7/25/2019 exame_recurso

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Instituto Politecnico de Tomar

Escola Superior de Tecnologia de Tomar

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Exame de Recurso de Algebra / Algebra Linear

Engenharia Civil 19 de Fevereiro de 2010Engenharia do Ambiente e Biologica Duracao: 2 horas e 30 minutos

Engenharia Qumica e BioqumicaEngenharia Electrotecnica e de ComputadoresEngenharia InformaticaTecnologia de Biorrecursos

Notas importantes:

Leia todo o enunciado com atencao antes de o comecar a resolver. Pode alterar a ordem deresposta as questoes, por isso sugerimos que comece pelas perguntas que considere de maisfacil resolucao.

Nao e permitido o recurso a qualquer tipo de textos de apoio. Qualquer tentativa de fraude que seja detectada resultara na anulacao da prova.

1. Considere a matriz regular

A=

1 1 22 2 4

3 1 10

.

(a) (1.75) Obtenha a decomposicaoPTLU da matrizA . Sabendo que P13 e P31 represen-tam matrizes de permutacao de ordem 3, indique, justificando convenientemente a suaresposta, se a matriz P13U P31 e diagonalizavel.

(b) (1.25) Resolva o sistema de equacoes lineares A x = b usando a decomposicao obtida

na alnea anterior, em que b =

1 48 4T

.

(c) (1.5) Determine, caso exista, a matriz Y que verifica a equacao matricial

A1

TY +PT

UTLT

T1=PTU

P1U

1

AT .

2. Considere o sistema de equacoes lineares

x 5 y + 2 z = 03 x + 14 y 4 2 z =

2 x 9 y + 9 + 2 2

z = 3.

(a) (1.75) Discuta a solucao do sistema em funcao do parametro real .

(b) (1.0) Resolva o sistema para = 3, atraves do metodo de eliminacao de Gauss .

3. Considere as matrizes

A=

0 0 22 1 00 0 2

4 2 0

e B =

2 1 10 2 2

2 1 12 3 3

,

e sejamR(A) eC(B) o espaco das linhas deA e o espaco das colunas de B , respectivamente .

(a) (1.25) Determine uma base de R(A) e indique a dimensao deste espaco . Justifiqueconvenientemente a sua resposta .

(b) i. (1.5) CaracterizeC(B) .

ii. (0.75) Determine, caso existam, os valores dos parametros reais e para os quaiso vector (, 2,3,7) pertence a C(B) .

v.s.f.f.

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4. Considere a matriz

A=

1 1 0 10 1 4 k 1

1 0 k 2 11 1 k 0

,

com k

.

(a) (1.25) Mostre que | A |= 3 k k 2 .

(b) (1.25) Usando a teoria dos determinantes e tambem a teoria dos espacos vectoriais,

determine, caso existam, os valores de k para os quais os vectores-coluna da matriz Aformam uma base do espaco vectorial

4 . Justifique convenientemente a sua resposta .

(c) (1.5) Determine, caso existam, os valores de k para os quais e verdadeira a igualdade

| 2 E32(7) AT | | 4 I3 |= 48 k+ 320 |A P14

A T

1

| ,

em que a matriz de permutacaoP14 e a matriz elementar E32(7) sao ambas de ordem4, e I3 representa a matriz identidade de ordem 3 .

5. Considere a matriz

A=

a 0 75 7 5

7 c a 0

.

(a) (1.5) Determine, caso existam, os valores dos parametros reais a, b e c de modo a queo vectorv = (1, 0, b) seja um vector proprio de A associado ao valor proprio = 3 .

(b) (2.0)Considere a = 0 e c = 1 . Determine o espectro(A) da matriz A, indicando amultiplicidade algebrica de cada valor proprio, e determine um vector proprio associadoao menor valor proprio de A . Justifique convenientemente a sua resposta .

6. (1.75) Sabendo que M e uma matriz quadrada de ordem 3 acerca da qual se conhece que = 32 e um valor proprio de M5, que = 3 e um valor proprio de MT e quetr(M) = 5, determine o raio espectral (M 3) da matriz M 3 e tambem o traco tr(M4)da matriz M4 . A matriz M e regular ? E diagonalizavel ? Justifique convenientemente assuas respostas.