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EXAME OE AOMISSAO AO 12 ANO DO CPCAR 2010

22 de AGOSTO de 2009

Transcr~va o dado abaixo pa o seu cart&o de r~spostas.

VERSA

ATENCA~O! ABRA ESTA PROVA SOMENTE APOS RECEBER AUTORIZACA~O.

SR CANDIDATO,

LEIA COM ATENAO.

Este caderno conrn 01 (urna) prova de MATEMATICA cornposta por 20 (vinte) questdesobjetivas. Confira se todas as questdes est5o irnpressas nessa sequncia e se so perfeitarnentelegiveis.

Conflra a "verso" da prova deste caderno e, quando o Chefe de Setor deterrninar, preencha ocampo "vers5o", no cart5o de respostas.

Preencha correta e cornpletarnente o cao de respostas corn caneta esferogrfica azul ou

preta. Faa rnarcaes fortes e assirn . . Assine-o antes de iniciar a resoluo da prova.

A prova te durao de 4 (quatro) horas, acrescidas de rnais 20 (vinte) rninutos parapreenchirnento do cart5o de respostas.

Sornente se perrnitido ao candidato retirar-se do local de prova a partir da rnetade do ternpoprevisto para a resoluo da rnesrna, ou seja, 2 (duas) horas.

O candidato que sair do local de prova antes do ternpo de durao previsto NAO pode levarconsigo o caderno de questdes nern fazer qualquer tipo de anotao sobre questdes de provaou transcrever o seu gabarito.

O candidato que desejar levar consigo o caderno de questdes deve perrnanecer no recinto ao trmino do tempo total de prova

I)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

QUANDQ AUTQRIZADQ PELQ CHEFE DQ SETQR DE PRQVAS, TRANSCREVA NQ VERSO DQ SEUCARTA-Q DE RESPQSTAS, CQM A SUA CALIGRAFIA USUAL, A FRASE SEGUINTE:

"O Voo do homem, atrav6s de sua existe ia, 6 sustentado elo conhecimento."

EA CPCA R EXAME DE ADM|SSA- O A O 1-o AN O D O CPCAR 2 010 - MATEMATI CA - VER SA O A

01 - Considere os conjuntos num6ricos IN, Z, G e IR e analise asproposiVSes abaixo, classificando-as em (V) verdadeiras ou (F)falsas.

( ) Se A = {x e IN | x = 6n + 3, n e IN} eB = {x E IN [ x = 3n, n E iN} ,ent5o A < B = {x E IN [ x mItiplo de 3}

( ) Se P - IR INT - ( IN* Z) 4 G e

S - iN* < CZ ) ,

ent5o P T S = Z - Z-

/ 600 ~ ,( ) Se y - 25n++2 Para n E iN - {0, 1}, entao Y e

irracional.

Marque a alternativa que apresenta a sequ6ncia correta.

a) V - V - F c) V - F - Fb) F- F- V d) F- V - V

RESOLUo:

CV)A = { . . . -9, -3, 3, 9. . . }B = { . . . -6, -3, 0, 3, 6...}A u B = { . . . -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, ...}

(V)P=hT=*uG=cS =* u Z = * = Z

P n T n S = Z = Z - Z_

() / 25 . 24 / 24 / 24 n

V 2525n - 25 - 25n V 25n . 25 - 25n V 25n(25 - 1)

1 1 E U

V 25n 25

Resposta: op5o a

02 - Um nmero x de ts algarismos, tat que < 14 , tern o

produto de seus algarismos igual a 24; se permutarmos os dotsttimos algarismos de x, o nmero y assim obtido excede x de

18 unidades.Com base nos dados acima, correto afirmar que

a) o mximo divisor comum de y e x MAO um nmero prime.

b) a raz5o r - tat que r > y 41

c) y tern 2 divisores a mats que xd) a soma dos algarismos de x com os algarismos de y menor

que 20

REsoLuo:

< 14 x < 196

x - lab - 100 + lOa + by Iba - 100 + lob + a

y x - 18 9b - 9a - 18

.-

ab - 24 b2 2b 24 O Lb - a + 2

b 6 e a - 4 x - 146 e y - 164

a) Fatsomdc(164, 146) = 2 que prime

b) Fatso146 73 74 37 < =>r<--164 82 82 41

c) VerdadeiroD(146) = {1, 2, 73, 146} => 4 divisoresD(164) = {1, 2, 4, 41, 82, 164} => 6 divisores

d) Fatso1+ 4 + 6 +1 + 6 + 4 = 22 > 20

Resposta: opCSo c

03 - Jo5o pagou a metade dos do que devia.5

Ao procurar o credor para quitar o restante de sua divida, foram-the apresentadas duas propostas:

1) Pagar tudo vista com 10% de desconto.2a) Assumir um acr6scimo de 30% para um possivel pagamentoparcelado.

Jo5o optou pelo pagamento vista e gastou exatamente 945reals para quitar o restante da divida.

Caso optasse peta 2g proposta, Jo5o teria gasto a mats um valorem reals compreendido entre

a) 390 e 410 c) 430 e 450b) 410 e 430 d) 450 e 470

RESOLUCAO:

13 3 Paqou: - - - - --

2 5 10

Deve: 7 10

la proposta: x - - 63%10 100 100

63% 945 reals d _ 100 x 945 100 x 15 1500(divide)100% d 63

x1500 - 1050 reals1030% de 1050 315 reals 2aproposta :1365 reals -

laproposta : 945 realsdiferenVa : 420 reals

RESPOSTA: opC5o b

04 - Nos preparatives da festa de 60 anos da EPCAR,um grupo A composto de 6 sotdados, trabathando 6 horas pordia, contava com o prazo de 7 dias para aparar a grama dosjardins, utitizando todos os componentes o mesmo tipo deequipamento.J que outros setores da Escota necessitavam tamb6m dereparos, ao final do 59 dia, quando apenas 75% do gramadoestava cortado, alguns soldados foram remanejados e um novogrupo B se formou.

Esse grupo B, cuja quantidade de sotdados correspondia a -1 do3

grupo A, disp6s-se a acabar de aparar a grama dos jardins,

aumentando a carga horria diria em 33% e utitizando3

equipamentos duas vezes mats produtivo.

Supondo que todos os equipamentos tiveram perfeitofuncionamento aproveitando sua capacidade mxima, 6 corretoafirmar que o grupo B concluiu a tarefa

a) ap6s o prazo previsto de sete dias.b) em dez horas de trabalho.c) em Otto horas de trabatho.d) um dia antes do prazo previsto.


RESOLUCAO:

75% 4

de 6 = 2 soldados3

100 1003

6h y y = 2h (acr6scimo)

6h + 2h = Sh

A 6 6/4 1 t_

2x8x3x3 5 30 5 1 .. . . x - 1- (dias de 8 horas \

6x 6x1x1 x 24 4 4 ` "

1 1 dia 8 horas + 2horas 10 horas4

Resposta: opggo b

05 - Pedro colocou um terreno a venda visando um lucro de 20%sobre o preVo de custo.Tendo em vista que a crise financeira atual dificultou atransaV5o, ele resolveu fazer a venda em duas etapas:

3 2la etapa: Vendeu de do terreno reduzindo a taxa de lucro5 3

metade e recebeu R$ 44 000,00 pelo neg6cio.2 etapa: Vendeu o restante do terreno e conseguiu o lucro de20% sobre o custo desta pae.

Analisando os fatos acima, concluie que Pedro

a) havia pago pelo terreno todo menos de R$ 90 000,00b) recebeu, no total, menos de R$ 110 000,00c) teve uma reduV5o de 5 mil reals no lucro total pretendido.d) teve um lucro real de 16% sobre o preVo de custo.

REsoLuo:

32 2, x, - ,53 5

2(1+ 1, 44 0005 10 )

1 x

22 44 00050 x - 100 000 (custo)1 x

2 ' 100 000 40 0005

'100 000 - 60 0005

3/5 6002 000 72 000___

a) Fa|so.Pagou 100 000

b) Fa|so.116 000 > 110 0000

c) Fa|so.10% de 40 000 = 4 000

d) Verdadeiro.16% de 100 000 = 16 000

Resposta: opgo d

A __ ~(O,005)2~~,000~75)

A - 52 x 10-6 x 31Ox 52 x 10-6 5 x 10 31 5 x 10 /

EA CPCA R EXAME D E ADM|SSA- O A O 1-o AN O D O CPCAR 2 010 - MATEMATI CA - VER SA- O A 4


10 - Uma empresa imobiliria colocou num outdoor de uma cidade do 11 - Considere os nmeros reals a, b e x tais queinterior de Minas Gerais o anncio como reproduzido abaixo. a + b = x

a - b = x-1

ab0

( 82 + 2ab + b2)(a3 b3)

O valor da express5o Y - (a2 - b2)(a2 + ab + b2)

a2 -2aab

2a) 2 c) x

2 X2b) 2xL d)

2

RESOLUCAO:

(a2 + 2ab + b2 )(a3 - b3) (a + b)2(a3 - t

(a2 - b2 )(a2 + 2ab + b2) (a + b)(a - b)(a2 + i

y I ab - --( a - b

2a 2 )

(a + b) (a - __

3 2(a + b) 2x y a - a - - Ix I

2 ) x

Resposta: opC5o b

Considerando que o terreno loteado 6 em forma de tri5ngulo,como no desenho acima, onde as ruas Tales e Euler cruzam-se 12 - Seja f a funV5o real definida por f(x) = a:so,b 5ngulo obtuso, 6 correto afirmar que os nmeros MINIMO e e V, o v6rtice da parbola representada graficameMAXIMO de lotes no Loteamento do Matemtico s5o, yrespectivamente, iguais a

a) 56 e 63 c) 57 e 63b) 57 e 64 d) 48 e 64 V

RESOLUCAO:

O x

\I Ap6s a anSlise gr6fica, assinale a alternativa INCC

\ a) a,b,c2 < 0 c) a2 + bc > 0

Om b) C2 < 0 d) bc - a < 0

24 !Otes RESOLUCAO:

)x2208ma< Iad240o) + 80 a < 0 (concavidade voltada para baixo)

160 < x < 320 xv < 0 - b) < 0 < 0 b > 0Logo: 240 < x < 320 2a 2a

* f(0) = c c > 0

Se x = 240: + 2 + 2 - 56 lotes Resposta: opgdo d

Se x = 320: 80 + 240 + 320 - 64 lotes10 10 10

56 < n9 de lotes < 64minimo = 57mximo = 63

Resposta: opC5o c


13 - A m6dia aritm6tica das raizes da equaV5o x - + x ,. , . . , ,

na Incognlta x, a e H+ e um numero

a) irracional positivo. c) mItiplo de 12b) primo impar. d) divisor par de 30

RESLU 0:

a vv x(

a + x - a - x ) - a )

a + x - 2a2 - X2 + a - x - a

4(a2 - X2 ) -__ a2

4x2 - 382

x < s valor s que satisfazem a equaVSo,

I a3 3 ILogo S - - ,

mdia das raizes = 0

Resposta: opo c

14 - Se as 156 camas de um dormit6rio forem distribuidas em xfileiras horizontais iguais, contendo y camas cada, sobrar5o 6camas.Se as mesmas 156 camas forem distribuidas em (x + 5) fileirashorizontais iguais, contendo (y - 1) camas cada, aindacontinuar5o sobrando 6 camas.Ent5o, (x + y) igual a

a) 31 c) 29b) 30 d) 28

RESOLUCA0:

(x . y) + 6 - 156 x - y - 150@

(x + 5) - (y - 1) - 150 xy + 5y - x - 5 - 150 x - 5y @

@ em @: y2 - y - 30 = 0 y = 6 ou y = -5 (n5o convSm)se y = 6 x =5

Logo: x + y =

Resposta: opCSo a

15 - Na figura abaixo, ABCD um quadrado e ADQ um tri5nguloequiltero.

A B

D C

Os pontos D, S, R e B est5o alinhados assim como A, S, P e C

Se RB e QB e PC e QC , ent5o INCORRETO afirmar que

a) nos tri5ngulos CBQ e SAR terne SAR CQ

b) nos tri5ngulos BQD, ARB e AQD terne BD + AB - 4(AD)

c) a soma dos 5ngulos DC e AD dos tri5ngulos DPC e ASD

major do que o 3ngulo BC do tri5ngulo BQC

d) nos tri5ngulos SAR e PCQ terne S - CQ - 0

RESOLUCAO:

Na figura, temos:

A B

D C

Analisando as alternativas, temos

a) Falsa

Pois SAR - CBQ - 15b) Verdadeira

Pois BD + AB - 135 +105 - 240 - 4(AD)

c) Verdadeira

Pois DC + AD - 105 + 90 - 195 que 6 major que

BOC - 150

d) Verdadeira

Pois S - CQ - 75 - 75 - 0

Resposta: opC5o a


16 - A Revista Epoca publicou uma reportagem em marVo de 2009 17 - Durante as comemoraVSes dos 60 anos da EPCAR, em virtude dosobre as possiveis mudanVas na Caderneta de PoupanVa no louvvet destaque que os alunos do CPCAR alcanVaram em 2008Brasil. nas Olimpiadas de Matemtica, ser5o produzidas placas para

premiaV5o dos melhores classificados."...Antigo patinho feio das aplicaVSes financeiras, a boa e velha Tais placas dever5o conter o emblema abaixo cujas figurasCaderneta de PoupanVa voltou a despertar os olhares dos geomtricas ser5o contornadas por um fio de ouro de espessurainvest!ores vidos por fazer o dinheiro render sem correr uniforme.

scfico abaixo mostra o rendimento de dois fundos de Dodos:

aplicaV5o, CDI e Caderneta de PoupanVa, no periodo entre 19 de = Do janeiro a 31 de dezembro de cada ano. AO = OB = DC = OD = 12 cm

A B C6D = 1200P=3

= 17

C

Sabendo que 10 g de ouro custam R$ 450,00 e produzem 10 cmdesse fio, pode-se estimar que o valor, em reals, gasto com oouro para a confecV5o de uma medalha estar entre os nmeros

a) 7 500 e 8 000 c) 8 500 e 9 000b) 8 000 e 8 500 d) 9 000 e 9 500

RESOLUCAO:

D

A B

Analise o grfico acima e classifique as proposiVSes que seguem Cem (V) verdadeiras ou (F) falsas.

( ) Durante o ano de 2008, a Caderneta de PoupanVa teve Drendimento percentual constante. DE

( ) A aplicaV5o no CDI foi sempre mais vantajosa em qualquer | \ sen 60 = DE = 6periodo entre janeiro de 2006 e dezembro de 2008 12 ^{

( ) No primeiro semestre de 2008, houve um momento em cos 60 = EO EO = EA= 6que era indiferente aplicar no CDI ou na Caderneta de 12PoupanVa.

Tern-se a sequncia correta em E-- 0

Da) V -V - F c) V - F - Fb) V- F - V d) F - V - F

6 | \ DB= 12RESOLUCAO:

lg) (V)

29) (F) E 12 839) (V)

X 8,7 - 7,86 0,84 3x 2 2x x 1 - x 7,86 - 6,60 1,26 3 5 C = 2pr =m

2 12 meses 24 meses 4 4 meses 5 5 5 Per{metro = 72 + 3 23 + 4 . 12 = |181,2 cm|

Resposta: oPggo b 10 g R$ 450,00 10 cmx 181,2 cm

x = 181,2 e = 8154|

Resposta: opCb


18 - Sobre os lados do tri5ngulo equiltero ABC abaixo a) Verdadeira.tomam-se os pontos D, E e F tais que A B C O tri5ngulo GHI sendo ecol|tero, tamb6m 6 ls6sceles.

b) Falsa.B Como x + Y = 120, n5o h necessidade de que x ou Y seja

reto.c) Falsa.

E IH//AB, x = 60 e Y = 30, Que n5o s5o valores

FIGURA (I) d) e| rlos`

D Pois 0 < GE < 120

Resposta: opCSo a

A c C' 19 - Chama-se agrimensura a arte de mediV5o de terras. O

agrimensor 6 aquele que obtem as medidas de um terreno.Sobre os lados do tri5ngulo DEF da figura (I), tomam-se os Um fazendeiro comprou um terreno cuja base planificada tern apontos G, H e I tais que D - E F forma de um ret5ngulo. A pedido do fazendeiro, o agrimensor

desenhou a vista frontal e a vista lateral desse terreno indicandoB medidas precises que ele obteve utilizando-se de estacas

auxiliares de mesma medida.

vista de frente: aca

FIGURA (II) /6

D

A F C

estaca estacaCom base nas figures (I) e (II), tern-se, necessanamente, que

a) o tri5ngulo GHI 6 is6sceles. estaca b) os tri5ngulos DGI, GEH e HFI s5o ret5ngulos. vi Iseral:

c) IH // AB , GH // AC e IG // BC

d) GE e agudo. _

RESOLUCAO:estaca

Na flgura (I)' temos: B Tomando..-se como refer&ncia a forma p|anificada retangu|ar doterreno cujo custo do metro quadrado foi de 120 reals para ofazendeiro, 6 correto afirmar que

Ea) tern mais de 20 m de lateral.b) sua rea total 6 de 336 m2

D c) foi comprado pelo valor de 96 210 reals.d) tern menos de 30 m de frente.

F C RESOLUCAO:

Os tri5ngulos FAD, DBE e ECF s5o semelhantes (congruentes) e

a + b = 120 0 16Assim, o tri5ngulo DEF e equiltero. h <<

Na figura (II):

B x Y

E sen 60 = 1_

= 2m

D bu cos 60 = h = 8c

8_ . _ __ __A_ ____ , F C tg 6 = x = 8 cm

Os trlangulos DGI, EHG e FIH sao semelhantes (congruentes) e +32 mx + y = 120 --Assim, o tri5ngulo GHI 6 equiltero.

Analisando as alternativas, temos:


~60o h Area de 4 setores de 60: p ~ (206 )2 x 4 - 8003 p

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