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Extrapolação de Richardson
Apesar de todos os avisos em relação à
extrapolação , aqui temos uma excepção,
em que, a partir de duas determinações
de um integral se calcula uma terceira,
mais precisa.
2013/05/14 MN 1
Extrapolação de Richardson
é a expressão geral do valor de um integral
calculado pela regra do trapézio, com um
intervalo de amplitude h.
Para duas aproximações diferentes temos
2013/05/14 MN 2
)()( hEhII
)()()()( 2211 hEhIhEhI
Extrapolação de Richardson
Como o erro da regra do trapézio composta
é
Se f’’ for constante, independente da
dimensão de h
o que nos “livra” de f’’
2013/05/14 MN 3
''2
12fh
abE
2
2
1
2
1
)(
)(
h
h
hE
hE
Extrapolação de Richardson
2013/05/14 MN 4
2
21
212
22
2
2
121
2211
2
2
121
)/(1
)()()(
)()()()(
dá )()()()(
com )()(
hh
hIhIhE
hEhIh
hhEhI
hEhIhEhI
h
hhEhE
Extrapolação de Richardson
2013/05/14 MN 5
)(3
1)(
3
4
2/hh Se ordem. quarta
de uma se-obtem e )O(h de esaproximaçõ duas se-Combinam
).O(h é erro o que se-mostra
)]()([1)/(
1)(
vem
)()()()(
em doSubstituin
12
12
2
4
122
21
2
2211
hIhII
hIhIhh
hII
hEhIhEhI
Extrapolação de Richardson
Exemplo
Cálculo do integral de
Regra do trapézio
2013/05/14 MN 6
1,640533I analítico Resultado
0,8 xe 0 xentre
400900675200252,0)( 5432
xxxxxxf
Intervalos h Integral Erro
relativo
1 0,8 0,1728 89,5%
2 0,4 1,0688 34,9%
4 0,2 1,4848 9,5%
Extrapolação de Richardson
Se usarmos um e dois intervalos
Se usarmos dois e quatro
!!!
2013/05/14 MN 7
%6,16
367467,11728,03
10688,1
3
4
Erro
I
%1
623467,10688,13
14848,1
3
4
Erro
I
Extrapolação de Richardson
Combinámos três valores O(h2) para obter
dois valores O(h4). Podemos combinar
dois O(h4) para obter um O(h6) com a
expressão
2013/05/14 MN 8
lm III15
1
15
16
menor precisão
maior precisão
Extrapolação de Richardson
Dois O(h6) podem ser combinados para
obter O(h8)
Empregando as duas últimas aproximações
do exemplo
2013/05/14 MN 9
lm III63
1
63
64
EXACTO VALOR %0
640533,1367467,115
1623467,1
15
16
Erro
I
Integração de Romberg
A expressão geral dos I anteriores pode ser
escrita
em que, como vimos à aproximação
realizada com menor intervalo
corresponde o menor peso.
2013/05/14 MN 10
I j,k 4k1 I j1,k1 I j,k1
4k1 1
Integração de Romberg
Ij+1,k-1 integral mais preciso
Ij,k-1 integral menos preciso
Ij,k novo valor de integral
k nível de integração
j nível de precisão
2013/05/14 MN 11
I j,k 4k1 I j1,k1 I j,k1
4k1 1
Integração de Romberg
Algoritmo
2013/05/14 MN 12
Integração de Romberg
Controle do erro
como não sabemos o valor exacto (o que
acontecia no exemplo) usamos o critério
da progressão, à semelhança de outros
procedimentos.
2013/05/14 MN 13
%100,1
1,2,1
k
kk
I
II
Integração de Romberg
Este método é muito eficaz, no exemplo
dado necessitamos de 15 cálculos da
função dada. Se usarmos a regra do 1/3
de Simpson necessitamos de 48 cálculos
da mesma função.
2013/05/14 MN 14
Integração de Romberg
2013/05/14 MN 15
Integração de Romberg
2013/05/14 MN 16
Quadratura de Gauss
Nas regras estudadas anteriormente
consideramos sempre pontos igualmente
espaçados.
Como se pode ver na figura seguinte, pode
melhorar-se o resultado de uma regra,
neste caso a do trapézio, se escolhermos
os pontos utilizados em vez de usarmos
sempre as extremidades do intervalo.
2013/05/14 MN 17
Quadratura de Gauss
2013/05/14 MN 18
Melhor compensação entre
os valores positivos e
negativos
Quadratura de Gauss
Da figura resulta que o emprego da
expressão
pode conduzir a um erro muito grande. Se
pudermos “andar” com os pontos até
conseguirmos diminuir o erro melhoramos
significativamente o resultado.
2013/05/14 MN 19
2
bfafabI
Quadratura de Gauss
A expressão usada foi obtida pela
interpolação linear, e cálculo de áreas.
Vamos aplicar a variação de coeficientes
para chegarmos às expressões de Gauss
ou Gauss-Legendre.
2013/05/14 MN 20
Quadratura de Gauss
Consideremos os dois exemplos seguintes:
2013/05/14 MN 21
1
2
Quadratura de Gauss
Nos exemplos 1 e 2, considerando que
onde os c são constantes e que as funções
são y=1 e y=x podemos escrever
2013/05/14 MN 22
)()( 10 bfcafcI
2/)(
2/)(00
2/)(
2/)(10
22
1
ab
ab
ab
ab
xdxab
cab
c
dxcc
Quadratura de Gauss
Calculando
2013/05/14 MN 23
)(2
)(2
I
logo
sistema o Resolvendo
022
10
00
10
bfab
afab
abcc
abc
abc
abcc
Regra do trapézio
Quadratura de Gauss
Se tivermos um caso
idêntico, mas com uma
curva, diremos que os
pontos x0 e x1 são
incógnitas. A equação
ajusta o integral de uma
constante e de uma recta,
e acrescentamos o ajuste
de y=x2 e de y=x3 para
obter mais duas condições
2013/05/14 MN 24
)()( 10 bfcafcI
Quadratura de Gauss
...5773,03
1
...5773,03
1
(3) em dosubstituin c c dá)2(
que vezuma
(4)] em (2) de [c dá que o
(4) 0
(3) 3
2
(2) 0
(1) 21
1
0
21
1010
2
1
2
0
1
1
1
33
11
3
00
1
1
22
11
2
00
1
1
1100
1
1
10
x
x
xxxxxx
dxxxcxc
dxxxcxc
xdxxcxc
dxcc
2013/05/14 MN 25
Quadratura de Gauss
Concluímos que a fórmula de dois pontos
de Gauss-Legendre é
ou seja, basta calcular a função em dois
pontos para se calcular um integral
equivalente à terceira ordem.
2013/05/14 MN 26
3
1
3
1ffI
Quadratura de Gauss
Nota importante Os limites de integração
adoptados foram -1 e 1, pelo que será, em
geral, necessário fazer uma mudança de
variável.
2013/05/14 MN 27
)1(
1 e superior limite No
)1(
1 e inferior limite No
21
21
21
aab
xbx
aaa
xax
xaax
d
d
d
Quadratura de Gauss
d
d
dxab
dx
xababx
aba
aba
2
2
2
2
2
1
2013/05/14 MN 28
Quadratura de Gauss - exemplo
Usar
para calcular o integral de
2013/05/14 MN 29
3
1
3
1ffI
0,8 xe 0 xentre
400900675200252,0)( 5432
xxxxxxf
Quadratura de Gauss - exemplo
Mudança de variável
2013/05/14 MN 30
ddd
ddd
d
d
dxxx
xxx
dxxxxxx
dxdx
xx
4,0]4,04,04004,04,0900
4,04,06754,04,02004,04,0252,0[
400900675200252,0
doSubstituin
4,0
4,04,0
54
1
1
32
8,0
0
5432
Quadratura de Gauss - exemplo
O integral obtido é
1,822578 com
e o valor calculado analiticamente 1,640533
Erro de 11,1% comparável a trapézio,
Simpson 1/3 ou 3/8
2013/05/14 MN 31
3
1
3
1ffI
Quadratura de Gauss
Podemos empregar fórmulas com mais
pontos, sabendo os pesos a aplicar
2013/05/14 MN 32
Points Weighting
Factors Function
Arguments
2 c1 = 1.000000000
c2 = 1.000000000
x1 = -0.577350269
x2 = 0.577350269
3 c1 = 0.555555556
c2 = 0.888888889
c3 = 0.555555556
x1 = -0.774596669
x2 = 0.000000000
x3 = 0.774596669
4 c1 = 0.347854845
c2 = 0.652145155
c3 = 0.652145155
c4 = 0.347854845
x1 = -0.861136312
x2 = -0.339981044
x3 = 0.339981044 x4 = 0.861136312
Mais em
Abramovitz
Quadratura adaptativa
Trata-se de um procedimento que evita o
emprego de pontos igualmente
espaçados. Por um método que não vou
descrever faz-se variar a largura dos
intervalos de forma a minimizar o cálculo
da função dada.
2013/05/14 MN 33
Quadratura adaptativa M/O
Temos duas funções
quad Simpson
quadl Lobatto (não detalharei)
que realizam este objectivo.
Sintaxe
q = quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,…)
2013/05/14 MN 34
Quadratura adaptativa M/O
funfunção
a e blimites
tolmajorante do erro
trace0 ou diferente de zero controla a
saída, dando menos ou mais detalhes do
cálculo
p1,p2…parâmetros a passar à função
2013/05/14 MN 35