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FAESA
ENG-LAB-001
Faculdades Integradas Espírito Santenses
Física Experimental I Professor Max Mauro Coser
Unidade de Engenharia Vitória, Janeiro de 2012
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SUMÁRIO
1 Sistema de unidades e algarismos significativos ..................................................................... 3 1.1 Sistema de unidades ......................................................................................................... 3 1.1.1 O metro .......................................................................................................................... 5
Unidades derivadas ................................................................................................................. 5 1.1.2 O quilograma ................................................................................................................. 7 1.1.3 O segundo ...................................................................................................................... 8 1.1.4 Unidades combinadas .................................................................................................... 8
Exercício ............................................................................................................................. 9
1.1.5 Legislação Brasileira ................................................................................................... 10 1.2 Algarismos significativos ............................................................................................... 13
Exercício ........................................................................................................................... 15
Exercício ........................................................................................................................... 15 1.3 Avaliando medidas ......................................................................................................... 15
1.3.1 Graduação do instrumento de medida ..................................................................... 15 1.3.2 Menor divisão do instrumento de medida ............................................................... 16
1.3.3 Valores mínimos e máximos da medida .................................................................. 17 1.3.4 Avaliar o algarismo duvidoso .................................................................................. 17
Exercício ........................................................................................................................... 17 Exercício ........................................................................................................................... 18 Exercício ........................................................................................................................... 18
Exercício ........................................................................................................................... 19 1.3.5 Avaliar a incerteza ................................................................................................... 20
1.3.5.1 Regras para avaliação de incerteza ....................................................................... 21 Exercício ........................................................................................................................... 21 Exercício ........................................................................................................................... 21
Exercício ........................................................................................................................... 21 Exercício ........................................................................................................................... 22
Exercício ........................................................................................................................... 22
PRÁTICA 1: Introdução à medição ......................................................................................... 23 2 Propagação de incertezas ....................................................................................................... 24
2..1 Soma e subtração de grandezas ................................................................................. 24 Exercício ........................................................................................................................... 25 2.2 Multiplicação e divisão de grandezas ......................................................................... 25
Exercício ........................................................................................................................... 26 PRÁTICA 2: Introdução à medição - paquímetro .................................................................... 27 PRÁTICA 3: Estudo de Movimento I. ..................................................................................... 29 PRÁTICA 4: Estudo de Movimento II. .................................................................................... 30 PRÁTICA 5: Força elástica das molas. .................................................................................... 33
PRÁTICA 6: Atrito .................................................................................................................. 35 PRÁTICA 7: Conservação da quantidade de movimento (momento linear) ........................... 37
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1 Sistema de unidades e algarismos significativos
1.1 Sistema de unidades
Os padrões nos permitem classificar aquilo que nos rodeia, sendo uma necessidade atual para
o desenvolvimento tecnológico. Em se falando de padrões de proporção, o que mais se
sobressai é o da proporção áurea, onde obtemos um número irracional 1,618.
Divisão de um segmento de reta na «razão de ouro» e construção de um «retângulo de ouro» recorrendo às mesmas proporções.
«Homem Vitruviano», da autoria de Leonardo da Vinci, baseado nos estudos de Marcus Vitruvius Pollio. Nele, da Vinci procurou refletir as proporções harmônicas do corpo humano ideal, (a altura do homem a dividir pela distância desde o chão até ao umbigo seria igual ao «número de ouro»).
A busca de padrões é de extrema importância no funcionamento do nosso quotidiano. A
adoção de padrões facilita a nossa vida, permitindo, por exemplo, desenvolver processos de
produção em série.
Na antiguidade desenvolveu-se o uso das chamadas unidades antropométricas, assim
denominadas por serem baseadas nas medidas do corpo humano. Aí se usaram o pé, o passo,
o dígito (dedo), a mão, o palmo, o braço ou o côvado (medida de comprimento referida na
Bíblia e que corresponde à distância entre o cotovelo e o dedo mínimo da mão). Essas
unidades apresentavam vários problemas, já que era natural cada pessoa adaptar as medidas
que utilizava em função da sua própria estatura.
Durante parte da Idade Média, em Inglaterra, a unidade de comprimento pé correspondia ao
tamanho do pé do rei que estivesse no trono, mudando por isso o padrão com cada novo
soberano que herdava a coroa.
4
Vivemos rodeados por instrumentos de medição e somos totalmente dependentes deles.
Imagine o mundo sem os padrões de distância, tempo e massa.
Com o desenvolvimento tecnológico, chegou-se a necessidade de unidades padronizadas. As
mudanças não foram e ainda não são fáceis, pois a população reluta em abandonar aquilo que
conhecem e sempre de certe forma ainda lhes servem.
Os avanços, a vários níveis, da ciência e da tecnologia obrigaram a uma
procura de maior rigor e, consequentemente, a uma definição mais precisa das
medidas-padrão utilizadas e respectivos múltiplos e submúltiplos.
(Fotos: Corel Corporation)
Ao que parece, a primeira tentativa de normalização surgida na Europa só ocorreu no pós-
Revolução Francesa de 1789, quando a Academia Francesa de Ciências criou o Sistema
Métrico Decimal.
Em 1971, a 14a Conferência de Pesos e Medidas escolheu sete grandezas como unidades
fundamentais, formando a base do Sistema Internacional de Unidades (SI). A Tabela 2.1
mostra as quatro unidades fundamentais utilizadas em mecânica.
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Tabela 1.1 Unidades fundamentais usadas em mecânica.
Grandeza Nome Símbolo
Comprimento Metro m
Massa Quilograma kg
Tempo Segundo s
1.1.1 O metro
Símbolo: m
A definição do metro de 1889, baseada num protótipo de irídio e platina foi mudada em 1960,
com base no comprimento da radiação emitida pelo Criptônio-86.
Metro em lamina de latão, dividido em decímetros e centímetros, sendo o primeiro
decímetro dividido em milímetros.
A definição atual é a seguinte: O metro é a distância percorrida pela luz, no vácuo, durante um
intervalo de tempo de 1/299792458 segundos.
Em outras palavras; o metro é definido para que a velocidade da luz no vácuo seja de
299.792.458 m/s.
Unidades derivadas
Como o padrão fundamental, o metro não é usado para medidas de grandes distâncias (como a
distância de Vitória a Salvador) e pequenas dimensões (como o diâmetro de um fio de
cabelo). Divisões desta unidade facilitam a representação e os cálculos.
Para determinações de dimensões lineares, como distâncias e comprimentos, temos os
múltiplos e submúltiplos indicados na tabela a seguir.
6
(x101
) ( x 10+1
) MULTIPLIQUE ENTRE UNIDADES
Km
Quilômetro
hm
hectômetro
dam
decâmetro
m
metro
dm
decímetro
cm
centímetro
mm
milímetro
103
102
101
1 101
102 10
3
Para determinações de dimensões de superfícies o padrão é o metro quadrado (um quadrado
de lados iguais a um metro), os múltiplos e submúltiplos são indicados na tabela a seguir.
(x102
) ( x 10+2
) MULTIPLIQUE ENTRE UNIDADES
km2
quilômetro
quadrado
hm2
hectômetro
quadrado
dam2
decâmetro
quadrado
m2
metro
quadrado
dm2
decímetro
quadrado
cm2
centímetro
quadrado
mm2
milímetro
quadrado
106
104
102
1 102
104 10
6
Para determinações de dimensões de volumes o padrão é o metro cúbico (um cubo de arestas
iguais a um metro), os múltiplos e submúltiplos são indicados na tabela a seguir.
(x103
) ( x 10+3
) MULTIPLIQUE ENTRE UNIDADES
km3
quilômetro
cúbico
hm3
hectômetro
cúbico
dam3
decâmetro
cúbico
m3
metro
cúbico
dm3
decímetro
cúbico
cm3
centímetro
cúbico
mm3
milímetro
cúbico
109
106
103
1 103
106 10
9
Exemplos: Observe que as transformações das medidas abaixo são feitas somente incluindo
os fatores de conversão (potências de dez).
Medida km m dm cm mm
125,36 m 125,36 x 103
125,36 m 125,36 101 125,36 10
2 125,36 10
3
12 cm 12 x 105
12 x 102
12 x 101
12 12 x 101
Medida Km2
m2 dm
2 cm
2 mm
2
125,36 m2 125,36 x 10
6 125,36 125,36 10
2 125,36 10
4 125,36 10
6
12 cm2 12 x 10
10 12 x 10
4 12 x 10
2 12 12 x 10
2
Medida km3 m
3 dm
3 cm
3 mm
3
125,36 m3 125,36 x 10
9 125,36 125,36 10
3 125,36 10
6 125,36 10
9
12 cm3 12 x 10
15 12 x 10
6 12 x 10
3 12 12 x 10
3
7
1.1.2 O quilograma
Símbolo: kg
A unidade de massa preserva a sua definição de 1889, baseada no protótipo de irídio e platina.
O quilograma é a unidade de massa igual à massa do protótipo internacional de irídio e
platina, mantido nas condições estabelecidas em 1889.
O cilindro com mais de 100 anos de idade que serve de protótipo e medida
internacional para o peso de massa está trancado a num palácio perto de Paris.
No entanto, este cilindro está diminuindo de forma misteriosa.
Exercício: Preencha as tabelas abaixo com as unidades solicitadas. Dica: Use a tecla EXP da
calculadora para cálculos com potências de dez. Exemplo: 5x103 = 5EXP3 (é só digitar 5 a
tecla EXP e a potência 3, se for negativa digite o sinal – antes).
Medida cm dm km m hm dam
12 m
16x10-3
cm
4x103 cm
2 m
5,3x102 mm
0,65x10-3
cm
Medida cm2 dm
2 km
2 m
2 hm
2 dam
2
2x10-4
m2
2,65x10-3
cm2
5,36x10-6
cm2
2,4 m2
3,67x10-8
mm2
5,64x10-6
cm2
8
Medida cm3 dm
3 km
3 m
3 hm
3 dam
3
6,36 m3
4,6x10-5
cm3
12,2x104 cm
3
1,04x10-8
m3
24x108 mm
3
72,16x10-2
cm3
1.1.3 O segundo
Símbolo: s
O segundo foi por muito tempo considerado como a fração 1/86400 do dia solar médio.
Devido à imprecisão dessa definição em decorrência das irregularidades da rotação da terra,
foi estabelecida uma nova definição, baseada em fenômenos atômicos como se segue: O
segundo é a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação correspondente à transição de
fase dos dois primeiros níveis de energia no césio-133 no seu estado não excitado.
Desde 1972 o mundo adota o modelo de
estabelecimento da hora com base em relógios
atômicos.
1.1.4 Unidades combinadas
Velocidade: Relação entre distância percorrida e o tempo gasto.
Velocímetro: Velocidade instantânea em km/h
9
v = distância
tempo, com unidades:
distância em metros
tempo em segundos =
m
s
Aceleração: Relação entre a variação da velocidade e o tempo gasto.
a = velocidade
tempo, com unidades:
velocidade em metros segundo
tempo em segundos =
m s
s =
m
s2
Força: Relação entre massa e aceleração.
F = massa aceleração, com unidades: massa em quilograma
aceleração em metros por segundo ao quadrado =
kg
m s2, que é a definição de Newton.
Exemplo 1
Transforme 20 m
s em
km
h.
Solução: 20 m
s x
km
1000 m x
3600 s
h = 20 x 3,6
km
h = 72
km
h
Exercício: Transforme as unidades das grandezas abaixo.
Velocidade
Medida/Unida
des
m/min cm/h km/min
20 m/s
36 cm/h
44x103 mm/s
Aceleração
Medida/Unida
des
m/min2 cm/h
2 km/min
2
2 m/s2
3x102 mm/m
2
5x10-3
cm/s2
10
Para evitar o uso de números muito grandes ou muito pequenos, costuma-se utilizar prefixos.
Estes prefixos estão relacionados na Tabela 1.2.
Tabela 1.2 Prefixos para o SI.
Fator Prefixo Símbolo Fator prefixo símbolo
1018
exa- E 10-18
atto- a
1015
peta- P 10-15
femto- f
1012
tera- T 10-12
pico- p
109 giga- G 10
-9 nano- n
106 mega- M 10
-6 micro-
103 quilo- K 10
-3 mili- m
102 hecto- H 10
-2 centi- c
101 deca- Da 10
-1 deci- d
1.1.5 Legislação Brasileira O Brasil como praticamente todos os outros países, adota como base do seu sistema legal de
medidas o Sistema Internacional de Unidades, permitindo, porém algumas outras unidades não
pertencentes ao SI. Vejamos alguns exemplos:
• a unidade de ângulo plano é o radiano mas permite-se a utilização do grau minuto e
segundo.
• a unidade de tempo é o segundo, permitindo-se, também, a hora e o minuto.
• a unidade de volume é o m3 permitindo-se o litro = 0,001 m3. O símbolo reservado para o
litro é a letra éle minúscula (l). Podemos utilizar, também, o símbolo L para evitar
confusão com o número 1 ou a letra i.
Existem algumas outras unidades também aceitas em conjunto com o SI. Nos trabalhos
técnicos científicos, porém, recomenda-se, tanto quanto possível o uso mais amplo do SI.
No uso do sistema legal de unidades há algumas regras que devem ser estritamente
observadas. Vejamos algumas delas associadas a erros muito freqüentes:
1. Grafia de nomes das unidades: os nomes das unidades são escritos com inicial minús-
cula. Exemplos: metro, newton, volt, joule, segundo. A grafia dos símbolos, quando se tratar
de unidade com nome de cientista o símbolo leva inicial maiúscula: N, V, J.
2. O plural dos nomes das unidades se faz com as seguintes regras:
• os nomes recebem um “s” no final da palavra sem desfigurar o nome da unidade:
metros, candelas, volts, mols, decibels, pascals;
• exceto quando terminam por s, x ou z: hertz, siemens, lux, etc.
3. O símbolo não admite plural (nunca!): 1 m, 10 m, 1 V, 23 V, etc;
4. Não se coloca ponto depois do símbolo: kg e não “kg.”;
5. O símbolo do prefixo quilo (103) é k (minúscula) e não K (maiúscula): 10 kg e não
10 Kg;
11
6. a separação da parte decimal em um número, no Brasil, é feita utilizando-se vírgula e não
ponto. É errado, pois, dizer que uma temperatura é de trinta e seis “ponto” cinco graus
Celsius, ou escrever 36.5 ◦C. O certo é 36,5 ◦C que se lê como trinta e seis graus
celsius e cinco décimos ou, ainda, trinta e seis vírgula cinco graus celsius;
7. Está também excluída a possibilidade de representar frações decimais menores do que um
pela expressão “ponto tal”. Exemplo: “a capacitância de um capacitor é .51 μF”. O certo é
0,51 μF;
8. Os símbolos ’ e ” são reservados para minuto e segundo de ângulo
plano, nunca para indicar tempo;
9. Não se usa a unidades “mícron”, nem o plural “micra”, para indicar 0,000 001 m que é
igual a 1 micrometro (1 μm);
10. A pronúncia dos prefixos SI tem a sílaba tônica no nome da unidade e não no prefixo.
Falamos de micrometro (pronunciado “micrométro”). Exceto nos casos consagrados pelo
uso: quilômetro, decímetro, centímetro, milímetro;
11. Os símbolos devem ser grafados corretamente. Às vezes são utilizadas deturpações do
tipo “seg” para representar segundo, cujo símbolo correto é s;
12. A unidade de temperatura recomendada é o kelvin (não é “graus Kelvin”). Existe,
porém uma unidade também utilizada que é derivada do kelvin e que se denomina grau
celsius, dada por:
t = T − T0 , com T0 = 273,15 K
onde t é a temperatura em graus celsius e T a temperatura em Kelvins. Nota: não existe, na
legislação, a denominação “grau centrígrado”!
Informações Complementares
Símbolo - Não é abreviatura
O símbolo é um sinal convencional e invariável utilizado para facilitar e universalizar a
escrita e a leitura das unidades SI. Por isso mesmo não é seguido de ponto.
Símbolo - Não tem plural
O símbolo é invariável; não é seguido de “s”.
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Unidade Composta
Ao escrever uma unidade composta, não misture nome com símbolo.
O Grama
O grama pertence ao gênero masculino. Por isso, ao escrever e pronunciar essa unidade, seus
múltiplos e submúltiplos, faça a concordância corretamente.
Exemplos:
dois quilogramas quinhentos miligramas duzentos e dez gramas oitocentos e um gramas
O Prefixo Quilo
O prefixo quilo (símbolo k) indica que a unidade está multiplicada por mil. Portanto, não
pode ser usado sozinho.
Use o prefixo quilo da maneira correta.
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Medidas de Tempo
Ao escrever as medidas de tempo, observe o uso correto dos símbolos para hora, minuto e
segundo.
Obs: Os símbolos ’ e ” representam minuto e segundo em unidades de ângulo plano e não de
tempo.
1.2 Algarismos significativos
A representação de qualquer medida deve levar em consideração o conceito de algarismos
significativos. Definem-se algarismos significativos como sendo todos os algarismos de uma
medida contados da esquerda para a direita a partir do primeiro dígito diferente de zero.
Figura 1.1 Régua graduada em cm.
Na figura 1.1 tem-se uma régua graduada em centímetros com resolução de 0,1 cm (resolução
= menor divisão do instrumento de medida). Pode-se dizer que o comprimento da barra é 2,54
cm (três algarismos significativos).
Os algarismos 2 e 5 são garantidos, porém o 4 foi avaliado. No lugar de 4 poderíamos ter 3 ou
5, podendo a leitura ser 2,53 cm ou até 2,55 cm. Concluímos desta forma que o último dígito
de qualquer medida pode variar, sendo este chamado de duvidoso.
Ponte de espaguete com 337 g (3 algarismos
significativos). Carga de ruptura de 34821 g (5 algarismos
significativos).
14
Uma medida pode ser representada de várias formas, desde que não alteremos a quantidade de
algarismos significativos. Desta forma podemos representar uma medida com 3 algarismos de
diversas maneiras: 25,4 cm = 0,254 m = 0,000254 km = 0,254 x 103
km.
Observe os exemplos:
a) 25,4 cm tem 3 algarismos significativos;
b) 0,254 m tem 3 algarismos significativos;
c) 2,54x101
m tem 3 algarismos significativos;
d) 25,40 cm tem 4 algarismos siginificativos;
e) 25,400 cm tem 5 algarismos significativos
Nos exemplos citados podemos tirar as seguintes conclusões:
Zeros à esquerda e potências de dez não representam algarismos significativos, porém
zeros a direita de uma medida representam algarismos significativos.
As medidas (a), (d) e (e) foram feitas com instrumentos diferentes (possuem
quantidades diferentes de algarismos significativos);
A medida (e) é a mais precisa do que as medidas (a) e (d) pois possui maior
quantidade de algarismos significativos;
A tabela 1.3 exemplifica a quantidade de algarismos significativos obtidos por medidas de
diferentes instrumentos.
Tabela 1.3 Algarismos significativos entre instrumentos diferentes.
Instrumento Menor divisão
da escala (resolução) [cm]
Comprimento da
barra [cm]
Régua em cm 1 12,7
Régua comum 0,1 12,75
Paquímetro 0,005 12,745
Micrômetro 0,0001 12,74515
A quantidade de algarismos significativos é maior quanto menor for a divisão (resolução do
instrumento) da escala de instrumentos de mesma graduação. Pode-se perguntar então:
“Existe alguma medida exata?”.
15
Exercício – Escreva na tabela abaixo o número correto de algarismos significativos de cada
medida apresentada. Observe que potência de dez não representa algarismo significativo.
MEDIDA NÚMERO DE ALGARISMOS
SIGNIFICATIVOS
42,0540 m
123,36 dm
23x102 cm
23x10-2
cm
23,038 mm
0,00142 km
3,000000 mm
0,000003 mm
Exercício – Escreva na tabela abaixo a medida 8927,536x10-3
km de acordo com o número
de algarismos significativos pedidos. Forneça as respostas em metros. Como critério de
arredondamento, acrescente um unidade no último dígito se o dígito posterior for maior ou
igual a 5.
NÚMERO DE ALGARISMOS
SIGNIFICATIVOS RESPOSTA
6 8927,54 x103 m
5
4
3
2
1
1.3 Avaliando medidas
Uma das etapas fundamentais do curso de física experimental é a de avaliar uma medida, pois
devemos aprender que nenhuma medida é exata. Seguem as regras fundamentais para o
processo correto de avaliação de medidas.
1.3.1 Graduação do instrumento de medida
A graduação é a primeira etapa de um processo de medida. Entende-se por graduação de um
instrumento de medida os números gravados no instrumento seguido da unidade especificada.
16
Observe os exemplos nas figuras a seguir:
Figura 1.2 Régua graduada em metros (m)
Na figura 1.2 vemos que os números 1, 2, 3 e 4 representam 1 m, 2 m, 3 m e 4 m
respectivamente.
Figura 1.3 Régua graduada em centímetros (cm)
Na figura 1.3 vemos que os números 1, 2, 3 e 4 representam 1 cm, 2 cm, 3 cm e 4 cm
respectivamente.
Figura 1.4 Régua graduada em decímetros (dm)
Na figura 1.4 vemos que os números 1, 2, 3 e 4 representam 1 dm, 2 dm, 3 dm e 4 dm
respectivamente.
1.3.2 Menor divisão do instrumento de medida
A menor divisão de um instrumento de medida é chamada de resolução. A resolução do
instrumento representado pela figura 1.5 (abaixo) é de 0,1 m.
Figura 1.5 Régua graduada em metros (m)
Podemos encontrar a resolução dividindo a diferença entre graduações consecutivas pelo
número de traços contidos entre elas. Na figura 1.5 temos: 3 2
10 = 0,1 cm.
Figura 1.6 Régua graduada em metros (m)
Na figura 1.6 temos: 4 2
10= 0,2 cm. Observe que a resolução agora é de 0,2 cm.
17
1.3.3 Valores mínimos e máximos da medida
Na figura 1.5 podemos verificar que o traço escuro está entre 2,5 m e 2,6 m, ou seja:
O menor valor possível para a medida é de 2,5 m (valor mínimo).
O maior valor possível para a medida é de 2,6 m (valor máximo).
Desta forma podemos dizer que a medida é maior que 2,5 e menor que 2,6.
1.3.4 Avaliar o algarismo duvidoso
Sabemos que a medida do traço escuro na figura 1.5 é maior que 2,5. Os algarismos 2 e 5 são
os algarismos significativos que conhecemos da medida, pois temos certeza que ela é maior
que 2,5. Para completar a avaliação temos que avaliar o último algarismo significativo,
chamado de duvidoso. Qualquer valor menor que o máximo é valido, porém temos que
avaliar (chutar) um valor coerente.
Como possibilidades temos:
2,54 m, uma medida com três algarismos significativos, sendo o 4 o duvidoso (avaliado);
2,55 m, uma medida com três algarismos significativos, sendo o 5 o duvidoso (avaliado);
2,56 m, uma medida com três algarismos significativos, sendo o 6 o duvidoso (avaliado);
Como impossibilidades temos:
2,51 m, pois sabemos que a medida não está próxima de 2,5.
2,59 m, pois sabemos que a medida não está próxima de 2,6.
Exercício – Faça a leitura da altura da rampa, na régua representada abaixo. Forneça a
resposta em metros.
Resposta em metros: ___________________
18
Exercício – Escreva na tabela abaixo a medida do retângulo conforme escalas desenhadas na
figura abaixo. Forneça as respostas em metros.
Exercício - Escreva a medida dos objetos utilizando as escalas graduadas em milímetros,
desenhadas nas figuras abaixo.
Apresente a medida em milímetros:
___________________________________________
Apresente a medida em centímetros
_________________________________________
Respostas em metros
Lado A
Lado B
0 1 2
1 3
1
4
1
10
20
30
0
Graduação
em cm
Graduação
em dm
Lado A
Lado B
19
Exercício - Com uma régua graduada em centímetros, avalie as medidas das figuras abaixo e
escreva os valore na tabela abaixo.
Lado A
Lado B Lado C
Lado D
Lado E Lado F Lado G
Lado H Lado I
Lado J
Lado K
Lado L
Lado M
20
LADO MEDIDA
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
1.3.5 Avaliar a incerteza
De acordo com as regras apresentadas no item anterior, o traço escuro na figura 1.7 pode ter
como medida (estimativa):
Primeira possibilidade: 2,4 m – Dois algarismos significativos, sendo o 4 o duvidoso;
Segunda possibilidade: 2,5 m – Dois algarismos significativos, sendo o 5 o duvidoso;
Terceira possibilidade: 2,6 m – Dois algarismos significativos, sendo o 6 o duvidoso;
Observamos que a medida deve estar contida em uma faixa de possibilidades, variando desde
um valor mínimo 2,4 m até um valor máximo 2,6 m. Desta forma podemos representar a
medida do traço da seguinte forma:
Escolhendo um valor central, neste caso o 2,5 e representando a faixa acrescentando ± 0,1
para atingir os limites de possibilidades. Desta forma a medida será representada por (2,5 ±
0,1) m.
Figura 1.7 Régua graduada em metros (m)
Todas as medidas devem ser representadas em uma faixa de possibilidades, sendo esta a
representação correta das mesmas. Desta forma concluímos que nenhuma medida é exata!
21
1.3.5.1 Regras para avaliação de incerteza
Em qualquer leitura direta em instrumentos de medida a incerteza é avaliada como sendo a
metade da resolução. A resolução da régua na figura 1.7 é de 1 m, portanto a incerteza será de
0,5 m, sendo a medida do traço (2,4 ±0,5) m. Observe que o último dígito da incerteza (o
cinco) acompanha o algarismo duvidoso (o quatro) na mesma casa decimal.
Veja outros exemplos na tabela abaixo:
RESOLUÇÃO INCERTEZA
1 m 0,5 m
0,2 cm 0,1 cm
2 dm 1 dm
0,03 mm 0,015 mm
5 m 2,5 m
IMPORTANTE: Neste curso utilizaremos incerteza com 1 algarismo significativo.
Exercício – Acrescente as incertezas nas medidas feitas nos exercícios anteriores.
Exercício – De acordo com as medidas apresentadas a seguir:
(2,36 ± 0,1)
dm
(53,3 ± 0,2)
cm
(0,13 ± 0,03) m (2050,0 ± 5,0) x10-3
km
(236,1 ± 0,1)
mm
Represente abaixo:
A medida
representada de
forma incorreta
A representação
correta da medida
descrita
anteriormente
A medida com
menor número de
algarismos
significativos
A medida com
maior número de
algarismos
significativos
Represente a
medida dada em
milímetros em
centímetros
Exercício – Preencha a tabela abaixo expressando na coluna da direita a notação correta
para a medida escrita de forma errada na coluna da esquerda (observe a potência de dez na
resposta).
Notação errada Notação correta
(42,054 ± 0,5) ( ) x 10 −1
(123,36 ± 2)
(23 ± 0,2)x102 ( ) x 10
2
(23,38 ± 0,0751)
(0,0142 ± 0,00007) ( ) x 10 −2
22
Exercício – Na tabela abaixo temos diversas medidas realizadas.
(1,434 0,005) cm (2,497 0,006) cm (41,00 0,04) mm
(28,50 0,04) mm (4,96 0,04) dm (99,8 0,2) dm
(0,432 0,004) dm (75,84 0,04) mm (12,60 0,06) cm
Em relação aos dados responda:
a) Qual medida é mais precisa?
b) Qual é a maior resolução?
c) Qual é a menor resolução?
d) Quais medidas podemos dizer que foram feitas com o mesmo instrumento?
e) Qual é a medida menos precisa?
Exercício – Escreva as medidas representadas nas figuras abaixo (paquímetros graduados em
mm).
Apresente a medida em centímetros:
Apresente a medida em decímetros:
23
PRÁTICA 1: Introdução à medição
Uma técnica chamada de Microscopia de Força
Atômica (AFM - Atomic Force Microscopy),
produz imagens medindo a força de atração
entre os átomos da amostra e a ponta de prova
do microscópio. É como se a ponta de prova,
que é tão fina que sua extremidade pode conter
um único átomo, "apalpasse" a amostra. A
imagem é criada a partir das variações na
intensidade da força de interação entre a ponta
de prova e o átomo. O microscópio eletrônico
cria uma espécie de "mapa topográfico" da
molécula. A visualização direta, por meios
ópticos, é impraticável porque a molécula é
muito menor do que o comprimento de onda da
luz visível. [Imagem: IBM Research - Zurich]
Objetivos
Avaliar medias com instrumentos de diversas graduações.
Avaliar incertezas em medidas
Procedimento experimental
1. Separar o material experimental;
2. Medir as dimensões dos objetos fornecidos;
3. Anotar os resultados na folha de dados;
Coleta dos dados
Tabela 1 - Coleta de Dados da dimensão 1
Objeto Medida
I
Medida
II
Medida
III
Medida
IV
1 ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± )
2 ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± )
3 ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± )
4 ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± )
5 ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± )
24
Tabela 1 - Coleta de Dados da dimensão 2
Objeto Medida
I
Medida
II
Medida
III
Medida
IV
1 ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± )
2 ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± )
3 ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± )
4 ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± )
5 ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± )
2 Propagação de incertezas
Observe a figura abaixo:
Figura 2.1 Retângulo com medidas em metros (m)
O lado referente a base tem medida (2,8 ± 0,1) m e a sua altura é de (1,3 ± 0,1) m. Como
poderemos representar a medida de sua área? Normalmente multiplicamos a medida da base
(2,8) pela medida da altura (1,3), tendo 3,64 m2 como resultado. E como iremos representar a
incerteza no resultado? Veja a teoria a seguir.
Geralmente é necessário usar valores medidos e afetados por erros para realizar cálculos a fim
de se obter o valor de outras grandezas. É necessário conhecer como o erro na medida original
afeta a grandeza final.
2..1 Soma e subtração de grandezas
A análise estatística rigorosa mostra que ao somarmos ou subtrairmos grandezas
estatisticamente independentes o erro no resultado será dado pela raiz quadrada da soma dos
quadrados dos erros de cada uma das grandezas. Por exemplo, se tivermos três grandezas
dadas por: x x , y y e z z , a soma (ou subtração) delas,
w = x + y + z
será afetada por erro de valor
222 )()()( zyxw .
25
Exercício – De acordo com as medidas indicadas na tabela abaixo:
Medida Valor
d (3,240 0,009)
e (1,34 0,07)
f (2,1 0,8)
Represente os resultados das operações na tabela abaixo (com número de algarismos
significativos e incerteza expressa de forma correta).:
Operação Resultado
d + e
d - e
f - e
d + e + f
d + e - f
2.2 Multiplicação e divisão de grandezas
Neste caso, o erro relativo do resultado será dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados
dos erros relativos de cada fator. Por exemplo, se w = x/y teremos:
22 )()(y
y
x
x
w
w
Generalizando na fórmula CBAkF as operações de multiplicação, divisão,
radiciação e potenciação, teremos:
2222 )()()()(c
c
b
b
a
a
k
k
f
f
, onde:
A = ( a a); B = ( b b); C = ( c c); e K = ( k k) (constante que não depende de
medição). A constante K poderá aparecer nas seguintes formas:
Número formado por quantidade finita de dígitos (número exato). Nesse caso a incerteza
absoluta, k, é nula;
Número que matematicamente comporte infinitos dígitos (irracional, dízima). Neste caso a
incerteza absoluta dependerá da quantidade de dígitos adotada. Se utilizarmos uma
calculadora que opere com dez dígitos, teremos = 3,141592654. O último dígito foi
arredondado pela máquina, e está afetado por uma incerteza de uma unidade ( =
26
0,000000001). Deve-se notar que na maioria das vezes a incerteza relativa do número , para
tantas casas decimais, será desprezível perante as incertezas relativas das outras variáveis.
Exercício – De acordo com as medidas indicadas na tabela abaixo:
Represente os resultados das operações na tabela abaixo (com número de algarismos
significativos e incerteza expressa de forma correta).
Medida Valor
d (3,54 0,09) mm
e (2,10 0,61) cm
f (21,35 0,04) m
Operação Resultado [m]
f .d
d.e
f/d
d/f
(f+d)/e
(f-d)/(d+e)
27
PRÁTICA 2: Introdução à medição - paquímetro
Introdução
O paquímetro é um instrumento usado para medir dimensões lineares internas, externas e de
profundidade de uma peça. Consiste em uma régua graduada, com encosto fixo, sobre a qual
desliza um cursor. A leitura da dimensão é feita somando-se a leitura da escala, quantidade de
traços na escala principal antes do zero do cursor, mais a leitura do nônio. A leitura do nônio,
por sinal, é feita com base na coincidência de um dos traços do nônio com um dos traços da
escala principal. Na Figura 3.1 é apresentado um exemplo de leitura com paquímetro. A
marcação da leitura na escala principal é de 73 mm, pois existem 73 traços antes do zero do
cursor, e a leitura do nônio é de 0,65 mm, pois o traço 65 do nônio é o coincidente.
Figura – Leitura do paquímetro com resolução de 0,05 mm
Leitura na Escala: 73 mm
Leitura no Nônio: 0,65 mm
Leitura Final: 73,65 mm
Objetivos
Familiarizar-se com o manuseio do instrumento.
Aplicar as regras de propagação de incerteza.
Procedimento experimental
Para cada cilindro determine o diâmetro e a altura utilizando o paquímetro fornecido, anote os
dados na tabela 2.1 no item coleta de dados;
Determine a massa de cada cilindro utilizando a balança fornecida;
Com os dados coletados determine para cada cilindro sua massa específica usando a
expressão:
= m/V
Anote os resultados na tabela 2.2.
28
Coleta dos dados
Tabela 2.1 - Coleta de Dados
Objeto Diâmetro [mm] Altura [mm] Massa [g]
Cilindro de cobre ( ± ) ( ± ) ( ± )
Cilindro de
alumínio ( ± ) ( ± ) ( ± )
Cilindro de plástico ( ± ) ( ± ) ( ± )
Cilindro de aço ( ± ) ( ± ) ( ± )
Cilindro de latão ( ± ) ( ± ) ( ± )
Tabela 2.2 - Resultados
Objeto Diâmetro [g/mm3]
Cilindro de cobre ( ± )
Cilindro de alumínio ( ± )
Cilindro de plástico ( ± )
Cilindro de aço ( ± )
Cilindro de latão ( ± )
29
PRÁTICA 3: Estudo de Movimento I.
Câmera mais rápida do mundo usa lasers e não tem CCD
Câmera mais rápida do mundo usa
lasers e é capaz de filmar processos
químicos e biológicos fundamentais em
tempo real.[Imagem: K. Goda]
Pesquisadores da Universidade da
Califórnia, nos Estados Unidos, criaram
um novo tipo de câmera filmadora
ultrarrápida que quebra as barreiras
tradicionais entre as câmeras
fotográficas tradicionais, as filmadoras
e os microscópios eletrônicos. Para
observar eventos que ocorrem em
altíssima velocidade, como ondas de
choque, atividades neurais ou mesmo as
comunicações entre células vivas, é
necessário capturar milhões ou bilhões de imagens a cada segundo. Até hoje, nenhuma
câmara sequer se aproximava dessa capacidade. A nova câmera alcança esses objetivos
alterando radicalmente o conceito utilizado atualmente para a captura de imagens ópticas.
Introdução
Movimento é o estado de um corpo cuja posição, em relação a um referencial, muda. Quando uma
partícula se move, em uma trajetória, em relação ao referencial, esta possui uma velocidade média que
pode ser calculada, se for conhecido o tempo e a distância percorrida.
t
sV
[3.2.1]
O movimento pode ser “absoluto”, quanto o referencial é um ponto fixo, e relativo, quando o
observador também se move.
Quando dois corpos estão em movimento relativo, esses possuem uma velocidade relativa entre si,
onde essa velocidade relativa, é dada pela diferença das velocidades dos dois corpos.
ABAB VVV
[3.2.2]
Com base nesses conceitos, pode-se analisar a partir do seguinte experimento, esses dois
casos de movimento, usando corpos diferentes, mas que percorrem a mesma trajetória em
sentidos opostos.
Objetivo
Analisar e classificar os movimentos dos objetos;
Verificar a importância do referencial no estudo de um movimento.
Procedimento experimental
30
Montar o trilho de ar e posicionar os sensores;
Definir um referencial na régua e medir o tempo para quatro posições da esfera em relação a
esse referencial pré-fixado;
Coleta dos dados
Os dados devem ser anotados na Tabela 3.1.
Cálculos
Calcular a velocidade média e a incerteza associada para cada trecho do movimento. Utilize a
expressão t
sV
. Anote os resultados na tabela 3.2
Coleta de dados - Estudo de movimentos
Tabela 3.1 - Coleta de dados
Movimento da esfera (tempo em segundos e distâncias em centímetros)
Ref = (15 ± 1 ) Tempo
X1 = ( ± ) ( ± )
X2 = ( ± ) ( ± )
X3 = ( ± ) ( ± )
X4 = ( ± ) ( ± )
Tabela 3.2 – Resultados
Velocidade da esfera
V1 ( ± ) m/s
V2 ( ± ) m/s
V3 ( ± ) m/s
V4 ( ± ) m/s
PRÁTICA 4: Estudo de Movimento II.
31
Introdução
Movimento acelerado é o estado de um corpo cuja
velocidade, em relação a um referencial, muda. A esta
mudança de velocidade damos o nome de aceleração. A
aceleração de queda livre, como o nome já indica, é aquela
em que o objeto está sujeito somente a força gravitacional.
t
Va
Objetivo
Determinação da aceleração de queda livre.
Procedimento experimental
Montar o trilho de ar na vertical e posicionar os sensores;
Definir um referencial na régua e medir o tempo de queda para quatro posições da esfera em
relação a esse referencial pré-fixado;
Coleta dos dados
Os dados devem ser anotados na Tabela 4.1.
Cálculos
Calcular a aceleração e a incerteza associada para cada trecho do movimento. Utilize a
expressão t
Va
. Anote os resultados na tabela 4.2
32
Coleta de dados - Estudo de movimentos II
Tabela 4.1 - Coleta de dados
Movimento da esfera (tempo em segundos e distâncias em centímetros)
Ref = (15 ± 1 ) Tempo
X1 = ( ± ) ( ± )
X2 = ( ± ) ( ± )
X3 = ( ± ) ( ± )
X4 = ( ± ) ( ± )
Tabela 3.2 – Resultados
Aceleração da esfera
a1 ( ± ) m/s2
a2 ( ± ) m/s2
a3 ( ± ) m/s2
a4 ( ± ) m/s2
33
PRÁTICA 5: Força elástica das molas.
Introdução
Um exemplo de força variável é a força de uma mola, onde essa é proporcional a sua
deformação. As molas helicoidais, sem exceção alguma, possuem uma constante elástica (k),
que pode ser calculada através da relação matemática conhecida como Lei de Hooke,
xkF [3.3.1] onde F é a força exercida pela mola, e x é a sua deformação.
Essa lei (Eq. 3.3.1) explica o funcionamento do dinamômetro, o qual nos indica a força
aplicada sobre o mesmo observando-se a deformação de sua mola.
Usando uma haste milimetrada, diferentes massas, e duas molas, pode-se calcular as
constantes elásticas (k) e as incertezas associadas, de cada mola, e de suas associações em
série e em paralelo.
Objetivo
Obter a constante elástica das molas e de suas associações em série e em paralelo
analiticamente;
Procedimento experimental
1. Montar a mola 1 no suporte graduado;
2. Medir o peso do recipiente;
3. Pendurar na mola o recipiente que conterá as massas e estabelecer o referencial para as
medidas de deformações;
4. Medir o peso do conjunto recipiente + massas;
5. Pendurar novamente o recipiente na mola e medir a deformação;
6. Repetir os itens (5) e (6) do procedimento quatro vezes, variando a quantidade de
massas;
7. Ao término da primeira bateria, item (7), repetir o procedimento para a mola 2 do item
(3) até o (7);
8. Ao término da segunda bateria, item (8), associar as duas molas em série e repetir o
procedimento do item (3) até o (7);
9. Ao término da terceira bateria, item (9), associar as duas molas em paralelo e repetir o
procedimento do item (3) até o (7).
Coleta dos dados
Os dados devem ser anotados na Tabela 5.1 da folha de dados.
Cálculos
Calcular 1k e a incerteza associada. Saiba que y
mgk
, lembrando que m é a massa total e
y é a deformação no eixo y (g=9,8 m/s2); Calcular 2k e a incerteza associada; Calcular
Sériek 12 e a incerteza associada; Calcular Paralelok 12 e a incerteza associada.
34
Coleta de dados – Força elástica das molas
Tabela 5.1 - Coleta de Dados // Resultados
Situação Variável Objeto 1 Objeto 2 Objeto 3
Mola 1
Força (N) ( ± ) ( ± ) ( ± )
Deformação
(m) ( ± ) ( ± ) ( ± )
K1 (N/m) ( ± ) ( ± ) ( ± )
Mola 2
Força (N)
( ± ) ( ± ) ( ± )
Deformação
(m) ( ± ) ( ± ) ( ± )
K2 (N/m) ( ± ) ( ± ) ( ± )
Série
Força (N) ( ± ) ( ± ) ( ± )
Deformação
(m) ( ± ) ( ± ) ( ± )
K12-Série
(N/m) ( ± ) ( ± ) ( ± )
Paralelo
Força (N) ( ± ) ( ± ) ( ± )
Deformação
(m) ( ± ) ( ± ) ( ± )
k12-Paralelo
(N/m) ( ± ) ( ± ) ( ± )
35
PRÁTICA 6: Atrito
Introdução
Atrito é um fenômeno físico, que ocorre quando existe o contato entre dois corpos, gerando
uma força resistente, ou seja, contrária ao movimento, ou a tendência de movimento. Essa
força resistente, ou força de atrito, máxima é dada pela equação:
NFat max , Onde é o coeficiente de atrito, e N é a força normal.
Existem dois tipos de atrito. O atrito estático, que ocorre quando não existe movimento
relativo entre as superfícies, e o cinético, que ocorre quando existe esse movimento. O contato
entre diferentes superfícies, conduz a diferentes coeficientes de atrito, tanto estático quanto
dinâmico. Nesse experimento, analisa-se esse fenômeno entre um plano inclinado e blocos
com diferentes superfícies, porém de mesma massa.
Figura 6.1
Objetivo
Obter o coeficiente de atrito estático e a força de atrito máxima entre duas superfícies
utilizando um plano inclinado.
Procedimento experimental
1. Medir o peso do bloco;
2. Colocar o bloco sobre o plano (Fig. 3.5.1) e aumentar vagarosamente a inclinação do
plano com a horizontal, até o bloco iniciar o seu movimento;
3. Ao iniciar o movimento do bloco, medir o ângulo de inclinação do plano com a
horizontal;
4. Para cada superfície do bloco, repetir o procedimento mais quatro vezes;
Coleta dos dados
Os dados devem ser anotados nas Tabelas 6.1 e 6.2.
Cálculos
Fazer um desenho esquemático mostrando as forças e suas componentes, ângulos e distâncias
existentes; Calcular o coeficiente de atrito estático médio, desvio padrão e a incerteza
associada para cada bloco utilizado, lembrando que NFat ; Calcular a força de atrito e a
incerteza associada para cada bloco utilizado.
h
L
d
36
Coleta de dados - Atrito
Tabela 6.1 – Coleta dos dados
DADO: L = (1,0 ± 0,2) m
Superfícies /
Corrida h (m) e = Tg() Força Normal (N) Força de atrito (N)
I
1 ( ± )
2 ( ± )
3 ( ± )
4 ( ± )
II
1 ( ± )
2 ( ± )
3 ( ± )
4 ( ± )
III
1 ( ± )
2 ( ± )
3 ( ± )
4 ( ± )
Tabela 6.2 - Peso do Bloco
Peso do bloco (N)
( ± )
37
PRÁTICA 7: Conservação da quantidade de movimento (momento linear)
Introdução
Quando duas partículas interagem, pode-se aplicar a Terceira Lei de Newton, isto é, a
toda ação corresponde uma reação, com a mesma intensidade e direção e de sentidos opostos.
Se as partículas forem consideradas como um sistema isolado, apenas as forças de ação e
reação atuam internamente, e então o sistema deve permanecer em equilíbrio (em repouso ou
em movimento retilíneo uniforme). Pode-se assim afirmar que, se não houver agentes
externos modificando este equilíbrio, todas as grandezas internas conservar-se-ão.
Define-se uma grandeza interna do sistema como momento linear P (ou momentum, ou
quantidade de movimento) que é o produto de cada uma das massas das partículas do sistema
por sua velocidade (P = mv), onde m é um escalar positivo e v é um vetor, logo P será um
vetor com a mesma direção e sentido de v.
Figura 7.1: (a) Trajetória da esfera 1 no suporte de descida até o plano de medida do alcance
das esferas; (b) Trajetória das esferas 1 e 2 antes e após a colisão.
Havendo uma colisão, e considerando as partículas como um sistema isolado, então:
P(antes do choque) = P’(depois do choque)
221121 vmvmPPP (neste caso, teremos v2 = 0)
'22
'11
'2
'1
' vmvmPPP
Onde m1 e m2 são as massas que se chocam e v e v ‘ são as velocidades antes e depois do
choque, respectivamente.
Objetivo
Observar experimentalmente a lei de conservação do momento linear, em uma dimensão.
Procedimento experimental
1. Verificar se o ponto D do suporte de descida das esferas está na mesma linha vertical
do início do plano de medida de alcance das esferas.
2. Abandonar 4 vezes a esfera maior a partir de um ponto no suporte de descida (maior
altura), e anotar em cada caso o alcance.
38
3. Abandonar novamente a esfera maior 4 vezes desde cada um dos três pontos marcados
no suporte de descida, desta vez provocando um choque com a esfera menor que
estará localizada no ponto D, anotar o alcance de cada esfera.
Coleta de dados
Para a altura de abandono da esfera:
Calcule os valores médios e as incertezas do alcance da esfera (
X e
X ).
Calcule a velocidade horizontal média da esfera sem choque (
v ), e a incerteza associada
(
v ).
Calcule a velocidade horizontal média para cada esfera após o choque (
'1v e
'2v ), e a incerteza
associada (
'1v e
'2v ).
Calcule o momento linear P a incerteza associada, sem choque.
Calcule o momento linear de cada esfera a incerteza associada, após o choque (P1’ e P2
’):
Compare os resultados para o momento linear, antes do choque (P) e depois do choque (P1’ +
P2’), conforme descrito na Introdução.
Massa da esfera 1: m1 = ( ± ) kg
Massa da esfera 2: m2 = ( ± ) kg
Altura de abandono: h (MÁXIMA)
Tempo de queda: t = (0,45 ± 0,05) s
Tabela 7.1: Coleta de Dados
SEM COLISÃO
Lançamento 1 2 3 4
X1 (m) ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± )
Velocidade 1
(m/s)
COM COLISÃO
X1 (m) ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± )
Velocidade 1
PARCIAIS
X2 (m) ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± )
Velocidade 2
PARCIAIS
39
Tabela 7.2: Coleta de Dados
ANTES DA COLISÃO
Esfera Média da velocidade (m/s) Momento, p = mv (kg.m/s)
1 ( ± ) ( ± )
2 ZERO ZERO
APÓS A COLISÃO
Esfera Média das velocidades (m/s) Momento, p = mv (kg.m/s)
1 ( ± ) ( ± )
2 ( ± ) ( ± )
40