expoentes de hurst, leis de potência e eficiência no mercado de câmbio brasileiro sergio da silva...

Expoentes de Hurst, Leis de Potência e Eficiência no

Mercado de Câmbio Brasileiro

Sergio Da SilvaDepartamento de Economia, Universidade Federal de Santa Catarina

Raul MatsushitaDepartamento de Estatística, Universidade de Brasília

Iram GleriaDepartamento de Física, Universidade Federal de Alagoas

Annibal FigueiredoDepartamento de Física, Universidade de Brasília

Resumo

Encontramos evidência de eficiência informacional fraca no mercado de câmbio brasileiro diário usando expoentes de Hurst

(Hurst 1951, 1955, Feder 1988)

Os expoentes de Hurst oferecem uma alternativa vinda da física estatística às

abordagens econométricas tradicionais para a eficiência

Resumo

Mostramos que uma tendência rumo à eficiência foi revertida depois da crise cambial de 1999

Também encontramos leis de potência (Mantegna and

Stanley 2000) nas médias, volatilidades, expoentes de Hurst, tempos de autocorrelação e índices de complexidade dos retornos para crescentes

incrementos de tempo

Nossos resultados também aparecem para uma série do preço do dólar de alta frequência

Keywords

Mercado do Dólar

Eficiência Informacional

Econofísica

Leis de Potência

Expoentes de Hurst


Associada a passeios aleatóriostipos 1, 2 e 3

No passeio aleatório tipo 1 os incrementos são independentes (não

correlacionados) e identicamente distribuídos

Como os incrementos pertencem a uma mesma distribuição, argumenta-se que o passeio aleatório tipo 1 não serve para

séries com quebras estruturais(caso da série diária do preço do dólar)


No passeio aleatório tipo 2 os incrementos são independentes, mas

provêm de diferentes distribuições

No passeio aleatório tipo 3 há diferentes distribuições, mas os quadrados dos

incrementos são auto-correlacionados (embora os incrementos sejam ainda

independentes)


Eficiência Forte: o preço do ativo já leva em conta toda a informação disponível, pública e

privada (inside trading)

Eficiência Semi-Forte: o preço do ativo já leva em conta toda a informação pública disponível

Eficiência Fraca: o preço do ativo já leva em conta a informação disponível em sua série

histórica

Testes de séries temporais de única variável buscam verificar a existência de eficiência fraca


Exemplos de testes econométricos para a eficiência fraca são os efeitos

intraday, dia da semana, sazonalidade dos retornos

e os testes

de autocorrelação, Runs, razão de variância, de lucratividade de regras de

filtro ou análise técnica

e de existência de padrão não-linear nos retornos (Laurini & Portugal 2002)

Econofísica

Neologismo utilizado para o ramo da física dos sistemas complexos

que procura fazer um levantamento completo das propriedades estatísticas dos

mercados financeiros

usando o imenso volume de dados agora disponíveis

e a metodologia de trabalho da física estatística

(Mantegna & Stanley 2000)

Pode ser vista como uma abordagem alternativa de finanças

Lei de Potência

Reta em um log-log plot

A lei de Newton de queda livre é um exemplo de lei de potência

Soltando um objeto de uma torreAltura Tempo log(Altura) log(Tempo) 4 0.89 0.602059991 -0.050609993 8 1.26 0.903089987 0.100370545

12 1.55 1.079181246 0.190331698 16 1.79 1.204119983 0.252853031 20 2 1.301029996 0.301029996 24 2.19 1.380211242 0.340444115 28 2.37 1.447158031 0.374748346 32 2.53 1.505149978 0.403120521

Lei de Potência

A relação entre altura e tempo de queda não é linear

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 10 20 30 40

Lei de Potência

Mas o log do tempo de queda versus log da altura de queda é uma reta

Inclinação = ½ escalonamento gaussiano

y = 0.5028x - 0.3532R2 = 1

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.5 1 1.5 2

Lei de PotênciaA lei de potência toma a forma

dhct chdt logloglog

d inclinação bc log é o intercepto y ( bc 10 )

Da figura anterior obtemos 5.0d e 35.0log c

45.010 35.0 c 5.045.0 ht

Lei de Potência

Isto está de acordo com a lei de Newton para queda livre

2

2t

gh

81.9

2ht

5.045.0 ht

Lei de Potência

Intuição

Uma lei de potência sem escala e não gaussiana significa que não há um evento típico

Não há diferença qualitativa entre um evento comum e outro extremo

Um evento extremo não precisa ter causa

A causa de um evento comum pode ser a mesma de um evento extremo

Analisar a situação inicial não serve para predizer um evento

Expoente de Hurst

O desvio padrão em séries independentes e normalmente distribuídas se comporta

como

onde H = ½ e t é tempo(Gnedenko and Kolmogorov 1968)

O expoente dessa relação de escalonamento entre o desvio padrão de uma série temporal e os

incrementos de tempo é o expoente de Hurst

( ) Ht t

( ) Ht t

Expoente de Hurst

H = ½: movimento browniano (passeio aleatório), i.e. um processo aleatório sem

memória longa

A hipótese do mercado eficiente supõe então H = ½

Valores diferentes de ½ são indicativos de longa memória e de que os dados não são

independentes

( ) Ht t

Expoente de Hurst

Valores entre ½ e 1 indicam dependência longa positiva: séries com persistência e

trend-reinforcing

Valores positivos menores do que ½ indicam dependência longa negativa: tendências

passadas tendem a se reverter no futuro (anti-persistência)

( ) Ht t

Expoente de Hurst

Cálculo usando Chaos Data Analyzer (Sprott & Rowlands 1995)

Uma vez que o valor da variável, em média, se distancia de sua posição inicial

em um montante proporcional à raiz quadrada do tempo (quando ocorre H =

½),

o programa plota o deslocamento contra o tempo, usando cada ponto da série como condição inicial: a inclinação da curva é o

expoente de Hurst(Sprott 2003)

( ) Ht t

Expoente de Hurst

Cálculo por rescaled range (R/S) analysis (Hurst 1951)

Como o deslocamento da variável escalona com a raiz quadrada do tempo,

Hurst expressou o deslocamento absoluto em termos de desvios cumulativos

reescalonados da média

e definiu tempo como o número da dados (n) usados

( ) Ht t

n nR S

Expoente de Hurst

O expoente de escalonamento da relação

(onde c é uma constante) é agora o

expoente de Hurst

Se os dados forem independentes, a distância percorrida vai aumentar com a

raiz quadrada do tempo e H = ½

( ) Ht t

Hn nR S cn

Dados

Série diária:2 de janeiro de 1995 a 31 de agosto de

2006

Fonte: website do Federal Reserve

Série intraday (espaçada em 15 minutos):9h30 de 19 julho de 2001 até 16h30 de

14 de janeiro de 2003

Fonte: Agora Senior Consultoria

( ) Ht t

Série Diária

( ) Ht t

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Retornos da Série Diária

( ) Ht t

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Série Diária

( ) Ht t

0.8440.845 0.0010.845 00.843 -0.0020.84 -0.003

0.844 0.0040.847 0.0030.851 0.0040.845 -0.0060.847 0.0020.847 00.846 -0.0010.846 00.848 0.0020.848 00.85 0.002

0.851 0.0010.851 00.845 -0.0060.844 -0.0010.846 0.0020.841 -0.0050.842 0.0010.839 -0.0030.839 00.836 -0.0030.836 00.835 -0.0010.833 -0.0020.834 0.001

Série Intraday

( ) Ht t

Retornos da Série Intraday

( ) Ht t

Dados

A série diária apresenta raiz unitária em níveis, mas fica estacionária em

primeira diferença

Isto pode ser visto com o teste de Perron para séries com quebras

estruturais (Moura & Da Silva 2005)

Assim, os retornos diários são estacionários

( ) Ht t

Dados

A série diária apresenta uma quebra ao olho nu em 13 de janeiro de 1999, quando ocorreu uma

crise cambial

O regime de câmbio fixo, ou “âncora cambial”, foi substituído pelo câmbio flutuante

Mas a média é semelhante nos dois regimes

A volatilidade no regime de câmbio flutuante é dez vezes maior, mas isso não afeta a estacionaridade da média dos retornos

( ) Ht t

Dados( ) Ht t

Período 2 Jan 9512 Jan 99 13 Jan 9931 Ago 06 2 Jan 9531 Ago 06

Pontos 1009 1921 2930

Média 0.00036 0.00043 0.00044

Desvio Padrão 0.002 0.029 0.024

Assimetria 0.73 0.02 0.06

Curtose 32.82 8.96 15.2

Expoente de Hurst 0.55 0.51 0.54

Leis de Potência nos Momentos Estatísticos

Estudo dos retornos

variando os incrementos

de 1 a 1000

( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t

( ) ( ) ( )r t e t t e t

t


Quando

aumenta,

as médias e volatilidades crescem (como esperado)

Mas o crescimento é governado por leis de potência


t

Lei de Potência nas Médias da Série Diária

Inclinação ≠ ½ escalonamento não gaussiano


y = 1.0343x - 3.015R2 = 0.9996

-3.5-3

-2.5-2

-1.5-1

-0.50

0.5

0 1 2 3

Lei de Potência nas Médias da Série Diária


1 0.00101137 0 -2.9950899332 0.00200142 0.301029996 -2.6986611143 0.003033665 0.477121255 -2.5180323794 0.004074478 0.602059991 -2.3899280235 0.005066924 0.698970004 -2.295255616 0.006088324 0.77815125 -2.2155022447 0.007115207 0.84509804 -2.1478124618 0.008144736 0.903089987 -2.0891229889 0.009164996 0.954242509 -2.03786772

10 0.01017602 1 -1.99242204820 0.02014626 1.301029996 -1.69580556630 0.03055909 1.477121255 -1.51485958240 0.04188924 1.602059991 -1.37789751950 0.05416851 1.698970004 -1.2662531160 0.06693177 1.77815125 -1.1743676970 0.08036166 1.84509804 -1.09495110180 0.09405512 1.903089987 -1.02661755890 0.1077238 1.954242509 -0.967688335

100 0.1204376 2 -0.919237907200 0.2621603 2.301029996 -0.581433075300 0.3683358 2.477121255 -0.433756068400 0.4735743 2.602059991 -0.324611874500 0.5972076 2.698970004 -0.223874674600 0.7071869 2.77815125 -0.150465793700 0.8148769 2.84509804 -0.088907993800 0.9289032 2.903089987 -0.032029541900 1.061132 2.954242509 0.025769412

1000 1.217908 3 0.085614483

Lei de Potência nas Médias da Série Intraday



y = 1.0763x - 4.1595R2 = 0.9994

-4.5-4

-3.5-3

-2.5

-2-1.5

-1-0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Lei de Potência nas Volatilidades das Séries Diária e Intraday



y = 0.4195x − 1.4791

R 2 = 0.9633

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0 1 2 3

y = 0.5331x − 1.5889

R 2 = 0.9993

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0 0.5 1 1.5 2


Os momentos estatísticos podem ser expressos como

onde o efeito de

nos momentos será maior,quanto maior for

(Gleria, Matsushita & Da Silva 2002)


( )t

t


Escalonamento nos momentos é chamado de “structure function analysis” e pode ser usado para fins de previsão (Richards

2004)

Ele também está relacionado ao grau de multi-fractalidade de uma série (Schmitt et al

2000) e pode informar o tipo da sua distribuição subjacente



Eficiência e Hurst

Usando o CDA, para a amostra inteira de retornos simples da taxa diária real-dólar, H = 0.54

Este valor é parecido para porções dos dados (tabela anterior)

Para os dados de alta frequência, H = 0.52

Estes valores são compatíveis com eficiência fraca, i.e. são levemente diferentes de ½

Mas são também compatíveis com existência de autocorrelação


Eficiência e Hurst

Aumentando

na definição dos retornos,esperamos que os expoentes de Hurst aumentem,

porque há mais agregação

Mas surpreendentemente há leis de potência governando o ritmo de crescimento dos expoentes

t


Eficiência e Hurst

Escalonamento dos expoentes de Hurst para as séries de crescentes incrementos da série diária

y = 0.1692x − 0.2519

R2= 0.9983-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y = 0.0753x − 0.1528R2 = 0.9687

-0.09

-0.08

-0.07

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

y = 0.0076x − 0.0216R2 = 0.8159

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3


Eficiência e Hurst

Escalonamento dos expoentes de Hurst para as séries de crescentes incrementos da série intraday

y = 0.1658x − 0.2807R2 = 0.9966

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y = 0.1015x − 0.2177R2 = 0.9971

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

y = 0.015x − 0.0454R2 = 0.9256

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3


Eficiência e Hurst

Encontramos valores ainda maiores fazendo o cálculo do expoente por R/S

analysis

Na linha reta de melhor ajustamento para a série diária

H = 0.63

Para a série intraday, H = 0.62

ln[ ( ) / ( )] 0.536 0.62886ln( )R n S n n

ln ( ) ( ) 0.710114 0.622155ln( )R n S n n


Eficiência e Hurst

A maioria dos estudos que encontra H ≠ ½ não inclui um teste de significância

(Couillard & Davison 2005)

Rodamos o teste sugerido por Couillard & Davison e econtramos que os

expoentes calculados são estatisticamente significativos com p–

value < 0.001Período 2 Jan 95 31 Ago 06 9h30 19 Jul 2001–16h:30 14 Jan 2003

Pontos 2930 9327 Hurst 0.63 0.62 |t statistic| 3.26 4.43 p–value < 0.0006 < 0.00001


Eficiência e Hurst

A R/S analysis costuma ser criticada por não conseguir distinguir memória curta

de memória longa(Lo 1991)

Lo sugere uma modificação que viesa contra a hipótese de dependência longa

(Teverovsky et al 1999, Willinger et al 1999)

Outra modificação sugerida é filtrar a R/S analysis com um processo AR(1)–

GARCH(1, 1) (Cajueiro & Tabak 2004)


Eficiência e Hurst

Também calculamos os expoentes em janelas móveis de tempo de quatro anos,

i.e. 1008 observações de cada vez

Isto permite saber se a série fica mais ou menos eficiente à medida que o tempo

passa (Cajueiro & Tabak 2004)

Precisa-se aqui também verificar se o histograma é normalmente distribuído:

se for, há erros de mensuração


Eficiência e Hurst

Os Hursts foram calculados por R/S analysis filtrada com um AR(1)–

GARCH(1, 1)

onde a, b, , , 1, 2 são os parâmetros estimados

h(t) é a variância condicional dos resíduos

s(t) é normalmente distribuído e independente de s(t'), t ≠ t'

1 1( ) ( 1) ( )r t a r t t

( ) ( ) ( )t s t h t 2

1 2( ) ( 1) ( 1) ( )h t b t h t D t


Eficiência e Hurst

O Hurst se aproxima de ½ por volta da observação 1010 (dezembro de 1998), depois

de uma prévia ultrapassagem o mercado fica mais eficiente

De dezembro de 1998 em diante, o Hurst se afasta de ½


Eficiência e Hurst

A figura anterior também mostra os limites de confiança a 95% usando o teste de Couillard &

Davison, i.e. 0.4811 e 0.6277 (sob a hipótese nula de que a série é independente e gaussiana)

A figura abaixo mostra que o histograma não tem formato de sino


Eficiência e Hurst

Interpretação

Até dezembro de 1998, o real era desvalorizado à média diária de

0.003%

Esta informação poderia ser facilmente levada em conta pelos

participantes do mercado

não surpreende que o mercado fique mais eficiente


Eficiência e Hurst

Interpretação

Depois da crise de 13 de janeiro de 1999, sob o câmbio flutuante,

choques de todos os tipos(macroeconômicos internos, efeito Lula, contágio da crise argentina)

tornaram mais difícil o processamento de nova informação

entrando no mercado

mercado fica menos eficiente


Eficiência e Hurst

Para os dados intraday, usamos janelas móveis de

tempo de 6085 pontos (aproximadamente um ano)

Mas a análise não foi robusta porque o histograma

ficou gaussiano


Tempo de Autocorrelação

Como os valores dos Hursts são compatíveis com a presença de

autocorrelação, examinamos o tempo de autocorrelação

Que mede quanto uma observação corrente depende das anteriores

Esperamos que o tempo de autocorrelação aumente com os

incrementos

Mas é surpreendente que ele aumente seguindo uma lei de

potência


Tempo de Autocorrelação

Série Diária

Série Intraday

y = 0.7892x + 0.0212

R2 = 0.9677

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3

y = 1.0111x − 0.2045

R2 = 0.9949

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3


Índice de Complexidade

Relacionado ao expoente de Hurst e ao tempo do autocorrelação

Índice Lempel-Ziv (LZ) de complexidade em relação ao ruído

branco gaussiano(Lempel & Ziv 1976, Kaspar & Schuster 1987)

LZ = 0: perfeita previsibilidade

LZ ≈ 1: aleatoriedade genuína (complexidade máxima)



Para calcular a complexidade algorítmica de uma série, cada ponto é convertido em um número binário e então comparado à mediana da série inteira

Calculamos, pelo CDA, para os retornos simples diários, LZ =

1.04

Para os retornos intraday, LZ = 0.99

Estes valores são consistentes com eficiência fraca e os expoentes de

Hurst encontrados



À medida que aumentamos os incrementos, a maior agregação

introduz mais estrutura na série, e isto a torna mais

previsível

Então, esperamos que o LZ tenda a decair para zero

Mas é ainda surpreendente que o decaimento siga uma lei de

potência



Série diária

Série intraday

y = −0.3822x + 0.1525

R 2 = 0.8849

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3

y = −0.48x + 0.2013

R 2 = 0.9464

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3


Conclusão

Encontramos expoentes de Hurst que não são incompatíveis com o resultado econométrico

existente de eficiência fraca no mercado do dólar

Além disso, o cálculo dos expoentes em janelas de tempo permitiu constatar que uma tendência

em direção à eficiência tem sido revertida desde a crise de 1999

A intervenção do banco central deixou o mercado mais previsível, mais informacionalmente

eficiente,mas também pode ter precipitado a crise


Conclusão

Aumentando o intervalo de tempo na definição dos retornos, pudemos encontrar padrão na

forma de leis de potêncianas médias, volatilidades, expoentes de Hurst,

tempos de autocorrelação e índices de complexidade

A maioria dos resultados pode ser replicada para um conjunto de dados intraday, o que

sugere auto-similaridade na série do preço do dólar


Referências

Cajueiro, D.O., and B.M. Tabak (2004) “The Hurst exponent over time: testing the assertion that emerging markets are becoming more efficient”, Physica A 336, 521-537.

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Gnedenko, B.V, and A.N. Kolmogorov (1968) Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables, Addison-Wesley: Reading.

Hurst, H. (1951) “Long-term storage capacity of reservoirs”, Transactions of the American Society of Civil Engineers 116, 770-808.

Hurst, H. (1955) “Methods of using long-term storage in reservoirs”, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Part I, 519-577.

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Laurini, M.P., and M.S. Portugal (2002) “Markov-switching based nonlinear tests for market efficiency using the R$/US$ exchange rate”, Proceedings of the 24th Brazilian Econometric Meeting.

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Referências

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expoentes de hurst, leis de potência e eficiência no mercado de câmbio brasileiro sergio da silva...

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