estudo de instabilidade em máquinas rotativas devido ao...

ESTUDO DE INSTABILIDADE EM MAQUINAS ROTATIVAS DEVIDO AO

AMORTECIMENTO INTERNO E ASSIMETRIA

Felliphe Goes Fernandes Barbosa

Projeto de Graduacao apresentado ao Curso

de Engenharia Mecanica da Escola Politecnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessarios a obtencao do

tıtulo de Engenheiro.

Orientador: Thiago Gamboa Ritto

Rio de Janeiro

Dezembro de 2018

Barbosa, Felliphe Goes Fernandes

Estudo de Instabilidade em Maquinas Rotativas Devido

ao Amortecimento Interno e Assimetria/ Felliphe Goes

Fernandes Barbosa. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola

Politecnica, 2018.

XIV, 77 p.: il.; 29, 7cm.


Projeto de Graduacao – UFRJ/ Escola Politecnica/

Curso de Engenharia Mecanica, 2018.

Referencias Bibliograficas: p. 69 – 70.

1. Instabilidade. 2. Amortecimento interno. 3.

Assimetria. I. Ritto, Thiago Gamboa. II. Universidade

Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso de Engenharia

Mecanica. III. Estudo de Instabilidade em Maquinas

Rotativas Devido ao Amortecimento Interno e Assimetria.

iii

Dedicado a minha avo, Maria, in

memoriam.

iv

Agradecimentos

Agradeco, primeiramente, a minha mae e a minha avo (in memoriam), as quais

sempre foram as maiores incentivadoras dos meus estudos e as maiores responsaveis

por qualquer traco de luz da minha alma; sem elas, nada do que eu construı, ou do

que venha a construir, seria possıvel. Minha maior sorte na vida foi ter nascido num

lar comandado por essas duas mulheres.

A minha namorada, Adriana. Um dos seres humanos mais incrıveis que tive a

sorte de cruzar, e uma das minhas maiores fontes de inspiracao. Obrigado por todo

amor, companheirismo e privilegio de estar ao seu lado.

Aos meus amigos da escola Thadeu, Antonio, Clara, Juliana, Matheus, Lucas,

Luiz, Paulo, Renan, Tati, Kassi, Vivi, Pavel, Jorge e Thamires pelas risadas, carinho

e companheirismo. Voces me ajudam a ser um ser humano melhor, mais feliz e

completo.

Aos meus amigos de faculdade Pedro, Iago, Lucas, Luma, Cadu, Deborah, Iago

Volpi, Vinicius, Yuri, Rafael, Anna, Bruna e Aline. Voces foram um foco de carinho

e alegrias na UFRJ. Agradeco as partidas de sueca, voltas de onibus interminaveis

no integracao e 679, pizzas, BKs, cinemas ... Sou muito grato pelo cruzamento dos

nossos destinos.

Aos meus companheiros da equipe de FSAE Icarus da UFRJ, os quais nao posso

citar todos, mas gostaria de agradecer especialmente a Guedes, Giuseppe, Paraquett,

Amaral, Porto, Gabriel, Yang, Matheus, Everton, Eric, Julia e Zambrano. As noites

mal dormidas e o BRT foram muito mais agradaveis na companhia de voces. Sao

nas equipes de competicao que se encontram os melhores engenheiros formados pela

UFRJ e foi uma honra compartilhar esse momento com todos voces.

Ao meu orientador, Thiago Ritto, pela confianca no meu trabalho e nas minhas

capacidades. Sem sua companhia e entusiasmo ao longo dos trabalhos que fizemos

nada seria possıvel.

A BR2W e toda sua equipe: Pedro, Leo, Laura, Iago, Vinıcius, Enzio, Ana Clara

v

Thurler, Flavio e Igor. Pelas horas de trabalho extremamente agradaveis e pelo

ambiente de trabalho enriquecedor. Gostaria tambem de agradecer especialmente

ao Pedro, pela confianca em mim e por estar sendo um grande incentivador da minha

carreira. Cresco a cada dia, como profissional e pessoa, gracas a voces.

vi

Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como

parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Mecanico

ESTUDO DE INSTABILIDADE EM MAQUINAS ROTATIVAS DEVIDO AO

AMORTECIMENTO INTERNO E ASSIMETRIA


Dezembro/2018


Programa: Engenharia Mecanica

Devido as velocidades de rotacao cada vez mais elevadas em maquinas rotativas,

muitas vezes nas regioes supercrıticas, e fundamental a compreensao dos fenomenos

que possam causar instabilidade. Este trabalho ira abordar os efeitos que o amor-

tecimento interno e a assimetria do rotor causam no que tange a estabilidade. A

compreensao desses fenomenos sera feita por meio do estudo e exploracao dos mode-

los fısicos. Ao final, sera feito um modelo em elementos finitos, para ter uma visao

mais profunda desses fenomenos em um modelo mais complexo e com mais graus de

liberdade, levando em conta a acao dos impelidores e mancais, por exemplo.

Palavras-chave: Instabilidade, Amortecimento interno, Assimetria.

vii

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment

of the requirements for the degree of Mechanical Engineer

STUDY OF INSTABILITY IN ROTARY MMACHINES DUE INTERNAL

DAMPING AND ASSIMETRY


December/2018

Advisor: Thiago Gamboa Ritto

Department: Mechanical Engineering

Due to the increasingly high rotational speeds in rotary machines, often in the su-

percritical regions, understanding the phenomena that cause instability is essential.

This work will address the effects that internal damping and asymmetry of the ro-

tor cause when it comes to stability. The understanding of these phenomena will

be made through the study and exploration of the physical models. At the end, a

finite element model will be made to take a deeper view of these phenomena in a

more complex model with more degrees of freedom, taking into account the action

of impellers and bearings, for example.

Keywords: Instability, Internal damping, Asymmetry.

viii

Sumario

Lista de Figuras xi

Lista de Tabelas xiv

1 Introducao 1

1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Apresentacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Desbalanceamento 4

2.1 Procedimento geral de balanceamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Balanceamento de rotores rıgidos e curtos . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Implementacao computacional e exemplo de estudo . . . . . . 11

2.3 Balanceamento de rotores rıgidos e longos . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Modelagem de rotores 21

3.1 Modelo Jeffcott Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Amortecimento interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 Influencia do amortecimento interno viscoso na estabilidade

de maquinas rotativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.2 Estudo do efeito de instabilidade devido ao amortecimento

histeretico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Assimetria do rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.1 Analise do intervalo de instabilidade . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Modelagem em elementos finitos 46

4.1 Elementos de interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.1 Elemento de viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.2 Elemento de disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

ix

4.1.3 Elemento dos rolamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.4 Equacoes do movimento para rotor assimetrico com amorte-

cimento interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Resultados da simulacao de um compressor . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.1 Analise da instabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.2 Analise da resposta do modelo ao desbalanceamento . . . . . . 60

5 Conclusao e trabalhos futuros 66

5.1 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Referencias Bibliograficas 69

A 71

A.1 Fasores ou vetores girante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

A.2 Demonstracao da solucao do polinomio caracterıstico para amorteci-

mento interno viscoso, equacao (3.27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A.3 Desenvolvimento das equacoes de estabilidade para o caso de amor-

tecimento histeretico e da velocidade de precessao . . . . . . . . . . . 74

A.4 Criterio de estabilidade de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . 75

A.5 Resolucao da equacao do criterio de estabilidade para rotor as-

simetrico e as raızes da equacao caracterıstica . . . . . . . . . . . . . 76

x

Lista de Figuras

2.1 Esquema do desbalanceamento em um plano (MacCamhaoil, 2012). . 5

2.2 Esquema do desbalanceamento conjugado (MacCamhaoil, 2012). . . . 5

2.3 Analise do espectro da frequencia com aquisicao de dados de ace-

leracao, velocidade e deslocamento (MacCamhaoil, 2012). . . . . . . . 6

2.4 Carta do grau de balanceamento (1940-1, 2013). . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Esquema do aparato experimental do balanceamento em um plano

(Vaughan, 2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6 Estado vetorial da analise experimental para um plano. . . . . . . . . 10

2.7 Bancada de testes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.8 Tela inicial do aplicativa de balanceamento em um plano. . . . . . . . 13

2.9 Entrada dos dados do desbalanceamento original. . . . . . . . . . . . 14

2.10 Dados da primeira medicao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.11 Graficos da resposta no tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.12 Colocacao da massa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.13 Representacao vetorial do processo de balanceamento . . . . . . . . . 15

2.14 Representacao vetorial do processo de balanceamento, apos correcao . 16

2.15 Representacao vetorial do processo de balanceamento, apos refinamento. 16

2.16 Tabela com os dados utilizados durante o balanceamento. . . . . . . . 17

2.17 Rotor com centro de gravidade assimetrico (1940-1, 2013). . . . . . . 19

2.18 Rotor em balanco (1940-1, 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 Vista lateral do rotor Jeffcott. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Vista axial do rotor Jeffcott. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Diagrama do corpo rıgido para o disco da maquina rotativa . . . . . . 26

3.4 Comportamento da parte real dos autovalores para α/β = 0, 5 e

α/β = 2, 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

xi

3.5 Variacao da parte imaginaria dos autovalores para amortecimento

interno viscoso α/β = 0, 5 e α/β = 2, 0. . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6 Resposta do sistema ao desbalanceamento, para α/β = 0,5, ε = 10−5

m e ω = ωn2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.7 Resposta do sistema ao desbalanceamento, paraα/β = 0,5, ε = 10−5

m e ω = 3, 5 ωn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.8 Esquema de um sistema massa mola, com elasticidade k e amorteci-

mento equivalente ceq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.9 Ciclo de histerese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.10 Diagrama do corpo livre para efeitos de amortecimento histeretico. . 33

3.11 Comportamento da parte real do auto valor para amortecimento in-

terno histeretico, com diferentes valores de fator de amortecimento. . 35

3.12 Comportamento da velocidade de precessao para amortecimento his-

teretico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.13 Rotor do gerador de 2 polos (Matsushita Masato Tanaka, 2017). . . . 36

3.14 Esquema para o eixo da maquina rotativa com secao nao simetrica. . 37

3.15 Variacao do tamanho do intervalo de instabilidade devido ao fator de

amortecimento e a razao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.16 Comportamento da parte real dos autovalores para r = 1,2 e ς = 0, 1. 40

3.17 Comportamento da parte real dos autovalores para r = 1,2 e ς = 0, 05. 41

3.18 Comportamento da parte imaginaria dos autovalores para r = 1,2 e

ς = 0, 05. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.19 Resposta do sistema ao desbalanceamento e acao do peso do rotor,

para r = 1,2 e ς = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.20 Zoom na resposta no domınio da tempo devido ao desbalanceamento

e acao do peso do rotor, para r = 1,2 e ς = 0, 1. . . . . . . . . . . . . 43

3.21 Resposta do sistema ao desbalanceamento e acao do peso do rotor,

para r = 1,2 e ς = 0, 05. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.22 No domınio na frequencia do rotor assimetrico. . . . . . . . . . . . . . 45

4.1 Graus de liberdade no plano ρξ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Graus de liberdade no plano ρη. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Esquema de representacao dos rolamentos (Wang, 2014). . . . . . . . 53

4.4 Representacao do modelo em elementos finitos do compressor em estudo. 56

xii

4.5 Comportamento da parte imaginaria dos autovalores para o sistema

sem nenhum tipo de amortecimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.6 Comportamento da parte real dos autovalores para o sistema sem

nenhum tipo de amortecimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57


com amortecimento nos mancais de 50000 Nm/s

. . . . . . . . . . . . . . 58

4.8 Comportamento da parte real dos autovalores para o sistema com

amortecimento nos mancais de 50000 Nm/s

. . . . . . . . . . . . . . . . 58


com amortecimento nos mancais de 50000 Nm/s

e amortecimento interno. 59



e amortecimento interno. . 59



e amortecimento interno. . 60

4.12 Representacao da secao transversal do modelo no no 8. . . . . . . . . 61

4.13 Resposta do sistema ao desbalanceamento no domınio da frequencia

para β = 0o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


para β = 45o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


para β = 90o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.16 Resposta ao desbalanceamento com amortecimento nos mancais. . . . 64

4.17 Resposta devido ao desbalanceamento para o sistema sem nenhum

tipo de amortecimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.18 Resposta devido ao desbalanceamento para o sistema com amorte-

cimento nos mancais, cujo coeficiente de amortecimento no valor de

50000 Nm/s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65



50000 Nm/s

, e interno com φv = 0, 25× 10−4. . . . . . . . . . . . . . . 65



25000 Nm/s

, e interno com φv = 0, 25× 10−4. . . . . . . . . . . . . . . 65

A.1 Representacao de um numero complexo no plano. . . . . . . . . . . . 72

xiii

Lista de Tabelas

2.1 Guia para o grau de balanco de qualidade para rotores rıgidos (1940-1,

2013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 Tabela de parametros para analise numerica. . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1 Caracterısticas geometricas dos impelidores. . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1 Resumo das diferencas de cada modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

xiv

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Objetivo

Este trabalho tem por objetivo compreender os fenomenos que o amortecimento

interno, a assimetria de eixo e discos causam em maquinas rotativas, principalmente

no que tange as questoes de estabilidade e excitacao devido ao desbalanceamento.

O estudo sera feito por meio da exploracao dos modelos fısicos encontrados na

bibliografia e pela resolucao numerica deles, de forma a interpreta-los e obter um

melhor entendimento sobre a operacao de maquinas rotativas. Tambem sera feito

o estudo por meio da elaboracao de um modelo elementos finitos com adaptacao

do codigo presente no LaviRot, ferramenta de simulacao de maquinas rotativas do

LAVI.

1.2 Apresentacao

Com o crescente aumento da demanda energica em processos industriais, maquinas

rotativas necessitam trabalhar em velocidades de rotacao cada vez maiores. Por-

tanto, cresce a necessidade de operacoes em velocidades de rotacao maiores, alem

da primeira velocidade crıtica. Contudo, tal area de operacao pode ser instavel de-

vido a certos problemas como amortecimento interno, eixos com perfis nao simetricos

e discos de rotores assimetricos. Dessa forma, o estudo destes fenomenos, por meio

de modelos, e de suma importancia para a compreensao e, consequentemente, ela-

boracao de estrategias de resolucao.

O amortecimento interno esta relacionado com a forma de dissipacao de energia

causada pela natureza do material constituinte do eixo da maquina rotativa. Esse

1

tipo de amortecimento gera, conforme sera visto na analise dos modelos, fenomenos

nao intuitivos, principalmente no que esta relacionado com a instabilidade. Uma das

hipoteses do modelo, e tratar a forca de amortecimento interno como proporcional a

velocidade; essa modelagem sera denominado, neste trabalho, como amortecimento

interno viscoso. Esse tipo de modelo, e simples, mas ajuda na compreensao dos

fenomenos causados devido ao amortecimento interno. Outro modelo amplamente

utilizado e aquele que simula as forcas de amortecimento que causam histerese, o que

e denominado, usualmente, de amortecimento histeretico. Este e oriundo do atrito

entre as fibras internas do material (Ishida, 2012). As forcas oriundas desses tipos

de amortecimento podem gerar instabilidade dinamica em elevadas velocidades de

rotacao, comportamento esse, como ja mencionado, nao usual, visto que se trata de

um amortecimento que pode causar um comportamento instavel.

As assimetrias de eixos tambem sao construcoes comuns em engenharia mecanica.

Rasgos de chaveta, rasgos que comportam as bobinas em um eixo utilizado no gera-

dor de dois polos e corrente alternada conferem assimetria aos eixos. Essa assimetria

faz com que as rigidezes do sistema sejam dependentes da direcao em que estao sendo

analisadas. Isto e, a rigidez do sistema na direcao vertical, por exemplo, e diferente

daquela apresentada na direcao horizontal; essa situacao e causadora de instabili-

dade.

Portanto, tais fenomenos sao bastante crıticos para operacoes de maquinas ro-

tativas em regime supercrıtico, sendo o estudo de seus modelos relevante. Ao longo

dos anos, os trabalhos feitos, o estudo de modelos numericos e tambem os de ele-

mentos finitos ajudam em obter melhor compreensao de tais fenomenos e de seus

riscos, sendo este o foco do trabalho.

1.3 Estrutura do trabalho

Como a principal forma de excitacao externa de maquinas rotativas e aquela oriunda

do desbalanceamento, este trabalho tera um capıtulo dedicado a tal problema, o qual

abordara dois tipos de desbalanceamentos existentes, assim como os processos de ba-

lanceamento que podem corrigi-los. A abordagem cobrira tanto os aspectos teoricos

e matematicos, quanto os praticos, com observacoes da utilizacao da norma utilizada

nas operacoes relacionadas ao balanceamento de maquinas rotativas. Ademais, sera

exposta a utilizacao de um aplicativo voltado ao balanceamento de maquinas rotati-

vas em um plano, o qual foi desenvolvido pelo autor deste trabalho, em parceria com

2

a BR2W Solucoes; a demonstracao do aplicativo sera feita por meio de um teste de

bancada, com uma maquina feita para treinamento de balanceamento de maquinas

rotativas, tambem projetada e pertencente a BR2W Solucoes.

Apos a contextualizacao das questoes do desbalanceamento, sera apresentado o

modelo de rotor Jeffcott. Em seguida, serao abordados os aspectos do amortecimento

interno, com formulacao matematica do problema e, a partir dela, compreender os

problemas de instabilidade causados. As equacoes resultantes serao apresentadas ao

longo dos capıtulos de interesse; ja o desenvolvimento matematico sera colocado no

apendice para melhor fluidez da leitura. Resultados numericos dos modelos serao

desenvolvidos de forma a exibir, graficamente, e adquirir certa sensibilidade de como

os parametros de um sistema afetam na estabilidade e na resposta do modelo como

um todo.

No que tange a assimetria de eixos e discos, o tratamento sera o mesmo daquele

dispensado para o amortecimento interno. Serao desenvolvidas, analiticamente, as

equacoes que indicam as regioes de estabilidade, e serao feitas simulacoes numericas

de forma a observar o comportamento do sistema. Vale ressaltar que, para o caso do

rotor nao simetrico, as equacoes e desenvolvimentos serao focados num referencial

solidario ao eixo rotativo, ja que, com isso, o tratamento matematico, do ponto de

vista analıtico, e mais simples.

Por fim, um modelo em elementos finitos do rotor assimetrico e com amorteci-

mento do tipo viscoso foi feito. Sua elaboracao ocorre a partir do modelo LaviRot,

ja desenvolvido no LAVI (Deus, 2015 e Oliveira, 2016). As matrizes do modelo

sao elaboradas em linguagem Python, sendo seu algoritmo desenvolvido por Timbo

(2018). O codigo foi adaptado, de forma a gerar as matrizes de interesse que mode-

lam os casos de amortecimento interno, cuja implementacao e baseada nas equacoes

do movimento descritas por Nelson (1977), e assimetria, baseada em Genta (1988)

e Friswell (2010).

3

Capıtulo 2

Desbalanceamento

O desbalanceamento e um dos principais problemas encontrados em maquinas ro-

tativas. Tal fenomeno e oriundo da distribuicao desigual de massa, o que causa

vibracao e, consequentemente, esforco excessivo nos mancais (MacCamhaoil, 2012).

Portanto, para evitar a falha dos equipamentos, torna-se necessaria a realizacao do

processo de balanceamento, cuja finalidade e alinhar o eixo principal de inercia do

rotor com os centros dos mancais (Ripper, 2007). Ainda segundo Ripper (2007), a

operacao de balanceamento pode ser feita em um plano, dois planos ou ser do tipo

modal; este trabalho ira focar nos dois primeiros processos.

O desbalanceamento em um plano ou estatico, pode ser definido como uma

excentricidade do centro de gravidade causada por uma massa pontual, a qual apre-

senta uma distancia radial em relacao ao centro de giro do rotor (MacCamhaoil,

2012). Sendo assim, o balanceamento em um plano consiste, a princıpio, na adicao

de outra massa pontual, de mesma magnitude e distancia radial, porem posicionada

a 180o em relacao a massa de desbalanceamento. Tal procedimento e normalmente

utilizado em rotores considerados rıgidos e curtos.

Ja o desbalanceamento conjugado consiste na situacao em que duas massas,

iguais e dispostas a 180o uma da outra, conforme ilustrado na figura 2.2, nao geram

um desequilıbrio estatico. Contudo, com a maquina em operacao, tais massas geram

um desalinhamento do eixo rotativo com o de inercia. MacCamhaoil (2012) e Ripper

(2007) dizem que essa situacao ocorre em rotores rıgidos e longos. O balanceamento

e feito com a adicao de massas em dois planos, cuja posicao de colocacao e obtida

por meio de medicoes com a maquina em trabalho.

Tambem ha o balanceamento do tipo dinamico, que e uma combinacao do

estatico, em um plano, com o conjugado.

4

Figura 2.1: Esquema do desbalanceamento em um plano (MacCamhaoil, 2012).

Figura 2.2: Esquema do desbalanceamento conjugado (MacCamhaoil, 2012).

Por fim, o processo de balanceamento modal e feito em rotores considerados

flexıveis (Ripper, 2007), ou seja, aqueles cuja velocidade de operacao e proxima

de alguma velocidade crıtica. Nas regioes proximas dessa velocidade, o rotor pode

experimentar deflexoes maiores em seu eixo (Rieger, 2017), o que faz com que a

posicao centro de gravidade do rotor, em relacao a um referencial inercial, mude

consideravelmente de posicao, fazendo com que o balanceamento em dois planos,

caso tenha sido feito previamente, nao seja mais efetivo. Com isso, e preciso fazer

um balanceamento em varios planos.

5

2.1 Procedimento geral de balanceamento

Para balancear uma maquina rotativa, e necessario escolher qual parametro vibra-

cional sera medido e analisado. Como pode ser observado na figura 2.3, o formato

da resposta no domınio da frequencia muda de acordo com o tipo de sinal obtido.

Usualmente, a velocidade e o parametro a ser utilizado. A analise, utilizando os

dados de aceleracao, tende a enfatizar altas frequencias, o que pode ser explicado

pelo fato de a aceleracao ser proporcional ao quadrado da velocidade de rotacao. Ao

utilizar um sinal de posicao, as baixas frequencias sao enfatizadas, como pode ser

observado na figura 2.3. Porem, a velocidade apresenta um comportamento que nao

enfatiza baixas ou altas frequencias, sendo, dessa forma, normalmente o parametro

utilizado.

Figura 2.3: Analise do espectro da frequencia com aquisicao de dados de aceleracao,velocidade e deslocamento (MacCamhaoil, 2012).

Outro fator importante a ser levado em conta e a determinacao do grau de

qualidade de balanco. Como e praticamente impossıvel um balanceamento perfeito,

ha um nıvel de tolerancia de vibracao para diversos tipos de aplicacoes. Normalizado

pela ISO 1940, o grau de qualidade, G, e definido pelo produto da distancia radial de

desbalanceamento, εper, pela velocidade de operacao maxima do rotor, ω, conforme

indicado pela equacao (2.1) (1940-1, 2013). εper tem sua unidade dada por mm,

a velocidade de rotacao apresenta sua unidade convencional no SI, rad/s. Dessa

forma, o grau de qualidade apresenta como unidade mm/s.

G = εper ω (2.1)

6

A tabela 2.1 apresenta valores do grau de qualidade de balanco para certos equi-

pamentos; os dados completos estao presentes em 1940-1 (2013). Por fim, com o

manuseio da carta apresentada na figura 2.4, e possıvel determinar o desbalance-

amento permitido. No exemplo da mesma figura, uma maquina de grau G 2,5,

funcionando numa rotacao de 3000 RPM , tera um desbalanceamento permissıvel

maximo de εper = 8 g mm/kg, o qual e definido por

εper =UperM

(2.2)

em que Uper [g mm] e o desbalanceamento maximo permissıvel e M [kg] e a massa

do rotor. Vale notar que Uper e a grandeza que representa o produto entre a massa

pontual que, teoricamente, causa o desbalanceamento, em gramas, multiplicada pela

distancia radial que a mesma apresenta para o eixo de rotacao, em mm.

Tabela 2.1: Guia para o grau de balanco de qualidade para rotores rıgidos (1940-1,2013.

Exemplos gerais tipos demaquinas

Grau debalancode qua-lidadeG

Magnitude,εperω[mm/s]

CompressoresTurbinas a gas e a vaporMaquinas textil

G 2,5 2,5

Turbinas a gas de aviaoMotores eletricosVentiladoresBombas

G 6,3 6,3

Maquinas acrıculasVirabrequim, intrinsecamente ba-lanceado e rigidamente montadoEixos de transmissao

G 16 16

Virabrequim, intrinsecamente des-balanceado e elasticamente montado

G 630 630

Virabrequim para motores marinhosa diesel lentos, intrinsecamente ba-lanceado

G 1600 1600

Virabrequim para motores marinhosa diesel lentos, intrinsecamente des-balanceado

G 4000 4000

7

Figura 2.4: Carta do grau de balanceamento (1940-1, 2013).

2.2 Balanceamento de rotores rıgidos e curtos

Rotores rıgidos e curtos podem ser balanceados em um plano. O aparato experimen-

tal basico utilizado pode ser visto na figura 2.5. O medidor de vibracao e colocado em

um dos mancais, e o objetivo do procedimento e adquirir a resposta da aceleracao,

velocidade ou posicao. Ha tambem o sensor de proximidade ou otico, cuja funcao e

servir como um sinal de referencia, visto que, para o processo de balanceamento, e

preciso calcular a diferenca de fase entre o sinal obtido pelos sensores de vibracao em

relacao ao sensor otico (Ripper, 2007). Tambem e recomendada a utilizacao de um

filtro passa-banda centrado na velocidade de rotacao da maquina, principalmente

em locais cujas medicoes podem vir com muito ruıdo ou caso ocorram altos graus

de vibracao em varias frequencias (Vaughan, 2012).

A primeira medicao da fase e da amplitude de vibracao e feita com o rotor em

operacao, sem a adicao de nenhuma massa de correcao ou balanceamento. Em

8

Figura 2.5: Esquema do aparato experimental do balanceamento em um plano(Vaughan, 2012).

seguida, a maquina e desligada e e adicionada uma massa de tentativa no rotor;

tal massa precisa ser adicionada de forma que seja possıvel sua remocao, ja que

esta sera retirada antes que a massa de balanceamento final seja colocada. Segundo

MacCamhaoil (2012), recomenda-se o uso de uma massa de tentativa de 5 a 10 vezes

mais pesada que a massa residual maxima, fornecida pela seguinte equacao

mMR =εper M

Rc

(2.3)

em que mMR e a massa residual maxima, em gramas, e Rc e a distancia radial do

posicionamento da passa de tentativa, em mm.

A seguir, sera utilizado a notacao de fasores ou vetores girantes; maiores detalha-

mentos sobre o que sao tais vetores, e de como operacionaliza-los, podem ser visto

na secao A.1.

Mede-se novamente a resposta vibracional e a diferenca de fase, com o rotor em

sua velocidade de operacao, preferencialmente. Com as duas medicoes, obtem-se o

sistema de vetores ilustrados na figura 2.6, no qual ~V0 e ~VT sao os vetores girantes de

medicao de vibracao com o desbalanceamento original e com a massa de tentativa,

respectivamente. Com isso, o vetor ~VT − ~V0 representa a resposta de vibracao devido

ao desbalanceamento gerado, exclusivamente, pela massa de tentativa. O objetivo,

entao, e anular ~V0; ou seja, o vetor girante que representa exclusivamente a vibracao

da massa de tentativa deve ser igual em modulo, porem, deve estar em um sentido

oposto ao vetor girante representativo da vibracao do desbalanceamento original, o

que, em linguagem matematica, pode ser descrito como ~VT − ~V0 = − ~V0.

Os vetores da resposta vibracional tem a seguinte forma: ~V = V eθ. Vale notar

que =√−1 e que esses sao vetores girantes ou fasores, por isso essa representacao

com numeros complexos. Dessa forma, o desbalanceamento tentativo e o vetor de

9

Figura 2.6: Estado vetorial da analise experimental para um plano.

correcao terao a forma de ~(m ε)t = |m ε|t eθt e ~(m ε)c = |m ε|c eθc , respectivamente,

em que m representa as respectivas massas, ε a excentricidade e θ a diferenca de

fase. Aplicando no ultimo fasor um operador vetorial ~Q = |Q| eγ, obtem-se ~(m ε)c.

Como o objetivo basico e tornar os vetores do desbalanceamento tentativo e original

iguais em modulo e com sentidos opostos, o operador pode ser definido por meio da

equacao (2.4).

~Q (~VT − ~V0) = −~V0 (2.4)

Como (~VT − ~V0) e o fasor que representa o desbalanceamento causado exclusi-

vamente pela massa de tentativa e −~V0 o desbalanceamento causado pela massa de

correcao, cujo objetivo e compensar o desbalanceamento original ~V0, tem-se que

~Q ~(m ε)t = ~(m ε)c (2.5)

|Q| eγ |m ε|t eθt = |m ε|c eθc (2.6)

|Q| |m ε|t e(θt+γ) = |m ε|c eθc (2.7)

Finalmente, a massa de correcao, mc, pode ser encontrada por (2.8), visto que os

termos do lado direito da equacao sao conhecidos:

10

• |Q| pode ser encontrado por meio de (2.4);

• a massa de tentativa, mt e definida pelo operador durante o processo de ba-

lanceamento;

• a distancia radial na qual a massa de tentativa e colocada, εt, tambem e

definida pelo operador; assim como a distancia radial na qual a massa de

correcao sera colocada, εc.

mc = |Q| mt εtεc

(2.8)

A posicao angular de correcao, θc, e dada por

θc = θt + γ (2.9)

em que θt e a posicao angular da massa de tentativa e γ e o angulo de correcao do

operador vetorial.

2.2.1 Implementacao computacional e exemplo de estudo

Em parceria com a empresa BR2W Solucoes, foi realizada a criacao de um aplicativo

para a execucao do processo de balanceamento em um plano. Vale notar que esta

sessao visa exemplificar o processo de balanceamento, nao sendo o aplicativo e sua

implementacao o foco do atual trabalho.

Aparato experimental

No escritorio da BR2W Solucoes, ha uma bancada de testes para o treinamento de

balanceamento de maquinas rotativas, a qual pode ser vista na figura 2.7. Nesta

figura, podem ser observados os sensores utilizados para o processo de balancea-

mento; o acelerometro e indicado pela seta azul, o tacometro pela preta, e a fita

utilizada para a leitura do tacometro esta circulada em laranja.

O rotor pesa 7 kg e o teste foi executado numa rotacao de 1800 rpm. Durante

os testes, foram utilizados modulos HBM para a aquisicao dos dados.

Aplicativo para balanceamento em um plano

O aplicativo de balanceamento foi implementado em MATLAB, e sua interface inicial

pode ser observada na figura 2.8; cada parte de sua interface sera comentada em

11

Figura 2.7: Bancada de testes.

detalhes. O aplicativo, de forma geral, le as medicoes de vibracao e executa as

seguintes operacoes:

• Realiza a integracao numerica do sinal;

• expoe, graficamente, a resposta das medicoes realizadas no domınio temporal

e na frequencia;

• calcula a diferenca de fase entre o sinal do acelerometro e o tacometro, apli-

cando os devidos filtros;

• calcula o quanto de massa deve ser colocada para balancear o equipamento, e

sua posicao angular;

• gera uma pasta com os graficos gerados, alem de um relatorio que armazena

os dados obtidos pelas medicoes.

Processo de balanceamento e resultados

Para todo o teste, foram adquiridos 3000 pontos, com uma frequencia de aquisicao

de 300 Hz.

Antes de iniciar a primeira etapa do processo de balanceamento, e preciso pre-

encher as informacoes relacionadas ao teste, que sao:

• Frequencia de aquisicao;

12

Figura 2.8: Tela inicial do aplicativa de balanceamento em um plano.

• nome dos canais escolhidos para armazenamento dos dados do acelerometro e

do tacometro;

• quanto, entre 0 e 1, sera truncado do sinal; em que 0 significa que nao havera

truncagem do sinal e 1 que todo sinal sera truncado. Informacao necessaria

devido ao efeito de drift presente no inıcio dos dados do sinal apos integracao

numerica;

• massa adicionada em cada passo do processo;

• a posicao angular da massa adicionada.

Como ja foi discutido, o primeiro passo consiste em recolher os dados de vibracao

do sistema original, sem nenhum tipo de massa de balanceamento. Apos esse pro-

cedimento, o arquivo gerado e dado como entrada, conforme indicado na figura 2.9;

tambem e preciso preencher o sentido de rotacao da maquina. Ao apertar o botao

”1”, serao armazenados na tabela ilustrada pela figura 2.10, os valores de RMS, em

velocidade, a diferenca de fase entre o sinal do tacometro e o do acelerometro, a

massa extra adicionada, assim como a sua posicao angular. Como pode ser visto,

o sistema, completamente desbalanceado, apresenta um nıvel de vibracao RMS de

10,3695 mm/s, o que fornece um grau de balanco de qualidade do mesmo valor.

Este, de acordo com 1940-1 (2013), esta acima do permitido para bombas (equipa-

mento que motivou a construcao da bancada e realizacao do treinamento da equipe),

cujo valor recomendado seria G 6,3. Alem disso, na aba ”Original Unbalance”, po-

dem ser vistas a resposta no tempo do sinal, e as respostas da velocidade e posicao

apos integracao numerica, como esta sendo exemplificado na figura 2.11.

O segundo passo e colocar a massa de tentativa no sistema. O rotor apresenta

furos numerados de 1 a 10, que servem para serem colocadas as massas de tentativa.

13

Figura 2.9: Entrada dos dados do desbalanceamento original.

Figura 2.10: Dados da primeira medicao.

Figura 2.11: Graficos da resposta no tempo.

Como pode ser observado na figura 2.12, a massa de tentativa foi colocada no furo

2; essa massa e composta de parafuso e porcas, pesando 5 g.

Apos a colocacao da massa de tentativa, o rotor e colocado novamente em

operacao e novos dados sao adquiridos. No aplicativo, basta colocar o novo ar-

quivo gerado no local correspondente e apertar 2. Na aba ”Trial mass”, a resposta

no tempo sera plotada nos graficos, e a tabela de acompanhamento sera atualizada.

Em seguida, ao apertar o botao ”3 - Balance mass calculation”, a representacao

vetorial do processo de balanceamento, ilustrada na figura 2.6, e calculada e exibida

pelo aplicativo, como pode ser observado na figura 2.13. O processo de balancea-

mento pode ser interpretado como a forma de alinhar as linhas azul e verde, ou seja,

o desbalanceamento gerado pela massa adicionada, representada pela linha verde,

deve ser defasado em 180o em relacao ao desbalanceamento original, representado

pela linha azul, e com mesma magnitude. Alem disso, com o botao ”3 - Balance mass

calculation” pressionado, o aplicativo calcula a massa a ser colocada e a distancia

14

Figura 2.12: Colocacao da massa.

angular em relacao a massa de tentativa colocada, assim como o sentido.

Figura 2.13: Representacao vetorial do processo de balanceamento

No teste, foi calculada a adicao de uma massa de 8,6 g numa posicao angular de

68, 77o em sentido horario, em relacao a massa de tentativa. Como o equipamento

apresenta dez furos, a massa de correcao foi colocada, apos a retirada da massa de

tentativa, no furo 10, ou seja, 72o em relacao a de tentativa. A magnitude da massa

de correcao foi de 8 g. Fez-se um novo teste, com a massa de correcao, e obteve-se

um valor RMS de 3,88 mm/s, valor abaixo daquele recomendado para bombas.

Contudo, ainda ha a opcao de refinamento. Ao pressionar o botao ”3 - Refine”,

a representacao vetorial e atualizada. Apos a correcao, observa-se, na figura 2.14,

na qual os vetores que representam a resposta com desbalanceamento original e o

desbalanceamento gerado pela massa de correcao estao quase alinhados. Com a

opcao de refinamento, o aplicativo tem como saıda a massa que deve ser adicionada

15

ao rotor sem a retirada da massa de correcao e a respectiva correcao angular. O

resultado foi de 2,24 g para 14o sentido anti-horario. Mais uma vez, devido as

limitacoes construtivas, foram colocados 2 g na mesma posicao da massa de correcao.

Figura 2.14: Representacao vetorial do processo de balanceamento, apos correcao

Apos o refinamento, obteve-se o estado vetorial representado pela figura 2.15.

Como pode ser visto, os vetores estao alinhados, conforme o esperado. Apos o

refinamento, obteve-se um RMS de 2,79 mm/s, conseguindo, dessa forma, uma

reducao de 79 %. A figura 2.16 exibe os dados de entrada e os resultados ao final do

processo; essa figura e gerada e atualizada automaticamente, ao longo do processo.

Vale notar que a coluna relativa a massa adicionada ao longo do procedimento

representa a massa total colocada, ou seja, a massa de correcao inicial era de 8 g e

depois, no refinamento, foram adicionadas mais duas gramas, por isso 10 g.

Portanto, a rotina de calculos do aplicativo esta funcionando de forma adequada

e conforme o esperado, visto que obteve-se uma reducao consideravel do nıvel de

vibracao, abaixo dos nıveis estipulados pela norma.

Figura 2.15: Representacao vetorial do processo de balanceamento, apos refina-mento.

16

Figura 2.16: Tabela com os dados utilizados durante o balanceamento.

2.3 Balanceamento de rotores rıgidos e longos

O balanceamento de rotores rıgidos e longos, como ja mencionado, e feito em dois

planos. O aparato experimental e o mesmo que o do balanceamento em um plano,

porem, dessa vez, sao realizadas medicoes de vibracao em dois planos diferentes, que

serao chamados de plano ”E” e plano ”D”. Normalmente, os sensores, como ace-

lerometros, sao instalados nos dois mancais da maquina rotativa (Vaughan, 2012).

O primeiro passo e iniciar a operacao da maquina e realizar as medicoes correspon-

dentes nos respectivos planos. Posteriormente, coloca-se uma massa de tentativa

no plano tambem perpendicular ao eixo; esse plano e um dos que recebera a futura

massa de balanceamento, o qual sera chamado de plano 1. Medem-se, novamente,

os parametros necessarios e retira-se a massa de tentativa. Conseguinte, e colocada

uma massa de tentativa no outro plano, plano 2, tambem perpendicular ao eixo,

no qual sera colocada uma futura massa de correcao; sendo assim, duas massas de

balanceamento sao utilizadas, uma em cada plano. Vale ressaltar que esses dois

planos, nos quais as massas de tentativa sao colocadas, nao sao, necessariamente,

os planos onde os sensores estao instalados. Com isso, tem-se seis medicoes: as

duas primeiras, uma em cada sensor, com desbalanceamento original; duas com o

desbalanceamento gerado pela adicao da massa de tentativa no primeiro plano; e

mais duas com o desbalanceamento resultante da massa de tentativa adicionada ao

outro plano. As respostas obtidas serao representadas por vetores girantes, os quais

serao denominados de:

• ~V E0 que representa o desbalanceamento original no mancal e medida no plano

E;

• ~V E1 que representa o desbalanceamento original e tentativo, devido a adicao

de massa no plano 1, medida no mancal, no plano E;

• ~V E2 que representa o desbalanceamento original e tentativo, com adicao de

massa no plano 2 e vibracao medida no mancal medida no plano E;

• ~V D0 que representa o desbalanceamento original no mancal e medida no plano

17

D;

• ~V D1 que representa o desbalanceamento original e tentativo, com adicao de

massa no plano 2 e medida no mancal no plano D;

• ~V D2 que representa o desbalanceamento original e tentativo, com adicao de

massa no plano 2, e medida no mancal no plano D.

Utilizando a mesma ideia do operador vetorial, mas dessa vez, uma para cada

plano de balanceamento, os quais sao ~Q1 = Q1 eγ1 e ~Q2 = Q2 e

γ2 , para os pla-

nos 1 e 2, respectivamente. No balanceamento em dois planos, o objetivo e que a

combinacao do desbalanceamento tentativo, aquele originado apenas pelas massas

de tentativa, em cada plano do mancal, gerem um vetor de mesmo modulo e sentido

oposto nos respectivos planos (Ripper, 2007). Logo, ao aplicar o operador vetorial

no desbalanceamento tentativo em cada plano, encontra-se o seguinte sistema de

equacoes:

~Q1 (~V E1 − ~V E

0 ) + ~Q2 (~V E2 − ~V E

0 ) = −~V E0 (2.10)

~Q1 (~V D1 − ~V D

0 ) + ~Q2 (~V D2 − ~V D

0 ) = −~V D0 (2.11)

Com isso, e possıvel encontrar os vetores girantes ~Q1 e ~Q2, descritos nas equacoes

(2.12) e (2.13). Por fim, a massa de balanceamento e a distancia da sua instalacao,

em cada plano, sao determinadas pelas equacoes (2.14) e (2.15), e sua posicao an-

gular pelas equacoes (2.16) e (2.17).

~Q1 =~V D

0 (~V E2 − ~V E

0 )− ~V E0 (~V D

2 − ~V D0 )

(~V E1 − ~V E

0 ) (~V D2 − ~V D

0 )− (~V D1 − ~V D

1 ) (~V E2 − ~V E

0 )(2.12)

~Q1 =~V D

0 (~V D1 − ~V D

0 )− ~V D0 (~V E

2 − ~V E0 )

(~V E1 − ~V E

0 ) (~V D2 − ~V D

0 )− (~V D1 − ~V D

1 ) (~V E2 − ~V E

0 )(2.13)

|mε|c1 = |Q1| |mε|T1 (2.14)

|mε|c2 = |Q2| |mε|T2 (2.15)

θc1 = θT1 + γ1 (2.16)

18

θc2 = θT2 + γ2 (2.17)

em que ~Q1 e o operador vetorial no plano 1; ~Q2 e o operador vetorial no plano 2;

|mε|c1 e a magnitude do balanceamento de correcao no plano 1; |mε|T1 e a magnitude

do balanceamento tentativo no plano 1; |mε|c2 e a magnitude do balanceamento de

correcao no plano 2; |mε|T2 e a magnitude do balanceamento tentativo no plano 2; mc

e a massa de correcao; mt e a massa de tentativa; θc1 e a posicao angular de correcao

no plano 1; θc2 e a posicao angular de correcao no plano 2; θT1 e a posicao angular

da massa de tentativa no plano 1; θT2 e a posicao angular da massa de tentativa no

plano 2; γ1 e o angulo de correcao do operador vetorial no plano 1; γ2 e o angulo de

correcao do operador vetorial no plano 2.

Apos adicionar as massas de correcao, e necessario verificar se o desbalancea-

mento residual esta dentro dos limites recomendados pela ISO 1940. Como cada

plano de balanceamento, separadamente, influencia a vibracao nos dois mancais, e

necessario definir o desbalanceamento permissıvel em cada um dos planos dos man-

cais A e B, Uper A e Uper B, representados na figura 2.17, que sao calculados pelas

equacoes (2.18) e (2.19). 1940-1 (2013) recomenda que o maior valor calculado seja

seja menor que 0, 7 Uper e que o menor nao seja inferior a 0, 3 Uper.

Figura 2.17: Rotor com centro de gravidade assimetrico (1940-1, 2013).

19

Uper A =U LAL

(2.18)

Uper B =U LBL

(2.19)

Para o rotor em balanco, as equacoes (2.18) e (2.19) tambem podem ser usadas,

porem os parametros estao apresentados na figura 2.18. Neste caso, a norma 1940-1

(2013) recomenda que o maior valor calculado pelas equacoes citadas, nao seja maior

que 1, 3 Uper, enquanto o menor nao seja inferior a 0, 3 Uper.

Figura 2.18: Rotor em balanco (1940-1, 2013).

20

Capıtulo 3

Modelagem de rotores

Neste capıtulo serao analisados variacoes do modelo de rotor Jeffcott, de forma a

estudar os fenomenos vibracionais causados pelo amortecimento interno e assimetria.

A analise sera feita a partir do estudo das equacoes do movimento, com analise

dos autovalores e, tambem, com a observacao de resultados obtidos por meio de

simulacao numerica.

3.1 Modelo Jeffcott Simples

O modelo de rotor de Jeffcott e composto de um disco rıgido de massa m localizado

no meio de um eixo, de massa desprezıvel, bi apoiado, conforme ilustrado na figura

3.1.

Figura 3.1: Vista lateral do rotor Jeffcott.

A figura 3.2, mostra vista axial do disco, em que S e o centro geometrico do

disco; G e o centro de gravidade e ε e a sua excentricidade em relacao ao centro

geometrico.

O modelo a ser estudado partira de certas hipoteses. Primeiro, que ha uma

rotacao sıncrona, ou seja, que a velocidade de rotacao e a mesma da de precessao.

21

Figura 3.2: Vista axial do rotor Jeffcott.

Outra hipotese e que a velocidade de rotacao e constante. Dessa forma, o vetor

aceleracao do centro de gravidade, aG, representado na base inercial, e dado por

aG =

x− ω2εcos(ωt)

y − ω2εsen(ωt)

(3.1)

Supondo que o disco sofra a atuacao de uma forca elastica, Fk, e de amortecimento,

Fc, da seguinte forma

Fk = −k

xy (3.2)

Fc = −c

xy (3.3)

em que k e c sao a constante de elasticidade e amortecimentos, respectivamente.

Pela segunda lei de Newton,∑

F = m×aG, tem-se que as equacoes do movimento

sao dadas por

mx+ cx+ kx = mω2εcos(ωt) (3.4)

my + cy + ky = mω2εsen(ωt) (3.5)

22

Por economia de notacao, vale a pena utilizar o conceito de coordenadas com-

plexas. Dessa forma, observando a figura 3.2 e pensando o eixo horizontal como a

parte real de um numero complexo, e a vertical como a parte imaginaria, z pode ser

descrito como

z = x+ y (3.6)

em que =√−1. Dessa forma, o sistema de equacoes representado por (3.4) e (3.5)

pode ser representado por

mz + cz + kz = mω2εeωt (3.7)

dividindo ambos os lados de (3.7) por m, tem-se que

z + 2ςωnz + ω2nz = ω2εeωt (3.8)

em que ω2n = k/m e ς = c/(2mωn). Para observar a estabilidade do problema, basta

analisar a solucao homogenea da equacao (3.8),

z + 2ςωnz + ω2nz = 0 (3.9)

Essa solucao apresenta a forma z = Zest, em que Z e uma constante e s o

autovalor do problema. A substituir z = Zest em (3.9), encontra-se o polinomio

caracterıstico do problema, o qual e dado por

s2 + 2ςωns+ ω2ns = 0 (3.10)

cuja solucao e

s = −ςωn ± ωn√ς2 − 1 (3.11)

Para os fenomenos a serem analisados neste trabalho, a resposta harmonica e a mais

relevante, dessa forma, o sistema sera sempre considerado como subcriticamente

amortecido, ou seja, ς < 1. Dessa forma

s = −ςωn ± ωn√|ς2 − 1| (3.12)

Observando (3.12), pode-se observar que os autovalores para o rotor de Jeffcott,

23

sem efeito giroscopio, e independente da velocidade de rotacao. Outra conclusao

que pode ser obtida e que esse modelo e estavel, ja que a parte real dos autovalores

e sempre negativa.

Para analisar a resposta ao desbalanceamento no regime permanente, basta en-

contrar a resposta permanente da equacao diferencial descrita por (3.8), cuja solucao,

zp, e

zp =εω2

ω2n − ω2 + (2ςωnω)

eωt (3.13)

zp =ω2ε(ω2

n − ω2) + (2εςω3ωn)

(ω2n − ω2)2 + (2ςωnω)2

eωt (3.14)

Usando a relacao da equacao (3.6), tem-se que xp e yp sao dados por

xp =ω2ε√

(ω2n − ω2)2 + (2ςωnω)2

cos(ωt−Ψ) (3.15)

yp =ω2ε√

(ω2n − ω2)2 + (2ςωnω)2

sen(ωt−Ψ) (3.16)

em que Ψ = arctan(

2ςωωnω2n−ω2

). Com isso, pode-se observar que o grafico da orbita,

ou seja, o grafico de x por y no regime permanente e uma circunferencia de raio

ω2ε√(ω2n−ω2)2+(2ςωnω)2

.

Dessa forma, o modelo de Jeffcott se apresenta sempre estavel, independente

da velocidade de rotacao, visto que a parte real dos autovalores do problema sao

sempre negativas. Ademais, a orbita do modelo e sempre circular. Essas conclusoes

sao relevantes, pois, ao fazer as modificacoes no modelo Jeffcott para modelar assi-

metria e amortecimento interno, surgem problemas de instabilidade e a orbita pode

apresentar formas nao circulares, como sera abordado a seguir.

3.2 Amortecimento interno

Maquinas rotativas, quando em operacao, apresentam duas formas basicas de dis-

sipacao de energia; via amortecimento externo e via amortecimento interno. A

primeira esta relacionada com mecanismos, como o proprio nome diz, externos a

maquina, como mancais e ate com o ar (Calderale, 1996). O amortecimento interno

e aquele relacionado com a capacidade de dissipar energia do material que o eixo e

24

constituıdo.

Uma das forcas de modelagem para a forca oriunda do amortecimento interno

e considera-la proporcional a velocidade de deformacao (Tondl, 1965), o que e sera

denominado como amortecimento interno viscoso.

Outra forma de modelagem e feita de forma a levar em conta os efeitos de histe-

rese do material, que sera chamado de amortecimento histeretico. Este e oriundo das

forcas histereticas que atuam no material, as quais se intensificam com o aumento da

taxa de deformacao do eixo (Tondl, 1965). Conforme o esperado, o efeito da histe-

rese faz com que os caminhos de tracao e compressao nao sejam os mesmos. A forca

de amortecimento e oriunda do atrito entre os microcristais ou fibras internas do

material, que acontece devido ao movimento relativo entre os mesmos (Ishida, 2012).

Para entender tal fenomeno, varios pesquisadores realizaram diversos experimentos.

Os resultados indicam que a energia dissipada e independente da frequencia da taxa

de deformacao (Rao, 2010). Essas conclusoes guiaram a formulacao dos modelos

para esse tipo de amortecimento, os quais serao abordados nas proximas paginas.

O presente trabalho ira desenvolver os casos de amortecimento viscoso e his-

teretico. O amortecimento viscoso apresenta uma modelagem simples, dessa forma

sera explorada sua influencia na instabilidade de maquinas rotativas, assim como a

analise da resposta no domınio do tempo e da frequencia. Ja no amortecimento his-

teretico, o modelo utilizado permite uma analise analıtica no domınio da frequencia,

sendo o foco de estudo neste trabalho. A analise no domınio do tempo esta fora do

escopo desse trabalho.

3.2.1 Influencia do amortecimento interno viscoso na esta-

bilidade de maquinas rotativas

Para uma analise inicial dos efeitos do amortecimento interno na resposta dinamica

de maquinas rotativas sera analisado o modelo de uma maquina com um disco

simples, apoiado em dois mancais, desconsiderando a massa do eixo. A figura 3.3

representa o esquema cinematico de um rotor, na qual o disco gira com velocidade

angular ω; G e o seu centro de massa e S o centro geometrico.

Com o objetivo de auxiliar nas manipulacoes algebricas, e conveniente a repre-

sentacao no plano complexo, conforme descrito na equacao 3.17, na qual ξ e η sao

25

Figura 3.3: Diagrama do corpo rıgido para o disco da maquina rotativa.

as coordenadas da base solidarias ao giro do eixo. Vale ressaltar que =√−1.

z = x+ y , ρ = ξ + η (3.17)

Chamando a forca oriunda do amortecimento interno de Pv, a equacao do movi-

mento do sistema esta descrita em (3.18), na qual o corpo sofre a forca de seu peso.

A equacao do movimento na base solidaria ao eixo, a qual obtem-se por meio da

substituicao da equacao (3.17) na (3.18), esta representada em (3.19) (Tondl, 1965).

mz + cz + kz + Pv = −mg +mεω2eωt (3.18)

mρ+ (c+ ωm)ρ+ (k − ω2m+ cω)ρ+ Pv = mge−ωt +mεω2 (3.19)

em que m e a massa do disco; c e o coeficiente de amortecimento externo; k e

a constante elastica; Pv e a forca de amortecimento interno; g e a aceleracao da

gravidade; ε a a distancia radial da excentricidade; ω e a velocidade de rotacao.

A forca de amortecimento interno viscoso e modelada como Pv = hρ, segundo

26

Tondl (1965); ou seja, uma forca que e proporcional a velocidade. Vale notar que essa

velocidade esta sendo descrita na base solidaria ao eixo, ja que e um amortecimento

inerente ao material e a sua deformacao interna.

Como ρ = ze−ωt, a forca devido ao amortecimento interno viscoso pode ser dada

na base inercial por (3.20).

Pv = h (z − ωz) (3.20)

Dessa forma, ao substituir (3.20) em (3.18), obtem-se a equacao do movimento

com forca de amortecimento interno do tipo viscoso descrita no referencial inercial

z + (α + β)z + (ω2n − βω)z = −g+ εω2eωt (3.21)

em que α = cm, β = h

m, ω2

n = km

.

A solucao homogenea para a equacao (3.21) apresenta a forma geral descrita em

(3.22)

z = Z1eλ1t + Z2e

λ2t (3.22)

em que Z1, Z2, λ1, λ2 sao constantes. Substituindo (3.22) em (3.21), obtem-se

a equacao caracterıstica e, ao resolve-la, a solucao representada por (3.23). Para o

sistema ser estavel, a parte real de ambos os expoentes precisa ser menor do que zero.

Observando o expoente do segundo termo, percebe-se que sua parte real sempre sera

negativa. Contudo, o primeiro, para cumprir tal condicao de estabilidade, precisa

respeitar a desigualdade (3.24).

z = Z1e[Ω0− 1

2(α+β−βω

Ω0)]t︸︷︷︸

1

+Z2e[−Ω0− 1

2(α+β+βω

Ω0)]t︸︷︷︸

2

(3.23)

α + β − βω

Ω0

> 0 −→ ω < Ω0(1 +α

β) (3.24)

onde Ω0 =√ω2n − 1/4(α + β)2.

Para observar o comportamento dos autovalores do problema, e interessante

reescrever (3.21) na forma matricial. Para tal, ao substituir (3.17) em (3.21) e

separando a parte real da imaginaria, obtem-se o seguinte sistema para vibracao

27

livre

1 0

0 1

xy+

α + β 0

0 α + β

xy+

ω2n βω

−βω ω2n

xy =

0

0

(3.25)

Dessa forma, a equacao caracterıstica dessa equacao, (3.25), e dada por

s4 + 2(α + β)s3 + s2[(α + β)2 + 2ω2n] + 2ω2

ns(α + β) + β2ω2 + ω4n = 0 (3.26)

em que s e o autovalor.

Ao resolver a equacao (3.26), obtem-se que

s = −α + β

2+

(−1)u

2

√(α + β)2 − 4ω2

n + 4(−1)vβω

u, v = 1, 2

(3.27)

A rotina de calculo para obtencao de s pode ser vista na secao A.2.

Com o objetivo de observar o comportamento da parte real de (3.27), sera ana-

lisado o resultado numerico para um sistema com as caracterısticas apresentadas

na tabela 3.1. No teste, tal comportamento sera observado como a variacao da

velocidade de rotacao e a razao αβ

influenciam na estabilidade.

Tabela 3.1: Tabela de parametros para analise numerica.

Parametro valorm [kg] 14,9

k [N/m] 1, 195× 108

ζ = c2mωn

0,01

Na figura 3.4, observa-se o comportamento da parte real dos autovalores para

αβ

= 0, 5 e αβ

= 2, 0. Percebe-se que quanto menor for esta razao, ou seja, quanto

menos amortecimento externo estiver disponıvel ou quanto mais severas forem as

condicoes de amortecimento interno, menor sera a velocidade limite de operacao,

visto que, mais rapido sera o crescimento da parte real dos autovalores. Pode ser

tambem observado que o modelo tradicional Jeffcott, a parte real dos autovalores

e constante, o que mostra outra diferenca oriunda dos efeitos de amortecimento

interno.

28

Figura 3.4: Comportamento da parte real dos autovalores para α/β = 0, 5 e α/β =2, 0.

O comportamento da parte imaginaria dos autovalores do sistema e visto na

figura 3.5. Nele pode ser observado que a frequencia de oscilacao do sistema amor-

tecido nao varia com a velocidade de rotacao, assim como a variacao do nıvel de

amortecimento.

Figura 3.5: Variacao da parte imaginaria dos autovalores para amortecimento in-terno viscoso α/β = 0, 5 e α/β = 2, 0.

Por fim, sera observada a resposta do modelo ao desbalanceamento. As carac-

terısticas sao as mesmas daquelas contidas na tabela 3.1, porem com uma excentri-

cidade, ε = 10−5 m e αβ

= 0, 5. Vale notar que para todos os casos, as condicoes

inicias para o problema, o rotor estava em repouso.

No primeiro caso, como pode ser visto na figura 3.6, a velocidade de rotacao

foi escolhida como metade da primeira velocidade crıtica, isto e, ω = ωn2

. Como

29

pode ser constatado pelo resultado exibido na figura 3.4, a resposta para essas

configuracoes de operacao indicam um regime estavel. Contudo, por outro lado, em

velocidades de rotacao maiores que a frequencia natural, para ω = 3, 5 ωn, o sistema

se desestabiliza; este resultado e exibido na figura 3.7.

Figura 3.6: Resposta do sistema ao desbalanceamento, para α/β = 0,5, ε = 10−5 me ω = ωn

2.

Figura 3.7: Resposta do sistema ao desbalanceamento, paraα/β = 0,5, ε = 10−5 me ω = 3, 5 ωn.

Esse simples modelo leva a conclusoes importantes sobre o amortecimento in-

terno. Primeiramente, tal fenomeno se mostra desestabilizante em regioes de

operacao supercrıticas, gerando um limite de operacao, conforme ilustrado na fi-

gura 3.4. Esse limite e delimitado quando a parte real do autovalor torna-se positiva.

Tambem foi mostrado que, com o aumento do amortecimento externo exercido pelos

mancais, por exemplo, o envelope de velocidades de rotacao estaveis aumenta, me-

lhorando, assim, as condicoes de estabilidade da maquina. Resultado esse tambem

coerente com a condicao de estabilidade descrita por (3.24). Ademais, na regiao

subcrıtica, o amortecimento interno apresenta um efeito estabilizante, como pode

30

ser observado na figura 3.4, ja que quanto maior o amortecimento interno, mais

negativa sera a parte real dos autovalores do sistema na regiao subcrıtica.

3.2.2 Estudo do efeito de instabilidade devido ao amorteci-

mento histeretico

Para um modelo massa mola simples, representado na figura 3.8, com elasticidade

k e amortecimento equivalente ceq, a massa sofre a acao de uma forca F , que repre-

senta a soma dos efeitos das forcas de amortecimento e elasticidade, e apresenta um

deslocamento x. O grafico que representa a variacao dessas duas grandezas (F e x),

segundo Rao (2010) e Ishida (2012), pode ser visto na figura 3.9.

Figura 3.8: Esquema de um sistema massa mola, com elasticidade k e amortecimentoequivalente ceq

Figura 3.9: Ciclo de histerese.

Segundo Rao (2010), a energia dissipada por F , que e calculada pela area do

31

grafico representado na figura 3.9, ∆W , e dado por

∆W = πωhceqX2 (3.28)

em que ωh e a frequencia de oscilacao que acontece o ciclo de histerese; ceq e a cons-

tante de amortecimento e X a amplitude de vibracao. Ainda segundo Rao (2010), a

observacao dos resultados experimentais realizados ao longo dos anos pelos pesqui-

sadores, indica que a energia dissipada por ciclo, devido as forcas de amortecimento

interno do tipo histeretico, sao independentes da frequencia de oscilacao e, aproxi-

madamente, proporcionais ao quadrado da amplitude do deslocamento. Com isso, o

modelo utilizado para esse tipo de amortecimento utiliza uma constante de amorte-

cimento equivalente, ceq = φ/ωh, em que φ e uma constante de proporcionalidade.

Esta, ao ser substituıda em (3.28), permite a obtencao da energia dissipada pelo

amortecimento histeretico, ∆Wh, dada por (3.29).

∆Wh = πφX2 (3.29)

No contexto de maquinas rotativas, pequenas alteracoes na forca de amorteci-

mento histeretico precisam ser feitas. Em Genta (2004), o ciclo de oscilacoes de

histerese acontece numa velocidade angular de |Ω− ω|, em que, conforme observado

na figura 3.10, Ω e a velocidade de precessao e ω a velocidade de rotacao. Nessa

situacao, o material que o eixo e feito, se comprime e relaxa periodicamente, fa-

zendo com que as fibras do material tenham um movimento relativo, gerando forcas

de atrito que originam o efeito do amortecimento histeretico (Ishida, 2012). Alem

disso, a forca de amortecimento interno histeretico e considerada proporcional as

propriedades de elasticidade do material, fazendo com que φ = ηpk (Genta, 2004),

em que ηp e o fator de perda do material, o qual e definido como a razao entre a

energia dissipada por ciclo por radiando e a energia maxima de deformacao arma-

zenada no sistema. Com isso, a constante de amortecimento equivalente apresenta

a forma ceq = ηpk/ |Ω− ω|.Voltando a equacao (3.18), Genta (2005) propoe que a forca de amortecimento

histeretico, Pv, tenha a forma

Pv =ηp k

|Ω− ω|ρ (3.30)

Vale notar que essa equacao e valida apenas para Ω 6= ω. Quando a velocidade de

32

Figura 3.10: Diagrama do corpo livre para efeitos de amortecimento histeretico.

precessao e a velocidade de rotacao sao iguais, nao ha movimento relativo dos micro-

cristais internos do material, nao havendo os efeitos do amortecimento histeretico

(Genta, 2004). Fazendo a mudanca de coordenada para a base inercial, visto que

Pv esta sendo descrito na base solidaria a rotacao do eixo, e substituindo (3.30) em

(3.18), a equacao do movimento na base inercial e dada por

mz +

(c+

ηp k

|Ω− ω|

)z +

(k − ω ηp

|Ω− ω|+ k

)z = −mg+mεω2eωt (3.31)

em que c e a constante de amortecimento para fatores externos, como mancais.

Para observar a estabilidade, sera analisada a vibracao livre do sistema, que

apresenta a solucao da forma

z = Ue(σ+Ω)t (3.32)

sendo σ a parte real do autovalor do sistema e Ω, como ja mencionado, a velocidade

de precessao. Finalmente, tem-se a equacao caracterıstica

m(σ + Ω)2 +

(c+

ηp k

|Ω− ω|

)(σ + Ω) + k − ω ηp k

|Ω− ω|= 0 (3.33)

Para o sistema apresentar solucao estavel, a parte real, a qual e dada por (3.34),

precisa ser menor do que zero. Dessa forma, obtem-se a condicao de estabilidade

(3.35).

σ = −c+ ηp k sgn(Ω− ω)

2mΩ(3.34)

33

c+ ηp ksgn(Ω− ω)

Ω> 0 (3.35)

em que sgn(Ω−ω) e o sinal da respectiva diferenca. Com isso, e preciso analisar as

duas possibilidades de sinal. maiores detalhamentos da rotina de calculo podem ser

vistos na secao A.3.

Quando Ω− ω > 0, ou seja, situacao subcrıtica, tem-se

c > −ηp kΩ

(3.36)

E possıvel concluir que o sistema e sempre estavel na regiao subcrıtica, ja que

uma constante de amortecimento negativa nao faz sentido.

Ja na regiao supercrıtica, Ω − ω < 0, a condicao de estabilidade toma a forma

de

c >ηp k

Ω(3.37)

ou seja, caso o amortecimento externo nao seja suficiente, a maquina rotativa apre-

sentara uma resposta instavel na regiao supercrıtica.

Para todos os casos, Ω foi considerado positivo, que e o caso da precessao direta.

A mesma analise pode ser feita para a precessao retrograda, Ω < 0, o que ira indicar

que o sistema e estavel para qualquer velocidade de rotacao.

Para observar a velocidade de precessao, e necessario fazer uma aproximacao na

equacao (3.33) na qual o termo σ ηp k

|Ω−ω| , por ser muito menor em comparacao aos

outros, pode ser ignorado, conforme observado por Genta (2005). Sendo s = σ+ Ω

o autovalor do sistema, a equacao (3.33) pode ser escrita da seguinte forma

ms2 + cs+ k + sgn(Ω− ω)ηp k = 0 (3.38)

sendo sua resolucao feita pela equacao de Bhaskara, cujo resultado e encontrado

em Genta (2005). Com isso, havera tres casos de autovalor possıveis. No caso de

precessao direta subcrıtica, s e dado por

s = − c

2m− 1√

2

√√√√√T 2 +

(ηpk

m

)− T +

1√2

√√√√√T 2 +

(ηpk

m

)+ T (3.39)

34

em que T = km− c2

4m2 .

Para a precessao direta supercrıtica tem-se que

s = − c

2m+

1√2

√√√√√T 2 +

(ηpk

m

)− T +

1√2

√√√√√T 2 +

(ηpk

m

)+ T (3.40)

e, por fim, para a precessao retrograda

s = − c

2m− 1√

2

√√√√√T 2 +

(ηpk

m

)− T − 1√

2

√√√√√T 2 +

(ηpk

m

)+ T (3.41)

Com essas tres equacoes e com (3.34) pode-se analisar o comportamento do

autovalor do problema. As figuras 3.11 e 3.12 mostram os resultados do compor-

tamento da parte real do autovalor e a velocidade de precessao, respectivamente.

Como pode ser visto na primeira figura, caso o amortecimento externo seja elevado

o suficiente, o amortecimento interno nao causa instabilidade no rotor em nenhuma

circunstancia, caso contrario, ha instabilidade na regiao de operacao supercrıtica,

apenas. Tal resultado vai ao encontro dos resultados experimentais presentes em

Dimentberg (1961). e Ishida (2012). Na outra figura, observa-se que a velocidade

de precessao nao se altera com a razao entre a velocidade e rotacao.

Figura 3.11: Comportamento da parte real do auto valor para amortecimento internohisteretico, com diferentes valores de fator de amortecimento.

Como pode ser observado, esse modelo de amortecimento histeretico gera resul-

tados coerentes com o observado experimentalmente ao longo dos anos.

35

Figura 3.12: Comportamento da velocidade de precessao para amortecimento his-teretico.

3.3 Assimetria do rotor

O eixo da maquina rotativa, na realidade, nao sao perfeitamente simetricos, apresen-

tando, assim, seus momentos de inercia desiguais em diferentes direcoes de inercia.

Esta diferenca ocorre devido a fatores construtivos, como chavetas e estrias, ou por

limitacoes dos processos de fabricacao. Um dos exemplos mais interessantes e o do

rotor para o gerador de dois polos, ilustrado na figura 3.13. Ao longo do eixo, ha

as ranhuras que servem para comportarem a bobina, contudo, tais ranhuraras nao

estao dispostas ao longo de toda a circunferencia do eixo, conferindo uma assimetria.

Figura 3.13: Rotor do gerador de 2 polos (Matsushita Masato Tanaka, 2017).

A representacao grafica do modelo para essa situacao esta presente na figura

3.14.

Visto que, devido a assimetria do eixo, os mementos de inercia nas direcoes ξ e η

36

Figura 3.14: Esquema para o eixo da maquina rotativa com secao nao simetrica.

sao diferentes, fazendo com que a rigidez dos sistema seja diferente nessas direcoes.

No modelo proposto, k1 e k2 sao as rigidezes para as direcoes ξ e η, respectivamente.

Alem disso, um coeficiente de amortecimento, c, igual nas duas direcoes. Com isso,

as equacoes do movimento sao dadas por

ξ + 2β(ξ − ωη)− 2ωη + (ω21 − ω2)ξ = ε1ω

2 + g cos ωt (3.42)

η + 2β(η + ωξ)− 2ωξ + (ω22 − ω2)η = ε2ω

2 + g sin ωt (3.43)

em que cm

= 2β, k1

m= ω2

1,k2

m= ω2

2. Alem disso, ε1 e a excentricidade na direcao ξ;

ε2 a excentricidade na direcao η; c o coeficiente de amortecimento; k1 e coeficiente

linear elastico na direcao ξ; k2 o coeficiente linear elastico na direcao η e, finalmente,

m a massa do rotor.

Como o sistema e linear, sua resolucao pode ser feita atacando, separadamente,

as tres partes que o constituem; vibracao livre, influencia do peso e influencia do

desbalanceamento.

3.3.1 Analise do intervalo de instabilidade

No que tange a solucao da vibracao livre, a resposta do sistema pode ser dada por

ξ = Aeλt e η = Beλt, em que A,B e λ sao constantes, sendo esta o autovalor do

sistema. Ao serem substituıdas nas equacoes (3.42) e (3.43), encontra-se o polinomio

37

caracterıstico

λ4+4βλ3+λ2(4β2+2ω2+ω21+ω2

2)+λ2β(2ω2+ω21+ω2

2)+(ω2−ω21)(ω2−ω2

2)+4β2ω2 = 0

(3.44)

Segundo o criterio de Routh–Hurwitz, o qual e detalhado na secao A.4, anali-

sando a equacao caracterıstica, obtem-se o seguinte intervalo de estabilidade para a

velocidade de rotacao:

ω2 <ω2

1 + ω22

2− 2β2 −

√(ω2

1 − ω22

2

)2

− 4β2

(ω2

1 + ω22

2

)+ 4β4 (3.45)

ω2 >ω2

1 + ω22

2− 2β2 +

√(ω2

1 − ω22

2

)2

− 4β2

(ω2

1 + ω22

2

)+ 4β4 (3.46)

Esta equacao diz que, devido a assimetria do rotor, a maquina ira apresentar

um intervalo de velocidades de rotacao instaveis que deve ser evitadas. Por fim, a

solucao de (3.44) e dada por

λ = −β + (−1)u√

1

2(2β2 − 2ω2 − ω2

1 − ω22 + (−1)v

√−16β2ω2 + (ω2

1 − ω22)2 + 8ω2(ω2

1 + ω22),

u, v = 1, 2

(3.47)

Com esta equacao em maos, podem ser analisados os comportamentos das partes

real e imaginaria do autovalor, os quais ajudam na compreensao do comportamento

do sistema com diferentes velocidades de rotacao. Maiores informacoes sobre a

rotina de calculo podem ser vistas na secao A.5.

Resolucao numerica sobre intervalo de instabilidade do rotor assimetrico

Para analise do comportamento da resposta do sistema, sera resolvido um modelo

com m = 14, 29 kg, k1 = 1, 195×106 N/m e uma excentricidade de 10−5 m. Tambem

sera definido que ωn = ω1+ω2

2. Primeiramente, sera observado como o intervalo de

instabilidade varia com o amortecimento e com a razao entre ω1 e ω2; esse intervalo

38

e obtido pela diferenca entre as equacoes (3.46) e (3.45). A figura 3.15 apresenta o

resultado citado, vale ressaltar que r = ω1/ω2 e que ς = β/ωn = c/2mωn.

Figura 3.15: Variacao do tamanho do intervalo de instabilidade devido ao fator deamortecimento e a razao.

Como pode ser visto na figura 3.15, percebe-se que quanto mais severa for a

condicao de assimetria, maior sera o intervalo de instabilidade para um mesmo fator

de amortecimento. Alem disso, ha um valor de amortecimento para o qual, a partir

deste, o intervalo de instabilidade e nulo, ou seja, o rotor e estavel para qualquer

faixa de velocidade. Tal cenario acontece quando o radical das equacoes (3.45) e

(3.46) e menor, ou igual, a zero, conforme dito por Tondl (1965). Como exemplo de

tal comportamento, e valido observar a variacao da parte real da equacao (3.47). Na

figura 3.16, observa-se o comportamento da parte real dos autovalores para ς = 0, 1

e r = 1,2. Como pode ser visto, a parte real sempre sera negativa, portanto, para

essa configuracao o modelo sempre apresentara uma resposta estavel; comporta-

mento esse mostrado no grafico da figura 3.15, na qual, para as mesmas condicoes,

o intervalo de instabilidade e nulo. Ja na figura 3.17, o amortecimento foi reduzido

pela metade, ς = 0, 05; dessa forma ha valores de velocidade de rotacao, em torno

de ωn, os quais causarao instabilidade; no exemplo, esse intervalo de instabilidade

vai entre 0.92 e 1.07 do valor da razao ωωn

.

A analise do comportamento da parte imaginaria dos autovalores tambem for-

nece os indıcios da regiao de instabilidade. As velocidades crıticas sao identificadas

quando a parte imaginaria dos autovalores for zero. Isso se da, porque os autovalores

estao sendo calculados na base solidaria ao eixo. Dessa forma, a parte imaginaria

dos autovalores, que pode ser considerada como uma frequencia natural amortecida

39

Figura 3.16: Comportamento da parte real dos autovalores para r = 1,2 e ς = 0, 1.

no referencial solidario ao giro, ωsoln , se relaciona com a frequencia natural amorte-

cida na base inercial, ωfixn , por meio da seguinte relacao, ωsoln = |ωfixn ±ω|. Portanto,

a velocidade crıtica se da quando a velocidade de rotacao, ω, coincide com ωfixn , ou

seja, quando ωsoln = 0. Entao, observando a figura 3.18, constata-se um envelope de

velocidades crıticas, identificadas quando Imag(λ) = 0, comportamento diferente

daquele observado no diagrama de Campbell convencional para um modelo Jeffcott

que, quando sem efeito giroscopio, ha apenas uma velocidade crıtica.

Por fim, estas duas configuracoes, com e sem instabilidade, podem ser observadas

por meio da analise da resposta no tempo do sistema descrito pelas equacoes (3.42)

e (3.43). Para todas as simulacoes, partiu-se do sentido que o sistema estava em

repouso. Antes, vale notar que as resposta serao geradas na base inercial xy, cuja

transformacao da base solidaria ao eixo, ξη, e dada por

x = ξcos(ωt)− ηsen(ωt) (3.48)

y = ξsen(ωt) + ηcos(ωt) (3.49)

A resposta obtida na figura 3.19 e para r = 1,2, ς = 0, 1 e uma excentricidade

de 10−5 m, conforme ja mencionado, e foi escolhida uma velocidade de rotacao,

ω = ωn. Como ja observado no estudo das equacoes de limite de instabilidade,

para essas configuracoes a resposta do sistema teria que ser estavel, para qualquer

40

Figura 3.17: Comportamento da parte real dos autovalores para r = 1,2 e ς = 0, 05.

Figura 3.18: Comportamento da parte imaginaria dos autovalores para r = 1,2 eς = 0, 05.

faixa de velocidade, inclusive para a velocidade de rotacao igual a ωn, a qual e a

mais critica no que tange a instabilidade. Logo, a resposta apresentada e aquela

esperada, ou seja, houve uma convergencia, que pode ser constatada pela resposta

no tempo e pela orbita. Vale notar que esta apresenta uma forma nao circular devido

a diferenca de rigidez elastica entre as direcoes, conforme tambem foi observado por

Genta (1988). Observando a orbita, ha uma inflexao, que ao ver com um zoom

trecho da resposta do tempo, na figura 3.20.

A resposta apresentada pela figura 3.21 confirma o que se era esperado. Para

esse amortecimento, ς = 0, 05 e velocidade de rotacao, ω = ωn, para um r = 1,2,

aguardava-se uma resposta instavel; e isso o que ocorre. Tanto a reposta do tempo

explode ao final, e a orbita apresenta um movimento de expansao ao longo do tempo.

41

Figura 3.19: Resposta do sistema ao desbalanceamento e acao do peso do rotor,para r = 1,2 e ς = 0, 1.

Analise de velocidades crıticas devido a acao do peso e desbalanceamento

Do ponto de vista do desbalanceamento, e interessante reescrever o sistema de

equacoes representados pelas equacoes (3.42) e (3.43) na forma matricial. O sis-

tema em questao pode ser observado na equacao (3.50).

1 0

0 1

ξη+

2β −2ω

−2ω 2β

ξη+

ω21 − ω2 −2βω

2βω ω22 − ω2

ξη = ω2

ε1

ε2

(3.50)

A solucao nao homogenea e da forma indicada pela equacao (3.51). Ao substituir

esta equacao em (3.50), obtem-se o sistema linear da equacao (3.52).ξη =

AB (3.51)

ω21 − ω −2βω

2βω ω22 − ω

︸︷︷︸

Z(ω)

AB = ω2

ε1

ε2

(3.52)

Multiplicando o inverso da matriz Z(ω) em ambos os lados de (3.52), obtem-se

A e B:

A = ω2 (ω22 − ω2)ε1 + 2βωε2

(ω21 − ω2)(ω2

2 − ω2) + 4β4ω2, B = ω2 (ω212 − ω2)ε2 − 2βωε1

(ω21 − ω2)(ω2

2 − ω2) + 4β4ω2(3.53)

42

Figura 3.20: Zoom na resposta no domınio da tempo devido ao desbalanceamentoe acao do peso do rotor, para r = 1,2 e ς = 0, 1.

Figura 3.21: Resposta do sistema ao desbalanceamento e acao do peso do rotor,para r = 1,2 e ς = 0, 05.

Dessa forma, a amplitude da resposta em frequencia, no sistema inercial e dada

por R =√A2 +B2. Vide equacoes (3.48) e (3.49).

Agora, para encontrar a solucao nao homogenea da resposta devido ao peso do

rotor, basta resolver o sistema matricial da equacao (3.54).

1 0

0 1

ξη+

2β −2ω

−2ω 2β

ξη+

ω21 − ω2 −2βω

2βω ω22 − ω2

ξη =

1

1

geωt

(3.54)

Para tal sistema, a solucao nao homogenea e da forma da equacao (3.55). Ao

43

substituir esta equacao em (3.54), obtem-se a matriz de impedancia I(ω).ξη =

UV eωt (3.55)

I(ω) =

2βω + (ω21 − 2ω2) −2βω − 2ω2

2βω + 2ω2 2β + (ωw2 − 2ω2)

(3.56)

Ao inverter I(ω) e multiplicando o resultado por (3.55), obtem-se U e V:

U = g−2βω + (2βω + ω2

2)

−2[2ω4 + βω(−2ω2 + ω21 + ω2

2)] + [4βω3 + (2ω2 − ω21)(2ω2 − ω2

2)](3.57)

V = g−2βω + 2ω2 + (−2βω − 2ω2 + ω2

1)

−2(2ω4 + βω(−2ω2 + ω21 + ω2

2)) + [4βω3 + (2ω2 − ω21)(2ω2 − ω2

2)](3.58)

Finalmente, e possıvel observar a resposta no domınio da frequencia devido ao

desbalanceamento e ao peso do rotor, como pode ser visto na figura 3.22. Para as

duas curvas, ς = 0, 05. Primeiramente, vale ressaltar, a presenca de dois picos em

torno de ω = ωn. Estes picos determinam o intervalo de instabilidade do rotor,

como ja foi tratado na secao 3.3.1; constata-se que quanto maior for a razao entre

as inercias dos eixos principais, maior sera o afastamento dos picos e, consequente-

mente, o intervalo de instabilidade. Outra velocidade crıtica que surge no grafico

e o pico por volta de ω = ωn/2, o qual se deve a acao do peso, conforme dito por

Tondl (1965). Logo, devido a acao da forca peso no rotor, acontece o surgimento de

mais uma velocidade crıtica, anterior aquela ja conhecida, ω =√k1/m.

44

Figura 3.22: No domınio na frequencia do rotor assimetrico.

45

Capıtulo 4

Modelagem em elementos finitos

Como forma de compreender melhor os fenomenos abordados nos capıtulos anterio-

res, a utilizacao da modelagem com varios graus de liberdade por meio de elementos

finitos foi utilizada no contexto de maquinas rotativas ao longo dos anos de pesquisa.

Nelson (1977) e Ku (1998) fazem a implementacao para um modelo com amor-

tecimento histeretico e viscoso, contudo, a formulacao leva a conclusoes equivocadas

na influencia do amortecimento histeretico na instabilidade. O modelo utilizado

preve, em certas condicoes, uma instabilidade em quaisquer condicoes de operacao.

Isso se deve ao equıvoco da utilizacao da diferenca entre a velocidade de precessao

e de rotacao ao inves do modulo, conforme apontado por Genta (2004). Porem, a

formulacao do amortecimento viscoso pode ser utilizada e sera apresentada neste

capıtulo.

Para a formulacao de um modelo com assimetria, sera utilizado como base

Friswell (2010), cujo trabalho explicita as equacoes do movimento para um sistema

com varias graus de liberdade, permitindo a confeccao do modelo em elementos

finitos

O codigo a sera implementado a partir do modelo ja existente do LaviRot, sendo

feita as modificacoes necessarias. O codigo apresenta os elementos de eixo, disco e

rolamentos, os quais serao apresentados a seguir. A algorıtimo de montagem dos

nos, elementos e matrizes globais e aproveitado do trabalho de Timbo (2018). O

algorıtimo foi feito em python, porem, os resultados apresentados nas proximas

paginas foram obtidos por calculos feitos em MATLAB, com as matrizes confeccio-

nadas e exportadas pelo codigo em python. Alem disso, as equacoes do movimento,

que engloba assimetria e amortecimento interno tambem serao apresentadas.

46

4.1 Elementos de interesse

4.1.1 Elemento de viga

O elemento de viga e constituıdo por dois nos, o qual esta ilustrado nas figuras 4.1

e 4.2, para um eixo de secao transversal, conforme ilustrado na figura 3.14. Vale

notar que Timbo (2018) utilizou o modelo de viga Timoshenko.

Figura 4.1: Graus de liberdade no plano ρξ.

Figura 4.2: Graus de liberdade no plano ρη.

A primeira figura representa os graus de liberdade no plano ρξ, enquanto a

segunda figura no plano ρη, totalizando 8 graus de liberdade para cada elemento,

os quais estarao organizados da forma:

qviga =ξ1, η1 ψξ1, ψη1, ξ2, η2 ψξ2, ψη2

T(4.1)

Vale lembrar que a representacao esta sendo feita na base solidaria ao elemento.

Com o vetor q organizado dessa forma, a matriz de elasticidade, [K]v,

[K]v = [Kξ]v + [Kη]v (4.2)

47

em que

[Kξ]v =EIξL3

12 0 0 6L −12 0 0 6L

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

6L 0 0 4L2 −6L 0 0 2L2

−12 0 0 −6L 12 0 0 −6L

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

6L 0 0 2L2 −6L 0 0 4L2

(4.3)

[Kη]v =EIηL3

0 0 0 0 0 0 0 0

0 12 −6L 0 0 −12 −6L 0

0 −6L 4L2 0 0 6L 2L2 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 −12 6L 0 0 12 6L 0

0 −6L 2L2 0 0 6L 4L2 0

0 0 0 0 0 0 0 0

(4.4)

sendo Iη e Iξ os momentos de inercia nas direcoes principais; L o comprimento do

elemento; e E o modulo de elasticidade do material.

Ao escrever o problema na base solidaria ao eixo, a matriz de massa e inercia do

eixo pode ser divida em duas partes, de forma a facilitar a implementacao computa-

cional e escrita das equacoes do movimento. Primeiramente, ha a matriz de massa

simetrica, [M ]v, dada por

[M ]v =dAL

840

312 0 0 44L 108 0 0 −26L

0 312 −44L 0 0 108 26L 0

0 −44L 8L2 0 0 −26L −6L2 0

44L 0 0 8L2 26L 0 0 −6L2

108 0 0 26L 312 0 0 −44L

0 108 −26L 0 0 312 44L 0

0 26L −6L2 0 0 44L 8L2 0

−26L 0 0 −6L2 −44L 0 0 8L2

(4.5)

48

em que d e a densidade do material e A a area da secao transversal. Em seguida,

tem-se a matriz de massa antissimetrica,[M1]v da forma

[M1]v =dAL

210

0 −156 22L 0 0 −54 −13L 0

156 0 0 22L 54 0 0 −13L

−22L 0 0 −4L2 −13L 0 0 3L2

0 −22L 4L2 0 0 −13L −3L2 0

0 −54 13L 0 0 −156 −22L 0

54 0 0 13L 156 0 0 −22L

13L 0 0 3L2 22L 0 0 −4L2

0 13L −3L2 0 0 22L 4L2 0

(4.6)

Para a matriz de massa rotativa, a mesma coisa acontece, tem-se a matriz de

massa rotativa simetrica, [Mr]v que e adicionada a (4.5), e tem-se a matriz rotativa

antissimetrica, [Mr1]v, a qual e adicionada em (4.6); dessa forma ambas sao dadas

por

[Mr]v =dIe30L

36 0 0 3L −36 0 0 3L

0 36 −3L 0 0 −36 −3L 0

0 −3L 4L2 0 0 3L −L2 0

3L 0 0 4L2 −3L 0 0 −L2

−36 0 0 −3L 36 0 0 −3L

0 −36 3L 0 0 36 3L 0

0 −3L −L2 0 0 3L 4L2 0

3L 0 0 −L2 −3L 0 0 4L2

(4.7)

49

[Mr1]v =dIe15L

0 −36 3L 0 0 36 3L 0

36 0 0 3L −36 0 0 3L

−3L 0 0 −4L2 3L 0 0 L2

0 −3L 4L2 0 0 3L −L2 0

0 36 −3L 0 0 −36 −3L 0

−36 0 0 −3L 36 0 0 −3L

−3L 0 0 L2 3L 0 0 −4L2

0 −3L −L2 0 0 3L 4L2 0

(4.8)

em que

Ie =Iξ + Iη

2(4.9)

e uma aproximacao que utiliza o valor medio dos momentos de inercia nas direcoes

principais de inercia. A matriz giroscopica tambem apresenta esses dois tipos, a

tradicional antissimetrica, [G]v, e uma simetrica, [G1]v, as quais sao dadas por

[G]v =dIe15L

0 −36 3L 0 0 36 3L 0

36 0 0 3L −36 0 0 3L

−3L 0 0 −4L2 3L 0 0 L2

0 −3L 4L2 0 0 3L −L2 0

0 36 −3L 0 0 −36 −3L 0

−36 0 0 −3L 36 0 0 −3L

−3L 0 0 L2 3L 0 0 −4L2

0 −3L −L2 0 0 3L 4L2 0

(4.10)

50

[G1]v =2dIe15L

36 0 0 3L −36 0 0 3L

0 36 −3L 0 0 −36 −3L 0

0 −3L 4L2 0 0 3L L2 0

3L 0 0 4L2 −3L 0 0 L2

−36 0 0 −3L 36 0 0 −3L

0 −36 3L 0 0 36 4L2 0

0 −3L L2 0 0 3L 4L2 0

3L 0 0 L2 −3L 0 0 4L2

(4.11)

Dessa forma, as matrizes geradas pelo elemento de viga estao determinadas, e

podem ser levadas em conta no momento da confeccao das matrizes globais. Por

fim, a equacao do movimento para os elementos de viga, e dada por

[M ]eq + ω([M1]e + [G]e)q + ω2(−[M ]d + [G1]d)q = Q (4.12)

em que ω e a velocidade de rotacao e Q e o vetor de forcas generalizadas.

4.1.2 Elemento de disco

O elemento de disco tera uma contribuicao na matriz de massa e inercia, e na matriz

giroscopica. Esse elemento atua apenas em algum no, dessa forma as matrizes serao

4x4 e os graus de liberdade sao representados por

qdisco =ξ1, ψξ1, η1, ψη1

T(4.13)

Assim a matriz de massa e inercia,[M ]d, e

[M ]d =

mdisco 0 0 0

0 mdisco 0 0

0 0 Iξdisco 0

0 0 0 Iηdisco

(4.14)

em que mdisco e a massa do disco e Iξdisco e Iηdisco sao o momento de inercia nas

direcoes principais. Contudo, para a construcao da equacao do movimento, para o

elemento disco, e interessante a definicao de mais duas matrizes de massa, as quais

51

sao

[M1]d =

0 −2mdisco 0 0

2mdisco 0 0 0

0 0 0 −(Iξdisco + Iηdisco)

0 0 (Iξdisco + Iηdisco) 0

(4.15)

[M2]d = −

mdisco 0 0 0

0 mdisco 0 0

0 0 Iηdisco 0

0 0 0 Iξdisco

(4.16)

A matriz giroscopica,[G]d, apresenta a seguinte forma

[G]d =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 −Ipdisco0 0 Ipdisco 0

(4.17)

em que Ipdisco e o momento polar de inercia. Alem dessa matriz, e interessante

definir uma matriz giroscopica simetrica, [G1]d, dada por

[G1]d =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 Ipdisco 0

0 0 0 Ipdisco

(4.18)

Finalmente, a equacao do movimento para o elemento disco e dada por

[M ]dq + ω([M1]d + [G]d)q + ω2([M2]d + [G1]d)q = Q (4.19)

4.1.3 Elemento dos rolamentos

Os rolamentos sao modelados como molas e amortecedores em paralelo entre si,

em cada direcao transversal, conforme ilustrado na figura 4.3. Dessa forma, esse

elemento atua em apenas um no, entao, os graus de liberdade para as matrizes

mostradas a seguir apresentarao o ordenamento descrito em (4.20). Alem disso, a

representacao usual da rigidez e de amortecimento, devido aos rolamentos, e feita na

52

base inercial; para a matriz de rigidez, nao ha diferenca, isto e, a contribuicao para

a rigidez global se da de forma direta com a rigidez devido ao eixo. No que tange o

amortecimento, ha um tratamento especial no momento de passagem da base inercial

para a solidaria ao eixo, cujo resultado pode ser observado na equacao (4.25) . Vale

notar que no modelo dos rolamentos nao havera nenhum tipo de acoplamento nas

matrizes de rigidez e amortecimento, e as respectivas constantes serao consideradas

iguais em ambas direcoes principais, x e y, ou seja, os mancais serao considerados

isotropicos.

qmancal =x1, y1

T(4.20)

Figura 4.3: Esquema de representacao dos rolamentos (Wang, 2014).

A matriz rigidez, [K]b, e dada por

[K]b =

k 0

0 k

(4.21)

em que k e a rigidez nas respectivas direcoes.

A matriz de amortecimento simetrica [C]b e, por fim,

[C]b =

c 0

0 c

(4.22)

enquanto a matriz de amortecimento assimetrica, [C1]b, e dada por

[C1]b =

0 −cc 0

(4.23)

em que c e o coeficiente de amortecimento. Por conseguinte, a forca de elasticidade

53

feita pelos rolamentos, Qk, e dada por

Qk = −[K]bq (4.24)

enquanto a forca de amortecimento, Qc, e dada por

Qc = −ω[C1]bq − [C]bq (4.25)

4.1.4 Equacoes do movimento para rotor assimetrico com

amortecimento interno

Nesta sessao sera comentado a estrutura das matrizes globais que constituem o

modelo, para, a seguir, montar a equacao do movimento para o sistema com varios

graus de liberdade. Para esse modelo, as equacoes serao obtidas na base solidaria

ao eixo, por comodidade, evitando o surgimento de termos nao lineares, oriundos

da assimetria. O vetor de graus de liberdade para um sistema com n nos, na base

solidaria ao eixo, e dado por

q =ξ1, η1 ψξ1, ψη1, ... ξn, ηn ψξn, ψηn

T(4.26)

A montagem das matrizes globais e feita pelo codigo do LaviRot, cujo processo

pode ser encontrado em Friswell (2010). Combinando as equacoes do movimento de

cada elemento, as quais foram mostradas anteriormente, pode-se escrever a equacao

do movimento para o rotor assimetrico, com amortecimento interno e rolamentos

isotropicos

[M0]q+[[C0]+ω([G0]+[M1])+[Cr]]q+[[K0]+ω[C1]+ω2([G1]+[M2])]q = Q (4.27)

em que [M0] e a matriz de massa e de inercia, a qual e obtida por meio das matrizes

de massa simetricas dos elementos de viga e disco, enquanto [M1] e obtido por meio

das matrizes assimetricas; [M2] e a matriz global de massa auxiliar, oriunda dos

elementos de viga e disco; [C0] e a matriz global de amortecimento externo obtida

por meio da matriz simetrica de amortecimento dos elementos de mancal; [Cr] e a

matriz de amortecimento rotacional ou seja matriz de amortecimento interno; [C1] e

a matriz de amortecimento global antissimetrica, oriunda do elemento dos mancais;

54

[G0] e a matriz giroscopica global cuja contribuicao vem das matrizes giroscopicas

assimetricas dos elementos de viga e disco; [G1] e a matriz giroscopica global, a qual

e obtida por meio dos elementos de viga e disco; [K0] e a matriz de elasticidade

global a qual e obtida por meio da combinacao das matrizes de elasticidade dos

elementos de viga e dos mancais.

Nelson (1977) propoe que a matriz [Cr] para o amortecimento do tipo viscoso

seja proporcional a matriz de elasticidade, [K0], sendo φv o coeficiente de proporci-

onalidade analogo ao fator de perda. Com isso,

[Cr] = φv[K0] (4.28)

a qual pode ser substituıda em (4.27) para inclusao do amortecimento interno do

tipo viscoso no modelo.

4.2 Resultados da simulacao de um compressor

Para analisar o modelo e o comportamento dos efeitos de assimetria e amortecimento

interno num modelo de elementos finitos, um compressor sera modelado com a

utilizacao do LaviRot com a inclusao da assimetria e amortecimento interno. O

equipamento possui sete estagios, cujas caracterısticas geometricas dos impelidores,

os quais serao modelados como discos, estao sendo mostradas na tabela 4.1. O eixo

do compressor apresenta momento de inercia na direcao ξ, Iξ = 2, 17 × 10−5 m4

e, na direcao η, Iη = 1, 63 × 10−5 m4; a area da secao do eixo foi considerada de

0, 074 m2. Os mancais apresentam um coeficiente de elasticidade igual nas duas

direcoes principais e valem 6× 107 N/m.

Tabela 4.1: Caracterısticas geometricas dos impelidores.

Estagio Espessura [mm] Diametro [mm]1o 45 3652o 45 3563o 30 3654o 30 3405o 30 3406o 30 3407o 30 340

Na figura 4.4 esta sendo representada o modelo em elementos finitos do equipa-

55

mento em questao, gerado pelo LaviRot. Os elementos entre os nos 0 e 2, e entre os

nos 19 e 21 apresentam 95, 5 mm de comprimento, enquanto os elementos restantes

possuem 90 mm. Alem disso, os componentes serao modelados como feitos de aco,

com densidade 7850 kg/m3 e modulo de elasticidade 211 GPa.

Figura 4.4: Representacao do modelo em elementos finitos do compressor em estudo.

4.2.1 Analise da instabilidade

Para uma analise das condicoes de instabilidade do modelo em questao, e impor-

tante analisar o comportamento dos autovalores de acordo com os parametros do

problema; todos os graficos dessa secao estao representados na base solidaria ao eixo.

Inicialmente, sera observado como o sistema se comporta sem amortecimento nos

mancais e nem amortecimento interno. As figuras 4.5 e 4.6 apresentam o compor-

tamento da parte imaginaria e real dos autovalores do modelo. Nas figures pode-se

observar seis regioes de instabilidade significantes e outras quatro menores; tais

regioes sao identificadas pelos valores positivos da parte real dos auto valores e e

quando a parte imaginaria dos dos autovalores vale zero, conforme ja mencionado

no capıtulo 3.3. Dessa forma, observando a parte real dos autovalores, os seguintes

intervalos de velocidades sao crıticos: entre 3189 ate 3476 RPM , 6112 ate 6169

RPM , 8041 ate 8480 RPM , 8919 ate 9034 RPM , 11020 ate 11120 RPM , 127780

56

ate 13450 RPM , 16020 ate 16410 RPM , 17930 ate 18330 RPM e 21750 ate 23870

RPM .

Figura 4.5: Comportamento da parte imaginaria dos autovalores para o sistema semnenhum tipo de amortecimento.

Figura 4.6: Comportamento da parte real dos autovalores para o sistema sem ne-nhum tipo de amortecimento.

Como ja estudado, uma das formas de combater instabilidade e com o aumento

de amortecimento nos mancais. Dito isso, os autovalores serao analisados com os

mancais possuindo um coeficiente de amortecimento, c = 50000 Nm/s

. Ao observar a

figura 4.8, constata-se que, com a presenca de amortecimento nos mancais, nao ha

57

valor positivo da parte real dos autovalores ate o final do envelope de velocidades

analisado, sendo estavel em todo o envelope de velocidades analisado. Vale notar

que no grafico que exibe o comportamento da parte imaginaria dos autovalores, as

regioes achatadas ainda permanecem, por mais que o autovalor nessas regioes sejam

negativos.

Figura 4.7: Comportamento da parte imaginaria dos autovalores para o sistema comamortecimento nos mancais de 50000 N

m/s.

Figura 4.8: Comportamento da parte real dos autovalores para o sistema com amor-tecimento nos mancais de 50000 N

m/s.

Por fim, para uma mesma configuracao de amortecimento dos mancais, sera adi-

58

cionado o termo de amortecimento interno, com φv = 0, 25 × 10−4 s−1. Conforme

visto na figura 4.9, nao ha mudancas significativas na parte imaginaria dos auto-

valores com a adicao do amortecimento interno, contudo, ao ver, na figura 4.10, o

comportamento da parte real do autovalor, ha o aparecimento de uma regiao de

instabilidade, quando a velocidade de rotacao e maior que 20320 RPM .

Figura 4.9: Comportamento da parte imaginaria dos autovalores para o sistema comamortecimento nos mancais de 50000 N

m/se amortecimento interno.

Figura 4.10: Comportamento da parte real dos autovalores para o sistema comamortecimento nos mancais de 50000 N


Por outro lado, ao diminuir o coeficiente de amortecimento nos mancais pela

59

metade, ou seja, c = 25000 Nm/s

, ocorre uma piora nas condicoes de instabilidade,

surgindo duas regioes de operacao instavel, entre 3226 e 3514 RPM e a partir de

16440 RPM , conforme visto na figura 4.11.

Figura 4.11: Comportamento da parte real dos autovalores para o sistema comamortecimento nos mancais de 25000 N


Com o estudo dos resultados obtidos e possıvel entender o comportamento de

uma maquina rotativa perante as situacoes de assimetria do eixo e amortecimento

interno do tipo viscoso. A assimetria do eixo gera intervalos de instabilidades ao

longo de um envelope de velocidades de rotacao, na qual esses intervalos apresentam

um comeco e um fim, nao gerando, portanto uma velocidade de operacao limite, mas

sim, faixas as quais a operacao da maquina rotativa deve ser evitada. Porem, ao

levar em conta os efeitos do amortecimento interno, ha uma velocidade de rotacao

limite, na qual a partir dela, a operacao da maquina e instavel. No combate de

tal problema, o aumento de amortecimento nos mancais e uma opcao, o qual reduz

ou elimina os intervalos de instabilidade gerados pela assimetria e, do ponto de

vista do amortecimento interno, aumenta a velocidade de rotacao limite. Com essas

conclusoes, e possıvel analisar a resposta do modelo ao desbalanceamento, tanto no

domınio da frequencia, quanto no domınio do tempo.

4.2.2 Analise da resposta do modelo ao desbalanceamento

Para analisar a resposta ao desbalanceamento do modelo, sera considerado que no

impelidor do no 8 ha um desbalanceamento de 0,001 kg m , deslocado num angulo β

60

em relacao a direcao de maior momento de inercia, no caso do exemplo, ξ, conforme

ilustrado na figura 4.12.

Figura 4.12: Representacao da secao transversal do modelo no no 8.

Levando em conta o desbalanceamento, o vetor que representa as forcas externas

em 4.27, Q, e dador por

Q = ... 0, 001ω2cos(β), 0, 001ω2sen(β) ...T (4.29)

Dessa forma a resposta particular do problema qp e um vetor cujos elementos

sao independentes do tempo, sendo assim,

qp = qp = 0

Logo,

qp = [K(ω)]−1Q (4.30)

em que [K(ω)] = [K0] + ω[C1] + ω2([G1] + [M2]). Primeiramente, sera observada a

resposta no domınio da frequencia devido ao desbalanceamento para o modelo sem

amortecimento nos mancais. A figura 4.13 apresenta a resposta ao desbalanceamento

para β = 0o. Na figura, os picos aparecem no limite superior dos intervalos de

estabilidade expostos na figura 4.6, entao o primeiro pico da figura 4.13 e 3476

RPM . Isto ocorre, porque o centro de massa esta localizado na direcao que apresenta

o maior momento de inercia, no caso, ξ.

Para β = 45o, os picos aparecem em pares, como pode ser observado na figura

61

Figura 4.13: Resposta do sistema ao desbalanceamento no domınio da frequenciapara β = 0o.

4.14, sendo as frequencias em que eles surgem os limites inferior e superior dos

principais intervalos de instabilidade.


Ja quando β = 90o, figure 4.15, os picos aparecem nos respectivos limites inferi-

ores dos intervalos de instabilidade. Por exemplo, o primeiro pico aparece em 3170

RPM , visto que o centro de massa esta localizado na direcao que apresenta o menor

momento de inercia, η.

Ao levar em conta o amortecimento dos mancais, observa-se na figura 4.16, que

uma diminuicao na amplitude, alem da ausencia de alguns picos. Contudo, o padrao

62


de ocorrencia de tais picos e do valor de β se mantem. Os graficos citados foram

gerados por meio de (4.30), e como o amortecimento interno nao aparece em [K(ω)],

a resposta se torna independente do amortecimento interno.

Por fim, e valido observar a resposta temporal do sistema devido a excitacao

causada pelo desbalanceamento. Vale ressaltar que todos os resultados a seguir

serao representados na base inercial, cujos resultados foram obtidos com o auxılio

da transformacao descrita nas equacoes (3.48) e (3.49). Alem disso, as condicoes

iniciais foram de repouso. Os resultados obtidos na figura 4.17 sao para um sistema

sem nenhum tipo de amortecimento e com velocidade de rotacao ω = 8307 RPM .

Dessa forma, devido as conclusoes tiradas pela observacao da figura 4.6, o sistema,

de fato, se deveria se apresentar de forma instavel, como pode ser visto, ja que a

resposta nao para de crescer ao longo do tempo, e a orbita nao converge.

Para tentar contornar o problema, foi adicionado amortecimento aos mancais,

com fator de 50000 Nm/s

. Com isso, a resposta nao cresce indefinidamente, como

pode ser visto na figura 4.18, ja que o sistema saiu das condicoes de instabilidade.

Agora, serao analisadas respostas com amortecimento interno. Como ja visto,

ele gera limites de operacao, principalmente em altas rotacoes. A velocidade de

operacao durante as simulacoes numericas sera de ω = 17000 [RPM ]. φv tambem

vale 0, 25 × 10−4 s−1. Para as mesmas condicoes de amortecimento nos mancais,

c = 50000 Nm/s

, o sistema, ainda, continua estavel, conforme e observado na figura

4.19.

Por fim, ao diminuir o coeficiente de amortecimento nos mancais pela metade,

63

Figura 4.16: Resposta ao desbalanceamento com amortecimento nos mancais.

Figura 4.17: Resposta devido ao desbalanceamento para o sistema sem nenhum tipode amortecimento.

c = 25000 Nm/s

, o sistema volta para um regime instavel, conforme visto pela figura

4.20.

64

Figura 4.18: Resposta devido ao desbalanceamento para o sistema com amorteci-mento nos mancais, cujo coeficiente de amortecimento no valor de 50000 N

m/s.


m/s, e

interno com φv = 0, 25× 10−4.


m/s, e

interno com φv = 0, 25× 10−4.

65

Capıtulo 5

Conclusao e trabalhos futuros

5.1 Conclusao

Este trabalho cobriu problemas que influenciam na estabilidade de maquinas rota-

tivas. Primeiramente, foi discutido sobre o desbalanceamento, sendo mostrado os

tipos desse problema e como e feito o processo balanceamento para eliminar tal si-

tuacao. Tambem foi exposto um aplicativo, desenvolvido em parceria com a BR2W

Solucoes, para o balanceamento em um plano.

Outro problema abordado foi o amortecimento interno. O trabalho focou no

amortecimento histeretico e viscoso. Para ambos, inicialmente, foram analisados

seus modelos em um sistema de dois graus de liberdade, estudando o comporta-

mento das partes real e imaginaria dos autovalores inerentes aos problemas, sendo

identificado como tais fenomenos influenciam na estabilidade. Dessa forma, foi con-

cluıdo, que o amortecimento interno do tipo viscoso gera uma instabilidade a par-

tir de certa velocidade de operacao, ou seja, e gerado um limite de operacao que

ira depender das condicoes de amortecimento externo. Por outro lado, o amorteci-

mento interno do tipo histeretico gera como limite de operacao a primeira velocidade

crıtica, dependendo de certas condicoes de estabilidade, que, caso sejam cumpridas,

o modelo indica estabilidade para qualquer velocidade de rotacao, ao contrario do

amortecimento do tipo viscoso.

Rotores assimetricos geram uma regiao de instabilidade, isto e, ha uma veloci-

dade de rotacao na qual se comeca a instabilidade e outra que termina.

Por fim, um modelo em elementos finitos foi confeccionado, por meio da

adaptacao do codigo do LaviRot, o qual foi expandido, comportando analise de

rotores assimetricos e com efeitos de amortecimento interno do tipo viscoso. Com

66

tal modelo, pode ser observado como um eixo assimetrico pode gerar varias regioes

de instabilidade e que o amortecimento interno gera, tambem para um modelo de n

graus de liberdade, um limite de velocidade de operacao. Alem do mais, foi obser-

vado que o incrimento de amortecimento nos mancais contribui para a eliminacao

de instabilidade. No caso de assimetria, as regioes instaveis sao extintas e para o

caso do amortecimento interno do tipo viscoso o limite para a velocidade de rotacao

tem seu valor aumentado.

A tabela 5.1 apresenta as principais diferencas de cada modelo abordado nesse

trabalho no que tange o comportamento dos autovalores e instabilidade.

Tabela 5.1: Resumo das diferencas de cada modelo.

ModeloParte real dosautovalores

Parte ima-ginaria dosautovalores

Instabilidade Orbita

Jeffcott Constante Constante Sempre estavel Circular

Amortecimentointerno do tipoviscoso

Variacao linearcom a velocidadede rotacao

Constante

Apresenta umavelocidade derotacao, a par-tir da qual aoperacao setorna instavel

Circular

Amortecimentointerno do tipohisteretico

Constante ate afrequencia natu-ral. Contudo,ao chegar nessafrequencia, o va-lor muda paraoutro patamar

Constante

Uma velocidadede operacaolimite, a qualsera a frequencianatural, casoas condicoesde estabili-dade nao sejamrespeitadas

Nao analisado

Assimetrico

Ha o surgi-mento de formaselıpticas nasregioes proximasda frequencianatural

Varia com osurgimento deregioes nas quaiso valor chega azero, indicandoinstabilidade

Gera intervalosde instabilidade

Pode ser nao cir-cular

67

5.2 Trabalhos futuros

Certos aspectos dos fenomenos de amortecimento interno do tipo histerico e por

atrito seco ainda precisam ser mais estudas, principalmente em modelos do tipo de

elementos finitos. Para tal e preciso superar a dificuldade do modelo proposto para

o amortecimento histeretico ser valido, apenas, no domınio da frequencia. Alem

disso, um aspecto importante e o estudo da passagem pelas regioes de instabilidade

geradas pela assimetria do rotor, o qual depende de uma generalizacao do modelo

proposto, visto que a velocidade de rotacao, agora, variaria com o tempo. Mas a

compreensao do que acontece nessas situacoes por meio de modelos e de fundamental

importancia para atacar os problemas da industria.

68

Referencias Bibliograficas

1 MACCAMHAOIL, M. Static and Dynamic Balancing of Rigid Rotors. [S.l.],2012.

2 1940-1, I. S. Mechanical Vibration. 2013.

3 VAUGHAN, J. Static and dynamic balancing using portable measuringequipment. [S.l.], 2012.

4 MATSUSHITA MASATO TANAKA, H. K. N. K. P. K. O. Vibrations of rotatingmachinery. [S.l.]: Springer Japan, 2017.

5 WANG, W. Rotordynamic Evaluation of Full Scale Rotor on Tilting PadBearings with 0.1 and 0.3 Preload. Disponivel em: 〈https://www.researchgate.net/figure/Multidegree-rotor-bearing-system fig1 273657136〉: [s.n.], 2014. Acessadoem: 03 nov. 2018.

6 ISHIDA, T. Y. Y. Linear and Nonlinear Rotordynamics. 2nd. ed. Weinheim,Germany: Wiley, 2012.

7 DEUS, P. A. L. de.

Desenvolvimento de uma interface grafica para simulacao de maquinas rotativas,com foco na influencia de selos labirintos na dinamica estrutural — UniversidadeFederal do Rio de Janeiro, 2015.

8 OLIVEIRA, R. M. de.

Simulacao numerica de um rotor em bancada de testes — Universidade Federal doRio de Janeiro, 2016.

9 TIMBO, R. Impact of damper seal coefficients in rotor dynamics: uncertaintiesand optimization. Dissertacao (Mestrado) — Universidade Federal do Rio deJaneiro, 2018.

10 NELSON, E. S. Z. e H. D. Finite element simulation of rotor-bearing systemswith internal damping. Transactions of the ASME, Journal of Engineering forPower, 1977.

11 GENTA, G. Whirling of unsymmetrical rotors: A finite element approachbased on complex co-ordinates. Journal of Sound and Vibration, October 1988.

12 FRISWELL, M. I. Dynamics of rotating machines. First. New York, USA:Cambridge University Press, 2010.

69

https://www.researchgate.net/figure/Multidegree-rotor-bearing-system_fig1_273657136

https://www.researchgate.net/figure/Multidegree-rotor-bearing-system_fig1_273657136

13 RIPPER, A. P. Vibracoes Mecanicas. Primeira edicao. Rio de Janeiro, Brasil:e-pappers, 2007.

14 RIEGER, N. F. Balancing of rigid and flexible rotors. [S.l.]: The shock andvibration informatio center - Unite States Departament of defense, 2017.

15 CALDERALE, A. L. A. P. M. Measurement of non-linear internal damping inmetals: processing of decay signals in a uniaxial stress field. Journal of Sound andVibration, Abril 1996.

16 TONDL, A. Some Problems of Rotor Dynamics. Prague: Publishing house ofthe Czechoslovak Academy of Sciences, 1965.

17 RAO, S. S. Mechanical vibrations. Fifth edition. [S.l.]: Pearson, 2010.

18 GENTA, G. On a persistent misunderstanding of the role of hysteretic dampingin rotordynamics. Journal of Vibration and Acoustics, July 2004.

19 GENTA, G. Dynamics of rotating systems. [S.l.]: Springer, 2005.

20 DIMENTBERG, F. Flexural Vibrations of Rotating Shafts. London:Butterworths, 1961.

21 KU, D.-M. Finite element analysis of whirl speeds for rotor-bearing systemswith internal damping. Mechanical Systems and Signal Processing, Maio 1998.

70

Apendice A

A.1 Fasores ou vetores girante

A resposta vibracional de maquinas rotativas pode ser aproximada como uma res-

posta sinodal de velocidade angular, fase e amplitude constantes ao longo do tempo.

Dessa forma, a representacao desse tipo de resposta por meio de fasores pode ser

uma boa alternativa em certas analise. Essa representacao pode ser utilizada para

funcoes que apresentam um comportamento harmonico simples.

Havendo uma funcao f(t) que apresenta a forma

f(t) = A sen(ωt+ ϕ) (A.1)

em que A e a amplitude; ω e a velocidade de rotacao e ϕ e a fase. A representacao

por fasor de f(t),−→f , e dada por

−→f =

A√2eϕ (A.2)

cuja representacao no plano esta sendo ilustrada na figura A.1. Vale notar que na

representacao por fasor, o valor absoluto do numero complexo da representacao e o

valor RMS da amplitude do sinal, por isso A√2.

Com essas definicoes, e possıvel fazer operacoes entre dois ou mais fasores. De-

finindo, para ilustrar, uma resposta harmonica simples

g(t) = A2 sen(ωt+ ϕ2) (A.3)

cuja representacao por fasor se da, portanto, por

−→g =A2√

2eϕ2 (A.4)

71

Figura A.1: Representacao de um numero complexo no plano.

Portanto, a multiplicacao entre os fasores e dada por

−→f ×−→g =

AA2

2e(ϕ+ϕ2) (A.5)

A divisao pode ser obtida por analogia. Ja a soma, pode ser feita por meio da

utilizacao da formula de Euler para numeros complexos, sendo assim,

−→f +−→g =

A√2

[cos(ϕ) + sen(ϕ)] +A2√

2[cos(ϕ2) + sen(ϕ2)] (A.6)

−→f +−→g =

A√2cos(ϕ) +

A2√2cos(ϕ2) +

[A√2sen(ϕ) +

A2√2sen(ϕ2)

](A.7)

A.2 Demonstracao da solucao do polinomio ca-

racterıstico para amortecimento interno vis-

coso, equacao (3.27)

A equacao (3.21) pode ser descrita na forma matricial,

1 0

0 1

xy+

α + β 0

0 α + β

xy+

ω2n βωn

−βωn ω2n

xy =

0

0

(A.8)

72

sendo a solucao do sistema da forma,xy =

UV est (A.9)

Substituindo (A.9) em (A.8), obtem-se o seguinte sistema:(α + β)s+ s2 + ω2n βωn

−βωn (α + β)s+ s2 + ω2n

︸︷︷︸

Z(ωn)

UV = 0 (A.10)

Dessa forma, o determinante de Z(ωn) precisa ser igual a zero para a solucao

nao-trivial. Fazendo isso, o polinomio caracterıstico e dado por

s4 + 2(α + β)s3 + s2[(α + β)2 + 2ω2n] + 2ω2

ns(α + β) + β2ω2 + ω4n = 0 (A.11)

Para encontrar a solucao da equacao anterior, e interessante fazer a substituicao

de variavel,

s = s1 − (α + β)/2 (A.12)

que, ao ser substituıda em (A.11), obtem-se

s41 +

[−(α + β)2 + 4ω2

n

2

]s2

1 +1

16(α + β)4 − 1

2(α + β)2ω2

n + β2ω2 + ω4n = 0 (A.13)

a qual e uma equacao bi-quadrada, a qual pode ser resolvida por meio da equacao

de Bhaskara. Logo encontrando s1 e substituindo em (A.12), tem-se que que os

autovalores sao dados por

s = −α + β

2+

(−1)u

2

√(α + β)2 − 4ω2

n + 4(−1)vβω

u, v = 1, 2

(A.14)

73

A.3 Desenvolvimento das equacoes de estabili-

dade para o caso de amortecimento his-

teretico e da velocidade de precessao

Ao expandir a equacao (3.33), e separando a parte real da imaginaria, tem-se

k + cσ +η k σ

|Ω− ω|+m(σ2 − Ω2) + [η k sgn(Ω− ω) + Ω(c+ 2mσ)] = 0 (A.15)

em que sgn(Ω−ω) = Ω−ω|Ω−ω| . Com isso, ambas as partes, real e imaginaria, precisam

ser iguais a zero. Assim, igualando a parte imaginaria a zero, encontra-se a equacao

que determina a parte real do sistema com modelo de amortecimento histeretico, a

qual e dada por (A.16).

σ = −c+ η k sgn(Ω− ω)

2mΩ(A.16)

Dessa forma, como condicao de estabilidade, σ < 0. O estudo dessa analise foi

feita ao longo da secao 3.2.2.

74

A.4 Criterio de estabilidade de Routh-Hurwitz

Um polinomio do quarto grau da seguinte forma

f(λ) = a0λ4 + a1λ

3 + a2λ2 + a3λ+ a4 (A.17)

tem a matriz de Hurwitz ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a0 a1 0 0

a3 a2 a1 a0

0 a4 a3 a2

0 0 0 a4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣O criterio diz que todas as raızes do polinomio A.17 terao a parte real de suas

raızes negativas, caso o determinantes das matrizes menores da matriz de Hurwitz

sejam positivas. Isto fornece quatro criterios para o polinomio do quarto grau, sendo

eles

• a1 > 0

• a1a2 − a0a3 > 0

• a3(a1a2 − a0a3)− a4(a21) > 0

• a4[a3(a1a2 − a0a3)− a4(a21)] > 0

75

A.5 Resolucao da equacao do criterio de estabi-

lidade para rotor assimetrico e as raızes da

equacao caracterıstica

As equacoes (3.42) e (3.43) escritas na forma matricial apresentam a forma

1 0

0 1

ξη+

2β −2ω

−2ω 2β

ξη+

ω21 − ω2 −2βω

2βω ω22 − ω2

ξη =

0

0

(A.18)

Sendo a solucao da forma ξ = Aeλt e η = Beλt, onde A,B sao constantes e λ o

autovalor, o problema do autovalor e determinado por2βλ+ λ2 − ω2 + ω21 −2(βω + λω)

2(βω + λω) 2βλ+ λ2 + ω22 − ω2

︸︷︷︸

Z

AB

=

0

0

Por fim, o polinomio caracterıstico e

λ4+4βλ3+λ2(4β2+2ω2+ω21+ω2

2)+λ2β(2aω2+ω21+ω2

2)+(ω2−ω21)(ω2−ω2

2)+4β2ω2 = 0

(A.19)

O que fornece as seguintes condicoes de estabilidade, parte real das raızes nega-

tiva,

1. 1 > 0

2. 2β(8β2 + 2ω2 + ω21 + ω2

2) > 0

3. 32β2ω2(ω21 + ω2

2) + 4β2[(ω21 − ω2

2)2 + 8β2(ω21 + ω2

2)] > 0

4. (ω2 − ω21)(ω2 − ω2

2) + 4β2ω2 > 0

Para resolver (3.44) e interessante fazer a substituicao λ = λ1− β, o que fornece

a equacao biquadratica

λ41 + λ2

1(−2β2 + 2ω2 + ω21 + ω2

2) + (β2 + ω2 − ω21)(β2 + ω2 − ω2

2) = 0 (A.20)

76

A solucao de (A.20) e encontrada por simples aplicacao da formula de Bhaskara,

e ao resolver λ1, λ e dado por consequencia, apresentando a seguinte forma

λ = −β + (−1)u√

1

2(2β2 − 2ω2 − ω2

1 − ω22 + (−1)v

√−16β2ω2 + (ω2

1 − ω22)2 + 8ω2(ω2

1 + ω22),

u, v = 1, 2

(A.21)

77

estudo de instabilidade em máquinas rotativas devido ao...

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