uma declarada ruptura entre ambos. No entanto, todos esses desafios somente serão vencidos se houver mudança de concepção dos professores formadores, principalmente, a respeito do processo ensino-aprendizagem, que envolve as metodologias de ensino, planejamento, avaliação e relação professor-aluno. Algumas considerações...

Conforme a análise realizada nos atuais projetos, é possível afirmar que grande parte das questões levantadas neste estudo foram contempladas, principalmente, a respeito da valorização dos saberes pedagógicos na organização curricular, da transposição didática, da relação teoria e prática, além de uma maior inserção dos licenciandos no espaço escolar, desde o início do curso.

No entanto, há um longo caminho a ser percorrido, no sentido de que as Universidades organizem os cursos de formação de professores para que estes se constituam, realmente, em espaços formativos por excelência. O primeiro passo foi dado: as discussões foram realizadas democraticamente por coordenadores, professores, representantes de alunos e culminaram na elaboração dos projetos pedagógicos dos cursos. Esperamos que as intenções escritas se materializem em cursos de formação que tenham como compromisso preparar bem os futuros professores para que tenham sólidos conhecimentos de sua área específica, ou seja, o domínio dos saberes disciplinares, domínio dos saberes pedagógicos, capacidade de realizar a transposição didática, concepções filosóficas e sociológicas bem fundamentadas a respeito de educação, escola, docência, sociedade, cultura, além de todos os aspectos que envolvem a docência e o ato educativo em sua complexidade.

Em resposta aos desafios colocados pela necessidade de reorganização dos currículos dos cursos de licenciatura, é que evidenciamos a importância da discussão coletiva, do espaço fecundo a ser criado no interior das IES para o processo de implementação do projeto institucional da formação de professores. Este projeto deve contemplar, dentre outros aspectos, a questão das subjetividades, da construção da identidade profissional, dos diferentes saberes que contribuirão para o exercício do magistério. Dessa forma, reafirmarmos que a Universidade é o espaço privilegiado de formação dos profissionais da educação. Não uma formação banalizada pelo

aligeiramento, mas como processo intenso de estudos, pesquisas e experiências formativas que, certamente, enriquecerão a formação inicial dos professores. REFERÊNCIAS: SACRISTÁN, J. Gimeno. Tendências Investigativas na Formação de Professores. In: PIMENTA, Selma G. e GHEDIN, Evandro (orgs.). Professor Reflexivo no Brasil. São Paulo: Cortez, 2002, pp. 81-88. TEIXEIRA, Geovana Ferreira Melo. Tornar-se professor: a formação desenvolvida nos cursos de Física, Matemática e Química da Universidade Federal de Uberlândia. 223f. Tese (Programa de Pós-Graduação em Educação) – Faculdade de Educação, Universidade Federal de Goiás, Goiânia, 2007. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA. Coordenação do curso de Matemática. Projeto Pedagógico do curso de Matemática. Uberlândia, 2005. _____. Pró-Reitoria de Graduação. Guia Acadêmico do Curso de Matemática. Uberlândia, 2005.

FAMAT em Revista

Revista Científica Eletrônica daFaculdade de Matemática - FAMAT

Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG

Número 12 - Abril de 2009www.famat.ufu.br

Em Sala de Aula

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Comitê Editorial da Seção

Em Sala de Aula

do Número 12 da FAMAT EM REVISTA:

Alessandro Alves Santana (coordenador da seção)

Marcos Antônio da Câmara

Indice de Trabalhos

O uso de estatıstica no relatorio da MonitorizacaoAmbulatorial da Pressao Arterial (MAPA). 151

Rodolfo dos Santos Ribeiro, Sueli Jose da Silva, TatianeBoleta e Aurelia Aparecida de Araujo Rodrigues

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FAMAT em Revista

Revista Científica Eletrônica daFaculdade de Matemática - FAMAT

Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG

Número 12 - Abril de 2009www.famat.ufu.br

Iniciação Científicaem Números

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Comitê Editorial da Seção

Iniciação Científica em Números

do Número 12 da FAMAT EM REVISTA:

Douglas Silva Oliveira (coordenador da seção)

Alessandro Alves Santana

Projetos de Iniciação Científica que se realizam no período de Março de 2009 à Dezembro de 2009

Orientador: Alessandro Alves Santana

Orientando: Gabriela Aparecida dos Reis

Título: Estudo sobre métodos de resolução numérica de EDPs via método dos

volumes finitos

Início: Março de 2009

Fim: Dezembro de 2009

Orientador: Ana Carla Piantella

Orientando: Claiton José Santos

Título: Séries Numéricas e de Funções

Início: Março de 2009

Fim: Dezembro de 2009

Orientador: Antonio Carlos Nogueira

Orientando: Lucas Fernandes Pinheiro

Título: Introdução ao estudo dos códigos

Início: Março de 2009

Fim: Dezembro de 2009

Orientador: Cícero Fernandes de Carvalho

Orientando: Luciana Yoshie Tsuchiya

Título: Corpos de Funções Algébricas

Início: Março de 2009

Fim: Dezembro de 2009

Orientador: Cícero Fernandes de Carvalho

Orientando: Otoniel Nogueira da Silva

Título: Corpos de Funções Algébricas

Início: Março de 2009

Fim: Dezembro de 2009

Orientador: Dulce Mary de Almeida

Orientando: Fabrício Alves Oliveira

Título: Curvas de Largura Constante

Início: Março de 2009

Fim: Dezembro de 2009

Orientador: Geraldo Márcio de Azevedo Botelho

Orientando: Giselle Moraes Resende Pereira

Título: Uma introdução à topologia

Início: Março de 2009

Fim: Agosto de 2009

Orientador: Marcos Antônio da Câmara

Orientando: Giselle Moraes Resende Pereira

Título: Códigos corretores de erros

Início: Março de 2009

Fim: Dezembro de 2009

Orientador: Marcos Antônio da Câmara

Orientando: Rafael Honório Pereira Alves

Título: Códigos corretores de erros

Início: Março de 2009

Fim: Dezembro de 2009

Orientador: Marcos Antônio da Câmara

Orientando: Luis Armando dos Santos Jr.

Título: Curvas elípticas e criptografia

Início: Março de 2009

Fim: Dezembro de 2009

Orientador: Valdair Bonfim

Orientando: Grégory Duran Cunha

Título: Rudimentos de Análise Matemática e Topologia e suas aplicações na

Teoria das Equações Diferenciais

Início: Março de 2009

Fim: Dezembro de 2009

Orientador: Victor Gonzalo Lopez Neumann

Orientando: Rafael Afonso Barbosa

Título: Números Algébricos e aplicações

Início: Março de 2009

Fim: Dezembro de 2009

Orientador: Vinícius Vieira Fávaro

Orientando: Maria Angélica Araújo

Título: Um estudo das funções contínuas que não são diferenciáveis em

nenhum ponto

Início: Março de 2009

Fim: Dezembro de 2009

Orientador: Walter dos Santos Motta Júnior

Orientando: Gustavo Franco Marra Domingues

Título: Técnicas de modelagem (via equações de diferenças); Sistemas

dinâmicos discretos

Início: Março de 2009

Fim: Dezembro de 2009

Orientador: Sezimária F. P. Saramago

Orientando: Kuang Hongyu

Título: Curvas de Singularidades de Robôs Manipuladores 3R Ortogonais

Início: Março de 2008

Fim: Março de 2010

Orientador: Sezimária F. P. Saramago

Orientando: Adelino Gussoni dos Santos

Título: Evolução Diferencial aplicada à Maximização do Espaço de Trabalho de

um Manipulador 3R

Início: Agosto de 2008

Fim: Julho de 2009

Orientador: Sezimária F. P. Saramago

Orientando: Milena Almeida Leite Brandão (Mestrado)

Título: Estudo de alguns métodos determinísticos de otimização

Início: Agosto de 2008

Fim: Janeiro de 2010

Orientador: Sezimária F. P. Saramago

Orientando: Lúcio Aurélio Purcina

Título: Técnicas de Otimização Aplicadas à Solução de Grandes Sistemas

Lineares

Início: Agosto de 2005

Fim: Agosto de 2009

Orientador: Sezimária F. P. Saramago

Orientando: Giovana Trindade S. Oliveira

Título: Estudo da Topologia do Espaço de Trabalho de Robôs Manipuladores

3R

Início: Março de 2007

Fim: Março de 2011

Orientador: Sezimária F. P. Saramago

Orientando: Camilla Miguel Carrara Lazzarini

Título: Aplicação de Modelos De Simulação em Problemas do Sistema de

Transportes

Início: Março de 2008

Fim: Março de 2012

Orientador: Rosana Sueli da Motta Jafelice

Orientando: Pedro Humberto Chagas de Mello

Título: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Parciais e Aplicações

Início: Abril de 2009

Fim: Março de 2010

Orientador: Rosana Sueli da Motta Jafelice

Orientando: Cristiano Cunha Oliveira

Título: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Parciais e Aplicações

Início: Abril de 2009

Fim: Março de 2010

Orientador: Edmilson Rodrigues Pinto

Orientando: Guilherme Barros Ameloti

Título: Aperfeiçoamento do Ensino de Probabilidade e Estatística para os

cursos do ciclo comum de exatas da UFU

Início: Outubro de 2008

Fim: Setembro de 2009

Orientador: Edmilson Rodrigues Pinto

Orientando: Sueli José da Silva

Título: Métodos de Estatística não paramétrica aplicados à Medicina

Início: Abril de 2009

Fim: Março de 2010

FAMAT em Revista

Revista Científica Eletrônica daFaculdade de Matemática - FAMAT

Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG

Número 12 - Abril de 2009www.famat.ufu.br

E o Meu Futuro Profissional?

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Comitê Editorial da Seção

E o Meu Futuro Profissional?

do Número 12 da FAMAT EM REVISTA:

Alessandro Alves Santana (coordenador da seção)

Douglas Silva Oliveira

Matemáticos: Espaço no meio Acadêmico e no Mercado

Sempre que falamos em matemática somos levados a pensar em contas

complexas, números gigantes e um mercado de trabalho diferente, quase restrito às

aulas e pesquisas. A realidade, entretanto, é bem diferente.

Como trabalha um matemático?

Depende se ele é um acadêmico ou se trabalha no mercado. Se for um

acadêmico, além de dar aulas ele (ou ela) estuda problemas "em aberto" da matemática,

ou seja, problemas que ninguém resolveu ainda. Quando consegue resolver tal

problema, ele envia a solução - que muitas vezes rende um artigo com várias páginas -

para um periódico internacional. Se os editores do periódico acharem que o problema e

a solução para tal problema forem interessantes o suficiente, o artigo é publicado. Os

melhores periódicos são os internacionais, onde os artigos aparecem todos em inglês (ou

às vezes em francês) e, portanto são lidos e estudados em universidades e institutos de

pesquisa por todo o mundo.

Boa parte trabalho é feita em colaboração com outros matemáticos. Para facilitar

essa colaboração, o matemático acadêmico precisa viajar para muitas conferências, no

Brasil e no exterior, para que ele possa trocar idéias com matemáticos de outros lugares.

Já o matemático aplicado se preocupa com questões mais concretas e práticas.

Ele usa a matemática (freqüentemente aliada a recursos de computação) para resolver

problemas do "mundo real", seja em finanças, em computação, na extração de petróleo,

ou o que for. Com isso o trabalho dele pode ser muito valioso para as empresas daquela

área. Hoje em dia alguns dos matemáticos aplicados mais bem-sucedidos ganham

muitíssimo bem.

Onde estão as melhores oportunidades atualmente?

Para os pesquisadores, os empregos mais interessantes estão nas boas

universidades e em institutos de pesquisa. Mas para conseguir um emprego de

pesquisador acadêmico o aluno precisa ter feito um bom doutorado depois de concluir a

faculdade.

Para quem quer ir pro mercado, o doutorado muitas vezes não é necessário.

Basta um bom mestrado, ou mesmo uma excelente graduação. Os (bons) matemáticos

são cada vez mais valorizados em setores da economia que exigem uma capacidade

elevada de raciocínio e análise. Instituições do mercado financeiro como empresas de

consultoria e análise econômica, ou mesmo empresas de computação, procuram muito

por tais profissionais.

Qual a média salarial de um recém-formado e como começar na

carreira?

Isso depende muito da área em que o matemático atua. No caso de um

matemático "acadêmico", se o aluno se formar na faculdade e for trabalhar como

professor sem ter feito nenhuma pós-graduação, ele dificilmente conseguirá um

emprego numa universidade. Ele provavelmente se tornará professor do ensino médio

ou fundamental, onde infelizmente os salários em geral não são altos. Em compensação,

para um aluno que concluir um bom doutorado, o salário inicial numa boa universidade

hoje em dia gira em torno dos R$5000 líquidos, em média.

Já para um aluno com uma formação matemática muito boa que quiser ingressar

no mercado de trabalho não-acadêmico, o salário inicial pode ser bem alto, mesmo que

ele não tenha o mestrado.

Quais os principais requisitos para quem deseja seguir carreira na

área?

Gostar de matemática, ter muita disposição para o estudo, e também uma boa

dose de talento para o raciocínio abstrato e rigoroso é o essencial para ter uma boa

formação e um bom futuro profissional. Não precisa ser um gênio, mas para se tornar

um bom matemático é preciso ter uma certa facilidade com o raciocínio lógico.

Quem não se formou na área, encontra boas possibilidades de

especialização?

Para atuar na área é necessária ou uma boa graduação em matemática, ou então

uma boa pós-graduação (mestrado e/ou doutorado) em matemática, mesmo que tenha

feito a graduação em outro curso.

FAMAT em Revista

Revista Científica Eletrônica daFaculdade de Matemática - FAMAT

Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG

Número 12 - Abril de 2009www.famat.ufu.br

Merece Registro

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Comitê Editorial da Seção

Merece Registro

do Número 12 da FAMAT EM REVISTA:

Marcos Antônio da Câmara (coordenador da seção)

MERECE REGISTRO A) MESTRADO

Foram realizadas as primeiras defesas de dissertações do curso de mestrado em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia. Parabéns aos alunos e ao corpo docente. Primeira Defesa de Dissertação de Mestrado “O TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS E APLICAÇÕES” WANDA APARECIDA LOPES Comissão Julgadora: Prof. Dr. Daniel Marinho Pellegrino UFPB - UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA - PB Profa. Dra. Ana Carla Piantella UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Prof. Dr. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho (orientador) UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Prof. Dr. Jaime Alves Barbosa Sobrinho (suplente) UFCG - UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - PB Prof. Dr. Vinícius Vieira Fávaro (suplente) UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Local: Sala 1F 119 (Sala Multiuso da Faculdade de Matemática) - Bloco 1F - Campus Santa Mônica - UFU Data e horário: 06 de fevereiro de 2009 às 10h00min ===================================== Segunda Defesa de Dissertação de Mestrado “UM ESTUDO SOBRE A ESTABILIDADE E BIFURCAÇÃO DE HOPF NO SISTEMA MECÂNICO DE WATT” JULIANA LÁZARA CURCINO VIANA Comissão Julgadora: Prof. Dr. José Manoel Balthazar UNESP - UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA - RIO CLARO - SP

Prof. Dr. Weber Flávio Pereira UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Prof. Dr. Márcio José Horta Dantas (orientador) UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Prof. Dr. Masayoshi Tsuchida (suplente) UNESP - UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA - SÃO JOSÉ DO RIO PRETO - SP Prof. Dr. Valdair Bonfim (suplente) UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Local: Sala 1F 119 (Sala Multiuso da Faculdade de Matemática) - Bloco 1F - Campus Santa Mônica - UFU Data e horário: 19 de fevereiro de 2009 às 16h00min ===================================== Terceira Defesa de Dissertação de Mestrado “MERGULHOS ISOMÉTRICOS DO PLANO HIPERBÓLICO EM ESPAÇOS EUCLIDIANOS” WILIAN EURÍPEDES VIEIRA Comissão Julgadora: Profa. Dra. Sueli Irene Rodrigues Costa UNICAMP - UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS - SP Profa. Dra. Dulce Mary de Almeida UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Prof. Dr. Edson Agustini (orientador) UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Prof. Dr. Mercio Botelho Faria (suplente) UFV - UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA - MG Prof. Dr. Jocelino Sato (suplente) UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Local: Sala 1F 119 (Sala Multiuso da Faculdade de Matemática) - Bloco 1F - Campus Santa Mônica - UFU Data e horário: 02 de março de 2009, segunda-feira, às 09h00min =====================================

Quarta Defesa de Dissertação de Mestrado “ANÁLISE TEÓRICA DE UMA TÉCNICA DE APROXIMAÇÃO DA VELOCIDADE DE DARCY UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MISTOS E HÍBRIDOS” PAULO HENRIQUE BARBOSA GALDINO Comissão Julgadora: Prof. Dr. Alexandre Santos Francisco UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE - RJ Prof. Dr. Luís Cláudio Oliveira Lopes UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Prof. Dr. César Guilherme de Almeida (orientador) UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Profa. Dra. Simone Sousa Ribeiro (suplente) UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE - RJ Prof. Dr. Valdair Bonfim (suplente) UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Local: Sala 1F 119 (Sala Multiuso da Faculdade de Matemática) - Bloco 1F - Campus Santa Mônica - UFU Data e horário: 05 de março de 2009, quinta-feira, às 14h00min ===================================== Quinta Defesa de Dissertação de Mestrado “UM ESTUDO SOBRE A MINIMIZAÇÃO DE FUNCIONAIS DE EXPOENTE VARIÁVEL APLICADOS À RESTAURAÇÃO DE IMAGENS DIGITAIS” DANIEL HILÁRIO DA SILVA Comissão Julgadora: Prof. Dr. Paulo César Carrião UFMG - UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS - MG Prof. Dr. Antônio Carlos Nogueira UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Profa. Dra. Célia Aparecida Zorzo Barcelos (orientadora) UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Prof. Dr. Olímpio Hiroshi Miyagaki (co-orientador) UFV - UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA - MG

Prof. Dr. Fernando Kennedy da Silva (suplente) UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS - CATALÃO - GO Prof. Dr. César Guilherme de Almeida (suplente) UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Local: Sala 1F 119 (Sala Multiuso da Faculdade de Matemática) - Bloco 1F - Campus Santa Mônica - UFU Data e horário: 06 de março de 2009, sexta-feira, às 10h00min ===================================== Sexta Defesa de Dissertação de Mestrado “CÓDIGOS DE GOPPA E DISTÂNCIAS GENERALIZADAS DE HAMMING” LEANDRO CRUVINEL LEMES Comissão Julgadora: Prof. Dr. Fernando Eduardo Torres Orihuela UNICAMP - UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS - SP Prof. Dr. Victor Gonzalo Lopez Neumann UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Prof. Dr. Cícero Fernandes de Carvalho (orientador) UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Prof. Dr. Paulo Roberto Brumatti (suplente) UNICAMP - UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS - SP Prof. Dr. Alonso Sepúlveda Castellanos (suplente) UFU - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - MG Local: Sala 1F 119 (Sala Multiuso da Faculdade de Matemática) - Bloco 1F - Campus Santa Mônica - UFU Data e horário: 06 de março de 2009, sexta-feira, às 16h00min B) ESPECIALIZAÇÃO II Curso de Especialização em Estatística Empresarial

Os conhecimentos de estatística nos últimos anos tem assumido uma importância muito grande na valorização dos profissionais de diferentes áreas, principalmente na região do Triangulo Mineiro. O objetivo do presente curso é capacitar profissionais na aplicação das principais ferramentas estatísticas para análise e interpretação de dados utilizando-os na tomada de decisão em empresas

de vários portes, bem como ministrar disciplinas de estatística em cursos de graduação.

A Faculdade de Matemática dispõe de instalações e equipamentos adequados para um curso de especialização de qualidade, no que diz respeito a infra-estrutura administrativa, professores, laboratórios, equipamento computacional e salas de aula.

Vejam mais informações no endereço

http://www.famat.ufu.br/prof/rogerio/eee2009/eee2009.htm

C) OBMEP

Aconteceu no último dia 15/04/2009, no Rio de Janeiro, a cerimônia de

premiação da OBMEP 2008, onde os 300 alunos melhores classificados receberam das mãos do Presidente Luis Inácio Lula da Silva a medalha de ouro. Da regional MG-02, foram premiados 6 alunos: um de Uberlândia, um de Pirajuba, um de Coromandel, um de Patos de Minas, um de Araxá e um de Presidente Olegário.

Dentre estes alunos destacamos a aluna Maria Clara Mendes Silva, da Escola Estadual Coronel Oscar de Castro, do município de Pirajuba. Além da medalha de ouro da OBMEP 2008 ela também ganhou uma medalha de ouro na OBM. Este fato foi citado pelo Presidente Lula na cerimônia de premiação onde ele proferiu as seguintes palavras: “Mas vamos ver o caso da Maria Clara Mendes da Silva, aqui. Quem disse que tamanho não é documento está coberto de razão. Em uma cidadezinha, ela já foi apresentada aqui, me parece, uma cidadezinha mineira de apenas três mil habitantes, pequenininha, chamada de Pirajuba, mora esse talento gigante em forma de menina, que é a nossa querida Maria Clara. Ela não se contentou em ganhar apenas três medalhas de ouro da OBMEP, não. A Maria Clara, que estuda com muito orgulho em escola pública, ganhou também uma medalha de ouro na Olimpíada Brasileira de Matemática.(...) Que ela seja, portanto, um exemplo para que as meninas, não só do Brasil, mas também de outros países estudem bastante.”

A Maria Clara tem, desde 2007, participado do Programa de Iniciação Científica da OBMEP, realizado na Faculdade de Matemática, com a coordenação do Prof. Luis Alberto Duran Salomão. Ela participará também de um treinamento no IMPA (o primeiro encontro será realizado no dia 01/05/2009) visando a sua participação em olimpíadas internacionais de matemática. Parabéns Maria Clara. O PROGRAMA DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA OBMEP (PIC-2007)

Três mil estudantes premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) no ano de 2007 receberam bolsas de iniciação científica júnior para participar do Programa de Iniciação Científica da OBMEP (PIC 2007) em todo o país. Na região MG-04, que compreende os polos de Uberlândia, Ituiutaba, Araxá, Passos, Patos de Minas e Pará de Minas, o referido programa foi

desenvolvido no período de agosto/2008 a abril/2009. Cento e vinte bolsistas, provenientes de trinta e nove municípios, concluíram o PIC-2007 na região MG-04. O trabalho de orientação dos bolsistas mencionados contou com a atuação de 12 professores. No período em questão, os bolsistas, sob orientação dos professores orientadores, tiveram a oportunidade de desenvolver diversos estudos sobre temas bastante variados da matemática. O material que vem sendo utilizado nesse programa é produzido pela própria OBMEP e está disponível a todos os interessados no site www.obmep.org.br .

O coordenador regional de iniciação científica da região MG-04 é o professor Luiz Alberto Duran Salomão, da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia.

D) VIII ERMAC/VIII SEMAT

O evento “VIII Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional e VIII Semana da Matemática”, foi a junção de dois outros realizados regularmente na UFU. A “Semana de Matemática” vem sendo realizada anualmente, sob responsabilidade e gerenciamento da Faculdade de Matemática, representando um instrumento de divulgação e integração científica, propiciando o intercâmbio entre discentes, docentes e pesquisadores de Matemática e áreas afins, promovendo reflexões sobre atividades de ensino, pesquisa e extensão, com atividades voltadas para as áreas de Matemática Pura, Aplicada, Estatística e Educação Matemática, promovendo assim a interdisciplinaridade entre as diferentes áreas do conhecimento e também oferecendo oportunidades de formação continuada aos egressos dos cursos superiores da região. O “Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional” é realizado pela Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional (SBMAC) nas diversas regiões do País. Como ocorre em todos os eventos, nesta oitava edição do ERMAC, buscou-se atingir os mesmos objetivos de divulgação, intercâmbio e interdisciplinaridade acima mencionados, todavia com uma temática direcionada à exploração de modelos - problemas integrados a matemática aplicada e/ou a aspectos computacionais. Além disso, neste Encontro buscou-se desenvolver atividades diretamente associadas à pesquisa avançada em matemática aplicada e computacional, favorecendo, portanto, o fortalecimento regional de ações voltadas à pós-graduação.

Múltiplas atividades Foram desenvolvidas ao longo do evento, quais sejam: palestras, mini-cursos, mini-simpósio, mesa redonda, sessões de apresentação de trabalhos de iniciação científica (graduação) e de pesquisa (pós-graduação) e relatos de experiências. Todos os trabalhos apresentados foram publicados nos Anais do Evento, sendo este disponibilizado em CD-ROM para cada participante.

O evento foi um sucesso e cumpriu plenamente com os objetivos propostos: divulgar a Matemática como Ciência e, promover a interação entre pesquisadores da área de matemática e áreas afins de diversas regiões do país. Contamos com a presença de professores de renome de várias instituições de ensino e pesquisa:

- Prof. Dr. Alexandre M. Roma (USP - São Paulo / SP) - Prof. Dr. Alexandre S. Francisco (UFF - Volta Redonda / RJ) - Profa. Dra. Ana C. Piantella (FAMAT / UFU) - Prof. Ms. Ângela Vilcarromero (UFU – Uberlândia / MG) - Prof. Dr. Antônio Castelo Filho (USP – São Carlos / SP) - Prof. Dr. Aristeu da Silveira Neto (FEMEC / UFU - Uberlândia / MG)

- Profa. Dra. Aurélia A. A. Rodrigues (FAMAT / UFU) - Prof. Dr. Daniel Pellegrini (UFPB – João Pessoa / PB)

- Prof. Dr. Dimitar Dimitrov (UNESP – S. J. Rio Preto / SP - Profa. Dra. Eliana X. L. Andrade (UNESP – S. J. do Rio Preto / SP) - Prof. Dr. Geraldo Nunes (UNESP – S. J. Rio Preto / SP) - Prof. Dr. João D. Scalon (UFLA – Lavras / MG) - Prof. Dr. João F. Meyer (UNICAMP – Campinas / SP) - Prof. Dr. José A. Cuminato (USP – São Carlos / SP) - Prof. Ms. Luiz A. D. Salomão e bolsistas do grupo PETMAT - Prof. Dr. Marcelo Messias (UNESP – Presidente Prudente / SP) - Prof. Dr. Marcio Dantas (UFU – Uberlândia / MG) - Prof. Dr. Masayoshi Tsuchida (UNESP – S. J. Rio Preto / SP) - Prof. Dr. Mauro Ribeiro Jr (C.P.A. Wernher Von Braun – Campinas / SP) - Prof. Dr. Sônia Palomino (UFSC – Florianópolis / SC) - Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni (UNIBAN – São Paulo / SP)

COMISSÃO ORGANIZADORA

César Guilherme de Almeida (Coordenador) Edson Agustini Edmilson Rodrigues Pinto Luís Antônio Benedetti Marcos Antônio da Câmara – Tutor do PETMAT Maria Teresa Menezes Freitas Walter dos Santos Motta Junior (Coordenador) Karla Barbosa de Freitas - PETMAT Rafael Afonso Barbosa - PETMAT Andrezza K. A. Pamplona - DAMAT Maria Luiza Maes – DAMAT

COMITÊ CIENTÍFICO (ERMAC)

Alexandre Santos Francisco – UFF Alessandro Alves Santana – UFU Dulce Mary de Almeida – UFU Eliana Xavier Linhares de Andrade – UNESP / S. J. Rio Preto Gastão de Almeida Braga – UFMG Hélio Pedro Amaral Souto – IPRJ/UERJ Johnny Vilcarromero López – UFU/Campus do Pontal

A Comissão Organizadora agradece a participação dos docentes e discentes

no evento.

E) PIBID

A Universidade Federal de Uberlândia submeteu à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – CAPES e obteve, no final do ano

de 2008, aprovação do projeto: A formação inicial docente no viés do cotidiano escolar, no âmbito do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID). O PIBID é um programa concebido pelo Ministério da Educação, por intermédio da Secretaria de Educação Superior – SESu, CAPES e o Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação – FNDE. O programa proporciona financiamentos em projetos de formação de professores e tem como principal objetivo fomentar a iniciação à docência de estudantes dos cursos de licenciaturas das Instituições Federais de Educação Superior e melhorar a perspectiva formativa dos professores que atuam na educação básica pública, prioritariamente, nas áreas com maior carência: ciências e matemática. Esse programa colabora no diálogo e nas ações desenvolvidas pelas instituições estaduais e municipais de Educação Básica e as universidades públicas a favor da melhoria da formação docente e do Ensino Básico.

O projeto PIBID/UFU terá, inicialmente, a duração de dois anos e atende as áreas prioritárias do programa: física, química, biologia e matemática. Neste primeiro período serão contempladas cinco escolas estaduais de Educação Básica, devidamente indicada pela Superintendência Regional de Ensino e conveniadas com a UFU. Participam do projeto 53 alunos bolsistas dos cursos de licenciaturas em Biologia, Física, Matemática e Química da UFU, 20 professores da Educação Básica – denominados professores supervisores – e cincos docentes da UFU – denominados professores coordenadores.

O desenvolvimento do PIBID/UFU insere os envolvidos no cotidiano escolar, que será diagnosticado e discutido, quanto às potencialidades da ação pedagógica dos agentes de ensino. Esta estratégia possibilitará um maior conhecimento da complexidade educacional e da possibilidade de ações intervencionistas na escola pelos alunos bolsistas e professores participantes do projeto. Abaixo temos a relação dos integrantes UFU no projeto. Professores coordenadores:

• Hélder Eterno da Silveira (coordenador institucional).

• Renata Carmo de Oliveira (coordenadora da Biologia).

• Noelio Oliveira Dantas (coordenador da Física).

• Jocelino Sato (coordenador da Matemática).

• Ifigênia Amorim (coordenadora da Química).

Bolsistas selecionados da Biologia

• Diego Henrique Rossi.

• Flávia Machado dos Reis.

• Gustavo Lopes Ferreira.

• Isabela Mattos Dorneles.

• João Custódio Fernandes Cardoso.

• Larissa Nonevaes de Paula.

• Lauana Araújo Silva.

• Marcos Túlio Vidal.

• Marita Fazan Rissi.

• Priscila Andrade Teles.

• Priscila Karla Ferreira dos Santos.

• Thais Santas.

• Thalita Kristina Alves Silva.

Bolsistas selecionados da Física

• Alessandra dos Santos Silva.

• Amanda Giselle Pereira dos Santos.

• Antônio de Freitas Neto.

• Arthur Alves Mascarenhas.

• Daiana Aparecida Ramos.

• João Lucas de Paula Batista.

• Letícia de Oliveira Massa.

• Lucas Ferreira Costa.

• Maryzaura de Oliveira Assunção.

• Maykell Júlio de Souza Figueira.

• Nilmar Silva Camilo.

• Severina Rodrigues de Lima.

• Silésia de Fatia Curasino da Silva.

• Valdeir Antônio da Silva.

Bolsistas selecionados da Matemática

• Ana Paula Silva.

• Barbara Ribeiro Silva.

• Beatriz Aparecida Silva.

• Bruna Pena Silva.

• Cláudia Ching Shiang Yu.

• Izabela Rodrigues Souza.

• José Elias Ferreira da Silva.

• Kelen Cristina Pereira de Souza.

• Lívia Silva Rosa.

• Matheus Alves Machado Reis.

• Ruan Carlos Martins Tizzo.

• Tatiane de Medeiros.

• Valiana Alves Teodoro.

Bolsistas selecionados da Química

• Carlos Eduardo de Brito Castro.

• Daiany Rosa de Oliveira.

• Eufrásia de Souza Pereira.

• Flávia Carolina da Silva.

• Juliana Lúcia Silva.

• Lucas Venício Garcia.

• Marselha Pereira Ceolin.

• Mayra Tezini Camilo.

• Richard André Cunha.

• Ronaldo Henrique Souza Marques.

• Silas Bueno Pereira de Morais.

• Vitor Costa Lemes.

• Yara de Cássia Oliveira.

F) PIBIC

Foi divulgado o resultado da seleção de projetos do PIBIC/FAPEMIG para

2009 e 2010. Os seguintes docentes com os respectivos discentes da FAMAT tiveram seus projetos e planos de trabalho aprovados:

A-012/2009 - Ednaldo Carvalho Guimarães - FAMAT - Viviane Carvalho Mendes - Matemática

A-013/2009 - Edson Agustini - FAMAT - Tábata Saturnina Trindade de Morais - Matemática

A-014/2009 - Marcelo Tavares - FAMAT - Rafaela Neves Bonfim - Matemática

A-015/2009 - Rogério de Melo Costa Pinto - FAMAT - Daniella Fernanda Costa - Medicina

A-016/2009 - Sezimária de Fátima Pereira Saramago - FAMAT - Kuang Hongyu - Matemática

Maiores informações:

http://www.propp.ufu.br/site/upload/divugacao_fapemig_2009_2010.pdf

Parabéns aos Docentes e Discentes contemplados.

G) NOVOS PROFESSORES

Os professores Dr. Afonso Paiva Neto Dra. Ana Maria Amarillo Bertone Dr. Ariosvaldo Marques Jatobá Dra. Carina Alves José Dr. Cláudio Gomes Pessoa Ms. José Fausto de Moraes Ms. Leandro Alves Pereira Ms. Lúcio Borges de Araújo Dr. Marcos Napoleão Rabelo Dr. Santos Alberto Enriquez Remigio Dr. Sônia Sarita Berrios Yana Foram aprovados em concurso público e assumiram suas atividades como docentes da FAMAT no 1º semestre de 2009. Parabéns e sejam bem-vindos! H) CONSULTORIA EM BIOESTATÍSTICA

O Comitê de Ética em Pesquisa com Seres Humanos (CEP/UFU), o Comitê de Ética na Utilização de Animais (CEUA/UFU) e a Comissão Interna de

Biossegurança (CIBio/UFU), em um trabalho conjunto com a Faculdade de Matemática (FAMAT/UFU), disponibilizou, a partir do dia 23 de outubro de 2008, o serviço de consultoria em bioestatística para os protocolos de pesquisa a serem submetidos para análise nessas comissões.

Os pesquisadores da FAMAT responsáveis pelo serviço de consultoria serão o Prof. Dr. Marcelo Tavares e o Prof. Dr. Rogério de Melo Costa Pinto. I) FAPEMIG

Foi divulgado o resultado do julgamento do Edital Universal 2008 da FAPEMIG. Foram contemplados os projetos dos seguintes professores da FAMAT: Marcelo Tavares – Coordenador Título: Comportamento temporal da poluição atmosférica em Uberlândia – MG: Análise Geoestatística , Análise de Séries Temporais e Análise Multivariada. Valor: R$ 39.522,00 Márcio José Horta Dantas – Coordenador Título: Interação entre Osciladores e instabilidade paramétrica Valor: R$ 7.525,77 Parabéns aos professores com projetos aprovados. J) BOLSA PRODUTIVIDADE

Os professores Cícero Fernandes de Carvalho e Geraldo Márcio de Azevedo Botelho foram contemplados com a Bolsa de Produtividade em Pesquisa do CNPq. Bolsa de Produtividade em Pesquisa Nível 2 Período: Março de 2009 a Fevereiro de 2012 Comitê do CNPq: Matemática e Estatística Parabéns aos pesquisadores.