Revista Brasileira de Ensino de Fsica, v. 27, n. 4, p. 603 - 608, (2005)www.sbfisica.org.br

Um experimento simples usado na producao

de placas de zonas de Fresnel(A simple experiment used in the production of Fresnel zone plates)

Marcia Muller1, Jean Carlos Cardozo da Silva e Jose Lus Fabris

Universidade Tecnologica Federal do Parana, Curitiba, PR, BrasilRecebido em 7/7/2005; Aceito em 23/8/2005

Neste trabalho propomos um experimento simples que tem por finalidade auxiliar no aprendizado dosfenomenos de interferencia e difracao da luz. Apos uma analise pertinente da teoria de Fresnel da difracao,os conhecimentos sao aplicados na compreensao do funcionamento das placas de zonas de Fresnel. Apresentamosuma descricao detalhada dos processos usados para a fabricacao e caracterizacao destas placas zonais, o quepossibilita a producao de lentes difrativas com a distancia focal desejada para um dado comprimento de onda deoperacao. As placas zonais produzidas e caracterizadas no trabalho atuam como lentes positivas com distanciasfocais variando entre 8 e 50 cm para luz visvel com comprimentos de onda compreendidos entre 630 e 680 nmde um apontador laser.Palavras-chave: placa de zonas de Fresnel, difracao de Fresnel.

In this work we present a simple experiment that may be used to help in the learning of interference anddiffraction of light. After an analysis of the Fresnel diffraction theory, the concepts are applied in the under-standing of the working principle of the Fresnel zone plates. We present a detailed description of the processused in the production and characterization of the devices, allowing making diffractive lenses with the requiredfocal length for a specific wavelength of operation. The zonal plates produced in this work behave like positivelenses with focal lengths in the range from 8 to 50 cm for light with wavelengths from 630 to 680 nm of a laserpointer.Keywords: Fresnel zone plates, Fresnel diffraction.

1. Introducao

O trabalho de Augustin Jean Fresnel (1788-1827) so-bre a difracao de ondas apresentado para a Academiade Ciencias da Franca em 1818 foi de suma importanciapara a aceitacao da teoria ondulatoria da luz. Apos estadata foram realizadas e explicadas com sucesso umaserie de observacoes relacionadas com os fenomenos deinterferencia e difracao das ondas luminosas, e pas-saram a ser produzidos dispositivos, componentes eequipamentos opticos buscando aplicacoes tecnologicas[1]. A aplicacao da optica fsica a` engenharia levouao surgimento de novas areas de conhecimento como afotonica [2] e a holografia [3]. A placa de zonas de Fres-nel e um exemplo de componente optico que faz uso dofenomeno da difracao das ondas luminosas, e cujo fun-cionamento e descrito pelo princpio de Huygens Fres-nel para a propagacao da luz. Placas de zonas de Fres-nel produzidas de forma semelhante a proposta nestetrabalho sao utilizadas por fotografos para produzir fo-

tografias artsticas sem lente [4]. Nesta aplicacao a pla-ca substitui o pinhole que e normalmente usado. Umadas vantagens de se usar a placa no lugar do pinholee a maior intensidade de iluminacao fornecida, o quereduz o tempo de exposicao. As placas tambem saoutilizadas como lentes para focalizar radiacao perten-cente a regioes do espectro eletromagnetico nas quaisos materiais tradicionalmente usados na fabricacao delentes nao sao completamente transparentes. Como e-xemplo podemos citar a regiao dos raios-x aonde, nasespessuras requeridas para as lentes, estes materiais se-riam capazes de absorver completamente a radiacao in-cidente. E nesta regiao do espectro que as placas zonaisfornecem a maneira mais economica, simples e eficientede focalizacao. As placas de zonas de Fresnel sao empre-gadas em telescopios astronomicos e em microscopiosde raios-X [5]. As placas apresentam ainda a vantagemda possibilidade de uso tanto para focalizar um dadocomprimento de onda quanto para filtrar radiacao in-desejada, uma vez que elas focalizam luz de diferentes

1E-mail: marcia@cefetpr.br.

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comprimentos de onda em diferentes distancias.Embora exista uma vasta gama de aplicacoes en-

volvendo os fenomenos descritos pela optica fsica, osprofessores costumam encontrar certa resistencia porparte dos alunos quando o assunto e abordado. Istoacontece devido nao so a complexidade e dificuldade devisualizacao dos fenomenos fsicos, mas principalmentedevido a` falta de exemplos sobre aplicacoes praticasdestes conhecimentos. Para tentar contornar as dificul-dades com as quais os professores se deparam no ensinoda optica fsica, sugerimos um experimento que podeser facilmente desenvolvido pelos alunos e que requer acompreensao dos fenomenos de interferencia e difracaoe da teoria de Fresnel para a propagacao da luz.

2. Teoria

A difracao e um fenomeno caracterstico do compor-tamento ondulatorio e ocorre sempre que uma porcaode uma frente de onda, seja ela sonora, de luz ou demateria, e obstruda. No trabalho sobre a difracao,Fresnel fez algumas modificacoes no princpio de Chris-tian Huygens (1629-1695) para a propagacao das ondas,levando em conta o efeito da interferencia das ondassecundarias e introduzindo um fator de obliquidade naemissao destas ondas. A teoria de Huygens-Fresnel des-creve a propagacao da onda considerando cada pontoda frente de onda primaria como uma nova fonteemitindo ondas secundarias com a mesma frequenciadesta [1,6,7]. A superposicao ou interferencia das on-das secundarias num dado ponto P fornece a amplitudedo campo eletrico nesta posicao.

O princpio de Huygens falhava ao prever que ondassecundarias seriam irradiadas com a mesma eficienciaem todas as direcoes, resultando na geracao de novasfrentes de onda se deslocando nao so para longe dafonte, mas tambem em direcao a ela. Tais ondas nuncaforam observadas, o que fez Fresnel sugerir que a irra-diacao das ondas secundarias nao ocorresse de formauniforme e que a amplitude da irradiacao numa certadirecao dependesse do angulo desta com relacao anormal a frente de onda. O fator de obliquidade K ()na irradiacao dessas ondas e dado pela relacao abaixo:

K () =12(1 + cos ) . (1)

Assim, para K () = 0, K () = 1 o que correspondea uma irradiacao maxima, e quando = pi, K () = 0resultando numa irradiacao mnima igual a zero.

O metodo de Huygens-Fresnel para descrever apropagacao consiste em dividir a superfcie da frente deonda primaria esferica em aneis concentricos denomina-dos zonas de Fresnel. As diversas zonas de Fresnel saodelimitadas de tal forma que as fontes secundarias den-tro de uma mesma zona produzam ondas que chegamcom a mesma fase num ponto P . Os limites das diver-sas zonas correspondem a` interseccao da frente de onda

primaria com esferas centradas no ponto P e com raiosdiferindo de /2. As tres primeiras zonas de Fresnel deuma frente de onda esferica sao mostradas na Fig. 1.

S

r + /20

r +0 r +3 /20

1

2

3P

O r0

Figura 1 - Tres primeiras zonas de Fresnel formadas pela inter-seccao da frente de onda esferica gerada em S com a superfciede tres esferas centradas em P cujos raios diferem de /2.

Assumimos que todas as fontes pontuais dentro deum anel sao coerentes e irradiam em fase com a frentede onda primaria. As ondas secundarias geradas emum anel viajam uma distancia r ate chegar ao pontoP (num instante de tempo t), sendo que todas chegamem P com a mesma fase, t - k( + r). A ampli-tude da onda resultante no ponto P devida a um dadoanel pode ser calculada somando-se todas as ondas se-cundarias emitidas dentro deste anel. As zonas de Fres-nel sao definidas de tal forma que uma dada zona estameio comprimento de onda mais afastada do ponto Pdo que a zona que a precede, o que faz com que ascontribuicoes de duas zonas sucessivas para a onda re-sultante em P estejam fora de fase. Podemos expressara amplitude do campo eletrico resultante no ponto Pdevido a`s diversas zonas de Fresnel como:

E = |E1| |E2|+ |E3| |E4|+ ..., |Em| , (2)

onde E1, E2,...,Em sao as contribuicoes das sucessivaszonas que tendem a se anular no ponto P . Porem, ofator de obliquidade, que ate o momento nao foi levadoem conta, faz com que estas contribuicoes nao se anu-lem completamente. Quanto maior e a ordem da zonade Fresnel, maior e o e menor e o K, portanto, menorsera a contribuicao desta zona para a onda resultante noponto P . Se o numero total de zonas e mpar, podemosreescrever a soma de duas maneiras diferentes:

E =|E1|2

+( |E1|

2 |E2|+ |E3|2

)+( |E3|

2 |E4|+ |E5|2

)+ ...

+( |Em2|

2 |Em1|+ |Em|2

)+|Em|2

(3)

ou

Um experimento simples usado na producao de placas de zonas de Fresnel 605

E = |E1| |E2|2 ( |E2|

2 |E3|+ |E4|2

)( |E4|

2 |E5|+ |E6|2

) ...

( |Em3|

2 |Em2|+ |Em1|2

)|Em1|

2+ |Em| . (4)

Existem duas possibilidades para o valor do modulode amplitude fornecida por uma zona l:

1. |El| ser maior do que o valor medio para as suasduas vizinhas,

|El|> (|El1|+ |El+1|)2 . (5)

2. |El| ser menor do que o valor medio para as suasduas vizinhas,

|El|< (|El1|+ |El+1|)2 . (6)

Estas duas situacoes dependem da taxa de variacaodo fator de obliquidade K (). Quando ocorrer a pri-meira situacao (Eq. 5) os termos entre parenteses nasEqs. (3) e (4) serao negativos o que nos leva a concluirque

E |E1| |E2|2 |Em1|

2+ |Em| . (8)

Como o fator de obliquidade varia de 1 ate 0, setivermos um grande numero de zonas, podemos des-prezar as variacoes causadas por este fator nas con-tribuicoes de zonas adjacentes fazendo aproximacoes|E1| |E2| e |Em1| |Em|na expressao (8) ereescrevendo-a

E |E1|2

+|Em|2

. (9)

Das expressoes (7) e (9) podemos entao concluir que

E |E1|2

+|Em|2

. (10)

O mesmo tipo de analise feito para um numero parde zonas leva a um resultado semelhante fornecido pelaexpressao (11):

E |E1|2

|Em|2

. (11)

Por meio da analise das expressoes (10) e (11) pode-se chegar as seguintes conclusoes:

a) Se o numero de zonas e pequeno E1 = Em, no caso deum numero mpar de zonas a amplitude resultante seraessencialmente aquela fornecida pela primeira zona.Porem se este numero e par a amplitude tendera parazero.b) Se o numero de zonas e grande, Em tendera a zeroe tanto para um numero par quanto para um mparde zonas a amplitude resultante sera a metade da con-tribuicao da primeira zona.

Quando em 1818 Fresnel apresentou a sua teoriasobre difracao a Academia de Ciencias da Franca umdos avaliadores, Simeon D. Poisson (1781-1840), anali-sando o trabalho chegou a um resultado consideradopor ele absurdo. Poisson concluiu que se a teoria deFresnel estivesse correta, deveria existir um ponto lu-minoso no centro da sombra geometrica de um discoopaco. Esta predicao foi em seguida comprovada ex-perimentalmente por Dominique F. Arago (1786-1853)que tambem fazia parte do comite de avaliacao do con-curso. Pode-se chegar facilmente a mesma conclusaode Poisson analisando as expressoes (10) e (11). Seum disco circular cobrir a primeira zona de Fresnel dafrente de onda, a contribuicao desta zona sera supri-mida da iluminacao total de um ponto P . Como estacontribuicao teria um valor E |E1|2 para uma ondanao obstruda, com a presenca do disco passaria a serE |E1|2 . Portanto, em algum ponto P do eixo, a ir-radiacao nao devera ser alterada pela insercao do discono caminho da luz. Fora do eixo, sao observados aneisconcentricos brilhantes e escuros que circulam o pontoiluminado central. Desta forma o disco opaco gera aimagem da fonte S no ponto P e, portanto se comportacomo uma lente positiva. Nas consideracoes anterioresfoi usado o fato das contribuicoes de zonas consecuti-vas tenderem a se anular, o que sugere que se foremobstrudas as contribuicoes de todas as zonas mparesou todas as pares, teremos um aumento significativo nailuminacao em P . A placa de zonas de Fresnel e umatela que apresenta este comportamento e que pode serconstruda calculando previamente os raios das diversaszonas. Os raios das zonas podem ser calculados com aajuda da Fig. 2, onde Am representa a borda superiorda m-esima zona; 0 e a distancia fonte-placa marcadano eixo que une a fonte ao ponto P ; e r0 e a distanciaplaca-ponto P . As distancias entre a m-esima zona e afonte e entre a m-esima zona e o ponto P sao represen-tadas por m e rmrespectivamente. O raio externo dam-esima zona e representado por Rm.

Uma onda que percorra o caminho S Am P dafigura chegara ao ponto P defasada de m/2 com res-peito a uma onda que percorre o caminho S O P.Assim podemos escrever

(m + rm) (0 + r0) = m2 , (12)

e usando Pitagoras,

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m =(R2m +

20

) 12 ou rm =

(R2m + r

20

). (13)

O

PS 0

m

Rm

Am

r0

rm

Figura 2 - Geometria da placa de zonas de Fresnel.

As expressoes (13) podem ser expandidas em serie,e uma vez que Rm e pequeno em comparacao com 0e r0, podem ser considerados apenas os dois primeirostermos.

m = 0 +R2m20

e rm = r0 +R2m2r0

. (14)

Usando as expressoes (14) podemos reescrever (12)como (

10

+1r0

)=

m

R2m. (15)

Esta equacao e semelhante a das lentes delgadas, sendoa distancia focal dada por

f =R2mm

. (16)

As equacoes (15) e (16) permitem produzir pla-cas de zonas de Fresnel para operar como lentes comdistancias focais desejadas para o comprimento de ondade operacao. Reescrevendo (15) com o raio externo dam-esima zona em evidencia, temos que

Rm =

m(10

+ 1r0

) 12 . (17)

Vemos da expressao (17) que o raio externo daszonas sucessivas cresce com m1/2. Supondo que o raioda primeira zona seja R1, as zonas terao raios

R1,2R1,

3R1, 2R1, ... ,

mR1. (18)

A distancia focal da lente e dada pela Eq. (16).Fazendo novamente a consideracao de que o raio daprimeira zona seja R1 podemos reescrever (16)

f =(mR1)

2

m=

R21. (19)

Desta maneira vemos que a distancia focal da lentepara luz com um determinado comprimento de ondadepende do raio da primeira zona de Fresnel da placa.

3. Experimental

Em uma primeira etapa do processo de fabricacao dasplacas zonais foi produzido, em papel branco e emtamanho ampliado, um padrao de zonas de Fresnel con-tendo um total de 20 zonas. Este padrao pode ser facil-mente desenhado usando um programa grafico como oCorel Draw ou mesmo o editor de figuras do Word. Foiescolhido um raio de 2 cm para a primeira zona, e osraios das zonas consecutivas foram calculados usando aEq. 18. Somente as zonas pares foram impressas comtinta preta, resultando numa distribuicao de aneis bran-cos e negros conforme pode ser visualizado na Fig. 3.

Figura 3 - Padrao de zonas de Fresnel ampliado produzido sobrepapel branco.

Tirando-se uma fotografia da distribuicao, apos arevelacao do filme tem-se gravada no filme uma placade zonas de Fresnel capaz de focalizar a luz incidentesobre ela. Esta lente possui distancias focais que variamcom o comprimento de onda da luz incidente, e que saodeterminadas pelos diametros das zonas gravadas nofilme (Eq. 19). Estes diametros, por sua vez, depen-dem das caractersticas de cada maquina fotografica eda distancia na qual a foto foi tirada.

Para poder produzir placas com distancias focaisdesejadas a distribuicao foi fotografada a diversasdistancias usando uma maquina fotografica (Olympus35 mm, 1:4.5) equipada com filme Kodak 125 PX pretoe branco. Foram tiradas um total de treze fotografiascom a distancia filme-padrao (dfp) sendo acrescida de15 cm apos cada exposicao. Como a maquina fo-tografica usada somente produz imagens focadas se oobjeto estiver posicionado a uma distancia mnima de1m, tiramos fotos do padrao distanciando-o da maquinadesde 1,20 ate 3 m. Apos a revelacao do filme cadanegativo apresenta uma placa de zonas de Fresneldiferente, com os raios das diversas zonas sendo de-pendentes da distancia nas quais as fotografias foramtiradas. Tomamos o cuidado de posicionar a camera demaneira a garantir que a sua lente estivesse exatamentena mesma altura do centro do padrao e que tambemnao houvesse nenhum deslocamento lateral. Este pro-cedimento e necessario uma vez que qualquer imper-feicao no alinhamento da lente com relacao ao centro

Um experimento simples usado na producao de placas de zonas de Fresnel 607

do padrao ira causar distorcoes no padrao registradono filme.

Com a finalidade de medir as distancias focais daslentes produzidas, todas as placas foram usadas parafocalizar a luz de um apontador laser com emissao nafaixa de comprimentos de onda compreendida entre 630e 680 nm. Um diagrama da montagem experimentalutilizada nesta caracterizacao das lentes e apresentadona Fig. 4. Na montagem e utilizado um par de lentesconvergentes para aumentar o diametro do feixe lasere assim garantir que toda a placa de zonas seja ilu-minada. Para produzir um feixe expandido colimadoforam usadas duas lentes com distancias focais de 4e 28 cm separadas por uma distancia igual a` somadas suas distancias focais. Estas duas lentes foram es-colhidas para que o diametro do feixe expandido pro-duzido excedesse o diametro da maior placa de zonasde Fresnel. Para que a incidencia da luz ocorresse,para todas as placas, somente sobre a regiao do padrao,posicionamos antes destas uma abertura circular dediametro ajustavel (ris variavel).

A Tabela 1 apresenta os valores de distancia focal(f) medidos com a montagem experimental descrita,e os correspondentes valores de diametro da vigesimazona (D20) calculados com o auxlio da Eq. (16). Adistancia focal de cada lente foi obtida ajustando-sea posicao do anteparo movel ate que fosse observadauma maxima focalizacao do feixe. O fato de a fontelaser emitir luz numa faixa de comprimentos de ondaentre 630 e 680 nm leva a variacoes em torno de 8%

na distancia de focalizacao do feixe. Estas variacoessao maiores para as lentes de maior diametro e intro-duzem, no nosso caso, uma imprecisao de 4,0 cm namedida da distancia focal destas lentes. Nos calculosdos diametros da vigesima zona mostrados na Tabela1, foi usado o comprimento de onda central da banda deemissao do apontador laser (655 nm). Uma verificacaoadicional dos valores de diametro foi realizada medindoestes diretamente na placa de Fresnel com o auxlio deuma lente de 8X contendo escala de medida de 0 a 5 mmcom incrementos de 0,02 mm, procedimento que levoua uma confirmacao dos valores calculados.

32cm Placa

Laser

f =4cm f =28cm

Lentesris

Anteparomvel

Figura 4 - Montagem experimental usada para medir as distanciasfocais das lentes de Fresnel.

O diametro das placas produzidas depende dadistancia maquinapadrao e tambem das caractersticasda maquina fotografica usada para tirar as fotos. Umacaracterizacao do sistema de producao das placas podeser obtida por meio de uma analise grafica dos resulta-dos apresentados na Tabela 1.

c

Tabela 1 - Distancias focais e diametros da vigesima zona das placas de Fresnel, para iluminacao com o apontador laser (630-680 nm).

dfp (m) 1,20 1,35 1,50 1,65 1,80 1,95 2,10 2,25 2,40 2,55 2,70 2,85 3,00f(cm) 49,5 36,5 33,0 26,0 21,0 18,5 17,0 14,0 12,5 11,0 9,5 9,0 8,0D20 (mm) 5,1 4,4 4,2 3,7 3,3 3,1 3,0 2,7 2,6 2,4 2,2 2,2 2,0

dNa Fig. 5 e apresentado o grafico dos diametros cal-

culados para a vigesima zona em funcao das distanciasnas quais as fotografias foram tiradas. Os dadosforam ajustados por uma exponencial e o resultadodeste ajuste tambem pode ser visualizado na Fig. 5.A expressao da curva ajustada e os correspondentesparametros de ajuste sao fornecidos a` seguir:

dfp = d0 +AeD20B , (20)

onde a distancia dfp e dada em metros, o diametro D20em milmetros, e as constantes ajustadas possuem osvalores:

d0 = 0.8696; A = 7.07986 e B = 0.16723. (21)

O resultado do ajuste da exponencial decrescente aografico (Eq. 20) permite encontrar a distancia ideal naqual a fotografia deve ser tirada para que uma determi-nada lente seja produzida.

Dis

tn

cia

mq

uin

a-p

adr

od

ezo

nas

(m

)

Dimetrodavigsimazona(mm)

3,0

2,6

2,2

1,8

1,4

1,00,20 0,30 0,40 0,50

Figura 5 - Grafico mostrando o diametro calculado da vigesimazona de Fresnel para as placas produzidas, em funcao das dife-rentes distancias nas quais as fotografias foram tiradas (), e oajuste de uma funcao exponencial aos dados calculados ().

608 Muller et al.

4. Discussao e Conclusoes

Neste trabalho apresentamos um experimento de facilrealizacao que pode ser proposto como trabalho paraos estudantes das disciplinas de fsica do terceiro grau,onde estao envolvidos conceitos de optica fsica. Arealizacao do experimento e viavel mesmo em insti-tuicoes onde os laboratorios de ensino sejam deficientes.Para a producao das placas de zonas de Fresnel saonecessarios equipamentos de uso comum (maquina fo-tografica, computador, impressora) o que facilita a rea-lizacao desta etapa do experimento fora do laboratorio.A caracterizacao das placas produzidas necessita de ma-teriais simples e de facil aquisicao (apontador laser,lentes, suportes opticos, ris variavel) que normalmentesao encontrados nos laboratorios de ensino.

O experimento busca estimular nos alunos o inte-resse pela optica fsica atraves da producao de dispo-sitivos que tem uma aplicacao pratica direta. E impor-tante salientar que apesar de ser um experimento rela-tivamente simples, este exige do aluno a compreensaodo fenomeno de interferencia e da teoria de Fresnel paraa propagacao de ondas e, portanto contribui de formapositiva com o processo de aprendizado.

Nao podemos deixar de citar o benefcio que a rea-lizacao de um experimento minucioso e composto devarias etapas traz para a formacao do aluno, fazendocom que seja adquirida uma metodologia de trabalhoadequada.

Alem disso, o experimento estimula a interdiscipli-naridade, uma vez que os dados obtidos experimental-mente devem ser analisados tanto graficamente comonumericamente. Para isto o aluno deve utilizar progra-

mas graficos e algoritmos de ajuste de equacoes a dadosexperimentais.

Numa etapa posterior, dependendo da disponibili-dade de laboratorios mais especializados e das facili-dades locais para o desenvolvimento de trabalhos maiselaborados, sugerimos a medida do ganho de intensi-dade obtido com a introducao da placa, o que poderiaser realizado com a utilizacao de um fotodetector e umaris com abertura variavel. Para centros com estruturadisponvel para a producao de dispositivos num mate-rial em relevo transparente, pode ser sugerida a copiada mascara com uma espessura apropriada, resultandonuma placa de zonas com eficiencia superior.

Referencias

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