exame

Preparac;ao para o

Porto Editora

Matemcltica AMana Augusta Ferreira Neves LUIS Guerreiro

AevisCio cienfifica Jorge Nuno Silva

Prepara4;ao para o Exame Nacional2011Matem~tica

A 12." ano

(inclui CD - ROM oferta) Autores Maria Augusta Ferreira Neves

Luis GuerreiroReviscio cie ntifica Jorge Nuno SilvaEditora Porto Editora Capa Porto Editora

Porto ~ EditoraRua da Restaura~ao, 365

'

4099-023 Porto

I Portugal

www.portoeditora.pt

:2010 -LIVRO AUXIUARf xf ( t.' r f r Bloco Grtanco, Lda. L; - r t' r'C r J f.' ~l Sist

a+ b = 171

0 t erceiro elemento da linha seguinte e 171 . Resposta : (B) .

19

1. Combinat6ria e probabilidades

6. Bin6mio de NewtonOs desenvolvimentos de (a + b) 2 combina

n + 9 = 27

::::::>

n = 18

Resposta : (B)6. Num saco esti:io quatro bolas de igual tamanho, numeradas de 1 a 4.

Tiram -se, sucessivamente, sem reposic,;ao, as quatro bolas do saco. Quale a probabi lidade de as bolas safrem par ordem crescente de numerac,;ao?(A) _1

24

(B) 2 3

(D)

_l6

Sugestao de resolu~ao

Numero de casas possfveis: P4 P=-1 24 Resposta: (A)

= 4 ! = 24

Numero de casas favoraveis : 1 (a sequencia 1234)

7. Considere a linha do Triangulo de Pascal em que o segundo elemento e 35 .

Escolhem -se, ao acaso, dais elementos dessa linha. Quale a probabilidade de estes dais elementos serem iguais?

(AI

1935 c 2

(B)

353s c 2

(Cl

135 c 2

ID I

1836 c 2


A linha do Triangulo de Pasca l em que o segundo elemento e 35 e a linha correspondente a n = 35 . c, lsto e, n = 35 ::::::> n = 35 . Assim : Numero de casas possfveis :36

C2 (a linha correspondente a n = 35 tem 36 elementos, entre os quais sao escolhidos dais)

Numero de casas favoraveis: 18 (os 36 elementos desta linha sao iguais dais a dais, havendo, portanto, 18 pares de elementos iguais) Probabil idade pedida: Resposta: (D)

3 ~~2

42

Capitulo 2- Probabilidades e combinat6ria

OUESTOES RESOLVIDASResposta abertaOuestoes saidas em Exames Nacionais

-

1. De um baralho de cartas, seleccionam -se seis cartas do naipe de espadas:

as, rei, dama, valete, dez e nove. Disp6em -se as seis cartas, em fila, em cima de uma mesa.1.1 Ouantas disposig6es diferentes podem ser feitas, de modo que as duas cartas do meio sejam o as e o rei (nao necessariamente par esta ordem)? 1.2 Ouantas disposig6es diferentes podem ser feitas de modo que o rei nao fique ao lado da dama? Sugestao de resoluc;ao 1.1 0 as eo rei podem ser dispostos de duas maneiras diferentes (as-rei ou rei-as) . As restantes quatro cartas podem ocupar os restantes quatro lugares da sequencia de P4 = 4! modos diferentes.

Assim, podem ser feitas 2 x 4! = 2 x 24 = 48 disposig6es diferentes .1.2 Numero de disposig6es diferentes que podem ser feitas com as seis cartas: P6 = 6!

Numero de disposig6es diferentes que podem ser feitas de modo que o rei fique ao lado da dam a:

2

X

~OS5

4!

X

5

numero de posic;6es que o par rei-dama ou dama-rei podem ocupar na sequencia numero de disposic;6es diferentes que podem ser feitas com as restantes quatro cartas o rei e a dama podem ser dispostos de duas maneiras diferentes (rei-dama ou dama-rei)

Podem , portanto, ser feitas 6! - 2 x 4! x 5 = 480 disposig6es diferentes, de modo que o rei nao fique ao lado da dama . Resposta: (B)2. Considere o seguinte problema:

Utilizando5

cinco algarismos do numero 41 123 ' quantos numeros podem ser formados?

C2 x 3! e A 3 sao duas respostas correctas.

Numa pequena composigao, com cerca de dez linhas, explique o raciocfnio que conduziu a cada uma dessas respostas.Sugestao de resoluc;ao

4 1 1 2 3 5

C2 x 3!"1 " na

5

C2 e o numero de maneiras diferentes de escolher a posigao dos do is algarismos sequencia de cinco algarismos .

3! e o numero de maneiras de escolher a posigao dos tres algarismos diferentes (2 , 3 e 4) nos restantes tres lugares (permutag6es de 3 elementos). Podemos, assim, formar 55

C2 X

3! numeros distintos.

A 3 eo numero de maneiras diferentes de escolher ordenadamente nos cinco lugares a posigao dos tres algarismos diferentes (2 , 3 e 4) . A posigao dos do is algarismos "1 " fica univocamente determinada .

43

1. C ombinat6ria e probabilidades

OUESTOES RESOLVIDASResposta ab ertaO.uestiies saidas em Exa mes Naciona is

3. Lan9a -se tres vezes um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6.

lndique, justificando, qual dos dais acontecimentos seguintes e mais provavel: nunca sair o numero 6; safrem numeros todos diferentes. Sugestao de resolu!fao Seja A : nunca sa ir a numero 6 Casas possfveis: 6 x 6x6=2 16 Casas favorave is: 5X 5X

1.0 lan9amento

61. 0 lan9amento

2.0 langamento 6 2.0 lan9amento 5

3.o lan9amento 6 3.0 lan9amento 5 {sair de 1 a 5 nos 3 lan9amentos)

5

5 = 125 125 "" 0 579 216 '

P(A) =

B : safrem numeras todos diferentes Casas poss fve is: 6 x 6 x 6 = 216 (os mesmos de A) Casas favoraveis : 6 4 = 120 120 P(B) = "" 0 556 216 'X X

1. o lan9amento

2. 0 langamento

3. o lan 9amento

6

5

4

5

P (A) > P (8) , ou seja,

e mais provavel nunca sa ir o numero

6.

4. Seis amigos entram numa pastelaria para tamar cafe e sentam -se ao acaso numa mesa rectangular, com tres l ugares de cada lado, como esquematizado na figura ao lado.Determine a probabilidade de dais desses amigos, a Joana e o Rui, fica rem sentados em frente um do outro. Sugestao de resolu!fao 1. 0 processo

0

0 0

0

I0 0

I

Numero de casos possfveis: Os seis am igos podem ocupar os seis lugares de P6 = 6 ! = 720 maneiras diferentes . Numero de casos favoraveis : Ha tres conjuntos de dois lugares que a Joana e o Rui podem escolher para ficarem sentados um em frente ao outro . Em cada um desses conjuntos os lugares podem ser ocupados de duas maneiras diferentes, dado que a Joana e o Rui podem trocar entre si . Finalmente, os outros am igas podem ocupar os restantes 4 luga res de P4 = 4 ! = 24 maneiras diferentes . 3X

2

X

p4

=6

X

24 = 144restantes quatro amigos Joana e Rui

~

L __ _ __

_____

A probabilidade pedi da

e

P = 144 = _l72 0

5 .

44

Capitulo 2- Probabilidades e combinat6ria

OUESTOES RESOLVIDASResposta abertaOuestiies saidas em Exames Nacionais

-

2.0 p rocesso Numero de casas possfveis: interessando a ordem).6

C2 = 15 (numero de maneiras de em 6 lugares escolher 2 , nao

Numera de casas favaraveis: 3 (as tres escalhas de Iugar em que ficam um

a frente do autro) .H -r ----..,. G11, ,,,,

P=_l_=.l .15 5

5. Na figura ao lado estao representados um prisma quadrangular regular e uma piramide cuja base [ABCD] coincide com a base inferior do prisma.0 vertice I da piramide coincide com o centro da base superior do prisma. Considerando, ao acaso, cinco dos nove vertices da figura representada, qual e a probabilidade de que pelo menos quatro sejam da piramide?

Ef - --T-- ,rr-+'" - fp : ',I II II I I I I I I \ I I

'

1

I

'II

'

I

II

' ' ' ' ' ' '' '1 1 1 1

' ' 's'

./ /

' ''1 1

\I I

1 I

q;: - --- - - --~,'

1

Sugestao de resolm;:ao Numera de casas possfveis: Numera de casas favoraveis:5

' ,,' '9

/ ,'

'

cB

C5 = 126 .

A

C4 x 4 C, + 1 = 21

I

L____.

."olhe de doco vectices de pic,mide

' - - - - - - - - + escolha de quatro ve rtices da piramide + 1 entre E , F , G e H

Probabilidade pedida: P= _1_l_ = l. 126 66. Uma embalagem contem 12 pastilhas com igual aspecto ext eri or, sendo tres de ananas, tres de cereja, tres de laranja e tres de morango.

Esvaziando a embalagem ap6s a compra e retirando quatro pasti lhas ao acaso, qua l a probabilidade de tirar uma de cada sabor?

Sugestao de resolm;:aoAnanas Cereja Laranja Maran go Total 124

3

3

3

3

Numera de casas passfveis:

12

C4 = 495 (numero de maneiras de escolher uma pastilha de cada sabor)

Numera de casas favarave is: 3 x 3 x 3 x 3 = 3 4 = 81 A probabilidade pedida

e:

P=

:d

5

=

9 ""16,4%. 55

45

1. C ombinat6ria e probabilidades

QUESTOES RESOLVIDASResposta abertaQu estiies saidas em Exames Nacionais

7. Seja B o conjunto dos numeros de quatro algarismos diferentes, menores que 3000 , que se podem formar com os algarismos 1 , 2 , 3 , 4, 5, 6 e 7 . 7.1 Verifique que o conjunto B tem 240 elementos.7.2 Escolhe-se, ao acaso, um elemento de B. Qual e a probabilidade de que esse elemento seja um numero par? Apresente o resul tado na forma de fracgao irredutfvel.

7.3 Escolhem -se, ao acaso, tres elementos de 8. Qua l e a probabilidade de todos eles serem maiores do que 2000 ? Apresente o resul tado na forma de dfzima, com duas casas decimais.Sugestao de resolur,rao{1 ' 2 ' 3 ' 4 ' 5 ' 6 ' 7}

7.1 0 primeiro algarismo s6 pode ser 1 ou 2 . Os restantes tres sao escolhidos, ordenadamente e sem os repetir, entre os seis restantes. 0 numero total de possibilidades e dado por 2 x 6A3 = 240 .ou, 1.0 A

-2- --6- --5-

2.0 A

3. 0 A 2X

6

X

5 X 4 = 240

7.2 Numero de casas possfveis: 240 .

Numero de casas favoraveis: Os casas favoraveis sao os elementos de 8 cujo algarismo das unidades 1. caso:0

e 2,

4 ou 6 .

0 primeiro algarismo

e

1 . Entao, o ultimo (das unidades) pode ser 2 , 4 ou 6 : 1X 5X 4X

1.0 A1

-5-

2.0 A

3.0 A

4

-3-

4 .0 A

3 = 60

2. 0 caso:

0 primeiro algarismo1.0 A 2. 0 A -1- - 5-

e

2 . Entao, o ultimo (das unidades) pode ser 4 ou 6 : 1X 5X 4X

3 A 4.0 A 4 -2-

2 = 40

Ha 60 + 40 = 100 casas poss fveis . A probabilidade pedida

e

P=

~~~

=

5 . 12

7.3 Numero de casas possfveis:Numero de possibilidades de escolher tres elementos em ordem da escolha: 24C3 . Numeros de casas favoraveis : 240 , nao interessando a

E necessaria, em primeiro Iugar, verificar quantos elementos ha em 8 que sejam maiores que 2000 .0 primeiro algarismo s6 pode ser 2 . Os restantes tres sao escolhidos, ordenadamente e sem repeti c;:ao, entre os seis restantes. 0 numero total de possibil idades dado por 1 x 6A3 = 120 .

e

0 numero de possibilidades de escolher tres elementos em ord em da escolha, e: 12C3 . A probabilidade pedida

120 , nao interessando a

e

12o c

P=

240

C3 "' 0, 12 .3

46

Capitulo 2- Probabi lidades e combinat6ria

,..,

OUESTOES RESOLVIDASResposta abertaUuestiies saidas em Exames Nacionais

8. Na figura esta representado o solido [ABCDEFGHI] .

A

Dispomos de cinco cores (amarelo, branco, castanho, preto e vermelho) para co lorir as suas nove faces. Cada face e colorida por uma (rnica cor.

8.1 De quantas maneiras diferentes podemos colorir o so l ido, supondo que as quatro faces triangulares so podem ser colori das de amarelo, de branco ou de castanho, e que as cinco faces rectangulares so podem ser coloridas de preto ou de vermelho?8.2 Admita agora que o solido vai ser colorido ao acaso, podendo qualquer cor colorir qualquer face.

,--"c-------F

Determine a probabilidade de exactamente cinco faces ficarem coloridas de branco e as restantes faces com cores todas distintas. Apresente o resultado na forma de dizima, arredondado as decimas de milesima.Sugestao de resolugao 8.1 -

6666DDDDD - - - - 3 3 3 34

2

2

2

2

2 -

numero de maneiras de escolher a cor para cada face

3

A~

X

2

A~ = 3

X

2 = 2592 .5

5

8.2 Numero de casas possfveis:

A~ =5 9 (cada face pode ser pintada com uma das cinco cores).

Numero de casas favoraveis:9

C5 xP4 =126x4!11 '-

- -- -+ numero de maneiras de ordenar as quatro cores restantes nas outras quatro facesnumero de maneiras de escolher as cinco faces para pintar de branco

Probabilidade pedida:

126

x 59

41

"" 0 ' 0015 .

9. Considere num referencia l o.n. Oxyz a superficie esferica de equa 0 ou para baixo se a< 0 (translac;;ao associada ao vector (0 , a)) . y = j(x +a) obtem-se do grafico de f por urn deslocamento horizontal de a unidades, para a esquerda , se a> 0 , ou para a direita, se a< 0 (translac;;ao associada ao vector(-a,O)).

114

Capitulo 1 - Generalidades sabre funcoes

y = a f (x) (a E IW \ { l}) obtem-se do grafico de y

f por uma: expansao na vertical, segundo o factor a , se a > l contrac X

= ln yx= eY

1ogbX

=y

::::> X

= bY

ln x = y

::::>

A

fun~ao

logaritmica

e a fun~ao inversa da fun 1 :::::::> (1 +0,1)X= :::::::> (1,1)x=2 :::::::> X=log 1 , 1 2 :::::::> 50 0

:::::::> X =

~In 1,1

:::::::> X ""

7 27'

4.3 2e x +2

ex= 1 :::::::> 2 (8X 2 + eX- 1 = 0 )2 u2 +

:: : : > )

u =ex

u- 1 = 04

:::::::> :::::::>

u=

-1

Vl+8u=-1 ex = - 1:::::::>

u=l v21 ex =

:: : : > )U=

exa equac;:ao ex= - 1

2v1)

:::::::>

)

e impossfvelx""- 0 693

x= In ( 2

'

4.4. 2 t3 e- r = t3 e- o.er :::::::> 2 t3 e- r - t3 e- o.er = 0 :::::::>:::::::> :::::::> :::::::> :::::::> :::::::> :::::::>

t3 (2e- 1 - e- 0 6 ~ = 0

:::::::>

t =03

v

2e- r -

e- 061

=0

:::::::> :::::::> :::::::>

t =0t= 0

vv v

e- r (2 - 8 -o.er) e-r e- r = 0

=0

v

2- e 0At = 0

t = 0 v e0.4 1 = 2 t= 0 t= In 20,4

:::::::> :::::::>

t = 0 v 0,4t =In 2 t= 0 V t= 5 In 22

141

2.

Fun~oes. Fun~oes

exponenciais e loga rftmicas

Exemplo 5 Equar;oes com logaritmosResolva as equa(:6es:

Verifica 5Resolva as equa~oes: 5.1 3x - x In x = 0

5.2 log 2 (x+ ) + log 2 ((x+ 2) (x -1)) = 2 x-1Sugestao de resolu9ao 5.1 In x 2 = 2 In 4 Domfnio : D = {x E IR : x 2

2

. 1 - In (2x) = 0 52X

5.3 log 2 (2x) = 3 -logz( 1 +

f)

5.4 2 (In x) 2 -In x= 1

> 0} = IR \ {0}

In x 2 = 2 In 4 ::::::> In x 2 =In 42 I\ x E D ::::::> ::::::> x 2 =42 I\ xED::::::> x=4Vx=-4 Como 4 e - 4 pertencem ao domfnio, {- 4 , 4} da condi(:ao. Nota: Onde esta o erro na seguinte resolu(:ao? In x 2 = 2 In 4 ::::::> 21nx=21n4 I\ x ED::::::> lnx=ln4 I\ x ED::::::> x=4

e o conjunto-solu(:ao

5.2 log 2 (x+ ) + log 2 ((x+ 2) (x -1)) = 2Domfnio: D ==X

2 x-1

{

x+2 E IR : X- 1 :f. 0 I\ - - > 0 I\ (x + 2) (x - 1) x-1+\

> 0} =-

1- oo , - 2 [U I 1 , + oo [

2 log 2 ( x + ) + log 2 ((x+ 2) (x-1 )) = 2 ::::::> x -1 ::::::> log2

-2 \:0Ji

}+

(0 (x+ 2) C0)) = 2X

I\

xED

g

1

::::::> log 2 (x + 2) 2 = 2 I\ x E D ::::::> ::::::> (x + 2) 2= 22 I\ E D ::::::>

::::::> (X + 2 = 2 V X + 2 = - 2) I\ X E D ::::::> (X = 0 V X =- 4) I\ x ED Como 0

E D, a solu(:ao e x =- 4 .

Nota: Onde esta o erro na seguinte resolu(:ao? 2 log 2 ( x + ) +log ((x + 2) (x - 1)) = 2 ::::::> x -1 ::::::> log2 (x + 2) - log 2

(0

)+ log 2 (x + 2) + log 2

(0

)= 2 I\ x E D ::::::>

::::::> 2 log 2 (x + 2) = 2 I\ x E D ::::::> log 2 (x + 2) = 1 I\ x E D ::::::> ::::::> X + 2 = 2 1 I\ xED ::::::> X = 0 I\ xED ::::::> x E 0 (equa(:ao impossfvel)

142

Capitulo 2 - F un,ao exponencial e fun,ao logaritmica

Exemplo 6 A carga da bateriaUma bateria vai perdendo carga mesmo quando nao e utilizada.

Verifica 6Foi comprado um terreno prevendo-se que se val orize 5% ao ano. Se as previs5es se concretizarem, quanta tempo tera de decorrer para que o valor do terreno dupl ique? Apresente o res ul tado em anos com aproxima~ao as un idades.

Para um dado tipo de bateria, em cada mes de nao uti lizagao a carga pe rdida e de 10 % . Quantos meses sem uti li zagao sao necessa rios decorrer para que essa bateria tenha apenas 5% de carga inicia l? Apresente o resultado em meses com aproximagao as decimas .

Sugestao de resolu gaoSuponhamos que a carga origi nal e C. Um mes depois a carga sera

C-0,1C=(1-0,1)C=0,9CDois meses depois a carga sera

0,9C-0,1 x 0,9C=(1-0,1)x0,9C= = 0,9X

0,9C= (0,9) 2 C

Tres meses depois a carga sera

(0,9)ZC- 0, 1 X (0,9) 2 C= (1 - 0,1) = 0,9X

X

(0,9) 2 C=

(0,9) 2 C= (0,9) 3 C

x meses depois a ca rga sera (0,9)XC .Pretende-se determinar x de modo que (0,9)xc = 0,05C: c,.,o (0,9)XC = 0,05 C

(0,9)X = 0,05 :::>:::> X

X=

log 0 _9 0, 05 :::>

= In 0,05 In 0,9 :::>

x ~ 28 4 '

Usando a calculadora grafica e possfve l resolver graficament e a equagao (0,9)x = 0,05 determinando a interseq:ao dos graficos das fungoes :

y1 = (0,9)x e

y2 = 0,05

\..~ r---....:::. -..___::-----.I._i

\

I

Cerca de 28,4 meses depois de ser fabricada, mesmo sem ser utilizada, a bat eria tera apenas 5% da carga origina l.

143

2. F un,oes. Fun, oes exponenciais e logarftmi cas

Exemplo 7 0 numero de arvores de um bosque0 numero A de arvores de determinada especie cresceu num bosque de acordo com a formulaA (t) = 100 x 1,8 kt sendo t o numero de anos decorridos desde a primeira contagem .

Verifica 7Considers que o "peso" P (em quilogramas) e o comprimento c (em centfmetros) de urn anima l de determ inada especie, existents num certo habitat, e 2 dado par P(c) = 0,08 e01 c . 7.1 Qua l e o comprimento de urn animal dessa especie que "pesa" 1,5 kg , sabendo que a relagao pe so-comprimento satisfaz a igualdade referida? Apresente o resultado em centfmetros, arredondado as unidades.7.2 Verifique que, para qualquer valor de c,

7.1 Decorridos dez anos ap6s a primeira contagem , verif icou-se que, no bosque, existiam 180 arvores dessa especie. Verifique que k = 0,1 .7.2 Verifique que, para qualquer valor de t ,A(t+ 12) , A(t) e constante .

Determine um valor aproximado dessa constante (arredondado as unidades) e interprete esse valor, no contexto da situa(::ao descrita.7.3 Ex prima t em fun(::ao de A e concl ua que t = In A- In 100 . 0, 1 In 1,8

P(c+ 6) P(c) e constants.Determ ine urn va lor aprox imado dessa constan ts (arredondado as unidades) e interprets esse valor, no contexto da situagao descrita .

Sugestao de resolu gao

A (t) = 10 X 1 ,8 kt0 7.1 A( 10)=180 100x 1,8kx 1 = 180 1,8 10k = 1,8

7.2 A (t) = 100X

10k= 1

k= 0,1

1,811

A (t + 12) = A (t)

JB6 X 1,8"1 11121= 1 80.1t+0. 1 + JB6 X 1,8 '(t

X

1 0.1t = 1 81.2 "' 2 2'

A(~~t)12 )

= 2 A(t+ 12) = 2 A(t)

Em cada perfodo de 12 anos o numero de arvores duplica .7.3 A= 100 x 1,811

1 811 = ~ ' 100

o, 1 t= log 1.8 ( 1~ ) 01 In

0

' t-

100 In 1,8

(~)

144

01 t=lnA-In100 ' In 1,8 t=lnA- In 100 0,1 In 1,8

C apitulo 2- F uncao exponencial e funcao logarftmica

Exemplo 8 0 tarifarioUma empresa de telecomunicag6es apresentou um novo tarifario para chamadas telef6nicas de longa distancia em que o custo C , em euros, de uma chamada telef6nica com a duragao de t minutos e dado porC(t) =a+ bIn t

Verifica 8Adm ita que a altitude h, em quil6metros, de cada Iugar da Terra e a pressao atmosf8rica p, em quilopascal, estao relacionadas pela equagao:h(p) = 38,47- 8,33 In (p)8.1 Qual 8 a pressao atmosf8rica de um Iugar situado ao nivel do mar?

(Apresente o resultado em qui lopascal, com duas casas decimais.)8.2 Verifique que, para qualquer valo r de p, a diferenga h(0,75p)- h(p) 8 constante .

8.1 Sabendo que uma chamada com a duragao de 1 min tem um custo de 0,50 e uma chamada de 15 min custa 3,37 , determine o va lor das constantes a e b , com duas casas decimais. 8.2 Um cliente desta empresa efectuou duas chamadas telef6nicas com custos determinados par este tarifario. Sabendo que a duragao de uma chamada teve o triplo da duragao da outra, qua l fo i a diferenga de custos das duas chamadas?

Determine um valor aproximado dessa constante (com duas casas decimais) e interprete esse valor, no contexto do problema .

Sugestao de resolu c,;a oC(t) =a+ bIn t 8.1 {

c (1) = 0' 5C(15) = 3,37

a+ bIn 1 = 0,5~

{ a+ b In 15 = 3,37

~

~ ~~

a=0,5 { 0,5 +bIn 15 = 3,37 a=0,5 { b In 15 = 3,37- 0,5

~~

a=0,5 {a=05 287 ~ { b= 1~15 b ~ 1,06

C(t) = 0,5 + 1,06 In t 8.2 C(3t)- C (t) = [0,5 + 1,06 In (3t)] - [0,5 + 1,06 In tl = = JY.b+ 1,06 In (3t)- - 1,06 In t= = 1,06 [In (3t) -In t] = 3 = 1,06 In ( /) = = 1,06 In 3~

1,16

A diferenga de custos foi de 1,16 .

145CAESMA12 10

2. FunQ6es. F uncoes exponencia is e logarftmicas

QUESTOES RESOLVIDASEscolha multiplaOuestiies saidas em Exames Nacionais

1. Seja g uma func;:aol de domfnio A

I

definida por g(x) = In (1 - x 2 ) .

Qual dos seguintes(A)

poder 0} = l- 1 , 1 [Resposta: (B)

~

2. Considere as func;:6es f e g 1 de domfnio IR

I

definidas por f(x) = 2x

e

g (x) = 3x .

Quale o conjunto-soluc;:ao da inequac;:ao f(x)(A) Conjunto vazio(C) IW Sugestao de resolut;,:aof(x) (B) IW (D) IR

> g(x)?

= 2x> g(x)

e

g(x)

= 3x~

1. 0 processof(x)~

2x > 3x

)

2x > 0 , \f

X

E IR

~ 1 > 3x ~ 2x

~

(;r 3x

~

2x - 3x > 0

lntroduzindo na ca lculadora a fungao y1 = 2x- 3x , com a janela de visualizagao [- 2 ; 21 x [- 0,5 ; 0,5) , obt em-se o grafico representado ao lado. Da analise do grafico verifica-se que, entre as alternativas apresentadas, o conjunto-solugao da condigao 2x - 3x > 0 , ou seja, f(x) > g(x) s6 pode ser IW. Resposta: (B)

--~ \

146

Capitulo 2- F uncao exponencial e funcao logaritmica

,..,

QUESTOES RESOLVIDASEscolha multiplaOuestoes saidas em Exames Nacionais

3. Qual das seguintes express6es

e, para qualquer numero real positivo(C) 2 8

a, igua l a e21 " a ?

(In designa logaritmo de base e)(A) 2a

(B) 2 + aresolu~ao

Sugestao dee 21 na

=

eln a'

=

a2

p log . x =log. xP(x E IW,

a E IW \ {1}, p E IR)

Resposta: (D)

4. Sejam a, b e c tres numeros reais tais que log. (b) = c.Qual

e0

valor de loga (a b) ?(B) a + c

(A) 1 + c

(C)

- ac

(D) a+ be

Sugestao de loga (ab)

resolu~ao

= loga a + loga b = )=1+c

log. a = 1 e log. b = c

Resposta: (A)

5. lndique qual das express6es segu i ntes igual a a 2 + 109 a3 (A) 3a2

e,

para qualq uer numero real

a supe rior a 1 ,

(C) 3resolu~ao

+ a2

(D) 2 +

a3

Sugestao de

Resposta: (A)

6. Considere uma funt;(ao f, de domfnio IR , definida par f(x) ce rto numero real.

= e x+ a

,

on de

a designa um

0 grafico de f intersecta o eixo Oy no ponto de ordenada 2. lndique o valor de a.(A) In 2 (B) 2resolu~ao

(D) e + In 2

Sugestao de

f(x) = e+ a

f(O) = 2

::::::>

e0 + 8 = 2

::::::>

e8 = 2

::::::>

a= In 2

Resposta: (A)

147

2. Fun,aes. Fun,aes exponenciais e logaritmicas

OUESTOES RESOLVIDASEscolha multiplaOuestoes saidas em Exames Nacionais

-

7. Na figu ra abaixo esta parte da representac;;ao gratica da func;;ao f, de domfnio IW , defi nida po r f( x ) = log 3 x.y Q

J

9a

x

Na figura esta tambem rep resentado um triangulo [PaR] . Os pontos P e

a

pertencem ao gratico de f e as suas abcissas sao a e 9a, respectivamente

(a designa um numero real positivo).

0 ponto R pertence ao eixo Oy e tem ordenada igual

a de

a.

Qual das express6es seguint es da a area do triangulo [PaR]?(A) 9 a2(B ) 9a

(C) 9a2 2

(D) 9a + 1

2


Tomando para base do triangulo o lado [Fi'a] c ujo comprimento e 9a , tem-se para altura a diferen c;;a das imagens de 9a e de a, ou seja, f(9a)- f(a) . En tao:

A,:,.[PQffl

= ba se x alt ura = .l x RO x [f(ga) _ f(a)] =

2

2

9 9 = .l x 9a x [log 3 (9a) - log 3 a]= a x log 3 ( a) = 2 2 a 9a 9a = - x log 3 9 = - x 2 = 9a

2

2

Resposta: (B)

8. Na f igura esta parte da representac;;ao gratica d a f u nc;;ao f, de dom fni o IW , def inid a po r f( x ) = log 8 x .

y

P e um po nto d o gratico de f , qu e te m o rd enad a 1

3

.X

Qua l e a abcissa d o ponto p ?(A)

~

(B)

(C)

In (~)

(D) 2


Seja P( x , f( x)) , com f(x) =

1 3.1

1 f(x)=3

:::}

1 log 8 x = 3

:::}

x=8 3

:::}

x=VB

:::}

x=2.

Resposta: (D)

148

Capitulo 2- Fun~ao exponencial e fun~ao logaritmica

,....


1. Um petroleiro, que navegava no oceano Atlantica, encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco . Em consequencia disso, comes;ou a derramar crude . Admita que, as t horas do dia a seguir ao do acidente, a area, em quil6metros quadrados, de crude espalhado sab re o oceano e dada par: A(t) = 16 e 0 1t , t E [0, 24]

(t + 1 . 1.1 V ent 1que que, para qua Iquer va Ior d e t , A A (t) ) e constante.Determine um valor aproximado dessa constante (arredondado as decimas) e interp rete esse valor, no contexte da situas;ao d escrita .1.2 Admita que a mancha de crude e circular, com centro no local onde o petroleiro encalhou . Sabendo que esse local se encontra a sete quil6metros da costa, determine a que horas, do dia a seguir ao do acidente, a mancha de crude atingira a costa.

Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados as unidades) .Nota: Sempre que, nos calculos intermedios, proceder a arredondamentos, conserve, no minima, tres casas decimais.

Sugestao de

resolu~ao

A (t) = 16 e01t , t E [0 , 24] 1.1A(t

A(t)

+

1)

=

}6eo.11t+11 eo.H +D,1 = =eo.H+0.1 -o. H=eo,, 11 }6e 0 1t e0 1t '

Este resultado permite concluir que em cada hora que passa a area da mancha de crude espalhado sabre o oceano e multiplicada por 1,1 , ou seja, a area da mancha de crude au menta 10% por hora.1.2 Area do cfrculo de raio 7 km

A mancha de crude atingira a costa quando a sua area atingir 49n km 2

:

A (t) = 49n

::::::>

16 e0 1t = 49n

::::::>

e0 1t =

49 n 16

::::::>

::::::>

0,1 t = In ( ~

9

6n )

::::::>

t=

In ( 49n ) 6

O,~

::::::>

t "" 22,640

22,640 horas "" 22 horas e 38 m inutos

I

0,640

X

60 = 38,4

A mancha de crude ating iu a costa as 22 horas e 38 minutos do dia a segu ir ao do acidente.

149

2. Fun

::::::>

P = ea. 55

::::::>

0 "peso" do Ricardo e aproximadamente igual a 33 kg.2.2 A (p)- A (p) =- 0,52 + 0,55 In (2p)- (- 0,52 + 0,55 In (p)) ==-

JY.52+ 0,55 In (2p) + - 0,55 In (p) =(In (2p)- In (p))

= 0,55

=

= 0,55 In

(!#)

= 0,55 In 2 "'0,38

Podemos assim concluir que A (2p) -A (p) e constante, sendo aproximadamente igual a 0,38 . Este resultado permite concluir que, se o "peso" de um rapaz eo dobro do "peso" de outro, a diferen 0)

.

Qual das seguintes condig6es e equ ivalente a esta equagao?

(A)

X=

BY

(B)

X=

3y 2

8. Considere a fungao f definida por f(x) =In (3x) .lndique qual dos seguintes pontos pertence ao grafico da fungao f.(A) (e , e

+ In

3)

(B) (e , e In 3)

(C) (e, In 3)

(D) (e , 1

+ In

3)

9. Na figura estao representadas graficamente duas fungoes, f e g, definidas em IW par:f(x) = log 3 x

e

g(x) =- 2 + log 3 (x 2 ).y

X

0 grafico de f e de g intersectam-se no ponto I .Qual e a abcissa do ponto I ?

(A) 6

(B) 7

(C) 8

(D) 9

10. Na figura esta parte da representagao grafica da fungao f, de domfnio IW , definida par f(x) = In x (In designa logaritmo de base e).y

0

X

Os pontos A e C , que pertencem ao grafico da fungao f, sao vertices de um rectangulo [ABCO] , de Iadas paralelos aos eixos do referencial. As abcissas de A e de C sao 2 e 6, respectivamente. Qual e a area do rectangulo [ABCDJ ?(A) In 64

(B) In 72

(C) In 8 1

(D) In 93

156

Capitulo 2 -

Fu n~ilo

exponencial e fun~ilo logaritmica

OUESTOES PROPOSTASResposta abertaQuestoes saidas em Exames Nacionais

-

1. A pressao atmosferica de cada local da Terra depende da altitude a que este se encontra . Admita que a pressao atmosferica P (medida em qui lopasca l) e dada, em fun0) .----o--t------a- 8 a a +8

\f8 (a)

- ao intervalo

Seja C urn subconjunto de IR e a urn mimero real.Ponto de acumulac;ao

a diz-se ponto de acumulac,;ao de C se, e s6 se, em qualquer vizinhanc,;a de a existe pelo menos urn elemento de C diferente de a .

Ponto isolado

a diz-se ponto isolado de C se pertence a C e nao e ponto de acumulac,;ao de C .Considere-se a func,;ao

f

representada graficamente:

y

D1 = ]- 4, 3] U {4}

4 ---- ---- -2

4 e ponto isolado de D1 3 e ponto de acumulac,;ao de D1 - 4 e ponto de acumulac,;ao de D1 [- 4 , 3] e o conjunto dos pontos de acumulac,;ao de D1- 4:

3 4

X

-4

Repare-se que urn ponto de acumulac,;ao de urn conjunto pode, ou nao , pertencer ao conjunto. As func,;oes que vamos estudar tern por domfnio subconjuntos de IR sem pontos isolados. Assim, o conceito de limite e de continuidade de uma func,;ao num ponto diz apenas respeito a pontos de acumulac,;ao do domfnio. Em estudos mais avanc,;ados estudara os conceitos de limite e de continuidade de func,;oes que tern no seu domfnio pontos isolados.168

Capitulo 1 -limites

Defini(3Coloca-se em evidencia a potencia de x com maior expoente o

= x-lim +== +00 X

[K - 2 + _l_)J = (2 x5(2 - 0 + 0) = +00

Outro processo: Consiste na apl icac;ao do segui nte teorema:

0 limite de uma fun -oo

5x 4 + x2 + 1 2x+3

Sugestao de resoluc;ao

. I1mx --> +oo

2x2 + 1x-x 5

5.1

limX ->

5x2 - 3x

+oo

x2 + 7

(~)X ->

limX ->

(5x2) = 5

+oo

x2

5.3

limx --> - oo

4x 3 + 1 3x3 + x

5.2

limX ->

+ oo

5X + 3 2x 2

(~)

lim+oo

2X2

5x =

limX ->

+oo

__ = - 5 - = 0 2x + 00

5.3 lndetermina~ao

~~ surge no calculo do limite de fun(:6 es racionais resolve-se o

Quando a indeterminac;:ao

problema factorizando o numerador e o denominador e simplificando a frac c;:ao .

Exemplo 6

Fun~oes

racionais. 6.2 I1mx-

Verifica 6)(3 - 8 Calcule cada um dos seguintes limites: 6.1 lim ; + 27X -->- 3

Calcule cada um dos seguintes limites:

61 .

. I1m ~ x- - 1 x 2 -1

2

x 2 - 2x

x2 - 9

Sugestao de resoluc;ao

6.1

limX --> - 1

x+1 X2 - 1 x 2 - 2x)(3 - 8

(~(~

limx --> - 1

~

1 = lim - - = - {x - 1) x- - 1 x -1 2

6.2 limx2

x2 -

5x + 6 (x- 2) 3

6.2 limx2

0

0

-8

=limX --> 2

~ {x2 +2x +4)X~

2

2 2

44

80

=4+4+4=6

2

175

3. Limites e continuidade

Exemplo 7 Outras fungoesCalcule:7.1 lim3 rx~

Verifica 7Calcule cada um dos seguintes limites:7.1 I1m-2x~o

r;::, vx- v3

x-3

.

Vx

X +X

Sugestao de resolur;:ao7.1 lim x- 3 x ~ 3 Vx-

YJ

~)

lim

x ~ 3 (Vx-

(x- 3 ) (Vx+ V3)

YJ) (Vx+ VJ)

. x2 - 1 1.2 x 11m 1 x- 1 ~

I

I

= lim

x~3

(yJ)~+ V3) = V3 + V3 = 2 V3 ( )x-2

7.2 li m lxz - 41x~2

@lim I(x- 2) (x + 2) I =x~ 2

x-2

=lim lx-2llx+21 x~2 X- 2

laxb l = Ia! x lbl lx- 2! =x- 2 { -(x-2)se x> 2 se x< 2

li m lx-2llx+21 = x ~zX- 2

- I'

-X _!_.~-

- (0.

(0

) X+ 21 - -12 ) . 1lm

I

+

21 - - 4

-

Logo, nao

8XISte

lx2

-

x~ r

X-

41 2

5.4 lndetermina~ao 0 x ooEsta indetermina c;:ao transforma-se, normalmente, numa das anteriores .

Exemplo 8 Calculo de limitesCalcule cada um dos seguintes limites:8.1 x lim ~ o+8.2 . I1m

Verifica 8Calcule:8.1 limx -+ 1

(Vx x l)X

xZ - 1 1 ) (-2- x---::;--x-- X

x ~ +oo

x2 + 1 1 -- x -2 x2 -1

8.2 lim+x -+ 0

(1 x 0)X

Sugestao de resolu ga o

81 . 8.2

x ~ o+

. I1m

. . (3r- x -1) !Dxool 11m -Vx (%) 11m - = 11m fj1 vx = = . X x ~ o+ X x ~ o+ K x ~ o+ -=+= x2

gx-

x ~ +oo

. I1m

(- -1 x 2 + x - -) 1 2 x2 - 1

(oo x

= 01

x ~ +oo

. 1

1m

2x2

x 2 + 1 (:) =2

x ~ +oo

. 1

1m

x2 1 -=2x2 2

176

Capitulo 1 - Li mites

6. Limites de fun{:oes envolvendo exponenciais e logaritmosPara

a> l

:yx -+ -oo

lim ax=O

x -+ o+

lim loga X = - oo

x --+ +oo

lim ax= + 00

x --+ +oo

lim logax = + oo

0 levantamento de indetermina + oo

=}

1 y y -> 0

X

1

X

= 2 x lim In (y + 1) = 2 x 1 = 2 v-o y9.11

lim

~ @limx- 1

In (x - 1 + 1) =X-1

y=x -1

x- 1X -1

l X -> 1 =>

y ->0

= lim In (y + 1) = 1v- o

y

9.12

limx --5

In (x + 6) X+ 5

(! )

limx --5

In (x + 5 + 1) = X+ 5

y= X+ 5

I

X --+-5 = }

y --+0

= lim In (y+ 1) = 1 v- o y In (3x) (~) . . I1m - - - = 1 1mX -+ +OO

9.13

X

y -+ +oo

=3

v- +oo

In y . I1m - - = 0

In y 1 -y 3

y=3x

~

x=

3y

1

x --+ +oo

=> y --++oo

y

. 914

x- o+

!Oxl- ooll .m I . 1 1m -1 In -= I1 x n x = 1

v-+oo y

y

In y. =1m-Iv-+ oo

1

1 y= -

X

~

X=-

1

y

y

x-

o

=> y -

+ oo

limv-+oo

- In y =- lim In y =- 0 = 0 y v- +00 ye 2x -

9.15

x- o In (3x+ 1)

lim

1

Qo) (-

. (e x-1 2/< 3x ) = J~o 2x x 3/< x In (3x + 1) =2

2 . e 2x - 1 3x =- x 11m x lim 3 x-o 2x x- o ln(3x +1)

= 1. x 1 x 1=1.

3

3

179

Teo ria Capitulo 2- Continuidade 1. Continuidade de uma fun-;ao num ponto1.1 Definic;aoConsidere a func;:aoy

f

com a seguinte representac;:ao gnifica: Note-se que:

0

a

b

J(\'

a func;:ao f nao esta definida para x = a , apesar de a ser urn ponto de acumulac;:ao do dominio de f j(b) -:t lim j(x)x ----> b

'

'

lim j(x) nao existex ---->c

c

d

X

limX ---+

d

f (x)

nao existe

A fuw;;ao f e descontfnua em cada urn dos pontos b , c e d e continua em todos os outros pontos do dominio.

Continuidade num pontoSeja

f

uma func;:ao definida num intervalo aberto ]a, b[ e seja c E ]a , b[.

Entao,

f e continua em

c see s6 se lim j(x)X---+ C

=j(c).

Exemplo 1 Continuidade de uma fun gao num pontoVerifique se a func;:ao f, a seguir definida,

Verifica 1x=0.Verifique se a fungao f, a seguir definida, 8 continua no ponto x= 0.

e continua no ponto

f( x) =

1

Vx

x

se x > 0

x2 + x se x o;;;; 0f(x)=

e2x _ 1 { e 2x + 1x

sex< 0 sex;;;:, 0

SugesUio de resolu+oo

lim

eY= + oo yf.

A recta de equac;ao x = 0

e uma assimptota vertical do grafico de1

Assimptotas nao ve rticais : y= mx+ b m= f(x) I 1m - =. . 1 1m

x ---++ oo

X

x-+oo

I e" -----y-=11\

b=

limX ---++ 00

(f(x}-mx)=

limX ---+ +00

(x e~ -x) =

=limX ---> +00

[x(e~ -1)] =

limX--->+00

=e~ 1 1 X

= 1 porque lim eY- 1 =1y--->0

y

Quando x ---+ - oo sao obtidos os mesmos resultados. A recta de equac;ao quando x---. oo.5.2 g (x)

~ ___J-----fV=1

y= x + 1

e uma

assimptota do grafico de

'\

= In x2x

0 9 = IW = ]0 , + oo[ e gAssimptotas vertica isX ---> 0+

e contfnua .

1m g (x) = I.

1

X --->0+

In x - oo 1m - - = - - = - oo 2X o+.

A recta de equac;ao x = 0 Assimptot as nao v erticais

e uma assimptota do grafico depois Dg

g.

Apenas poderao existir quando X---++ riormente. Como limx --->+ 00

00

e limitado infe-

g(x) =

limX --->+ 00

In x = ..!_ x 2x 2

limX--->+00

In x = ..!_ x 0 = 0 X 2 'g quando

{~ =1

a recta de equac;ao y = 0 X ---+ +oo .

e uma assimptota do grafico de

I

V=O

186


,.,

OUESTOES RESOLVIDASEscolha multiplaOuestiies said as em Exames Nacionais

1.

limX -+ + oo

(2x5 e- X )

e:(B) 0

(A) - oo

(C) 2

(D) + oo

Sugestao de resoiUI;;ao

limx -+ + oo

(2x 5 e- ") = 2 x =2 x

x-

lim

+oo e x

~

=

x-

lim

+oo

~ exs

1 =2 X - - = 2 X 0=0 +oo

Resposta: (B) . 2. lnd1que o valor de(A) 0(B)resolu~ao

x - o+

. log 2 x l1m - ex - 1(C) - oo

(D) + oo

Sugestao de

lim logz x =- oo =- oo x- o+ e x - 1 o+ Resposta: (C)

x-

lim

o+

(e- 1) = o+

3. Na figura esta representada parte dos graficos de duas funv6es f e g, continuas em IR .y

0

X

0 grafico de f intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa 3.. I d In d 1que ova or e(A) - oox-3

1 g (x ) 1m_ -f ( )X

(B) + oo

(C) 0

(D) 1

Sugestao de resolu~aox -+ 3-

lim g(x ) =a E IW e

x -+ 3-

lim f(x) = o+dado que a> 0 .

. g (x) Entao, x ~~ - f (x)

= Q+ = + oo ,

a

Resposta: (B )

187

3. Lim ites e continu idade

OUESTOES RESOLVIDASEscolha multiplaOuestoes saidas em Exames Nacionais

4. Para um certo valor de k,f(x) =

e continua em

IR a fungao f definida par:

Qual

e0

l

0In (x + k)

se

x~ O

(In designa logaritmo de base e) se x > O valor de k?(B) 0

(A) - 1

(C) 1

(D) 2

Sugestao de resolm;ao

lim f (x) = 0 = f(O) x-ox -o+

lim f( x ) = lim In (x + k) =In kx ---+ o+

f

e continua em

IR

=>::::::>

f

e continua em

X=

0

::::::> ::::::>

x ~ o

lim f(x) = f(O)

::::::>

In k = 0

k= 1

Resposta: (C) 5. De uma fungao f, de domfnio [- 4, 5] e continua em todo o domfnio, sabe-se que: f( - 4) = 6 ; f(2) = - 1 ; f(5) = 1 ; f f

e estritamente decrescente no intervalo [- 4' e estritamente crescente no intervalo [2 , 5] .(B) (C) 2 (D) 3

2] ;

Ouantas solug6es tem a equagao f(x) = 0?

(A) 0

Sugestao de resolu~rao

Na f igura apresenta-se o grafico de uma fun c;:ao f que satisfaz as condi c;:6es apresentadas. Verifica-se que a equa c;:ao f (x) = 0 adm ite duas soluc;:6es . Resposta: (C)6. Seja f a fungao de domfnio ]- 4,

+ =l definida por:f(x) = x + log 4 (x + 4).

Em qual dos intervalos seguintes de pelo menos um zero?(A) [- 3, - 2]

e possfvel garantir, pelo Teorema de Bolzano, a existencia(C) [0, 41(D) [4, 12]

(B) [- 2, 0]

Sugestao de resolu~rao

no seu dominio, isto e, em l- 4 , + =I . + log 4 (- 3 + 4) =- 3 + log 4 1 =- 3 + 0 =- 3 1 3 f(- 2) =- 2 + log 4 (- 2 + 4) =- 2 + log4 2 =- 2 + 2 = - 2 f (O) = 0 + log 4 4 = 1ff (- 3) =- 3f (- 2)

e continua

x f(O) < 0

Resposta: (B)

188


OUESTOES RESOLVIDASEscolha multiplaOuestiies saidas em Exames Nacionais

-

7. Sejam f e g duas func;;:6es de domfnio IR . Sabe-se que: 0

grafico de g lim

e uma

recta, que designamos par s;

(f(x) - g(x)) = O.

X--++00

Qual das afirmag6es seguintes(A) A recta (B) A recta(C) A recta

e necessariamente verdadeira?

ss

e tangente ao grafico de f. e secante ao grafico de f. e uma assimptota do grafico def.

s nao intersecta o grafico de f. s

(D) A recta


Se

limX --+ +00

{f(x)- g(x)) = 0, sendo f continua em IR eo grafico de g uma recta s , entao a

recta s

e uma assimptota do grafico de

f.

Resposta: (D)

8. 0 grafico da fungao f, de domfnio IR , definida par f(x) = 0,1

+ 0,2 e 0 3 x

,

tem uma (mica

assimptota. Qual das condig6es seguintes(A ) y = O(B) y = 0,1

e uma equagao dessa assimptota?(C) y = 0,2(D) y = 0,3

Sugestao de resolu~aox-

lim

- oo

f(x) =

limx --+ - oo

(0, 1

+ 0 ,2 e0 3x) =

0,1

+ 0,2

x e- = = 0,1

+ 0,2 x

0 = 0,1

A recta da equa 2}::::}

X=0V x =3

Como f e descontfnua em X = 2 e necessari a estudar 0 sinal das derivadas latera is neste ponto para avaliar a existencia de extrema.

f' (2- } = lim f' (2+} = lim

f(2 f( 2

+ h) - f(2}h

=

limh ~ o-

(2(2

+ h}

3 -

h ~ o-

h

4 3- 1 =-=-00

o-

+ h) h

f( 2 } =

limh ~ o+

+ h- 3} 2 h-

1

h ~ o+

= h I. o + 1m ~

h2

-

2h + 1 - 1

h

= h I" o+ f) (h- 2} 1m t!. ~ f'

-- 2

As derivadas laterais no ponto 2 nao mudam de sinal. Logo, f(2} nao e um extre m a.X

- 00

0

2

3

+=

3x2 2(x-3) f'(x) f(x)

+

0

+-

0 0 0Mfn.

+ +

+

0

+

-

/

-3

/y

1

~

/

e estritamente crescente em ]- oo , 2[ f e estritamente decrescente em [2 ' 3] ; f (3} = 0 e um mfnimo relativo .f

e em [3 , + oo [ ;

227

4. Derivadas

6. Aplicac;oes da segunda derivada de uma func;aoChama-se segunda derivada de uma func;;ao derivada de J' . Nota-se por j 11 Por exemplo Se f (x) = .il + x vem f' (x) = 3x2 + 1 e j11

f

(ou derivada de ordem dois) a func;;ao

(x) = 6x

Se f (x) = e2x + x 2 vem f' (x) = 2e2x + 2x e f" (x) = 4e2x + 2 Veremos de seguida algumas aplicac;;oes da segunda derivada.

6.1 Concavidades e pontos de inflexao do griifico de uma fun~ao0 ponto (c,

f

(c)) do gnifico c;

f e urn ponto de inflexao se sao verificadas as seguintes condic;;oes:

f e continua em

existe um intervalo aberto ]a, b[ , contendo c, de tal modo que o grafico de f tern a concavidade voltada para baixo em ] a , c[ e a concavidade voltada para cima em ] c , b [ ou vice-versa.

y yConcavidade vo ltacla para cima

y

~'

y0X

0

X

0

X

Seja

f

uma fum;:ao derivavel em ]a, b[ . 0 grafico de

f

tem:

f' e crescente; a concavidade voltada para baixo, se f' e decrescente. a concavidade voltada para cima, se A monotonia de uma func;;ao f, num intervalo em que f e derivavel, esta relacionada com o sinal de f' nesse intervalo e a monotonia de f' esta relacionada como sinal de f" .

Se a segunda derivada de f , f

11 ,

existe num intervalo aberto E = ]a , b [ , en tao o grafico de

f:

tern a concavidade voltada para cima em E , se tem a concavidade voltada para baixo em E , se

f

> 0 , \1 x E E ; f" (x) < 0 , \1 x E E .11

(x)

228

Capitulo 1 - Derivadas

Exemplo 16 Concavidade do graticoEstude as seguintes fungoes quanto ao sentido da concavidade do grafico e quanto a existencia de pontos de inflexao.16.1 f(x) = (x2 16.2 f (x) =-

Verifica 16Estude as seguintes fungoes quanta ao sentido da concavidade do grafico e quanta aexistencia de pontos de inflexao.16.1 f(x) =;+In x x+2 16.2 g(x)=-x 2-

3x + 4)

e

xz

2

- In x

Sug esta o de reso lus;:a o16.1 f(x)=(x 2 -3x +4)ex ;

e

D, =IR

f' (x) = (x2 - 3x+ 4)' ex+ (x2 - 3x+ 4) (e")' =

= (2x- 3)= (2X - 3

e

+ (x 2 - 3x + 4)2 -

e

=2 -

+X

3X + 4) ex= (x

X+ 1) ex

f" (x)

= (X2 -

X + 1) ' ex + (x2 - X+ 1 ) (e")'-

=

= (2X- 1) ex+ (X2 = (2x- 1 + Xf" (x) = 0 ::::::> (x2::::::> ::::::>2 -

X+ 1) ex=

X+ 1)

e = (x2 + X) ex::::::> ::::::>

+ x)

e=0

X (X + 1) ex = 0

X= 0 V X+ 1 = 0 V

e =0

X=OVx=-1

X

-00

-1+.....___...,

0-

+oo +.....___...,

f"(x) f(x)

0-8

04

,r--....

e

A concavidade do grafico de f

e:

- voltada para cima em 1 oo , - 1) e em [0 , + oo[ - voltada para baixo em [- 1 , 0) Pontos de inflexao: (- 1 ,16.2 f(x) =

~)

e (0, 4)

xz

2

-In x; D, = IW

f' (x) = x- l

X

f" (x) = 1 + _l_

x2

f" (x) > 0 , V x E IW => a concavidade do grafico de f cima em todo o domfnio .

e voltada para

0 grafico de f nao tem pontos de inflexao.229

4. Derivadas

Combinando os sinais de f' eSinal de f' e f"f' (x) > 0 f"(x)>O f'(x) > 0 f"(x) < 0 f' (x) < 0 f"(x) >0 f' (x) < 0 f" (x) 0

f( 1) =- 2;Logo, 2

e um maximo re lativo de

f e - 2

e mfnimo relativo de

f.

230


7. Estudo de fun~oes0 grafico de uma fun X = -

1

-!+\-

- v--...._1

Sinal de g " e concavidades do grafico de g :X

- 1-

1

g"(x) g(x)

0

+'-..__.../

0

-

,---......

P.l.

P.l.

,---......

0 grafico de g tem a concavidade voltada para ba ixo em ]- oo , - 1] e em [1 , + oo[ e voltada para cima em [-1, 1] . Resposta : (C)

16. Seja f uma fungao de domfnio IR .

Sabe-se que a primeira e a segunda derivadas de f sao negativas em IR . Em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do grafico da fungao f?(A)

(B)y

(C)

(D)

242

Capitulo 1 - D erivadas

,..,

QUESTOES RESOLVIDASEscolha multiplaQuestiies saidas em Exames Nacionais

Sugestao de resolu\=ao

Como a primeira derivada de f

e negativa em

IR , f e estritamente decrescente em IR .

Sabendo que a segunda derivada de f tambem e negativa em IR podemos concluir que o grafico de f tem a concavidade sempre voltada para baixo. Resposta: (A)

17. Seja f uma func;ao de domfnio IR .

Na figura esta representada parte do grafico de f" , segunda derivada da fun c;ao f.y

X

Relativamente ao grafico da fu n\=ao f qual das afirma c;6es seguintes(A) 0 ponto de abcissa(B) 0 ponto de abcissa

e verdade ira?

ac

e um ponto de inflexao. e um ponto de inflexao.

(C) A concavidade esta vo ltada para baixo no interva lo [0 , b] .(D) A concavidade esta sempre voltada para cima.


Sinal de f" e concavidade do grafico de f:X

a

b

c-

f"(x) f(x)

+'-......-/

0

+'-......-/

0

0

+'-......-/

P.l.

,.--.....

P.l.

0 ponto de abcissa Resposta: (B)

c e um ponto de inflexao.

243

4. Derivadas


-

1. Uma nova empresa de refrigerantes pretende lan0

=> =>

9 (0,06e 006 x- 0,06e- 0061

>0

=>

0,06e 006x - 0,06e- 006 x < 0 =>

=>

0 06 e x

< e- 006 x

=>

0,06x

X 24 ,

a ponte ficaria totalmente submersa .

6.3 As abcissas de A e 8 sao zeros de f:f(x) = 0=> => =>

36- 9 (e0,06x + e-0,061 = 0

=>

4-

e 0,06x - e - 0,06x

=0

=>

4-

e 0,06x -

_1- = 0 8 o.o:x

=> =>

) eo.osx O , \:1

*

X

E 0,

4 eo.06x _ (eo.o6x) _ 1 = 0 (e0,06x)2 -

=>

4e0,06x + 1 = 0

=>

e 0,06x

= 4

~

=>

e 0,06x

=2

V3

=>

0,06x = In (2 X=

1./3) vVX=

0,06x = In (2 + In (2 + 0,06

1./3) X=-21,95 V X=21,95(2 c. d .)

In (20,06

1./3)

1./3)

=>

A distancia de A a 8 entre 43 e 44 metros.

e aproximadamente

2 x 21,95 = 43,9 metros, va lor compreendido

7. De uma funvao f, de domfnio IR , sabe-se que a sua derivada

e dada por:

f' (x) = (x + 1)

e-

1Ox

Seja A o (mico ponto de inflexao do grafico de f. Recorrendo as capacidades graficas da sua calculadora, determine a abcissa do ponto A , arredondada as decimas. Explique como procedeu . lnclua, na sua explicayao, o(s) grafico(s) que obteve na calculadora.

250

Capitulo 1 - O erivadas

,..,


Sugestao de resolu!fiio

f' (x)

= (x + 1) e- 1Ox ;

0 1. = 0 1 = IR

Como f admite derivada finita em todo o domfnio, a abcissa do ponto de inflexao do grafico de f sera o valor de x para o qual f' admite um extrema . lntroduzindo na calculadora grafica a func;:ao y1 = f' (x) obteve-se o grafico que ao lado se esboc;:a e, recorrendo a ferramenta adequada verificou-se que f' e minima para x = 1,15 . Logo, a abcissa do ponto A , ponto de inflexao do grafico de f, e 1,2 (com aproximac;:ao as decimas). Em alternativa, poderfamos determinar a expressao analftica de f" (x) , verificar, recorrendo a calculadora, que f" (x) = 0 x = 1,15 e que f" muda de sinal neste ponto:

J'

f" (x)

= ex + (x + 1) e=

- 10 =

ex (x + 2) - 10

De ig ual modo se concluiria que a abcissa do ponto de inflexao do grafico de f e 1,2 .

8. Num laborat6rio, foi co locado um purificador dear.

N um determinado dia, o purificador foi ligado as zero horas e des ligado algum tempo depois. Ao Iongo desse dia, o nfvel de poluic;:ao do ar diminuiu, enquanto o purificador esteve ligado. U ma vez o pu rificador desligado, o nfve l de poluic;:ao do ar comefou de imediato a aumentar. Ad mita que o nfvel de poluic;:ao do ar no laborat6rio, medido em mg/1 de ar, as t horas desse dia, pode ser dado por:P(t) = 1 - In (t + 1 ) , tE [0, 24] (In designa logaritmo de base e)

t+1

Nas duas alfneas seguintes, sempre que, nos calcu los intermedios, proceder a arredondamentos, conserve, no mfnimo, tres casas decimais.

8.1 Qua l e

0

nfvel de poluic;:ao a uma horae trinta minutos da tarde?

Ap resente o resultado na unidade considerada, arredondado as decimas.

8.2 Sem recorrer a calculadora, a nao ser para efectuar eventuais calculos numericos, resolva o seguinte problema:Quanta tempo esteve o purificador dear ligado?

Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados as unidades) .

251

4. Derivadas

QUESTOES RESOLVIDASResposta abertaOuestoes saidas em Exames Nacionais

Sugesti'io de resolur;ao

p (t) = 1 _ In (t + 1) t+ 18.1. Uma hora e trinta minutos da tarde corresponde a 13,5 horas .

P(13 5) = 1 - In (13,5 + 1) "" 0 8 ' 13,5 + 1 '

A uma

hora e trinta minutos da tarde, o nfvel de poluigao

e de cerca de

0,8 mg/1 de ar.

8.2 0 tempo que o purificador de ar esteve ligado corresponde ao intervalo de tempo em que P decrescente .

e

Estudemos a monotonia de P: P'(t) =O - (ln(t+ 1))'(t+ 1)-ln(t+ 1Ht+ 1)' = (t + 1)2 1 - -(t+1)-ln(t+ 1) t+ 1 (t + 1)2 -1+1n(t+1) (t+Wt;;. 0

P ' (t)=O

=:::>

-1+1n(t+1)=0 In (t+ 1) = 1=>

=:::>

=> => =>

t+ 1 =et=e-1

=>

Sinal de P ' e variagao de P :X

0-

e- 1

24+

P'(x) P(x)

0

"\.

Min.

/

Pp

e decrescente em e minima para

[0 , e- 11 e crescente em [e- 1 , 241

t= e -1 "" 1,718

1,71 8 horas "" 1 h 43 m in

I 0,71 8x 60=43,08

0 purificador dear esteve ligado durante 1 h 43 min .

252

Capitulo 1 - D erivadas


-

9. Considere a fungao f, de domfnio IW , definida par

f(x) = 2x - x In x

(In designa logaritmo de base e)

Utilize metodos exclusivamente analfticos para resolver as tres alfneas seguintes:9.1 Determine a abcissa do ponto de intersecgao do gratico de f com o eixo Ox. 9.2 Estude f quanta

a existencia de assimptotas nao verticais do seu

gratico.

9.3 Na figura esta, em referencial o. n. xOy, parte do gratico da func,;ao f.

y

A

0

X

A recta r, tangente ao gratico de f no ponto de abcissa 1 , intersecta o eixo Oy no ponto 8 e o eixo Ox no ponto A . Determine a area do triangulo [AOBJ . Sugestao deresolu~tao~x >O

9.1 f(x)=O

2x-xlnx=O

~

x(2- ln x)=0

~ 2 - In

x=0

~ In

x= 2

~

x = e2

9.2 D,= ]0 , + oo[

Seja y= mx+ b a equagao da assimptota do gratico de f quando x -- + oo . m = limx-+oo

f(x) = limXx+oo

2x- xln x =X

= limx-

+oo

(2 - In x) =- oo

Logo, o gratico de f nao tem assimptotas nao vertica is.9.3 Seja y= mx+ b uma equagao da recta r .

m = f' (1) = 1 -In 1 = 1 - 0 = 1Ponto de tangencia: (1 , 2) dado que f( 1) = 2- 1 x In 1 = 2 Substitu indo em y=mx+b, vem 2=1 x 1 +b~

f'(x)

=2-(lnx+xx~)= 2-lnx-1= 1 -In X

b=1

y= x + 1

e uma equagao deOA x 082

r

A recta r intersecta Ox no ponto de abcissa - 1 e Oy no ponto de ordenada 1 . Assim, A, 1 1 = Aoa 1X 1 1

2

2

253

4. Derivadas

QUESTOES RESOLVIDASResposta abertaQuestiies saidas em Exames Nacionais

-

10. Ao ser lanvado, um foguetao e impulsionado pela expulsao dos gases resultantes da queima de combustive! numa camara. ~

" Desde o arranque ate se esgotar o combustive!, a velocidade do foguetao, em quil6metrosg' par segundo, e dada par: iv(t) =- 3 In (1 - 0,005t) - 0,01t(In significa logaritmo de base e).

"

A variave l t designa o tempo, em segundos, ap6s o arranque.10.1 A massa inicial do foguetao e de massa do combustive!.

150 tone ladas, das quais 80% correspondem a

Sabendo que o combustive! e consumido a taxa de 0,75 toneladas par segundo, justifique que tE [0, 160].10.2 Verifique que a derivada da funvao v, no intervale [0, 160], e positiva e conclua qual e a velocidade maxima que o foguetao atinge neste intervale de tempo. Apresente o resultado em quil6metros par segundo, arredondado as decimas. Sugestao de resoluc;ao 10.1 Massa inicial do foguetao : 150 toneladas.

c. a.Tempo(em segundos)

Massa inicial do combustive!: 150 x 0,8 = 120 toneladas. Em cada segundo sao consumidas 0,75 toneladas de combustive!. As 120 toneladas sao consumidas em

Massa(em toneladas)

120 = 160 segundos. 0 ,75X=

X

0,75 120

Como t designa o tempo, em segundos, ap6s o arranque, tem-se t> 0. Podemos assim concluir que t E [0 , 160] .10.2 v' (t) = [- 3 In (1 - 0,005t)- 0,01 t]'=-

120 X 1 0 75

-0,005 3 1 - 0,005t- 0 ' 01 =

0,015- 0,01 + 0,000 05t 1 - 0,005t 0,005 + 0,000 05t 1 - 0,005tAtendendo a que:

0,005 + 0,000 05t> 0, 'II tE IRQ'" 1-0,005t>O0 , Vx E[O , 10]0 sinal de h' (x) depende do sinal de 8x - 40.

~

/

h h

e decrescente em [0 , e minima para X= 5.

5] e crescente em [5 , 10] ;

Podemos, portanto, co ncluir que a altura da rampa e m1 n1ma no ponto x = 5 , isto ponto que dista 5 m da parede A e, co nsequentemente, 5 m da pa rede B.

e,

no

255

4. Derivadas

,.,


11 .3 h (5- x)

= 15- 4 In (- (5- x)2 + 10 (5- x) + 11) ==

15- 4 In (- (25- 1 Ox+ .x2) +50- 1Ox+ 11 ) = 15- 4 In (- x2 + 36) 4 In (- (5 + x) 2 + 10 (5 + x) + 11) =(- x2 + 36)

h (5 + x)

= 15 -

= 15- 4 In (- (25 + 1Ox+ x 2 ) +50 + 1Ox+ 11 ) = 15- 4 In:. h (5 - x) = h (5 + x ) , V x E [0 , 1OJEsta igualdade sign ifica que os pontos da rampa sit uados (ponto de altura mfnima) estao a mesma altura.

a mesma distancia do ponto central

12. Prove que, para qualquer fungao quadratica g, existe um e um s6 ponto do gratico onde a recta tangente e paralela a bissectriz dos quadrantes fmpares.

Sugestao de

resolu~ao

Seja g uma func;ao quadratica . Entao, g(x) = ax2 + bx + c com a, b, c E IR e a :;t: 0 .A bissectriz dos quad rantes fm pares (recta de eq uac;ao y = x) t em declive 1 .

Pretende-se, portanto, provar que existe um e um s6 ponto do grafico de g onde a recta tangente tem declive 1 , ou seja, pretende-se provar que existe um e um s6 x E IR tal que g'(x) = 1 .

g (x) = a.x2 + bx + cg'(x)

(a , b , c E IR e a :;t: 0)

= 2ax+ b,

V x E IR

g'(x) = 1

2ax + b =

1

1 b 2ax = 1 - b x = -- -

2a

Como a :;t: 0 , a soluc;ao da equac;ao g' (x) = 1 existe e (mica pelo que o grafico de g tem um e um s6 ponto onde a recta tange nte e para lela a bissectri z dos quadrantes fmpares .

e

13. Seja f uma func;ao de domfnio IR , com derivada finita em todos os pontos do domfnio, e crescenta.

Sejam a e b dais quaisquer numeros reais. Considere as rectas r e s, tangentes ao grafico de f nos pontos de abcissas a e b, respectivamente. Prove que as rectas r e s nao podem ser perpendiculares.

Sugestao de resolu~aoOs declives das rectas r e s , tangentes ao grafico de f nos pontos de abcissas a e b sao, respectivamente, iguais a f' (a) e f' (b) . Como f e uma func;ao de domfnio IR com derivada finita em todos os pontos do domfnio, e crescente, podemos conclu ir que f' (x) ;;;;:: 0 para todo x E IR e que, portanto, f' (a) x f' (b);;;;:: 0 . Podemos, assim, concluir que r e s nao podem ser perpendicu lares por nao se verifica r a cond ic;ao f' (a) x f' (b) = - 1 , quaisquer que sejam os numeros reais a e b .r

r j_

S :::>

d, X d5 = - 1

256

Capitulo 1 - De rivadas

QUESTOES PROPOSTASEscolha multiplaQuestiies saidas em Exames Naciona is

-

1. Na figura ao lado esta a representac;:ao grafica de uma func;:ao g.Podemos entao conc luir que:(A) g' {1) = 0

(B) g' {1) =+ oo(D) g' {1) nao existe

(C) g ' {1) = 1

\I~.0 lX

2. Na figura estao representadas: parte do grafico de uma func;:ao f derivavel em IR ; uma recta

y

r

tangente ao grafico de f no ponto de abcissa 3 .

1

0 va lor de f' {3) , derivada da func;:ao f no ponto 3 , pode ser igua l a:(A) - 1 (B) 0 (C) f{ ) 3

1

(D) 1

0

3

X

3. Considere uma func;:ao h de domfnio IW .A recta de equac;:ao y =- 2

e assimptota do grafico dex-

h.

Seja h' a fun c;:ao derivada de h . lndique qua l dos seguintes pode ser o valor de lim+oo

h' {x) .

(A) 0

(B) -2

(C) + oo

(D) - oo

4. Na figura ao lado esta a representac;:ao grafica de uma fun c;:ao h e de uma recta t, tangente ao grafico de h no ponto de abcissa a.

y

3 - -- -- --- - - - -- ------- - - - ----

A recta t passa pela origem do referencial e pelo ponto decoordenadas {6 , 3) .

0 valor de h' {a)(A) 1

e:_!_6(C)

2

(B)

_!_3

(D) 1

2

5. Seja g : IW - IR a func;:ao definida por g{x) = In x .No grafico da func;:ao g existe um ponto onde a recta tangente fmpares. Qual

e paralela a bissectriz dos quadrantes

e a abcissa desse ponto?(B) 1

(A) 0

(C) e

(D) In 2

6. Seja f a fun c;:a o definida em IR por f{x) = 4 + In x {In designa logaritmo de base e).Sabe-se que a recta tangente ao grafico de f, num certo ponto P,

e para lela a recta

de equac;:ao

y=3+2.Qual(A) 3

X

e a abcissa de

p?

(B) 4

(C) 5

(D) 6

257CAESMA 12- 17

4. Derivadas

OUESTOES PROPOSTASEscolha multiplaQuestiies saidas em Exames Nacionais

-

7. Na figura estao representadas: parte do grafico da fungao g, de domfnio IR definida par g(x) = uma recta r tangente ao grafico de g, no ponto de abcissa a . A inclinagao da recta(A)

y

V3x

2

g-

1;

r e 60 . lndique o valor de2(D)

a.

y'34

(B)

y'3

..!_2

8. Para um certo numero real a , o grafico da fun gao g, definida par g (x) = ax 2 + 3 , tem, no ponto de abcissa 1 , uma recta tangente com declive 4 .

Qual e o valor de(A) 4

a?(D)

(B) 2

l

2

9. Sendo f a fungao definida par f(x) =X' , a expressao analftica de f' e:(A) x"

(B)

xe- 1

(C) ex" - 1

(D)

X9

In

X

10. Um projectil e langado verticalmente de baixo para cima. Admita que a sua altitude h (em metros). expressao h (t) = 100t- 5t 2

t segundos ap6s ter sido langado, e dada pela

Quale a velocidade (em metros par segundo) do projectil, dais segundos ap6s o langamento?(A) 80(B) 130

(C) 170

(D) 230

11 . Na figura ao !ado esta uma representagao de g' , derivada de uma certa func;:ao g . A func;:ao h e definida par h(x) = g(x) + 1 . Nestas condig6es, uma representagao grafica de h' , derivada de h , pode ser:(A)X

y2

(B)

yX

X

(C)y 3

(D)

0

X

X

12. Considere a fungao h tal que h (x) = e2x (A) 0 (B) 1

1

0 valor de h' (1) e:(D) 2e

(C) e

258


QUESTOESPROPOSTASEscolha multiplaOues1iies saidas em Exames Nacionais

,..,

13. Seja f uma func;ao de domfnio IR .

Sabe-se que a sua derivada, f' , Relativamente

e tal que

f' (x) = x- 2 , V x E IR .

a func;ao

f, qual das afirmac;6es seguint es(B) f

e verdade ira?IR .

(A) f

e crescente em

IR .

e decrescente em

(C) f tem um mfnimo para x= 2.14. Se a representac;ao grafica de uma func;ao g

(D) f tem um maximo para

x= 2 .

e:

entao a representac;ao grafica de g' pode ser:(A)-----Q

(B)

(C)y

(D)

y

y

- 1:

0

:1

X

-1

X

-1:

0

:1'

X

-1 0

X

15. Na figura ao !ado esta a representac;ao grafica de uma func;ao f .

y

0 eixo Ox

e tangente a curva(B)y

representativa do grafico de f .X

A representac;ao grafica de f' pode ser:(A)

(C)

(D)y

y

X

v'

y

0

2

X

2

X

X

16. Seja g uma f unc;ao contfnua de domfnio IR .

Sabe-se que:

g tem mfnimo absoluto igua l a 3 , para x = 2 ; g tem maximo absoiut o iguai a 7, paraX=

5.

Qual das afirmac;oes seguintes(A) (C)

e necessariarnente verdadeira?(B) 0 contradomfnio de g (D)

g

e crescente em

[2 , 5] .

e

[3 , 7] .

g tern derivada nula em x = 2 e em x= 5 .

g tern pelo rnenos urn zero .259

4. Derivadas

OUESTOES PROPOSTASEscolha multiplaOuestiies said as em Exames Nacionais

-

17. De uma func;ao f sabe-se que a sua derivada

e a func;ao definida em

IR por f' (x) =ex- 1 .

Qual das seguintes afirmac;6es(A) f

e verdadeira?(B) f

e estritamente crescente.

e estritamente decrescente .

(C) f tem maximo absoluto .

(D) f tem mfn imo absoluto .

18. Na figura esta parte da representac;ao grafica de uma func;ao f, polinomial do te rceiro grau.

y

Seja f" a segunda derivada de f . Qual dos valores seguintes pode ser soluc;ao da equac;ao f'' (x) = 0 ?

(A) 0 (C) 2

(B) (D) 3

19. Na figura ao Ia do esta representado o grafico de g'' , segunda derivada de uma certa func;ao g.

y

g"0X

Qual dos graficos seguintes pode ser o da func;ao g?(A)y

(B)yX

(C)y

(D)

20. Seja f uma func;ao de domfnio IR e

a um ponto do domfnio de f tal que f' (a) = 0 .

Qual das afirmac;6es seguintes(A)(B)

e necessaria mente verdadeira?

(C) (D)

e zero de f . f(a) e extrema relativo de f. (a, f(a)) e ponto de inflexao do grafico de f. A recta de equac;ao y = f(a) e tangente ao grafico dea

f.

21 . Considere a func;ao f. de domfnio IR, definida par f(x) = (x- 5) 3

.

Qual das afirmac;6es seguintes

e verdadeira?x =- 5 .

(A) A func;ao f tem um extrema relativo para x = 5 .(B) A func;ao f tem um extrema relativo para

(C) 0 grafico da func;ao f tem um ponto de inflexao para x = 5 .(D)

0 grafico da func;ao f tem um ponto de inflexao para x =- 5 .

260



-

1. Uma n6doa circular de tinta e detectada sabre um tecido. 0 comprimento, em centfmetros, do raio dessa n6doa, t segundos ap6s ter sido detectada, e dado por:r(t)=

1 + 4 t (t;;;,.O) 2+t

1.1 Calcule r(O) e

t-

lim

+oo

r(t) e diga qua l eo significado ffsico destes valores.

1.2 Esboce o grafico de r, tendo ja em conta que, no domfnio indicado, a func;:ao derivada pos it iva e segunda derivada negativa.

r tem primeira

. . 1.3 D. qua I eo s1gn1.f . d o d o 1 . tga tca 1m1te1.4 Calcule, com aproximac;:ao igual a 30 cm 2 .

t~

11m

r(t) - r(O)

o+

t- 0

e d etermtne-o.

a decima

do segundo, o instante t para o qual a area da n6doa e

2. Pretende-se ligar uma fabrica F a uma central de tratamento de resfduos C , por meio de uma conduta, conforme a figura. A conduta deve segu ir ao Iongo de um muro, ate um certo ponto 8 , e daf deve seguir em linha recta ate a central de tratamento. Designou-se par A o ponto do muro mais proximo da central de tratamento. A distancia da fabrica ao ponto A e de 4 km e a distancia deste ponto a central e de 2 km . Designou-se por x a distancia entre A e 8 (em quil6metros). 0 prec;:o de colocac;:ao da conduta e:\+--- - - 4km rnuro F~

A

c

15 mil euros par qui l6metro, ao Iongo do muro; 25 mil euros par qui l6metro, do muro a central de tratamento .2.1 Mostre que o prec;:o de co locac;:ao da conduta, em milhares de euros, e dado, em func;:ao de x, por: 2p(x) =

60- 15x+ 25 Yx + 4

(x E ]0, 4 [)

2.2 Determine o valor de x para o qual o prec;:o de colocac;:ao da conduta e mfn imo. 3. 3.1 Seja g uma func;:ao, de domfnio IR , cuja expressao analftica e um polin6mio do quarto grau, que tem uma raiz dupla x0 . Prove que o eixo Ox e tangente ao grafico de g no ponto de abcissa x0 .

Sugestao: Tenha em conta que, se x0 e uma raiz dupla do polin6mio que define a func;:ao g, en tao te m-se g (x) = (x- x 0 ) 2 (aXL + bx + c). 3.2 0 polin6m io A(x) = x 4 - 7x 3 + 7x 2 + 15x - 6 tem quatro rafzes reais distintas. Recorrendo a sua calcu ladora, determine, com aproximac;:ao as decimas, o numero real positivo k para o qual o pol in6mio 8 (x) =A (x) - k tenha tres rafzes rea is distintas. Expl ique como procedeu . Na sua explicac;:ao, deve incluir o(s) grafico(s) obtido(s) na sua calculadora, bem como coo rdenada(s) que considere re levante(s) de algum(ns) ponto(s).

261

4. Derivadas

OUESTOESPROPOSTASResposta abertaOuestoes saidas em Exames Nacionais

....

4. Um recipiente contem uma certa quantidade de ac;ucar.

Para dissolver o ac;ucar, enche-se o recipiente com agua. Admita que a massa, em gramas, de ac;;ucar ainda nao dissolvido, t minutos ap6s o infcio do processo de dissoluc;;ao, e dada por: 0 021

M(t) =50 e-

,

t?;>

0

4.1 Determine a massa de ac;ucar dissolvido ao Iongo da primeira hora . Apresente o resultado em gramas, arredondado as unidades. 4.2 Utiliza ndo metodos exclusivamente analfticos, estude a func;ao M quanta a monotonia e quanta a existencia de assimptotas ao seu grafico. lnterprete as conclus6es a que chegou, no contexto do problema. 5. Considere a func;;ao f, de domfnio IR , definida por f(x)

=ex (x2 + x)

.

Recorrendo exclusivamente a processos analfticos (ou seja, sem utilizac;;ao da calculadora), resolva as alfneas seguintes:5.1 Verifique que f' (x) = (x2 + 3x + 1) e determine uma equac;ao da recta tangente ao grafico de f, no ponto de abcissa 0 .

e

5.2 Estude f quanta ao sentido das concavidades do seu grafico e quanta a existencia de pontos de inflexao.6. Numa pastelaria a temperatura ambiente e constante.

Admita que a temperatura, em graus Celsius, de um cafe servido nessa pastelaria, ap6s ter sido colocado na chavena, e dada por:f(t) = 20

t minutos

+ soe- 0 041 ,

t E [0,

+ oo[ (e designa o numero de Neper)

6.1 Determine a temperatura do cafe no instante em que e colocado na chavena .

6.2 Estude a fun c;ao f quanta a existencia de assimptotas, a monotonia e ao sentido das concavidades. Esboce o grafico de f .6.3 Com o decorrer do tempo a temperatura do cafe tende a igualar a temperatura ambiente. lndique, justificando, a temperatura ambiente .6.4 Justifique a seguinte afirmac;ao: A taxa de variac;;ao media da func;;ao f, em qualquer intervalo do seu domfnio, negativa .

e

6.5 Ouanto tempo decorre entre o instante em que o cafe e colocado na chavena e o instante em que a temperatura atinge 65 oc? Apresente o resultado em minutos e segundos .

(Nota: sempre que, nos calculos intermedios, proceder a arredondamentos, conserve, no mfnimo, tres casas decimais.)7. Foi administrado um med icamento a um doente as 9 horas da manha de um certo dia.

A concentrac;;ao desse medicamento, em miligramas par mililitro de sangue, t horas ap6s ter sido administrado, e dada por C(t) = 2t e- 031 .7.1 Utilize o Teorema de Balzano para mostrar que houve um instante, entre as 9 h 30 min e as 10 h , em que a concentrac;ao de medicamento no sangue foi de 1 mg/ml .

7.2 Recorrendo a derivada da fun c;;ao C , determine o instante em que a concentrac;ao de medicamenta no sangue do doente foi maxima. Apresente o resultado em horas e minutos .

262



-

8. Um fio encontra-se suspenso entre dois pastes. A distancia entre ambos e de 30 metros.

Considere a func;:ao f definida por f(x) = 5 (e 1 -

01 x

+ e0 1x -

1

).

Admita que f(x) e a distancia ao solo, em metros, do ponto do fio situado X metros a direita do primeiro paste.~

8.1 Determine a diferenc;:a de alturas dos dois pastes . Apresente o resultado na forma de dfzima, com aproximac;:ao as decimas . 8.2 Recorrendo ao estudo da derivada da func;:ao f , determine a distancia ao primeiro paste do ponto do fio mais proximo do solo .

!T30m

P. o .N

0

Vl

: j(x)

!1

9. Malmequeres de Baixo e uma povoac;:ao com cinco mil habitantes.

9.1 Num certo dia, ocorreu um acidente em Malmequeres de Baixo, que foi testemunhado por algumas pessoas . Admita que, t horas depois do acidente, o numero (expresso em milhares) de habitantes de Malmequeres de Baixo que sabiam do ocorrido era, aproximadamente:f(t) = 1 + 124e-o.3t, t~

5

0

Recorrendo exclusivamente a processos analfticos, estude a func;:ao f quanta a monotonia e quanta a existencia de assimptotas do seu grafico . lnterprete as conclus6es a que chegou, no contexto do problema .9.2 Alguns dias depois, ocorreu outro acidente no mesmo local, testemunhado pelas mesmas pessoas. No entanto, neste segundo acidente, a notfcia propagou-se mais depressa, no sentido em que, decorrido o mesmo tempo ap6s o acidente, mais pessoas sabiam do ocorrido. Admita que, t horas depois deste segundo acidente, o numero (expresso em milhares) de habitantes de Malmequeres de Baixo que sabiam do ocorrido era, aproximadamente,

g (t) =

5 - bt 1 +ae

,

t~

0

(para certos val ores de a e b)

Numa pequena composic;:ao, com cerca de 10 linhas, refira o que pode garantir sabre os valores de a e de b , comparando cada um deles com o valor da constante correspondente da expressao analftica de f.10. A actividade R , de qualquer substancia radioactiva, e dada, numa certa unidade de medida, pela expressao: R (t) =A x e-at , em que A e 8 sao constantes rea is positivas e t e o tempo em horas, com t ~ 0 . 10.1 Estude a func;:ao R quanta a monotonia e quanta

a existencia de assimptotas .R passe do seu valor inicial para

10.2 Designando por R' a derivada de R, mostre que R e R' sao directamente proporcionais. 10.3 Mostre que o tempo necessaria para que a actividade . In 2 t mea dee

a

10.4 Sabendo que o valor in icial da actividade de uma certa substancia radioactiva e 28 unidades e que R(1) = 26, determine os valores de A e 8 para esta substancia .

263

4. Derivadas

OUESTOES PROPOSTASResposta abertanuestiies said as em Exames Nacionais

-

11 . Na figura estao representadas, em referencial o. n. x Oy: uma curva C, grafico da fungao f, de domfnio IR , definida por f(x) = ex ; uma recta

r, grafico da fungao g, de domfnio IR, definida por

g(x) =

x- 2.

11 .1 Utilize metodos exclusivamente analfticos para resolver as duas alfneas seguintes.a) Determine uma equagao da recta paralela a recta curva C. b) Estude a fungao f grafico.

r e tangente a

+ g quanta a existencia de assimptotas do seu

11 .2 Considere agora que se acrescentou a figura anterior uma recta s , paralela ao eixo Oy . Sejam A e B os pontos de intersecgao da recta s com a curva C e com a recta r, respectivamente. Imagine que a recta s se desloca, mantendo-se sempre paralela ao eixo Oy. Os pontos A e B acompanham, naturalmente, o deslocamento da recta s . Seja x a abcissa do ponto A . Recorrendo a calculadora, determine x E [0 , 2] tal que AB = 5 . Apresente o resultado aproximado as decimas. Expl ique como procedeu (na sua explicagao, deve incluir o grafico, ou graficos, que considerou para resolver esta questao). 1 Seja f a fungao definida, em IR , por: .2.f(x) =

rX

l

ex-

1

se x< 0 sex~

x 3x+ 22x+ 2

0

Sem recorrer a calculadora, resolva as alfneas seguintes: 12.1 Justifique a seguinte afirmagao: "A funr;ao f 12.2 Estude a fungao f quanta

e continua emIW .

IR " .

a monotonia em

12.3 Na figura esta representada parte do grafico da fungao f.

Considere que um ponto P se desloca ao Iongo do grafico de f . Seja d a fungao que, a abcissa do ponto P, faz corresponder a distancia de P a origem do referenc ial.

264


QUESTOES PROPOSTASResposta abertaOuestiies saidas em Exames Nacionais

-

Em qual das figuras seguintes pode estar parte do grafico da fun(_;:ao d? Numa pequena composi(_;:ao, explique porque nao pode ser nenhum dos outros tres, apresentando, para cada um deles, uma razao pela qual o rejeita .(A) (B)

0

0

(C)

(D)

0

13. A figura representa um reservat6rio com tres metros de altura .

Considere que, inicialmente, o reservat6rio esta cheio de agua e que , num certo instante, se abre uma va lvula e o reservat6rio come(_;:a a ser esvaz iado. 0 reservat6rio fica vazio ao fi m de 14 horas . Admita que a altura, em metros, da agua no reservat6rio, t horas ap6s este ter come(_;:ado a ser esvaziado, e dada por:h (t) = log 2 (a- bt) , t E [0 , 14] , onde

-1Th(t)

3m

l

j

ae

b sao constantes reais positivas .

13.1 Mostre que

a = 8 e que b =

1

2

.

13.2 Prove que a taxa de varia ~ao media de h no intervalo [6 , 11] e - 0,2 . lnterprete este valor no contexto da situa(_;:ao descrita .

14. Considere a fungao g: [0, + oo [ -+ IR, defin ida por g(x) =In (1 + x)- x . 14.1 Recorrendo

a fun gao derivada de

g, mostre que g e decrescente.

14.2 Tendo em co nta a alfnea anterior eo valor de g(O), indique, justificando, see verdadeira ou fa lsa a afi rma (_;: ao: g (x) < 0 , V x E IW .

15. De uma certa fun (_;: ao f : IW -+ IR sabe-se que : f(1) = 0 ;

a sua derivada f' , e defin ida por f' (x) =

1

+;n x .

15.1 Escreva uma equa (_;: ao da recta tangente ao grafico de f no ponto de abcissa 1 .15.2 Poderc3 concluir-se que f e continua para x = 1 ? Justifique a sua resposta .

15.3 Mostre que f" (x ) = -

1

X

~x

e estude quanta ao sentido das concavidades do seu grafico e

a265

existencia de pontos de inflexao.

4. Derivadas

,..,

OUESTOES PROPOSTASResposta abertaQuestiies saidas em Exames Nacionais

16. Considere a func;:ao, de domfnio IW, definida por f(x) = In xX

(In designa logaritmo de base e).

16.1 Utilize metodos exclusivamente analfticos para resolver as duas alfneas seguintes:a) Estude a func;:ao f quanta a existencia de assimptotas verticais.b) lnvestigue sea func;:ao f tem maximo e, em caso afirmativo, determ ine-a.

16.2 A equac;:ao f(x) = x - 12 tem exactamente duas soluc;:oes . Recorrendo a sua ca lculadora, resolva g raficame nt e esta equac;:ao. Apresente as soluc;:6es com aproximac;:ao as decimas.Explique como procedeu, apresentando o grafico, ou graficos, em que se baseou para dar a sua resposta .

17. Considere as func;:oes f: IW- IR e g : IR - IR , definidas por:f(x) = In xg(x) =

(In designa logaritmo de base e)

x

2

-

3

17.1 Recorrendo a metodos exclusivamente analfticos, estude, quanta a monotonia, a func;:ao f- g.17.2 Utilizando as capacidades graficas da calculadora, investigue se todo o numero x do intervale [0, 1 ; 1,8] e soluc;:ao da inequac;:ao f(x) > g(x) . lndique a conclusao a que chegou e explique como procedeu. Devera incluir na sua explicac;:ao os graficos obtidos na calculadora .

18. Considere a func;:ao f, de domfnio IW, definida por f(x) = 3x- 2 In x(In designa logaritmo de base e) .

18.1 Utilize metodos exclusivament e analfticos para resolver as duas alfneas segu intes:a) Estude f quanta a existencia de assimptotas do seu grafico . b) Mostre que a func;:ao f tem um (mica mfnimo.

18.2 0 grafico de f contem um (mica ponto cuja ordenada e o quadrado da abcissa .Recorrendo a calculadora, determine um valor aproximado para a abcissa desse ponto (apresente o resultado arredondado as decimas). Expliq ue como procedeu (na sua expl icac;:ao, deve inclu ir o grafico, ou graficos, que considerou para resolver esta questao).

19. Considere a func;:ao f, de domfnio IW , definida par:

f (x) = In ( x + :)Sem recorrer

a calculadora , resolva as duas alfneas seguintes:lim(f(x)- In x) .

19.1 Estude a func;:ao quanta a monoton ia e a existencia de extremos relatives . 19.2 Calculex--++oo

266


AVALIACAOEscolha multiplaOuestiies do tipo dos exames

-

1. Considere a fungao h tal que h (x)

=X

In

X .

0 valor de h' (e)(C) 1

e:(D) e + 1

(A) e

(B) 2

2. Seja f uma fungao derivavel em IR tal que f(1) = 1 e f' (1) = 2 e h a fungao definida por

h (x) = f(x) +In (f(x))0 valor de h' (1)

e:(B) 4

(A) 3 3. Se f

(C) 2

(D) 2 +In (2)

e a fungao de domfnio

IR definida por f(x) = x+ ex , entao limx ~o

f(x) - 1X

e:(D) 0

(A) 1

(B) 2

(C) 1 +e

4. Para um certo numero real a o grafico da fungao h definida por h (x) = x In (ax) tem, no ponto de abcissa 1 , uma recta tangente com declive 2 .

0 valor de a (A) e

e:(B) 1

(D) 0

5. Seja f uma fungao de domfnio IR .Sabe-se que, para qualquer x E IR , f' (x) + f" (x) = 0 . Uma expressao analftica da fungao f pode ser:(D) In

x

6. Sabe-se que h

e uma fun

-2

n)

=>

) sin (-e) =- sin (e)=>

0~5 = - sin(~-a)2

x=-0,5cosa

AD= 2x + MN = 2 {- 0,5 cos a)+ 1 = 1 -cos a A trapezia - AD+ BC x h- 1 - cos a+ 1 x 0,5 sin a= 2

= ; (2- cos a) x 0,5 sin a= = 0,25 (2 -cos a) sin a=

v prisma

A trapezio X

DE

V(a) = 0,25 (2 -cos a) sin a x 4

V(a) = (2 - cos a) sin aV(a) = 2 sin a- sin a cos a V(a) = 2 sin a- ; x (2 sin a cos a) V(a) = 2 sin a- 0,5 sin (2a)

Atendendo a que BC ~AD , a E [%,

n[ .

3.2

v(%)=2sin~-0,5sin(2 x ~)== 2 x 1 - 0,5 sin n =2-0 =2 Se a=~ o volume do deposito 2'

e de

2 m3

.

Neste caso o deposito tem a forma de um paralelepfpedo de dimens6es 1 ; 0,5; 4, sendo

V = 1 X 0,5

X

4 =2

3.3 Atendendo a que v(%) = 2, introduziram-se na calculadora as

fun~6es

y, = 2 sin (x)- 0,5 sin (2x) eYz = 2

287

5. Trigona metria e com plexos

Determinou-se a intersecc;ao dos dois graficos tendo-se conc lufdo queV(a) = 2 em dois pontos.

Verificou-se, ainda, que a abcissa do ponto de intersecc;ao diferente de

~

e aproximadamente

2,290 .

Assim, podemos conclu ir que o volume do deposito

e

2 m 3 para

a=% rad e a"' 2,290 rad .Como h = 0,5 sin a, tem-se: h"' 0,5 sin (2,290)

h"' 0,38 m2 m 3 quando a "' 2,290 rad e a altura h da base e de aproximadamente 38 em .

0 vo lume do deposito

e de

6. As func;oes trigonometricas como modelos de fenomenos rea isNa vida real encontram-se muitos fenom enos qu e se podem traduzir por variac;oes peri6dicas: comprimento do dia ao longo do ano nu ma determinada localidade, altura das mares ao longo do dia , fases da Lua, receitas em negocios sazonais, etc. Para modelar estes fenom en os sao mu itas vezes utilizadas func;oes do tipo :y

= a sin

[k (x - b) ] + c

cuj o grafico (para a, b , c e k positivos) tern a forma:y

amplitude: a

.--------- _ ----- -- J----i_--:_____ Periodo p ---: '0X

p=TkT

27t

A linha que representa o grafico desta func;ao cham a-se sinu soide.

288

Capitulo 1- Trigonometria

Exemplo 4 A altura da mareDurante o dia 6 de Maio de 2001 um navio encontrou-se atracado no porto de Viana do Castelo. A distancia h de um ponto do casco do navio ao fundo do mar variou com a mare entre um valor mfnimo de 10,5 metros e um valor maximo de 13,5 metros. Sabe-se que, as 10 horas e 30 minutos, essa distancia era de 11,8 metros e a mare estava a subir. Sabendo que o grafico de h e aproximadamente sinusoidal, determine uma expressao para h (note que os valores das mares se repetem de 12 em 12 horas, aproximadamente).Sugestao de resoluO~

lkl

12k = 2n .~ k =. . . . .,._

n

6

Substituindo em h (t) , vem :h(t)

= 1,5

sin[~

(t- b)]+ 12

Para determinar o valor de b (deslocamento horizontal) sabemos que h (1 0,5) = 11 ,8 e que numa vizinhanga de 10,5 , h e crescente (a mare estava a subir) .

h (1 0,5) = 11,8

~

~

1,5 sin [ ~ (1 0,5- b) J + 12 = 11,8 1,5sin

~

~~

[~(10,5-b)J= - 0,2 ~~

--- ------

-------- - 0,1337sin- 1 ( ) em l- n, n[

-

02 sin [~ (1 0 5 - b)]=- 6 ' 1,5

.Q1_) "' - 0 ' 1337 1,5

~ ~(10,5-b) == -0,1337 V ~ (10,5-:-b)==n+0,1337 ~

~~

10,5- b == - 0,1337 x

2. v 1t

10,5- b == (n + 0, 1337) 2.1t

~

b == 10,76

v

b == 4,24

Para b= 10,76 , h1 (t) = 1,5 Para b = 4,24, h 2 (t) = 1,5

sin[~

(t-10,76)] + 12

sin[~

(t- 4,24)] + 12 289

CAESMA12- 19

5. Trigonometria e complexos

Representando graficamente as duas fungoes, verifica-se que:b=10,76

b= 4,24

v1= 1 . ~5 il"l(( 1T / 6 )( ~-1 1). 76) )_

'i =11 .7~6~IAOBI -_ 08 X21,377 - 1 X 1,377 - Ol 2

294

Capitulo 1 - Trigonometria

OUESTOES RESOLVIDASEscolha multiplaOuestiies said as em Exames Nacionais

-

1. De uma fungao f sabe-se que f(x + y) = f(x) x f(y) , para quaisq uer dais numeros reais posit ivos x e y.

Qual das seguintes pode ser a expressao analftica da fungao f?(A) sin

x

(B) cos

x

(C) In x

Sugestao de resolm;aof(x)=ef(X+ y) = e +y= ex X eY= f(X)X

f(y)

Resposta : (D)2. Considere uma circunferencia de centro C e raio 1 , tangente a uma recta r.

Um ponto P comega a deslocar-se sabre a circunferencia, no sentido indicado na figura . lnicialmente, 0 ponto p encontra-se a distancia de 2 unidades da recta r. Seja d( a ) a distancia de P a r, ap6s uma rotagao de amplitude a . Qual das igua ldades seguintes real positivo a ?r

e verdadeira

para qualquer numero

(A) d (a ) = 1 + cos a(B) d( a ) = 2 + sin a

r

(C) d (a ) = 1 - cos a(D) d( a ) = 2 - sin a

Sugestao de resolu.;ao

Atendendo a que PC= 1 , podemos observar directamente que d(a) = 1 +cos a .

Em alternativa poderemos ve ri ficar que, par exemplo:p

a=Od=2

a=nd= Or

r

p

Os valores d(O) = 2 e d(n ) = 0 apenas sao verificados, entre as igualdades apresentadas, par d (a) = 1 + cos a . Resposta: (A)

295


OUESTOES RESOLVIDASEscolha multiplaQuestiies saidas em Exames Nacionais

3. Na figura estao representados, em referencial o. n. xOy, o circulo trigonometrico e um triangulo [OABJ.

y

Os pontos A e 8 pertencem

a circunfermcia.cX

0 segmento [ABJ e perpendicular ao semieixo positivo Ox.

0 ponto e positivo Ox .Seja

c

0

ponto de interseq:ao da circunferencia com

0

semieixo

a a amplitude do angu lo GOA.

(aE Jo, ~[)a cos a2

Qual das express6es seguintes da a area do triangu lo [OABJ , em func;ao de a 7(A) sin

a . cos a

(B) tg(D) tg

(C) tg

a sin a

a sin a2

Sugestao de resolur;aoAD= sin ay

00 =cos abase x altura

2

AB x 00 2

j.A15x0t5 . j. = s1n a cos aResposta: (A) 4. Na f igura estao representados, em referencial o. n. xOy: um quarto de circu lo, de centro na origem e raio 1 uma semi -recta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto (1 , 0) u m ponto A pertencente a esta semi -recta um angu lo de amplitude a , cujo !ado origem e o semieixo positivo Ox e cujo !ado extremi dade e a semi -recta OA Qual das express6es seguintes da a area da regiao somb reada, em fun c;ao de a 7(A) ~ + tgy

X

a

4

2

(B)

~ +-24 tg a

(C) n: + tg a 2

(D) n: +-2 tg a

296

Capitulo 1 -

T rigonometria

QUESTOES RESOLVIDASEscolha multiplaOu estiies sa fd as em Exames Nacfonais

-


Sejam

A= area das regiao sombreadaA , = area do triangulo [ OA8]

y

A2 = area do quarto de cfrculo de raio 08

A, = OB x 8A21 x tg a

)

~~ = tg a ~1

BA = tg aX

2tg a 2 1 2 1 ----2 A 2 = - 1t r = - 1t 08

4 4

4

=.ln xA=A2 +A ,

12

=~4

=4+-2

n

tg a

Resposta: (A) 5. Na figura esta representado um trapezia rectangulo [ABCDJ, cujas bases tem 10 e 30 unidades de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento. Considere que um ponto P se desloca sabre o lado [AB] . Para cada posic;ao do ponto P , seja x a amplitude, em radianos, do angulo PDA . Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento [PO] divide o trapezia em duas figuras com a mesma area. Qual das equac;6es seguintes traduz este problema?2 (A) 30 sin x = 100(B) 302 tgX =

fp~A

B

lO

C

30

D

100X

2

2(D) 30X

(C) 30

X

10 sin x = 150 4

10 tg 4

=

150


Atrapezio =A t:. [APDI

30 + 10 2

X

1 0 = 200 30X

30 xAP = 2

30 tg 2

X

30 2 tg 2

X

ip~A3(} = tgAPX

B

10

C

Uma equa c;ao que traduz o problema e: A6(APDI -

30::::?

DX

- Atrapezio ,___..._ 302 tg 2 'OX

. In x - oo l1m - - = - - = - = x- o+ sin X Q+ Resposta: (A)

299


QUESTOES RESOLVIDASEscolha multiplaOuestiies saidas em Ex

exame

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