Expoentes de Hurst, Leis de Potência e Eficiência no
Mercado de Câmbio Brasileiro
Sergio Da SilvaDepartamento de Economia, Universidade Federal de Santa Catarina
Raul MatsushitaDepartamento de Estatística, Universidade de Brasília
Iram GleriaDepartamento de Física, Universidade Federal de Alagoas
Annibal FigueiredoDepartamento de Física, Universidade de Brasília
Resumo
Encontramos evidência de eficiência informacional fraca no mercado de câmbio brasileiro diário usando expoentes de Hurst
(Hurst 1951, 1955, Feder 1988)
Os expoentes de Hurst oferecem uma alternativa vinda da física estatística às
abordagens econométricas tradicionais para a eficiência
Resumo
Mostramos que uma tendência rumo à eficiência foi revertida depois da crise cambial de 1999
Também encontramos leis de potência (Mantegna and
Stanley 2000) nas médias, volatilidades, expoentes de Hurst, tempos de autocorrelação e índices de complexidade dos retornos para crescentes
incrementos de tempo
Nossos resultados também aparecem para uma série do preço do dólar de alta frequência
Keywords
Mercado do Dólar
Eficiência Informacional
Econofísica
Leis de Potência
Expoentes de Hurst
Eficiência Informacional
Associada a passeios aleatóriostipos 1, 2 e 3
No passeio aleatório tipo 1 os incrementos são independentes (não
correlacionados) e identicamente distribuídos
Como os incrementos pertencem a uma mesma distribuição, argumenta-se que o passeio aleatório tipo 1 não serve para
séries com quebras estruturais(caso da série diária do preço do dólar)
Eficiência Informacional
No passeio aleatório tipo 2 os incrementos são independentes, mas
provêm de diferentes distribuições
No passeio aleatório tipo 3 há diferentes distribuições, mas os quadrados dos
incrementos são auto-correlacionados (embora os incrementos sejam ainda
independentes)
Eficiência Informacional
Eficiência Forte: o preço do ativo já leva em conta toda a informação disponível, pública e
privada (inside trading)
Eficiência Semi-Forte: o preço do ativo já leva em conta toda a informação pública disponível
Eficiência Fraca: o preço do ativo já leva em conta a informação disponível em sua série
histórica
Testes de séries temporais de única variável buscam verificar a existência de eficiência fraca
Eficiência Informacional
Exemplos de testes econométricos para a eficiência fraca são os efeitos
intraday, dia da semana, sazonalidade dos retornos
e os testes
de autocorrelação, Runs, razão de variância, de lucratividade de regras de
filtro ou análise técnica
e de existência de padrão não-linear nos retornos (Laurini & Portugal 2002)
Econofísica
Neologismo utilizado para o ramo da física dos sistemas complexos
que procura fazer um levantamento completo das propriedades estatísticas dos
mercados financeiros
usando o imenso volume de dados agora disponíveis
e a metodologia de trabalho da física estatística
(Mantegna & Stanley 2000)
Pode ser vista como uma abordagem alternativa de finanças
Lei de Potência
Reta em um log-log plot
A lei de Newton de queda livre é um exemplo de lei de potência
Soltando um objeto de uma torreAltura Tempo log(Altura) log(Tempo) 4 0.89 0.602059991 -0.050609993 8 1.26 0.903089987 0.100370545
12 1.55 1.079181246 0.190331698 16 1.79 1.204119983 0.252853031 20 2 1.301029996 0.301029996 24 2.19 1.380211242 0.340444115 28 2.37 1.447158031 0.374748346 32 2.53 1.505149978 0.403120521
Lei de Potência
A relação entre altura e tempo de queda não é linear
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 10 20 30 40
Lei de Potência
Mas o log do tempo de queda versus log da altura de queda é uma reta
Inclinação = ½ escalonamento gaussiano
y = 0.5028x - 0.3532R2 = 1
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0.5 1 1.5 2
Lei de PotênciaA lei de potência toma a forma
dhct chdt logloglog
d inclinação bc log é o intercepto y ( bc 10 )
Da figura anterior obtemos 5.0d e 35.0log c
45.010 35.0 c 5.045.0 ht
Lei de Potência
Isto está de acordo com a lei de Newton para queda livre
2
2t
gh
81.9
2ht
5.045.0 ht
Lei de Potência
Intuição
Uma lei de potência sem escala e não gaussiana significa que não há um evento típico
Não há diferença qualitativa entre um evento comum e outro extremo
Um evento extremo não precisa ter causa
A causa de um evento comum pode ser a mesma de um evento extremo
Analisar a situação inicial não serve para predizer um evento
Expoente de Hurst
O desvio padrão em séries independentes e normalmente distribuídas se comporta
como
onde H = ½ e t é tempo(Gnedenko and Kolmogorov 1968)
O expoente dessa relação de escalonamento entre o desvio padrão de uma série temporal e os
incrementos de tempo é o expoente de Hurst
( ) Ht t
( ) Ht t
Expoente de Hurst
H = ½: movimento browniano (passeio aleatório), i.e. um processo aleatório sem
memória longa
A hipótese do mercado eficiente supõe então H = ½
Valores diferentes de ½ são indicativos de longa memória e de que os dados não são
independentes
( ) Ht t
Expoente de Hurst
Valores entre ½ e 1 indicam dependência longa positiva: séries com persistência e
trend-reinforcing
Valores positivos menores do que ½ indicam dependência longa negativa: tendências
passadas tendem a se reverter no futuro (anti-persistência)
( ) Ht t
Expoente de Hurst
Cálculo usando Chaos Data Analyzer (Sprott & Rowlands 1995)
Uma vez que o valor da variável, em média, se distancia de sua posição inicial
em um montante proporcional à raiz quadrada do tempo (quando ocorre H =
½),
o programa plota o deslocamento contra o tempo, usando cada ponto da série como condição inicial: a inclinação da curva é o
expoente de Hurst(Sprott 2003)
( ) Ht t
Expoente de Hurst
Cálculo por rescaled range (R/S) analysis (Hurst 1951)
Como o deslocamento da variável escalona com a raiz quadrada do tempo,
Hurst expressou o deslocamento absoluto em termos de desvios cumulativos
reescalonados da média
e definiu tempo como o número da dados (n) usados
( ) Ht t
n nR S
Expoente de Hurst
O expoente de escalonamento da relação
(onde c é uma constante) é agora o
expoente de Hurst
Se os dados forem independentes, a distância percorrida vai aumentar com a
raiz quadrada do tempo e H = ½
( ) Ht t
Hn nR S cn
Dados
Série diária:2 de janeiro de 1995 a 31 de agosto de
2006
Fonte: website do Federal Reserve
Série intraday (espaçada em 15 minutos):9h30 de 19 julho de 2001 até 16h30 de
14 de janeiro de 2003
Fonte: Agora Senior Consultoria
( ) Ht t
Série Diária
( ) Ht t
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Retornos da Série Diária
( ) Ht t
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Série Diária
( ) Ht t
0.8440.845 0.0010.845 00.843 -0.0020.84 -0.003
0.844 0.0040.847 0.0030.851 0.0040.845 -0.0060.847 0.0020.847 00.846 -0.0010.846 00.848 0.0020.848 00.85 0.002
0.851 0.0010.851 00.845 -0.0060.844 -0.0010.846 0.0020.841 -0.0050.842 0.0010.839 -0.0030.839 00.836 -0.0030.836 00.835 -0.0010.833 -0.0020.834 0.001
Série Intraday
( ) Ht t
Retornos da Série Intraday
( ) Ht t
Dados
A série diária apresenta raiz unitária em níveis, mas fica estacionária em
primeira diferença
Isto pode ser visto com o teste de Perron para séries com quebras
estruturais (Moura & Da Silva 2005)
Assim, os retornos diários são estacionários
( ) Ht t
Dados
A série diária apresenta uma quebra ao olho nu em 13 de janeiro de 1999, quando ocorreu uma
crise cambial
O regime de câmbio fixo, ou “âncora cambial”, foi substituído pelo câmbio flutuante
Mas a média é semelhante nos dois regimes
A volatilidade no regime de câmbio flutuante é dez vezes maior, mas isso não afeta a estacionaridade da média dos retornos
( ) Ht t
Dados( ) Ht t
Período 2 Jan 9512 Jan 99 13 Jan 9931 Ago 06 2 Jan 9531 Ago 06
Pontos 1009 1921 2930
Média 0.00036 0.00043 0.00044
Desvio Padrão 0.002 0.029 0.024
Assimetria 0.73 0.02 0.06
Curtose 32.82 8.96 15.2
Expoente de Hurst 0.55 0.51 0.54
Leis de Potência nos Momentos Estatísticos
Estudo dos retornos
variando os incrementos
de 1 a 1000
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
( ) ( ) ( )r t e t t e t
t
Leis de Potência nos Momentos Estatísticos
Quando
aumenta,
as médias e volatilidades crescem (como esperado)
Mas o crescimento é governado por leis de potência
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
t
Lei de Potência nas Médias da Série Diária
Inclinação ≠ ½ escalonamento não gaussiano
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
y = 1.0343x - 3.015R2 = 0.9996
-3.5-3
-2.5-2
-1.5-1
-0.50
0.5
0 1 2 3
Lei de Potência nas Médias da Série Diária
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
1 0.00101137 0 -2.9950899332 0.00200142 0.301029996 -2.6986611143 0.003033665 0.477121255 -2.5180323794 0.004074478 0.602059991 -2.3899280235 0.005066924 0.698970004 -2.295255616 0.006088324 0.77815125 -2.2155022447 0.007115207 0.84509804 -2.1478124618 0.008144736 0.903089987 -2.0891229889 0.009164996 0.954242509 -2.03786772
10 0.01017602 1 -1.99242204820 0.02014626 1.301029996 -1.69580556630 0.03055909 1.477121255 -1.51485958240 0.04188924 1.602059991 -1.37789751950 0.05416851 1.698970004 -1.2662531160 0.06693177 1.77815125 -1.1743676970 0.08036166 1.84509804 -1.09495110180 0.09405512 1.903089987 -1.02661755890 0.1077238 1.954242509 -0.967688335
100 0.1204376 2 -0.919237907200 0.2621603 2.301029996 -0.581433075300 0.3683358 2.477121255 -0.433756068400 0.4735743 2.602059991 -0.324611874500 0.5972076 2.698970004 -0.223874674600 0.7071869 2.77815125 -0.150465793700 0.8148769 2.84509804 -0.088907993800 0.9289032 2.903089987 -0.032029541900 1.061132 2.954242509 0.025769412
1000 1.217908 3 0.085614483
Lei de Potência nas Médias da Série Intraday
Inclinação ≠ ½ escalonamento não gaussiano
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
y = 1.0763x - 4.1595R2 = 0.9994
-4.5-4
-3.5-3
-2.5
-2-1.5
-1-0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Lei de Potência nas Volatilidades das Séries Diária e Intraday
Inclinação ≠ ½ escalonamento não gaussiano
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
y = 0.4195x − 1.4791
R 2 = 0.9633
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0 1 2 3
y = 0.5331x − 1.5889
R 2 = 0.9993
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0 0.5 1 1.5 2
Leis de Potência nos Momentos Estatísticos
Os momentos estatísticos podem ser expressos como
onde o efeito de
nos momentos será maior,quanto maior for
(Gleria, Matsushita & Da Silva 2002)
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
( )t
t
Leis de Potência nos Momentos Estatísticos
Escalonamento nos momentos é chamado de “structure function analysis” e pode ser usado para fins de previsão (Richards
2004)
Ele também está relacionado ao grau de multi-fractalidade de uma série (Schmitt et al
2000) e pode informar o tipo da sua distribuição subjacente
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Eficiência e Hurst
Usando o CDA, para a amostra inteira de retornos simples da taxa diária real-dólar, H = 0.54
Este valor é parecido para porções dos dados (tabela anterior)
Para os dados de alta frequência, H = 0.52
Estes valores são compatíveis com eficiência fraca, i.e. são levemente diferentes de ½
Mas são também compatíveis com existência de autocorrelação
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Eficiência e Hurst
Aumentando
na definição dos retornos,esperamos que os expoentes de Hurst aumentem,
porque há mais agregação
Mas surpreendentemente há leis de potência governando o ritmo de crescimento dos expoentes
t
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Eficiência e Hurst
Escalonamento dos expoentes de Hurst para as séries de crescentes incrementos da série diária
y = 0.1692x − 0.2519
R2= 0.9983-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
y = 0.0753x − 0.1528R2 = 0.9687
-0.09
-0.08
-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
y = 0.0076x − 0.0216R2 = 0.8159
-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Eficiência e Hurst
Escalonamento dos expoentes de Hurst para as séries de crescentes incrementos da série intraday
y = 0.1658x − 0.2807R2 = 0.9966
-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
y = 0.1015x − 0.2177R2 = 0.9971
-0.14
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
y = 0.015x − 0.0454R2 = 0.9256
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Eficiência e Hurst
Encontramos valores ainda maiores fazendo o cálculo do expoente por R/S
analysis
Na linha reta de melhor ajustamento para a série diária
H = 0.63
Para a série intraday, H = 0.62
ln[ ( ) / ( )] 0.536 0.62886ln( )R n S n n
ln ( ) ( ) 0.710114 0.622155ln( )R n S n n
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Eficiência e Hurst
A maioria dos estudos que encontra H ≠ ½ não inclui um teste de significância
(Couillard & Davison 2005)
Rodamos o teste sugerido por Couillard & Davison e econtramos que os
expoentes calculados são estatisticamente significativos com p–
value < 0.001Período 2 Jan 95 31 Ago 06 9h30 19 Jul 2001–16h:30 14 Jan 2003
Pontos 2930 9327 Hurst 0.63 0.62 |t statistic| 3.26 4.43 p–value < 0.0006 < 0.00001
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Eficiência e Hurst
A R/S analysis costuma ser criticada por não conseguir distinguir memória curta
de memória longa(Lo 1991)
Lo sugere uma modificação que viesa contra a hipótese de dependência longa
(Teverovsky et al 1999, Willinger et al 1999)
Outra modificação sugerida é filtrar a R/S analysis com um processo AR(1)–
GARCH(1, 1) (Cajueiro & Tabak 2004)
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Eficiência e Hurst
Também calculamos os expoentes em janelas móveis de tempo de quatro anos,
i.e. 1008 observações de cada vez
Isto permite saber se a série fica mais ou menos eficiente à medida que o tempo
passa (Cajueiro & Tabak 2004)
Precisa-se aqui também verificar se o histograma é normalmente distribuído:
se for, há erros de mensuração
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Eficiência e Hurst
Os Hursts foram calculados por R/S analysis filtrada com um AR(1)–
GARCH(1, 1)
onde a, b, , , 1, 2 são os parâmetros estimados
h(t) é a variância condicional dos resíduos
s(t) é normalmente distribuído e independente de s(t'), t ≠ t'
1 1( ) ( 1) ( )r t a r t t
( ) ( ) ( )t s t h t 2
1 2( ) ( 1) ( 1) ( )h t b t h t D t
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Eficiência e Hurst
O Hurst se aproxima de ½ por volta da observação 1010 (dezembro de 1998), depois
de uma prévia ultrapassagem o mercado fica mais eficiente
De dezembro de 1998 em diante, o Hurst se afasta de ½
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Eficiência e Hurst
A figura anterior também mostra os limites de confiança a 95% usando o teste de Couillard &
Davison, i.e. 0.4811 e 0.6277 (sob a hipótese nula de que a série é independente e gaussiana)
A figura abaixo mostra que o histograma não tem formato de sino
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Eficiência e Hurst
Interpretação
Até dezembro de 1998, o real era desvalorizado à média diária de
0.003%
Esta informação poderia ser facilmente levada em conta pelos
participantes do mercado
não surpreende que o mercado fique mais eficiente
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Eficiência e Hurst
Interpretação
Depois da crise de 13 de janeiro de 1999, sob o câmbio flutuante,
choques de todos os tipos(macroeconômicos internos, efeito Lula, contágio da crise argentina)
tornaram mais difícil o processamento de nova informação
entrando no mercado
mercado fica menos eficiente
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Eficiência e Hurst
Para os dados intraday, usamos janelas móveis de
tempo de 6085 pontos (aproximadamente um ano)
Mas a análise não foi robusta porque o histograma
ficou gaussiano
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Tempo de Autocorrelação
Como os valores dos Hursts são compatíveis com a presença de
autocorrelação, examinamos o tempo de autocorrelação
Que mede quanto uma observação corrente depende das anteriores
Esperamos que o tempo de autocorrelação aumente com os
incrementos
Mas é surpreendente que ele aumente seguindo uma lei de
potência
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Tempo de Autocorrelação
Série Diária
Série Intraday
y = 0.7892x + 0.0212
R2 = 0.9677
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 1 2 3
y = 1.0111x − 0.2045
R2 = 0.9949
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 1 2 3
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Índice de Complexidade
Relacionado ao expoente de Hurst e ao tempo do autocorrelação
Índice Lempel-Ziv (LZ) de complexidade em relação ao ruído
branco gaussiano(Lempel & Ziv 1976, Kaspar & Schuster 1987)
LZ = 0: perfeita previsibilidade
LZ ≈ 1: aleatoriedade genuína (complexidade máxima)
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Índice de Complexidade
Para calcular a complexidade algorítmica de uma série, cada ponto é convertido em um número binário e então comparado à mediana da série inteira
Calculamos, pelo CDA, para os retornos simples diários, LZ =
1.04
Para os retornos intraday, LZ = 0.99
Estes valores são consistentes com eficiência fraca e os expoentes de
Hurst encontrados
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Índice de Complexidade
À medida que aumentamos os incrementos, a maior agregação
introduz mais estrutura na série, e isto a torna mais
previsível
Então, esperamos que o LZ tenda a decair para zero
Mas é ainda surpreendente que o decaimento siga uma lei de
potência
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Índice de Complexidade
Série diária
Série intraday
y = −0.3822x + 0.1525
R 2 = 0.8849
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3
y = −0.48x + 0.2013
R 2 = 0.9464
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Conclusão
Encontramos expoentes de Hurst que não são incompatíveis com o resultado econométrico
existente de eficiência fraca no mercado do dólar
Além disso, o cálculo dos expoentes em janelas de tempo permitiu constatar que uma tendência
em direção à eficiência tem sido revertida desde a crise de 1999
A intervenção do banco central deixou o mercado mais previsível, mais informacionalmente
eficiente,mas também pode ter precipitado a crise
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
Conclusão
Aumentando o intervalo de tempo na definição dos retornos, pudemos encontrar padrão na
forma de leis de potêncianas médias, volatilidades, expoentes de Hurst,
tempos de autocorrelação e índices de complexidade
A maioria dos resultados pode ser replicada para um conjunto de dados intraday, o que
sugere auto-similaridade na série do preço do dólar
( ) Ht t ( ) ( ) ( )r t e t t e t ( ) ( ) ( )r t e t t e t
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