Departamento de Matematica, Universidade de Aveiro

Calculo I Segundo Mini-Teste

Resolucao

Duracao: 1h15m

Justifique todas as respostas e indique os calculos efectuados.

1. Considere a funcao f definida em R por f(x) = ex.

(a) Escreva a formula de Mac-Laurin de ordem n (com resto de Lagrange) para a funcao f .

Indicacoes para uma resolucao:A formula de Mac-Laurin de ordem n (com resto de Lagrange) e dada por

f(x) = f(0) +n

k=1

f (k)(0)k !

xk +f (n+1)()(n+ 1) !

xn+1 ,

para algum entre 0 e x.Uma vez que f(0) = e0 = 1 e, para todo o k N, f (k)(x) = ex, obtemos

f(x) = 1 +n

k=1

1k !

xk +e

(n+ 1) !xn+1 ,

para algum entre 0 e x.

(b) Seja pn o polinomio de Mac-Laurin de ordem n da funcao f .Mostre que, para todo o x ] 1, 0[, o erro que se comete quando se aproxima f(x) por pn(x) einferior a

1(n+ 1)!

.

Indicacoes para uma resolucao:O erro que se comete quando se aproxima f(x) por pn(x) e dado por

|Rn(x)| = e(n+ 1) !xn+1

= e(n+ 1) ! |x|n+1 = e(n+ 1) ! |x|n+1 .

Atendendo a que x ] 1, 0[ temos |x| < 1 e, portanto,

|x|n+1 < 1 . (1)

Uma vez que x ] 1, 0[ e esta entre 0 e x temos 1 < < 0 e, como a funcao exponencial eestritamente crescente, temos

e1 < e < 1 . (2)

Utilizando as desigualdades (1) e (2) obtemos, para todo o x ] 1, 0[,

|Rn(x)| = e

(n+ 1) !|x|n+1 < 1

(n+ 1) !,

como pretendamos.

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Calculo I Segundo Mini-Teste

2. Sejam f e g duas funcoes diferenciaveis tais que f g esta definida e h a funcao definida porh(x) = g(x)f(g(x)). Sabendo que f e primitivavel e que F e uma primitiva de f , mostre que F g euma primitiva de h.

Indicacoes para uma resolucao:Temos de provar que (F g)(x) = h(x).Utilizando o teorema da derivada da funcao composta temos (F g)(x) = g(x)F (g(x)), ou seja, umavez que F e uma primitiva de f , (F g)(x) = g(x)f(g(x)) = h(x), como pretendamos.

3. Calcule:

(a)

lnx

x

1 ln4 xdx, efectuando a substituicao definida por lnx = t.

Indicacoes para uma resolucao:Efectuando a substituicao definida por lnx = t que e equivalente a x = et obtemos

lnx

x

1 ln4 xdx =

t

et1 t4 e

t dt

=

t1 (t2)2 dt

=12

2t

1 (t2)2 dt

=12arcsen(t2) + C

=12arcsen(ln2 x) + C, C R

(b)

x+ 4x(x2 + 2)

dx

Indicacoes para uma resolucao:

x+ 4

x(x2 + 2)dx =

(2x+2x+ 1x2 + 2

)dx

=

2xdx

2x

x2 + 2dx+

1

x2 + 2dx

= 2 ln |x| ln(x2 + 1) + 12

1(

x/2)2

+ 1dx

= lnx2

x2 + 1+

12arctg

x2+ C, C R

Calculos auxiliares:

Decomposicao da fraccaox+ 4

x(x2 + 2)em fraccoes simples.

Temosx+ 4

x(x2 + 2)=

A

x+

Bx+ Cx2 + 2

, com A,B e C constantes reais a determinar.

Da igualdade

x+ 4x(x2 + 2)

=A

x+

Bx+ Cx2 + 2

=A(x2 + 2) +Bx2 + Cx

x(x2 + 2)

=(A+B)x2 + Cx+ 2A

x(x2 + 2)Resolucao Pagina 2/3

Calculo I Segundo Mini-Teste

resulta o sistema A+B = 0C = 12A = 4

B = 2C = 1A = 2

Consequentementex+ 4

x(x2 + 2)=

2x+2x+ 1x2 + 2

.

4. Seja f a funcao definida em R por f(x) = x2 cosx.

(a) Calcule o integral indefinido

f(x) dx.

Indicacoes para uma resolucao:Para efeitos de aplicacao do metodo de primitivacao por partes

sendo u(x) = cosx temos u(x) = senxe sendo v(x) = x2 temos v(x) = 2x.

Temos entao x2 cosx dx = x2 senx

2x senx dx

Utilizando uma vez mais o metodo de primitivacao por partes

sendo u(x) = senx temos u(x) = cosxe sendo v(x) = 2x temos v(x) = 2

pelo que x2 cosx dx = x2 senx

(2x cosx+

2 cosx dx

)= x2 senx+ 2x cosx

2 cosx dx

= x2 senx+ 2x cosx 2 senx+ C= (x2 2) senx+ 2x cosx+ C, C R.

(b) Determine a primitiva de f que se anula em x = pi.

Indicacoes para uma resolucao:De acordo com a alnea anterior a primitiva de f que se anula em x = pi e a funcao F dada porF (x) = (x2 2) senx+ 2x cosx+ C e que satisfaz a condicao F (pi) = 0. Uma vez que

F (pi) = 0 (pi2 2) senpi + 2pi cospi + C = 0 C = 2pi

a primitiva pedida e a funcao F dada por F (x) = (x2 2) senx+ 2x cosx+ 2pi.

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