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ESTUDO DE REPETITIVIDADE E

REPRODUTIBILIDADE PARA DADOS

FUNCIONAIS

Alexandre Homsi Pedott (UFRGS)

[email protected]

Flavio Sanson Fogliatto (UFRGS)

[email protected]

Neste artigo apresenta-se um método para estudos de repetitividade e

reprodutividade (R&R), destinados a analisar a capacidade e o

desempenho de sistemas de medição, quando as variáveis de interesse

são funcionais, isto é, caracterizadas poor uma coleção de dados que

formam um perfil ou uma curva, e não por uma observação individual.

O método proposto envolve a adaptação de testes de hipótese e da

análise de variância de um e dois fatores usados em comparações de

populações, na avaliação de sistemas de medições. A proposta de

adaptação foi baseada na utilização da distância de Hausdorff como

uma medida de proximidade entre as curvas. O método foi aplicado a

um estudo simulado de R&R, estruturado para analisar cenários em

que o sistema de medição foi aprovado e reprovado.

Palavras-chaves: Estudos de R&R; dados funcionais; ANOVA das

distâncias

XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no

Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.



2

1. INTRODUÇÃO

A avaliação do desempenho e da capacidade de um sistema de medição (SM) envolve a

análise de diferentes tipos de características de qualidade (CQs). Existem CQs em que o

resultado da amostragem da variável de interesse é dado por uma coleção de dados ou vetor

de valores. Essa coleção de dados forma um perfil ou uma curva. O conteúdo informativo de

uma curva é maior que o de um ponto individual. Os valores discretos medidos são pontos de

uma função dependente de outra variável, denominada exploratória. Ramsay e Silverman

(2005) denominam essas variáveis de resposta de dados funcionais. A função que representa o

conjunto de dados pode ser obtida através de um processo de interpolação, utilizando técnicas

de suavização.

O estudo de Repetitividade & Reprodutividade (R&R) é uma ferramenta da EQ usada na

análise de um SM. Nos estudos de R&R, o instrumento de medição é usado para medir,

repetidas vezes, as amostras de um produto. A repetitividade se refere à variabilidade

característica do instrumento de medição, e decorre da sua capacidade de fornecer leituras

repetidas muito próximas, sob as mesmas condições. A reprodutibilidade se refere à

capacidade de um SM apresentar os mesmos resultados a partir da alteração nas condições de

medição, tais como mudanças de avaliadores, diferentes turnos de trabalho, ou alterações de

processo. O objetivo do estudo de R&R é determinar se a variabilidade do SM é relativamente

menor que a variabilidade do processo monitorado (VIM, 2008; BURDICK, BORROR e

MONTGOMERY, 2003; AIAG, 2002).

O método de análise mais usado em estudos de R&R é a Análise de Variância (ANOVA –

Analysis of variance). A ANOVA permite decompor a variabilidade do SM e avaliar a

interação entre os componentes. A estimativa da variabilidade do sistema é determinada pelo

cálculo do erro aleatório, obtido com as replicações. O erro de medição é composto pela

dispersão do instrumento, pelo efeito do avaliador e pelo erro aleatório, devido às replicações.

Os critérios mais usados para avaliar a capacidade de um SM são: (i) Índice de Capacidade de

Medição (ICM1) como um percentual de variabilidade do processo; (ii) Índice de Capacidade

de Medição (ICM2) como um percentual da variabilidade da especificação do processo; e (iii)

a Razão Sinal-Ruido (SNR) ou número de categorias distintas (ndc). O ICM1 indica a

distorção da variação do processo devido ao SM. O ICM2 mostra a habilidade do instrumento

de classificar os produtos frente às especificações. O ndc reflete a capacidade do SM

discriminar categorias, dentro da variação do processo. A indústria automotiva recomenda o

uso do ICM1 e o ndc nas avaliações dos sistemas de medições. (BARRENTINE, 2003;

BURDICK, BORROR e MONTGOMERY, 2005; AIAG, 2002).

As pesquisas recentes que envolvem estudos de R&R não abordam a avaliação de

características de qualidade que se comportam como curvas. A maior parte desses trabalhos

enfoca a análise de SMs de uma variável. Majeske (2008) apresenta um método de análise de

para SMs com múltiplas variáveis de respostas independentes. O método foi aplicado a um

SM formado por um dispositivo que mede diferentes CQs, simultaneamente. O método

envolve a aplicação da ANOVA multivariada (MANOVA) e apresenta critérios de aceitação

para os indicadores ICM1, ICM2 e ndc.

As pesquisas recentes em ADF focalizam a representação dos dados, a determinação de

comportamentos padronizados e as variações entre diferentes curvas. Ferraty e Vieu (2003)

empregam o Estimador de Kernel para classificar curvas a categorias existentes. Ramsay e

Silverman (2005) apresentam as adaptações de diferentes técnicas multivariadas para o

contexto funcional, tais como Análise de Componentes Principais e Modelos lineares de



3

suavização por Splines. Abramovich e Angelini (2006) apresentam um modelo de Análise de

Variância para dados funcionais (FANOVA – Functional Analysis of variance). O modelo

estabelece um procedimento para teste de significância baseado em coeficientes de wavelet

empíricos, que permite caracterizar diferentes tipos de respostas funcionais suavizadas sob

alternativas não-paramétricas. Mosesova et al. (2006) generalizam algumas técnicas

tradicionais de monitoramento de processos para aplicação em dados que se comportam como

curvas.

O objetivo deste artigo é desenvolver e adaptar a ANOVA para avaliar um SM, onde

variáveis funcionais são mensuradas. O atendimento desse objetivo deve solucionar os

problemas causados pelo uso equivocado de métodos para variáveis simples em estudos de

R&R onde, a variável de resposta é funcional. O desenvolvimento de novas técnicas de

análise de dados funcionais deve contribuir para o avanço do estado da arte sobre a análise de

sistemas de medições de processos industriais com variáveis de resposta funcionais.

2. ABORDAGEM CLÁSSICA DA ANOVA EM UM ESTUDO DE R&R

Um experimento clássico para o estudo de R&R usa a ANOVA de dois fatores. O primeiro

fator é a Peça (P) e o outro o Avaliador (A). O modelo estatístico para a variável de resposta,

considerando fatores de efeitos fixos (MONTGOMERY e RUNGER, 2003):

xijk = + i +j + (iji + ijk, i = 1, ..., I; j = 1, ..., J; k = 1, ..., K; (1)

Na eq. (1), é a grande média, i é o efeito do i-ésimo avaliador, j é o efeito da j-ésima peça,

()ij é o efeito da interação entre o avaliador i e a peça j, e ijk é o resíduo, ou erro aleatório

normalmente distribuído e com média zero. O resíduo é dado pela eq. (2), onde .ijx representa

o valor esperado para a CQ. A ANOVA pressupõe observações normalmente e

independentemente distribuídas, com idêntica variância para os diferentes níveis dos fatores.

Desvios moderados da normalidade não implicam em uma séria violação do pressuposto.

(MONTGOMERY, 2001; MONTGOMERY e RUNGER, 2003).

.ijijkijk xx (2)

O objetivo da ANOVA é testar a hipótese de igualdade das médias ou se os efeitos dos fatores

e da interação são iguais a zero. As variâncias devem ser calculadas a partir das somas

quadradas dos resíduos. A Soma Quadrática Total (SQT) é dada na eq. (3); a Soma Quadrática

dos Avaliadores (SQA) é dada na eq. (4); a Soma Quadrática das Peças (SQP) é dada na eq.

(5); a Soma Quadrática da interação entre os Avaliadores e as Peças (SQAP) é dada na eq. (6);

a Soma Quadrática dos Resíduos (SQR) é dada na eq. (7). A equação de identidade que

associa as SQs acima é dada na eq. (8), com número de graus de liberdade (GDL) dado na eq.

(9), onde o termo do lado esquerdo se refere ao GDL da SQT, e os termos do lado direito se

referem ao GDL de SQA, SQP, SQAP e SQR, respectivamente.

2

1 1 1 ...

I

i

J

j

K

k ijk xxSQT (3)

2

1 .....

I

i i xxJKSQA (4)

2

1 .....

J

j j xxIKSQP (5)

2

1 1 ........

I

i

J

j jiij xxxxKSQAP (6)



4

2

1 1 1 .

I

i

J

j

K

k ijijk xxSQR (7)

SQT = SQA + SQP + SQAP + SQR (8)

(IJ K – 1) = (I – 1) + (J – 1) + (I – 1)(J – 1) + IJ(K – 1) (9)

As médias quadráticas de cada fator são dadas pela razão entre as somas quadradas e os GDL

dos respectivos fatores. Se o efeito de um fator for significativo, o valor esperado da média

quadrática do fator deve ser diferente do valor esperado da média quadrática dos resíduos. O

teste F determina se os efeitos do avaliador, da peça e da interação são significativos. Em

geral, a interação não deve ser significativa. Neste caso, é recomendável unificar as somas

quadradas, somando SQAP à SQR e os graus de liberdade correspondentes. A adição das

somas quadradas e o novo número de graus de liberdade geram novos valores para as médias

quadráticas e correspondentes valores calculados de F (MONTGOMERYe RUNGER, 2003).

AIAG (2002) apresenta o cálculo da decomposição da variabilidade de um SM. A

repetitividade ou variação do equipamento é denominada VE. A reprodutibilidade ou variação

dos avaliadores é denominada VA. A variação do SM é avaliada pelo cálculo do R&R. A

variação total do estudo é denominada de VT. VP é a variação da peça ou processo. A

variabilidade de cada fator é comparada com a variabilidade total do SM. A Tabela 1

apresenta o cálculo da percentagem que cada fator consome da variação total do sistema. Os

componentes da variação do SM são representados pelo desvio padrão 5,15 sigma, usado por

ser de mais fácil interpretação do que a variância. No caso de ocorrer um valor negativo sob a

raiz quadrada, a variação do fator correspondente deve ser considerada nula.

Fonte de Variação Desvio Padrão 5,15 sigma Percentual da Variação

Total

Repetitividade MQRVE 15,5 100 x VE/VT

Reprodutibilidade IK

MQAPMQAVA

15,5 100 x VA/VT

Interação P x A K

MQRMQAPVAP

15,5 100 x VAP/VT

Peça JK

MQAPMQPVP

15,5 100 x VP/VT

R&R 222

& VAPVAVERR

100 x R&R/VT

Total 22& VPRRVT

Tabela 1 – Componentes da variabilidade de um SM

Os indicadores de capacidade dos sistemas de medição são calculados da seguinte forma:

RRICM &%1 (10)



5

LIELSE

RRICM

&2 (11)

RR

VPndc

&2 (12)

Os critérios de decisão recomendados para avaliação de um SM (BARRENTINE, 2003;

BURDICK, BORROR e MONTGOMERY, 2005; AIAG, 2002) são os seguintes: (i) se ICM1

≤ 0,1 e/ou ndc ≥ 5, o SM é aprovado; (ii) se 0,1 <ICM1 ≤ 0,3 e/ou 2 < ndc < 5, o SM pode ser

aprovado, dependendo da capacidade do processo e dos custos de seleção do produto; e (iii)

se ICM1 > 0,3 e/ou ndc ≤ 2, o SM é reprovado.

3. MÉTODO PROPOSTO

Considere um estudo clássico de R&R desenvolvido na seção 2. O problema aqui abordado

consiste em avaliar o desempenho de um SM cuja CQ é uma variável funcional. Na

abordagem clássica a variável de resposta é medida por um valor único, dado pela eq. (1). Na

Análise de Dados Funcionais (ADF), a variável de resposta é medida por uma coleção de

pontos, representados por um vetor.

Sejam i avaliadores e j peças diferentes. Cada avaliador efetua k repetições da medição de

uma CQ cuja variável de resposta é funcional.A variável de resposta é formada por curvas

compostas por n pontos. As observações da k-ésima repetição do i-ésimo avaliador sobre a j-

ésima peça estão organizadas no vetor xijk, no espaço RR2.

xijk = [(xijk1, t1), ..., (xijkN, tN)] (13)

onde i = 1,..., I, j = 1,..., J, k = 1,..., K e n= 1,..., N são inteiros e positivos, e t é um número

real não negativo. Considerando que a variável de resposta é uma curva, os resíduos usados

nos cálculos da variância da ANOVA devem ser determinados através de uma medida de

proximidade entre curvas. Uma medida de proximidade entre duas curvas é dada pela

distância entre elas. Fogliatto (2008) usou a Distância de Hausdorff (DH) para converter

respostas funcionais em respostas simples em um contexto de otimização de experimentos

com múltiplas respostas. A DH fornece uma medida da distância entre duas curvas ou

conjuntos de pontos diferentes. Quanto menor a distância, maior a semelhança entre os dois

conjuntos. A DH é definida como o limite superior (valor máximo) do conjunto das distâncias

mínimas entre os pontos de dois vetores. O valor de máximo pode ser substituído pela

mediana, ou pela soma das distâncias mínimas. Souza (2008) usou diferentes medidas de

distâncias para testar se a curva média de um grupo de curvas é igual a uma curva

previamente conhecida.

O método proposto (ANOVA das distâncias) se baseia no cálculo da DH entre curvas

observadas e as curvas médias esperadas. Uma curva média é definida pelo conjunto das

médias dos pontos das curvas observadas. Sejam ..ix os vetores das médias dos i avaliadores

dados por:

N

J

j

K

k ijkN

J

j

K

k ijk

i tJK

xt

JK

x,,...,,

1 1

1

1 1 1

..x (14)

Sejam .. jx os vetores das médias das j peças dados por:



6

N

I

i

K

k ijkN

I

i

K

k ijk

j tIK

xt

IK

x,,...,, 1 1

11 1 1

..x (15)

Sejam .ijx os vetores das médias dos i avaliadores e das j peças, dados por:

N

K

k ijkN

K

k ijk

ij tK

xt

K

x,,...,, 1

11 1

.x (16)

Seja ...x o vetor da grande média, correspondente a todas as observações, dado por:

N

I

i

J

j

K

k ijkN

I

i

J

j

K

k ijkt

IJK

xt

IJK

x,,...,,

1 1 1

1

1 1 1 1

...x (17)

As distâncias entre as curvas observadas, dadas na eq. (13), e as curvas médias das equações

(14) a (17) estão associadas às variabilidades características do SM. A ANOVA das distâncias

será apresentada em duas abordagens. As abordagens se diferenciam pelo cálculo da distância

entre as curvas: a primeira abordagem calcula a DH através da mediana; a segunda, através da

média.

A abordagem das medianas é assim implementada. A partir da eq. (3), obtém-se a Soma

Quadrática Total (SQT) dada por:

21 1 1 ...

I

i

J

j

K

k ijkdSQT xx (18)

...xx ijkd é a DH entre cada curva observada xijk em um determinado grupo e a curva da

grande média ...x , dada pela eq. (19). Essa distância é equivalente ao resíduo entre o valor

observado e o esperado da observação .ijijk xx .

ijkxddijk

xx xx ,mediana ...nx... ......n (19)

onde,

ijkxijk xxdxdijk

,min, ...n...n ijk xx (20)

sendo a distância ijkxxd ,...n correspondente à distância Euclidiana entre um ponto do vetor

...x e um ponto do vetor xijk; considerando-se os pontos nx... e x111, essa distância seria dada

por:

22

1111...111...1 1111..., xx ttxxxxd (21)

A eq. (21) mostra que a DH é uma distância euclidiana. Essa operação perde a informação da

posição da curva observada em relação à curva média. Isto é, duas curvas diferentes podem

ter a mesma DH, porém estarem em posições simétricas em relação à curva média. A

alternativa para não perder essa informação é atribuir um sinal a cada DH calculada. O sinal

será positivo se o valor da resposta do ponto que coincide com a DH for maior que valor da

curva média, no mesmo instante t, e negativo se menor. A informação do sinal deve ser usada

para a verificação dos pressupostos de normalidade dos resíduos.



7

A Soma Quadrática dos Avaliadores (SQA) é obtida a partir da Eq. (4), sendo dada por:

I

i idJKSQA

1

2

.....xx (22)

.....xx i

d é a distância entre a curva média ..ix de cada avaliador e a curva da grande média

...x , dada por:

........ ,mediana......n.. inx xdd

ixx xx (23)

onde,

.......... ,min,..i.. inxin xxdxd

ixx (24)

sendo a distância ..... , in xxd definida pela Eq. (21).

Da Eq. (5) se obtém a Soma Quadrática das Peças (SQP) dada por:

J

j jdIKSQP

1

2

.....xx (25)

.....xx j

d é a distância entre a curva média .. jx de cada peça e a curva da grande média ...x ,

dada por:

........ ,mediana......n.. jnx xdd

jxx xx (26)

onde,

.......... ,min,...j. jnxjn xxdxd

jxx (27)

sendo a distância ..... , jn xxd definida pela Eq. (21).

A Soma Quadrática para a interação entre os avaliadores e as peças (SQAP) corresponde à

diferença das distâncias dadas pelas Equações (26) e (29), sendo dada por:

21 1 ..... ...

I

i

J

j i jijddKSQAP xx xx (28)

... iijd xx é a distância entre a curva média .ijx das k repetições e a curva média do respectivo

avaliador i ..ix , dada por:

..... ,mediana....n. ijnixi xdd

iiijxx xx (29)

onde,

...... ,min,.ij. ijnixijni xxdxd

ijxx (30)

sendo a distância ... , ijni xxd definida pela eq. (21).

Por fim, a Soma Quadrática dos Resíduos (SQR) é obtida a partir da eq. (7), sendo dada por:

21 1 1 .

I

i

J

j

K

k ijijkdSQR xx (31)

.ijijkd xx é a distância entre cada curva observada xijk e a curva média do respectivo avaliador

i e peça j .ijx , dada por:



8

ijknijxij xddijijijk

xx xx ,mediana .. ..n (32)

onde,

ijknijxijknij xxdxdijk

,min, .. ijk xx (33)

sendo a distância ijknij xxd ,. definida pela eq. (21).

Existem duas alternativas para o cálculo de SQR. A primeira alternativa é usar diretamente a

eq.(31). A segunda é usar a identidade da eq. (8) e as eq. (18), (22), (25) e (28). As duas

alternativas podem levar a resultados diferentes. A diferença ocorre porque o valor esperado

usado na eq.(31) pode variar de curva para curva. Essa diferença depende da variação ao

longo de t. A escolha da primeira alternativa pode levar a pequenos desvios na identidade da

eq. (8). A escolha da segunda alternativa pode levar a uma distorção no valor de SQR. A

escolha da fórmula de cálculo do método deve levar em conta o impacto nos erros tipo I e II.

O número de GDL deve ser calculado de acordo com a eq. (9). As Médias Quadráticas são

dadas pela eq. (34) a (37).

1

1

2

.....

I

dJKMQA

I

i ixx

(34)

1

1

2

.....

J

dIKMQP

J

j jxx

(35)

11

2

1 1 ..... ...

JI

ddKMQAP

I

i

J

j i jijxx xx

(36)

1

2

1 1 1 .

KIJ

dMQR

I

i

J

j

K

k ijijkxx

(37)

Se o efeito de um fator for significativo, o valor esperado da média quadrática do fator deve

ser diferente do valor esperado da média quadrática dos resíduos. A tabela ANOVA para o

modelo da eq. (1) é apresentada na Tabela 2. O teste F determina se os efeitos do avaliador,

da peça e da interação são significativos. Se o valor calculado da estatística F (FCAL) for maior

que o valor tabelado de F, deve-se rejeitar a hipótese nula. Caso o efeito da interação não seja

significativo, a tabela da ANOVA deve ser reformulada para unificar a variância da interação

à variância dos resíduos.

A Tabela 2 fornece as informações suficientes para avaliar o desempenho do SM. A avaliação

é baseada no cálculo das percentagens que cada componente contribui para a variação total do

SM. Tais percentagens são calculadas conforme apresentado na Tabela 1. A capacidade do

SM deve ser avaliada pelos indicadores ICM1, ICM1 e o ndc, descritos nas eq. (10) e (11). Os

critérios de aprovação devem ser os mesmos apresentados anteriormente.

A segunda abordagem para o cálculo das distâncias, baseada nas médias, pode ser interessante

em casos onde se deseje maior sensibilidade da ANOVA a valores extremos em pontos

específicos das curvas. Para tanto, deve-se substituir o operador de mediana usado nas eq.

(19), (23), (26), (29) e (32) pelo operador de média. Para diferenciar as distâncias calculadas

nas duas abordagens, a distância calculada através da média é designada por ...xx

a

ijkd . O

cálculo das somas quadráticas segue o mesmo procedimento da abordagem da mediana, e a



9

tabela ANOVA para essa abordagem é similar àquela apresentada na Tabela 2. Os critérios de

aprovação do SM são como apresentados anteriormente.

Fonte de

Variação

Soma dos Quadrados GDL Média Quadrática FCAL FTAB

Avaliador

I

i idJK

1

2

.....xx

(I –1) 1

1

2

.....

I

dJKMQA

I

i ixx

MQA/

MQR F,(I-1),IJ(K-1)

Peça

J

j jdIK

1

2

.....xx

(J – 1) 1

1

2

.....

J

dIKJ

j jxx

MQP/

MQR F,(J-1),IJ(K-1)

Interação

AP

2

1 1 ..... ...

I

i

J

j i jijddK xx xx

(I –1)

(J – 1)

11

2

1 1 ..... ...

JI

ddKI

i

J

j i jijxx xx

MQAP

/MQR F,(I-1) (J-1),IJ(K-1)

Erro 21 1 1 .

I

i

J

j

K

k ijijkdSQR xx

IJ(K –1) 1

2

1 1 1 .

KIJ

dI

i

J

j

K

k ijijkxx

Total 21 1 1 ...

I

i

J

j

K

k ijkd xx

Tabela 2–Tabela ANOVA das Distâncias de dois fatores

4. EXEMPLO NUMÉRICO

Esta seção apresenta o resultado da aplicação dos métodos propostos na seção anterior a um

estudo de R&R simulado. O estudo foi baseado no caso de um fabricante de pneus, que avalia

a qualidade dos produtos através da viscosidade da borracha. A medição é feita em um

reômetro, que mede as propriedades visco-elásticas da borracha. O instrumento fornece a

curva reométrica de vulcanização da borracha, a partir da qual são obtidos os valores usuais

para caracterização da borracha. Uma característica viscosa é dada pelo torque suportado por

uma amostra de borracha em diferentes instantes do tempo de vulcanização.

A curva de vulcanização da borracha segue o modelo da distribuição de Weibull, isto é, 3

2

10

teX , onde X representa o torque, 0, 1, 2 e 3 são os coeficientes

experimentais do modelo e t o tempo em minutos. A partir desse modelo, é possível

determinar o valor do torque em qualquer tempo no intervalo modelado, o que permite que a

curva de vulcanização seja comparável em intervalos fixos de tempo.

O objetivo da simulação foi gerar curvas correspondentes às k medições dos i avaliadores

efetuadas sobre as j peças de referência. Foram geradas curvas para a obtenção de três

cenários no contexto da avaliação de um SM, dois dos quais são apresentados aqui. No

primeiro cenário foram geradas as curvas de forma que o estudo de R&R resultasse na

aprovação do SM. No segundo cenário foram simuladas curvas que resultaram na reprovação

do SM. Neste caso, o SM foi reprovado devido ao efeito do avaliador. O terceiro cenário, de

reprovação do SM devido ao efeito do equipamento de medição, é omitido. As duas

abordagens propostas na seção 3 foram usadas na análise de cada cenário simulado.

O estudo simulado de R&R envolve a avaliação de um SM com 2 avaliadores e 5 peças. Cada

avaliador efetua 5 repetições da medida, cuja variável de resposta é funcional. A variável de



10

resposta é formada por curvas compostas de 11 pontos. A primeira fase do processo de

simulação foi a obtenção de cinco curvas de referência correspondentes as cinco peças de

referência. As curvas de referência foram obtidas a partir do modelo de Weibull, com

diferentes parâmetros de ajuste 0, 1, 2 e 3.

A segunda fase do processo de simulação foi a geração das curvas observadas para cada

cenário. Para simular os valores medidos, foram adicionados dois termos de erro aleatório ao

modelo de Weibull. Foram usados erros aleatórios com distribuição N(,2). O primeiro

termo de erro corresponde à influência do avaliador sobre o SM. O segundo termo de erro

corresponde ao erro característico do equipamento de medição. O erro do equipamento de

medição foi dividido em dois fatores devido à diferença de escala da variável de resposta. Em

todos os cenários, o teste K-S de normalidade mostrou que não há evidência significativa para

que a hipótese de normalidade dos dados seja rejeitada, a um nível de confiança de = 0,05.

Também, em todos os cenários, o efeito da interação não foi significativo e os termos de

SQAP unificados aos do SQR.

4.1 SM APROVADO

A Tabela 3apresenta a ANOVA das medianas e a Tabela 4 traz a ANOVA das médias. O teste

F mostra que há efeito significativo para a variação das peças nos dois casos. O efeito dos

avaliadores não foi significativo. Foi usada a eq. (31) para o cálculo da SQR.

Fonte de Variação SQ GDL MQ FCAL FTAB

Avaliador 0,0001 1 0,0001 1,5953 4,062

Peça 0,2547 4 0,0637 1578,2 2,584

Resíduos 0,0018 44 0,0000

Total 0,2565 49

Tabela 3–ANOVA de dois fatores das medianas (sem interação)

A Tabela 5 apresenta os indicadores de capacidade e desempenho do SM no cenário

aprovado, para as duas abordagens. O resultado da Tabela 5 é compatível com o cenário

simulado. O SM foi aprovado nas duas abordagens. O desvio na identidade da eq. (8) passou

de 0,0001 na abordagem da mediana para 0,0016 nas abordagens da média e da diagonal.

Considerando os critérios de aprovação da Tabela 6, o SM foi aprovado.


Avaliador 0,0001 1 0,0001 1,54 4,062

Peça 0,2530 4 0,0632 1165,8 2,584

Resíduos 0,0024 44 0,0001

Total 0,2538 49

Tabela 4 – ANOVA de dois fatores das médias (sem interação)

Fonte de Variação MEDIANA MÉDIA

%VE 7,9 9,2

%VA 1,2 1,4

%VP 99,7 99,6



11

%R&R 8,0 9,3

ndc 17 15

Tabela 5 – Comparação das percentagens de variação do SM por cenário simulado

4.2 SM REPROVADO DEVIDO A VA

A Tabela 6 apresenta a ANOVA das medianas e a Tabela 7, a ANOVA das médias. O teste F

mostra que há efeito significativo para a variação das peças e dos avaliadores nos dois casos.


Avaliador 0,0212 1 0,0212 60,20 4,062

Peça 0,1998 4 0,0500 141,7 2,584

Resíduos 0,0155 44 0,0004

Total 0,23150 49

Tabela 6–ANOVA de dois fatores das medianas (sem interação)


Avaliador 0,0204 1 0,0204 50,7 4,062

Peça 0,1981 4 0,0495 123,2 2,584

Resíduos 0,0177 44 0,0004

Total 0,22815 49

Tabela 7– ANOVA de dois fatores das médias (sem interação)

A Tabela 8 apresenta os indicadores de capacidade e desempenho do SM no cenário

aprovado, para as duas abordagens.

Fonte de Variação MEDIANA MÉDIA

%VE 24,0 25,6

%VA 36,9 36,2

%VP 89,8 89,6

%R&R 44,0 44,3

ndc 2 2

Tabela 8– Comparação das percentagens de variação do SM por cenário simulado

O resultado da Tabela 8 é compatível com o cenário simulado. O SM foi reprovado nas duas

abordagens. A fonte de variação que mais contribuiu para a reprovação foi a VA. O desvio na

identidade da eq. (8) passou de 0,005 na abordagem da mediana para 0,008 na abordagem da

média. Em vista dos valores da Tabela 8, o SM foi reprovado.

5. CONCLUSÃO

A avaliação do desempenho de produtos e processos industriais que envolvem a análise de

dados funcionais aparece como necessidade crescente na Engenharia da Qualidade. Dado

funcional é a variável de resposta formada por coleção de dados que formam um perfil ou



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uma curva. Produto e processos com CQs medidas por variáveis funcionais devem ser

analisados por métodos apropriados, considerando todos os pontos observados da curva.

O método proposto nesse trabalho é uma adaptação do estudo de R&R para o tratamento

e análise de dados funcionais. O método apresenta apenas um resultado para análise e tomada

de decisão, no qual estão considerados todos os pontos da curva. O principal elemento da

proposta foi a utilização das DH entre as curvas. A DH é uma medida de proximidade entre

curvas. Em uma análise de variância, a medida de proximidade das curvas está para o nível de

variação do SM, como a medida de dispersão de uma variável simples. Um procedimento

detalhado por equações e tabelas foi desenvolvido para avaliar os componentes da variação de

um SM em que os dados são curvas.

A ANOVA das Distâncias soluciona os problemas causados pelo uso equivocado de métodos

para variáveis simples em estudos de R&R onde a variável de resposta é funcional. O método

proposto é uma alternativa para a análise na otimização de experimentos de respostas

funcionais, tratados por métodos multivariados. A ANOVA das Distâncias pode ser usada

com facilidade em planilhas eletrônicas comuns, sem a necessidade de programas

computacionais complexos.

REFERÊNCIAS

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