2-1

Estabilidade de Estruturas Aeronuticas I

Prof.: Domingos Svio R. Jr.

Seo 5

5 Flambagem inelstica _________________________ 2

5.1 Equao do Mdulo Tangente __________________________________________ 2

5.2 Representao de Ramberg e Osgood ____________________________________ 4

5.2.1 Exerccio __________________________________________________________ 7

5.3 Curvas para cargas crticas de colunas ___________________________________ 9

5.4 Equao de Johnson-Euler ____________________________________________ 11

5.4.1 Exerccio _________________________________________________________ 13

5.5 Referncias ________________________________________________________ 13

2-2

5 Flambagem inelstica

5.1 Equao do Mdulo Tangente

Na prtica da engenharia, em geral as colunas so classificadas de acordo com o tipo de

tenso desenvolvida em seu interior no momento da falha. Colunas compridas e esbeltas se tornaro

instveis quando a tenso de compresso permanecer elstica. A falha que ocorre denominada

instabilidade elstica. Colunas intermedirias falham devido a instabilidade inelstica, o que significa que

a tenso de compresso na falha maior do que o limite de proporcionalidade do material. E as colunas

curtas, no se tornam instveis; mais exatamente, o material simplesmente escoa ou sofre ruptura. A

aplicao da equao de Euler exige que a tenso na coluna permanea abaixo do limite de escoamento

do material (na verdade, o limite de proporcionalidade) quando a coluna sofre flambagem e, por isso, a

equao aplica-se somente s colunas compridas. Todavia, na prtica, a maioria das colunas

selecionadas tem comprimento intermedirio. O comportamento dessas colunas pode ser estudado

modificando-se a equao de Euler de modo que ela possa ser aplicada fiambagem inelstica. Para

mostrar como isso pode ser feito, considere que o material tem diagrama tenso-deformao como o

mostrado na Figura 5.1-1. Aqui, o limite de proporcionalidade lp e o mdulo de elasticidade, ou

inclinao da reta AB, E. Uma representao grfica da hiprbole de Euler, mostrada na Figura

5.1-1b. Essa equao vlida para uma coluna que tenha um ndice de esbeltez to pequeno quanto

(KL/r)lp, visto que, nesse ponto, a tenso axial na coluna torna-se cr = lp.

2-3

Figura 5.1-1: Flambagem inelstica.

Se a coluna tiver um ndice de esbeltez menor do que (KL/r)lp, a tenso crtica na coluna deve

ser maior do que lp. Por exemplo, suponha que uma coluna tenha um ndice de esbeltez (KL/r)1 <

(KL/r)lp, com tenso crtica correspondente D > lp necessria para causar instabilidade. Quando a

coluna est na iminncia de sofrer flambagem, a mudana na deformao que ocorre nela est dentro

de uma pequena faixa e, por isso, o mdulo de elasticidade ou a rigidez do material pode ser

considerado como o mdulo tangente, Et, definido como a inclinao do diagrama - no ponto D (Figura

5.1-1a). Em outras palavras, no momento da falha, a coluna comporta-se como se fosse feita de um

material que tivesse rigidez menor que quando comporta-se elasticamente, Et < E. Portanto, em geral,

medida que o ndice de esbeltez diminui, a tenso crtica de uma coluna continua a aumentar; e, pelo

diagrama - , o mdulo tangente para o material diminui. Usando essa idia, podemos modificar a

equao de Euler para incluir esses casos de flambagem inelstica substituindo o mdulo tangente do

material Et em vez de E, de modo que:

2-4

2

2

L

IEP t

Eq. 5.1-1

Essa a equao do mdulo tangente ou equao de Engesser, proposto por E. Engesser em

1889. A Figura 5.1-1b mostra uma representao grfica dessa equao para colunas intermedirias e

curtas de um material definido pelo diagrama -e na Figura 5.1-1a. Testes experimentais realizados em

um grande nmero de colunas, cada qual com uma aproximao da coluna ideal, mostraram que a

Figura 5.1-1 prev a tenso crtica da coluna com razovel preciso. Alm do mais, a abordagem do

mdulo tangente para o comportamento da coluna inelstica relativamente fcil de aplicar.

5.2 Representao de Ramberg e Osgood

H vrias equaes que propoem representar o comportamento no-linear do material. Muitas

dessas equaes so baseadas na coincidncia da equao com as curvas obtidas experimentalmente

em 3 pontos.

W. Ramberg e W. R. Osgood desenvolveram uma equao e a publicaram em 1943, no NACA

Tech. Note. Sendo muita aplicada para representao de materiais aeronuticos. Neste mtodo, os

pontos so escolhidos de forma a que as curvas coincidam nos mdulos secantes Es = F0.7 / = 0.7 E e

Es = F0.85 / = 0.85 E , como mostrado na Figura 5.2-1. Para a maioria dos materiais aeronuticos foi

observado que o ponto com mdulo secante de 0.7E est prximo da tenso de escoamento com offset

igual a 0.2%. A tenso de referncia FRef = F0.7 . As equaes relevantes podem ser facilmente

deduzidas em funo dos parmetros E, F0.7 e n:

Figura 5.2-1: Idealizao de Ramberg & Osgood

2-5

1

7.07.07.0 7

31

n

F

f

F

f

F

E Eq. 5.2-1

85.07.0ln

717ln1

FFn Eq. 5.2-2

1

7.0731nt

Ffn

EE Eq. 5.2-3

1

7.0731ns

Ff

EE Eq. 5.2-4

Figura 5.2-2: Curvas Adimensionalizadas de Ramberg-Osgood

2-6

Figura 5.2-3: Curvas tenso-deformao e mdulo tangente para chapa AL 2024-T3.

Figura 5.2-4: Curvas tenso-deformao e mdulo tangente para placas AL 7475-T7351.

Fixando n e assumindo valores de

7.0

c

F

F, pode-se calcular '

1 7.0 LE

FB . A Fig. (2-41)

mostra os grficos de Fc/F0.7 em funo de B para diversos valores de n.

2-7

Figura 5.2-5: Curvas de coluna adimensionalizadas Parmetros de Ramberg-Osgood.

5.2.1 Exerccio

A figura mostra uma seo extrudada, cujas as medidas esto listadas abaixo:

A = 12.7mm ; B = 45 mm ; T = 3mm

Uma coluna de liga Al 7075-T6 com esta seo tem 400mm de comprimento e est

simplesmente apoiado em ambas as extremidades. O membro suportado lateralmente na

direo x, de modo que a falha se dar por flexo em torno do eixo x-x.

2-8

Calcule a tenso crtica utilizando os parmetros de Ramberg-Osgood da Liga Al

7075-T6 a temperatura ambiente:

E = 72,4GPa, F0.7 = 500MPa, n = 16.6, Fcy = 482Mpa

2-9

5.3 Curvas para cargas crticas de colunas

2-10