ESTUDO DA REDE RODOVIRIA DA MESORREGIO DO VALE DO MUCURI-MG POR MEIO DE TEORIA DOS GRAFOS

Lenidas Conceio Barroso

Doutor em Informtica PUC Rio, Brasil Professor da Pontifcia Universidade Catlica de Minas Gerais PUC Minas, MG, Brasil

lbarroso@pucminas.br

Magali Maria de Arajo Barroso Doutora em Engenharia de Sistemas e Computao COPPE/UFRJ, Brasil

Professora do Centro Universitrio de Belo Horizonte, MG, Brasil magali.barroso@prof.unibh.br

Resumo: Estuda-se a rede rodoviria da Mesorregio do Vale do Mucuri, situada na poro nordeste do Estado de Minas Gerais, Brasil, utilizando a Teoria dos Grafos para modelar as situaes problema e realizando sua anlise por meio de operaes elementares em grafos.

Palavras-Chave: Grafo. Redes Geogrficas. Operaes em grafos. Vale do Mucuri. Tefilo Otoni. 1 INTRODUO

O objetivo deste trabalho analisar a rede rodoviria da Mesorregio do Vale do Mucuri, situada na poro nordeste do Estado de Minas Gerais, Brasil, utilizando a Teoria dos Grafos para modelar as situaes problema e

realizando o estudo com as operaes elementares em grafos.

O Mapa 1 mostra a localizao da mesorregio no estado e no Brasil e apresenta as cidades que a compem enumeradas.

Mapa 1: Localizao dos municpios que compem a Mesorregio do Vale do Mucuri. Fonte: APOLINRIO, 2010.

A mesorregio do Vale do Mucuri composta de 23(vinte e trs) municpios e tem a cidade de Tefilo Otoni como seu polo (BARROSO, 2012). Estudos desenvolvidos por Apolinrio (2010) mostra a hierarquia de sua rede urbana, utilizando Anlise de Componentes Principais e Tcnicas

de Agrupamento. Arajo (2011) explora a influncia dos eixos virios na conformao atual do Vale do Mucuri.

A rede viria atual do Vale do Mucuri encontra-se no Mapa 2.

Mapa 2 Rede Rodoviria da Mesorregio do Vale do Mucuri

Fonte: ARAJO, 2011.

Tabela 1 Cdigo dos municpios do Vale do Mucuri

Cdigo Nome do Municpio 1 guas Formosas 2 Atalia 3 Bertpolis 4 Carlos Chagas 5 Catuji 6 Crislita 7 Franciscpolis 8 Frei Gaspar 9 Fronteira dos Vales

10 Itaip 11 Ladainha 12 Machacalis 13 Malacacheta 14 Nanuque 15 Novo Oriente de Minas 16 Ouro Verde de Minas 17 Pavo 18 Pot 19 Santa Helena de Minas 20 Serra dos Aimors 21 Setubinha 22 Tefilo Otoni 23 Umburatiba

Observando o Mapa 2 podem-se destacar as quadrculas vermelhas, que so as sedes dos municpios da regio estudada e a rede rodoviria, que os liga, sendo as asfaltadas, coloridas de vermelho, e, as estradas de terra, de cinza.

O diagrama da FIG. 1 uma representao sinttica dessa rede rodoviria asfaltada, onde podem ser observados dois tipos de crculos: os coloridos de preto, que correspondem s sedes dos municpios e, os de branco, pontos intermedirios de estradas, aqui substitudas por linhas. Por ser uma representao, as linhas no precisam ser necessariamente uma imagem fsica das estradas, mas simplesmente a ligao existente entre as cidades. Esta uma estrutura matemtica, conhecida como grafo, cujos conceitos e propriedades constam na seo 2.

O vrtice branco t1 representa a cidade de Novo Cruzeiro, que pertence ao Vale do Jequitinhonha e os demais vrtices brancos so pontos intermedirios das estradas.

Este trabalho est organizado da seguinte maneira: na seo 2 apresentado o Marco Terico, e na terceira, a anlise da rede rodoviria da regio estudada por meio da Teoria dos Grafos e, em seguida as consideraes finais.

Figura 1 Diagrama de ligao com estradas asfaltadas entre os municpios da Mesorregio do Vale do Mucuri

2 MARCO TERICO

Conforme ensina Szwarcfiter (1984) um grafo G(V,E) uma estrutura constituda de um conjunto V, finito e no vazio de n vrtices, e um conjunto E de m arestas, que so pares no ordenados de elementos de V. Em um grafo, toda aresta definida por dois vrtices que so seus extremos. Encontra-se, na parte (a) da FIG. 2, a representao geomtrica do grafo G1(V1,E1), definido pelos conjuntos:

V1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E1 = {(1,2), (1,6), (2,4), (3,4), (4,5), (5,2), (6,5)}

G1 um grafo simples, j que no possui laos, nem arestas paralelas. Os laos so arestas cujos extremos coincidem e duas arestas paralelas so aquelas definidas pelo mesmo par de vrtices. O grafo da parte (b) da FIG. 2 no simples; ele possui o lao (6,6) e duas arestas paralelas com extremos 2 e 5. Os grafos sem laos e que possuem arestas paralelas so denominados multigrafos. (BARROSO, 1998).

Figura 2 Representao geomtrica de grafos

Por serem os vrtices e as arestas, elementos fundamentais dos grafos, todos os outros conceitos da teoria surgem em funo desses. A aresta (v,w) de um grafo definida pelos vrtices v e w, ela incide em v e em w e, alm disso, diz-se que v e w so vrtices adjacentes.

Assim, um novo conjunto se manifesta, o conjunto dos vrtices adjacentes ao vrtice v, denotado por Adj(v) e definido como: Adj(v) = {w, tal que (v,w) E}. O nmero de incidncias de arestas em um vrtice v denomina-se grau de v, grau(v) e, para grafos simples, esse nmero igual cardinalidade de Adj(v), resultando: grau(v) = #(Adj(v)). (BARROSO, 2007).

A seguir, so apresentadas algumas das principais operaes realizadas com vrtices e arestas de um grafo e, em seguida, so indicadas em que condies elas podem ser aplicadas. Suas definies podem ser ampliadas para trabalhar com subconjuntos de V e de E.

Incluso da aresta (v,w)

Exigncia: os vrtices v e w devem pertencer a V.

Grafo Resultante: G+(v,w) definido por V e E{(v,w)}.

Caso (v,w) j pertena a G, o grafo resultante ter pelo menos um par de arestas paralelas. Se v=w, h o surgimento de um lao.

Excluso da aresta (v,w)

Exigncia: a aresta (v,w) deve pertencer a E.

Grafo Resultante: G-(v,w) definido por V e E-{(v,w)}.

Incluso do vrtice v

Exigncia: o vrtice v no deve pertencer a V.

Grafo Resultante: G+v definido por V{v} e E.

Excluso do vrtice v

Exigncia: o vrtice v deve pertencer a V e n>1.

Grafo Resultante: G-v definido por V-{v} e E-{(v,u), u Adj(v)}.

A restrio n>1 garante que, mesmo aps a excluso do vrtice, a estrutura remanescente continua sendo um grafo.

1 2 3 1 2 3 6 5 4 6 5 4 G1(V1,E1) G2(V2,E2) (a) (b)

1

5

2

3

4

6

7

8

9

10

11

12

13 14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

t1 t2

t3 t4

T5

Encontram-se, nas figuras 3 e 4, os grafos resultantes da aplicao das operaes indicadas no grafo G1(V1,E1) da FIG. 2.

1 2 3

7

6 5 4 G1 + 7

(a)

1 2 3

6 4

G1 5 (b)

Figura 3 Exemplo de Incluso e excluso de vrtices

1 2 3

6 5 4

G1 + (3,5) (a)

1 2 3

6 5 4

G1 (3,4) (b)

Figura 4 Exemplos de incluso e excluso de

arestas Fuso dos vrtices v e w Exigncia: os vrtices v e w devem pertencer a V.

Grafo Resultante: Gvw definido por (V-{v,w}){vw} e E {(v,u),uAdj(v)} {(w,u),uAdj(w)} Evw, onde:

se (v,w) E, ento Evw = {(vw,u), u [Adj(v) Adj(w)]} seno Evw = {(vw,vw)}{(vw,u), u Adj(v)Adj(w) {v,w}}.

Como consequncia da aplicao dessa operao, pode ocorrer o surgimento de laos e/ou arestas paralelas. Caso essa multiplicidade de elementos no seja relevante para a nova estrutura formada, podem-se eliminar os laos e preservar apenas uma cpia de cada par de arestas paralelas. Essa mesma operao denomina-se Contrao de vrtices, em Boaventura Netto (1996), e Condensao de vrtices em Szwarctifer (1984).

Exploso do vrtice v Exigncia: o vrtice v deve pertencer a V e grau(v)>0. Alm disso, o conjunto de arestas E deve ser decomposto em trs conjuntos disjuntos:

Ev , formado pelas arestas que no incidem em v;

Ev , formado pelas arestas que tm v como exatamente um dos extremos,

Evv , formado pelos laos (v,v).

Grafo Resultante: Gv definido por (V-{v}) {v1,v2, ... ,vgrau(v)} e Ev {(vi,ui), onde (v,ui) a i-sima aresta de Ev} {(vj, vj+1), j variando de (Ev)+1 at grau(v)-1, de 2 em 2}. Em outras palavras, para se obter o grafo Gv deve-se quebrar o vrtice v em grau(v) pedaos de modo que as arestas que o tm como extremo tambm pertenam ao novo grafo, embora no sejam mais adjacentes.

Esta operao foi definida em Barroso (2002).

Observe a FIG. 5, ela contm os grafos G, G13 e G2.

1 2 3

6 5 4

G

13 2 6 5 4

G13

24 25 1 22 3 21 23

6 5 4

G2

Figura 5 Exemplos de Fuso e Exploso de vrtices

Um caminho de comprimento k de v a w em um grafo formado por uma sequncia de k arestas distintas atendendo s restries:

1. v1 = v; 2. wk = w; wi = vi+1, para todo i = 1, 2, ..., k-1;

Se existe um caminho de v a w em um grafo, diz-se que v alcana w. Um grafo conexo se existe um caminho entre cada par de seus vrtices. Um componente todo subgrafo maximal conexo de um grafo. Se o grafo conexo, ele possui um nico componente.

Um ciclo um caminho fechado, ou seja, os vrtices extremos do caminho so coincidentes. Um grafo acclico, se no possui ciclos. Uma rvore um grafo conexo e acclico. Um grafo acclico denominado floresta.

No grafo G da FIG. 5 podem-se distinguir os caminhos e que ligam o vrtice 1 ao 4. J o caminho um caminho fechado e por isso um ciclo.

Um subgrafo de G qualquer grafo resultante da excluso de um subconjunto de vrtices ou de arestas de G. Caso a excluso restrinja-se a um subconjunto de arestas, o grafo resultante dito subgrafo gerador. Ele possui o mesmo conjunto de vrtices do grafo original. Por outro lado, a excluso de um subconjunto de vrtices V1 de G produz o subgrafo induzido pelo conjunto de vrtices V V1. Conforme consta em Gibbons (1985, p.4), se G1 subgrafo de G, ento G supergrafo de G1. Observando-se as figuras 3 e 4, verifica-se que G1 5 e G1 (3,4) so subgrafos de G1. Por outro lado, G1 subgrafo de G1 + 7 e de G1 + (3,5) ou esses ltimos so supergrafos de G1.

Sendo o grafo original conexo, sempre que se aplica a incluso de uma aresta, o grafo resultante continua conexo, entretanto, a excluso de uma aresta do grafo, pode resultar num grafo desconexo. Quando isto acontece a aresta excluda denominada ponte do grafo original. Estas mesmas operaes podem alterar a condio de um grafo, quanto propriedade de ser acclico. Na incluso de

uma aresta, ele pode passar a ter ciclos e, com a excluso, ele pode se tornar acclico.

Sempre a incluso de um vrtice, altera a estrutura de um grafo conexo para desconexo e a excluso de um vrtice pode deix-lo conexo ou desconexo, conforme sua configurao. Quando o deixa desconexo, o vrtice excludo denominado articulao do grafo original.

Observando as figuras anteriores pode-se verificar que o grafo G1 da FIG. 2 conexo e possui ciclos, entretanto, verifique na FIG. 3, o grafo G1 + 7 desconexo, e o grafo G1 5 acclico. Como ele tambm conexo, ento ele uma rvore. A FIG. 4 mostra que G1 + (3,5) contnua sendo conexo e tendo ciclos, enquanto G1 (3,4) fica desconexo, embora tenha ciclos. Ento (3,4) uma ponte do grafo G1. Agora, se o vrtice 2 do grafo G1 5 for excludo, ele fica desconexo, isto significa que o vrtice 2 uma articulao.

As alteraes estruturais de um grafo, causadas pela aplicao das operaes de fuso e exploso de vrtices, so mais profundas que as anteriores. Observe, na FIG. 5, que o grafo G13 e G2 no so subgrafos, nem supergrafos de G. Entretanto, pode-se verificar que, se a operao de fuso dos vrtices 21, 22, 23, 24 e 25 for aplicada em G2, o grafo original G restaurado, desde que se considere: 21 22 23 24 25 = 2.

Muitos algoritmos em grafos utilizam uma das operaes aqui definidas, ou um conjunto delas, para obter o que se propem.

O problema deste estudo prope analisar a rede rodoviria da regio do Vale do Mucuri. Para isso sero usados conhecimentos de grafos para identificar as caractersticas da rede, identificando pontos crticos que ela apresenta e propondo solues que podem melhor-la.

3 ANLISE DA REDE RODOVIRIA POR MEIO DA TEORIA DOS GRAFOS

Pode-se verificar que o diagrama apresentado na FIG. 1 um grafo, onde os vrtices coloridos de pretos so cidades e, as arestas, as estradas asfaltadas que as interligam. Os pontos coloridos de branco so vrtices da rede, embora representem pontos intermedirios das estradas e no sedes de municpios. Como existe um caminho interligando qualquer par de vrtices, trata-se de um grafo conexo, porm, pode-se notar que este caminho nico, o que mostra outra propriedade do grafo, ele acclico. Portanto uma rvore.

Seja v um vrtice de uma rvore, supondo que v seja excludo, dois casos podem ocorrer:

(a) se grau(v)=1, v um vrtice folha e grafo resultante continua sendo uma rvore, portanto os demais vrtices permanecem interligados;

(b) se grau(v)>1, com a excluso de v, o grafo resultante no ser mais conexo, embora continue acclico. Ele ser uma floresta, formado por grau(v) rvores. Isto significa que um vrtice no folha de uma rvore uma articulao.

Portanto, a rede rodoviria da mesorregio do Vale do Mucuri, que uma rvore, minimamente conectada, sendo muito vulnervel. Qualquer excluso de uma aresta ou de um vrtice no folha desconecta a rede.

A excluso de qualquer aresta transforma a rede estudada em dois componentes de n1 e n2 vrtices, onde n1 + n2 = n, resultando n1 x n2 pares de cidades desconectadas. Como a rede em estudo possui 23 vrtices, ao maximizar a funo F: n1 x n2, sendo n1 + n2 = 23, resultar em n1 =12 e

n2 = 11. O trecho de estrada, representado pela aresta (22,t2) fragmenta a rede em dois componentes de 12 e 11 vrtices. Caso ela seja excluda 132 pares de vrtices ficaro desconectados. Isto significa que se um trecho desta estrada ficar interrompido com a queda de uma ponte, de uma barreira ou por um acidente, comprometer a conexo de 132 pares de cidades.

A excluso de um vrtice v, fragmenta a rede original em grau(v) componentes, deixando

pares de cidades desconectadas. A TAB. 2 mostra o nmero de vrtices de cada componente, quando se exclui o vrtice v do grafo da FIG. 1, tendo como consequncia o nmero total de pares de vrtices desconectados aps a aplicao de cada operao.

Tabela 2 Nmero de vrtices dos componentes formados com a excluso do vrtice v da rede estudada e o total de

pares de vrtices desconectados

v Comp1 Comp2 Comp3 Comp4 Total 1 1 4 17 - 89

2,3,4,5,7,9,11,11 16,19, 20,21,23 22 - - - 0

6 6 16 - - 96 8,10,13,14 1 21 - - 21

12 1 1 1 19 60 15 8 14 - - 112 17 7 15 - - 105 18 2 1 19 - 59 22 4 2 4 12 152

A TAB. 2 mostra que o vrtice 22 produz a maior desconexo de pares de vrtices, caso seja excludo. A sua excluso, ocasiona a formao de quatro componentes. O vrtice 22 est associado cidade de Tefilo Otoni e se sobressai na rede. Trata-se, portanto, de um polo rodovirio, a sua excluso a que mais compromete as ligaes entre as cidades. A FIG. 6 mostra outra configurao da rede, colocando o vrtice 22 como raiz da rvore e salienta os componentes formados caso ele seja excludo.

Figura 6 rvore enraizada com raiz em Tefilo Otoni (vrtice 22)

Existem muitas estradas com e sem asfalto ligando os municpios, passando por cidades dentro e fora da mesorregio estudada. Inserindo na rede as arestas

correspondentes e alguns vrtices necessrios, obtm-se o grafo da FIG. 7.

Pode-se verificar que o grafo resultante com a insero de arestas e de vrtices possui pelo menos dois caminhos disjuntos por aresta conectando cada par de vrtices, o que eleva sua conectividade para 2, tornando-o biconexo. Algoritmos eficientes para verificar se um grafo conexo, biconexo ou acclico podem ser encontrados facilmente na literatura, em especial em Szwarcfiter (1984).

Figura 7 Rede Rodoviria da Mesorregio do Vale do

Mucuri com estradas asfaltadas e de terra

CONSIDERAES FINAIS

O Proacesso - Programa de Pavimentao de Ligaes e Acessos Rodovirios aos Municpios (DER/MG, 2013), em execuo pelo governo do Estado de Minas Gerais - Brasil, promoveu o asfaltamento de vrios trechos de estradas

para que todas as sedes municipais do estado, num total de 853, fossem interligadas por estradas asfaltadas. Embora, ainda insuficiente, a execuo do projeto foi um grande avano na integrao do territrio mineiro, com a consequente facilidade de deslocamento da populao, a melhoria da acessibilidade de servios e de transporte de mercadorias.

A rede da FIG. 7, com as estradas asfaltadas, representadas pelas linhas contnuas e, as estradas de terra, por linhas pontilhadas, mais robusta, uma vez que no possui pontes, nem articulaes. O asfaltamento de seus trechos de terra seria uma soluo intermediria para o problema de aumentar a conectividade da rede, j que a soluo tima difcil, pois implicaria na insero de um conjunto de arestas (estradas), com o menor custo, que duplicaria o nmero de caminhos disjuntos entre cada par de cidades (vrtices).

Para fazer esta anlise foram usadas as operaes de insero e a excluso de vrtices e arestas em um grafo, representando a rede. Com essas operaes foi possvel analisar a rede estudada e apresentar sugestes para a melhoria da mesma.

Neste artigo, no foram utilizadas as operaes de fuso e exploso de vrtices, entretanto, elas podem ser teis no estudo de outras situaes. No caso de exploso de vrtices, por exemplo, Canado (2000) aplicou-a no estudo de interrupes de redes de distribuio de gua na cidade de Belo Horizonte - Brasil. J a fuso de vrtices pode ser til na reconstituio de relaes de vizinhana de municpios anteriores s emancipaes polticas. Em outras situaes, no relacionamento de duas cidades que so conurbadas e dividem certos tipos de servios, tais como, os de emergncia, podem ser feita a fuso dos vrtices que as representam.

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