exames nacionais resumo

8/6/2019 exames nacionais resumo

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Resumo para o Exame Nacional de Matemática

Probabilidades

(provavelmente 2 questões no primeiro grupo, 1 no segundo)

• Características gerais

- Ω = Conjunto de resultado ou espaço de resultados ou espaço amostral- Se ∅=∩ B A , então A e B dizem-se incompatíveis

- Se ∅= B A mas Ω= B A , então A e B dizem-se contrários

- 1)(0 ≤≤ A p

- ∅=⇔= A A p 0)(

- Ω=⇔= A A p 1)(

- )(1)( A p A p −=

- )()()()( B A p B p A p B A p −+=

- )()()()( B A p B p A p B A p −+=

- Se 0= B A (incompatíveis), então )()()( B p A p B A p +=

• Probabilidade condicionada

)()(

)|( B p

B A p B A p = Probabilidade de A dado B

• Acontecimentos independentes

A e B são acontecimentos independentes sse )()|( A p B A p = logo )().()( B p A p B A p =

• Nos problemas de contagem

Os elementos repetem-se Arranjos com repetição: pn A ′ = potências

Os elementos não se repetem e interessa a ordem pn A = arranjos sem repetição

Os elementos não se repetem e não interessa a ordem pn C = Combinações

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• Triângulo de Pascal

oC 0

linha 0

Propriedades:

- Cada linha começa e termina com

o algarismo 1

- A linha de ordem n tem n+1

elementos

- A soma de todos os elementos de

cada linha é dada por n2

- pnn

pn C C −

=

- 1

1

1 +

+

+=+

pn

pn

pn C C C

oC 11

1 C linha 1

0

2 C 1

2 C 2

2C

0

3C 1

3 C 2

3C 3

3 C

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

• Binómio de Newton

1 1)( 0 =+ ba

1 1 baba +=+ 1)(

1 2 1 222 2)( bababa ++=+

1 3 3 1 32233 33)( babbaaba +++=+

1 4 6 4 1 4322344 464)( babbabaaba ++++=+

Generalizando: ∑=

−=+n

k

k k nk

nn baC ba0

)( Fórmula do binómio de Newton

- Existem n + 1 parcelas

- Termo geral do desenvolvimento do binómio: p pn p

n p baC T −

+=

1

- A soma dos expoentes de a e de b em cada termo é igual a n

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Funções (incluindo exponencial e logarítmica)

(provavelmente 3 ou 4 questões no primeiro grupo, 1 no segundo)

• Indeterminações

Certas indeterminações só podem ser levantadas utilizando os limites de referência (que estão

no formulário)∞−∞ Levanta-se calculando o limite do termo de maior grau

+∞==−+∞→+∞→

)(lim)(lim 22 x x x x x

( )( )( )

+

+∞→+∞→+∞→=

∞+=

∞+∞+=

++

−+=

++

++−+=−+ 0

11

1

1lim

1

11lim1lim

x x x x

x x x x x x

) x x( x x x

∞

∞Levanta-se escolhendo o termo de maior grau do numerador e do denominador

32

32

lim233

32lim 5

5

5

25

−=−

=++

+−+∞→+∞→ x

x x x

x x x x

0

0Levanta-se factorizando o numerador e o denominador

23

11111

11

lim1

1lim

2

12

3

1=

−−

−−−=

−−

−−−=

−

−

→→ x x x

x x

x x

-1 0 0 1 -1 0 11 -1 -1 -1 1 -1 -1

-1 -1 -1 0 = Resto -1 -1 0 = Resto

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• Continuidade de uma função f num ponto f Da ∈

1) f é contínua em a se )a( f ) x( f lima x

=→

(caso contrário, diz-se descontínua em x = a)

Nota: f é contínua à direita de a se )a( f ) x( f lima x

=+→

f é contínua à direita de a se )a( f ) x( f lima x

=−→

• Continuidade num intervalo

1) f é contínua em ] [ f Db ,a ⊂ se f é contínua em todos os pontos de ] [b ,a .

2) f é contínua em [ ]b ,a se:

- f é contínua à direita de a.

- f é contínua à esquerda de b.

- f é contínua em . ] [b ,a .

•

Teorema de Bolzano-CauchySe f é uma função contínua em [ ]b ,a e k é um número real compreendido entre

f (a) e f (b) , então existe um ] [b ,ac ∈ tal que k )c( f = .

• Corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy

f é uma função contínua em [ ]b ,a

] [ 0 )c( f :b ,ac =∈∃ .

0 )b( f )a( f <×

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• Derivada da Função num ponto f Da ∈

1)a x

)a( f ) x( f lim )a( ' f

a x −−

=→

ouh

)a( f )ha( f lim )a( ' f

0h

−+=

→

Interpretação geométrica:

Declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a.

Interpretação física:

Velocidade instantânea no instante t =a.

Nota: Uma função diz-se diferenciável (ou derivável) num ponto se tem derivada

finita nesse ponto.

Teorema: Toda a função diferenciável (com derivada finita) num ponto é

contínua nesse ponto.

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• Assimptotas

Assimptotas horizontais Para verificar a existência de assimptotas horizontais, calcula-se o

limite da função quando x tende para infinto:

)(lim x f x +∞→

se tender para um número real k , então a recta de equação k y = é A.H. do

gráfico da função f

)(lim x f x −∞→

se tender para um número real k , então a recta de equação k y = é A.H. do

gráfico da função f Assimptotas verticais Para verificar a existência de assimptotas verticais, calculam-se os

limites laterais da função quando x tende para pontos de exclusão do domínio ou nos pontos

de alteração de uma função definida por ramos. Sendo a ponto nessa condição:)(lim x f

a x −→ou

)(lim x f a x +→

se tender para ∞+ ou ∞− , então a recta de equação a x = é

A.V. do gráfico da função f

Assimptotas oblíquas bmx y += é A.O. de f sse:

[ ] 0)()(lim =+−± ∞→

bmx x f x com

x x f

m x

)(lim

±∞→= e [ ]mx x f b

x−=

± ∞→)(lim

Trigonometria

(provavelmente 1 ou nenhuma questão no primeiro grupo, 1 no segundo)

• Características gerais

1sin1 ≤≤− α β α β α β α sin.coscos.sin)sin( +=+

1cos1 ≤≤− α β α β α β α sin.coscos.sin)sin( −=−

R∈α tan α α α cos.sin2)2sin( =

β α β α β α sin.sincos.cos)cos( −=+β α

β α β α tan.tan1

tantan)tan(

−

+=+

β α β α β α sin.sincos.cos)cos( +=−β α

β α β α tan.tan1

tantan)tan(

+

−=−

α α α 22 sincos )2cos( −=α

α α 2tan1

tan2)2tan(

−=

1sincos 22 =+ α α α

α α

cos

sintan =

As regras de derivação de seno, coseno e tangente estão no formulário.

Complexos

(provavelmente 1 questão no primeiro grupo, 1 no segundo)

• Forma algébrica

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bia z += bia z −= bia z −−=−22

ba z += distância à origem ( ρ ))sin(cos. θ θ ρ θ ρ icis += Conversão de forma trignométrica para algébrica

d bcadicbia =∧=⇔+=+ Igualdade de 2 números na forma algébricaAdição: id bcadicbia )()()()( +++=+++

Subtracção: id bcadicbia )()()()( −+−=+−+

Multiplicação: ibcad bd acbdibciadiacdicbia )()())(( 2 ++−=+++=++

Divisão: Multiplicar ambos os termos da fracção pelo conjugado do denominador:

2222

)()())(())((

d cibcad bd ac

d cdicdicbd bciadiac

dicdicdicbia

dicbia

+

+++=

++−

+++=

−+

−+=

+

+

• Forma trignométrica

θ ρ cis z .= )(. θ ρ −= cis z )(. π θ ρ +=− cis z

Conversão de forma algébrica para trignométrica: z = ρ

abtg =θ ∧ ∈θ (1º, 2º, 3º ou 4º) Q ou Ox∈θ ou Oy∈θ

Z k k ciscis ∈+=∧=⇔= ,2.. 21212211 π θ θ ρ ρ θ ρ θ ρ

Adição e subtracção impossíveis na forma trigonométrica

111 cis. z θ ρ = e 2122 cis. z θ ρ =

Multiplicação : )( cis. z z 212121 θ θ ρ ρ +=×

Divisão : )( cis ):( z : z 212121 θ θ ρ ρ −=

Inverso: )( cis ):1( z :1 111 θ ρ −=

Potenciação e Radiciação estão no formulário.

• Potências de base i

10 =i ii =1 12 −=i ii −=3

iii −== 3123 (o resto da divisão inteira de 123 por 4 é 3)

• Domínios planos

Sendo 1 P a imagem geométrica do complexo 1 z :θ =− )(Arg 1 z z Semi-recta de origem em 1 P e ângulo de desde 1 P

r z z =−1 Circunferência de centro em 1 P e raio r

21 z z z z −=− Mediatriz do segmento de recta [ ]21 P P k z =)Re( Recta vertical em k ( k x = )k z =)Im( Recta horizontal em k ( k y = )

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