estudo do comportamento de estacas submetidas a esforços

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS - UFG

ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL - EEC

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE

ESTACAS SUBMETIDAS A ESFORÇOS

TRANSVERSAIS ATRAVÉS DE MÉTODOS

TEÓRICOS E NUMÉRICOS

GUILHERME MELO DA SILVA LIMA

GOIÂNIA

2015


ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE

ESTACAS SUBMETIDAS A ESFORÇOS

TRANSVERSAIS ATRAVÉS DE MÉTODOS

TEÓRICOS E NUMÉRICOS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao

Curso de Engenharia Civil da Universidade

Federal de Goiás, como um dos requisitos para

obtenção do título de Engenheiro Civil.

Orientador: Prof. Ph.D. Maurício Martines Sales

GOIÂNIA

2015


ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE ESTACAS

SUBMETIDAS A ESFORÇOS TRANSVERSAIS ATRAVÉS DE

MÉTODOS TEÓRICOS E NUMÉRICOS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao

Curso de Engenharia Civil da Universidade

Federal de Goiás, como um dos requisitos para

obtenção do título de Engenheiro Civil.

Orientador: Prof. Dr. Maurício Martines Sales.

Aprovado em: _____/_____/_____.

___________________________________________________________________________

Prof. Dr. Maurício Martines Salles (presidente)

Universidade Federal de Goiás

___________________________________________________________________________

(examinador)

__________________________________________________________________________

(examinador)

Atesto que as revisões solicitadas foram feitas:

_____________________________________

Orientador

Em: _____/_____/_____.

Estudo do Comportamento de Estacas Submetidas a Esforços Transversais

G. M. S. Lima

RESUMO

O presente trabalho de conclusão de curso teve como objetivo estudar o

comportamento de estacas submetidas a esforços transversais, como ocorre em estacas das

fundações de grandes torres de linhas de transmissão de energia elétrica e/ou de

aerogeradores. Em um primeiro momento, foi realizada uma revisão da bibliografia no que

diz respeito ao estudo do comportamento de estacas carregadas lateralmente. Foram revisados

alguns métodos que tratam da determinação da carga última ou de ruptura do sistema solo –

estaca, bem como os métodos que determinam o comportamento tensão – deflexão

(deslocamento) desse sistema baseados no coeficiente de reação horizontal do solo. Com base

no método conhecido como diferenças finitas, uma planilha eletrônica foi desenvolvida com

o objetivo de estimar alguns índices referentes ao comportamento de uma estaca submetida a

esforços transversais, como o deslocamento, rotação, momento e cortante. Os resultados

obtidos através da planilha foram comparados com os resultados de modelos clássicos

presentes na literatura, afim da validação da mesma. Após validada a planilha, estudou-se a

influência do coeficiente de reação horizontal do solo em diferentes estacas.

Palavras-chave: Carregamento lateral. Diferenças finitas. Coeficiente de reação horizontal.


G. M. S. Lima

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Efeito do carregamento lateral no topo de estacas (Sousa, 2006). ....................... 14

Figura 2.2 - Estaca submetida a carregamento lateral - Método de Hansen (Velloso e Lopes,

2010). ....................................................................................................................................... 14

Figura 2.3 - Coeficientes Kq e Kc de Hansen (Velloso e Lopes, 2010). ................................. 15

Figura 2.4 - Mecanismos de Ruptura de uma Estaca (Velloso e Lopes, 2010). ...................... 16

Figura 2.5 - Estaca submetida a uma força lateral: reação do solo real (a) e solução proposta

por Winkler (b) (Velloso e Lopes, 2010). ................................................................................ 17

Figura 2.6 - Reação do solo ao deslocamento: (a) tensões; (b) ruptura (Velloso e Lopes,

2010). ....................................................................................................................................... 18

Figura 2.7 - Estaca em solo com coeficiente horizontal constante (Velloso e Lopes, 2010). . 19

Figura 2.8 - Curvas com os coeficientes Cy e Cm (Poulos e Davis, 1980). ............................ 21

Figura 2.9 - Estaca vertical submetida a uma força horizontal aplicada no topo, justo na

superfície do terreno (Velloso e Lopes, 2010). ........................................................................ 22

Figura 2.10 – Valor máximo do momento fletor (Velloso e Lopes, 2010). ............................ 22

Figura 2.11 - a) Tensões que atuam na estaca e b) tensões que atuam no solo. (Velloso e

Lopes, 2010). ........................................................................................................................... 23

Figura 2.12 - Divisão da estaca em "n" intervalos iguais. ....................................................... 25

Figura 3.1 - Configurando a planilha para cálculo iterativo. ................................................... 29

Figura 3.2 – Deslocamento x Profundidade. ............................................................................ 33

Figura 3.3 – Rotação x Profundidade. ..................................................................................... 33

Figura 3.4 – Momento x Profundidade. ................................................................................... 34

Figura 3.5 – Cortante x Profundidade. ..................................................................................... 34


G. M. S. Lima

Figura 4.1 - Esquema dos diferentes casos de variação do kh com a profundidade. ............... 36

Figura 4.2 – Deslocamento x Profundidade. Estaca de 10 metros com 40 cm de diâmetro. ... 37

Figura 4.3 – Momento x Profundidade. Estaca de 10 metros com 40 cm de diâmetro. .......... 38

Figura 4.4 – Modificação do solo nos primeiros metros. ........................................................ 38

Figura 4.5 – Deslocamento x Profundidade. Paralelo entre solo original e solo modificado. . 39

Figura 4.6 – Momento x Profundidade. Paralelo entre solo original e solo modificado. ........ 39

Figura 4.7 – Deslocamento x Profundidade. Estaca de 10 metros. Comparação entre

diâmetros. ................................................................................................................................. 40

Figura 4.8 – Momento x Profundidade. Estaca de 10 metros. Comparação entre diâmetros. . 41

Figura 4.9 – Deslocamento x Profundidade. Comparação entre comprimentos. ..................... 42

Figura 4.10 – Momento x Profundidade. Comparação entre comprimentos. .......................... 42

Figura A.1 - Esquema dos diferentes casos de variação do kh com a profundidade. .............. 45

Figura A.2 – Deslocamento x Profundidade. Estaca de 10 metros com 40 cm de diâmetro. .. 45

Figura A.3 – Momento x Profundidade. Estaca de 10 metros com 40 cm de diâmetro. ......... 46

Figura A.4 – Cortante x Profundidade. Estaca de 10 metros com 40 cm de diâmetro. ........... 46



Figura A.7 – Cortante x Profundidade. Estaca de 10 metros com 50 cm de diâmetro. ........... 48



Figura A.10 – Cortante x Profundidade. Estaca de 10 metros com 60 cm de diâmetro. ......... 49

Figura A.11 – Deslocamento x Profundidade. Estaca de 10 metros com 70 cm de diâmetro. 50


G. M. S. Lima

Figura A.12 – Momento x Profundidade. Estaca de 10 metros com 70 cm de diâmetro. ....... 50






















G. M. S. Lima






Estudo do Comportamento de Estacas Submetidas a Esforços Transversais 9

G. M. S. Lima

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 11

1.1 OBJETIVOS ............................................................................................................ 12

1.1.1 Objetivo Geral .................................................................................................. 12

1.1.2 Objetivos Específicos ....................................................................................... 12

2 REVISÃO DA LITERATURA ...................................................................................... 13

2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS .............................................................................. 13

2.2 DETERMINAÇÃO DA CARGA ÚLTIMA OU DE RUPTURA ....................... 13

2.2.1 Método de Brinch & Hansen .......................................................................... 14

2.2.2 Método de Broms ............................................................................................. 16

2.3 DETERMINAÇÃO DO COMPORTAMENTO TENSÃO-DEFLEXÃO

(DESLOCAMENTO) ............................................................................................................ 17

2.3.1 Coeficiente de Reação Horizontal e Hipótese de Winkler ............................ 17

2.3.2 Modelos Baseados no Coeficiente de Reação Horizontal ............................. 19

2.3.2.1 Método de Hetenyi ..................................................................................................... 19

2.3.2.2 Método de Matlock & Reese ..................................................................................... 20

2.3.2.3 Método de Miche ....................................................................................................... 21

2.4 TRATAMENTO PELA TEORIA DA ELASTICIDADE ................................... 23

2.5 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ........................ 24

2.5.1 Formulação do Problema pelo MDF .............................................................. 24

3 MATERIAIS E MÉTODOS .......................................................................................... 28

3.1 DESENVOLVIMENTO DA PLANILHA ............................................................ 28

3.2 VALIDAÇÃO .......................................................................................................... 30

4 RESULTADOS E DISCUSSÃO .................................................................................... 36

4.1 IMPORTÂNCIA DO PERFIL DO SOLO ........................................................... 37

4.2 MELHORIA DA CAMADA SUPERFICIAL ...................................................... 38

4.3 INFLUÊNCIA DO DIÂMETRO DA ESTACA ................................................... 40

4.4 INFLUÊNCIA DO COMPRIMENTO DA ESTACA .......................................... 41

5 CONCLUSÃO E SUGESTÕES..................................................................................... 43

REFERÊNCIAS ...................................................................................................................... 44

APÊNDICE A – GRÁFICOS DO COMPORTAMENTO DA ESTACA COM A

VARIAÇÃO DO SOLO ......................................................................................................... 45

A.1 – ESTACA DE 10 METROS COM 40 CM DIÂMETRO ........................................... 45


G. M. S. Lima









A.10 – ESTACA DE 20 METROS COM 50 CM DIÂMETRO ......................................... 59




G. M. S. Lima

1 INTRODUÇÃO

Um conjunto estrutural é dividido em superestrutura e infraestrutura. Fazem parte

da superestrutura todo o grupo de pilares, vigas e lajes, que são submetidas a diversos

esforços internos e externos durante sua vida útil. Já a infraestrutura é formada pelas

estruturas de fundações das edificações e são responsáveis por receber todos os esforços e

carregamentos da superestrutura e transmiti-los ao solo no qual está apoiada de forma segura.

Existem diversos tipos de fundações e a sua escolha durante o desenvolvimento

de um projeto depende principalmente das cargas as quais ela estará submetida e das

características do solo no qual se executará a obra, entre outros fatores. Como as estruturas e

o tipo de solo podem variar muito, todo o projeto de fundações deve ser tratado de forma

particular de modo a obter os melhores índices de desempenho possível.

Dentro desse contexto, existem obras de linhas de transmissão de energia elétrica

que envolve um conjunto de estruturas de altíssimo porte, formado principalmente por

treliças metálicas espaciais e peças de concreto robustas. Na atual situação do Brasil, em que

se deseja formar uma malha de transmissão de energia elétrica integrada em todo o país, o

estudo do comportamento de estacas submetidas aos esforços gerados por esse tipo de

estrutura ganha força, não só pela grandiosidade dos projetos, mas também pela importância

que há em transmitir energia elétrica para o desenvolvimento do país.

Desse modo, o presente estudo visa analisar o comportamento de estacas em

fundações de estruturas submetidas a grandes esforços transversais, situação que ocorre com

frequência em torres de linhas de transmissão de energia elétrica e de aerogeradores, através

de métodos teóricos e numéricos.


G. M. S. Lima

1.1 OBJETIVOS

Os objetivos gerais e específicos do trabalho são apresentados a seguir.

1.1.1 Objetivo Geral

O objetivo geral do trabalho é estudar o comportamento de estacas em fundações

de estruturas submetidas a esforços transversais. Parte da pesquisa consiste em estudar o

método conhecido com diferenças finitas e as teorias que o circundam e implementá-lo em

uma planilha eletrônica.

1.1.2 Objetivos Específicos

Os objetivos específicos deste trabalho são: realizar uma revisão bibliográfica dos

métodos teóricos e numéricos (diferenças finitas) do comportamento de estacas em fundações

de estruturas submetidas a esforços transversais, implementar o método das diferenças finitas

em planilha eletrônica e aplicá-lo em estudos e simulações de diferentes perfis do solo e

geometrias para se entender melhor o quanto cada um desses fatores são sensíveis no

comportamento da estaca.


G. M. S. Lima

2. REVISÃO DA LITERATURA

Neste capítulo serão revisados alguns modelos presentes na literatura que tratam a

respeito da capacidade de carga de um sistema solo – estaca, bem como modelos que

preveem o comportamento de estacas carregadas lateralmente baseadas no coeficiente de

reação horizontal do solo.

2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Na elaboração de qualquer projeto de fundações, deve-se pensar em uma estrutura

que suporte um sistema de cargas verticais, horizontais e momentos. Para resolver isso, são

englobados os seguintes aspectos:

Estabilidade do solo (segurança à ruptura do solo);

Estabilidade da estrutura (segurança estrutural das estacas por esforços internos

excessivos);

Deslocamentos ou rotações excessivas da cabeça da estaca (não comprometer a

estrutura suportada).

Esses três aspectos devem sempre ser observados de forma conjunta, uma vez que

a falha de um deles pode acarretar o colapso total do conjunto.

2.2 DETERMINAÇÃO DA CARGA ÚLTIMA OU DE RUPTURA

Ao aplicar um carregamento lateral no topo de uma estaca, o solo situado na face

anterior da estaca, ou seja, no sentido do carregamento, sofre um acréscimo de tensão. Por

conta disso, no solo a frente da estaca surge uma cunha de ruptura que se movimenta

verticalmente.

Por outro lado, ao se aplicar esse mesmo carregamento lateral no topo da estaca,

há uma redução de tensões no solo presente na face posterior da estaca, ou seja, no sentido

contrário da carga. Essa redução de tensões causa uma fenda vertical no contato solo – estaca.


G. M. S. Lima

O efeito do carregamento lateral aplicado no topo de uma estaca pode ser melhor entendido

observando a Figura 2.1.

Figura 2.1 - Efeito do carregamento lateral no topo de estacas (SOUSA, 2006).

Existem muitas soluções na literatura para esse tipo de problema e os métodos a

seguir abrangem algumas dessas soluções.

2.2.1 Método de Brinch & Hansen

O método de Brinch & Hansen é método de determinação da capacidade de carga

de estacas carregadas lateralmente tem sua formulação baseada na teoria do empuxo de terra.

Pode ser considerado como um método simples de determinação da carga de ruptura e é

aplicado somente a estacas curtas, cravadas em solos coesivos e não coesivos, em perfis

homogêneos ou estratificados. A geometria do problema é apresentada na Figura 2.2.

Figura 2.2 - Estaca submetida a carregamento lateral - Método de Hansen (VELLOSO; LOPES, 2010).


G. M. S. Lima

Onde:

Hu é carga horizontal aplicada no topo da estaca;

e é a excentricidade;

L é o comprimento enterrado da estaca;

B é o diâmetro da estaca;

Mu é o momento causado pelo carregamento e excentricidade;

pzu é a função que define o empuxo passivo do solo;

zr é a profundidade de rotação da estaca.

Pelo equilíbrio de forças e momentos, tem-se:

∑ Fy = 0 𝐻𝑢 − ∫ 𝑝𝑧𝑢𝐵𝑑𝑧𝑧𝑟

0+ ∫ 𝑝𝑧𝑢𝐵𝑑𝑧

𝐿

𝑧𝑟= 0 (2.1)

∑ M = 0 𝐻𝑢𝑒 + ∫ 𝑝𝑧𝑢𝐵𝑧𝑑𝑧𝑧𝑟

0− ∫ 𝑝𝑧𝑢𝐵𝑧𝑑𝑧

𝐿

𝑧𝑟= 0 (2.2)

Através de tentativas, determina-se os valores de zr e Hu. Hansen (1961) fornece:

𝑝𝑧𝑢 = 𝜎′𝑣𝑧 ∗ 𝐾𝑞 + 𝑐 ∗ 𝐾𝑐 (2.3)

Onde:

σ'vz é a tensão vertical efetiva no nível z;

c é a coesão do solo;

Kq e Kc são coeficientes de empuxo. Figura 2.3. (φ = ângulo de atrito interno)

Figura 2.3 - Coeficientes Kq e Kc de Hansen (VELLOSO; LOPES, 2010).


G. M. S. Lima

A partir desse ponto, determina-se por tentativas o valor da profundidade do

ponto de rotação. Lembrando-se que ao final, é necessário minorar a carga de ruptura Hu para

obter a carga de trabalho Hadm.

2.2.2 Método de Broms

Broms (1964), inicialmente analisou o comportamento de estacas submetidas a

carregamento lateral em duas situações, a primeira a respeito de estacas em solos coesivos

(argilas não drenadas) e a segunda em solos não coesivos ou granulares (areias). Em um outro

momento, na publicação de um terceiro artigo (BROMS, 1965), o autor resumiu seus critérios

e apresentou soluções para o problema de estacas carregadas lateralmente.

O método proposto por Broms se fundamenta nos chamados Métodos de Ruptura.

Vale lembrar que num projeto de estacas, duas são as requisições: pelas mais diversas

condições, não deve ocorrer a ruptura completa do conjunto e os deslocamentos que surgirem

não devem atrapalhar a atividade da fundação ou da superestrutura.

Em vista disso, a ruptura de uma fundação composta de estacas irá ocorrer

quando se atingirem algum dos mecanismos de ruptura em cada uma das estacas,

mecanismos esses que estão representados na Figura 2.4, para cada um dos tipos de estacas.

Figura 2.4 - Mecanismos de Ruptura de uma Estaca (VELLOSO; LOPES, 2010).

Pode-se dizer que, de forma geral, o rompimento de estacas de grande

comprimento se dá pela formação de rótulas plásticas (Figuras 2.4a e 2.4d) e as estacas de

pequeno comprimento rompem pela superação da resistência do terreno.

No seu trabalho, Broms (1965) elabora formulações para determinação da carga

de ruptura para estacas em solos não coesivos (areias) e solos coesivos (argilas saturadas).

Tais formulações não serão apresentadas por não serem o foco nem possuírem fundamental

importância para o desenvolvimento deste trabalho.


G. M. S. Lima

2.3 DETERMINAÇÃO DO COMPORTAMENTO TENSÃO-

DEFLEXÃO (DESLOCAMENTO)

Neste item serão apresentados modelos que tratam da determinação do

comportamento tensão-deflexão da estaca.

2.3.1 Coeficiente de Reação Horizontal e Hipótese de Winkler

Os modelos baseados no coeficiente de reação horizontal do solo foram

idealizados por Winkler. A chamada Hipótese de Winkler considera o solo discretizado por

uma série de molas independentes, conforme pode ser visto na Figura 2.5, e é amplamente

utilizada na solução de problemas de estacas submetidas a esforços laterais.

Figura 2.5 - Estaca submetida a uma força lateral: reação do solo real (a) e solução proposta por Winkler (b)

(VELLOSO; LOPES, 2010).

A substituição do solo por molas idênticas e independentes é naturalmente

compreendida para o caso de uma viga. Para uma estaca assente em solo, essa compreensão

não é tão trivial. O solo resiste ao deslocamento horizontal da estaca por tensões normais de

compressão contra a frente da estaca e por tensões cisalhantes atuando nas laterais, conforme

mostra a Figura 2.6.


G. M. S. Lima

Figura 2.6 - Reação do solo ao deslocamento: (a) tensões; (b) ruptura (VELLOSO; LOPES, 2010).

Pela Hipótese de Winkler, tem-se:

𝜎 = 𝑘ℎ × 𝑣 (2.4)

Ou

𝜎 = 𝑘ℎ × 𝑦 (2.5)

Onde:

p é a tensão normal horizontal (dimensão F/L²) atuando na frente da estaca (numa faixa de

largura B = diâmetro ou largura da estaca);

kh é o coeficiente de reação horizontal (dimensão F/L³);

v ou y é o deslocamento horizontal (no sentido do eixo y);

Quanto ao coeficiente de reação horizontal kh, este pode variar ou não com a

profundidade e seu valor pode ser expressado pela seguinte maneira:

𝑘ℎ = 𝑚ℎ × 𝑧 (2.7)

mh é a taxa de crescimento do coeficiente kh com a profundidade (F/L4);

z é a profundidade (L).


G. M. S. Lima

2.3.2 Modelos Baseados no Coeficiente de Reação Horizontal

Nesta etapa serão apresentados três modelos de tensão-deflexão, sendo eles:

2.3.2.1 Método de Hetenyi

O Método de Hetenyi é aplicado quando se tem um carregamento horizontal

aplicado no topo livre de uma estaca que esteja em um solo de kh constante com a

profundidade. O comprimento L de uma estaca permite tratá-la como uma viga de

comprimento semi infinito se (HETENYI, 1946)

𝜆𝐿 > 4

O valor da rigidez relativa solo – estaca pode ser obtida através de:

𝜆 = √𝑘ℎ𝐵

4𝐸𝑝𝐼

4 (2.7)

Onde:

Ep é o módulo de elasticidade da estaca;

I é o momento de inércia da seção transversal da estaca.

A Figura 2.7 ilustra a situação apresentada.

Figura 2.7 - Estaca em solo com coeficiente horizontal constante (VELLOSO; LOPES, 2010).


G. M. S. Lima

As equações 2.8 e 2.9 foram obtidas por Hetenyi (1946) para o cálculo do

deslocamento horizontal na superfície do terreno e do momento fletor máximo a uma

profundidade aproximada de 0.7/λ:

𝑦0 =2𝐻𝜆

𝑘ℎ𝐵+

2𝑀𝜆2

𝑘ℎ𝐵 (2.8)

𝑀𝑚á𝑥 = 0,32𝐻

𝜆+ 0,7𝑀 (2.9)

Onde:

yo deslocamento horizontal;

H carga horizontal;

kh coeficiente de reação horizontal;

B largura da estaca;

M momento.

2.3.2.2 Método de Matlock & Reese

Diferente do que foi apresentado no Método de Hetenyi, o Método de Matlock &

Reese (1956) considera o caso do coeficiente de reação horizontal kh variando linearmente

com a profundidade para uma estaca vertical com carregamento horizontal e momentos

aplicados no seu topo.

Apesar de ignorar o possível comportamento não linear do sistema solo – estaca,

esse método apresenta a vantagem de se obter um resultado rápido e analítico para os

deslocamentos ao longo da estaca.

Para Matlock e Reese (1956), o deslocamento y da estaca depende de diversos

fatores ou parâmetros, são eles:

𝑦 = 𝑓(𝑧, 𝑇, 𝐿, 𝑘ℎ, 𝐸𝐼, 𝐻, 𝑀)

Onde:

z é a profundidade de uma seção qualquer de uma estaca;

T é o fator de rigidez de uma estaca;

L é o comprimento da estaca;

EI é a rigidez de flexão da estaca;

H é a força horizontal aplicada no topo da estaca;

M é o momento fletor aplicado no topo da estaca.


G. M. S. Lima

Para estacas longas (profundidade > 4), foram propostas as seguintes equações

para o cálculo dos deslocamentos y e momentos M ao longo da estaca:

𝑦 = 𝐶𝑦𝐻𝑇3

𝐸𝑝𝐼𝑝 (2.10)

𝑀 = 𝐶𝑚𝐻𝑇 (2.11)

Onde os valores de Cy e Cm podem ser obtidos na Figura 2.8 e o coeficiente de

rigidez T é definido por:

𝑇 = √𝐸𝑝𝐼

𝑚ℎ𝐵

5 (2.12)

Figura 2.8 - Curvas com os coeficientes Cy e Cm (POULOS; DAVIS, 1980).

2.3.2.3 Método de Miche

Segundo Velloso e Lopes (2010), Miche (1930) foi o primeiro autor a tratar o

problema da estaca carregada lateralmente em um solo com coeficiente de reação horizontal

crescendo linearmente com a profundidade, levando em conta a deformabilidade da estaca,

sobre uma base elástica. A Figura 2.9 apresenta a hipótese desse estudo.

Free Head Case

Fixed Head

Case

Free Head

Case

Fixed Head Case


G. M. S. Lima

Figura 2.9 - Estaca vertical submetida a uma força horizontal aplicada no topo, justo na superfície do terreno

(VELLOSO; LOPES, 2010).

Sendo assim, foram obtidos os seguintes resultados para o deslocamento

horizontal no topo da estaca:

𝑦 = 2,40𝑇3𝐻

𝐸𝑝𝐼 (2.13)

E o momento fletor máximo (Figura 2.10):

𝑀𝑚á𝑥 = 0,79𝐻𝑇 (Estaca flexível, L/T ≥ 4) (2.14)

𝑀𝑚á𝑥 = 0,25𝐻𝑇 (Estaca rígida, L/T < 1,5) (2.15)

Figura 2.10 – Valor máximo do momento fletor (VELLOSO; LOPES, 2010).


G. M. S. Lima

2.4 ANÁLISE PELA TEORIA DA ELASTICIDADE

Na tentativa de resolver problemas relacionados ao carregamento lateral de

estacas, a teoria da elasticidade se apresenta como mais uma maneira de buscar soluções para

esse tipo de situação.

Proposta inicialmente por Poulos e seus colaboradores, os resultados obtidos no

seu estudo podem ser encontrados reunidos no livro Poulos e Davis (1980). Como agravante

da utilização desse método, pode-se destacar o fato de se admitir que o solo na face

tracionada da estaca permanece aderido a ela, o que em muitas vezes não ocorre.

Por não ser o objetivo desse trabalho, não se entrará em detalhes a respeito das

soluções propostas por Poulos, apenas uma introdução a respeito de sua pesquisa sobre o

comportamento de uma estaca vertical. A pesquisa de Poulos considerou uma estaca vertical

simples sujeita a uma carga horizontal e um momento no topo, como pode ser observado na

Figura 2.11.

Figura 2.11 - a) Tensões que atuam na estaca e b) tensões que atuam no solo. (VELLOSO; LOPES, 2010).

Poulos divide a estaca em vários seguimentos e utiliza equações matriciais para

solucionar o problema. Vale ressaltar que esse método surge apenas como uma abordagem e

forma diferentes de se conhecer o comportamento de estacas carregadas lateralmente.


G. M. S. Lima

2.5 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

Quando se tem uma equação diferencial de uma estaca imersa em meio elástico, o

método numérico mais utilizado para sua solução é o Método das Diferenças Finitas (MDF).

No MDF as derivadas de qualquer ordem são substituídas por diferenças finitas

aproximadas, ou seja, reduz-se a equação diferencial próxima a um ponto a uma equação

algébrica. Com isso, o problema originalmente diferencial, passa a ser um sistema de

equações algébricas.

Uma outra forma de se enxergar como MDF funciona é imaginar um problema

contínuo discretizado em vários pontos, e, afim de se mapear a solução, faz-se a análise

desses vários pontos que constituem o problema.

2.5.1 Formulação do Problema pelo MDF

Para uma estaca longa imersa em um meio elástico, a equação diferencial é:

𝐸𝐼𝜕4𝑦

𝑑𝑧4 + 𝑘ℎ𝑦𝐷 = 0 (2.14)

Onde:

E é o módulo de elasticidade do material da estaca [F/L2]

I é o momento de inércia da seção transversal [L4]

kh é o coeficiente de reação horizontal do solo [F/L3]

Aplica-se a Equação (2.14) em uma estaca longa, de comprimento L, carregada

transversalmente dividida em “n” seguimentos lineares iguais de altura δ, como na Figura

2.12 a seguir.


G. M. S. Lima

Figura 2.12 - Divisão da estaca em "n" intervalos iguais.

Para a estaca apresentada, as derivadas centradas, ou seja, pontos imediatamente

anterior e posterior ao ponto em questão (pontos i-1 e i+1), até 4ª ordem são:

𝜕𝑦

𝜕𝑧=

𝑦𝑖+1−𝑦𝑖−1

2𝛿 (2.15)

𝜕2𝑦

𝜕𝑧2 =𝑦𝑖+1−2𝑦𝑖+𝑦𝑖−1

𝛿2 (2.16)

𝜕3𝑦

𝜕𝑧3 =𝑦𝑖+2−2𝑦𝑖+1+2𝑦𝑖−1−𝑦𝑖−2

2𝛿3 (2.17)

𝜕4𝑦

𝜕𝑧4 =𝑦𝑖+2−4𝑦𝑖+1+6𝑦𝑖−4𝑦𝑖−1+𝑦𝑖−2

𝛿4 (2.18)

Cada uma dessas derivações fornece soluções do problema em função do

deslocamento yi sofrido pela estaca. São elas: rotação (2.15), momento (2.16), cortante (2.17)

e tensão no solo (2.18).

Ao substituir a Equação (2.18) na (2.14), tem-se:

𝐸𝑝𝐼𝑝[𝑦𝑖+2−4𝑦𝑖+1+6𝑦𝑖−4𝑦𝑖−1+𝑦𝑖−2]

𝛿4+ 𝑘ℎ𝑦𝑖𝐷 = 0 (2.19)


G. M. S. Lima

E ainda, trabalhando a Equação (2.19):

𝐸𝑝𝐼𝑝 [𝑦𝑖−2 − 4𝑦𝑖−1 + (𝑎𝑖)𝑦𝑖 − 4𝑦𝑖+1 + 𝑦𝑖+2] = 0 (2.20)

Onde:

𝑎𝑖 = 6 +𝑘ℎ𝐷𝛿4

𝐸𝑝𝐼𝑝 (2.21)

E, por fim, como EpIp ≠ 0, pode-se escrever a Equação (2.20) como:

𝑦𝑖 =−𝑦𝑖−2+4𝑦𝑖−1+4𝑦𝑖+2−𝑦𝑖+2

𝑎𝑖 (2.22)

Com isso, pode-se aplicar a Equação (2.22) nos n+1 pontos em que a estaca foi

dividida (Figura 2.12). No entanto, observa-se que o valor da deflexão yi fica sempre

condicionado a deflexão de dois pontos anteriores ao ponto de estudo e também a dois pontos

posteriores.

Por conta disso, surgem mais quatro pontos fictícios nas extremidades da estaca

(dois no topo e dois na base, Figura 2.12). Tem-se, então, um sistema com n+1 equações e

n+5 incógnitas. Para resolver a indeterminação desse problema, faz-se uso de quatro

equações que podem ser obtidas através das condições de contorno no topo e na base da

estaca.

Para o topo da estaca, pode-se obter duas situações: livre ou engastada. Para uma

estaca de topo livre, sabe-se que o momento aplicado no ponto 1 será igual ao próprio

momento aplicado (M) no topo da estaca e, de forma similar, a cortante no ponto 1 será igual

ao próprio esforço horizontal aplicado (H) no topo. Através dessas duas considerações e

trabalhando com as Equações (2.16) e (2.17), obtem-se:

𝑦−2 = −2𝐻𝐿3

𝐸𝑝𝐼𝑝𝑛3+ 2𝑦−1 − 2𝑦2 + 𝑦3 (2.23)

𝑦−1 =𝑀𝐿2

𝐸𝑝𝐼𝑝𝑛2+ 2𝑦1 − 𝑦2 (2.24)


G. M. S. Lima

Já para a base da estaca, as condições de contorno são que o momento na base

pode ser considerado nulo, bem como a cortante também pode ser considerada nula no ponto

n+1. Com essas considerações e desenvolvendo as Equações (2.16) e (2.17), obtemos:

𝑦𝑛+2 = 2𝑦𝑛+1 − 𝑦𝑛 (2.25)

𝑦𝑛+3 = 𝑦𝑛−1 − 2𝑦𝑛 + 2𝑦𝑛+2 (2.26)

Tem-se agora, portanto, um sistema com n+5 equações e n+5 incógnitas. A

solução desse sistema fornece a deflexão da estaca em cada um dos pontos yi, que é igual ao

deslocamento da estaca.

Uma vez obtidos os deslocamentos nos pontos, obtém-se os valores da rotação

(Equação 2.27), momento (Equação 2.28) e cortante (Equação 2.29).

Rotação: 𝜃𝑖 =𝑦𝑖+1−𝑦𝑖−1

2𝛿 (2.27)

Momento: 𝑀𝑖 = 𝐸𝑝𝐼𝑝𝑦𝑖+1−2𝑦𝑖+𝑦𝑖−1

𝛿2 (2.28)

Cortante: 𝐻𝑖 = 𝐸𝑝𝐼𝑝𝑦𝑖+2−2𝑦𝑖+1+2𝑦𝑖−1−𝑦𝑖−2

2𝛿3 (2.29)


G. M. S. Lima

3 MATERIAIS E MÉTODOS

Neste item serão apresentados como foi implementado o MDF em planilha

eletrônica e a sua validação através da comparação dos resultados obtidos por Hetenyi.

3.1 DESENVOLVIMENTO DA PLANILHA

Para implementação da planilha eletrônica, foi utilizado o software Excel 2013

(Microsoft). As equações obtidas na sessão anterior foram inseridas na planilha a fim de se

obter cada umas das quatro soluções do problema: deslocamento, rotação, momento e

cortante.

Como já dito anteriormente, foram utilizadas as derivadas centradas da equação

principal para solucionar o problema. Ao se observar as soluções, nota-se que cada uma delas

é dependente de outras, o que não chega a ser alarmante, uma vez que o programa Excel

desenvolve cálculos iterativos.

O primeiro passo ao se desenvolver a planilha é criar um campo para a entrada de

dados, com células onde se possa incluir valores de carregamentos, propriedade do material

da estaca e sua geometria. A formulação pelo método das diferenças finitas consiste na

divisão da estaca em “n” seguimentos iguais de altura δ, portanto também é necessário um

campo para se inserir a quantidade de vez que se deseja dividir a estaca. No próximo tópico,

durante a validação da planilha, ficará claro que quanto maior for o número de divisões “n”,

mais o resultado se aproximará do real. Por fim, também é necessário um campo para inserir

os valores do coeficiente de reação horizontal do solo kh. Ver Tabela 3.1 como exemplo de

entrada de dados.

Tabela 3.1 – Campos para dados de entrada do problema.

DADOS DE ENTRADA

H (kN) 0

M (kN.m) 0

Ep (kN/m2) 0

Ip (m4) 0

Φ (m) 0

L (m) 0

n 0

δ 0

kh (kN/m³) 0


G. M. S. Lima

Por vezes é conveniente que se monte uma coluna especifica do kh para cada um

dos “n” seguimentos que se dividiu a estaca, pois, com isso, podem-se examinar uma estaca

imersa em solo com kh variando com a profundidade, o que provavelmente é o que se

encontrará em situações reais. Ver tabela 3.2.

Tabela 3.2 – Inserir kh para qualquer profundidade.

Kh variável

Prof. kh

0

n+1

Antes de incluir as equações obtidas na sessão anterior para obtenção dos

resultados, é muito importante que se ative a planilha para cálculos interativos. Caso não se

configure a planilha antes da inserção das equações, provavelmente ocorrerá erro no

programa e terá de se iniciar tudo de novo. Para se ativar essa configuração é necessário

seguir os seguintes passos: ARQUIVO > OPÇÕES > FÓRMULAS > HABILITAR

CÁLCULO ITERATIVO. O número máximo de iterações que o Excel fornece é de 32767.

Figura 13 - Configurando a planilha para cálculo iterativo.

Após habilitada a planilha, pode-se inserir as equações. Trabalhar com cálculos

interativos no Excel as vezes pode ser bastante trabalhoso, pois geram muitos erros no

momento do desenvolvimento inicial. Além das recomendações já citadas anteriormente,


G. M. S. Lima

sugere-se que se insira primeiro as equações do deslocamento, já que todas as outras

dependem desta.

Tabela 3.3 – Planilha para obtenção das soluções.

Pontos Prof. Kh Desloc. Rotação Momento Cortante

n-2 - - - - -

n-1 - - - - -

1 0

…

n

n+1 L

n+2 - - - - -

n+3 - - - - -

Inseridos todos os dados e de entrada e equações necessárias o programa roda as

iterações ao clicar em CALCULA no canto inferior esquerdo da tela (caso a opção

CALCULA não esteja visível, bastar salvar o arquivo e as iterações são rodadas

automaticamente). Para melhor visualizar os resultados, recomenda-se plotar os valores em

gráficos.

3.2 VALIDAÇÃO

Para validação da planilha, imagina-se um problema fictício e compararemos os

resultados obtidos através do MDF com a solução proposta pelo método de Hetenyi (1946).

Como exemplo, temos o seguinte problema: seja uma estaca de 10 metros de

comprimento e 0,40 m de diâmetro, sujeita a uma carga horizontal no topo igual a 50 kN.

Considere um solo homogêneo com kh = 6755 kN/m3 e módulo da estaca Ep = 21x106 kN/m2.

Pede-se determinar a distribuição em profundidade de deslocamentos, rotações, momentos e

cortantes. Os dados são apresentados na Tabela 3.4.


G. M. S. Lima

Tabela 3.4 - Dados de entrada do problema.

DADOS

H (kN) 50

M (kN.m) 0

Ep (kN/m2) 21000000

Ip (m4) 0,00125664

Φ (m) 0,4

L (m) 10

n 16

δ 0,625

kh (kN/m3) 6755

Também, como forma de mostrar a influência do número de divisões “n” da

estaca pelo método das diferenças finitas, será utilizado n=16 e n=32. Os resultados obtidos

pelo MDF implementado em planilha eletrônica são apresentadas na Tabela 3.5.

Tabela 2.5 - Resultados obtidos pelo MDF (n = 16).

Pontos Prof. (m) Desloc. (m) Rotação (rad) Momento (kN.m) Cortante (kN)

-2 - 0,02119 - - -

-1 - 0,01818 - - -

1 0 0,01458 -0,00718 0,00000 50,00000

2 0,625 0,01099 -0,00684 23,55347 28,40401

3 1,25 0,00775 -0,00596 35,50501 12,57943

4 1,875 0,00503 -0,00485 39,27776 1,78812

5 2,5 0,00289 -0,00371 37,74016 -4,90464

6 3,125 0,00132 -0,00266 33,14697 -8,46145

7 3,75 0,00023 -0,00177 27,16335 -9,76832

8 4,375 -0,00045 -0,00106 20,93657 -9,57906

9 5 -0,00083 -0,00053 15,18952 -8,49485

10 5,625 -0,00098 -0,00015 10,31801 -6,96722

11 6,25 -0,00098 0,00010 6,48050 -5,31498

12 6,875 -0,00088 0,00025 3,67428 -3,74810

13 7,5 -0,00073 0,00033 1,79538 -2,39349

14 8,125 -0,00055 0,00037 0,68242 -1,31953

15 8,75 -0,00036 0,00038 0,14597 -0,55717

n 9,375 -0,00016 0,00038 -0,01404 -0,11678

n+1 10 0,00003 0,00038 0,00000 0,00000

n+2 n+2 0,00022 - - -

n+3 n+3 0,00041 - - -


G. M. S. Lima

Tabela 3.6 - Resultados obtidos pelo MDF (n = 32).

Pontos Prof. (m) Desloc. (m) Rotação (rad) Momento (kN.m)

Cortante

(kN)

-2 - 0,01837 - - -

-1 - 0,01660 - - -

1 0 0,01476 -0,00588 0,00000 50,00000

2 0,3125 0,01292 -0,00580 13,67807 38,31595

3 0,625 0,01113 -0,00558 23,94747 28,16311

4 0,9375 0,00943 -0,00525 31,28001 19,48270

5 1,25 0,00785 -0,00485 36,12416 12,18844

6 1,5625 0,00640 -0,00441 38,89779 6,17502

7 1,875 0,00509 -0,00394 39,98355 1,32523

8 2,1875 0,00393 -0,00347 39,72606 -2,48417

9 2,5 0,00292 -0,00301 38,43094 -5,37771

10 2,8125 0,00205 -0,00257 36,36499 -7,47751

11 3,125 0,00132 -0,00215 33,75750 -8,90042

12 3,4375 0,00071 -0,00177 30,80223 -9,75599

13 3,75 0,00021 -0,00142 27,66000 -10,14510

14 4,0625 -0,00018 -0,00111 24,46154 -10,15906

15 4,375 -0,00048 -0,00084 21,31058 -9,87933

16 4,6875 -0,00071 -0,00061 18,28696 -9,37741

17 5 -0,00086 -0,00041 15,44970 -8,71517

18 5,3125 -0,00096 -0,00024 12,83998 -7,94530

19 5,625 -0,00101 -0,00010 10,48389 -7,11202

20 5,9375 -0,00103 0,00001 8,39497 -6,25176

21 6,25 -0,00101 0,00010 6,57654 -5,39402

22 6,5625 -0,00096 0,00017 5,02370 -4,56219

23 6,875 -0,00090 0,00022 3,72517 -3,77439

24 7,1875 -0,00083 0,00026 2,66471 -3,04428

25 7,5 -0,00074 0,00028 1,82249 -2,38187

26 7,8125 -0,00065 0,00030 1,17605 -1,79414

27 8,125 -0,00055 0,00031 0,70115 -1,28579

28 8,4375 -0,00046 0,00032 0,37243 -0,85976

29 8,75 -0,00036 0,00032 0,16380 -0,51771

30 9,0625 -0,00025 0,00032 0,04886 -0,26049

31 9,375 -0,00015 0,00032 0,00100 -0,08842

n 9,6875 -0,00005 0,00032 -0,00641 -0,00160

n+1 10 0,00005 0,00032 0,00000 0,00000

n+2 - 0,00015 - - -

n+3 - 0,00025 - - -

Como forma de validar o método, comparou-se os gráficos dos resultados obtidos

pelo MDF com os gráficos da solução exata proposta por Hetenyi (1946).


G. M. S. Lima

Figura 14 – Deslocamento x Profundidade.

Figura 15 – Rotação x Profundidade.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-0,0020 0,0000 0,0020 0,0040 0,0060 0,0080 0,0100 0,0120 0,0140 0,0160

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

DESLOCAMENTO (M)

Solução MDF (n=16) Solução MDF (n=32) Solução de Hetenyi

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-0,0070 -0,0060 -0,0050 -0,0040 -0,0030 -0,0020 -0,0010 0,0000 0,0010

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

ROTAÇÃO (RAD)

Solução MDF (n=16) Solução MDF (n=32) Solução de Hetenyi


G. M. S. Lima

Figura 16 – Momento x Profundidade.

Figura 17 – Cortante x Profundidade.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 45,0

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

MOMENTO (KN.M)

Solução MDF (n=16) Solução MDF (n=32) Soução de Henetyi

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-20,00 -10,00 0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

CORTANTE (KN)

Solução MDF (n=16) Solução MDF (n=32) Solução de Henetyi


G. M. S. Lima

Como pode ser observado, os resultados obtidos pelo MDF são bastante similares

aos resultados baseados na proposta de Hetenyi (1946), sobretudo o que possui 32 divisões,

gerando resultados satisfatórios e comprovando que o programa está fornecendo dados

confiáveis.

Portanto, com a planilha validada, pode-se então obter o comportamento para

qualquer estaca, imersa em solo homogêneo com kh constante ou variando com a

profundidade, de forma rápida e precisa. Como os resultados com n=32 foram mais precisos,

essa será a divisão utilizada nas análises seguintes, que mostrará as influências de diferentes

perfis de solo e geometrias de estacas.


G. M. S. Lima

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES

Com o objetivo de se entender melhor a influência do coeficiente de reação horizontal

no comportamento de estacas submetidas a esforços horizontais, foram simulados cinco

diferentes casos de variações do kh com a profundidade do solo, conforme apresentado na

Figura 4.1

Figura 18 - Esquema dos diferentes casos de variação do kh com a profundidade.

Além da variação do coeficiente de reação horizontal com a profundidade, foram

simuladas estacas de diferentes geometrias, afim de se compreender melhor o que ocorre em

cada caso. Foram quatro diferentes diâmetros (40 cm, 50 cm, 60 cm e 70 cm) e três diferentes

profundidades (10 m, 15 m e 20 m). Todas as simulações podem ser encontradas no

Apêndice A.


G. M. S. Lima

4.1 IMPORTÂNCIA DO PERFIL DO SOLO

Figura 19 – Deslocamento x Profundidade. Estaca de 10 metros com 40 cm de diâmetro.

É de se esperar que nos solos onde os valores do coeficiente de reação horizontal

são mais altos nas primeiras camadas (Casos 4 e 5), haja uma maior resistência do solo e,

consequentemente, menores deslocamentos na cabeça da estaca, como pode ser observado no

gráfico da Figura 4.2.

Por outro lado, estacas imersas em solos com coeficiente de reação horizontal

mais baixos nas primeiras camadas (Casos 1 e 2), se deslocam mais e com isso são

submetidas a maiores momentos, como pode ser observado na Figura 4.3. Além disso, apesar

do solo do Caso 2 melhorar bastante com a profundidade em relação ao Caso 1, isso pouco

importa para o deslocamento e os momentos gerados no decorrer da estaca (os gráficos são

muito parecidos), o que indica que o coeficiente de reação horizontal é muito mais sensível

nos primeiros metros de solo.

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

10,00

11,00

-0,0020 0,0000 0,0020 0,0040 0,0060 0,0080 0,0100 0,0120

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

DESLOCAMENTO (M)

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

CASO 5


G. M. S. Lima

Figura 20 – Momento x Profundidade. Estaca de 10 metros com 40 cm de diâmetro.

4.2 MELHORIA DA CAMADA SUPERFICIAL

Já que o comportamento da estaca está muito ligado ao valor do kh nos primeiros

metros de solo, uma análise bastante pertinente que se pode fazer é a substituição de solos

com coeficientes baixos nos primeiros metros por solos melhores ou melhorados. Para o Caso

1, onde o kh é baixo e constante com a profundidade, com a substituição do solo, tem-se o

esquema da Figura 4.4.

Figura 21 – Modificação do solo nos primeiros metros.

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

10,00

11,00

-10,0000 0,0000 10,0000 20,0000 30,0000 40,0000 50,0000 60,0000

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

MOMENTO (KN.M)

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

CASO 5


G. M. S. Lima

Com essa modificação, fica ainda mais clara a influência de um solo “bom” nos

primeiros metros, pois há um ganho substancial no comportamento da estaca, como pode ser

observado nas Figuras 4.5 e 4.6.

Figura 22 – Deslocamento x Profundidade. Paralelo entre solo original e solo modificado.

Figura 23 – Momento x Profundidade. Paralelo entre solo original e solo modificado.

0

1

2

3

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6

7

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-0,0020 0,0000 0,0020 0,0040 0,0060 0,0080 0,0100 0,0120

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

DESLOCAMENTO (M)

CASO 1 - ORIGINAL

CASO 1 - MODIFICADO

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-10,0000 0,0000 10,0000 20,0000 30,0000 40,0000 50,0000 60,0000

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

MOMENTO (KN.M)

CASO 1 - ORIGINAL

CASO 1 - MODIFICADO


G. M. S. Lima

4.3 INFLUÊNCIA DO DIÂMETRO DA ESTACA

Outra análise importante a se fazer é a comparação de comportamento entre duas

estacas de diâmetros diferentes. Naturalmente, é de se esperar que estacas com diâmetros

maiores se comportem melhor quando se trata de deslocamentos, já que quando maior for o

diâmetro, maior será sua rigidez.

Por outro lado, estacas com diâmetros maiores, por serem mais rígidas, absorvem

maior quantidade de momento. Por conta disso, o momento se anula mais profundamente na

peça, gerando maior necessidade de armação. Todas essas informações podem ser facilmente

visualizadas nas Figuras 4.7 e 4.8.

Figura 24 – Deslocamento x Profundidade. Estaca de 10 metros. Comparação entre diâmetros.

0,00

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3,00

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5,00

6,00

7,00

8,00

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10,00

11,00

-0,0020 0,0000 0,0020 0,0040 0,0060 0,0080 0,0100 0,0120

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

DESLOCAMENTO (M)

Diâmetro de 40 cm

Diâmetro de 70 cm


G. M. S. Lima

Figura 25 – Momento x Profundidade. Estaca de 10 metros. Comparação entre diâmetros.

4.4 INFLUÊNCIA DO COMPRIMENTO DA ESTACA

Conforme já concluído nas sessões anteriores, o comportamento da estaca está

intimamente ligado ao valor do kh das primeiras camadas de solo. Portanto, é de se esperar

que os resultados de estacas de mesmo perfil de solo, mesmo diâmetro e diferentes

comprimentos tenham resultados similares. Ou seja, o comprimento da estaca não é fator

determinante para o comportamento da estaca.

Observando as figuras 4.9 e 4.10, nota-se que os resultados são muito próximos

em todo o comprimento da estaca (para mesmo diâmetro) e a partir de uma certa

profundidade a influência do coeficiente kh é nula.

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

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7,00

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10,00

11,00

-10,0000 0,0000 10,0000 20,0000 30,0000 40,0000 50,0000 60,0000

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

MOMENTO (KN.M)

Diâmetro de 40 cm

Diâmetro de 70 cm


G. M. S. Lima

Figura 26 – Deslocamento x Profundidade. Comparação entre comprimentos.

Figura 27 – Momento x Profundidade. Comparação entre comprimentos.

0123456789

101112131415161718192021

-0,0020 0,0000 0,0020 0,0040 0,0060 0,0080 0,0100 0,0120

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

DESLOCAMENTO (M)

L = 10 m e φ=40 cm

L = 20 m e φ=40 cm

L = 10 m e φ=70 cm

L = 20 m e φ=70 cm

0123456789

101112131415161718192021

-10,0000 0,0000 10,0000 20,0000 30,0000 40,0000 50,0000 60,0000

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

MOMENTO (KN.M)

L = 10 m e φ=40 cm

L = 20 m e φ=40 cm

L = 10 m e φ=70 cm

L = 20 m e φ=70 cm


G. M. S. Lima

5 CONCLUSÃO E SUGESTÕES

A planilha é uma ferramenta fácil e rápida de se implementar a teoria das

diferenças finitas e sua versatilidade de poder controlar diversos dados e parâmetros distintos

é um ponto muito positivo, pois evita-se a necessidade de desenvolvimento de um software

específico mais complexo.

É interessante notar sobre importância das camadas superiores de solo, pois,

conforme observado nas análises, o comportamento da estaca é extremamente sensível aos

valores do coeficiente de reação horizontal dos primeiros metros de solo. São também nas

camadas superiores onde ocorrem os momentos máximos.

Embora estacas mais profundas espera-se que suportem maiores cargas verticais,

esse comprimento pouco importa para o seu comportamento devido a cargas horizontais, pois

a partir de um certo ponto os deslocamentos e momentos se anulam.

Mesmo que o coeficiente de reação horizontal seja de difícil mensuração no dia a

dia, vale investir em pesquisas futuras que ajudem a solucionar esse problema, já que,

conforme observado no trabalho, o comportamento da estaca está diretamente ligado a ele,

principalmente nas primeiras camadas. A substituição de poucos metros de solo com baixo

coeficiente por solos melhores ou melhorados pode significar um grande ganho no

comportamento da estaca e consequentemente, de projeto.

Por fim, como sugestão de trabalhos futuros, sugere-se a pesquisa através de retro

análises de provas de carga, a fim de se obter uma relação entre o Nspt do solo e o coeficiente

de reação horizontal do solo. Com isso, o projetista teria dados para avaliar diferentes tipos

de soluções para os problemas que podem surgir no dia a dia da engenharia.


G. M. S. Lima

REFERÊNCIAS

BROMS, B. B. Lateral resistance of piles in cohesive soil, JSMFD, ASCE, v. 90, n. SM2,

p. 27-65, 1964.

BROMS, B. B. Design of the lateral loaded piles, JSMFD, ASCE, v. 91, n. SM3, p. 79-99,

1965.

HANSEN, J. B. The Ultimate resistance of rigid piles against transversal forces, Bulletin

n. 12, Danish Geotechnical Institute, 1961.

HETENYI, M. Beams on elastic foundation. Ann Arbour: University of Michigan Press,

1946.

MATLOCK, H.; REESE, L. C. Non-dimensional solutions for laterally loaded piles with

soil modulus assumed proportional to depth, Proceedings of the 8th Texas Conference on

SMFE, 1956.

MICHE, R. I. Investigation of piles subject to horizontal forces. Application to quay walls,

Journal of the School of Engineering, n. 4, Giza, Egito, 1930.

POULOS, H. G., DAVIS, E. Piles Foundations Analysis and Design. 1980. John Wiley &

Sons Ins., New York.

SOUSA, C. T. Ensaio e análise de resposta de estacas em solo residual do granito sob

ações horizontais. 2006. 228 f. Tese (Mestrado em Engenharia Civil) – Faculdade de

Engenharia do Porto, Portugal.

VELLOSO, D. A; LOPES, F. R. Fundações: Critérios de Projeto, Investigações do Subsolo,

Fundações Superficiais, Fundações Profundas. São Paulo: Oficina dos Textos, 2010.


G. M. S. Lima

APÊNDICE A – GRÁFICOS DO COMPORTAMENTO DA

ESTACA COM A VARIAÇÃO DO SOLO

Abaixo encontra-se o resumo dos diferentes tipos de casos de variação do

coeficiente de variação horizontal com a profundidade, já apresentado anteriormente.

Figura 28 - Esquema dos diferentes casos de variação do kh com a profundidade.

A.1 – ESTACA DE 10 METROS COM 40 CM DIÂMETRO

Apresenta-se neste item os gráficos da estaca de 10 m com diâmetro de 40 cm.


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DESLOCAMENTO (M)

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

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G. M. S. Lima


Figura 31 – Cortante x Profundidade. Estaca de 10 metros com 40 cm de diâmetro.

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CASO 1

CASO 2

CASO 3

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CORTANTE (KN)

CASO 1

CASO 2

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DESLOCAMENTO (M)

CASO 1

CASO 2

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CASO 1

CASO 2

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CASO 1

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CASO 1

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CORTANTE (KN)

CASO 1

CASO 2

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CASO 1

CASO 2

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MOMENTO (KN.M)

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

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CASO 1

CASO 2

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CASO 1

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10,0011,0012,0013,0014,0015,0016,0017,0018,0019,0020,0021,00

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-5,0000 0,0000 5,0000 10,0000 15,0000 20,0000 25,0000 30,0000 35,0000 40,0000

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-0,0010 0,0000 0,0010 0,0020 0,0030 0,0040 0,0050 0,0060 0,0070 0,0080

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-0,0010 0,0000 0,0010 0,0020 0,0030 0,0040 0,0050 0,0060

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0,001,002,003,004,005,006,007,008,009,00

10,0011,0012,0013,0014,0015,0016,0017,0018,0019,0020,0021,00

-10,0000 0,0000 10,0000 20,0000 30,0000 40,0000 50,0000 60,0000

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

MOMENTO (KN.M)

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

CASO 5

0,001,002,003,004,005,006,007,008,009,00

10,0011,0012,0013,0014,0015,0016,0017,0018,0019,0020,0021,00

-20,0000 -10,0000 0,0000 10,0000 20,0000 30,0000 40,0000 50,0000 60,0000

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

CORTANTE (KN)

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

CASO 5


G. M. S. Lima





0,001,002,003,004,005,006,007,008,009,00

10,0011,0012,0013,0014,0015,0016,0017,0018,0019,0020,0021,00

-0,0010 0,0000 0,0010 0,0020 0,0030 0,0040 0,0050

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

DESLOCAMENTO (M)

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

CASO 5

0,001,002,003,004,005,006,007,008,009,00

10,0011,0012,0013,0014,0015,0016,0017,0018,0019,0020,0021,00

-10,0000 0,0000 10,0000 20,0000 30,0000 40,0000 50,0000 60,0000

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

MOMENTO (KN.M)

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

CASO 5


G. M. S. Lima


0,001,002,003,004,005,006,007,008,009,00

10,0011,0012,0013,0014,0015,0016,0017,0018,0019,0020,0021,00

-20,0000 -10,0000 0,0000 10,0000 20,0000 30,0000 40,0000 50,0000 60,0000

PR

OFU

ND

IDA

DE

(M)

CORTANTE (KN)

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

CASO 5

estudo do comportamento de estacas submetidas a esforços

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