exemplo roda+veiculo

EM697 EXEMPLO VIBRAÇÕES: SUSPENSÃO VEICULAR – P. Kurka Junho 2013

Equação de movimento de ¼ de veículo:

[

] [

] [

] [

] [

] [

] [

]

Valores típicos (veículo Baja):

Componentes Parâmetro Valor

Massa de ¼ do veículo 35 kg

Massa do pneu 13 kg

Rigidez elástica do pneu 80 kN/m

Rigidez elástica da mola de suspensão 3 kN/m

Coeficiente do amortecedor viscoso 450 N.s/m

1. ANÁLISE DO MODELO (INDEPENDE DO CÁLCULO DE QUALQUER SOLUÇÃO DE MOVIMENTO)

Solução do auto-problema quadrático [ ] :

o Matrizes de auto-valores ⌈

⌋ e ⌈

⌋ .

o Matrizes de auto-vetores e

.

o Condições de normalização dos auto- vetores do problema quadrático:

e ,

e. .

ou

Solução do auto-problema generalizado :

o Matriz de auto-valores ⌈

⌋ .

o Matriz de auto-vetores

.

o Condições de normalização dos auto- vetores do problema geral:

e

.

o Relação entre as matrizes do auto-problema geral e quadrático:

[

], [

],

[ ], [

]

Valores numéricos:

⌈

⌋ (Rd/s)

[

] (m)

Interpretações:

AUTO- VALORES:

o Parte real: amortecimentos modais ou naturais :

, .

Amortecimentos naturais fornecem medidas do decaimento exponencial das

respostas do sistema nos modos naturais de vibração.

o Parte imaginária: frequências modais ou naturais amortecidas:

,

ou

, .

Frequências naturais fornecem medidas dos valores de ressonância do sistema,

isso é, o sistema atingirá amplitude de vibração extrema caso seja excitado por

uma força oscilatória com frequência igual a uma de suas frequências de

ressonância.

AUTO- VETORES:

o Primeiro modo de vibrar:

[

] (

)

ou

| | [

] (

) , [

] .

o Segundo modo de vibrar:

[

]

ou

| | [

] (

) e [

]

As amplitudes dos modos de vibrar indicam as relações de deslocamento entre os graus

de liberdade do sistema, nas respectivas ressonâncias (durante uma excitação do

sistema numa frequência de ressonância). Os valores de fase dos modos de vibrar

indicam as relações de fase de movimento das massas nodais do sistema, nas condições

de ressonância.

RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: Embora os auto-vetores ou modos de vibrar indiquem as

relações de deslocamento entre graus de liberdade do sistema em uma dada vibração

de ressonância, nada informam sobre as relações de amplitude de vibração existente

entre diferentes graus de liberdade, devido a uma excitação harmônica em uma

frequência qualquer. A função de resposta em frequência, ou função de transferência,

calculada a partir dos auto-valores e auto-vetores do sistema é capaz de fornecer tal

informação.S egue a apresentação da função de resposta em frequência.

o Relação vetorial de transferência entre entrada e saída do sistema, domínio de

Laplace:

[

] [

] [

],

onde [

] .

o Relação vetorial de transferência entre entrada e saída do sistema, domínio da

frequência:

[

] [

] [

],

onde [

] .

o Relação escalar transferência da resposta de vibração do sistema dinâmico no

grau de liberdade “ ”, a uma excitação harmônica de frequência qualquer,

aplicada no grau de liberdade “ ”:

∑

,

Onde representa o i-ésimo elemento do auto-vetor normalizado, .

Apresentação das FRFs utilizando os valores numéricos do exemplo dado:

o Expressão da resposta em frequência no grau de liberdade (movimento do

veículo), para uma entrada de vibração harmônica de amplitude unitária no

grau de liberdade t (movimento da roda):

ou

o Gráficos da resposta em frequência no grau de liberdade (movimento do

veículo), para uma entrada de vibração harmônica de amplitude unitária no

grau de liberdade t (movimento da roda):

o Expressão da resposta em frequência no grau de liberdade (movimento da

roda), para uma entrada de vibração harmônica de amplitude unitária no grau

de liberdade t (movimento da roda):

ou

o Gráficos da resposta em frequência no grau de liberdade (movimento da

roda), para uma entrada de vibração harmônica de amplitude unitária no grau

de liberdade t (movimento da roda):

Resposta ao impulso unitário: A resposta ao impulso unitário do sistema é a versão, no

domínio do tempo, da função de resposta em frequência. Seguem, portanto, as relações

vetoriais e escalares que definem a função de resposta ao impulso unitário do sistema.


Laplace, quando as entradas são impulsos unitários:

[

] [

] [

],

o Matriz de resposta o impulso unitário (transformada de Laplace inversa da

matriz [

]):

[

] .

o Relação escalar da resposta do sistema dinâmico no grau de liberdade “ ”, a

uma excitação impulso unitário, aplicada no grau de liberdade “ ”:

∑

,

Apresentação das FRIUs utilizando os valores numéricos do exemplo dado:

o Expressão da resposta no grau de liberdade (movimento do veículo), para um

impulso unitário aplicado no grau de liberdade t (movimento da roda):

ou

o Gráfico da resposta no grau de liberdade (movimento do veículo), para um


o Expressão da resposta no grau de liberdade (movimento da roda), para um


ou

o Gráfico da resposta no grau de liberdade (movimento da roda), para um


2. RESPOSTAS DO MODELO DEPENDENTES DA SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO

Resposta a degrau:

A equação de movimento do sistema pode ser resolvida, supondo a excitação “degrau unitário”

aplicada aos diferentes graus de liberdade. Seguem, portanto, as relações vetoriais e escalares

que definem a resposta do sistema a um degrau.


Laplace, quando as entradas são degraus unitários:

[

] [

] (

) [

],

o Solução de movimento de resposta do sistema ao degrau:

[

] [

].

Apresentação das respostas ao degrau utilizando os valores numéricos do exemplo dado:

o Expressão da resposta no grau de liberdade (movimento do veículo), para um

degrau unitário aplicado no grau de liberdade t (movimento da roda):

ou

( )

( )


degrau aplicado no grau de liberdade t (movimento da roda):

o Expressão da resposta no grau de liberdade (movimento da roda), para um

degrau unitário aplicado no grau de liberdade t (movimento da roda):

ou

( )

( )


degrau aplicado no grau de liberdade t (movimento da roda):

Resposta entrada genérica

A equação de movimento do sistema pode ser resolvida, supondo uma excitação genérica

qualquer, aplicada aos diferentes graus de liberdade. Seguem, portanto, as relações vetoriais e

escalares que definem a resposta do sistema a uma entrada genérica.


Laplace, quando as entradas são funções genéricas:

[

] [

] [

],

o Solução de movimento do sistema sujeito a uma entrada genérica:

[

] ∫ ( ( ) ( ) [

])

.

Apresentação das respostas utilizando os valores numéricos do exemplo dado:

o Gráficos da resposta no grau de liberdade (movimento do veículo), para uma

entrada genérica aplicada no grau de liberdade t (movimento da roda):

o Gráficos da resposta no grau de liberdade (movimento da roda), para uma

entrada genérica aplicada no grau de liberdade t (movimento da roda):

PROGRAMA MATLAB DE SIMULAÇÃO:

%Suspensao Veículo

mt=13;

mv=35;

cv=450;

kt=80000;

kv=3000;

M=[mv 0;0 mt];

C=[cv -cv ;-cv cv];

K=[kv -kv;-kv kt+kv];

Z=zeros(2);

A=[C M;M Z];

Q=[-K Z; Z M];

[V,S]=eig(Q,A);

[l,i]=sort(imag(diag(S)));

i=i([3 4 2 1]);

S=S(i,i);

V=V(:,i);

d=V.'*A*V;

Psi=V*d^(-1/2);

Phi=Psi(1:2,1:2);

lbd=S(1:2,1:2);

A1=abs(Phi);%Amplitude dos auto-valores

F1=angle(Phi);%ângulos de fase dos auto-valores

[A1 F1]

%Funçoes de reposta em frequencia

Ms=3000;%Número de amostras de frequência

dw=2*pi/100;%Interalo de discretização em frequência

w=dw*(0:Ms-1);

j=sqrt(-1);

H12=Phi(1,1)*Phi(2,1)./(j*w-lbd(1,1))+Phi(1,2)*Phi(2,2)./(j*w-

lbd(2,2));

H12=H12+conj(Phi(1,1))*conj(Phi(2,1))./(j*w-

conj(lbd(1,1)))+conj(Phi(1,2))*conj(Phi(2,2))./(j*w-

conj(lbd(2,2)));

figure(1),subplot(211),plot(w,abs(H12));

grid, title('FRF H_{12}(\omega)'); xlabel('Frequência

(Rd/s)');ylabel('|H_{12}(\omega)| (m/m)')

subplot(413),plot(w,angle(H12))

grid, xlabel('Frequência (Rd/s)');ylabel('Fase(H_{12}(\omega))

(Rd)')

H22=Phi(2,1)^2./(j*w-lbd(1,1))+Phi(2,2)^2./(j*w-lbd(2,2));

H22=H22+conj(Phi(2,1))^2./(j*w-

conj(lbd(1,1)))+conj(Phi(2,2))^2./(j*w-conj(lbd(2,2)));

figure(2),subplot(211),plot(w,abs(H22));

grid,title('FRF H_{22}(\omega)'); xlabel('Frequência

(Rd/s)');ylabel('|H_{22}(\omega)| (m/m)')

subplot(413),plot(w,angle(H22))

grid, xlabel('Frequência (Rd/s)');ylabel('Fase(H_{22}(\omega))

(Rd)')

%Funçoes de reposta ao impulso unitário

dt=0.001;%Intervalo de discretização no tempo\

Mt=1000;%Número de amostras de tempo

t=dt*(0:Mt-1);

h12=Phi(1,1)*Phi(2,1)*exp(lbd(1,1)*t)+Phi(1,2)*Phi(2,2)*exp(lbd(

2,2)*t);

h12=2*real(h12);

figure(3),subplot(211),plot(t,h12);

grid, title('FRIU h_{12}(t)'); xlabel('Tempo

(s)');ylabel('h_{12}(t) (m)')

h22=Phi(2,1)*Phi(2,1)*exp(lbd(1,1)*t)+Phi(2,2)*Phi(2,2)*exp(lbd(

2,2)*t);

h22=2*real(h22);

figure(4),subplot(211),plot(t,h22);

grid, title('FRIU h_{22}(t)'); xlabel('Tempo

(s)');ylabel('h_{22}(t) (m)')%Funçoes de reposta ao impulso

unitário

%Funções de resposta ao degrau

uv=Phi(1,1)*Phi(2,1)/lbd(1,1)*(exp(lbd(1,1)*t)-

1)+Phi(1,2)*Phi(2,2)/lbd(2,2)*(exp(lbd(2,2)*t)-1);

uv=uv+conj(Phi(1,1))*conj(Phi(2,1))/conj(lbd(1,1))*(exp(conj(lbd

(1,1))*t)-

1)+conj(Phi(1,2))*conj(Phi(2,2))/conj(lbd(2,2))*(exp(conj(lbd(2,

2))*t)-1);

uv=real(uv);

figure(5),subplot(211),plot(t,uv);

grid, title('Resposta ao degrau u_v(t)'); xlabel('Tempo

(s)');ylabel('u_v(t) (m)')

ut=Phi(2,1)*Phi(2,1)/lbd(1,1)*(exp(lbd(1,1)*t)-

1)+Phi(2,2)*Phi(2,2)/lbd(2,2)*(exp(lbd(2,2)*t)-1);

ut=ut+conj(Phi(2,1))*conj(Phi(2,1))/conj(lbd(1,1))*(exp(conj(lbd

(1,1))*t)-

1)+conj(Phi(2,2))*conj(Phi(2,2))/conj(lbd(2,2))*(exp(conj(lbd(2,

2))*t)-1);;

ut=real(ut);

figure(6),subplot(211),plot(t,ut);

grid, title('Resposta ao degrau u_t(t)'); xlabel('Tempo

(s)');ylabel('u_t(t) (m)')

%Resposta a uma força qualquer, causada por um obstáculo

t=dt* (0:Ms-1);%Vetor de tempos;

a=0.1;%altura do obstaculo

sig=0.3;%largura do obstaculo;

v=50/3.6;%Velocidade da roda em m/s

L=10;%Posição da base do obstáculo a partir do instante 0

x=a*exp(-(v*t-L).^2/(2*sig^2));

% ddx=a*((L^2*t*v + L*sig^2 - 2*L*t.^2*v^2 - 2*sig^2*t*v +

t.^3*v^3)./(sig^4*exp((L - t*v).^2/(2*sig^2))));

% force=-[mv;mt]*ddx;

force=[0;kt]*x;

figure(7),subplot(211),plot(t,x);

grid, title('Perfil de entrada genérica na roda'); xlabel('Tempo

(s)');ylabel('f_t(t) (m)')

PHI_f=Phi.'*force;

ET=exp(diag(lbd)*t);

ETPHI=(ifft(fft(PHI_f.').*fft(ET.')).');

uv=2*real(Phi*ETPHI)*dt;

subplot(212),plot(t,uv(1,:),'b')

grid, title('Resposta no veículo'); xlabel('Tempo

(s)');ylabel('u_v(t) (m)')

figure(8),subplot(211),plot(t,x);

grid, title('Perfil de entrada genérica na roda'); xlabel('Tempo

(s)');ylabel('f_t(t) (m)')

subplot(212),plot(t,uv(2,:),'b')

grid, title('Resposta na roda'); xlabel('Tempo

(s)');ylabel('u_t(t) (m)')

exemplo roda+veiculo

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