Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira

PROJETO

TEIA DO SABER - MATEMÁTICA

Governo do Estado de São PauloSecretaria de Estado da Educação

Diretoria de Ensino - Região de Andradina

Tema: Semelhança e Congruência

Orientador: Prof. Dr. Ernandes Rocha Oliveira

Componentes: Grupo “A”• Glaucia Maria Queiroz de Freitas• Isaura Christian Cecci• Joseph Ersen Bacarat Filho• Rossana Maria da Silva•Valdemir Ferreira de Lima

História da Geometria

Semelhança e Congruência

História da Geometria

• Criação da Geometria: Egípcios e Caldeus

• Geometria GÊ = terra e MÉTRON = medida

• Em grego clássico o verbo geõmetrin = medir terra, ser agrimensor ou geômetra.

Curiosidades

• Indianos e os chineses: casos particulares do Teorema de Pitágoras;

• Gregos: herdaram dos babilônios o uso dos ângulos;

• Teoria das Cônicas: última das contribuições dos gregos.

Na história do tempo

• 800 a.C.: Grande Movimento de caráter cultural

1) Thales de Mileto: algumas propriedades das figuras geométricas podem ser deduzidas de outras;

2) Pitágoras: considerado o pai da sistematização da matemática;

3) Hipócritas de Quios, Platão, Aristóteles e outros: desenvolvimento da geometria / organização como ciência;

4) Aristóteles: divisão das proposições em duas:

a) Primárias: Axiomas e postulados

b) Secundárias: Teoremas;

SÉCULO DE OURO

• 330 a.C. – 275 a.C. – Euclides;• Primeiro e grande didata da matemática;• Obra principal: “Os Elementos” – composta de

13 livros com 465 proposições, 93 problemas e 372 teoremas;

• Obra baseada:

a) Resultante de observações experimentais;

b) dez proposições primárias (axiomas e postulados).

• A1 — Duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.

• A2 — Somando-se a mesma quantidade a valores iguais obtêm-se resultados iguais.

• A3 — Subtraindo-se a mesma quantidade de valores iguais obtêm-se resultados iguais.

• A4 — Coisas que coincidem uma com a outra são iguais.

• A5 — O todo é maior que a parte.

• P1 — É possível traçar uma reta ligando dois pontos.

• P2 — É sempre possível prolongar um segmento finito de reta indefinidamente.

• P3 — É sempre possível descrever um círculo, dado um ponto qualquer para o centro e um segmento finito como raio.

• P4 — Todos os ângulos retos são iguais.

• P5 — É verdade que, se uma reta ao cortar duas outras, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então as duas retas, se continuadas, encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor que dois ângulos retos.

• Arquimedes: esfera inscrita em um círculo;

• Apolônio de Perga: o grande geômetra. Deixou um famoso tratado sobre as cônicas.

APÓS O SÉCULO DE OURO

• Longa fase de estagnação:

a) ameaças de exércitos estrangeiros em Alexandria

b) 47 a.C. – Grande ataque – Julio César tenta derrubar Cleópatra VII incendiando sua frota;

c) O Museu de Alexandria foi incendiado – destruição da biblioteca e centenas de milhares de livros;

d) Marco Antonio confisca tudo e restaura a supremacia de Alexandria;

EM RESUMO:

• O Ocidente ficou reduzido ao básico da matemática durante 1000 anos

• Os postulados de Euclides foram submetidos a um estudo critico mais profundo (Quinto postulado).

Porque o triângulo é tão estudado?

Para você comprovar ...

Para que duas ou mais figuras (ou objetos) sejam semelhantes, duas condições são necessárias:

Os ângulos correspondentes devem ser iguais.

Os comprimentos correspondentes devem ser proporcionais.

Semelhança de figuras

Entre as FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS que são semelhantes, temos:

todos os círculos

todos os quadrados

Entre as FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS que nem sempre são semelhantes, temos:

os retângulosos triângulos

Entre os SÓLIDOS GEOMÉTRICAS que Sempre são semelhantes, temos:

Todas as ESFERAS

todos os CUBOS:

Entre os SÓLIDOS GEOMÉTRICAS que nem sempre são semelhantes, temos:

Os CONES

Os CILINDROS

Os PARALELEPÍPEDOS

AtividadesObserve as figuras e identifique os grupos formados por

objetos semelhantes.

Figura 1 Figura 3Figura 2

Figura 4 Figura 5

Todos os homens são semelhantes?

Como Construir Figuras Semelhantes

O Teorema de Tales”

Como Construir Figuras Semelhantes

4cm6cm

3cm

2 cm3cm

1,5cm

Como Construir Figuras Semelhantes

Como Construir Figuras Semelhantes

Como construir um triângulo?

“Relação do tema com o conhecimento de outras áreas”

Altura de uma torre, pelo método dos triângulos semelhantes, de acordo com Apianus, Quadrans

astronomicus ( 1532 )

“Em sala de aula”

“Em sala de aula”

Como Construir Figuras Congruentes

Usando a tecnologia para trabalhar Semelhança e

Congruência - CABRI

Aplicando a Homotetia

“A filosofia estuda o homem com a finalidade ética, com método dialógico, parte da ironia para

chegar ao conhecimento verdadeiro mediante o “conheça-te a ti mesmo”, isto é, é necessário

tomarmos consciência de nossa ignorância como sendo ápice da

sabedoria, que é o desejo da ciência mediante a virtude da vida”