Exercício 4, cap. 17:

Dê uma equação vetorial da reta paralela ao plano π, perpendicular à reta←→AB, e que intercepta a reta s, sendo π : 2x− y + 3z − 1 = 0, A = (1, 0, 1),B = (0, 1, 2), s : X = (4, 5, 0) + λ(3, 6, 1).

RESOLUÇÃO:

Em primeiro lugar, vamos escrever uma equação vetorial para a reta←→AB:

A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 2)⇒−→AB = (−1, 1, 1).

Daí:

X = (1, 0, 1) + λ(−1, 1, 1)⇒ X = (1− λ, λ, 1 + λ).

Por outro lado:

s : X = (4, 5, 0) + λ(3, 6, 1)⇒ X = (4 + 3λ, 5 + 6λ, λ).

Vetor ligando um ponto genérico de←→AB a um ponto genérico de s:

−→v = (4 + 3β, 5 + 6β, β)− (1− α, α, 1 + α)

= (3 + 3β + α, 5 + 6β − α,−1 + β − α).

Para que a reta seja paralela ao plano π, então, −→v · −→n = 0.

(3 + 3β + α, 5 + 6β − α,−1 + β − α) · (2,−1, 3) = 0

2(3 + 3β + α)− (5 + 6β − α) + 3(−1 + β − α) = 0

6 + 6β + 2α− 5− 6β + α− 3 + 3β − 3α = 0

6− 5− 3 + 2α + α− 3α− 6β + 6β + 3β = 0

−2 + 3β = 0⇒ β =2

3.

Para que a reta seja perpendicular à reta←→AB, então, −→v ·

−→AB = 0.

(3 + 3β + α, 5 + 6β − α,−1 + β − α) ·−→AB = 0

(3 + 3β + α, 5 + 6β − α,−1 + β − α) · (−1, 1, 1) = 0

1

−(3 + 3β + α) + (5 + 6β − α) + (−1 + β − α) = 0

−3− 3β − α + 5 + 6β − α− 1 + β − α = 0

−3 + 5− 1− 3β + 6β + β − α− α− α = 0

1 + 4β − 3α = 0

1 + 42

3− 3α = 0

1 +8

3− 3α = 0

11

3− 3α = 0⇒ −3α = −11

3⇒ α =

11

9.

Dois pontos da reta procurada:

P1 =

(−29,11

9,20

9

)e P2 =

(6, 9,

2

3

).

Equação vetorial da reta procurada:

X =

(−29,11

9,20

9

)+ λ

(56

9,70

9,−149

).

Agora note que é possível multiplicar o vetor diretor por9

14e obter:

X =

(−29,11

9,20

9

)+ λ (4, 5,−1) .

2