Física 2transcrição das transparências

usadas na aula teórica

F. Salzedas

Física II 2006

FEUP

MIEIC

15 de Dezembro de 2006

As transparências aqui transcritas servem de apoio à aula teórica.Como tal e por serem apenas um resumo, a sua consulta não dis-pensa a consulta da bibliografia principal da disciplina.

ii

Conteúdo

1 Cargas eléctricas e campos eléctricos 31.1 Estrutura da matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Condutores e isoladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Electrómetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Carga induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 As equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Lei de Coulomb e o Princípio da Sobreposição . . . . . . . . . 91.7 Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 132.1 Linhas de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Campo dentro de um condutor . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Localização da carga dentro de um condutor . . . . . . . . . . 202.5 Condutor com uma cavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Energia potencial eléctrica e potencial eléctrico 233.1 Energia potencial eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 Potencial eléctrico e o campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . 273.5 Potencial eléctrico duma carga pontual . . . . . . . . . . . . . 28

4 Capacidade e condensadores 294.1 Capacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Dipolo Eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Dieléctricos: Polarização da Matéria . . . . . . . . . . . . . . 314.4 Rotura eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.5 Condensadores em série e paralelo . . . . . . . . . . . . . . . 344.6 A energia armazenada num condensador . . . . . . . . . . . . 36

iii

CONTEÚDO

5 Corrente eléctrica e resistência 395.1 Circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3 Resistência e resistividade - Abordagem clássica . . . . . . . . 405.4 Fem e resistência interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5 Resistências em série e em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 476.1 Leis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2 Energia em circuitos CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.3 Potência e resistência interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7 Campo magnético 537.1 Magnetostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.2 A lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.3 Fio longo e rectilíneo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.4 A lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.5 A lei de Ampère e o Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . 577.6 Fio longo e rectilíneo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8 618.1 O campo magnético dum solenóide . . . . . . . . . . . . . . . 618.2 A lei de Gauss para o campo magnético . . . . . . . . . . . . 628.3 Teorema de Gauss e o campo B . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.4 A força magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.5 A definição de ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9 679.1 A força de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.2 A experiência de Thompson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.3 Movimento de uma partícula carregada num campo B . . . . 70

10 7310.1 Aplicações da força de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . 7310.2 Efeito de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7310.3 Galvanómetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.4 Origem do magnetismo permanente . . . . . . . . . . . . . . 77

11 Indução electromagnética 8111.1 A lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8111.2 A lei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8211.3 As leis de Faraday(-Lenz) e as eq. de Maxwell . . . . . . . . . 83

iv

CONTEÚDO

12 Indução electromagnética 8712.1 Um gerador simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8712.2 Correntes de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8912.3 O gerador de corrente alternada . . . . . . . . . . . . . . . . 91

13 Indutores e indutância 9313.1 Indutância mútua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9313.2 Auto-indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9513.3 A energia armazenada num indutor . . . . . . . . . . . . . . . 9613.4 A densidade de energia dum campo magnético . . . . . . . . 97

14 Regime transiente e circuitos CA 9914.1 O circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9914.2 O circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10214.3 Circuitos de CA - Impedância . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10414.4 Circuitos de CA - RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

15 11315.1 O transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11315.2 Ajuste de impedâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

16 Ondas electromagnéticas 11916.1 A corrente de deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11916.2 Ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12216.3 Energia em ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . 125

17 Introdução á mecânica quântica 12717.1 Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12717.2 A equação de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12717.3 Partícula livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

18 13118.1 Partícula num Potencial Quadrado, Unidimensional . . . . . . 13118.2 Partícula num Potencial Quadrado, Tridimensional . . . . . . 13418.3 Efeito de Túnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

19 14119.1 Um sólido unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14119.2 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

v

CONTEÚDO

20 14720.1 Condutor, isolador e semicondutor . . . . . . . . . . . . . . . 14720.2 Efeito das Impurezas Dadoras do Tipo n . . . . . . . . . . . . 15020.3 Efeito das Impurezas Aceitadoras do Tipo p . . . . . . . . . . 151

A Dados úteis i

vi

Ficha de disciplina da Ocorrência 2006/2007 - 1S

Língua de Ensino

Português

Objectivos

Transmitir aos alunos os conceitos básicos do electromagnetismo e suas aplicações tecnológicas elementares. Partindo duma breve introdução à mecânica quântica expor o mecanismo quântico da condução de corrente eléctrica.

Programa

Estrutura atómica da matéria. Cargas eléctricas e campos eléctricos. Energia potencial eléctrica e potencial eléctrico. Capacidade e condensadores. Corrente eléctrica e resistência. Magnetismo e campos magnéticos. Indução electromagnética. Indutores e indutância. Ondas electromagnéticas. Breve introdução à mecânica quântica. Equação de Shrödinger. Breve introdução ao mecanismo quântico da condução de corrente eléctrica.

Bibliografia Principal

Bibliografia Complementar

Métodos de Ensino

- Aulas teóricas: exposição e discussão da matéria acompanhada sempre que possível de aplicações dos conceitos teóricos. - Aulas teórico-práticas: resolução e discussão de exercícios por parte dos alunos sendo necessário explicar o(s) método(s) usados na resolução. É estimulada a discussão dos conceitos por forma a que o aluno possa testar na aula o seu grau de conhecimento dos assuntos abordados.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Física > Electromagnetismo Ciências Físicas > Física > Mecânica quântica

Componentes de Avaliação e Ocupação registadas

Obtenção de Frequência

Serão realizados, durante as aulas teórico-práticas ao longo do semestre, três mini-testes sem aviso prévio. A duração de cada mini-teste não será

Disciplina: Física

Código: EIC0014

Cursos: Sigla Anos Curriculares Nº de AlunosLEIC 2º

MIEIC 2º 113

Ano Lectivo: 2006/2007

Período: 1S

Créditos: 6

ECTS: 6

Unidade: Departamento de Física

Horas/Semanas: T: 2 TP: 2 P: 0

Docentes: Francisco José Batista Salzedas André Gomes Coelho Gouveia Joana Cassilda Rodrigues Espain de Oliveira

Richard Fitzpatrick;Electromagnetism and Optics , 1999 (Livro disponível em http://paginas.fe.up.pt/~fsal/EmagOptics.pdf)

Benjamin Crowell;Simple Nature , 2005 . ISBN: 0-9704670-7-9 (Livro disponível em http://fisica.fe.up.pt/eic0014/fisica2.pdf)

Alonso, Marcelo;Física. ISBN: 84-7829-027-3

Feynman, Richard P.;The Feynman lectures on Physics

Nussenzveig, H. Moysés;Curso de física básica. ISBN: 85-212-0134-6 (vol. 3)

Nussenzveig, Herch Moysés;Curso de física básica. ISBN: 85-212-0163-X (vol.4)

Descrição Tipo Tempo (horas) Data de ConclusãoAulas da disciplina (estimativa) Aulas 56

Exame final Teste/Exame 2 2007-02-16

Estudo para além das aulas Estudo 63 2007-01-05

Total: 121

superior a 30min. Cada mini-teste consta da resolução de um problema já resolvido nas aulas teórico-práticas que decorreram até ao miniteste. Só é admitido a exame final quem tiver nota positiva em dois dos três mini-testes. - Exame final: escrito sem consulta, com duração não superior a 2h 30 min. - Consultar também o Artigo 4º das "Normais Gerais de Avaliação da FEUP".

Cálculo da Classificação Final

A classificação final é a nota do exame final.

Avaliação Especial (TE, DA, ...)

- Os alunos que durante o presente ano lectivo possuem estatuto de trabalhador estudante ou militar estão dispensados de frequência. A avaliação desta disciplina para esses alunos será feita apenas por exame final escrito. -Consultar também o Artigo 4º das "Normais Gerais de Avaliação da FEUP".

Melhoria de Classificação Final/Distribuída

- Consultar o Artigo 10º das "Normais Gerais de Avaliação da FEUP".

Observações

-Tempo médio de estudo por semana: 4.5 horas Página gerada em: 2006-11-14 às 11:24:29

Aula 1

Cargas eléctricas e campos eléctricos

Sumário:

- Estrutura da matéria

- Carga induzida

- As equações de Maxwell

- Lei de Coulomb e o Princípio da Sobreposição

- Campo eléctrico

1.1 Estrutura da matéria• A electricidade revolucionou as sociedades a partir do séc. XX, mesmoaquelas que não a usam extensivamente• Manifestações da electricidade já eram conhecidas à já alguns milénios

como por exemplo a capacidade do âmbar (uma resina fossilizada a que osGregos chamavam elektron) após ser friccionado poder atrair objectos leves,como uma pena• Muito mais tarde descobriram-se outros materiais com propriedades

semelhantes bem como novos efeitos, e.g. ao esfregar âmbar com um pedaçode pele com pêlos este adquire "electricidade resinosa"e esfregando vidro comseda este adquire "electricidade vítrea"• Foi observado o facto importante que "electricidades"do mesmo tipo

repeliam-se e de tipo diferente atraíam-se• Foi no séc.XVIII que se desenvolveu o conceito de carga para explicar

o grande número de observações feitas em incontáveis experiências• Concluiu-se que há dois tipos de carga: positiva e negativa• Cargas iguais repelem-se, cargas opostas atraem-se• Igualmente importante foi a observação que ao esfregar dois corpos é

transferida carga dum para o outro mantendo-se a carga total constante i.e.a carga não é criada

3

1.1. ESTRUTURA DA MATÉRIA

• Num sistema fechado a soma de todas as cargas eléctricas mantém-seconstante

• No Séc. XX descobriu-se que a matéria é constituída por átomos e queestes por sua vez eram constituídos por um núcleo em torno do qual giramelectrões, e

• Os electrões têm carga negativa e até à data não se conhece nenhumaestrutura interna ao electrão, ou seja um electrão é uma só partícula

• Descobriu-se que o núcleo têm carga positiva e ainda que este é consti-tuído por outras partículas, chamados protões, p, que têm carga positiva eneutrões, n, que têm carga ZERO

• Descobriu-se ainda também que cada um destes 2 nucleões (protão eneutrão) é constituído por 3 quarks (p = uud, n = udd)

10 m-15

Nucleão

10 m-14

Núcleo

10 m-10

Átomo

• O quark u (up) tem carga eléctrica igual a 2/3 da carga do electrãoe o quark d (down) tem carga eléctrica igual a −1/3, daí que um protão(p = uud) tem carga +1 e um neutrão (n = udd) tem carga 0

• Tal como o electrão crê-se que os quarks não são constituídos por outraspartículas, pois todas as experiências feitas até à data para encontrar essaestrutura não o conseguiram fazer.

• Com estas 3 partículas elementares (electrão, quarks u e d) podemformar-se 116 átomos, normalmente ordenados na familiar tabela periódica.

4

1.1. ESTRUTURA DA MATÉRIA

Solids

ArtificiallyPrepared

LiquidsGases

58CeCerium

140.116

5.5387

°

AtomicNumber

Symbol

Name

Ground-stateConfiguration

Ground-stateLevel

IonizationEnergy (eV)

†Based upon 12C. () indicates the mass number of the most stable isotope.

AtomicWeight†

P E R I O D I C T A B L E

Atomic Properties of the Elements

29CuCopper63.546

7.7264

11NaSodium

22.989770

5.1391

12Mg

Magnesium24.3050

7.6462

13Al

Aluminum26.981538

5.9858

14SiSilicon

28.0855

8.1517

15P

Phosphorus30.973761

10.4867

16S

Sulfur32.065

10.3600

17Cl

Chlorine35.453

12.9676

18ArArgon39.948

15.7596

1 2S1/2

HHydrogen1.00794

13.5984

4BeBeryllium9.012182

9.3227

37RbRubidium85.4678

4.1771

55CsCesium

132.90545

3.8939

42Mo

Molybdenum95.94

7.0924

41NbNiobium

92.90638

6.7589

86RnRadon(222)

10.7485

74W

Tungsten183.84

7.8640

43Tc

Technetium(98)

7.28

75ReRhenium186.207

7.8335

44Ru

Ruthenium101.07

7.3605

76OsOsmium190.23

8.4382

45RhRhodium

102.90550

7.4589

77Ir

Iridium192.217

8.9670

46Pd

Palladium106.42

8.3369

78Pt

Platinum195.078

8.9588

47Ag

Silver107.8682

7.5762

79Au

Gold196.96655

9.2255

48Cd

Cadmium112.411

8.9938

80HgMercury200.59

10.4375

60Nd

Neodymium144.24

5.5250

62SmSamarium

150.36

5.6437

63Eu

Europium151.964

5.6704

64Gd

Gadolinium157.25

6.1498

65TbTerbium

158.92534

5.8638

61Pm

Promethium(145)

5.582

66Dy

Dysprosium162.500

5.9389

67HoHolmium

164.93032

6.0215

68ErErbium167.259

6.1077

69TmThulium

168.93421

6.1843

49InIndium

114.818

5.7864

50Sn

Tin118.710

7.3439

51Sb

Antimony121.760

8.6084

52Te

Tellurium127.60

9.0096

53I

Iodine126.90447

10.4513

81Tl

Thallium204.3833

6.1082

82Pb

Lead207.2

7.4167

83Bi

Bismuth208.98038

7.2855

84Po

Polonium(209)

8.414

85At

Astatine(210)

58CeCerium140.116

5.5387

59Pr

Praseodymium140.90765

5.473

70Yb

Ytterbium173.04

6.2542

90ThThorium

232.0381

6.3067

92U

Uranium238.02891

6.1941

93Np

Neptunium(237)

6.2657

94Pu

Plutonium(244)

6.0260

95AmAmericium

(243)

5.9738

96Cm

Curium(247)

5.9914

91Pa

Protactinium231.03588

5.89

97Bk

Berkelium(247)

6.1979

98Cf

Californium(251)

6.2817

99Es

Einsteinium(252)

6.42

100FmFermium

(257)

6.50

101Md

Mendelevium(258)

6.58

102NoNobelium

(259)

6.65

° ° °

° °

° °

°

°

° ° ° ° ° ° °

?°

°

°

° °

° °

° ° ° °°

105 107 106 108 109 111 110 112DbDubnium

(262)

SgSeaborgium

(266)

HsHassium

(277)

BhBohrium

(264)

MtMeitnerium

(268)

UunUnunnilium

(281)

UuuUnununium

(272)

°

1s

114 116

3

1s22s

LiLithium6.941

5.3917

10Ne

Neon20.1797

21.5645

2HeHelium

4.002602

24.5874

9O

Oxygen15.9994

13.6181

8F

Fluorine18.9984032

17.4228

7N

Nitrogen14.0067

14.5341

6C

Carbon12.0107

11.2603

5B

Boron10.811

8.2980

57La

Lanthanum138.9055

5.5769

89AcActinium

(227)

5.17

71LuLutetium174.967

5.4259

103Lr

Lawrencium(262)

4.9 ?

87Fr

Francium(223)

4.0727

88RaRadium(226)

5.2784

104 ?

RfRutherfordium

(261)

6.0 ?

72Hf

Hafnium178.49

6.8251

40Zr

Zirconium91.224

6.6339

39Y

Yttrium88.90585

6.2173

38Sr

Strontium87.62

5.6949

56BaBarium

137.327

5.2117

73Ta

Tantalum180.9479

7.5496

54XeXenon

131.293

12.1298

19K

Potassium39.0983

4.3407

20CaCalcium40.078

6.1132

21Sc

Scandium44.955910

6.5615

22Ti

Titanium47.867

6.8281

30Zn

Zinc65.409

9.3942

31GaGallium69.723

5.9993

32Ge

Germanium72.64

7.8994

33AsArsenic

74.92160

9.7886

34Se

Selenium78.96

9.7524

35Br

Bromine79.904

11.8138

36KrKrypton83.798

13.9996

23V

Vanadium50.9415

6.7462

24Cr

Chromium51.9961

6.7665

25Mn

Manganese54.938049

7.4340

26Fe

Iron55.845

7.9024

27CoCobalt

58.933200

7.8810

28NiNickel

58.6934

7.6398

UubUnunbium

(285)

UuqUnunquadium

(289)

UuhUnunhexium

(292)

NIST SP 966 (September 2003)

Perio

d

1

6

5

4

3

2

7

For a description of the data, visit physics.nist.gov/data

2S1/2

1s22s2

2S1/2

2S1/2

[Ne]3s2

1S0

[Ne]3s

1S0

1S0

2S1/21S0

2S1/21S0

2S1/21S0

[Ar]4s2[Ar]4s

[Kr]5s2[Kr]5s

[Xe]6s2[Xe]6s

[Rn]7s2[Rn]7s

1G4

[Xe]4f5d6s2

2D3/23F2

2D3/23F2

3F2

3F2

[Ar]3d4s2 [Ar]3d24s2

[Kr]4d5s2 [Kr]4d25s2

[Xe]4f145d26s2

[Rn]5f146d27s2?

4F3/27S3

6D1/27S3

4F3/25D0

[Xe]4f145d36s2 [Xe]4f145d46s2

[Kr]4d45s [Kr]4d55s

[Ar]3d34s2 [Ar]3d54s

6S5/25D4

[Ar]3d54s2 [Ar]3d64s2

6S5/2

6S5/2

[Xe]4f145d56s2

[Kr]4d55s2

4F9/2

[Ar]3d74s2

4F9/2

[Kr]4d85s

3F42S1/2

5F5

[Kr]4d75s

5D4

[Xe]4f145d66s2

4F9/2

[Xe]4f145d76s2

2S1/2

[Kr]4d105s

1S0

[Kr]4d10

3D3

[Xe]4f145d96s

2S1/2

[Xe]4f145d106s

1S02P1/2

1S0

[Kr]4d105s2 [Kr]4d105s25p

[Xe]4f145d106s2

1S0

[Hg]6p

2P1/2

1s22s22p

1S0

1s2

3P0

1s22s22p2

4S3/2

1s22s22p3

3P2

1s22s22p4

2P3/2

1s22s22p5

1S0

1s22s22p6

2P1/23P0

4S3/23P2

2P3/21S0

3P04S3/2

3P22P3/2

1S0

2P1/23P0

4S3/23P2

2P3/21S0

2P1/23P0

4S3/23P2

2P3/21S0

[Ar]3d104s24p[Ar]3d104s2[Ar]3d84s2 [Ar]3d104s [Ar]3d104s24p2

[Kr]4d105s25p2

[Ar]3d104s24p3

[Kr]4d105s25p3

[Ar]3d104s24p4

[Kr]4d105s25p4

[Ar]3d104s24p5

[Kr]4d105s25p5

[Ar]3d104s24p6

[Kr]4d105s25p6

[Hg]6p2 [Hg]6p3 [Hg]6p4 [Hg]6p5 [Hg]6p6

2D3/2

[Xe]4f145d6s2

1S0

[Xe]4f146s2

[Ne]3s23p [Ne]3s23p2 [Ne]3s23p3 [Ne]3s23p4 [Ne]3s23p5 [Ne]3s23p6

[Xe]4f136s2[Xe]4f126s2[Xe]4f116s2[Xe]4f106s2[Xe]4f96s2[Xe]4f75d6s2[Xe]4f76s2[Xe]4f66s2[Xe]4f56s2[Xe]4f46s2[Xe]4f36s2[Xe]4f5d6s2[Xe]5d6s2

[Rn]5f147s27p?[Rn]5f147s2[Rn]5f137s2[Rn]5f127s2[Rn]5f117s2[Rn]5f107s2[Rn]5f97s2[Rn]5f76d7s2[Rn]5f77s2[Rn]5f67s2[Rn]5f46d7s2[Rn]5f36d7s2[Rn]5f26d7s2[Rn]6d27s2[Rn]6d7s2

2D3/21G4

2D3/23F2

4I9/25I4

5I84I15/2

°4I15/25I8

6H5/27F0

8S7/29D2

6H15/22F7/2

3H6

2P1/21S0

2F7/23H6

9D26H15/2

7F08S7/2

6L11/25L6

4K11/2

Lant

hani

des

Act

inid

es

Group1IA

2IIA

3IIIB

4IVB

5VB

6VIB

7VIIB

9VIII

8 10 11IB

12IIB

13IIIA

14IVA

Standard ReferenceData Groupwww.nist.gov/srd

PhysicsLaboratoryphysics.nist.gov

15VA

16VIA

17VIIA

18VIIIA

Frequently used fundamental physical constants

1 second = 9 192 631 770 periods of radiation corresponding to the transition

speed of light in vacuum 299 792 458 m s−1

Planck constant 6.6261 × 10−34 J s elementary chargeelectron mass

proton massfine-structure constant 1/137.036Rydberg constant 10 973 732 m−1

Boltzmann constant 1.3807 × 10−23 J K −1

cheme

k

For the most accurate values of these and other constants, visit physics.nist.gov/constants

between the two hyperfine levels of the ground state of 133Cs (exact)

0.5110 MeV

13.6057 eV

RR cR hc

( /2 )

mec2

mp

1.6022 × 10−19 C 9.1094 × 10−31 kg

1.6726 × 10−27 kg

3.289 842 × 1015 Hz

• Os átomos mais pesados são instáveis e têm um tempo de vida curto,partindo-se em átomos mais pequenos em processos radioactivos.• No nosso planeta as abundâncias dos átomos não são iguais.

1 0-7

1 0-5

1 0-3

1 0-1

1 01

1 03

1 05

0 2 0 4 0 6 0 8 0 100

Ab

un

dân

cias

na

Cro

sta

Ter

rest

re(P

arte

s p

or

milh

ão)

Número Atómico

NeKr Xe Ir Ra

Elementos Terras-Raras

He

O

H

Fe

Au

Ag

Si Ca

• Os átomos por sua vez agrupam-se em moléculas ou sólidos dos mais

5

1.2. CONDUTORES E ISOLADORES

variados e exuberantes tipos, constituindo uma parte importante da Na-tureza, incluindo nós próprios.•Os electrões que ocupam a parte mais externa do átomo podem transitar

com mais ou menos facilidade para outros átomos, dependendo do tipo deátomos em questão.• Ao esfregar uma barra de vidro com seda alguns electrões transitam do

vidro para a seda, deixando o vidro com carga positiva e a seda com umacarga igual mas negativa.• Em circunstâncias normais a matéria é electricamente neutra,

Nelectroes = Nprotoes

.

1.2 Condutores e isoladores• Materiais que permitem a passagem de cargas eléctricas são chamadoscondutores eléctricos e por oposição os materiais que não o permitem sãoisoladores eléctricos.• Todos os metais (Cobre, Ouro, Prata, Platina, Mercúrio, etc.) são

condutores pois pelo menos um electrão por átomo é livre de se mover pelometal.• Toda a matéria onde os electrões estão fortemente ligados aos átomos

são isoladores (gases, o vidro, a borracha, Carbono, Silício, Quartzo, etc.).

1.3 Electrómetros• A carga eléctrica é media com um aparelho chamado electrómetro (verfigura).

• Ao depositar cargas eléctricas na esfera estas distribuem-se pelo instru-mento provocando uma repulsão entre a folha de Ouro e a placa de metalque leva a uma deflexão da leve folha de Ouro, sendo a deflexão proporcionalà carga depositada

6

1.4. CARGA INDUZIDA

• Electrómetros modernos, muito sensíveis, são construídos a partir deFET (Transístores de Efeito de Campo)• A unidade do Sistema Internacional (S.I) para a carga eléctrica é o

coulomb (C) ver. http://www.bipm.org• A carga de 1 electrão são 1.602× 10−19 C• 1 coulomb é uma quantidade de carga muito grande

1.4 Carga induzida

• É possível medir o sinal da carga em excesso num objecto?• Aproximando (SEM TOCAR) um objecto carregado electroestatica-

mente dum electrómetro também já carregado, se as cargas forem do mesmosinal a deflexão da folha de ouro aumenta, ou diminui se forem de sinal oposto• O electrómetro consegue assim medir o sinal relativo da carga sem

alterar a quantidade de carga• Repetindo o procedimento anterior mas com o electrómetro descar-

regado, observa-se igualmente a deflexão da folha de Ouro, permitindo assima detecção de objectos carregados na vizinhança do electrómetro

O que acontece se aproximarmos uma barra, carregada negativa-mente, a um electrómetro descarregado e em contacto eléctrico comum grande condutor externo também descarregado e em seguida in-terrompermos o contacto eléctrico?

Os electrões em excesso na barra, repelem os electrões livres no electrómetro.Estes electrões repelidos vão afastar-se o mais possível da barra, passando tam-bém para o grande condutor externo. Ao interromper o contacto eléctrico oelectrómetro perde os electrões que passaram para o grande condutor externo.O electrómetro ganha assim um excesso de carga positiva de módulo exactamenteigual à carga negativa (os electrões livres) que passou para o grande condutorexterno.O electrómetro foi carregado por indução. Por um mecanismo análogo um serhumano pode ser carregado electrostaticamente ao levantar-se dum sofá, ou aoandar sobre uma alcatifa. O resultado são aqueles desagradáveis choques eléc-tricos que todos já sentimos uma vez ou outra, quando cumprimentamos alguémou tocamos num puxador metálico duma porta.• A Terra é um grande e razoável bom condutor e portanto ligando um

electrómetro à Terra este pode ser carregado por indução se estiver na viz-inhança de um objecto carregado

O que acontece se aproximarmos uma barra carregada negativa-

7

1.5. AS EQUAÇÕES DE MAXWELL

mente dum isolador?

Os electrões da barra repelem os electrões do isolador. No entanto como estesúltimos não são livres e simplesmente giram em torno dos núcleos dos átomos oque vai acontecer é que as suas órbitas vão ficar levemente distorcidas, afastando-se da barra.Diz-se que os átomos ficam polarizados. Deste modo os núcleos positivos ficamligeiramente mais próximos da barra e se o isolador for leve, e.g. um pedaço depapel a força atractiva entre os núcleos e a barra é suficiente para levantar opapel.Este é o mecanismo que gera a acumulação de pó no vidro dos monitores CTR,ou que permite a remoção electrostática de pequenos pelos de certos tipos deroupa.

1.5 As equações de Maxwell• A evolução no tempo e no espaço (vazio) do campo electromagnético édescrita pelas seguintes 4 equações:

∇ ·E =ρ

ε0(1.1)

∇ ·B = 0 (1.2)

∇×E = −∂B∂t

(1.3)

∇×B = µ0j + µ0ε0∂E

∂t(1.4)

• Estas são as equações de Maxwell ondet é o tempoE é o campo eléctricoB é o campo magnéticoρ é o número de cargas eléctricas que estão num volume unitárioj é o número de cargas eléctricas que atravessam uma secção unitária numaunidade de tempoµ0 e ε0 são constantes universais• Nas aulas que se seguem vamos estudar estas equações e vamos usá-las

para compreender algumas das suas vastas aplicações• Iniciaremos o estudo pelo caso mais simples em que nada depende do

tempo, o caso estático. Neste caso as equações reduzem-se a:Electrostática:

∇ ·E =ρ

ε0(1.5)

∇×E = 0 (1.6)

8

1.6. LEI DE COULOMB E O PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO

Magnetostática:

∇ ·B = 0 (1.7)∇×B = µ0j (1.8)

• No caso estático E e B não dependem um do outro, são independentes.Só quando existem variações significativas no tempo de cargas ou correntesE depende de B e vice versa.

1.6 Lei de Coulomb e o Princípio da Sobreposição• As primeiras medidas precisas da força entre duas cargas foram realizadaspor Charles-Augustin de Coulomb em 1788, usando uma balança de torção• Coulomb concluiu que a força eléctrica entre duas cargas (Q1 e

Q2) em repouso é directamente proporcional ao produto das cargase inversamente proporcional ao quadrado da distância (r) entre ascargas, ou na forma algébrica:

F =1

4πε0

Q1Q2

r2r (1.9)

• Esta lei universal é conhecida pela lei de Coulomb• Como qualquer força também a força eléctrica é um vector, que actua na

direcção do vector posição das duas cargas indicada aqui pelo vector unitárior• A constante universal ε0 = 8.854 × 10−12C2N−1m−2 é chamada permi-

tividade eléctrica do vazio (ou também constante dieléctrica do vazio comoveremos quando estudarmos os dieléctricos)• Por vezes a lei de Coulomb surge na forma:

F = keQ1Q2

r2r (1.10)

onde ke = 1/(4πε0) = 8.988× 109C−2Nm2

• A força eléctrica que a carga Q1 exerce na carga Q2 tem o mesmomódulo, a mesma direcção mas sentido oposto à força que Q2 exerce em Q1

F 12 = −F 21 (1.11)

Se além da carga Q1 e da carga Q2 houver uma terceira cargaQ3, qual é a força total que actua em Q1?

9

1.6. LEI DE COULOMB E O PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO

A força F21 não é afectada pela força F31 que a carga Q3 exerce na cargaQ1, logo a força total é a soma VECTORIAL destas duas forças:

F 1 = F 21 + F 31

• Caso haja N cargas a força total que actua em Q1 é soma vectorial detodas as forças

F 1 =N∑

i=2

F i1 (1.12)

este é o chamado Princípio da Sobreposição.

Sabe-se que a densidade do Cobre é ρ = 8920kgm−3. Cadaátomo de Cobre tem Z = 29 electrões e uma massa de ACobre×u =1.05× 10−25kg. Considere duas esferas de Cobre, cada com um vo-lume de 1dm3. Se o número de electrões em cada uma das esferasaumentar em 1%, qual a força que tem de se aplicar para manter asesferas afastadas de 10cm?

Como as esferas são iguais basta calcular a carga numa das esferas, que é iguala 1% do número de electrões numa esfera, Nel, vezes a carga de um electrão.

Nel = Nátomos × Z= ρ

A×u× Volume× Z

= 8920×10−3×291.05×10−25 = 1.48× 1027.

Então a carga eléctrica da esfera é igual a,

Q =1

100Nel × 1.6× 10−19 = 2.36× 106C,

logo pela lei de Coulomb,

F = 14πε0

Q2

r2

= 14πε0

(2.36×106)2

0.12

= 5.02× 1024N ≈ 0.5× 1024kgf.

Refira-se que para comparação a massa da Terra é cerca de 6 × 1024kg, i.e.se uma esfera estivesse pousada na Terra, para manter a outra 10cm por cimaseria necessário colocar uma massa equivalente a outra Terra por cima da esferasuperior.

10

1.7. CAMPO ELÉCTRICO

1.7 Campo eléctrico• A força eléctrica F12 depende sempre da magnitude das duas cargas Q1 eQ2

• Dividindo F12 por Q2 obtemos uma grandeza que é independente dacarga Q2 e que mantém a mesma direcção de F12

E1 =F 12

Q2

=1

4πε0

Q1

r2r (1.13)

• À nova grandeza E1 chamamos o campo eléctrico criado pela carga Q1

num ponto do espaço à distância r de Q1 na direcção de r• O campo eléctrico é assim uma força por unidade de carga, como tal é

expresso em newtons por coulomb, N/C• Uma carga pontual produz um campo eléctrico radial que aponta para

fora da carga se esta é positiva (Fig. a) e para dentro se esta é negativa (Fig.b)

+ −

a b

• Assim uma carga Q2 no campo E1 produzido por uma carga Q1 senteuma força electrostática,

F 12 = Q2E1. (1.14)

• Desta expressão conclui-se naturalmente que o campo total criado porN cargas é a soma vectorial dos campos individuais de cada uma das cargas,em acordo com o princípio da sobreposição,

E =N∑

i=1

Ei. (1.15)

11

1.7. CAMPO ELÉCTRICO

12

Aula 2

Sumário:

- Linhas de campo

- Lei de Gauss

- Campo eléctrico dentro de um condutor

- Localização da carga dentro de um condutor

- Condutor com uma cavidade

- Campo eléctrico num condutor com uma cavidade

- Teorema de Gauss

2.1 Linhas de campo• Um campo eléctrico é uma função tridimensional e contínua no espaço• Para melhor visualizar um campo com estas características é costume

representar apenas um conjunto de linhas com setas, chamadas linhas decampo, segundo as seguintes regras:

- Em qualquer ponto a direcção do campo eléctrico é tangente à linha decampo e o sentido é o indicado pelas setas.

- A magnitude do campo eléctrico é proporcional ao número de linhasde campo que atravessam uma secção unitária perpendicular às linhas.

• Resumindo o campo aponta na direcção das setas e é intenso onde aslinhas estão muito juntas e fraco onde estão muito afastadas

13

2.1. LINHAS DE CAMPO

-+

a b

• Deste modo as linhas do campo eléctrico criado por uma carga pontualpositiva formam um conjunto de linhas radiais, igualmente separadas pelomesmo ângulo sólido, que divergem da carga (Fig. a), enquanto que as linhasde campo convergem numa carga pontual negativa (Fig. b)• Em ambos estes casos o número de linhas de campo por unidade de

superfície perpendicular às linhas ( qual a forma desta superfície?) decrescecom 1/r2 pois o número de linhas é fixo mas a área da superfície é 4πr2 ouseja cresce com r2

• Então, como esperado, a intensidade do campo eléctrico diminui como inverso do quadrado da distância à carga, 1/r2, respeitando-se a lei deCoulomb• Resulta da definição que as linhas de campo eléctrico:

- Começam em cargas positivas e terminam em cargas negativas.

- No espaço vazio entre as cargas, são contínuas (o campo existe em todoo espaço).

- Nunca se cruzam (o campo eléctrico só pode ter um valor em cadaponto do espaço).

- Se as linhas de campo se tocam então o campo nesse ponto é nulo.

• As representações tridimensionais anteriores de campos eléctricos cri-ados por cargas pontuais são em geral difíceis de visualizar como tal sãocomuns representações bidimensionais das linhas de campo

14

2.2. LEI DE GAUSS

+

2.2 Lei de Gauss• Em 1835 Karl Gauss desenvolveu uma das mais úteis ferramentas em elec-trostática, que hoje é conhecida pela lei de Gauss,∫

qualquersuperfície S

fechada

En dS =soma das cargas interiores a S

ε0(2.1)

ou ∮S

E · n dS =Qint

ε0(2.2)

onde En é a componente do campo eléctrico perpendicular ao elemento desuperfície dS e Qint é a carga total que se encontra dentro da superfície S

Qint =∑

interior de S

qi (2.3)

• Se a posição das cargas for descrita em termos de uma densidade decarga ρ então cada volume elementar dV contem a carga ρdV e assim,

Qint =

∫volume

interior de S

ρ dV (2.4)

• A superfície fechada S chama-se superfície gaussiana

15

2.2. LEI DE GAUSS

• O integral∮

SE · n dS representa o fluxo de E através de S e é comum

representar o fluxo pela letra Φ• Usaremos a convenção que o fluxo é positivo se o campo eléctrico aponta

para fora da superfície gaussiana e negativo se aponta para dentro.• Assim uma forma mais compacta de escrever a lei de Gauss é

ΦE =Qint

ε0(2.5)

O fluxo eléctrico através duma qualquer superfície fechada, é igualà carga total envolvida pela superfície dividida, por ε0

Calcular, usando a lei de Gauss, o módulo do campo eléctrico cri-ado por uma carga pontual Q1 num ponto P a uma distância r de Q1

Já vimos anteriormente qual é o campo E criado por Q1 (ver 1.13). E éesfericamente simétrico. Considerando uma superfície gaussiana esférica, de raior e centrada no ponto onde está Q1, podemos tirar partido da simetria, tambémesférica de E (ver figura).

Superfíciegaussiana esférica de raio r

n^

Assim,

ΦE =

∮S

E · n dS

e como E é perpendicular a S para qualquer ponto então

ΦE =

∮S

E dS,

16

2.2. LEI DE GAUSS

como E é o mesmo em qualquer ponto de S vem,

ΦE = E

∮S

dS.

Ora o integral∮S

dS = 4πr2 pois é simplesmente a área da superfície duma esfera,

então usando a lei de Gauss, o fluxo é dado por,

ΦE = E4πr2 =Q1

ε0

e finalmente o módulo do campo eléctrico é dado por,

E =Q1

4πε0r2

de acordo com a eq.1.13.Note-se só foi calculado o módulo do vector E. A direcção (perpendicular a S)e sentido (paralelo a n) foram deduzidos da simetria da carga.

• A lei de Gauss é válida para qualquer superfície gaussiana, no entantoé uma ferramenta muito poderosa a simplificar o trabalho de cálculo quandoa superfície gaussiana tem a mesma simetria do campo

Verificar a validade da lei de Gauss no problema anterior, con-siderando uma superfície gaussiana cúbica, centrada no ponto ondeestá Q1 e com arestas de comprimento 2.

Este exercício mostra como o cálculo se torna muito mais complexo, só pelaescolha duma superfície gaussiana inapropriada. Repare-se que ΦE é a soma dosfluxos que atravessam cada um dos 6 lados da superfície gaussiana e que estessão iguais entre si (ver figura),

17

2.2. LEI DE GAUSS

+

z

x

y

n1^

S2S5

S1

Superfíciegaussiana cúbica

ΦE =∮S

E · n dS

=∫S1

E · n1 dS1 +∫S2

E · n2 dS2 +∫S3

E · n3 dS3

+∫S4

E · n4 dS4 +∫S5

E · n5 dS5 +∫S6

E · n6 dS6

= 6∫S1

E · n1 dS1.

Usemos um referencial cartesiano (x, y, z) cuja origem coincide com a carga Q1.Sem perda de generalidade podemos escolher n1 = k. Como vimos

E =Q1

4πε0

r

r2

e como r = r/r podemos escrever

E =Q1

4πε0

r

r3.

r = x ı + y + z1 k é o vector posição de qualquer ponto na superfície S1 (ondequeremos calcular o campo) então r3 = (x2 + y2 + z2

1)3/2 temos que

E · n1 =Q1

4πε0r3r · n1 =

Q1z1

4πε0(x2 + y2 + z21)

3/2,

sendo dS = dxdy podemos então iniciar o cálculo do fluxo de E através dasuperfície S1,

Φ1 =

∫S1

E · n1 dS1 =

x1∫−x1

y1∫−y1

Q1z1

4πε0(x2 + y2 + z21)

3/2dxdy.

18

2.3. CAMPO DENTRO DE UM CONDUTOR

A superfície cúbica está centrada na origem e o comprimento da aresta é 2, logox1 = y1 = z1 = 1. Passando as constantes para fora do integral vem,

Φ1 =Q1

4πε0

1∫−1

1∫−1

1

(x2 + y2 + 1)3/2dxdy,

como

1∫−1

1

(x2 + y2 + 1)3/2dx =

2

(1 + y2)√

2 + y2,

vem

Φ1 =2Q1

4πε0

1∫−1

1

(1 + y2)√

2 + y2dy.

O integral∫1

(1 + y2)√

2 + y2dy = arctan(

y√2 + y2

),

logo

Φ1 =2Q1

4πε0

(arctan(

1√3)− arctan(

1√3)

)=

2Q1

4πε0

(π

6− −π

6

)=Q1

6ε0.

Finalmente podemos calcular então o fluxo total,

ΦE = 6Φ1 =Q1

ε0,

em perfeito acordo com a lei de Gauss.

2.3 Campo dentro de um condutor• Na presença dum campo eléctrico externo os electrões livres existentes emqualquer condutor deslocam-se até que o campo eléctrico criado dentro docondutor cancele totalmente o campo externo.• As regiões do condutor com excesso de electrões ficam carregadas neg-

ativamente.• As regiões do condutor com defeito de electrões ficam carregadas posi-

tivamente.

19

2.4. LOCALIZAÇÃO DA CARGA DENTRO DE UM CONDUTOR

• Portanto numa situação electrostática o campo dentro dumcondutor é exactamente NULO.

+

+

+

++

--

--

-

Eexterno

Einduzido

2.4 Localização da carga dentro de um condutor• Carregando negativamente (ou positivamente) um condutor onde vão ascargas encontrar as suas posições de equilíbrio?• Já vimos que, numa situação electrostática, o campo eléctrico dentro

de um condutor é sempre zero.• Podemos então afirmar com segurança que o fluxo de E através de

qualquer superficie gaussiana interior ao condutor é zero.• Assim sendo a lei de Gauss impõe que a carga no interior da superfície

gaussiana seja zero.• Não podendo existir cargas no interior dum condutor, em regime elec-

trostático, o único local possível que resta é a superfície do condutor.• Então qualquer carga adicionada a um condutor desloca-se para

a superfície do condutor e aí permanece.

2.5 Condutor com uma cavidade• Considere-se que um condutor com uma cavidade é colocado numa regiãoonde existe um campo eléctrico.• Pelas razões já apresentadas dentro do condutor E = 0. Então o fluxo

através de qualquer superficíe gaussiana dentro do condutor e que envolva acavidade tem de ser zero.• Então a lei de Gauss garante que não há cargas na superfície da cavi-

dade, logo o E no seu interior também será zero.

+

+

+

++

--

--

-

Eexterno

E = 0

• Este resultado tem aplicações tecnológicas muito úteis pois indica queum condutor oco cria uma blindagem eléctrica no seu interior.

20

2.6. TEOREMA DE GAUSS

2.6 Teorema de Gauss• O teorema de Gauss diz que para uma superfície fechada S que envolve umvolume v o fluxo dum campo vectorial A através de S é dado por,∮

S

A · dS =

∫v

∇ ·Adv (2.6)

onde ∇ · A é a divergência de A, que em coordenadas cartesianas toma aforma,

∇ ·A =(

∂∂x

ı + ∂∂y

+ ∂∂z

k)· (Ax ı + Ay + Az k)

=(

∂Ax

∂x+ ∂Ay

∂y+ ∂Az

∂z

) (2.7)

• Segundo a lei de Gauss, o fluxo através duma superfície fechada S, docampo eléctrico E gerado por uma distribuição volumétrica de cargas dedensidade ρ é,∮

S

E · dS =1

ε0

∫v

ρdv (2.8)

• Aplicando o teorema de Gauss ao campo E temos,∮S

E · dS =

∫v

∇ ·Edv (2.9)

• Então do teorema de Gauss e da lei de Gauss conclui-se que,∫v

∇ ·Edv =1

ε0

∫v

ρdv (2.10)

então

∇ ·E =ρ

ε0(2.11)

esta equação é a primeira das equações de Maxwell indicadas na primeiraaula (1.1 ou 1.5)

21

2.6. TEOREMA DE GAUSS

22

Aula 3

Energia potencial eléctrica e potencial eléctrico

Sumário:

- Energia potencial eléctrica

- Teorema de Stokes

- Potencial eléctrico

- A relação entre o campo eléctrico e o potencial

- Potencial eléctrico duma carga pontual

3.1 Energia potencial eléctrica• Qual o trabalho necessário para deslocar muito lentamente por uma dis-tância ∆r em linha recta, uma carga q sujeita a um campo E constante?• O trabalho realizado para vencer a força electrostática (F = qE) é dado

por,

w = −F ·∆r = −Fδr cos θ (3.1)

onde θ é o ângulo entre ∆r e E.• Se o deslocamento for por um percurso qualquer entre dois pontos A e B

num campo E não uniforme então o trabalho é a soma do trabalho realizadonos vários percursos elementares dr efectuados entre A e B e é dado peloseguinte integral de percurso,

w = −B∫

A

F · dr = −B∫

A

qE · dr (3.2)

•Movendo uma carga positiva no sentido de E o trabalho realizado é negativo(a carga ganha energia) se o movimento for no sentido oposto a E o trabalhoé positivo (perde energia).

23

3.1. ENERGIA POTENCIAL ELÉCTRICA

• À energia que uma carga adquire em função da sua posição num campoelectrostático E chama-se energia potencial eléctrica Ep.• Então ao deslocar q num campo E, entre dois pontos A e B, a energia

potencial eléctrica de q sofre uma variação de W Joules, i.e.:

W = −B∫

A

qE · dr = Ep(B)− Ep(A) (3.3)

• Calculemos o trabalho quando q se move no campo duma carga pontualQ1 (ver 1.13),

W = −B∫

A

qE · dr

= −B∫

A

q1

4πε0

Q1

r2r · dr

= − qQ1

4πε0

B∫A

1

r2dr

= − qQ1

4πε0

(−1

rB

− −1

rA

)= Ep(B)− Ep(A) (3.4)

• É claro do resultado anterior que se q descrever uma trajectória fechada,partindo de A e regressando a A então o trabalho realizado nesse percurso ézero i.e.,

W = −∮qE · dr

= qQ1

4πε0

(1

rA− 1

rA

)= 0

• Se o campo E for o resultante de uma distribuição arbitrária de cargas pon-tuais então pelo principio da sobreposição o integral de percurso correspon-dente a cada uma dessas cargas pontuais é zero, logo para uma distribuiçãoarbitrária de cargas,∮

E · dr = 0 (3.5)

• Se α e β forem dois percursos diferentes entre A e B, deslocando a cargaq por α desde A até B e regressando ao ponto A por β o trabalho realizado

24

3.2. TEOREMA DE STOKES

é zero. Como α e β podem ser quaisquer, então o trabalho entre A e B éindependente do caminho seguido e só depende exclusivamente do ponto departida e de chegada.• Resumindo:

- O trabalho realizado por uma carga que descreve um percursofechado num campo eléctrico criado por cargas fixas, é zero.

- O trabalho realizado por uma carga que descreve um percursoentre dois pontos num campo eléctrico criado por cargas fixas,é independente do caminho seguido entre esses dois pontos.

• Sendo W independente do percurso também o é a variação de energia po-tencial eléctrica (W = EP (B)−EP (A)), repare-se no entanto que quer EP (A)quer EP (B) estão definidas a menos de uma constante, pois se somarmos umamesma constante à energia potencial nos dois pontos a diferença continua aser W .

3.2 Teorema de Stokes• O teorema de Stokes (também conhecido por teorema da circulação) dizque o integral de percurso dum campo vectorial A ao longo dum caminhofechado C que delimita uma superfície de área S é dado por,∮

C

A · dr =

∫S

(∇×A) · dS (3.6)

onde ∇ × A é o rotacional de A, que em coordenadas cartesianas toma aforma,

∇×A =

∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣=

(∂Az

∂y− ∂Ay

∂z

)ı +

(∂Ax

∂z− ∂Az

∂x

) +

(∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

)k

(3.7)

• Vimos atrás (Eq. 3.5) que o integral de percurso de E por um caminhofechado é zero. Este resultado conjugado com o teorema de Stokes implicaque, ∫

S

(∇×E) · dS = 0, (3.8)

como a superfície S pode ser qualquer, desde que seja delimitada por C entãoeste integral só é zero se

∇×E = 0 (3.9)

25

3.3. POTENCIAL ELÉCTRICO

esta equação é outra das equações de Maxwell indicadas na primeira aula(1.6)• Um campo eléctrico que satisfaz esta equação, i.e. cujo integral de

percurso é independente do caminho seguido, diz-se um campo conservativo.Chama-se a atenção que só campos eléctricos estáticos são conservativos. Se ocampo variar no tempo então a eq. de Maxwell (1.3) diz que o rotacional nãoé zero, logo o integral de percurso do campo depende do caminho seguido.

3.3 Potencial eléctrico• Além da dependência da posição a variação da energia potencial eléctricaduma carga q também depende do valor de q (ver 3.4).• Dividindo a energia potencial eléctrica por q obtém-se uma quantidade

chamada de potencial eléctrico que denominaremos por V , que só dependedo campo E e das posições onde o potencial é calculado.• Então:

V (B)− V (A) =W

q(3.10)

onde V (A) e V (B) designam o potencial eléctrico em A e B respectivamente• Tal como a energia potencial também o potencial num ponto está

definido a menos de uma constante. Atribuindo um valor arbitrário ao po-tencial num ponto definimos completamente o potencial em todos os outrospontos do campo.• Por exemplo definindo V (A) = 0 então EP (B) = qV (B).• Quer o trabalho quer a energia potencial têm dimensões de energia,

logo as unidades do potencial eléctrico são joules por coulomb (JC−1) maisconhecido por volt i.e.

1V ≡ 1JC−1 (3.11)

• Por exemplo, uma bateria de 12V gera uma diferença de potencial eléctricoentre os seus terminais de 12V ou de 12J/C, o que implica que para moveruma carga de +1C do terminal negativo para o positivo é necessário realizarum trabalho de 12J contra o campo eléctrico.• Se um electrão (q = −1.6×10−19C) for deslocado através duma diferença

de potencial de −1V é necessário gastar 1.6×10−19 joules. A esta quantidadede energia chama-se um electrãovolt (eV),

1eV ≡ 1.6× 10−19J (3.12)

26

3.4. POTENCIAL ELÉCTRICO E O CAMPO ELÉCTRICO

3.4 Potencial eléctrico e o campo eléctrico• Voltemos à carga q que se desloca entre dois pontos considerando agoraque estes pontos se situam no eixo X, distando entre si de apenas ∆x.• Podemos então escrever que,

W = −qE∆x cos θ = −qEx∆x, (3.13)

por outro lado também sabemos que,

∆EP = q∆V (3.14)

• Como W = ∆EP vem que q∆V = −qEx∆x ou que,

Ex = −∆V

∆x(3.15)

• Se o deslocamento em x for um deslocamento infinitesimal dx então acomponente x de E escreve-se simplesmente,

Ex = −∂V∂x

(3.16)

• A quantidade ∂V∂x

é o chamado gradiente do potencial eléctrico na direcçãode x. Se o gradiente é grande, então o potencial varia muito para umapequena variação de x e vice versa.• O sinal negativo em 3.16 impõe que Ex aponte no sentido em que V

diminui. Como uma carga positiva é acelerada no sentido do campo, logoé também acelerada no sentido em que V diminui (note-se que o contrárioacontece com as cargas negativas)• Já tínhamos exprimido anteriormente (ver 1.13) E em unidades de N/C.

Olhando para 3.16 vemos que as unidades do campo eléctrico podem tambémigualmente ser volts por metro,

1V/m ≡ 1N/C (3.17)

• Se o deslocamento da carga q for feito numa direcção qualquer, podemosmostrar que,

E = −(∂V

∂xı +

∂V

∂y +

∂V

∂zk+

)= −∇V (3.18)

esta equação mostra como o campo eléctrico E que é uma função vectorialda posição (x, y, z) se relaciona com o potencial que é uma função escalartambém da posição.• Tal como a força eléctrica e o campo eléctrico, também o potencial

eléctrico obedece ao princípio da sobreposição. Assim o potencial eléctricoresultante duma distribuição estática de cargas é igual à soma dopotencial gerado por cada uma das cargas.

27

3.5. POTENCIAL ELÉCTRICO DUMA CARGA PONTUAL

3.5 Potencial eléctrico duma carga pontual• É comum considerar que o potencial num ponto B a uma distância rB

duma carga pontual Q é o trabalho realizado contra o campo por uma cargade teste que vem do infinito até ao ponto B. É também comum considerarque o potencial no infinito é zero (V (∞) = 0).• Assim de 3.4 e de 3.10 podemos rapidamente chegar à expressão para

o potencial duma carga pontual,

V (B) = −B∫∞

E · dr

= −B∫∞

14πε0

Qr2 r · dr

= Q4πε0

1rB

Repare-se que o sinal de V é o mesmo de Q.• Devido ao principio da sobreposição então o potencial gerado por uma

distribuição estática de cargas eléctricas que ocupa um volume v é dado por,

V (B) =1

4πε0

∫v

ρ

rdv (3.19)

28

Aula 4

Capacidade e condensadores

Sumário:

- Capacidade

- Dipolo Eléctrico

- Dieléctricos: Polarização da Matéria

- Rotura eléctrica

- Condensadores em série e paralelo

- A energia armazenada num condensador

4.1 Capacidade• Consideremos dois condutores planos e paralelos, com área A, um comcarga +Q e o outro com carga −Q, separados por uma distância d A (verFig.)

E- - - - -

+ + + + +d

-σ = -Q/A

σ = Q/A

área A

• Pela lei de Gauss, o campo eléctrico entre as placas é constante e per-pendicular a estas, E⊥ = Q/(Aε0) e a diferença de potencial entre elas é igualao trabalho, por unidade de carga, necessário para levar uma pequena cargaduma placa para a outra (3.15),

V = E⊥d =Qd

ε0A(4.1)

29

4.2. DIPOLO ELÉCTRICO

• Como se pode verificar da relação anterior a diferença de potencial V éproporcional à carga Q.• Esta proporcionalidade existe para qualquer par de condutores no es-

paço se houver num uma carga − e no outro outra carga + igual.• Tal é devido à natureza linear das leis da electrostática, duplicando a

carga num condutor duplicamos o campo eléctrico e duplicamos também opotencial, como tal a razão Q/V é uma quantidade que se mantém constante,não dependendo nem de Q nem de V .• Essa proporcionalidade também se pode indicar por,

Q = CV (4.2)

onde a constante C é chamada de capacidade e este conjunto de condutoresé chamado um condensador.• Para o condensador de placas paralelas vem,

C =ε0A

d(4.3)

• A capacidade C só depende das dimensões do condutor.• A capacidade mede-se em farads (F), sendo esta unidade equivalente a

coulombs por volt,

1F ≡ 1CV−1 (4.4)

4.2 Dipolo Eléctrico• Um dipolo eléctrico consiste emduas cargas com a mesma magnitude,mas sinais opostos, separadas por umadistância d• Define-se o vector momento dipo-lar p como, p = qd onde o vector paponta da carga negativa para a posi-tiva• Um campo eléctrico externo exerceno dipolo uma força total zero F total =0• No entanto como a força não é apli-cada no mesmo ponto, o momento daforça Γ (ou torque) pode não ser zero,Γ = p×E0

• As linhas do campo eléctrico dodipolo apontam da carga positiva paraa negativa

F = –qE0

F = + qE0

pθ

Γ = pE0sinθ

E0

p = q d+q

–q

d

d

E0

30

4.3. DIELÉCTRICOS: POLARIZAÇÃO DA MATÉRIA

4.3 Dieléctricos: Polarização da Matéria

• Um campo eléctrico exterior E0

perturba a distribuição de cargas emtorno do núcleo arrastando os elec-trões no sentido oposto ao de E0 in-duzido em todos os átomos um mo-mento dipolar pi dado por, pi ∝ E0.• Deste modo é induzido um mo-mento dipolar pi em cada átomo eestes dizem-se polarizados

Sem campo eléctrico exterior

E0

Com campo eléctrico exterior

+

--

-

--

-

-

+-

-

-

--

-

-

• Se na vizinhança de um determinado ponto o momento dipolar médiopor átomo é pi e se existem n átomos por metro cúbico, então todos estesdipolos atómicos dão origem a um campo,

P = npi (4.5)

que é a polarização eléctrica nesse ponto.• Portanto P é o momento dipolar por unidade de volume num determi-

nado ponto.• P /ε0 tem as mesmas unidades do campo eléctrico e a sua projecção na

direcção de E0 aponta no sentido de E0, somente devido à definição de pi.• No entanto o campo eléctrico gerado pelos dipolos atómicos aponta no

sentido contrario a E0 e como tal o efeito de P é reduzir o campo eléctricono vazio,

E +P

ε0= E0

onde E é o campo eléctrico total no mesmo ponto onde P está a ser consid-erado, no interior da matéria.• A igualdade anterior não é consistente pois o lado esquerdo refere-se ao

campo eléctrico num ponto no interior da matéria e o lado direito ao camponum ponto situado no vazio.• Ao campo que na matéria tem o mesmo valor de ε0E0 chama-se deslo-

camento eléctrico D,

E +P

ε0=

D

ε0(4.6)

• No caso simples e praticamente ideal em que sob o efeito dum campoeléctrico não muito forte a polarização da matéria é homogénea e isotrópica

31

4.3. DIELÉCTRICOS: POLARIZAÇÃO DA MATÉRIA

tem-se que, P ∝ E e verifica-se,

D = εE, (4.7)

onde ε é a permitividade eléctrica do material que também é chamada deconstante dieléctrica do material.• εr = ε

ε0é a permitividade eléctrica relativa ou constante dieléctrica

relativa. Relativa ao valor do vazio.• ε ou ε0 têm as mesmas unidades (C2N−1m−2 ≡ Fm−1), εr é adimen-

sional, não tem unidades.• No vácuo εr = 1 e se as cargas não oscilarem, em geral εr > 1, sendo em

geral, para gases εr ≈ 1.001, sólidos isoladores 1.1 . εr . 10 e conductoresεr =∞• Resumindo os materiais que no seu interior reduzem a intensidade dum

campo eléctrico externo são chamados de dieléctricos (do Gr. diá, contra +eléctrico). Esta redução que resulta do efeito colectivo dos dipolos atómicosé caracterizada pela constante dieléctrica do material εr.• Então em dieléctricos homogéneos e isotrópicos a lei de Coulomb pode

escrever-se,

F12 =1

4πε

Q1Q2

r2r (4.8)

e o campo eléctrico,

E1 =1

4πε

Q1

r2r (4.9)

• Os dados na tabela indicam queuma gama variada de sólidos temvalores de εr desde 2 a 16, quesão superiores aos valores típicosdos gases (e.g. para o ar a 20Cεr = 1.000536)

• A cerâmica Titanato de Estrôn-cio tem ε = 200 um valor muito su-perior aos restantes materiais, rev-elando uma polarização induzidapelo campo exterior muito supe-rior

SubstânciaElementosSilício Si 11. 9Germânio Ge 16. 0CerâmicosAlumina Al2O3 8. 5

Titanato de Estrôncio SrTiO3 200Zirconato de Estrôncio SrZrO3 38VidrosQuartzo Si O2 4. 5Vidro Boro-Silicato Si O2 com BO 4 – 5

Cristal Si O2 com PbO 7PlásticosPolietileno 2. 3Polistireno 2. 6Politetrafluoretileno PTFE 2. 1

Poliamida Nylon 3 – 4

εr

32

4.4. ROTURA ELÉCTRICA

4.4 Rotura eléctrica

• Haverá um limite para a quantidade de carga que se pode armazenar numcondensador?

• Adicionando mais carga a um condensador aumenta a diferença depotencial entre as placas e como tal aumenta também o campo eléctricoentre as placas.

• Este aumento não é ilimitado. Para um certo intervalo de valores docampo eléctrico, observa-se a rotura eléctrica do meio isolante entre as placasocorrendo a transferência de cargas entre as placas. O valor do campo parao qual se observa a rotura eléctrica é denominado campo de rotura eléctrica.

• Para o ar a 25C e pressão atmosférica normal 0.1013MPa a roturaeléctrica dá-se a 3.13× 106V/m.

• O mecanismo da rotura eléctrica dum gás como o ar pode ser explicadoconcentrando a atenção num átomo do gás recordando que este é constituídopor Z electrões em órbita dum núcleo que tem Z protões.

• Enquanto os electrões permanecerem em orbita do núcleo, não podehaver condução de electricidade (corrente eléctrica) pelo gás.

• Se um ou mais electrões adquirirem uma energia superior à suaenergia potencial no campo eléctrico do núcleo, então podem abandonaro átomo, deixando para trás um ião, neste caso um átomo com excessode carga positiva.

• Ora se não houver mais nenhum outro campo eléctrico na vizinhança doião, o electrão é rapidamente atraído pelo campo positivo do ião e o átomovolta a ser neutro.

• Mas caso haja um campo eléctrico exterior E, o electrão e o ião podemser acelerados através do gás pelo campo.

• Antes de colidir o ião percorre uma distância λ ganhando uma ener-gia do campo E dada por,

u =λ∫0

qE · dl = qEλ,

onde qE é a força exercida pelo o campo eléctrico.

• Se a distância λ for suficientemente longa pode adquirir energiasuficiente para arrancar outro electrão do átomo com que vai colidir,bastando que para tal u seja igual ou superior à energia de ionização doelectrão alvo, u0.

33

4.5. CONDENSADORES EM SÉRIE E PARALELO

Átomoneutro

Átomoneutro

electrão

Ião

electrão

Ião

(1) (2) (3) (4)

IãoCampoeléctrico

(1) (2)electrão

(3)

Átomoneutro

Ião

electron

Ionização dum átomo na ausência dum campo eléctrico exterior

Ionização dum átomo na presença dum campo eléctrico exterior

• A repetição deste processo pode gerar rapidamente uma avalanche deiões/electrões que permitem a condução de corrente eléctrica pelo gás, trans-formando assim subitamente um gás isolador num gás condutor.• O campo de rotura ER será aquele que permitirá a ocorrência da

avalanche ou seja,

u0 = q ER λ (4.10)

• Voltando à questão se haverá um limite para a quantidade de carga que sepode armazenar num condensador, podemos concluir que o campo de roturaeléctrica impõem um limite e que esse limite pode ser elevado se o campo derotura eléctrica for reduzido.• A redução do campo de rotura eléctrica pode ser conseguida preen-

chendo o espaço entre as placas com um material dieléctrico de elevada cons-tante dieléctrica o que provoca uma redução da diferença de potencial entreas placas e um consequente aumento da capacidade do condensador.• A capacidade dum condensador de placas paralelas com um dieléctrico

é então dada por,

C =εA

d. (4.11)

A diferença com a equação 4.3 é que a constante dieléctrica do vazio ε0 foisubstituída pela constante dieléctrica do material dieléctrico colocado entreas placas.

4.5 Condensadores em série e paralelo• Os condensadores são um dos componentes básicos dos circuitos electróni-cos, onde por vezes surgem em combinações complicadas.

34

4.5. CONDENSADORES EM SÉRIE E PARALELO

• É sempre possível encontrar a capacidade equivalente duma combinaçãoarbitrária de condensadores por aplicação repetida de duas regras simples.• Regra 1:

A capacidade equivalente de dois condensadores ligados em paraleloé a soma das capacidades individuais.

C1

C2

-Q1+Q1

-Q2+Q2

VV

V

• Vejamos porquê. A diferença de potencial V aos terminais de conden-sadores ligados em paralelo é a mesma. Se a capacidade de cada condensadoré diferente então a carga em cada condensador também diferente de modo amanter V igual. Então a capacidade equivalente Ceq é dada por,

Ceq =Q

V=Q1 +Q2

V=Q1

V+Q2

V(4.12)

então

Ceq = C1 + C2 (4.13)

• Para N condensadores ligados em paralelo,

Ceq =N∑

i=1

Ci. (4.14)

• Regra 2:O recíproco da capacidade equivalente de dois condensadores liga-dos em série é a soma do recíproco das capacidades individuais.

C1-Q+Q

C2

-Q+QV

V1 V2

35

4.6. A ENERGIA ARMAZENADA NUM CONDENSADOR

• Vejamos porquê. A diferença de potencial aos terminais de conden-sadores ligados em série não é a mesma mas a sua soma tem de ser igual a V .Contudo a carga em cada condensador é a mesma porque a placa negativado condensador 1 está ligada à placa positiva do condensador 2. Então acapacidade equivalente Ceq é dada por,

1

Ceq

=V

Q=V1 + V2

Q=V1

Q+V2

Q(4.15)

então1

Ceq

=1

C1

+1

C2

(4.16)

• Para N condensadores ligados em série,

1

Ceq

=N∑

i=1

1

Ci

. (4.17)

4.6 A energia armazenada num condensador• Consideremos o processo de carga dum condensador descarregado. Aotransferir uma carga Q duma placa para a outra, uma das placas fica comexcesso +Q de carga e a outra com −Q. Esta diferença de cargas estabelecede imediato um campo eléctrico da placa positiva para a negativa que seopõem a nova transferência de carga.• Para continuar a carregar o condensador é necessário realizar trabalho

contra este campo eléctrico, tornando-se este trabalho em energia armazenadano condensador.• Se o condensador tiver uma carga Q quando a diferença de potencial

entre as placas for V , o trabalho para transferir uma carga elementar dQ daplaca − para a placa + é dado por,

dW = V dQ (4.18)

• Da definição de capacidade (4.2) temos que,

dW =Q

CdQ,

integrando,

W =

∫dW =

∫Q

CdQ

=Q2

2C, (4.19)

36

4.6. A ENERGIA ARMAZENADA NUM CONDENSADOR

obtendo assim a energia armazenada no condensador.• Usando mais uma vez a definição de capacidade (4.2) podemos reescre-

ver a energia armazenada nas seguintes formas, todas equivalentes,

W =Q2

2C=CV 2

2=QV

2. (4.20)

• Usando as equações 4.3 e 4.1, a energia armazenada num condensadorde placas paralelas é dada por,

W =CV 2

2=ε0AE

2d2

2d=ε0E

2Ad

2, (4.21)

como Ad é o volume entre as placas do condensador podemos escrever aenergia por unidade de volume (densidade de energia) w,

w =ε0E

2

2. (4.22)

• Esta expressão não é válida apenas para o campo eléctrico na regiãoentre placas dum condensador de placas paralelas, mas aplica-se a qualquercampo eléctrico.• A energia contida num campo eléctrico que ocupa um volume v pode

ser calculada de forma geral por,

W =

∫v

wdv =

∫v

ε0E2

2dv, (4.23)

é como se o volume v fosse dividido em paralelepípedos com volume elementardv e somássemos a energia de todos esses pequeníssimos paralelepípedos paraobter a energia total no volume v.• Num meio dieléctrico a densidade de energia do campo eléctrico é dada

por,

w =εE2

2. (4.24)

onde ε é a constante dieléctrica do meio.

37

4.6. A ENERGIA ARMAZENADA NUM CONDENSADOR

38

Aula 5

Corrente eléctrica e resistência

Sumário:

- Circuitos eléctricos

- Lei de Ohm

- Resistência e resistividade - Abordagem clássica

- Fem e resistência interna

- Resistências em série e em paralelo

5.1 Circuitos eléctricos• Uma bateria é um aparelho com dois terminais, um positivo e outronegativo, entre os quais existe uma diferença de potencial, e portanto umcampo eléctrico. Normalmente esta diferença de potencial é mantida poruma reacção química que faz com que cargas positivas migrem para o termi-nal positivo e as negativas para o terminal negativo.• Um circuito eléctrico consiste num conjunto de condutores ligados entre

si e exteriores à bateria, que permitem a circulação (condução) de cargas entreos dois terminais da bateria.• O trabalho realizado pelo campo eléctrico da bateria para levar uma

carga Q do terminal − para o + é QV e é independente do caminho seguidopela carga.• Assim a característica mais importante da bateria é a sua diferença de

potencial que nos permite que a analise de circuitos eléctricos incida sobre-tudo na conversão de energia (como ela se transforma no circuito). Não épreciso mapear o campo eléctrico no circuito para determinar a energia queé dada a uma carga que flui no circuito.• De momento vamos apenas considerar circuitos eléctricos estacionários

alimentados por baterias com tensão constante.

39

5.2. LEI DE OHM

• Diferença de potencial, voltagem ou tensão são sinónimos.• Se num determinado ponto dum circuito flui uma quantidade de carga

dQ num pequeno intervalo de tempo dt a corrente eléctrica I que flui nesseponto é definida como,

I =dQ

dt(5.1)

• Por convenção o sentido da corrente é aquele em que cargas positivasse movem na diferença de potencial da bateria, do + para o − (na realidadeas cargas moveis são electrões livres que se movem no sentido oposto).• Nos circuitos estacionários a corrente em qualquer ponto do circuito

permanece constante no tempo. Estes são os circuitos de corrente directa(dc) do Inglês direct current ou circuitos de corrente contínua (CC).• A corrente eléctrica é medida em amperes (A), que são equivalentes a

coulombes por segundo,

1A ≡ 1Cs−1 (5.2)

dada a enorme facilidade em medir amperes comparado com a grande dificul-dade em medir coulombes, o ampere é uma das unidades base do SI, sendoo coulomb definido em função do ampere.• Qual é um circuito mecânico análogo a um circuito eléctrico?

5.2 Lei de Ohm• Qual é a relação entre a intensidade da corrente I que flui num fio condutore a diferença de potencial V aplicada entre as pontas do fio?• O físico Alemão Georg Ohm foi o primeiro a descobrir que I é directa-

mente proporcional a V ,

V = RI (5.3)

onde a constante de proporcionalidade R é denominada a resistência eléctricado fio.• A unidade de resistência eléctrica é o ohm (Ω) e é equivalente a volt

por ampere,

1Ω ≡ 1VA−1. (5.4)

5.3 Resistência e resistividade - Abordagem clássica• Vamos em seguida calcular a resistência eléctrica usando uma abordagemclássica e depois faremos o mesmo cálculo tendo em conta as restrições im-postas pela mecânica quântica à dinâmica dos electrões.

40

5.3. RESISTÊNCIA E RESISTIVIDADE - ABORDAGEM CLÁSSICA

• A corrente eléctrica é transportada por electrões livres.• Consideremos um fio metálico de comprimento L e secção A sujeito a

uma diferença de potencial V . Então o campo eléctrico longitudinal dentrodo fio é E = V/L.• Consideremos um electrão livre no fio, com carga −e e massa me.• O campo eléctrico no fio exerce uma força Fe = −eE no electrão

provocando-lhe uma aceleração a = −eE/m na direcção do fio.• O electrão não acelera indefinidamente, acabando por colidir com um

dos átomos do fio. Sendo os átomos muito mais pesados o electrão perdetodo o seu momento na colisão.• Assim além da força electrica Fe o electrão está também sujeito a uma

força de atrito Fa, resultante das colisões que sofre ao longo do seu movi-mento.• Por simplicidade vamos assumir que essa força é proporcional à veloci-

dade do electrão Fa = − m∆tv sendo ∆t o tempo médio entre colisões

• Usando a lei de Newton temos:∑F = ma⇔ Fe + Fa = m

dv

dt⇔ −eE − m

∆tv = m

dv

dt(5.5)

• Estamos interessados numa solução estacionária i.e. dvdt

= 0 logo,

v =−eEm

∆t = vd. (5.6)

Esta é a chamada velocidade de deriva, vd que os electrões livres num metaladquirem, quando sujeitos à acção dum campo eléctrico. O sinal − indicaque os electrões derivam no sentido oposto ao do campo E.• Como calcular então a corrente eléctrica gerada por um campo E?• A corrente eléctrica num dado ponto do fio é o número de cargas ∆Q

que nesse ponto atravessam uma superfície A por unidade de tempo.• Seja ne o número de electrões livres por unidade de volume existentes

no fio, que derivam pelo fio com velocidade vd.

• Tal como é ilustrado na figura acarga procurada ∆Q é igual à cargadum electrão vezes o número de elec-trões livres no volume Avd∆t

∆Q = −eneAvd∆t. (5.7) Secção com área , A

Correnteeléctrica I

vd ∆t

Vo lume = A vd ∆t

41

5.3. RESISTÊNCIA E RESISTIVIDADE - ABORDAGEM CLÁSSICA

• A corrente eléctrica que passa no fio é então dada por,

I =∆Q

∆t= −eneAvd

=e2ne∆t

me

A

LV. (5.8)

Comparando esta expressão com a lei de Ohm (I = V/R) obtemos umaexpressão microscópica para R,

R =me

e2ne∆t

L

A(5.9)

• A quantidade,

ρ =me

e2ne∆t, (5.10)

é a resitividade ρ do material e não depende das dimensões do material. Asunidades da resistividade são ohm-metros (Ωm).

• A resistência relaciona-se com a resistividade por,

R = ρL

A. (5.11)

A resistência depende das dimensões do fio, sendo proporcional ao seu com-primento e inversamente proporcional à sua secção, sendo a resistividade aconstante de proporcionalidade.

• O gráfico mostra a resistividade em função da massa atómica dos ele-mentos da tabela periódica. Os melhores condutores são a Prata (1.59 ×10−8Ωm), Cobre 1.67 × 10−8Ωm, e Ouro (2.35 × 10−8Ωm), metais nobres,seguidos por perto pelo Alumínio (2.66× 10−8Ωm).

42

5.4. FEM E RESISTÊNCIA INTERNA

5 10 - 7

1 10 - 6

1.5 10- 6

2 10 - 6

0 2 0 4 0 6 0 8 0 100

Resi

stiv

idad

e ( Ω

m )

Número atómico

M n

S cY

C u Ag Au

Gd PoPu

H g

Al0

• Os dados experimentais mostram que a resistividade depende linear-mente da temperatura, diminuindo a temperaturas baixas.

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

0 200 400 600 800 1000

10–8

Temperatura (K)

AlA u

A g

C u

Pt

Resi

stiv

idad

e ( x

Ω m

)

5.4 Fem e resistência interna• As baterias são feitas de materiais com resistividade não nula como tal asbaterias possuem resistência interna não sendo fontes de voltagem puras.• A uma fonte de voltagem pura chama-se força electromotriz (fem).• Uma bateria real pode ser representada por uma força electromotriz E

em série com uma resistência r que representa a sua resistência interna tal

43

5.5. RESISTÊNCIAS EM SÉRIE E EM PARALELO

como indicado na figura entre os terminais A e B.

ε ri

R

AB

I

bateria

- +

• A voltagem V duma bateria é a diferença de potencial eléctrico entre osterminais A (positivo) e B (negativo). Indo de B para A o potencial aumentade +E volts na fem e depois diminui de Iri volts na resistência interna ri logo,

V = E − Iri. (5.12)

• Sendo E constante a voltagem V aos terminais da bateria diminuiquando a corrente I solicitada à bateria aumenta. Logo só quando I é de-sprezável V ≈ E .• A corrente solicitada à bateria não pode superar o valor crítico,

I0 =Eri

(5.13)

caso contrário V ficaria negativo e para I manter o mesmo sentido ri teriaque ser negativo, o que é impossível.• As baterias são caracterizadas pela voltagem a corrente zero, E , e pela

corrente máxima I0 que pode fornecer.

5.5 Resistências em série e em paralelo• As resistências são os componentes mais usuais dos circuitos electrónicos,onde por vezes surgem em combinações complicadas.• É sempre possível encontrar a resistência equivalente duma combinação

arbitrária de resistências por aplicação repetida de duas regras simples.• Regra 1:

O recíproco da resistência equivalente de duas resistências ligadasem paralelo é a soma dos recíprocos das resistências individuais.

44

5.5. RESISTÊNCIAS EM SÉRIE E EM PARALELO

R1

R2

V

VV

AB

I1

I2

I

• Vejamos porquê. A diferença de potencial V aos terminais de resistên-cias ligadas em paralelo é a mesma. Sendo as resistências diferentes então acorrente que passa em cada uma também é diferente embora I1 + I2 = I casocontrário dar-se ia uma acumulação de carga nos nós do circuito. Então aresistência equivalente Req é dada por,

1

Req

=I

V=I1 + I2V

=I1V

+I2V

(5.14)

então

1

Req

=1

R1

+1

R2

(5.15)

• Para N resistências ligadas em paralelo,

1

Req

=N∑

i=1

1

Ri

. (5.16)

• Regra 2:A resistência equivalente de duas resistências ligadas em série é asoma das resistências individuais.

R1 AB I R2

V1 V2

V

• Vejamos porquê. A diferença de potencial aos terminais de resistênciasligadas em série não é a mesma mas a sua soma tem de ser igual a V . Contudo

45

5.5. RESISTÊNCIAS EM SÉRIE E EM PARALELO

a corrente que passa em cada resistência é a mesma porque não há nós quecriem mais ramos no circuito. Então a resistência equivalente Req é dadapor,

Req =V

I=V1 + V2

I=V1

I+V2

I(5.17)

então

Req = R1 +R2 (5.18)

• Para N resistências ligadas em série,

Req =N∑

i=1

Ri. (5.19)

46

Aula 6

Sumário:

- Leis de Kirchhoff

- Energia em circuitos CC

- Potência e resistência interna

6.1 Leis de Kirchhoff• O físico Alemão Gustav Kirchhoff identificou duas leis que simplificam aanálise dum circuito eléctrico.• As leis de Kirchhoff são as leis fundamentais da teoria de circuitos e

a sua aplicação é geral, sendo válidas tanto em circuitos lineares como nãolineares ou quando a corrente ou voltagem depende do tempo. De algumaforma, todos os teoremas de circuitos derivam destas duas leis.• O seu enunciado é relativamente intuitivo:

- Lei de Kirchhoff para a corrente:A soma de todas as correntes que entram num nó é igual àsoma de todas as correntes que saem do nó.

I3

I2

I1

I4

I1+I4=I2+I3

47

6.2. ENERGIA EM CIRCUITOS CC

- Lei de Kirchhoff para a voltagem:A soma das diferenças de potencial (voltagem) ao longo dumpercurso fechado é zero.

R3

R4

I1

I2

R1

ε- +

R2

I3

ε − R1I1 − R2I2 = 0 R2I2 − R3I3 − R4I3 = 0

• Se a lei da corrente não fosse verificada, então dava-se a acumulaçãode carga no nó em causa. Um nó por definição tem capacidade zero rela-tivamente à terra, caso contrário esse condensador tem de ser indicado nocircuito como um ramo separado entre esse ponto e a terra.• Quanto à lei para a voltagem, já vimos que o trabalho para mover uma

carga q ao longo dum percurso fechado num campo electrostático é zero.Como o trabalho é igual ao produto de q pela diferença de potencial ∆Ventre os terminais do percurso fechado, esta diferença tem de ser zero.• Nas fem E que são atravessadas ao longo do percurso, dum potencial

mais baixo para outro mais elevado a voltagem é +E , se o potencial diminuirentão a voltagem é −E .• De igual modo a diferença de potencial aos terminais duma resistência

R sujeita a uma corrente I que é atravessada no sentido da corrente é −IRe vice-versa.

6.2 Energia em circuitos CC• Num circuito simples onde uma bateria com tensão V força uma correnteI através duma resistência R, qual é o trabalho realizado pela bateria porunidade de tempo?• O potencial duma carga (positiva) q que é elevada pela bateria do

terminal negativo para o positivo, aumenta V volts então o trabalho realizadoé qV . Como por definição a corrente I que flúi pela bateria é igual à cargapor unidade de tempo então o trabalho feito pela bateria por unidade detempo (potência) é simplesmente,

P = V I, (6.1)

onde P representa a potência da bateria.

48

6.3. POTÊNCIA E RESISTÊNCIA INTERNA

• Esta expressão é geral e aplica-se sempre que uma corrente I fui porum componente dum circuito através do qual há uma queda de potencial Vna direcção de I. Então esse componente ganha V I joules por unidade detempo.• A unidade de potência é o watt (W),

1W ≡ 1Js−1 ≡ 1V · 1A. (6.2)

• De acordo com a lei de Ohm a energia por unidade de tempo ganha poruma resistência R que é atravessada por uma corrente I é,

P = V I = I2R =V 2

R, (6.3)

esta energia é dissipada dentro da resistência na forma de calor.• Este é o chamado efeito de Joule, onde energia eléctrica é convertida em

calor. O aumento da temperatura da resistência deve-se à transferência deenergia dos electrões para os átomos durante as colisões que ocorrem entreestes dois tipos de partículas durante a deriva dos electrões forçada pelocampo eléctrico aplicado à resistência.• A conta mensal da electricidade que pagamos à EDP, depende da quan-

tidade de energia eléctrica que é consumida nas nossas casas. A unidade emque essa energia é medida é o kilowatthora. Um electrodoméstico que durante1 hora consome energia à taxa de 1 kW consome 1 kilowatthora (kWh) deenergia,

1kWh = 1000× 60× 60 = 3.6× 106J. (6.4)

6.3 Potência e resistência interna•No circuito simples da figura a resistência externaR é normalmente chamadaresistência de carga (pode representar uma lâmpada, um aquecedor eléctricoou qualquer máquina eléctrica).

ε ri

R

AB

I

bateria

- +

49

6.3. POTÊNCIA E RESISTÊNCIA INTERNA

• Basicamente neste circuito é transferida energia da bateria para a carga,onde realiza algo útil para nós. Qual a interferência da resistência interna ri

da beteria neste processo de transferência de energia?• Calculemos a potência transferida para a carga R bem como a potência

dissipada na resistência interna ri.• Aplicando a lei de Kirchhoff para a tensão ao circuito vem,

E − Iri − IR = 0

I =E

ri +R(6.5)

• A potência de saída da fem E é,

PE = EI =E2

ri +R. (6.6)

• A potência dissipada em calor pela resistência interna é,

Pri= I2ri =

E2ri

(ri +R)2. (6.7)

• A potência transferida para a carga é,

PR = I2R =E2R

(ri +R)2, (6.8)

verificando-se que PE = Pri+PR, ou seja uma parte da potência da bateria é

logo dissipada pela sua resistência interna e a restante é transmitida à cargaR.• Usando as variáveis y = PR/(E2/ri) e x = R/ri podemos rescrever a

equação 6.8 como,

y =x

(1 + x)2. (6.9)

1 2 3 4 5x = R/ri

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

y(x)

50

6.3. POTÊNCIA E RESISTÊNCIA INTERNA

• A função y(x) tem um máximo em x = 1, ou seja, como E e ri sãoconstantes, a potência transferida para a carga PR é máxima quando R = ri,

(PR)max =E2

4ri

, (6.10)

este resultado é muito importante em engenharia electrotécnica pois indicaque a transferência de potência entre uma fonte de tensão e umacarga externa é mais eficiente, i.e. é máxima, quando a resistênciada carga é igual à resistência interna da fonte de tensão.• Se a resistência da carga é muito baixa então a maioria da energia é

dissipada na resistência interna.• Se a resistência da carga é muito alta então corrente que flúi no circuito

é demasiado baixa para transferir energia para a carga a uma taxa apreciável.• No caso óptimo R = ri só metade da potência da fonte é transferida

para a carga sendo o resto dissipado na resistência interna.• Ao processo de ajustar a resistência da carga à resistência interna

chama-se ajuste de impedâncias (como veremos à frente impedância é sinó-nimo de resistência).

51

6.3. POTÊNCIA E RESISTÊNCIA INTERNA

52

Aula 7

Campo magnético

Sumário:

- Magnetostática

- A lei de Biot-Savart

- Fio longo e rectilíneo I

- A lei de Ampère

- A lei de Ampère e o Teorema de Stokes

- Fio longo e rectilíneo II

7.1 Magnetostática• Exceptuando os circuitos eléctricos, até aqui estudámos a interacção decargas eléctricas com posições fixas ou movendo-se lentamente. Vimos queestas cargas interagem através dos campos eléctricos estáticos que criam àsua volta.• Vimos também que em electrostática o campo é descrito apenas pelas

duas equações de Maxwell (1.5 e 1.6),

∇ ·E =ρ

ε0∇×E = 0

• Cargas eléctricas em movimento produzem campos magnéticos. Vamosagora iniciar o estudo dos campos magnéticos produzidos por correntes eléc-tricas constantes. Tais campos magnéticos não variam no tempo i.e., sãotambém estáticos.

53

7.2. A LEI DE BIOT-SAVART

• Veremos que neste caso também apenas as duas equações de Maxwell(1.7 e 1.8) descrevem o comportamento do campo magetoestático,

∇ ·B = 0

∇×B = µ0j

7.2 A lei de Biot-Savart

- + I

dl

r^dB

Pr

C

• Uma corrente eléctrica constante I que percorre um circuito eléctricoC cria em todo o espaço um campo magnético. A lei de Biot-Savart indicaque num ponto P qualquer do espaço o campo magnético B é dado por,

B =µ0I

4π

∮C

dl× r

r2, (7.1)

onde dl é um comprimento elementar do circuito C que cria um campo comintensidade dB no ponto P , r é o versor que aponta de dl para o ponto Pque está à distância r de dl e µ0 é a permeabilidade do vazio,

µ0 = 4π × 10−7 NA−2. (7.2)

• A unidade em que se exprime o campo magnético é o tesla (T) que é omesmo que newton por ampere por metro,

1 T ≡ 1 NA−1m−1. (7.3)

• Nesta forma da lei de Biot-Savart é assumido que uma corrente I flúi porum fio fino. Se a corrente flúi por um volume finito de secção A, substitui-sejdA por I ficando,

B =µ0

4π

∮v

j × r

r2dv, (7.4)

onde j é a densidade de corrente (em A/m2) num ponto do volume elementardv.

54

7.3. FIO LONGO E RECTILÍNEO I

• A lei de Biot-Savart estabelece o campo magnético num ponto P , emfunção da distância entre a corrente fonte do campo e o ponto P , de formaanáloga à equação 1.13 que estabelece o campo eléctrico num ponto P emfunção da distância entre a carga fonte do campo e o ponto P onde se querdeterminar o campo.• Chama-se a atenção que enquanto o campo eléctrico E é um vector

colinear com o vector posição do ponto P relativamente à carga fonte, ovector campo magnético B não é colinear com o vector posição do ponto Prelativamente à corrente fonte que percorre dl.• A direcção do campo magnético que um elemento de corrente Idl cria

num ponto P é dada pelo produto vectorial, dl × r entre o elemento decorrente e o vector posição do ponto P . Se o polegar da mão direita apontarno sentido de dl e o dedo indicador no sentido de r o dedo médio (ou a palmada mão) indica o sentido do campo tal como mostra a figura,

dl

B

r^

• De modo análogo ás linhas de E, as linhas de B apontam sempre nosentido de B e a densidade das linhas é proporcional à magnitude do campoB.• O princípio da sobreposição também se aplica aos campos magnéticos.

Logo se existem várias correntes eléctricas, o campo total B é a soma doscampos magnéticos individuais criados por cada uma das correntes.

7.3 Fio longo e rectilíneo I• Vamos calcular, usando a lei de Biot-Savart, o campo magnético B cri-ado num ponto P afastado de uma distância d dum fio longo e rectilíneopercorrido por uma corrente constante I.

ldl

r

r

dB

φ

d

α

θ

P

I

55

7.3. FIO LONGO E RECTILÍNEO I

• Tal como indicado na figura o elemento de corrente Idl cria no pontoP que está a uma distância r de dl, o campo magnético elementar dB,

dB =µ0I

4π

dl× r

r2

=µ0I

4π

dl sin θ

r2φ. (7.5)

(7.6)

• l e d estão relacionados trignometricamente,

l

d= tanα, (7.7)

diferenciando vem,

dl = ddα

cos2 α, (7.8)

como cosα = d/r vem,

dl = r2 dα

d, (7.9)

então podemos prosseguir o cálculo de dB,

dB =µ0I

4π

r2 dαd

cosα

r2φ

=µ0I

4πdcosα dα φ,

onde se usou sin θ = cosα. Para levar em conta a contribuição de todos oselementos de corrente para o campo total B em P temos de integrar sobretodo o fio,

B =

∫dB =

µ0I

4πd

π/2∫−π/2

cosα dα φ

=µ0I

4πd[sinα]

π/2−π/2 φ

=µ0I

2πdφ, (7.10)

a intensidade do campo B só depende do inverso da distância na perpendi-cular ao fio d.

56

7.4. A LEI DE AMPÈRE

7.4 A lei de Ampère

I

dl

C S

• Consideremos uma curva fechada C. A lei de Ampère afirma que ointegral de B ·dl ao longo da curva C é proporcional à corrente eléctrica queatravessa a superfície S circunscrita por C,∮

C

B · dl = µ0I. (7.11)

• Se a corrente I que atravessa a superfície S, for dada em função dadensidade de corrente eléctrica j a lei de Ampère toma a forma,∮

C

B · dl = µ0

∫S

j · dS. (7.12)

• A lei de Ampère tem em magnetostática um papel análogo à lei deGauss na electrostática (2.2), no sentido em que permite calcular facilmenteB quando B é uniforme ao longo da curva C, tal como a lei de Gauss permitecalcular E quando este é uniforme na superfície gaussiana.• Chamaremos à curva C caminho de ampère ou caminho amperiano.

7.5 A lei de Ampère e o Teorema de Stokes• Aplicando o teorema de Stokes (3.6) ao campo B obtemos,∮

C

B · dl =

∫S

(∇×B) · dS. (7.13)

• Contudo a lei de Ampère afirma que o integral de caminho de B aolongo da curva C é igual a µ0I logo,∫

S

(∇×B) · dS = µ0I. (7.14)

57

7.6. FIO LONGO E RECTILÍNEO II.

• Se a corrente eléctrica total I que atravessa a superfície S, for dada emfunção da densidade de corrente eléctrica j a equação 7.14 fica,∫

S

(∇×B) · dS = µ0

∫S

j · dS, (7.15)

sendo este resultado independente da superfície S vem que,

∇×B = µ0j, (7.16)

que é a equação de Maxwell (1.8), ou seja esta equação de Maxwell é a lei deAmpère para um campo magnético estático.• Por outras palavras a lei de Ampère (7.11) só é válida para um campo

magnético estático. Se B variar no tempo então a forma correcta do rota-cional de B é dada pela equação de Maxwell (1.4).

7.6 Fio longo e rectilíneo II.• Vamos repetir o cálculo, usando a lei de Ampère, do campo magnético Bcriado num ponto P afastado de uma distância d dum fio longo e rectilíneopercorrido por uma corrente constante I.• Da resolução anterior deste problema usando a lei de Biot-Savart con-

cluímos que B num ponto P é perpendicular ao fio e a sua intensidade éconstante em qualquer ponto à mesma distância de P (na perpendicular) aofio.• Tendo a corrente I simetria cilíndrica podemos tirar as mesmas con-

clusões pela análise do campo elementar dB criado por dois elementos decorrente Idl em posições opostas ao ponto de intersecção da perpendicularde P ao fio.

I

B

d

P

C

dl

• Nestas circunstâncias o caminho de Ampère adequado à resolução desteproblema é um circulo centrado no eixo do fio e que passa por P (com raio

58

7.6. FIO LONGO E RECTILÍNEO II.

d) onde B é constante. A lei de Ampère 7.11 impõe então que,∮C

B · dl = µ0I

B

∮C

dl = µ0I

B2πd = µ0I

B =µ0I

2πd, (7.17)

note-se que a lei de Ampère só permite calcular o módulo do vector B talcomo na electrostática a lei de Gauss só permitia calcular o módulo do vectorE. A direcção e o sentido do vector são inferidos pela análise da simetria docampo.• Concluimos ainda que as linhas do campo magnético criado por um fio

rectilíneo infinto são circulos centrados no eixo do fio e perpendiculares aofio.

59

7.6. FIO LONGO E RECTILÍNEO II.

60

Aula 8

Sumário:

- O campo magnético dum solenóide

- A lei de Gauss para o campo magnético

- Teorema de Gauss e o campo B

- A força magnética

- A definição de ampere

8.1 O campo magnético dum solenóide• Um solenóide (do Grego solenoidés, em forma de tubo) é um fio metálicoenrolado em hélice formando um tubo com um diâmetro pequeno comparadocom seu comprimento. O enrolamento é apertado por forma a que cada voltaseja comparável a um circulo perpendicular ao eixo do solenóide.

II

B

LC

N S

B

a b

cd

61

8.2. A LEI DE GAUSS PARA O CAMPO MAGNÉTICO

• O campo B no centro dum solenóide, que é percorrido por uma correnteeléctrica, é praticamente uniforme e aponta no sentido do eixo do solenoide(ver figura). Fora do solenóide B é muito mais fraco.• Se o fio der n voltas por unidade axial de comprimento dum solenóide

percorrido por uma corrente I, qual é a intensidade do campo magnético Bno interior do solenoide?• Considerando o caminho de Ampère rectangular, C, indicado na figura

a lei de Ampère diz que o integral de caminho de B ·dl ao longo de C é igualà corrente total que cruza a superfície limitada por C.• Sendo L o comprimento do rectângulo C então a corrente total que

atravessa este rectângulo é nLI.• Falta calcular o integral de caminho,∮

C

B · dl =

b∫a

B · dl +

c∫b

B · dl +

d∫c

B · dl +

a∫d

B · dl. (8.1)

• O integral entre a a b é praticamente nulo, pois nessa região B ≈ 0.• Os integrais entre b e c e entre d e a são nulos, pois nessa região B ⊥ dl,

logo o produto escalar entre eles é zero.• Entre c e d, B ‖ dl e sendo B uniforme vem,

d∫c

B · dl =

d∫c

Bdl = B

d∫c

dl = BL. (8.2)

• Logo pela lei de Ampère,∮C

B · dl = µ0Itotal

BL = µ0nLI

B = µ0nI, (8.3)

este resultado é exacto no limite em que o comprimento do solenóide é muitomaior que o seu diâmetro.

8.2 A lei de Gauss para o campo magnético• De forma análoga à equação 2.5 onde se definiu o fluxo do campo eléctricopodemos definir o fluxo do campo magnético através duma superfície comárea S como,

ΦB =

∫S

B · dS. (8.4)

62

8.3. TEOREMA DE GAUSS E O CAMPO B

• Em homenagem ao físico Alemão Wilhelm Weber a unidade no S.I. dofluxo magnético é o weber (Wb), lê-se veber em Português. Um weber éportanto igual a um tesla vezes um metro quadrado,

1 Wb = 1 Tm2. (8.5)

• Dos cálculos anteriores dos campos magnéticos criados, quer por umfio rectilíneo infinito, quer por um solenóide, concluiu-se que todas as linhasde campo magnético eram linhas fechadas. Este resultado é mais geral e aslinhas de campo magnético criado por qualquer corrente são sempre fechadas.• Acresce ainda que se calcularmos o fluxo do campo magnético através

duma superfície fechada, verifica-se que é nulo. Isto significa que o númerode linhas de campo que entram numa superfície fechada é exacta-mente igual ao número de linhas de campo que saem. Estas são duasformas equivalentes de enunciar a lei de Gauss que na forma matemática é,∮

S

B · dS = 0, (8.6)

onde S é uma superfície qualquer fechada.

8.3 Teorema de Gauss e o campo B• Aplicando o teorema de Gauss 2.6 ao campo magnético B vem,∮

S

B · dS =

∫v

∇ ·Bdv. (8.7)

• Segundo a lei de Gauss para o campo magnético, o fluxo através dumasuperfície fechada S do campo B é nulo. Então∮

S

B · dS = o (8.8)

• Assim do teorema de Gauss e da lei de Gauss resulta para B que,∫v

∇ ·Bdv = 0, (8.9)

como este resultado é independente do volume v conclui-se que,

∇ ·B = 0, (8.10)

esta é a última das equações de Maxwell (1.7) para a magnetostática que nosfaltava mostrar.

63

8.4. A FORÇA MAGNÉTICA

• Resumindo quando quer os campos quer as fontes dos campos são in-dependentes do tempo, i.e. são estáticas, verificamos que as equações deMaxwell são equivalentes às seguintes leis por nós estudadas:

∇ ·E = ρε0

Lei de Gauss para E

∇ ·B = 0 Lei de Gauss para B∇×B = µ0j Lei de Ampère,

a equação ∇×E = 0 implica que o campo electrostático é conservativo.

8.4 A força magnética• Andre Marie Ampère levou a cabo uma série de experiências para estudar ainteracção entre um campo magnético estático B e um elemento de correnteeléctrica I1dl. A sua conclusão foi que o campo magnético exerce uma forçadF1 no elemento de corrente que é correctamente descrita por,

dF1 = I1dl×B. (8.11)

• Desta equação é claro que o campo magnético é uma força por unidadede elemento de corrente, tal como já tínhamos visto na definição da unidadetesla 7.3.• A força magnética por unidade de comprimento num fio por onde circula

uma corrente I1 é I1 ×B.• A força total que B exerce num circuito fechado c por onde circula uma

corrente eléctrica I1 é a soma de todas as forças elementares,

F1 =

∫dF1 = I1

∮c

dl×B, (8.12)

se B é uniforme a força magnética total é zero.

8.5 A definição de ampere• Calculemos a força magnética exercida por duas correntes I1 e I2 que cir-culam em dois fios longos e rectilíneos separados por uma distância d.

d

d^I1

B1

dI1

I2

dF1

64

8.5. A DEFINIÇÃO DE AMPERE

• O campo magnético criado por I1 em I2 é dado por (ver 7.17),

B1 =µ0I12πd

, (8.13)

então a força por unidade de comprimento F que I1 exerce em I2 é,

F = I2 ×B1, (8.14)

como I2 ⊥ B1 vem,

F = −µ0I1I22πd

d, (8.15)

onde d é o vector unitário que aponta do fio 1 para o 2.• Portanto se as correntes têm o mesmo sentido a força é atractiva e se

têm sentidos opostos a força entre elas é repulsiva.• A força magnética 8.15 é desprezável para correntes normais, mesmo

assim é usada no S.I. para definir a unidade de corrente eléctrica o ampere,quando a força magnética por metro, entre dois fios longos e par-

alelos é exactamente 2× 10−7 N, a intensidade de corrente eléctricaque flúi em cada fio é um ampere.• É por esta razão que µ0 = 4π × 10−7.

65

8.5. A DEFINIÇÃO DE AMPERE

66

Aula 9

Sumário:

- A Força de Lorentz

- A experiência de Thompson

- Movimento de uma partícula carregada num campo B

9.1 A força de Lorentz• A corrente eléctrica num fio resulta do movimento de cargas eléctricas(electrões). Assim a força magnética que um campo B exerce num circuitopor onde circula uma corrente I1 deve resultar da força que B exerce noselectrões (ou quaisquer outras cargas que transportem a corrente eléctrica).Foi esta ideia que Hendrick Lorentz desenvolveu da forma a seguir ilustrada.• Mostrámos anteriormente (eq. 5.8) que num condutor com n cargas q

por unidade de volume, microscopicamente a corrente eléctrica I que atrav-essa uma secção A desse condutor é devida à deriva com velocidade, vd dascargas livres. A expressão da corrente é,

I = qnAvd, (9.1)

note-se que direcção da corrente é a mesma que a direcção da velocidade dederiva.• Substituindo esta expressão na equação 8.11 vem,

dF = qnAvddl×B = qnAdlvd ×B (9.2)

• Esta é a força magnética que actua em todas as nAdl cargas que estãono volume elementar Adl. Assim a força magnética que actua em cada umadas cargas é,

F = qvd ×B (9.3)

67

9.2. A EXPERIÊNCIA DE THOMPSON

• Lorentz combinou esta força com a força eléctrica 1.14 e chegou assimà seguinte expressão para a força que actua numa carga q que se move comuma velocidade v num campo E e B,

F = qE + qv ×B, (9.4)

esta é a chamada força de Lorentz.• A força eléctrica é paralela a E, mas a força magnética é perpendicular

a B e v.• A força magnética só actua em cargas em movimento. Se v = 0 a força

magnética é zero.• O trabalho feito por uma força F que faz uma partícula deslocar-se

uma distância r é F · r = Fr cos θ. Para uma partícula sujeita a uma forçamagnética o deslocamento da partícula faz sempre um ângulo de 90 coma força. Logo um campo magnético não realiza trabalho sobre uma cargaeléctrica.• Uma carga eléctrica nunca ganha ou perde energia quando interage com

um campo magnético.• Os campos magnéticos são usados para alterar a direcção do

movimento das cargas, mas estas só ganham energia sob a acçãodum campo eléctrico.• Da lei de Newton e da força de Lorentz pode escrever-se a equação do

movimento duma partícula com carga q e massa m que se move num campoE e B,

ma = qE + qv ×B, (9.5)

sendo a a aceleração que a partícula adquire sob a acção da força de Lorentz.

9.2 A experiência de Thompson• Em 1897 Thompson deu um contributo importante para o esclarecimentoda natureza do electrão. Até essa altura sabia-se que um filamento de metalquente mantido a um potencial negativo elevado (cátodo) emitia uma formade radiação desconhecida a que se chamava simplesmente raios catódicos.• Thomson defendia que os raios catódicos consistiam em partículas car-

regadas e para o demonstrar fez passar um feixe de raios catódicos por umcampo E e um campo B perpendiculares entre si.• Direccionando o feixe segundo o eixo X, o campo E foi aplicado no

sentido do eixo Z e o campo B no sentido−Y . Assim aplicando a equação 9.5obtem-se para a componente da aceleração segundo Z,

maz = q(Ez − vxBy). (9.6)

68

9.2. A EXPERIÊNCIA DE THOMPSON

• Inicialmente Thompson aplicou só o campo E aos raios catódicos emediu a deflexão d do feixe na direcção Z que segundo a equação anterior édada por,

az =qEz

mintegrando no tempo,

vz = azt integrando no tempo mais uma vez,

d = azt2

2.

• Portanto se o feixe é constituído por partículas que se movem comvelocidade vx, o feixe percorre num tempo t uma distância l na direcção Xe é deflectido na direcção Z uma distância d,

d =qEz

m

t2

2=

q

m

Ezl2

2v2x

, (9.7)

onde t = l/vx. Este resultado só é válido quando d l.• Em seguida Thompson aplicou simultaneamente o campo B regulando

a sua intensidade até anular a deflexão d. O valor de B que anula a deflexão,ou seja cancela a força eléctrica, obtêm-se da equação 9.6,

By =Ez

vx

. (9.8)

• Desta forma Thompson mostrou que os raios catódicos eram partículascom carga negativa (pois deflectiam na direcção oposta a Ez).• Das equações 9.7 e 9.8 Thomson conseguiu ainda calcular a razão entre

a carga e a massa dessas partículas,

q

m=

2dE

l2B2, (9.9)

obtendo um valor de −1.7× 1011Ckg−1. A partir desta convincente demons-tração experimental os raios catódicos passaram a ser partículas.• Dez anos mais tarde Robert MilliKan medindo a velocidade que gotícu-

las de óleo electrizadas, e em queda através duma região onde existe umcampo eléctrico, concluiu que essas gotículas adquiriam sempre carga emmúltiplos de −1.6 × 10−19 C. Assumindo que se trava da mesma partículaque constituía os raios catódicos, foi possível calcular uma massa para essaspartículas de 9.4×10−31 kg. O electrão começava a ganhar forma. Experiên-cias mais precisas revelam um valor para a massa do electrão de 9.109534×10−31 kg.

69

9.3. MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA CARREGADA NUM CAMPO B

9.3 Movimento de uma partícula carregada numcampo B

• É conhecido que a aceleração duma partícula com massa m que se movenuma órbita circular de raio r, com uma velocidade constante v tem o valor,

an =v2

r, (9.10)

e é sempre dirigida para o centro da órbita, i.e. é perpendicular à velocidade.• A força magnética que actua numa carga q que se move com velocidade

v é também sempre perpendicular a v. Se o campo magnético for constanteentão a força magnética obriga a carga a descrever uma trajectória circular.

X

XX

XB

v T

v TX B

r

• Se a partícula com carga q tiver uma massa m, e se v ⊥ B então daseq. 9.3 e eq. 9.10 vem,

qvB =mv2

r(9.11)

e o raio da órbita é dado por,

r =mv

qB, (9.12)

também conhecido por raio de Larmor.• A frequência angular (ω) de rotação da partícula (i.e. o número de

radianos que a partícula descreve num segundo) é dado por,

ω =v

r=qB

m, (9.13)

também conhecida pela frequência ciclotrónica.• No mesmo campo magnético cargas positivas descrevem órbitas com o

sentido oposto ao das cargas negativas mas com o mesmo raio de Larmor.

70

9.3. MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA CARREGADA NUM CAMPO B

• A medição da frequência ciclotrónica pode ser usada para determinartambém a razão entre a carga e massa duma carga.• Conhecendo q/m e medindo o raio de Larmor é possível determinar v,

ou vice versa.• O movimento mais geral duma carga num campo B constante é um

movimento em hélice, pois se a velocidade da carga tiver uma componenteparalela a B além da componente perpendicular (v = v⊥+v‖), a carga move-se também na direcção do campo B descrevendo uma trajectória helicodal.

Bv||

v T

Trajectóriahelicoidal

71

9.3. MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA CARREGADA NUM CAMPO B

72

Aula 10

Sumário:

- Aplicações da força de Lorentz

- Efeito de Hall

- Galvanómetros

- Origem do magnetismo permanente

10.1 Aplicações da força de Lorentz• O vento solar, a magnetosfera e as auroras boreais.• O confinamento magnético, a fusão termonuclear controlada.

10.2 Efeito de Hall• Edwin Hall observou que se uma barra condutora achatada, percorrida poruma corrente eléctrica I (ver figura) for colocada num campo magnético Bperpendicular à direcção da corrente, surge uma diferença de potencial nabarra numa direcção perpendicular a B e I (entre o topo e base). Chama-seefeito de Hall a esta tendência das partículas transportadoras de correntederivarem na transversal do campo magnético B.

vd

+qvd x B

B

I+qEH

- --- - -

+ +++ + +

EH

ICorrenteeléctrica h

l

Efeito de Hall em cargas livres positivas

vd

-qvd x B

B

I-qEH

- --- - -

+ +++ + +

EH

I

B

Correnteeléctrica

Campo magnéticoexterno

h

l

Efeito de Hall em cargas livres negativas

-q+q

73

10.2. EFEITO DE HALL

• À medida que as cargas derivam na direcção transversal a diferença depotencial aumenta até o campo eléctrico transversal ser suficiente para pararessa deriva. A este campo eléctrico transversal chama-se o campo de HallEH e a diferença de potencial que gera EH chama-se a tensão de Hall VH .• Na configuração da figura anterior, a corrente e o campo magnético

mantêm o mesmo sentido. Apenas muda o sinal da carga que transporta acorrente I.• Nesta configuração tanto as cargas livres positivas +q como as negativas

−q são deflectidas para a base da barra, pela força magnética qvd ×B.• No caso em que as cargas livres +q são deflectidas para a base, pela

força magnética, a acumulação de uma carga positiva na base induz umacarga igual negativa no topo da barra, gerando um campo eléctrico de HallEH que aponta da base para o topo.• No caso em que as cargas livres −q são deflectidas para a base, pela

força magnética, a acumulação de uma carga negativa na base induz umacarga igual positiva no topo da barra, gerando um campo eléctrico de HallEH que aponta do topo para a base.• Consequentemente medindo a diferença de potencial entre o topo e

a base é possível determinar o sinal das cargas livres que transportam acorrente.• Se a barra for feita de um material metálico, esta experiência mostra

que as cargas livres são negativas (electrões).• Se a barra for feita de semicondutores do tipo P (veremos mais à frente),

esta experiência mostra que as cargas livres são positivas.• As cargas livres estão sujeitas aos campos B e EH e da definição de

EH a força de Lorentz (9.4) em cada carga é zero. Assim a magnitude datensão de Hall (e do campo de Hall EH) é dada por,

qEH =qVH

h= qvdB, (10.1)

logo,

VH = hvdB. (10.2)

• O facto de VH ser proporcional à magnitude de B é explorado paramedir campos magnéticos em instrumentos chamados sondas de Hall.• Usando a definição microscópica de corrente eléctrica (5.8) que passa

numa barra com as dimensões indicadas na figura anterior (I = qnlhvd)podemos exprimir na equação 10.2 a velocidade de deriva vd das cargas livresem função de I ficando,

VH =IB

qnl, (10.3)

74

10.3. GALVANÓMETROS

onde n é a densidade de cargas livres (i.e. o número de cargas livres porunidade de volume). Desta equação é claro que uma sonda de Hall sensível(i.e. uma sonda que produz uma grande tensão de Hall na presença dumcampo B fraco) deve ser percorrida por uma corrente elevada e ser feita deum material de largura elevada e com baixa densidade de cargas livres n(como um semicondutor).

10.3 Galvanómetros• Já falámos de correntes eléctricas, diferenças de potencial e resistências.Como podemos medir estas quantidades?• Basicamente só a corrente eléctrica é medida directamente, diferenças

de potencial e resistências são deduzidas através da medida de correntes, quepodem ser medidas com um galvanómetro.• Um galvanómetro consiste numa espira rectangular que pode rodar

livremente em torno dum eixo, como representado na figura. No plano daespira é aplicado um campo magnético aproximadamente uniforme B, geradopor um magnete permanente.

eixo de rotação

N S

B

II

L

D

B

espira

magnetepermanente

magnetepermanente

1

2

4

3

• Se uma corrente I percorrer a espira, quais são as forças exercidas naespira pelo campo B?• Usando a regra da mão direita (ver pág. 55) verifica-se que nas partes

da espira de comprimento D entre os pontos 4 e 1 e entre os pontos 2 e 3,a força magnética aponta da direcção paralela ao eixo de rotação da espira.Estando a espira fixa nessa direcção, estas forças não produzem movimentoda espira.• A intensidade da força exercida na parte da espira de comprimento

L entre os pontos 1 e 2 é F = IBL e aponta para fora da página sendoperpendicular ao eixo de rotação da espira.• Do mesmo modo se conclui que a força magnética entre os pontos 3 e 4

75

10.3. GALVANÓMETROS

tem intensidade também igual a F = IBL e aponta para dentro da página.• Estas duas forças exercem um momento na espira, fazendo-a rodar em

torno do seu eixo de rotação com um momento total τ ,

τ = 2FD

2= IBLD = BAI, (10.4)

sendo A a área da espira.• Conclui-se da equação anterior que para uma espira de área fixa, num

campo B fixo, o momento exercido na espira é proporcional à corrente I.• Num galvanómetro a espira normalmente é suspensa num fio de torção,

que exerce um momento contrário ao da força magnética, permitindo à espiraretornar à posição inicial. A intensidade deste momento é directamente pro-porcional ao ângulo de torção ∆θ, que por sua vez é proporcional à correnteI quando os dois momentos estão em equilíbrio.• Prendendo um ponteiro ao fio para observar a deflexão da espira, o gal-

vanómetro pode ser facilmente calibrado fazendo passar uma corrente eléc-trica conhecida e registando a deflexão do ponteiro numa escala.• Para evitar destruir o galvanómetro o fio de torção está limitado a uma

deflexão máxima a que corresponde uma corrente máxima que denominare-mos por Idm. Estas correntes são relativamente pequenas e da ordem dosmicro amperes. Como medir correntes superiores?• A solução é ligar o galvanómetro em paralelo com uma resistência Rinf

muito inferior à resistência interna do galvanómetro RG por onde pode passara maior parte da corrente.

RG

Rinf

IG

Iinf

I Iba

76

10.4. ORIGEM DO MAGNETISMO PERMANENTE

• Para medir diferenças de potencial (tensões) liga-se o galvanómetro sériecom uma resistência muito superior Rsup à resistência do galvanómetro RG,ligando em seguida o conjunto aos dois pontos entre os quais se pretendemedir a tensão. Desta forma extrai-se uma corrente muito pequena Im docircuito para fazer a medida.• A tensão entre os dois pontos é dada por Im(Rsup +RG).

Rsup ba I RG

10.4 Origem do magnetismo permanente

• Vimos anteriormente que uma corrente eléctrica gera em todo o espaço àsua volta um campo magnético.• Todos conhecemos o íman (um magnete permanente) e que este material

também é capaz de produzir uma campo magnético à sua volta. O campomagnético produzido por um íman é permanente e não é necessário fazerpassar nenhuma corrente eléctrica pelo íman para produzir esse campo.• Qual a origem deste campo? Porquê nem todos os materiais produzem

campos magnéticos permanentes?• Espalhando um pouco de limalha na vizinhança dum íman podemos

visualizar a forma das linhas de campo.

• As linhas de campo do campo magnético dum íman em forma de barrasão semelhantes às linhas do campo magnético geradas por um solenóide.

77

10.4. ORIGEM DO MAGNETISMO PERMANENTE

I

B

N

S

B

N

S

Campo magnético dum solenoide Campo magnético dum íman em forma de barra

• Partindo ao meio um íman obtemos dois ímanes e as linhas do campomagnético gerado por cada um deles são análogas às geradas pelo íman ori-ginal.• Ampère foi o primeiro a sugerir que no interior dum íman há correntes

circulares que geram linhas de campo magnético solenoidais, daí essas cor-rentes serem por vezes chamadas correntes amperianas. Mas qual é a origemdestas correntes?• Imaginemos um corte transversal num íman em que o pólo sul aponta

para fora do papel. Como ilustrado em baixo se em cada um dos áto-mos do íman circular uma corrente no sentido dos ponteiros do relógio, oefeito macroscópico de todas estas correntes é tal que as correntes interiorescancelam-se praticamente umas com as outras, restando apenas uma correnteexterior que circula na superfície do íman.

Correntes internascancelam-se

Corrente resultanteno sentido dos ponteiros

do relógio

• Deste modo são produzidas as correntes solenoidais necessárias paragerar um campo B com linhas de campo da forma atrás ilustrada.• Qual a origem destas correntes atómicas? Um átomo consiste de elec-

78

10.4. ORIGEM DO MAGNETISMO PERMANENTE

trões (carregados negativamente) que orbitam em torno dum núcleo (car-regado positivamente). Como uma carga em movimento constitui uma cor-rente eléctrica, a cada electrão está associada uma corrente.• Na maior parte dos átomos estas correntes cancelam-se todas entre si,

mas em átomos de materiais ferromagnéticos (e.g. ferro, cobalto, níquel) ocancelamento não é total e portanto esses átomos têm uma corrente circularfinita.• Outra questão pertinente é porque é que nos materiais feromagnéti-

cos átomos vizinhos alinham facilmente as suas correntes atómicas? Umaresposta completa a essa questão requer o uso da mecânica quântica. Novolume 2 das Feynman Lectures on Physics (ver bibilografia complementar)esta questão é discutida numa forma mais detalhada.• Como todos já observamos nem todos os pedaços de ferro se comportam

como ímanes. Na realidade num bocado de ferro, existem grupos de átomos,chamados domínios, em que todos os átomos têm as suas correntes circularesalinhadas. No entanto os domínios entre si estão desalinhados cancelandoassim os campos magnéticos gerados por cada domínio.• Uma forma de alinhar todos (ou quase todos) os domínios entre si, é

pela aplicação dum campo magnético externo forte ao ferro. Desta forma oalinhamento dos domínios leva a que os campos de cada um se adicionemcriando um campo macroscópico que perdura mesmo depois de desligado ocampo externo. O ferro diz-se então magnetizado e forma-se assim um ímanpermanente.• Concluindo, deve ser enfatizado que a magnetização dum íman de ferro

é um efeito criado por todos os átomos do íman e não apenas por um átomode ferro.

79

10.4. ORIGEM DO MAGNETISMO PERMANENTE

80

Aula 11

Indução electromagnética

Sumário:

- A lei de Faraday

- A lei de Lenz

- As leis de Faraday-Lenz e as eq. de Maxwell

11.1 A lei de Faraday• Consideremos um fio condutor eléctrico C, fechado, que é colocado numaregião onde existe um campo magnético B. A superfície delimitada pelo fiotem uma área S.

B

I

CS

fio condutorfechado

linhas de campo magnético

• Faraday descobriu que se o campo magnético variar no tempo entãoé induzida uma fem (força electromotriz) no fio, sendo a magnitude da femdirectamente proporcional à taxa de variação de B com o tempo.• Faraday também descobriu que é induzida uma fem no fio se o fio se

mover duma região onde B é pequeno para outra onde B é grande ou vice

81

11.2. A LEI DE LENZ

versa, sendo a fem directamente proporcional à velocidade com que o fio semove entre as duas regiões.• Faraday descobriu ainda que é induzida uma fem no fio se este rodar

numa região onde B é uniforme e constante.• Para explicar todas estas observações Faraday propôs uma lei a que

hoje chamamos a lei da indução electromagnética de Faraday que afirma,A fem induzida num circuito é proporcional a taxa de variação emrelação ao tempo do fluxo magnético através do circuito,ou algebricamente,

E = −dΦB

dt, (11.1)

onde ΦB representa o fluxo magnético através da superfície S delimitada pelocircuito (ver 8.4) e t o tempo. O sinal menos foi adicionado por Heinrich Lenz(ver próxima secção).• O fluxo magnético (

∫B · dS) que atravessa um circuito pode variar de

várias formas. Ou porque,

- a intensidade do campo magnético B varia.

- a direcção do campo magnético B varia.

- a posição do circuito C varia.

- a forma do circuito varia.

- a superfície circunscrita pelo circuito S varia.

- a orientação do circuito varia.

A lei de Faraday afirma que todas estas formas de variar o fluxo são equiva-lentes no que respeita à indução de uma fem no circuito.

11.2 A lei de Lenz• Faraday não especificou em que sentido actua a fem induzida no fio.• Foi Lenz que primeiro especificou essa direcção naquela que hoje con-

hecemos por lei de Lenz,A fem induzida num circuito eléctrico actua sempre num sentidotal que a corrente gerada por essa fem crie um campo magnéticoque se oponha ao campo magnético externo que gerou a fem.• Deste modo foi introduzido o sinal menos em 11.1 para lembrar que a

fem actua sempre de modo a se opor a variação do fluxo magnético externoque gera essa fem.

82

11.3. AS LEIS DE FARADAY(-LENZ) E AS EQ. DE MAXWELL

• A lei de Lenz faz todo o sentido e é bastante intuitiva. O que aconteceriase esta lei não se verificasse? Se a fem gerada no circuito contribuísse parao aumento do fluxo então com um campo B e dois circuitos podiam gerar-secampos magnéticos cada vez maiores apartir do nada, o que é irrealista.

11.3 As leis de Faraday(-Lenz) e as eq. de Maxwell• Como é produzida a fem na lei de Faraday(-Lenz) 11.1?• Uma força electromotriz é uma diferença de potencial. Mede-se em volt

ou seja em joule por coulomb. Uma fem é portanto uma energia por unidadede carga.• Assim quando a lei de Faraday(-Lenz) 11.1 afirma que uma fem E é

induzida num circuito fechado C, está implicitamente também a afirmar quea energia duma carga q que circula ao longo de C varia de qE . De onde vemesta energia?• Como já vimos atrás um campo magnético não consegue realizar tra-

balho numa carga, então a variação de energia deve vir dum campo eléctricoE.• Se a carga q se mover uma distância dl no campo E o trabalho que este

campo realiza na carga é dW = qE · dl.• Se a carga q se mover dum ponto a para um ponto b ao longo do caminho

C então podemos dividir o caminho C em muitos e pequeníssimos bocadosde tamanho dl e somar o trabalho em cada um deles,

W = q

b∫a

E · dl

• Se o ponto b coincidir com o ponto a, isto é se a carga der uma voltacompleta ao circuito C então o trabalho é dado por,

W = q

∮C

E · dl = qE , (11.2)

logo,

E =

∮C

E · dl. (11.3)

• Com a equação anterior podemos escrever a lei de Faraday como,∮C

E · dl = −dΦB

dt. (11.4)

83

11.3. AS LEIS DE FARADAY(-LENZ) E AS EQ. DE MAXWELL

• Recordando o teorema de Stokes 3.6 podemos também escrever a ex-pressão 11.3 como,

E =

∮C

E · dl =

∫S

(∇×E) · dS, (11.5)

onde S é a superfície aberta circunscrita por C.• Recordemos também que o fluxo de B através de S é dado por

∫S

B ·dS,logo a lei de Faraday e o teorema de Stokes implicam que,∫

S

(∇×E) · dS =

∮C

E · dl

= −dΦB

dt

= −∫

S

∂B

∂t· dS, (11.6)

como esta igualdade é válida para qualquer superfície S (desde que limitadapor C), então concluímos que,

∇×E = −∂B∂t

, (11.7)

que é uma das equações de Maxwell (eq. 1.3) que vimos logo na primeira aula.Portanto esta equação de Maxwell é simplesmente a lei de Faraday(-Lenz).Recordemos que as outras equações eram as leis de Gauss para E (2.2) e B(8.6) e a lei de Ampère (7.11).• A lei de Faraday(-Lenz) não se aplica só quando o circuito C é um

circuito conductor. Esta lei é válida num circuito fechado arbitrário no es-paço. Para mostrar que assim é dum modo simplista, note-se que a correnteI induzida num circuito C pela E é segundo a lei de Ohm igual a I = E/R,sendo R a resistência do circuito. Num circuito C com R arbitrariamentegrande, não circula corrente e não invalida a lei de Faraday. Logo esta leipode se aplicar a qualquer circuito fechado no espaço.• Da lei de Faraday na forma 11.4 ou 11.7 vemos que a variação dum

campo magnético no tempo gera um campo eléctrico no espaço.B

E

Campo B aumentando no tempo.

B

E

Campo B diminuindo no tempo.

84

11.3. AS LEIS DE FARADAY(-LENZ) E AS EQ. DE MAXWELL

• As linhas deste campo eléctrico E formam caminhos fechados no planoperpendicular a B e é este campo eléctrico que origina a fem em torno docircuito. A natureza deste campo E é distinta do campo electrostático geradopor cargas eléctricas, cujas linhas de campo são abertas e vão das cargaspositivas para as cargas negativas.• As linhas do campo eléctrico geradas por indução magnética

não têm princípio nem fim, são linhas fechadas.• Antes de terminar este ponto chama-se também à atenção que o campo

eléctrico induzido não é conservativo porque existe uma fem diferente de zero(rever Sec. 3.2 na página 26). Assim o conceito de potencial eléctrico (V )como o definimos em electrostática não é válido para este campo induzido,pois já não depende só da posição mas varia também no tempo.

85

11.3. AS LEIS DE FARADAY(-LENZ) E AS EQ. DE MAXWELL

86

Aula 12

Indução electromagnética

Sumário:

- Um gerador simples

- Correntes de Foucault

- O gerador de corrente alternada

- O gerador de corrente contínua

- O motor de corrente alternada

- O motor de corrente contínua

12.1 Um gerador simples

• Normalmente um gerador eléctrico transforma energia mecânica em energiaeléctrica, movendo fios condutores numa direcção perpendicular a um campomagnético. Um gerador muito simples mas nada prático está ilustrado nafigura e consiste numa barra condutora de comprimento l que desliza sobreum condutor em forma de C que está envolto num campo magnético B,perpendicular ao plano do circuito

87

12.1. UM GERADOR SIMPLES

Campo magnético Baponta para dentro

da página

l

x

v

I

I

∆x

E0 = v x B

+++

- - -

+q

• Se B apontar para dentro da página o fluxo magnético através da partefechada do circuito é dado por,

ΦB = Blx, (12.1)

e se deslocarmos a barra com velocidade v, no intervalo de tempo ∆t a barrapercorre a distância ∆x = v∆t e ΦB aumenta de,

∆ΦB = Bl∆x = Blv∆t. (12.2)

• Assim a lei de Faraday implica que é gerada uma fem no circuito demagnitude,

E = −∆ΦB

∆t= −Blv. (12.3)

• Como o fluxo aumenta a corrente induzida I pela fem gera por sua vezum campo magnético que aponta no sentido oposto ao campo B externo,como tal a corrente induzida tem que circular no sentido oposto ao dos pon-teiros do relógio. Quanto menor for a resistência R do circuito maior é acorrente I = E/R.• Qual a origem desta fem que actua em torno do circuito?• Recordemos que uma fem (força electromotriz) é uma diferença de po-

tencial e como tal se uma carga q circula em trono do circuito devido a estaforça electromotriz essa carga ganha uma energia igual a qE .• A carga circula muito devagar (porque a velocidade de deriva vd é muito

baixa) logo na parte em C do circuito a força magnética é muito pequena.Contudo quando q atravessa a barra, que está em movimento, uma força

88

12.2. CORRENTES DE FOUCAULT

magnética Fm = qvB empurra q para cima se for uma carga positiva e entãoo trabalho realizado por esta força é,

W = qvBl = qE . (12.4)

• Contrariamente ao que possa parecer, a carga q não adquire a energiado campo B, pois recordemos que um campo magnético não pode realizartrabalho numa carga eléctrica (ver Sec.9.1, Pág.68). Então donde vem aenergia?• Repare-se que no referencial da barra a carga deriva muito lentamente

com a velocidade vd (não confundir com v a velocidade da barra), assimneste referencial a força magnética é desprezável. Só um campo eléctricoconsegue fazer uma força significativa numa carga que se move lentamente epara produzir a fem observada q tem de ser empurrada por uma força qvB,portanto tal só é possível se a carga sentir um campo eléctrico que apontapara cima e tem uma magnitude,

E0 = vB, (12.5)

note-se que E0 não existe no referencial do laboratório, mas existe apenas noreferencial da barra em movimento.• De um modo geral, se um condutor se move com velocidade v no ref-

erencial do laboratório, na presença dum campo B então uma carga dentrodo condutor sente uma força magnética f = qv ×B. No referencial do con-dutor a mesma força toma a forma duma força eléctrica f = qE0 onde E0 éo campo eléctrico no referencial do condutor e é dado por,

E0 = v ×B, (12.6)

e é este o campo eléctrico que origina todas as fem geradas sempre que umcircuito se move relativamente a um campo magnético.• Concluímos então que a lei de Faraday é devida aparentemente à com-

binação de dois efeitos distintos. O primeiro é o campo eléctrico gerado noespaço por um campo magnético variável no tempo (ver Sec.11.3, Pág.84).O segundo é o campo eléctrico gerado dentro dum condutor quando se moveatravés dum campo magnético. Estes dois efeitos são dois aspectos dummesmo fenómeno e a lei de Faraday não faz distinção entre eles.

12.2 Correntes de Foucault• Vimos anteriormente que sempre que um condutor se move num campomagnético externo B é induzida uma corrente eléctrica I nesse condutor.• Se o condutor tiver uma resistência R a corrente induzida aquece o

condutor pois dissipa-se no condutor uma energia RI2 por unidade de tempo.

89

12.2. CORRENTES DE FOUCAULT

• Por outro lado o campo magnético externo B interage com a correnteinduzida exercendo uma força magnética por unidade de comprimento nocondutor I ×B.• Léon Foucault foi a primeiro a descobrir estas correntes induzidas que

circulam dentro de um condutor que se move num campo magnético estáticoou num condutor que está parado num campo magnético variável. Como talchamam-se correntes de Foucault.• Considere-se o seguinte exemplo em que um disco de metal roda num

campo magnético localizado de modo a que apenas uma pequena secção dodisco sente o campo magnético (ver ilustração).

Campo magnético Baponta para dentro

da página

Corrente de Foucault

Sentido de rotação do disco metálico

+++

- - -

+++

- - -

S

N

eixo de rotação

Vista de topo Vista de lado

íman que criaum campo magnético B

localizado

disco metálico

• A fem induzida na região do disco sob o efeito de B actua na direçãov×B, sendo v a velocidade do disco. No caso ilustrado essa fem é compostaduma diferença de potencial no sentido do centro para a periferia do discogerando uma corrente eléctrica também no mesmo sentido. No entanto comoa carga não se pode acumular no disco, estas correntes têm de ser fechadas ecomo tal circulam para trás pela parte do disco exterior ao campo magnético.• Este movimento circular fechado tem a forma dum vórtice (ou dum

remoinho).• Pela regra da mão direita facilmente se descobre que na região onde está

o campo, as correntes de Foucault originam uma força magnética no discoque se opõem ao movimento de rotação do disco.• Se o disco não for mantido a rodar por uma força externa as correntes

de Foucault levam à paragem do disco devido à energia de rotação do discoestar a ser continuamente dissipada em calor pelas correntes de Foucault.• Alguns exemplos do uso das correntes de Foucault são:

- Levitação magnética.

- Detectores de metais.

- Travões electromagnéticos.

- Fornos por indução.

90

12.3. O GERADOR DE CORRENTE ALTERNADA

12.3 O gerador de corrente alternada• Analisemos agora o mecanismo dum simples gerador eléctrico de correntealternada, como o indicado na figura, que converte a energia mecânica derotação duma espira rectangular num campo magnético uniforme, em energiaeléctrica.

sentido de rotação

B

espiraθ

vista de topovista de lado

eixo de rotação

N S

B

II

L

D

B

espira

magnetepermanente

magnetepermanente

1

2

4

3

I

R

• Se A for a área da espira e θ o ângulo entre o campo B e a normal aoplano da espira, então o fluxo magnético de B através da espira é dado por,

ΦB = BA cos θ. (12.7)

• Se a espira for forçada a rodar com velocidade angular constante ω entãoa variação de θ no tempo é θ = ωt e pela lei de Faraday(-Lenz) é induzidana espira uma fem,

E = −dΦB

dt= − d

dt(BA cos(ωt)), (12.8)

logo,

E = BAω sin(ωt). (12.9)

• Caso haja N espiras, então o fluxo será N vezes superior e portanto,

E = NBAω sin(ωt). (12.10)

• Usando a relação ω = 2πf entre a frequência angular ω e a frequênciaf , podemos escrever a equação anterior como,

E = EMax sin(2πft), (12.11)

91

12.3. O GERADOR DE CORRENTE ALTERNADA

onde,

EMax = 2πNBAf, (12.12)

é o valor máximo da força electromotriz gerada, que como se vê, é propor-cional à área da espira, ao número de espiras, ao número de voltas que asespiras dão num segundo (f) e ao módulo do campo magnético.• Esta fem é sinusoidal no tempo, atingindo os valores extremos quando o

plano da espira é paralelo ao campo magnético (quando o fluxo varia mais) eé zero quando o plano da espira é perpendicular ao campo magnético (quandoo fluxo varia menos), invertendo o sinal a cada meio período de rotação daespira.• Ligando uma resistência de carga R à espira então de acordo com a lei

de Ohm a corrente I que flúi por R é,

I =ER

=EMax

Rsin(2πft), (12.13)

esta corrente I também flúi pela espira.

92

Aula 13

Indutores e indutância

Sumário:

- Indutância mútua

- Auto-indutância

- A energia armazenada num indutor

- A densidade de energia dum campo magnético

13.1 Indutância mútua

circuito 1circuito 2

I2

I1

B1

B1

• Consideremos dois circuitos eléctricos fechados 1 e 2, como os ilustradosem cima.• A corrente I1 no circuito 1 gera um campo magnético B1 que passa

pelo circuito 2, provocando um fluxo magnético ΦB12 neste circuito.• Se I1 duplicar, então B1 também duplica em todo o espaço e portanto

também o fluxo magnético ΦB12 gerado por I1 e que atravessa o circuito 2,duplica. Esta é uma consequência da linearidade das leis da magnetostáticae da definição de fluxo magnético.

93

13.1. INDUTÂNCIA MÚTUA

• É também claro que ΦB12 é zero se I1 = 0.•O fluxo ΦB12 através do circuito 2 é directamente proporcional à corrente

I1 no circuito 1 e como tal podemos escrever,

ΦB12 = M21I1, (13.1)

onde a constante M21 é a chamada indutância mútua do circuito 2 relativa-mente ao circuito 1.• Por um raciocínio semelhante concluímos que o fluxo magnético ΦB21

através do circuito 1 devido a uma corrente I2 que circula pelo circuito 2 édado por,

ΦB21 = M12I2, (13.2)

onde a constante M12 é a chamada indutância mútua do circuito 1 relativa-mente ao circuito 2.• Pode mostrar-se matematicamente que independentemente da forma,

das posições ou orientações relativas dos circuitos, M12 = M21 e então,

M = M12 = M21, (13.3)

onde M é a indutância mútua dos dois circuitos, uma quantidade puramentegeométrica que só depende da forma, das posições e orientações relativas doscircuitos.• No Sistema Internacional a unidade da indutância mútua é o Henry

(H). Um henry é igual a um volt-segundo por ampere,

1H ≡ 1VsA−1, (13.4)

que é uma unidade um pouco desproporcionada, pois as indutâncias mútuastípicas dos circuitos comuns são da ordem dos mili-henry.• A um instrumento com dois circuitos desenhado para ter indutância

mútua chama-se um indutor mútuo ou transformador.• Das equações (13.1) e (13.3), se a corrente que flúi no circuito 1 varia

no intervalo de tempo dt de dI1 então o fluxo que atravessa o circuito 2 variano mesmo intervalo de tempo de dΦB12 = MdI1, o que gera uma fem nocircuito 2,

E2 = −dΦB12

dt= −M dI1

dt. (13.5)

• De forma análoga se a corrente que flúi no circuito 2 varia no intervalode tempo dt de dI2 então a fem gerada no circuito 1 é dada por,

E1 = −M dI2dt. (13.6)

94

13.2. AUTO-INDUTÂNCIA

• Enfatiza-se que este acoplamento entre os dois circuitos ocorresem nenhum contacto físico. O acoplamento é realizado apenas pelocampo magnético.

Como exemplo calculemos a indutância mútua de dois solenóides1 e 2 de comprimento l enrolados um por cima do outro, ficando nointerior o solenóide 1. O solenóide 1 tem uma secção de área A e N1espiras e o solenóide 2 (exterior) tem N2 espiras.

Se uma corrente I1 flúi pelo solenóide 1, então no seu núcleo é gerado umcampo magnético com intensidade B1 = µ0N1I1/l (ver eq. 8.3). O campo mag-nético no exterior do solenóide 1 é desprezável.O fluxo através duma espira do solenóide 2 é B1A, logo através das N2 espi-ras o fluxo é, ΦB12 = N2B1A = µ0N2N1I1A/l. Então a indutância mútua dosolenóide 2 relativamente ao 1 é,

M21 =ΦB12

I1=µ0N2N1A

l. (13.7)

Por outro lado quando passa uma corrente I2 pelo solenóide 2 este gera um fluxoatravés do solenóide 1 ΦB21 = N1B2A = µ0N1N2I2A/l, pois B2 = µ0N2I2/l.Então a indutância mútua do solenóide 1 relativamente ao 2 é,

M12 =ΦB21

I2=µ0N1N2A

l. (13.8)

Concluímos então que M21 = M12 logo,

M =µ0N1N2A

l, (13.9)

onde se vê claramente que a indutância mútua destes dois circuitos é uma quanti-dade geométrica, independente das correntes eléctricas e dos campos magnéticos,só dependendo das dimensões dos solenóides e do número de espiras da cada um.

13.2 Auto-indutância• Um só circuito fechado por onde circula uma corrente I também interagecom ele próprio, pois é atravessado pelo seu próprio fluxo magnético ΦB.Dada a natureza linear das leis da magnetostática e da definição de fluxomagnético resulta que o fluxo ΦB é proporcional à corrente I logo,

ΦB = LI, (13.10)

onde a constante de proporcionalidade L é a chamada auto-indutância docircuito.

95

13.3. A ENERGIA ARMAZENADA NUM INDUTOR

• Tal como a indutância mútua, a auto-indutância dum circuito mede-seem henry e é uma quantidade puramente geométrica.• Se a corrente I que flúi no circuito varia no intervalo de tempo dt de

dI então o fluxo que atravessa o circuito varia no mesmo intervalo de tempode dΦB = LdI, gerando pela lei de Faraday(-Lenz) uma fem no circuito,

E = −dΦB

dt= −LdI

dt, (13.11)

ou seja, se uma corrente que flúi num circuito fechado aumenta no tempo éinduzida no próprio circuito uma fem que se opõe ao aumento da corrente (evice versa).• Como já vimos anteriormente na lei de Lenz, a fem induzida nunca

poderia reforçar a corrente indutora, caso contrário a corrente não pararia deaumentar, o que é irrealista e violaria o principio da conservação da energia.Então a auto-indutância L dum circuito é sempre uma quantidadepositiva ao contrário das indutâncias mútuas que podem ser positivas ounegativas.

13.3 A energia armazenada num indutor• Consideremos um indutor com indutância L que é ligado a uma fonte detensão variável, de forma a que uma corrente eléctrica i flua pelo indutordesde zero até um valor final I.• Ao aumentar a corrente no indutor é gerada uma fem E = −Ldi/dt que

se opõe ao aumento de i. Então a fonte de tensão tem de realizar trabalhocontra esta fem de modo a conseguir aumentar a corrente i no circuito. Otrabalho realizado no intervalo dt é,

dW = Pdt = −Ei = iLdi

dtdt = Lidi, (13.12)

onde P = −Ei é a taxa por unidade de tempo à qual a fonte de tensão realizatrabalho (potência dada pela fonte de tensão) contra a fem no indutor.• Então o trabalho total realizado para estabelecer a corrente I é,

W =

∫dW =

I∫0

Lidi, (13.13)

logo a energia armazenada no indutor que é igual ao trabalho total realizadopara estabelecer a corrente I é dada por,

W =1

2LI2. (13.14)

96

13.4. A DENSIDADE DE ENERGIA DUM CAMPO MAGNÉTICO

Como exemplo calculemos a auto-indutância dum solenóide decomprimento l com uma secção de área A e N espiras.

Quando uma corrente I flúi pelo solenóide no seu núcleo é gerado um campomagnético com intensidade (ver eq. 8.3),

B = µ0NI/l. (13.15)

O campo magnético no exterior do solenóide é desprezável.O fluxo através duma só espira do solenóide é BA, logo através das N espiras ofluxo é,

ΦB = NBA = µ0N2IA/l. (13.16)

Então a auto-indutância do solenóide é dada por,

L =ΦB

I=µ0N

2A

l, (13.17)

onde se vê claramente que a auto-indutância L é uma quantidade positiva, in-dependente da corrente eléctrica e do campo magnético, só dependendo da di-mensão do solenóide e do número de espiras.

13.4 A densidade de energia dum campo magnético• Das equações (13.15), (13.16) e (13.17) a energia armazenada num solenóidepode escrever-se como,

W =1

2LI2 =

µ0N2A

2l

(Bl

µ0N

)2

, (13.18)

simplificando vem,

W =B2

2µ0

lA, (13.19)

como lA é o volume do núcleo do solenóide a energia por unidade de volume,ou seja a densidade de energia é,

w =B2

2µ0

. (13.20)

• Esta expressão não é válida apenas para o campo magnético no interiordum solenóide, mas aplica-se a qualquer campo magnético.

97

13.4. A DENSIDADE DE ENERGIA DUM CAMPO MAGNÉTICO

• A energia contida num campo magnético que ocupa um volume v podeser calculada de forma geral por,

W =

∫v

wdv =

∫v

B2

2µ0

dv, (13.21)

é como se o volume v fosse dividido em cilindros com volume elementar dv(no interior dos quais o campo é aproximadamente uniforme) e somássemosa energia de todos esses pequeníssimos cilindros para obter a energia totalno volume v.• Quando existem conjuntamente campos eléctricos e magnéticos no es-

paço as equações (4.22) e (13.20) podem ser combinadas para obter a densi-dade de energia total contida nos campos,

w =ε0E

2

2+B2

2µ0

. (13.22)

98

Aula 14

Regime transiente e circuitos CA

Sumário:

- O circuito RL

- O circuito RC

- Circuitos de CA - Impedância

- Circuitos de CA - RLC

14.1 O circuito RL

V

R

I

-+

L

interruptor

• No circuito ilustrado uma resistência R está ligada em série com umindutor de indutância L e com uma fonte de alimentação com uma fem V .Este circuito chama-se circuito RL.

99

14.1. O CIRCUITO RL

• Quando o interruptor está aberto a corrente no circuito é zero. Quandoo interruptor é fechado a corrente aumenta gradualmente e estabiliza numvalor limite I. Neste período transitório em que a corrente vai aumentando,de acordo com a equação (13.11) estabelece-se no indutor uma fem LdI/dtque se opõe à variação de corrente.• Aplicando no circuito a lei de Kirchoff para a tensão temos,

V − LdI

dt−RI = 0 (14.1)

V

R− I =

L

R

dI

dt.

• Podemos separar as variáveis I e t ficando,

R

Ldt =

dIVR− I

integrando vem,t∫

0

R

Ldt =

I∫0

dIVR− I

R

Lt = − ln

(V

R− I

)]I

0

= − ln

(V

R− I

)+ ln

(V

R

)= − ln

(1− R

VI

)usando ln ex = x obtemos,

e−RL

t = 1− R

VI

I(t) =V

R

(1− e−

RL

t), (14.2)

• A equação anterior especifica I(t) para um instante t após o interruptorser fechado e dela se conclui que a corrente aumenta gradualmente atingindo63% do seu valor final após um tempo,

τ =L

R, (14.3)

e quando t = 5τ a corrente já é superior a mais de 99% do valor final I = V/R.Ao tempo τ chama-se a constante de tempo do circuito (ver figura).

100

14.1. O CIRCUITO RL

5τ 10τ00

0.5V/R

I=V/R

I(t)=V/R(1 - e-Rt/L)

I(t)=V/R e-Rt/L

• Após o regime transiente atrás descrito que dura aproximadamente 5τsegundos o circuito entra num regime estacionário. A corrente que flúi nocircuito é I = V/R e não havendo variação de fluxo o indutor não influenciao circuito e no que diz respeito ao comportamento eléctrico do circuito oindutor desaparece.

• Se a bateria for retirada do circuito e substituída por um fio, a correntedecai para zero. A forma como tal ocorre pode ser obtida calculando I(t) deforma análoga à anterior.

• A equação do circuito é,

− LdI

dt−RI = 0 (14.4)

−RLI =

dI

dt,

e seguindo os mesmos passos dados anteriormente facilmente se conclui que,

I(t) = I0e−Rt/L, (14.5)

ou seja o decaimento é exponencial e após um tempo igual a 5R/L a correnteé já inferior a 1% do valor inicial I0.

101

14.2. O CIRCUITO RC

14.2 O circuito RC

V

R

I

-+

C

interruptor

• No circuito ilustrado uma resistência R está ligada em série com umcondensador com capacidade C e com uma fonte de alimentação com umafem V . Este circuito chama-se circuito RC.

• Aproveitamos para discutir o circuito RC neste ponto pois apesar denão ter nada a ver com indutores a análise do seu comportamento é muitosemelhante à do circuito RL.

•Quando o interruptor está aberto a carga no condensador é zero. Quandoo interruptor é fechado a carga aumenta gradualmente e estabiliza num valorlimite Q. Neste período transitório em que a carga vai aumentando, deacordo com a equação (4.2) estabelece-se entre as placas do condensadoruma diferença de potencial Q/C.

• Aplicando no circuito a lei de Kirchoff para a tensão e relembrando queI = dQ/dt temos,

V − Q

C−RI = 0 (14.6)

V − Q

C=

dQ

dt.

102

14.2. O CIRCUITO RC

• Podemos separar as variáveis Q e t ficando,

dt

RC=

dQ

V C −Qintegrando vem,

t∫0

dt

RC=

Q∫0

dQ

V C −Q

1

RCt = − ln (V C −Q)]Q0

= − ln

(1− Q

V C

)usando ln ex = x obtemos,

Q(t) = V C(1− e−

tRC

), (14.7)

• A equação anterior especifica Q(t) para um instante t após o interruptorser fechado e dela se conclui que a carga nas placas do condensador aumentagradualmente atingindo 63% do seu valor final após um tempo,

τ = RC, (14.8)

e quando t = 5τ a carga já é superior a mais de 99% do valor final Q = V C.Ao tempo τ chama-se a constante de tempo do circuito (ver figura).

5τ 10τ00

0.5VC

Q=VC

Q(t)=VC(1 - e-t/(RC))

Q(t)=VC e-t/(RC)

• Podemos obter facilmente a corrente que flúi no circuito derivando acarga em ordem ao tempo,

I(t) =dQ

dt=V

Re−

tRC . (14.9)

• Imediatamente após o interruptor ser fechado flúi no circuito a correnteI = V/R que seria a corrente se o condensador não estivesse no circuito. No

103

14.3. CIRCUITOS DE CA - IMPEDÂNCIA

entanto esta corrente é transiente e decai para menos de 1% do valor inicialem apenas 5RC segundos.• Após este regime transiente que dura aproximadamente 5τ segundos o

não flúi corrente no circuito. O condensador funciona como um interruptoraberto.• Se a bateria for retirada do circuito e substituída por um fio, a carga

decai para zero. A forma como tal ocorre pode ser obtida calculando Q(t)de forma análoga à anterior.• A equação do circuito é,

− Q

C−RdQ

dt= 0 (14.10)

− dt

RC=

dQ

Q,

e seguindo os mesmos passos dados anteriormente facilmente se conclui que,

Q(t) = Q0e− t

RC , (14.11)I(t) = I0e

− tRC , (14.12)

ou seja o decaimento é exponencial e após um tempo igual a 5R/L a correnteé já inferior a 1% do valor inicial I0.

14.3 Circuitos de CA - Impedância• A maioria dos aparelhos eléctricos e magnéticos opera com correntes os-cilantes ou alternadas. Duas razões para tal são,

- o facto da potência eléctrica poder ser distribuída num qualquer valorde tensão conveniente usando transformadores, que funcionam apenascom correntes oscilantes.

- correntes oscilantes ou alternadas podem transportar informação. Ummicrofone transforma a informação contida numa palavra falada numacomplicada corrente oscilante.

• Neste estudo assumiremos que as tensões, correntes e cargas são todasfunções sinusoidais do tempo, com as fases apropriadas.• Em analogia com a lei de Ohm para circuitos de corrente contínua para

circuitos de corrente alternada tem-se,

I =V

Z, (14.13)

onde tanto I como V são grandezas que variam no tempo e Z é a impedânciado circuito que se mede em ohm (Ω) tal como a resistência.

104

14.3. CIRCUITOS DE CA - IMPEDÂNCIA

• Para o cálculo da impedância equivalente de associações de impedânciasem série ou em paralelo num circuito aplicam-se as mesmas regras usadas nasresistências.• A impedância é normalmente uma grandeza imaginária com a forma,

Z = R + iX (14.14)

onde a X se chama a reactância.• Calculemos a impedância duma resistência. Para tal consideremos um

circuito em que uma fonte de tensão alternada está ligada em série a umaresistência R.

V=Vp cos(ωt)

R

~

• Seja a tensão fornecida pela fonte,

V = Vp cos(ωt), (14.15)

onde Vp é a amplitude máxima da tensão (valor de pico) e ω = 2πf é a fre-quência angular em radianos e f a frequência em hertz (ciclos por segundo).• Da lei de Kirchoff para a tensão,

Vp cos(ωt) = RI, (14.16)

logo I = Ip cos(ωt) com Ip = Vp/R e da eq. (14.13) temos,

Z =V

I=Vp

Ip= R, (14.17)

portanto a impedância duma resistência é simplesmente igual à resistência.• Calculemos agora a impedância dum indutor. Para tal consideremos

um circuito em que a mesma fonte de tensão alternada está ligada em sériea um indutor com indutância L.

105

14.3. CIRCUITOS DE CA - IMPEDÂNCIA

V=Vp cos(ωt)~

L

• Da lei de Kirchoff para a tensão,

Vp cos(ωt) = LdI

dt. (14.18)

• Usando notação complexa podemos escrever a tensão V como a partereal de V0e

iωt. Desta forma a resolução da equação diferencial anterior éimediata,

V0eiωt = L

dI

dt

I =V0

Liωeiωt, (14.19)

logo da eq. (14.13) temos,

Z =V

I

=V0e

iωt

V0

Liωeiωt

= iLω. (14.20)

• Calculemos por último a impedância dum condensador. Para tal con-sideremos um circuito em que a mesma fonte de tensão alternada está ligadaem série a um condensador com capacidade C.

106

14.4. CIRCUITOS DE CA - RLC

V=Vp cos(ωt)~

C

• Usando a notação complexa, da lei de Kirchoff para a tensão vem,

V0eiωt =

Q

C, (14.21)

mas como Q =∫Idt vem,

V0eiωt =

∫Idt

C(14.22)

• A solução desta equação integral é imediata,

V0eiωt =

∫Idt

CI = CiωV0e

iωt, (14.23)

logo da eq. (14.13) temos,

Z =V

I

=V0e

iωt

CiωV0eiωt

=1

iCω. (14.24)

14.4 Circuitos de CA - RLC• Analisemos agora um circuito um pouco mais elaborado, que consiste dumaresistência em série com um indutor e um condensador, alimentados por umafonte de tensão alternada V com amplitude máxima Vp e frequência ω.

107

14.4. CIRCUITOS DE CA - RLC

V=Vp cos(ωt)

R C

L

~

• A equação do circuito obtém-se mais uma vez aplicando a lei de Kirchoffpara a tensão,

V − IR− LdI

dt−

∫Idt

C= 0. (14.25)

• A solução duma equação integro-diferencial não é trivial. No entanto,no caso particular como tanto a tensão como a corrente oscilam com umafrequência fixa podemos usar novamente a notação complexa para representarnovamente estas quantidades como,

V (t) = V0eiωt (14.26)

I(t) = I0ei(ωt−θ) (14.27)

em que a solução física é apenas a parte real destes números complexos. Avantagem desta notação complexa é que devido à facilidade em integrar ediferenciar a função exponencial, esta equação integro-diferencial é rapida-mente transformada numa equação algébrica. Vejamos como,

V − IR− LdI

dt−

∫Idt

C= 0

V − IR− iωLI − I

iωC= 0

I(R + iωL+1

iωC) = V

I =V

(R + i(ωL− 1

ωC

)). (14.28)

108

14.4. CIRCUITOS DE CA - RLC

• Rapidamente se conclui que a impedância deste circuito é igual a,

Z =V

I= R + iωL+

1

iωC, (14.29)

que é simplesmente a soma das impedâncias de cada um dos elementos docircuito (ver equações (14.17), (14.20), (14.24)).• Para determinar o valor real da corrente basta extrair apenas a parte

real da eq. (14.28),

I =V

(R + i(ωL− 1

ωC

))

=V0e

iωt

reiθ

=V0

rei(ωt−θ), (14.30)

onde r =√R2 + (ωL− 1/(ωC))2 e θ = arctan

(ωL−1/(ωC)

R

). A parte real da

equação (14.30) é então dada por,

I(t) = I0 cos(ωt− θ), (14.31)

onde,

I0 =V0

r=

V0√R2 + (ωL− 1/(ωC))2

, (14.32)

note-se que o valor máximo da amplitude da corrente eléctrica I0 varia com ovalor de ω. Tal pode ser mais facilmente visualizado se reescrevermos (14.32)em função das quantidades adimensionais Q = ωrL/R e ω′ = ω/ωr,

I0 =V0

R

1√1 +Q2(ω′ − 1/ω′)2

, (14.33)

onde ωr = 1/√LC é a chamada frequência de resonãncia do oscilador.

• A figura seguinte exemplifica o significado da frequência de ressonância,onde se pode ver que quando ω = ωr a amplitude da corrente I0 tem o valormáximo e que o máximo é tanto mais bem definido quanto maior é Q (a quese chama o factor de qualidade do oscilador).

109

14.4. CIRCUITOS DE CA - RLC

Q = 1

Q = 10

Q = 100

0 ωr 2ωr 3ωr

V0 /R

0.5V0 /R

0

ω

I0 (ω)

• Este comportamento ressonante do circuito RLC é usado para sintonizarsinais de rádio, numa frequência escolhida. A selecção dum canal no rádioou na televisão pode ser feita variando a capacidade do condensador numcircuito RLC para escolher uma nova frequência de ressonância. Os canaisemitidos em frequências diferentes são rejeitados.• Escrevendo também o ângulo θ (que indica o desfasamento da corrente

em relação à tensão) em função das quantidades adimensionais Q e ω′ obte-mos,

θ = arctan (Q [ω′ − 1/ω′]) , (14.34)

esta expressão está ilustrada na seguinte figura,

π/2

−π/2

θ(ω)

0 Q = 1

Q = 10Q = 100

0 ωr 2ωr 3ωr

ωonde se pode observar claramente que o desfasamento varia de −π/2

quando a frequência ω é significativamente inferior à frequência de ressonân-cia ωr, até π/2 para frequências significativamente superiores a ωr. Para

110

14.4. CIRCUITOS DE CA - RLC

ω = ωr a corrente está em fase com tensão.• A Potência instantânea de saída da fem é,

P = V (t)I(t). (14.35)

• A Potência média de saída da fem é obtida calculando a média dapotência instantânea ao longo dum período T de oscilação,

P = V (t)I(t)

=1

T

T∫0

V0 cos(ωt)I0 cos(ωt− θ)dt

=1

TV0I0

T∫0

cos(ωt) (cos(ωt) cos(θ) + sin(ωt) sin(θ)) dt

=1

TV0I0

cos(θ)

T∫0

cos(ωt)2dt

︸ ︷︷ ︸T2

+ sin(θ)

T∫0

cos(ωt) sin(ωt)dt

︸ ︷︷ ︸0

=

V0I02

cos(θ) (14.36)

• Usando a notação complexa (equações (14.26) e (14.27)) conseguimosobter o mesmo resultado duma forma mais rápida e com muito menos cálculostendo em atenção que,

P =1

2Re(V I∗) (14.37)

=1

2Re

(V0e

i(ωt)I0e−i(ωt−θ)

)=

V0I02

cos(θ), (14.38)

idêntico a (14.36).• Usando a eq.(14.13) podemos reescrever a eq.(14.37) num forma equiv-

alente,

P =1

2Re(ZII∗) =

1

2Re(Z)|I|2, (14.39)

esta expressão mostra que a potência de saída da fem é igual à potênciadissipada, estando associada com a parte real da impedância do circuito. No

111

14.4. CIRCUITOS DE CA - RLC

caso do circuito RLC,

P =1

2RI2

0 , (14.40)

ou seja só a resistência dissipa energia neste circuito. O condensador e oindutor armazenam energia, devolvendo-a eventualmente ao circuito sem dis-sipação.

112

Aula 15

Sumário:

- O transformador

- Ajuste de impedâncias

15.1 O transformador

Tensãoprimária

Correnteprimária

IP

Correntesecundária

Fluxomagnético

Núcleo doTransformador

EnrolamentosecundárioNS espiras

+

+

IS

VS

VP

-

-

Enrolamentoprimário

NP espiras

Tensãosecundária

l

l

secção com área A

• Um transformador consegue aumentar ou diminuir uma tensão alter-nada. Este aparelho tem um papel crucial no transporte de energia eléctricadesde o local onde é gerada (barragens, centrais termoeléctricas, geradoreseólicos, centrais nucleares, etc.) até às nossas casas onde é consumida.• Como ilustra a figura, num transformador dois solenóides, o primário e

o secundário, trocam fluxo magnético entre si. Não há ligação física directa

113

15.1. O TRANSFORMADOR

entre os enrolamentos destes solenóides, que são enrolados em volta dumnúcleo de ferro comum.• O núcleo de ferro serve apenas para conduzir a maior quantidade pos-

sível de fluxo magnético, gerado pela corrente que flúi no primário, até aoenrolamento secundário, aumentando a interacção entre os dois enrolamen-tos.• Consideremos um transformador ideal, que não tem perdas de energia

(normalmente causadas por correntes de Foucault induzidas no núcleo deferro) e onde o fluxo gerado no primário é igual ao que atravessa o secundário.Consideremos que ambos os enrolamentos têm comprimento l e secção deárea A e que NP e NS são o número de espiras dos enrolamentos primário esecundário, respectivamente.• Se uma tensão alternada com frequência angular ω,

VP = VP0 cos(ωt), (15.1)

é aplicada ao primário e a corrente é,

IP = IP0 sin(ωt), (15.2)

então IP gera por indução no secundário uma fem também alternada,

VS = VS0 cos(ωt), (15.3)

e se o secundário estiver ligado a uma resistência a tensão VS produz umacorrente,

IS = IS0 sin(ωt), (15.4)

no enrolamento secundário.• Pela lei de Kirchoff para a tensão, a equação do circuito primário fica,

VP − LPdIPdt−M dIS

dt= 0

VP0 − LPωIP0 −MωIS0 = 0, (15.5)

onde o segundo termo é a fem auto-induzida no enrolamento primário e oterceiro termo é a fem resultante da indutância mútua M dos enrolamentosprimários e secundários.• Por razões semelhantes a equação do circuito secundário fica,

VS − LSdISdt−M dIP

dt= 0

VS0 − LSωIS0 −MωIP0 = 0, (15.6)

114

15.1. O TRANSFORMADOR

• Sendo o transformador ideal, a energia por unidade de tempo transferidaindutivamente do primário para o secundário não sofre quaisquer perdas logo,

IPVP = ISVS

IP0VP0 = IS0VS0 . (15.7)

• Então das equações (15.5), (15.6) e (15.7) vem,

IP0VP0 = ω(LP I2P0

+MIP0IS0) = ω(LSI2S0

+MIS0IP0) = IS0VS0

LP I2P0

= LSI2S0

IP0

IS0

=

√LS

LP

(15.8)

• Combinando as equações (15.7) e (15.8) obtemos,

VP0

VS0

=

√LP

LS

(15.9)

• Da expressão para a auto-indutância dum solenóide eq. (13.17) vem queLP =

µ0N2P A

le LS =

µ0N2SA

llogo

LP

LS

=

(NP

NS

)2

, (15.10)

e então,

VP0

VS0

=IS0

IP0

=NP

NS

, (15.11)

que indica que a razão entre a amplitude máxima das tensões e correntes,no primário e no secundário é igual à razão entre o número de espiras noprimário e no secundário.• Se o enrolamento secundário tiver mais espiras que o primário então a

amplitude máxima da tensão no secundário é superior à amplitude máximada tensão no primário, tendo a corrente um comportamento inverso. Portantoum transformador que aumenta a tensão diminui a corrente e vice versa.• Da expressão anterior podia-se pensar que basta então um primário com

uma espira e um secundário com dez espiras para obter um factor de 10 natensão de saída relativamente à de entrada. Tal não é correcto pois com umaespira o acoplamento entre os dois circuitos é muito fraco, ou seja, perde-semuito fluxo magnético entre os dois circuitos. Para aumentar o acoplamentousam-se mais espiras.

115

15.2. AJUSTE DE IMPEDÂNCIAS

• Os geradores eléctricos geram electricidade com tensões alternadas cujamáxima amplitude é próxima do valor que dispomos nas nossas casas (220V).• No entanto esta electricidade é transportada através de linhas de alta

tensão (> 60 kV) dos geradores até às cidades. Tal deve-se à inferior perda deenergia no transporte quando este é feito em alta tensão. Vejamos como: Seuma potência P é transportada numa linha de alta tensão com uma correnteI e uma tensão V então P = V I. Contudo a linha tem uma resistência R nãodesprezável devido ao seu comprimento considerável, logo é dissipada umaenergia por unidade de tempo igual a

PR = RI2 =RP 2

V 2. (15.12)

• Então se a potência P transmitida é constante, tal como a resistênciaR da linha, da expressão anterior vê-se que a potência dissipada na linha étanto menor quanto maior for V . Tensões muito elevadas aumentam o riscode rotura eléctrica na linha, necessitando de postes de maiores dimensõespara aumentarem o afastamento entre os cabos. É portanto necessário umcompromisso entre custos de perdas de energia e custos de construção esegurança da linha de transporte. Mesmo assim, devido às grandes distânciasdas centrais geradoras eléctricas as perdas de energia podem chegar aos 20%.Se esta energia fosse transportada à tensão de consumo 220 V, as perdasseriam tão grandes que nenhuma energia chegava às nossas casas.• Como já foi referido, e é agora mais claro porquê, os transformadores

têm um papel crucial no transporte da energia eléctrica, pois permitem fazê-loà tensão elevada mais conveniente, voltando a baixa-la para o valor domésticouma vez chegada às nossas casas. A corrente alternada é essencial para ofuncionamento dos transformadores. Refira-se ainda que os transformadoresconseguem multiplicar e desmultiplicar tensões com uma eficiência muitoelevada, minimizando assim as perdas de energia nesses processos.

15.2 Ajuste de impedâncias•Uma outra aplicação importante dos transformadores é no ajuste de impedân-cias entre dois aparelhos eléctricos.• Como vimos na página 51 a transferência de potência entre uma fonte

de tensão e uma carga externa é mais eficiente, i.e. é máxima, quando aresistência da carga é igual à resistência interna da fonte de tensão. Esteajuste pode ser feito por um transformador.• Inserindo um transformador entre a fonte tensão e a resistência de carga

116

15.2. AJUSTE DE IMPEDÂNCIAS

R vem R = VS0/IS0 , e da eq. (15.11) temos,

VP0 =NP

NS

VS0 (15.13)

e

IP0 =NS

NP

IS0 . (15.14)

• Destas duas equações vemos facilmente que a resistência efectiva R′ dacarga no enrolamento primário é dada por,

R′ =VP0

IP0

=

(NP

NS

)2VS0

IS0

, (15.15)

ou simplesmente,

R′ =

(NP

NS

)2

R, (15.16)

deste modo a resistência efectiva da carga R′ pode ser feita igual à da fontede tensão independentemente do valor de R. A este processo de igualar asresistências chama-se ajuste de impedâncias.

117

15.2. AJUSTE DE IMPEDÂNCIAS

118

Aula 16

Ondas electromagnéticas

Sumário:

- A corrente de deslocamento

- Ondas electromagnéticas

- Energia em ondas electromagnéticas

16.1 A corrente de deslocamento

• Na primeira aula enunciámos as equações de Maxwell e ao longo destassemanas temos vindo a mostrar que estas equações resumem as leis de Gausspara E (2.2) e B (8.6), a lei de Faraday(-Lenz) (eq. 11.7) e a lei de Ampère(7.11).• No entanto quando Maxwell tentou resumir tudo o que era conhecido

na altura sobre campos eléctricos e magnéticos apercebeu-se que duma in-consistência na lei de Ampère.• Maxwell acabou por descobrir que a inconsistência desaparecia adicio-

nando uma nova corrente à lei de Ampère a que chamou corrente de deslo-camento.• Vejamos uma explicação heurística da corrente de deslocamento. Para

tal consideremos um circuito RC, onde um condensador com capacidade Cestá em série com uma resistência R e uma fonte de alimentação contínuaque produz uma fem V .

119

16.1. A CORRENTE DE DESLOCAMENTO

V

R

I

-+

condensador de placas paralelase capacidade C

interruptor

ID

s2

caminhoamperianocircularc

s1

d

• Seja A a área das placas do condensador que estão separadas poruma distância d. Quando atrás estudámos este circuito RC, concluímos queapós fechar o interruptor, a corrente no circuito decresce exponencialmente(eq. 14.9) enquanto a carga no condensador cresce desde zero até ao valor V C.Consequentemente a diferença de potencial entre as placas do condensadorV = Q(t)/C também aumenta.• Podemos também exprimir a carga no condensador em função do campo

eléctrico entre as placas do condensador, que é aproximadamente uniforme,perpendicular às placas e aponta da placa positiva para a negativa, commagnitude E = V/d. Assim vem,

Q(t) = CV = CdE. (16.1)

• A capacidade é uma constante C = ε0A/d (ver eq. (4.3)) tal como adistância d entre as placas. Então derivando a carga em ordem ao tempoobtemos,

dQ(t)

dt= Cd

dE

dt

I(t) = Aε0dE

dt, (16.2)

esta equação relaciona a corrente que flúi no circuito com a taxa de variaçãodo campo eléctrico entre as placas do condensador.• De acordo com a lei de Ampère (eq. 7.11) o integral de B ao longo do

caminho amperiano c é igual a µ0 vezes a corrente que atravessa a superfícieS circunscrita por c. Se S = S1 então a corrente que atravessa S1 é a corrente

120

16.1. A CORRENTE DE DESLOCAMENTO

I que flúi no circuito. Se S = S2 então nenhuma corrente atravessa S2 poisnão há movimento de cargas entre as placas do condensador.• Assim para garantir a unicidade da lei de Ampère, Maxwell sugeriu

que deve existir uma corrente que fluí entre as placas do condensador. Aessa corrente chama-se corrente de deslocamento (por ser igual à derivadaem ordem ao tempo do vector deslocamento eléctrico D, ver eq. (4.7)) e éigual a,

ID = Aε0∂E

∂t, (16.3)

que se pode também escrever em função do fluxo eléctrico ΦE,

ID = ε0∂ΦE

∂t, (16.4)

ou sobre a forma duma densidade de corrente,

jD = ε0∂E

∂t, (16.5)

onde foram introduzidas derivadas parciais pois em geral o campo E dependetambém de x, y e z.• Apesar desta derivação heurística da corrente de deslocamento a vali-

dade da eq. (16.3) é geral .• É então necessário modificar a lei de Ampère de modo a incluir a cor-

rente de deslocamento,∮C

B · dl = µ0(I + ID), (16.6)

ou na forma diferencial (usando o teorema de Stokes),

∇×B = µ0(j + jD). (16.7)

• A seguinte tabela relembra as 4 equações de Maxwell, na forma difer-encial e integral,

Forma diferencial Forma integral∇ ·E = ρ

ε0

∮S

E · dS = Qint

ε0Lei de Gauss para E

∇ ·B = 0∮S

B · dS = 0 Lei de Gauss para B

∇×E = −∂B∂t

∮C

E · dl = −dΦB

dtLei de Faraday-Lenz

∇×B = µ0

(j + ε0

∂Edt

) ∮C

B · dl = µ0(I + ID) Lei de Ampère-Maxwell

121

16.2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

• Como curiosidade menciona-se que Maxwell escreveu estas leis numa formabastante mais complexa, usando 20 equações. As equações na forma com-pacta da notação vectorial, como as conhecemos hoje, foram pela primeiravez escritas por Olivier Heaviside.

16.2 Ondas electromagnéticas• Maxwell sabia que as equações que descreviam a dinâmica dos fluidos tin-ham soluções ondulatórias que descreviam o movimento de ondas nos fluidos,então investigou se as suas 4 equações também tinham soluções ondulatórias.Assim sendo existiriam então um tipo completamente novo de ondas, a queele chamou de ondas electromagnéticas.• Começou pela tarefa mais simples de investigar a existência de ondas

electromagnéticas que se propagassem no vazio, i.e. numa região sem cargasnem correntes.• Na forma diferencial as equações de Maxwell no vazio ficam,

∇ ·E = 0 (16.8)∇ ·B = 0 (16.9)

∇×E = −∂B∂t

(16.10)

∇×B = µ0ε0∂E

∂t, (16.11)

chama-se a atenção para a simetria entre campos eléctricos e magnéticosdestas equações para o vazio.• Verifiquemos se estas equações admitem como solução um campo E e

B perpendiculares um ao outro, tais que E só tem componente segundo oeixo X e B só tem componente segundo o eixo Y ou seja,

E = Ex ı portanto Ey = Ez = 0 (16.12)B = By portanto Bx = Bz = 0. (16.13)

• Recordemos as definições da divergência e do rotacional (ver eq. (2.7) eeq. (3.7)) e introduzamos as equações (16.12) e (16.13) nas equações (16.8)-(16.11),

(a) Equação (16.8),(∂

∂xı +

∂

∂y +

∂

∂zk

)· Ex ı = 0

∂Ex

∂x= 0 (16.14)

122

16.2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

(b) Equação (16.9),(∂

∂xı +

∂

∂y +

∂

∂zk

)·By = 0

∂By

∂y= 0 (16.15)

(c) Equação (16.10),

∂Ex

∂z +−∂Ex

∂yk = −∂By

∂t,

logo

∂Ex

∂z= −∂By

∂t(16.16)

∂Ex

∂y= 0, (16.17)

(d) Equação (16.11),

−∂By

∂zı +

∂By

∂xk = µ0ε0

∂Ex

∂tı

logo

− ∂By

∂z= µ0ε0

∂Ex

∂t(16.18)

∂By

∂x= 0, (16.19)

• Podemos então concluir rapidamente de (16.14), (16.15), (16.17) e(16.19) que Ex e By não dependem nem de x nem de y.• Por outro lado derivando (16.16) em ordem ao tempo e (16.18) em

ordem a z vem,

∂2Ex

∂t∂z= −∂

2By

∂2t∧ −∂

2By

∂2z= µ0ε0

∂2Ex

∂z∂t,

combinando os resultados obtemos,

∂2By

∂2z= µ0ε0

∂2By

∂2t. (16.20)

123

16.2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

• De forma análoga derivando (16.16) em ordem a z e (16.18) em ordema t obteriamos,

∂2Ex

∂2z= µ0ε0

∂2Ex

∂2t. (16.21)

• Podemos verificar rapidamente que as funções,

By = B0 cos[2π(

z

λ− ft)

], Ex = E0 cos

[2π(

z

λ− ft)

], (16.22)

são soluções das equações (16.20) e (16.21) respectivamente e que tanto ocampo E como o campo B são duas ondas que se propagam ao longo do eixodos Z com velocidade

c = fλ =1

√µ0ε0

, (16.23)

onde f é a frequência da onda que se mede em hertz (Hz) e λ é o comprimentode onda que se mede em metros e representa a distância entre dois máximosconsecutivos da onda (ver figura).

Ex

By

Z

X

Y

E x B

λ

Onda electromagnética linearmente polarizada sengundo X

• Podemos também verificar facilmente que,

E0 = cB0. (16.24)

• Para evitar estar sempre a escrever o factor 2π que surge nas eqs. (16.22)é costume defenir a ferquência angular ω = 2πf que se mede em radianos porsegundo (rad s−1) e o número de onda k = 2π/λ que se mede em (m−1). Asfunções do tipo (16.22) podem assim escrever-se numa forma mais compacta,

By = B0 cos(kz − ωt), Ex = E0 cos(kz − ωt),

repare-se que de (16.23) se conclui facilmente que,

c =ω

k. (16.25)

• Podemos estabelecer as seguintes propriedades das ondas electromag-néticas (EM)

124

16.3. ENERGIA EM ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

1. O campo magnético oscila em fase com o campo eléctrico.

2. O campo magnético é sempre perpendicular ao campo eléctrico e ambosos campos são perpendiculares à direcção de propagação da onda queé dada pela direcção do vector E ×B.

3. Numa onda que se propaga segundo Z, o campo E pode oscilar emqualquer direcção no plano XY. A direcção em que E oscila é denom-inada a polarização da onda. Se a direcção de E não varia então apolarização diz-se linear. Se a direcção de E gira em redor da direcçãode propagação a polarização diz-se circular. Estando um observador defrente para a onda, a polarização circular é negativa se E gira no sentidohorário e positiva se gira no sentido oposto. Assim as equações (16.12)e (16.22) representam uma onda que se propaga segundo Z e está lin-earmente polarizada segundo a direcção X.

4. A amplitude máxima dos campos eléctrico e magnético estão rela-cionadas via, E0 = cB0

5. Não existem limites para a frequência ou o comprimento das ondas EM,contudo a velocidade com que se propagam é fixa e igual a,

c = 2.99792458× 108 ms−1 (16.26)

6. As ondas electromagnéticas não necessitam de nenhum meio para sepropagarem. Podem assim propagar-se no vazio.

• Chama-se a atenção que a corrente de deslocamento tem um papelcrucial na propagação das ondas EM. Sem ela não é possível o ciclo emque a variação de B gera E e a variação de E gera B.• Influenciado pelos estudos de Fizeau e Foucault que mediram a veloci-

dade da luz, Maxwell lançou a hipótese de que a luz é uma onda electromag-néticas. Concluiu ainda que existem outras ondas electromagnéticas comfrequências muito diferentes da luz visível.

16.3 Energia em ondas electromagnéticas• Vimos que a energia armazenada num campo electromagnético é dada pelaequação 13.22,

w =ε0E

2

2+B2

2µ0

. (16.27)

125

16.3. ENERGIA EM ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

• Como numa onda EM E = cB e c = 1/√µ0ε0, a densidade de energia

pode ser escrita como,

w =ε0E

2

2+

E2

2µ0c2=ε0E

2

2+ε0E

2

2= ε0E

2. (16.28)

• De modo análogo,

w =ε0c

2B2

2+B2

2µ0

=B2

2µ0

+B2

2µ0

=B2

µ0

. (16.29)

• Ou seja metade da energia é transportada pelo campo eléctrico e a outrametade pelo campo magnético.• Seja P a potência por unidade de área (perpendicular à direcção de

propagação) transportada por uma onda electromagnética que viaja na di-recção do eixo Z. Num intervalo de tempo dt a onda percorre uma distânciacdt.• Então uma secção com área A na frente de onda (portanto perpendicular

a Z) varre um volume elementar dV = Acdt que contém uma energia,

dW = wdV = ε0E2Acdt. (16.30)

• Então da definição de P ,

P =dW

Adt=ε0E

2Acdt

Adt,

logo

P = ε0E2c, (16.31)

usando o facto de que E = cB podemos escrever,

P = ε0cEcB = ε0c2EB =

EB

µ0

, (16.32)

que indica a potência instantânea por unidade de área transportada por umaonda EM.• A potência máxima é dada por,

P0 =E0B0

µ0

, (16.33)

onde E0 e B0 são respectivamente as amplitudes máximas de E e B.• A potência média (chamada a intensidade da onda) é dada por,

S = P =E0B0

2µ0

=ε0cE

20

2=cB2

2µ0

. (16.34)

126

Aula 17

Introdução á mecânica quântica

Sumário:

- Probabilidade

- A função de onda e a equação de Schrödinger

- Descrição duma partícula livre

A hipótese de De Broglie

17.1 Probabilidade• Em mecânica clássica, conhecidas as forças que actuam numa partículaa evolução no tempo da sua posição é dada pela equação F = ma (emcertos casos, o mesmo é possível se se conhecer a energia total da partícula,Et = Ec + Ep)• Por outras palavras a equação do movimento permite encontrar a posição

da partícula no instante t• Em mecânica quântica conhecida a energia duma partícula tudo o

que se consegue calcular é a probabilidade de encontrar a partículanuma determinada posição e num determinado instante t• A probabilidade de no instante t, encontrar a partícula no volume

dxdydz que fica na vizinhaça do ponto (x, y, z) é dada por,

|Ψ(x, y, z, t)|2dxdydz (17.1)

onde Ψ é a chamada função de onda da partícula

17.2 A equação de Schrödinger• A evolução da função de onda Ψ(x, y, z, t) de uma partícula de massa msujeita a um potencial V , é dada pela equação de Schröndinger,

− h2

8mπ2∇2Ψ + VΨ = i

h

2π

∂Ψ

∂t(17.2)

127

17.2. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

ou numa forma mais explícita,

− h2

8mπ2

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)Ψ + VΨ = i

h

2π

∂Ψ

∂t(17.3)

onde h = 6.626× 10−34Js é a constante de Planck• Podemos perguntar porquê esta equação? De onde veio? A resposta é

semelhante à pergunta análoga, mas raramente feita, de onde veio a equaçãoF = ma?• Na realidade cada uma destas equações saiu da cabeça do seu autor

Schröndinger e Newton, respectivamente. O porquê da sua forma ninguémsabe mas continuam a ser usadas porque na sua esfera de validade continuama prever números que estão de acordo com os outros números que se medemna Natureza, ou seja descrevem correctamente as propriedades damatéria duma forma quantitativa.• Não o faremos, mas pode-se mostrar que a estrutura da equação de

Schröndinger é igual à da energia total de uma partícula, ou seja Ecinética +Epotencial = Etotal, deste modo temos as seguintes correspondências,

− h2

8mπ2∇2Ψ −→ Ecinética,

VΨ −→ Epotencial,

ih

2π

∂Ψ

∂t−→ Etotal.

• Uma pequena nota sobre o facto da equação de Schrödinger dependentedo tempo, ser uma equação complexa (devido à presença de i =

√−1). A

função de onda Ψ é composta por duas partes, uma real a outra imaginária.• Nesta disciplina não vamos necessitar de estudar a evolução temporal

da função de onda, assim a equação de Schrödinger independente dotempo e a uma dimensão tem a forma mais simples,

− h2

8mπ2

d2

dx2Ψ + VΨ = EΨ (17.4)

onde E é a energia total da partícula.

128

17.3. PARTÍCULA LIVRE

• Conhecida a forma da energia po-tencial V da partícula podemos usara equação anterior para determinar asua função de onda, e concomitante-mente a probabilidade de encontrar apartícula na vizinhança dx dum qual-quer ponto x

x1

x2

x

x

Área debaixoda curva é igual a 1

|Ψ(x)|2

x =+ 8

! |Ψ(x)| dx=12

x = - 8

|Ψ(x)|2

• Vamos em seguida estudar três exemplos que ilustram o cálculo de Ψ,para uma partícula livre, uma partícula que se move num potencialquadrado em 1D e em 3D.

17.3 Partícula livre• Uma partícula livre que se move sem a influência de qualquercampo de força tem uma energia potencial constante, que por simpli-cidade faremos igual a zero. Neste caso a eq. de Schrödinger é dada por,

− h2

8mπ2

d2

dx2Ψ = EΨ

d2

dx2Ψ = −

[8mπ2

h2E

]Ψ

d2

dx2Ψ = −k2Ψ (17.5)

onde k é uma constante dada por,

k =

√8mπ2

h2E (17.6)

• Uma função que derivada duas vezes é proporcional a ela própria é a funçãocos (ou sin), e como tal,

Ψ(x) = A cos(kx), (17.7)

é uma solução da equação (17.5).• Na figura estão representadas algumas funções de onda para diferentes

valores de E. Quanto maior a energia E da partícula livre menor é o compri-mento de onda λ da sua função de onda Ψ(x). A energia duma partículalivre pode variar continuamente.

129

17.3. PARTÍCULA LIVRE

Ψ(x, E0)

Ψ(x, 4E0)

Ψ(x, 9E0)

0

A

-A

0

A

-A

0

A

-Ax

x

x

ener

gia

aum

enta

com

prim

ento

de

onda

dim

inui

• A hipótese de De Broglie afirma que a (função de) onda associadaa uma partícula com momento p tem um comprimento de onda dado por,

λ = h/p. (17.8)

• Recordando que o número de onda k é definido por, k = 2π/λ podemosescrever,

p =hk

2π=

h

2π

√8mπ2

h2E =

√2mE (17.9)

• Como Ec = mv2

2= p2

2mverifica-se que a energia total da partícula é igual

à sua energia cinética, como seria de esperar

130

Aula 18

Sumário:

- Movimento duma partícula num tubo (1D)

- Movimento duma partícula num cubo (3D)

- Efeito de túnel

18.1 Partícula num Potencial Quadrado,Unidimensional

Electrão com energia E < V0

V(x)

x-L/2 L/2

V(x)= V0

Região III

Poço de potencial 1D

Região I

V(x)= 0

Região II

V(x)= V0

V0

• Consideremos uma partícula que se move num tubo de comprimento L.A partícula move-se livremente no interior do tubo excepto nas extremidades,onde actua na partícula uma força que a empurra de novo para o interior dotubo. Podemos descrever a acção desta força através do seguinte potencial:

V (x) =

0 −L/2 < x < L/2V0 x < −L/2, x > L/2

131

18.1. PARTÍCULA NUM POTENCIAL QUADRADO, UNIDIMENSIONAL

• Podemos então dividir o espaço em três regiões e resolver a eq. deSchrödinger para cada uma delas.• Na região I (−L/2 < x < L/2) como V = 0 o comportamento é

igual ao descrito anteriormente duma partícula livre, donde se recorda queΨ(x) = A cos(kx) era uma solução da equação de onda. Outra solução éΨ(x) = B sin(kx) e uma solução geral pode ser escrita combinando estasduas soluções

Ψ(x) = A cos(kx) +B sin(kx). (18.1)

• Na região II (x < −L/2) como V = V0 temos,

− h2

8mπ2

d2

dx2Ψ + V0Ψ = EΨ

d2

dx2Ψ =

[8mπ2

h2(V0 − E)

]Ψ

d2

dx2Ψ = α2Ψ, (18.2)

onde α é uma constante dada por,

α =

√8mπ2

h2(V0 − E). (18.3)

• Comparando esta equação diferencial com a eq. (17.5) vemos que têma mesma forma excepto o sinal −, o que implica que as funções cos, ou sinjá não possam ser suas soluções.• No entanto as funções Ceαx ou De−αx são soluções possíveis (pois

a segunda derivada é proporcional à própria função) e tal como anterior-mente uma combinação destas duas descreve uma solução geral da equaçãode Schrödinger na região II,

Ψ(x) = Ceαx +De−αx (18.4)

• Analisando esta função observa-se que quando x→ −∞, De−αx diverge oque não se pode verificar pois caso contrário a probabilidade de encontrar apartícula nessa região também divergiria, então D = 0.• Na região III (x > L/2) como V = V0 temos um comportamento

semelhante ao da região II com uma solução dada por,

Ψ(x) = Feαx +Ge−αx, (18.5)

e por razões análogas F = 0.

132

18.1. PARTÍCULA NUM POTENCIAL QUADRADO, UNIDIMENSIONAL

• A função de onda válida nas 3 regiões é então dada por,

Ψ(x) =

Ceαx x < −L/2

A cos(kx) +B sin(kx) −L/2 < x < L/2Ge−αx x > L/2

, (18.6)

onde α =√

8mπ2

h2 (V0 − E) e k =√

8mπ2

h2 E.• Se V0 →∞ então α→∞ e ambas as exponenciais se anulam, ficando

só,

Ψ(x) =

0 x < −L/2

A cos(kx) +B sin(kx) −L/2 < x < L/20 x > L/2

(18.7)

• De modo a garantir a continuidade da função de onda na fronteira entreas regiões temos que,

ΨI(−L/2) = ΨII(−L/2)ΨI(L/2) = ΨIII(L/2)

⇔A cos(−kL/2) +B sin(−kL/2) = 0A cos(kL/2) +B sin(kL/2) = 0

da soma e da diferença das duas equações conclui-se respectivamente que,cos(kL/2) = 0sin(kL/2) = 0

,

logo kL/2 = nπ/2 n ímparkL/2 = nπ/2 n par ⇔ k = n

π

Lcom n = 1, 2, 3, 4, . . . (18.8)

• Recordando que k =√

8mπ2

h2 E podemos escrever,√8mπ2

h2E =

nπ

L

E =(nh)2

8mL2(18.9)

• Concluímos então que a energia duma partícula confinada por umpotencial quadrado infinito só pode ter alguns valores discretos, i.e estáquantificada, En=1 = h2/8mL2, En=2 = 4h2/8mL2, . . . ,

En = n2E1 (18.10)

133

18.2. PARTÍCULA NUM POTENCIAL QUADRADO, TRIDIMENSIONAL

• Estes valores de energia correspondem às funções de onda cujos com-primentos de onda são dados por,

λ = 2L/n com n = 1, 2, 3, 4, . . . (18.11)

ou seja as funções de onda são ondas estacionárias.• Como ilustra a figura seguinte no estado quântico de energia mais baixa

(também chamado o estado fundamental) a probabilidade (o quadrado dafunção de onda) é máxima para x = 0. Já no segundo estado quântico deenergia a probabilidade é máxima para x = ±L/4.

x=0 x=+L/2x=–L/2

Estado quântico #1

Eh

mL= ×1

8

2

2

x=0 x=+L/2x=–L/2

Eh

mL= ×4

8

2

2

Estado quântico #2

|Ψ(x)|21

|Ψ(x)|22

Ψ(x)1 Ψ(x)2

• Usando uma escala de cinzentos para indicar a variação da probabili-dade, onde mais escuro é igual a mais provável e vice versa, podemos repre-sentar a mesma informação em 1D como na figura seguinte.

Estado fundamental En=1 = h2/(8m L2)

2º estado quântico En=2 = 4h2/(8m L2)

L

• Ou seja se a partícula estiver no estado fundamental com energia E1 émais provável encontrá-la no meio do tubo. Se a partícula tiver energia E2 émais provável encontrá-la a 1/4 e a 3/4 do comprimento do tubo, etc.

18.2 Partícula num Potencial Quadrado,Tridimensional

• Consideremos uma partícula que se move numa caixa cúbica de lado L. Apartícula move-se livremente no interior do cubo excepto nas paredes, ondeactua na partícula uma força que a empurra de novo para o interior do cubo.

134

18.2. PARTÍCULA NUM POTENCIAL QUADRADO, TRIDIMENSIONAL

Podemos descrever a acção desta força através dum potencial tridimensionalV (x, y, z) que é zero em todo espaço excepto nas paredes da caixa.• Da resolução da eq. de Schrödinger em três dimensões, obtém-se a

seguinte função de onda dentro da caixa,

Ψnx,ny ,nz(x, y, z)) = A sin(nxπx

L

)sin

(nyπy

L

)sin

(nzπz

L

), (18.12)

onde os números quânticos nx, ny e nz são inteiros que variam entre 1 e ∞,que resultam de 3 números de onda distintos, um para cada dimensão, kx, ky

e kz e quantificados,

ki = niπ

Lcom n inteiro, (18.13)

sendo i = x, y ou z.• A figura seguinte ilustra |Ψ|2 ou seja a probabilidade de encontrar a

partícula dentro do cubo, para três estados quânticos distintos com nx, ny, nzigual a 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2 e 1, 1, 2. Cada um destes estados temuma função de onda distinta.

Z

X

Y

|Ψ111(x,y,z)|2

Y

Z

X

|Ψ211(x,y,z)|2X

Y

Z

|Ψ121(x,y,z)|2X

Y

Z

|Ψ112(x,y,z)|2

Probabilidades de encontrar uma partícula numa caixa de potencial de lado L, nos 3 primeiros estados quânticosnx, ny, nz = 1,1,1 = 2,1,1 = 1,2,1 = 1,1,2 A probabilidade é maxima nas zonas maisescuras.

• Tal como no caso 1D as zonas mais escuras assinalam onde a probabil-idade é maior e as mais claras onde é menor.• Assim quando a partícula se encontra no estado quântico 1,1,1 a

probabilidade de a encontrar é máxima no centro da caixa. No estado 2, 1, 1há duas zonas distintas ao longo do eixo x com probabilidade máxima e parao estado 1, 2, 1 essas duas zonas são ao longo do eixo y e ao longo do eixoz para o estado 1, 1, 2.• Da resolução da eq. de Schrödinger resulta também a seguinte expressão

135

18.2. PARTÍCULA NUM POTENCIAL QUADRADO, TRIDIMENSIONAL

para a energia de cada estado da partícula,

E(nx, ny, nz) =h2

8mL2

(n2

x + n2y + n2

z

). (18.14)

• A dependência da energia de 3 valores inteiros nx, ny e nz conjugada coma simetria do cubo permite a existência de diferentes estados quânticoscom a mesma energia, a que se chamam estados degenerados.• Vejamos a energia do estado fundamental é,

E(1, 1, 1) =h2

8mL2

(12 + 12 + 12

)=

3h2

8mL2, (18.15)

enquanto que os três estados 2, 1, 1, 1, 2, 1 e 1, 2, 1 têm a mesma energia

E(2, 1, 1) = E(1, 2, 1) = E(1, 1, 2) =h2

8mL2

(22 + 12 + 12

)=

6h2

8mL2, (18.16)

• A simetria é crucial para a ocorrência de degenerescência. Se o cubofosse esticado na direcção de x, formando-se um paralelepípedo, a energia doestado 2, 1, 1 seria diferente (e inferior) da dos estados 1, 2, 1 e 1, 1, 2.• Na figura seguinte está indicada a degenerescência dos 66 primeiros esta-

dos de energia do poço de potencial cúbico. A energia varia desde 3h2/(8mL2)até 34h2/(8mL2).

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5

Deg

ener

escê

nci

a

Energia em unidades de h2/8mL2

(1,1,1)

(2,2,1)(2,1,2)(1,2,2)

(2,2,2)(3,1,1)(1,3,1)(1,1,3)

(2,1,1)(1,2,1)(1,1,2)

136

18.3. EFEITO DE TÚNEL

• Usando a eq. (18.13) podemos escrever a eq. (18.14) na seguinte forma,

E(nx, ny, nz) =h2

8mL2

(n2

x + n2y + n2

z

)=

h2

8mπ2

π2

L2

(n2

x + n2y + n2

z

)=

h2

8mπ2

(k2

x + k2y + k2

z

)=

h2

8mπ2k2, (18.17)

onde k2 = k2x + k2

y + k2z é o número de onda da função de onda. Usando

a hipótese de De Broglie (17.8) podemos ainda simplificar mais a expressãoanterior,

E =1

2m

(hk

2π

)2

=1

2mp2

=1

2mv2, (18.18)

que é a energia cinética duma partícula com massa m e velocidade v i.e., aenergia duma partícula que se move dentro do cubo é só energia cinética.No entanto ao contrário da partícula quântica livre, a energia cinética dapartícula quântica presa no cubo não pode ter qualquer valor. Apenas sãopermitidos os valores discretos dados pela eq. (18.14).

18.3 Efeito de Túnel• O que prevê a mecânica quântica quando uma partícula livre, encontrauma barreira de potencial?• Como vimos já anteriormente, é pela equação de Schrödinger que pode-

mos descrever o estado da partícula, calculando a sua função de onda. Aresolução deste problema tem muitas semelhanças com o poço de potencialrectangular.

• Assim começa-se por dividir oespaço em 3 regiões calculando afunção de onda em cada uma delasΨI(x), ΨII(x) e ΨIII(x), e depoisassegura-se que na fronteira entreduas regiões a função de onda ésuave e continua.

V0

V(x) =0 V(x)= 0

Electrãocom energia E

V(x)

x0 d

Região I Região II Região III

Barreira de potencial

137

18.3. EFEITO DE TÚNEL

• O potencial ilustrado na figura anterior pode escrever-se como

V (x) =

0 x < 0V0 0 < x < d0 x > d

(18.19)

• Inserindo este potencial na eq. de Schrödinger independente do tempo,

− h2

8π2m

d2

dx2Ψ(x) + V (x)Ψ(x) = EΨ(x) (18.20)

• Temos que na região I, o electrão se move como uma partícula livre (i.eV (x) = 0) com energia total E e como pode ser reflectido pela barreira depotencial, verifica-se que é correctamente descrito por uma função de ondaque é a soma duma onda incidente com outra reflectida,

ΨI(x) = Aeikx + Be−ikx onde k =√

8π2mEh2

incidente reflectida→ ←

(18.21)

• Na região II, dentro da barreira, o potencial é V (x) = V0 e como tambémpode haver reflexão à saída da barreira em x = d, verifica-se que uma soluçãocorrecta é também dada por uma função de onda algo semelhante à anterior,

ΨII(x) = Ceik′x + De−ik′x onde k′ =√

8π2m(E−V0)h2

→ ←(18.22)

• Note-se que k′ é um número imaginário devido a E < V0 e como talΨII é apenas uma soma de duas exponenciais reais, pois escrevendo k′ = iαvem,

ΨII(x) = Ceαx +De−αx (18.23)

• Finalmente na região III, V (x) = 0, o electrão move-se outra vez comouma partícula livre, mas não havendo nenhuma zona de transição que causereflexões, verifica-se que a descrição correcta é dada por uma função de ondaque se propaga só para a direita,

ΨIII(x) = Feikx onde k =√

8π2mEh2

→(18.24)

138

18.3. EFEITO DE TÚNEL

• Resumindo os resultados obtidos temos,

Ψ(x) =

Aeikx +Be−ikx x < 0Ceαx +De−αx 0 < x < dFeikx x > d

, (18.25)

onde k =√

8π2mEh2 e α =

√8π2m(V0−E)

h2 .•Os coeficientesB,C,D e F podem escrever-se em função deA, garantindo

que nas zonas de transição (x = 0 e x = d) a função de onda é

continua −→ ΨI(0) = ΨII(0) e ΨII(d) = ΨIII(d)

e suave −→ Ψ′I(0) = Ψ′

II(0) e Ψ′II(d) = Ψ′

III(d)

• Depois de algumas contas para encontrar os coeficientes B,C,D e F ,podemos calcular a probabilidade de transmissão Ptr que indica a proba-bilidade dum electrão com energia total E atravessar a barreira de potencialV0,

Ptr =|F |2

|A|2=

4 EV0

(1− EV0

)

sinh2[

8π2m(V0−E)h

d]

+ 4 EV0

(1− EV0

)Nota: sinh(x)= ex−e−x

2

(18.26)

• A dependência deste parâmetro comE/V0 está ilustrada ao lado para 3 bar-reiras de potencial de altura V0 = 1eVmas de larguras 10−10 m, 4 × 10−10 me 8× 10−10 m, respectivamente.

0 1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

E/V0 com V0 = 1 eV

Pro

babi

lidad

e de

tran

smis

são

d = 1Ao

d = 4Ao

d = 8Ao

• Para d = 1Angstrom = 10−10m, um electrão com energia de apenas10%V0, tem 60% de probabilidade de passar a barreira de potencial.• A probabilidade de passagem quando E < V0 é substancialmente re-

duzida para as barreiras mais largas, mas repare-se no exemplo dado ondeainda continua diferente de zero quando a largura aumenta 4 ou 8 vezes.• Note-se que este efeito é puramente quântico pois classicamente o

electrão seria totalmente reflectido.• Quando E < V0 é como se o electrão passasse por um ‘túnel’, daí

o nome Efeito de Túnel para este fenómeno quântico onde as energias do

139

18.3. EFEITO DE TÚNEL

electrão E, e da barreira V0, são bem definidas, não sendo este efeitodevido a nenhuma flutuação misteriosa de energia que permita aoelectrão ‘passar por cima’.• Também se pode calcular uma probabilidade de reflexão, que é facil-

mente visualizada no gráfico anterior pois a soma da probabilidade de reflexãocom a probabilidade de transmissão tem de ser igual a 1.• Por outras palavras, sempre que no gráfico anterior Ptr 6= 1 significa

que uma parte da função de onda foi reflectida pela barreira de potencial.• Repare-se noutro efeito quântico quando E > V0 onde ainda é possível

que o electrão seja reflectido pela barreira de potencial, apesar deter uma energia superior a esta, o que nunca poderia acontecer se a descriçãodo movimento do electrão fosse clássica.

140

Aula 19

Sumário:

- Um electrão de valência num sólido:

- Um sólido unidimensional

- Bandas de energia

- Muitos electrões de valência num sólido:

Spin

O princípio de exclusão de Pauli

19.1 Um sólido unidimensional•Na aula anterior vimos que quando o movimento duma partícula é confinadoa uma região limitada do espaço, a mecânica quântica prevê que a energiatotal da partícula não pode variar continuamente.• No movimento num tubo 1D a energia da partícula (eq. 18.9) depende

quadraticamente do número de onda k,

E =h2

8mπ2k2, (19.1)

sendo k um número discreto.• Graficamente podemos representar a dependência de k da energia como,E(k)

k

141

19.1. UM SÓLIDO UNIDIMENSIONAL

• Pretendemos agora estudar o que se passa com um electrão de valênciano interior sólido. Também o movimento deste electrão está no máximolimitado ao volume do sólido, e no mínimo à orbita em torno do átomo a quepertence.

• O problema a 3D é muito complexo. No entanto podemos aprendermuitas das características do movimento do electrão num sólido, estudandoo que se passa num modelo ideal dum sólido em 1D.

• Recordemos que os electrões de valência são aqueles que estão maisafastados do núcleo do átomo.

• Da (eq. 3.4) vemos que a energia potencial eléctrica dum electrão devalência é inversamente proporcional à distância do electrão ao núcleo, ten-dendo para −∞ quando r tende para zero. A figura seguinte ilustra estadependência,

Ep(r)=-Ze2/(4π ε0 r)

r0

• Se dois átomos isolados se aproximarem, o electrão de valência do átomo1, além do campo eléctrico deste átomo sente também a influência do campoeléctrico do átomo 2. Para distâncias inter-atómicas suficientemente peque-nas a energia potencial dos dois átomos reduz-se na região entre eles. Semais átomos se aproximarem uns dos outros para formar um sólido em 1D aenergia potencial na região inter-atómica baixa ainda mais. A figura seguinteilustra este processo.

142

19.1. UM SÓLIDO UNIDIMENSIONAL

Ep(r)

r

Ep(r)

r

Ep(r)

r

Ep(r)

r

2 átomos 3 átomos

4 átomos 30 átomos

• Para modelar um sólido 1D é necessário introduzir na equação deSchrödinger a energia potencial do tipo indicado na figura anterior. Contudoa obtenção duma solução da eq. de Schrödinger é mais expedita matemati-camente considerando uma energia potencial mais simples, como ilustra afigura seguinte, que é uma sucessão de barreiras de potencial quadradas delargura b intercaladas por poços de potencial quadrados de largura a. Este éo modelo de Kronig-Penney.

Ep(r)

r0

V0

0-b a+b-(a+b) a

Electrão com energiaE < V0

• Após resolver a eq. de Schrödinger em cada uma destas regiões (poçoe barreira) em separado, impõe-se que as funções de onda obtidas sejamcontinuas e suaves na fronteira das duas regiões (tal como fizemos anterior-mente). Mesmo neste modelo ideal os cálculos são algo mais elaborados do

143

19.2. SPIN

que os exemplos da aula anterior. Diremos apenas que a função de onda dumelectrão que se move neste potencial periódico tem a forma,

Ψ(x) = eikxuk(x), (19.2)

o termo eikx refere-se a uma onda que se move pelo cristal, enquanto que otermo uk(x) é uma função de período (a+b) que resulta do electrão se moverno potencial periódico do cristal.• A figura seguinte ilustra a forma da energia do electrão em função de k

que se obtém destes cálculos.

banda permitida

banda proibida

E(k)

k

Energia em função de kdum electrão que se move num cristal 1D,segundo o modelode Kronig-Penney

a2π

a3π

a4π

aπ

a2π

a3π

a4π

aπ− − − − 0

• Uma conclusão muito importante, e que é de validade geral, é que agoraexistem bandas de energia que não são permitidas, ou seja o electrão não podeestar em nenhum estado quântico cuja energia pertença a uma das bandasproibidas de energia.• Enquanto um electrão que se move num só poço de potencial quadrado

tem níveis de energia que crescem quadraticamente com k, e que estão tantomais próximos uns dos outros quanto maior for a largura do poço (Ek ∝ 1/L),num cristal devido ao potencial iónico regular, os estados de energia permi-tidos são agrupados em bandas permitidas, sendo estas bandas intercaladasperto de k = nπ/a, por bandas proibidas. Isto significa que funções de ondacom um comprimento de onda múltiplo de 2a/n não se podem propagar nocristal.

19.2 Spin• Sem nos debruçarmos muito sobre o conceito de spin, diremos apenasque classicamente pode parecer como uma propriedade relacionada com uma

144

19.2. SPIN

rotação intrínseca da partícula, no entanto após analisar as características dospin verifica-se que não se encontra nenhum paralelo com a rotação clássica.• O spin é o momento angular intrínseco duma partícula quântica cujo

módulo é√s(s+ 1) h

2πsendo s (também chamada de spin) uma constante

sem dimensões específica de cada partícula, por exemplo para um electrãos = 1/2, para um fotão (o quanta de energia duma onda electromagnética)s = 1.• Tratando-se dum momento angular, o spin é um vector.• Por exemplo um electrão pode ter spin +1

2ou spin −1

2significando que

a componente segundo o eixo z aponta para cima ou para baixo.

Sz = 1 h_ _2 2π S = "3 h_ _

2 2π

Spin +

Sz = -1 h_ _2 2π

S = "3 h_ _2 2π

Spin -

1_2

1_2

• O spin é uma propriedade crucial para explicar o comporta-mento de sistemas com muitas partículas.• As partículas cujo spin é metade de um inteiro, s = 1

2, 3

2, . . .,

chamam-se fermiões.• As partículas cujo spin é inteiro, s = 0, 1, 2, . . ., chamam-se bosões.• Verificou-se que quando muitas partículas quânticas estão confinadas

num poço de potencial estas distribuiem-se pelos diferentes níveis de energiade maneiras diferentes consoante o valor do seu spin.• O príncipio de exclusão de Pauli diz que dois fermiões indis-

tinguiveis não podem ocupar o mesmo estado quântico.• Este princípio não se aplica aos bosões podendo um número arbitrário

destas partículas ocupar o mesmo estado quântico.• Relembra-se que N particulas num mesmo estado quântico são N partícu-

las que são descritas exactamente pela mesma função de onda.

145

19.2. SPIN

146

Aula 20

Sumário:

- Condutor, isolador e semicondutor

- Semicondutor intrínseco e extrínseco

20.1 Condutor, isolador e semicondutor

• Vimos antes que, segundo a equação de Schrödinger, a energia dum electrãode valência que se move num sólido só pode ter certos valores que se situamdentro de bandas de energia permitidas e que estas bandas estão intercaladaspor bandas de energia proibida.• Seguidamente coloca-se a questão como se comportam todos os electrões

de valência do sólido. Ocupam todos o estado de energia fundamental oudistribuem-se pelos vários níveis de energia? Se ocupam vários níveis, comoé feita essa ocupação?• É conveniente termos uma noção do número, ou melhor da ordem de

grandeza típica de electrões de valência num sólido. Logo na Pág.10 daSec.1.6 fizemos um cálculo muito semelhante para o Cobre. Vejamos entãoquantos electrões de valência há no Cobre.

Sabe-se que a densidade do Cobre é ρ = 8920kgm−3. Cadaátomo de Cobre tem 1 electrão de valência e uma massa atómicaACu = 63.546. Qual a densidade electrões de valência no Cobre equantos destes electrões existem num cm3?

Como cada átomo tem 1 electrão de valência calculando a densidade do númerode átomos nátomos, i.e. o número de átomos por unidade de volume, obtemos a

147

20.1. CONDUTOR, ISOLADOR E SEMICONDUTOR

densidade do número de electrões de valência Nev,

nátomos =ρ

ACuu

=8920

63.546 1.66× 10−27

= 8.47× 1028átomos/m3, (20.1)

logo existem 8.47×1028 electrões de valência por metro cúbico de Cobre. Assimnum cm cúbico há 8.47× 1022 electrões de valência.• Modelando um cubo de Cobre com 1 cm de lado com um poço de

potencial cúbico é necessário distribuir da ordem de 1022 partículas pelosníveis de energia desse cubo.• Pelo Princípio de Exclusão de Pauli, dois electrões só podem ter a

mesma função de onda se tiverem spins opostos. Um electrão tem que terspin +1/2 e o outro spin −1/2. Só deste modo podem ocupar o estadoquântico caracterizado pelos mesmos números quânticos nx, ny, nz.• Tal implica que a ocupação electrónica dos primeiros 6 níveis de energia

decorra como ilustrado na seguinte tabela,

Númerosquânticos

nx , ny, nz

Energia em unidades de

h2/8mL 2Número deestados

Número de electrões capazes de ser acomodados com esta energia (incluindo spin)

(1,1,1) 1 2 2

(1,1,2) (1,2,1)(2,1,1 )

2 + 6 = 8

(1,2,2) (2,1,2)

(2,2,1) 2+ 6 + 6 = 14

(1,1,3) (1,3,1)(3,1,1)

11 2 + 6 + 6 + 6 = 20

(2,2,2) 2 + 6 + 6 + 6 + 2 =22

(1,2,3) (1,3,2)(2,1,3) (2,3,1)(3,2,1) (3,1,2)

14 2 + 6 + 6 + 6 + 2 + 12 = 34

Número de electrões capazes de ser acomodados com energia inferior ou igual à energia deste nível

3

6

12 1

9

3

3

6

6

6

2

12

3

6

• A distribuição atrás exemplificada só pode ocorrer nas bandas de energiapermitida.• Sendo esta distribuição feita à temperatura de zero kelvin, a energia do

último estado a ser preenchido distingue-se pelo nome de energia de fermiEF . Este nível de energia tem direito a um nome próprio por ter um efeitomuito importante nas propriedades eléctricas dos sólidos (bem como noutraspropriedades).• A figura seguinte ilustra o preenchimento das bandas de energia em três

tipos de sólidos, nomeadamente condutores, isoladores e semicondutores.

148

20.1. CONDUTOR, ISOLADOR E SEMICONDUTOR

Banda devalência

Banda decondução

Bandaproibida

Condutor

Banda devalência

Banda decondução

Bandaproibida

Isolador

Ene

rgia

EF

EF

Banda devalência

Banda decondução

Bandaproibida

semicondutor

EF~3 eV ~1 eV

Bandainteriorcompleta

Bandainteriorcompleta

Bandainteriorcompleta

Bandaproibida

Bandaproibida

Bandaproibida

• Nela se vê que nos condutores a última banda de energia contendo elec-trões não está totalmente preenchida. Tal implica que logo acima do nível defermi há níveis de energia que estão vazios. Sujeitando um condutor à acçãodum campo eléctrico a energia ∆E que esse campo vai dar aos electrões devalência (electrões livres pois podem mover-se livremente pelo sólido metálicocomo reflecte a eq. (19.2)) não pode ser absorvida por qualquer um desteselectrões.• Apenas os electrões cuja diferença de energia entre o nível que ocupam

e o nível vazio mais próximo seja igual a ∆E podem absorver a energia docampo eléctrico e participar assim no transporte de corrente eléctrica.• Todos os electrões que estejam mais afastados, do próximo nível de

energia desocupado do que ∆E não podem absorver a energia do campoeléctrico pois, tal implicaria que teriam de passar para um estado quânticoque já está ocupado, o que é proibido pelo principio de exclusão de Pauli.• Resumindo só os electrões que estão afastados de ∆E do nível fermi EF

ou seja que EF − E 6 ∆E, é que podem conduzir corrente eléctrica.• Os isoladores não conduzem corrente eléctrica, precisamente porque a

última banda de energia que contém electrões, está totalmente preenchidae a largura da banda proibida que a separa da próxima banda permitida, émuito superior a ∆E.•Os semicondutores são um caso particular de isoladores em que a largura

da banda proibida é cerca de 3 vezes inferior à largura típica (3 eV) dumisolador.• Uma banda proibida bastante mais estreita permite que, quando a

149

20.2. EFEITO DAS IMPUREZAS DADORAS DO TIPO N

temperatura é superior a zero kelvin, alguns electrões da banda de valênciaganhem energia térmica suficiente para passar para a banda de condução. Onúmero de electrões que conseguem fazer esta transição, apesar de aumentarexponencialmente com a temperatura, é contudo muito reduzido. O semi-condutor puro, ou intrínseco, é sempre um mau condutor e em simultâneoum mau isolador.

• Para aumentar a condutividade dum semicondutor intrínseco, procede-se à sua dopagem com impurezas especificas.

• Na Natureza nunca se encontram quantidades significativas de matériano seu estado puro. Por exemplo, a areia duma praia contém enormes quan-tidades de Silício, que é um semicondutor. No entanto o Silício na areia estámisturado com muitos outros elementos.

• Antes de se dopar um semicondutor, é necessário limpá-lo do maiornúmero possível de impurezas. A purificação do Silício tem de ser bastanteelevada. A maioria das substâncias é considerada extremamente pura secontiver 1 átomo de impureza por cada milhão de átomos dessa substância.No entanto o comportamento electrónico intrínseco do Silício só é observadose a sua pureza for um milhão de vezes superior. A purificação do Silício éum processo muito dispendioso e requer um considerável uso de energia.

• A dopagem do Silício (SI) extra-puro é um processo em que uma im-pureza é adicionada ao Si de forma a que um átomo de Si da rede cristalinaé substituído pelo átomo da impureza. Então os estados quânticos na viz-inhança da impureza alteram-se criando um electrão num nível de energiamuito próximo da banda de condução (chamada impureza do tipo N), oucriando uma lacuna num nível de energia muito próximo do topo da bandade valência (chamada impureza do tipo P). A um semicondutor dopado tam-bém se chama extrínseco.

20.2 Efeito das Impurezas Dadoras do Tipo n

• A substituição dum átomo de Silício por outro de Fósforo (que tem maisum electrão de valência que o Si, i.e. 5, e mais um protão) leva a que oelectrão extra do P ocupe o próximo estado de energia livre, que difere de∆Ed dos estados de condução vazios do Si

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20.3. EFEITO DAS IMPUREZAS ACEITADORAS DO TIPO P

• ∆Ed ≈ 0.044eV é muito inferior àlargura da banda proibida ≈ 1eV queé a energia necessária para um electrãode valência do Si passar para a bandade condução à temperatura ambiente.• Deste modo a probabilidade do elec-trão do átomo de P transitar para osestados de condução é muito elevada,dando ao Si um electrão de condução.

Si Si Si P S i S i S i

Si Si Si P S i S i S i+

kB T∆E

∆Ed

kB T

∆E

∆Ed

(2)

(1)

20.3 Efeito das Impurezas Aceitadoras do Tipo p• A substituição dum átomo de Silício por outro de Alumínio (que tem menosum electrão de valência que o Si, i.e. 3, e menos um protão) leva a que sejacriado um estado de valência vazio pelo Al, que difere de ∆Ea dos estadosocupados de valência do Si

• ∆Ea ≈ 0.057eV também muito infe-rior à largura da banda proibida.• Deste modo a probabilidade dumelectrão dum átomo de Si à tempera-tura ambiente transitar para este es-tado aceitador é muito elevada, e o Siganha uma lacuna na banda de valên-cia.

Si Si Si Al Si Si Si

kB T

∆E

∆Ea

(1)

Si Si Si Al Si Si Si–

kB T

∆E

∆E a

(2)

• Qualquer dos casos gera um electrão capaz de transportar correnteeléctrica. Assim se a adição de impurezas por dopagem for de 1 átomode impureza por 109 átomos de Silício, geram-se cerca de 1000 vezes maistransportadores de carga do que os que ocorrem no Si intrínseco.• O Silício dopado do tipo P ou do tipo N é crucial para a construção de

díodos, transístores bem como todos os componentes electrónicos de semi-condutores.

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Apêndice A

Dados úteis

EquivalênciaAlfabeto Grego em PortuguêsA α Alfa AB β Beta BΓ γ Gama G∆ δ Delta DE ε Épsilon ÉZ ζ Zeta DZH η Eta ÊΘ θ Teta THI ι Iota IK κ Capa CΛ λ Lambda LM µ Miu MN ν Niu NΞ ξ Csi CSO o Omicron ÓΠ π Pi PP ρ Rô RΣ σ Sigma ST τ Tau TΥ υ Ypsilon UΦ φ Fi FX χ Qui QΨ ψ Psi PSΩ ω Ómega Ô

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