Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia da BahiaDepartamento de Ciencias Aplicadas

Coordenacao de MatematicaDisciplina: Calculo Diferencial e Integral IVProf. Lurimar Smera Batista

QUESTOES

1. Se uma curva C tem um vetor tangente −→a em um ponto P, entao o plano normal a C emP e o plano por P com vetor normal −→a . Determinar a equacao do plano normal a curva C :−→r (t) = et−→i + sen(t)et−→j + (t2cos(t) + 2)

−→k , no ponto P(1, 0, 2).

2. Prove que, se uma curva e representada em coordenadas polares, entao ds2 = r2dθ2 + dr2.

3. Seja a helice definida pela funcao vetorial ~r(t) = a cos(wt) ~i + a sen(wt) ~j + bwt ~k, onde w euma constante positiva. Demonstre que a reta tangente em qualquer ponto da curva forma um

angulo constante com o eixo z e que o cosseno desse angulo eb√

a2 + b2.

4. Seja C uma curva plana definida por ~r(x) = f(x)~i. Povar, demonstrando toda teoria uti-lizada, que a curvatura (κ) em um ponto (x, f(x)) pertencente a C e determinada por: κ =

|f ′′(x)|[1 + (f ′(x))2]

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.

5. Um ponto se move no espaco segundo a funcao vetorial ~r(t) = 4 cos(t)~i + 4 sen(t) ~j + 4 cos(t) ~k.

(a) Provar que a trajetoria e uma elipse e determinar a equacao do plano que contem essaelipse.

(b) Determinar o raio de curvatura de ~r(t) em qualquer ponto t.

6. Seja C a elipsey2

a+

x2

b= 1, para a, b constantes.

(a) Determinar a curvatura e torcao em qualquer ponto de C.

(b) Provar que as curvaturas maximas e mınimas da elipse estao nas extremidades dos eixosmaior e menor.

7. Seja a curva C representada por −→w (t), onde t e um parametro arbitrario. Prove que:

(a) ∇ · (∇×−→w (t)) = 0.

(b) A relacao entre a curvatura (κ) e a torcao (τ) e dada por: κ = ±√−→

w′ · (−→w′′ ×−→w′′′)τ

, para

τ 6= 0.

8. Sejam f e g funcoes escalares, ~u e ~v campos vetoriais. Demonstrar as seguintes identidades.

(a) ∇2(fg) = f∇2g + g∇2f + 2∇f · ∇g.

(b) ∇ · (~u× ~v) = ~v · (∇× ~u) − ~u · (∇× ~v).

(c) ∇×∇× ~u = ∇∇ · ~u−∇2 · ~u.

9. Uma integral curvilınea∫

C

~F · d~r e independente do caminho (trajetoria) se, e somente se, o

campo vetorial ~F e conservativo.

(a) Seja ~F (x, y, z) = F1(x, y, z) ~i + F2(x, y, z) ~j + F3(x, y, z) ~k. Provar que∂F1

∂y=

∂F2

∂x,

∂F1

∂z=

∂F3

∂x, e

∂F2

∂z=

∂F3

∂y.

(b) Mostrar que∫

C

2xy dx + x2 dy + y2 dz nao e independente do caminho.

10. Uma concho-espiral e uma curva C que admite a paremetrizacao x = e−2tcos(t), y = e−2tsen(t),z = 3e−2t, para t ≥ 0.

(a) Determinar o comprimento total da curva C.

(b) Seja−→F (x,y, z) = cos(t)et−→i + sen(t)et−→j + 2

−→k . Determinar o trabalho realizado por

−→F

ao longo de C.

11. Seja C um cırculo de raio 1. Calcular as integrais:

(a)∮

C~u · d~r, onde ~u = (2y2 − 3x2y)i + (4xy − x3)j.

(b)∮

C

[(2x2 − y3)dx + (x3 + y3)dy

].

12. Calcular∫

Cy2dx + xydy, onde C e a curva de (1, 0) a (−1, 4) definida por:

(a) C :{

x = 1− ty = t2

(b) C : y = 2− 2x3.

13. Calcular∮

C

~F · d~r, onde:

(a) ~F = yz ~i+xy ~j+xz ~k e C e o quadrado de vertices (0, 0, 2), (1, 0, 2), (1, 1, 2) e (0, 1, 2);

(b) ~F = [3z− sen(x)] ~i + (x2 + ey) ~j + [y3− cos(z)] ~k e C : ~r(t) = cos(t) ~i + sen(t) ~j +~k, para0 ≤ t ≤ 2π.