UNIVERSIDADE

FEDERAL DA PARAÍBA

Departamento de Física Centro de Ciências Exatas e da Natureza

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Exame de Qualificação de Mecânica Quântica 26/11/2008 Prof. Paulo S. R. Silva

1) Uma partícula de massa m está sujeita a um poço de potencial unidimensional infinito, dado por:

0 para

V(x)para outros valores de

≤ ≤=

∞

0 x a x Suponha que em t=0 a partícula esteja localizada no lado esquerdo da caixa, como mostrado na figura, e seu

estado seja descrito neste instante por:

para

(x, t 0)para outros valores de

≤ ≤Ψ = =

4/a 0 x a/4 0 x

(a) Qual a expressão para a função de onda normalizada (x, t)Ψ num instante de tempo arbitrário t ? (1,5) (b) Se fizermos uma medida da energia, quais valores serão observados e com que probabilidades? Quais auto-

valores de energia nunca serão observados? (Justifique sua resposta) (1,0) 2) Considere uma partícula no estado

r(x, y, z) C x e−αψ =

(a) Determine a probabilidade de seu momento angular ser =1l . (1,5)

(b) Determine a probabilidade de se obter os autovalores da componente z do momento angular, z = +hl ,

z =0l e z = −hl . (1,0)

Dados: 0

0

1Y

4=

π,

0

1

3Y cos

4= θ

π , 1 i

1

3Y e sin

8

± ± φ= θπ

m

3) Uma partícula encontra-se num potencial dado por 2 21

V(x) m x x2

= ω + ε , onde ε é uma constante.

(a) Calcule, usando teoria de perturbação, as correções de primeira e segunda ordem para os autovalores de

energia do estado não perturbado. (1,5) (b) Encontre a solução exata para os autovalores de energia para este potencial, supondo conhecida a solução

não-perturbada, (0)

n

1E (n )

2= ω +h , e compare com a solução do item anterior comentando qual sua

expectativa para as correções de ordem superior para a energia. (1,0)

Dados: †x̂ (a a)

2m= +

ωh

, †m

p̂ i (a a)2

ω= −

h , a n n n 1= − , †a n n 1 n 1= + + .

4) Considere a adição de momento angular de duas partículas, uma de spin 1

3S

2= e outra de spin

2S 1= .

(a) Supondo que estas partículas formam um estado composto com momento angular orbital nulo, quais os

possíveis valores de 1 2S S S= +

r r r ? Justifique sua resposta. (1,0)

(b) Mostre que (para estes valores de spin) o estado de momento angular total deste composto 3 1

S ,m2 2

= = é

dado pela seguinte expansão na base produto dos spins,

1 2 1 2 1 2

3 1 2 3 1 1 8 1S ,m m ,m 1 m ,m 0 m ,m 1

2 2 5 2 5 2 15 2= = = = = − + = = − = − =

onde usamos a notação 1 1 2 2 1 2S m ,S m m ,m≡ . (1,5)

Dados: S S,m S(S 1) m(m 1) S,m 1± = + − ± ± .