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Estudio matemático del comportamiento de un fluidoincompresible en flujo laminar
Juan Carlos MonjeS10m016
24 de Junio de 2015
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Índice1. Introducción 3
2. Introducción Histórica 42.1. Leyes del movimiento de los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Sir Gabriel Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. Osborne Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4. Ludwig Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Modelización 93.1. Ecuaciones de Navier Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2. Ecuación de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Existencia y Unicidad de Soluciones 154.1. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2. Ecuación de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5. Análisis Numérico de la Ecuación de Reynolds 195.1. Método de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.1.1. Método de Elementos Finitos para funciones lineales definidas a trozos . . . . . 205.2. Ecuación de Reynolds Incompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2.1. Ecuación de Reynolds para h(x, y) = 1 + x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2.2. Ecuación de Reynolds para h(x, y) = 1 + x2 + y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3. Ecuación de Reynolds Compresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6. Capa Límite 316.1. Descripción de la Capa Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2. Aproximación numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7. Conclusiones 34
8. Bibliografía 35
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1. IntroducciónEl objetivo de este trabajo es realizar un estudio del comportamiento de un fluido en flujo laminar.En primer lugar se realizará una breve introducción Histórica, con el fin de situar al lector en la épocadonde suceden los acontecimientos más importantes relativos a la mecánica de fluidos. Se presentarána las figuras más importantes de la mecánica de fluidos moderna, como Sir Gabriel Stokes o OsborneReynolds, así como los acontecimientos más importantes. A continuación se expondran las ecuacionesque rigen el comportamiento de un fluido, las ecuaciones de Navier-Stokes y la ecuación de Reynolds,con el objetivo de ayudar al lector a entender los análisis posteriores que se realizarán sobre dichasecuaciones. En tercer lugar se analizará la ecuación de Reynolds, la existencia y unicidad de soluciones,para seguidamente, realizar una simulación del problema. Dicha simulación se ha realizado en un script,bajo la herramienta Matlab, se explicará como se ha realizado la simulación y se expondrán ejemplosde los casos de un fluido compresible y uno incompresible para diversas ecuaciones. Seguidamente sedescribe el fenómeno de la capa límite y se explica con un ejemplo en un fluido compresible. Parafinalizar se exponen las conclusiones obtenidas en la realización de este trabajo.
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2. Introducción HistóricaEn esta sección se describen los principales acontecimientos históricos de la mecánica de fluidos en elsiglo XX así como las figuras más notables en dicho campo.
Durante los siglos XVIII-XIX el estudio de la mecánica de fluidos se centra en la gestación de las leyesque rigen el movimiento macroscópico de los líquidos y gases homogéneos en composición y no reactivos.Cabe destacar la labor de Euler ya que describió las ecuaciones que rigen los movimientos de fluidos noviscosos (1755) y también las ecuaciones de Navier-Stokes (1845) para fluidos viscosos incompresibles.
2.1. Leyes del movimiento de los fluidos
La mecánica de Fluidos se encarga del estudio del movimiento de los líquidos y los gases, es una de lasciencias fundamentales de la ingeniería ya que los fluidos tienen un papel importante en el funciona-miento de las máquinas.
Newton en su estudio del movimiento del aire alrededor de cuerpos tenía la hipótesis de que el aireestaba formado por partículas, estas partículas en los gases no interaccionaban entre sí y en los líquidosestaban ligadas por fuerzas que le daban cohesión.
Años más tarde, en 1755 Euler es el precursor de la Dinámica de Fluidos moderna, considerando alfluido como un medio contínuo. Los fluidos también fueron considerados como medios continuos en lasprimeras descripciones del equilibrio termodinámico y de los procesos irreversibles de la termodinámica.Euler supone que el fluido se comporta como un medio continuo, su estado se define mediante la densidadρ y la velocidad v. Para describir la evolución espacial y temporal de la densidad y la velocidad delfluido, aísla una parte del fluido, a esa parte le aplica las leyes: de conservación de masa y la segundaley de Newton de la cantidad de movimiento donde intervienen las fuerzas gravitatorias y las fuerzasque el resto del fluido ejerce sobre la parte aislada. Supone que las fuerzas de interacción son localmentenormales a la superficie de separación y proporcionales al área de la misma con una intensidad que es lapresión p independiente de la orientación. También debemos a Euler el concepto de presión actual. Estasleyes de conservación aplicadas a cualquier parte infinitesimal del fluido dan lugar a un sistema de cuatroecuaciones en derivadas parciales, cuyas incógnitas son densidad ρ, presión p y la velocidad v teniendola velocidad tres componentes que Euler supone continuas y derivables respecto del tiempo y de las trescoordenadas espaciales. También Euler incluye una relación entre la presión p y la densidad ρ, suponíaque la densidad ρ dependía de la presión p mediante la relación: ρ = ρ(p) llamándola elasticidad delfluido. Años más tarde Poisson descubriría que la relación entre la densidad y la presión era la siguiente:p/ργ constante siendo γ el cociente entre los calores específicos, a presión y volumen constante del fluido,para procesos adiabáticos de gases. Años más adelante, en 1833, comienza el estudio de los procesosirreversibles en la Física. Más concretamente en las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos obtenidaspor Saint-Venant y sobretodo Stokes entre 1843 y 1845. Estas ecuaciones son obtenidas generalizandolas ecuaciones de Euler,añadiendo a las fuerzas de presión las de viscosidad, como parte de las fuerzasde interacción de tipo superficial entre las distintas parcelas del fluido. Para describir estas fuerzas seapoyaron en el concepto de tensor de esfuerzos ideado por Cauchy. Cabe destacar la ley de Navier-Poisson que determina los esfuerzos viscosos como proporcionales a los gradientes de velocidad, a travésdel coeficiente ordinario de viscosidad.
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2.2. Sir Gabriel Stokes
En 1845 Sir Gabriel Stokes escribió las ecuaciones:
∇u = 0 (2.1)
ρ(∂u
∂t+ u · ∇u) = −∇ρ+ ρg +
1
2∇ (∇u+∇ut
)llamadas ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos de densidad ρ y viscosidad μ constante. También sonaplicables al movimiento de gases en una variedad de casos cuando se mueven a velocidades pequeñasfrente a las del sonido y oscilan con frecuencias bajas. Una de las condiciones de contorno que Stokespropuso fue la continuidad de la velocidad del fluido con la de los sólidos que lo limitan. Destaca queesta condición de contorno puede que no tenga validez general ya que al utilizarla en las ecuacionesde Navier-Stokes en el análisis de flujo de líquidos en conductos circulares de sección constante obtuvouna caída de presión proporcional a la velocidad, mientras que en sus resultados experimentales ha-bía obtenido una caída de presión que dependía cuadráticamente de la velocidad. Años más tarde sedemostró que en tubos de pequeño diámetro la caída depresión era lineal con la velocidad. Esta es laprimera solución exacta a las ecuaciones de Navier-Stokes, correspondiente al flujo laminar desarrolladoen conductos de sección constante cuando los términos no lineales asociados al transporte convectivoson nulos. Stokes en 1853 también mostró que los flujos que llamamos lentos donde los términos con-vectivos no lineales son despreciables las ecuaciones de Navier-Stokes se simplifican para dar lugar alsistema de ecuaciones lineales que hoy llamamos ecuaciones de Stokes. También Stokes intentó calcularla solución de las ecuaciones de Stokes para los movimientos lentos alrededor de cilindros y se encontrócon la llamada paradoja de Stokes, esta paradoja determina que el problema no tiene solución.
A finales del siglo XIX llegó la generalización de las ecuaciones de Navier Stokes a flujos compresibles.Años despues Riemann contribuyó con su análisis de movimientos unidimensionales no estacionariosen los que la velocidad tiene una única componente no nula (u) en la dirección (x) del movimientoy también demostró la posible aparición de discontinuidades en las magnitudes fluidas, al cabo de untiempo finito. Las ecuaciones de Navier-Stokes constituyeron el marco apropiado para el análisis delos flujos de densidad ρ y viscosidad μ constantes. En 1850 descubrió un término que hoy llamamosdisipación de Rayleigh, al escribir la ecuación que da la evolución de la energía cinética para los fluidosincompresibles encontró con un término negativo dado por el producto doblemente contraído entre lostensores de esfuerzos viscosos y el gradiente de velocidades, Stokes lo identificó como una fuente deenergía térmica.
La formulación de la Mecánica de Fluidos al final del siglo XIX:
∂ρ
∂t+∇(ρu) = 0 (2.2)
ρ(∂u
∂t+ u · ∇u) = −∇p+ ρg +∇τ ′
ρ(∂e
∂t+ u · ∇e) = −∇pu+ τ ′ : ∇u+∇ · (k∇T )
ρ = ρ(p, T ), e = e(p, T )
τ es el tensor de esfuerzos viscosos. Las ecuaciones de conservación de la masa, cantidad de movimientoy energía interna aparecen arriba complementadas con las ecuaciones de estado térmica y calorífica. py T son específicas de cada fluido.
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En otras áreas de la Mecánica de Fluidos se hicieron aportaciones muy importantes: la teoría de lasolas en líquidos con superficie libre y los movimientos de tipo acústico donde las fuerzas de viscosidadtienen un papel poco relevante y los movimientos son irrotacionales. También cabe destacar la labor dela Hidrodinámica Teórica en la descripción de los movimientos de los fluidos no viscosos.
El estado de equilibrio en fluidos no reactivos de composición uniforme se rige por dos variables termo-dinámicas: la presión y la temperatura. El resto de variables son funciones que dependen de la presióny la temperatura.
Retos de la mecánica de fluidos:
Nace con un triple reto: descripción del movimiento de líquidos en conductos y canales, determinaciónde la resistencia que oponen los fluidos al movimiento en su seno de cuerpos sólidos y el análisis de losefectos del movimiento del agua en las turbinas hidráulicas.
En cuanto a la descripción del movimiento de líquidos en conductos y canales tenemos grandes aporta-ciones de Torricelli con su determinación de la velocidad de descarga de líquidos bajo la acción de lasfuerzas gravitatorias y de Newton con su concepto de contracción de la vena líquida desde el orificio desalida.
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2.3. Osborne Reynolds
En 1833 publicó un trabajo sobre el movimiento de líquidos en conductos que ha resultado ser fun-damental en la Mecánica de Fluidos. Demostró que el flujo es laminar o turbulento dependiendo delvalor del número adimensional UD/u que llamamos de Reynolds, donde U es la velocidad media en elconducto, D su diámetro y u = μ/ρ la viscosidad cinemática. Para valores menores que un valor críticodel orden de 3.000 el flujo es laminar y estacionario, manteniéndose constante la presión de alimentaciónlas trayectorias de las distintas partículas fluidas son paralelas y la caída de presión varía linealmentecon la velocidad. Para valores más altos del número de Reynolds el flujo se vuelve irregular y no es-tacionario, con remolinos tridimensionales. Para valores próximos al crítico el flujo tiene un carácterintermitente con períodos laminares y turbulentos. En 1895 publicó otro trabajo sobre el flujo turbulentoen conductos, obtuvo las ecuaciones de Reynolds que describen las variaciones espaciales de los valoresmedios locales. Estas ecuaciones poseen la misma forma que las ecuaciones de Navier-Stokes, pero aquíReynolds incluye unos esfuerzos aparentes determinados por los valores medios de los productos triplesde las fluctuaciones de velocidades. También en el mismo trabajo propuso un método de tipo integralpara obtener una estimación del valor del número de Reynolds crítico.
Otra contribución de Reynolds que tuvo un importantísimo impacto tecnológico fue que en 1886 esta-bleció las bases para la Teoría de la lubricación.
Los retos de la mecánica de fluidos durante el siglo XX son la determinación de los límites de estabilidadde las corrientes laminares y de la forma en que se produce la transición hacia la turbulencia. Otro retode la Mecánica de Fluidos en su nacimiento es la determinación de la resistencia que encuentran loscuerpos sólidos en su movimiento en el seno de los fluidos. En 1843 Stokes calculó por primera vez elflujo irrotacional alrededor de una esfera y descubrió que la resistencia es nula si el movimiento eses-tacionario, cosa que no se correspondía con la realidad experimental, pero es posible demostrar que lasolución de la ecuación de Laplace que describe el movimiento irrotacional de un fluido incompresible,con velocidad uniforme en el infinito alrededor de un cuerpo tridimensional finito es única cosa que nose corresponde con la realidad. Sin embargo la solución no es única para el movimiento irrotacionalbidimensional alrededor de cilindros.
Impacto Tecnológico: La Mecánica de Fluidos desarrolla un papel importante en la Aeronáutica asícomo en los retos asociados al desarrollo de los motores térmicos y tubinas de vapor. En este campohay que destacar a los hermanos Wilburg y Oliver Wright que en Diciembre de 1903 consiguieron porvez primera volar en una aeronave más pesada que el aire.
Desarrollos emblemáticos en el Siglo XX: Destacamos a Wilhem Kutta, cuya labor se centró en losproblemas de la Aerodinámica. Su tesis presentada en 1902 daba una solución exacta al movimientobidimensional, irrotacional e incompresible alrededor de un perfil en forma de arco de círculo. Hallóeste resultado utilizando la condición de Kutta (velocidad finita en el borde de salida), obtuvo estasolución mediante la transfomación conforme del arco de círculo en el círculo completo. Esta soluciónconduce a un valor de resistencia nulo y un valor finito de la sustentación, muy similar al obtenido enlos resultados experimentales. Esta fue la primera vez que hubo concordancia entre los resultados de laHidrodinámica Teórica y los resultados experimentales.
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2.4. Ludwig Prandtl
Entre sus aportaciones a la Mecánica de Fluidos cabe destacar su teoría de la capa límite, que nospermite calcular la resistencia de fricción debida a los efectos viscosos, para añadir a la inducida queaparece aunque el fluido sea ideal.Desarrollo su teoría mientras trabajaba como profesor en la Escuela Superior Técnica de Hannover,mientras trataba de entender la dificultad de predecir la corriente en conductos de sección variable.En éstos conductos la corriente no se abre para seguir llenando la sección cuando su área aumentabruscamente, si no que se desprende un chorro.En 1904 consiguió describir la estructura asintótica de los flujos laminares a altos números de Reynolds,Re = V L/u que representan la gran mayoría de los flujos de interés práctico. También observó quelos efectos viscosos de la conducción de calor juegan un papel crucial en la capa límite adyacentea las superficies sólidas que limitan el fluido. Esto es debido a los fuertes gradientes de velocidad ytemperatura que se establecen en la dirección transversal a esta capa.Se debe a Prandtl la forma simplificada que tienen las ecuaciones del movimiento del fluido en lacapa límite. Utilizó como condiciones de contorno: la continuidad de la velocidad y temperatura con lasuperficie sólida y la condición de que al alejarse de la superficie sólida la temperatura y las componentesde la velocidad paralelas a la superficie deben tomar los valores que da la solución de las ecuaciones deEuler para la temperatura y velocidad de deslizamiento en la superficie sólida. La presión en la capalímite es la presión que dan las ecuaciones de Euler sobre la superficie.Las velocidades transversales a la capa límite que resultan de la teoría de Prandtl son pequeñas, delorden V/
√Re frente a la velocidad exterior. No tuvo en cuenta el efecto de desplazamiento que introduce
en el flujo exterior la deceleración viscosa en la capa límite.También relacionado con su teoría de la capa límite mostró que esta podía desprenderse en zonas dondeel gradiente de presión es adverso, en zonas donde la presión crece en la dirección del movimiento. Estateoría fue presentada en el Tercer Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en Heidelberg en1904.
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3. ModelizaciónEn este apartado se explicarán las ecuaciones que rigen el movimiento de un fluido en flujo laminary su deducción, comenzando con las ecuaciones de Navier-Stokes y seguidamente con la ecuación deReynolds.
3.1. Ecuaciones de Navier Stokes
La ecuación de continuidad.
La Dinámica de fluidos se encarga de estudiar el movimiento de líquidos, refiriéndose por fluido a unmedio continuo.
La descripción matemática del estado de dicho fluido viene descrita por funciones que dependen de lavelocidad v(x, y, z, t), la presión p(x, y, z, t) y la densidad ρ(x, y, z, t) siendo la presión p y la densidadρ son características del tipo de fluido. El resto de variables termodinámicas dependen de la presión py la densidad ρ.Dicho esto se tienen cinco incógnitas, las tres componentes de la velocidad x, y, z; la presión p y ladensidad ρ que definen el movimiento del fluido.
Hay que entender que v(x, y, z, t) es la velocidad en un punto dado (x, y, z) en un tiempo determinadoy se refiere a puntos fijos en el espacio y no a partículas en el fluido. Lo mismo sucede con la presión yla densidad.
Supongamos un volumen B0 , la masa del fluido en este volumen sería∫B0
ρ · dV mientas que la masaque circula a través de un elemento df que delimita este volumen es ρv · df . La magnitud de df es igualal área del elemento de la superficie y su dirección es la de la normal. ρv · df os indica hacia donde fluyeel fluido: si es positivo, el fluido fluye hacia el exterior del volumen, mientras que si es negativo, el fluidotiende a introducirse en dicho volumen.Definimos por
∮ρv · df la masa que sale fuera de B0.
A continuación se deducirá la ecuacion de continuidad. Consideramos un volumen que se mueve a unavelocidad conocida V (x, t) en una region, Ω ⊂ �3, que es una masa con velocidad conocida. Suponemosque en dicho volumen se vierte un fluido cuya concentración en el punto (x, t) se denota por u(x, t).La cantidad de fluido en una región arbitraria ω en el intante t viene dada por
∫ω
u(x, t)dx (3.1)
La cantidad de fluido que fluye a través de la frontera de ω (llamada ∂ω) en el instante de tiempo tviene dada por ∫
∂ω
u(x, t)V (x, t)�ndσ (3.2)
donde �n es el vector normal a la superficie de ω en la dirección saliente.
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Si se aplica el principio de conservación de la masa se obtiene que la cantidad de masa ω en el instantede tiempo t2 es igual a la masa en dicha región en el instante t1 menos la cantidad de materia que hasalido de ω en el intervalo (t1, t2), es decir
∫ω
u(x, t2)dx =
∫ω
u(x, t1)dx−∫ t2
t1
∫∂ω
u(x, t)V (x, t)�ndσ. (3.3)
Aplicando el teorema de la divergencia obtenemos∫ t2
t1
∫∂ω
uV (x, t)�ndσ =
∫ t2
t1
∫ω
div(u(x, t)V (x, t))dx (3.4)
Por el teorema fundamental del calculo sabemos que∫ω
u(x, t2)dx−∫ω
u(x, t1)dx =
∫ t2
t1
∂
∂t
∫ω
u(x, t)dx =
∫ t2
t1
∫ω
ut(x, t)dx. (3.5)
obteniendo, ∫ t2
t1
∫ω
ut(x, t)dx = −∫ t2
t1
∫ω
div(u(x, t)V (x, t))dx (3.6)
es decir ∫ t2
t1
∫ω
ut(x, t)dx+ div(u(x, t)V (x, t))dx = 0. (3.7)
El resultado se puede obtener para cualquier region ω ⊂ Ω y cualesquiera t1 y t2 por tanto, suponiendola continuidad de u y de sus derivadas es posible obtener la versión continua de la expresión anterior:
ut + div(V u) = 0 x ∈ Ω, t > 0. (3.8)
La ecuación del movimiento de un fluido viscoso.
A continuación se estudiará el efecto de la disipación de energía debido al movimiento de un fluido enel movimiento en sí del mismo. Esto es debido a la irreversibilidad del movimiento, cosa que siempreocurre en algún grado por medio de la fricción interna (viscosidad) y de la conducción térmica.
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Tenemos que incluir algunos términos adicionales en la ecuación del movimiento de un fluido ideal:mientras que la ecuación de continuidad se mantiene igual para cualquier tipo de fluido, la ecuación deEuler ha de ser modificada. A continuación exponemos el sistema de ecuaciones de Euler presentado en1755:
Consideramos el volumen arbitrario V de un fluido dado. La fuerza que actúa sobre él es − ∫Vp�udV .
Siendo p la presión ejercida sobre la superficie que rodea el volumen. Transformando dicha integral enuna integral de volumen obtenemos: − ∫
V∇pdV .
Se puede observar que el fluido que rodea un volumen dU ejerce una fuerza sobre él, −dU∇p, en otraspalabras, la fuerza, −∇p, actúa sobre el volumen del fluido.La ecuación del movimiento de un volumen en el fluido se describe igualando la fuerza, −∇p, al productode la densidad, ρ, por la aceleración, du
dt.
ρdu
dt= −∇p. (3.9)
La derivada, dudt
, indica la variación de la velocidad de una partícula del fluido que se mueve en el espacio.Esta derivada ha de ser expresada en cantidades referidas a puntos fijos. La variación du con respectoa dt está compuesta de dos partes: la variación de la velocidad con respecto al tiempo dt en un puntofijo y la diferencia de velocidades (en el mismo instante) entre dos puntos separados.Entonces:
du
dt= lım
ΔT→0
u (x(t+Δt), t+Δt)− u (x(t), t)
ΔT(3.10)
= lımΔT→0
u (x(t+Δt), t+Δt)− u (x(t+Δt), t) + u (x(t+Δt), t)− u (x(t), t)
ΔT
Quedando:
du
dt= x(t)∇u+
∂u
∂t= u∇u+
∂u
∂t. (3.11)
Esta es la ecuación del movimiento de un fluido.Si dicho fluido se encuentra en un campo gravitatorio, entonces, hay una fuerza adicional que actúasobre él, −g, donde g es la gravedad. Debe ser añadida al lado derecho de la ecuación, dando lugar auna de las ecuaciones de Euler.
∂u
∂t+ u∇u =
−1
ρ∇p+ g. (3.12)
A continuación se modificarán las ecuaciones de Euler añadiendo los efectos viscosos:
∂
∂t(ρui) = −∂Πik
∂xk
(3.13)
Donde Πil es el impulso del tensor de densidad de flujo.
A la ecuación de Euler es necesario añadirle σ′ik que da la irreversible transferencia “viscosa” del impulso
en el fluido. Quedando:
Πik = pδik + ρuiuk − σ′ik = −σik + ρuiuk (3.14)
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Siendo σik = −pδik + σ′ik el tensor de estrés y σ′
ik el tensor de estrés viscoso, cuya fórmula general vienedada por la ficción interna que ocurre en un fluido únicamente cuando distintas partículas se mueven adiferentes velocidades. σ′
ik Dependerá de las primeras derivadas de la velocidad en el espacio.A continuación se expondrá el lado derecho de la ecuación, corresponde al tensor de esfuerzos quees una aplicación: σ(u) = σ(u,∇u,∇2u, ...). Si u es constante no hay efectos viscosos, entonces,σ(u, 0, 0, 0, ..., 0) = 0. Es decir, no existe dependencia respecto del término u. Definimos σ comoσ = σ(∇u,∇2u, ...) y consideramos sólo la primera aproximación, es decir, solo depende de ∇u.σ = σ(u).Dicha aplicación aplicada a una constante es 0.Sabemos que ∇u+∇uT
2+ ∇u−∇uT
2= ∇u, vamos a restringir nuestra aplicación σ al gradiente de u y des-
componemos la aplicación en parte simétrica y parte antisimétrica, quedando σ(∇u) = σ1
(∇u+∇uT
2
)+
σ2
(∇u−∇uT
2
).
Suponemos que σ′ik es una función lineal de las derivadas de la velocidad en fluidos Newtonianos, ∂ui
∂xk
que se anula si todas las partículas se mueven a la misma velocidad V , es decir, si V es constante o sila totalidad del fluido está en una rotación uniforme, ya que no hay fricción interna. En este caso, en elque el fluido se encuentra en rotación uniforme con una velocidad angular Ω, la velocidad v es el vectorresultante del producto Ω× r.Sean ∂ui
∂xk+ ∂uk
∂xicombinaciones lineales de las derivadas ∂ui
∂xkque desaparecen cuando v = Ω× r, entonces
σ′ik ha de estar formado por combinaciones simétricas de estas derivadas.
σ(∇u) = σ1
(∇u+∇uT
2
)+ σ2
(∇u−∇uT
2
)(3.15)
veamos a continuación que σ2 = 0, para ello calculamos el valor para las rotaciones en los ejes X, Y yZ.
Sea v = (0,−z, y) un giro en el eje X.
∇v =
⎛⎝ 0 0 0
0 0 −10 1 0
⎞⎠ (3.16)
Tomamos una base:
e1 =
⎛⎝ 0 0 0
0 0 −10 1 0
⎞⎠, e2 =
⎛⎝ 0 −1 0
1 0 00 0 0
⎞⎠, e3 =
⎛⎝ 0 0 −1
0 0 01 0 0
⎞⎠
σ2(e1) = σ2(e2) = σ2(e3) = 0 σ es lineal, por lo tanto σ2 = 0. Por lo tanto el tensor de esfuerzos es:
σik = −pδik + η
(∂ui
∂xk
+∂uk
∂xi
)(3.17)
Finalmente la ecuación queda:
∂u
∂t+ u∇u = −1
ρ∇p+ μ · div
(∇u+∇uT
2
)(3.18)
La fuerza que actúa sobre un elemento de la superficie es el impulso de flujo a través de este elementodf . Es posible escribir df como dfk = nkdf donde n es un vector unitario con la dirección de la normal.Como u = 0 en la superficie sólida, entonces:
Pi = −σiknk = pni − σ′iknk (3.19)
Donde el primer término es la presión ordinaria del fluido el segundo es la fuerza de fricción debida ala viscosidad que actúa en la superficie.
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3.2. Ecuación de Reynolds
La tribología es la ciencia que se encarga del estudio de la interacción entre dos superficies muy cerca-nas incluyendo su fricción, lubricación, desgaste y erosión. Más comúnmente es llamada la ciencia de lafricción.Los diferentes modelos que se estudian en esta ciencia están basados en diferentes versiones de la ecua-ción de Reynolds.
Ecuación de Reynolds para la lubricación en superficies finas.
La tribología se centra en el estudio de tres aspectos: fricción, lubricación y desgaste. Las leyes básicasde la fricción se atribuyen a Da Vinci en 1519, mientras que de la lubricación uno de los más célebresestudiosos es Reynolds ya que su ecuación (La ecuación de Reynolds) el un punto clave en la modeliza-ción de procesos de lubricación en superficies finas, por último con respecto al desgaste hay que destacarla fórmula de Archard.
Nos centraremos en la lubricación. Su objeto de estudio típico es un fino fluido de lubricante entredos capas muy próximas en relativo movimiento. Las ecuaciones que modelizan este suceso se obtienensimplificando las ecuaciones clásicas de la mecánica de fluidos.Consideramos un lubricante Newtoniano incompresible en un régimen isotérmico e iscoviscoso modeladopor las ecuaciones de Navier-Stokes:
ρ
(∂u
∂t+ u · ∇u
)= −∇p+ μ · div (∇u+∇uT
)+ ρf (3.20)
div(u) = 0
donde u = (u1, u2, u3) indica el campo de velocidades del fluido y p indica la presión. ρ Es la densidad,μ es la viscosidad y f las fuerzas volumétricas externas.
Encontrar soluciones para las ecuaciones de Navier-Stokes es complicado, depende de las condicionesde contorno que utilicemos. A continuación se muestra una simplificación de dichas ecuaciones con elobjetivo de poder encontrar soluciones con mayor facilidad.Denotamos la longitud en el plano XY por LXY y se puede observar que es mucho mayor que la longituden el plano Z LZ , tenemos que ε = LZ/LXY oscila entre 10−4 y 10−1 debido a esto se utilizará unaescala adecuada para estas variables con el objetivo de simplificar las ecuaciones. Se definen nuevascoordenadas espaciales y nuevas componentes de velocidad:
X = x/LXY , Y = y/LXY , Z = z/LZ
U1 = u1/UXY , U2 = u2/UXY , U3 = u3/UZ .
Donde U es la velocidad del fluido adimensionalizada, UXY es la velocidad en el plano XY y UZ es lavelocidad a través de la superficie.Podemos deducir de la ecuación de continuidad la relación UZ = εUXY .Se define la presión y el tiempo para poder obtener las ecuaciones de Navier-Stokes adimensionalizadas:
P = p(εRe/ρU2XY ), T = t/(UXY /LXY )
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Se puede observar que las fuerzas de interacción son despreciables. Utilizando las nuevas variables ydespreciando los términos de un orden menor que O(ε2) obtenemos las siguientes ecuaciones:
ε2Re(∂U1
∂T+ U1
∂U1
∂X+ U2
∂U1
∂Y+ U3
∂U1
∂Z) = − ∂P
∂X+
∂2U1
∂Z2(3.21)
ε2Re(∂U2
∂T+ U1
∂U2
∂X+ U2
∂U2
∂Y+ U3
∂U3
∂Z) = − ∂P
∂X+
∂2U2
∂Z2
∂U1
∂X+
∂U2
∂Y+
∂U3
∂Z= 0
Se puede observar que falta una ecuación, de ahí se deduce que la presión es constante a través de lasuperficie. Cuando ε tiende a 0 y si se vuelve a las variables originales obtenemos las ecuaciones:
μ∂2u1
∂z2=
∂p
∂x(3.22)
μ∂2u2
∂z2=
∂p
∂y∂u1
∂x+
∂u2
∂y+
∂u3
∂z= 0
Se puede observar que la presión no depende de la coordenada z para obtener u1 y u2 integramos lasdos primeras ecuaciones con respecto de z.La superficie inferior queda definida por z = 0 mientras que la superior queda definida por el grafoz = f(x, y) también hay que señalar que el desplazamiento del lubricante únicamente es en la direcciónx con velocidad u1 = uu
1 en la superficie superior y u1 = ul1 en la superficie inferior.
Obtenemos las ecuaciones:u1 =
1
2μ(z2 − zh)
∂p
∂x+ (1− y
h)ul
1 +y
huu1 (3.23)
A continuación se integra la ecuación de continuidad ∂u1
∂x+ ∂u2
∂y+ ∂u3
∂zentre z = 0 y z = h:
[u3]z=hz=0 = − ∫ h(x,y)
0∂u1
∂xdz − ∫ h(x,y)
0∂u2
∂ydz (3.24)
= − ∂∂x( 12μ
∂p∂x
∫ h(x,y)
0(z2 − zh)dz)− ∂
∂y( 12μ
∂p∂y
∫ h(x,y)
0(z2 − zh)dz)−
− ∂∂x
∫ h(x,y)
0((1− y/h)ul
1 + (yuu1)/h)dz + uu
1∂h∂x
Si se asume velocidad cero en la dirección z se obtiene la ecuación de Reynolds para la presión:∂
∂x(h3
μ
∂p
∂x) +
∂
∂y(h3
μ
∂p
∂y) = 6(ul
1 − uu1)∂h
∂x+ 6h
∂
∂x(ul
1 + uu1) (3.25)
Si la velocidad es constante en la dirección x en los dos límites de la superficie, entonces el último términodel lado derecho de la igualdad desaparece. Cuando la superficie superior se mueve en la dirección zsiguiendo la ecuación z = h(x, y, t) con uu
3 entonces el término uu3 − ul
3 = uu3 = ∂h
∂ttambién aparece en
la ecuación de Reynolds.
14
4. Existencia y Unicidad de SolucionesEn este apartado se analizará la existencia y unicidad de soluciones de la ecuación de Reynolds, pre-viamente se expondrán unos conceptos previos necesarios para abordar el problema de la existencia yunicidad.
4.1. Conceptos previos
Para poder entender el proceso por el cual se llega a la conclusión de que existen soluciones relativas ala ecuación de Reynolds introducimos las siguientes definiciones y resultados.:
1. Espacios Funcionales:Sea Ω ∈ Rn un conjunto abierto con frontera regular, no necesariamente acotado.
a) Espacios Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞:Lp(Ω) := {f : Ω → R, tal que,
∫Ω|f |pdx < ∞} .
la norma es
‖f‖Lp(Ω) =
∣∣∣∣∫Ω
|f |pdx∣∣∣∣1/p
.
L2(Ω) es un espacio de Hilbert con el producto escalar definido por
< f.g >L2(Ω)=
∫Ω
fgdx.
b) L∞(Ω) := {f : Ω → R, tal que, |f | < ∞} .Cuya norma es la norma del supremo ‖f‖L∞(Ω) := ınf{c ≥ 0, tal que, |f | < c}.Los espacios anteriores son espacios completos o de Banach.
c) Espacios de Sobonolev Wm,p(Ω), Wm,p0 (Ω) :
Sea α ∈ [N ∪ {0}]n, α = (α1, ..., αn) ⇒ |α| = ∑ni=1 αi.
∂αu = ∂α1
∂xα11
· ∂α2
∂xα22
· ... · ∂αn
∂xαnnu.
Sea 1 ≤ p < ∞, entonces, ‖u‖Wm,p(Ω) := {∑0≤|α|≤m ‖∂αu‖pLp(Ω)}1/p.Cuando p = ∞ tenemos que ‖u‖Wm,∞(Ω) = maxu≤|α|≤m ‖∂αu‖L∞(Ω). Podemos definir Wm,p(Ω)como: {u ∈ Lp(Ω), tal que, ‖u‖Wm,p(Ω) < ∞} 1 ≤ p < ∞.Del mismo modo definimos Wm,p
0 (Ω) = {u ∈ Wm,p(Ω), tal que, u = 0 en ∂Ω} 1 ≤ p < ∞.Dichos espacios con sus respectivas normas son espacios de Banach.
d) Espacios de Hilbert Hm(Ω), Hm0 (Ω):
El caso particular de Wm,p(Ω) y Wm,p0 (Ω) cuando p = 2 será utilizado en la siguiente sección,
ambos espacios se denotan por Hm(Ω) y Hm0 (Ω) respectivamente. Tanto Hm(Ω), como Hm
0 (Ω)son espacios de Hilbert con el producto escalar definido por
< f, g >Hm(Ω)=∑|α|≤m
∫Ω
Dαf(x)Dαg(x)dx
y la norma inducida por el anterior producto escalar
‖f‖Hm := (< f, f >Hm)12
En el caso particular de m = 1, es decir H1(Ω), H10 (Ω) el producto escalar es:
< u, v >H1(Ω)=
∫Ω
∇u · ∇vdx+
∫Ω
uvdx.
15
y
< u, v >H10 (Ω)=
∫Ω
∇u · ∇vdx.
2. Teorema de Lax-Milgram
• Definición. Sea H un espacio de Hilbert, decimos que una funcion a : HxH → R es
- Bilineal, si es lineal en cada componente, es decir para todo
λ1λ2 ∈ R, u, u1, u2, v, v1, v2 ∈ H
a(λ1u1 + λ2u2, v) = λ1a(u1, v) + λ2a(u2, v)
a(u, λ1v1 + λ2v2) = λ1a(u, v1) + λ2a(u, v2).
- Continua, si existe una constante c tal que
|a(u, v)| ≤ c‖u‖H‖v‖H- Coerciva, si existe una constante c′ > 0 tal que
a(u, u) ≥ c′‖u‖2H• Teorema de Lax-Milgram
Sea a una forma bilineal, continua y coerciva en un espacio de Hilbert H, entonces para todafunción lineal f : H → R existe un único u ∈ H tal que
a(u, v) =< f, v >H , ∀v ∈ H.
Además si A s simétrica, la solución se caracteriza por
u ∈ H,1
2a(u, u)− < f, u >= mın
v∈H
{1
2a(v, v)− < f, v >
}.
16
4.2. Ecuación de Reynolds
Dado el sistema de ecuaciones de Reynolds:
∂
∂x(h3
μ
∂p
∂x) +
∂
∂y(h3
μ
∂p
∂y) = 6(ul
1 − uu1)∂h
∂x+ 6h
∂
∂x(ul
1 + uu1) (4.1)
Se estudiará la existencia y unicidad de soluciones. Para ello se aplicará el teorema de Lax-Milgram quedice:
Sea a una función bilineal, continua y coerciva en un espacio de Hilbert H, entonces, para toda funciónlineal f : H → � existe una única u ∈ H tal que a(u, v) =< f, v >H para todo v perteneciente a H
Es posible expresar la Ecuación de Reynolds como:
−div(h3∇p
)= −Γ
∂h
∂xen Ω = [0, 1]2 , p = 0 en ∂Ω
h(x, y) =
{h0 si 0 < x < 1
2, 0 < y < 1
h1 si 12< x < 1, 0 < y < 1
0 < h0 < h1
Primero vamos a buscar una forma bilineal de dicha ecuación:
−div(h3∇p
)= −Γ
∂h
∂x−div
(h3∇p
)= −div (Γh, 0)
−∫ 1
0
div(h3∇p
)v = −
∫ 1
0
−div (Γh, 0) v v ∈ H10 (Ω)∫ 1
0
h3∇p∇v −∫∂Ω
vh3∇p�n =
∫ 1
0
(Γh, o)∇v −∫∂Ω
(Γh, 0)T v�n
Como hemos escogido v ∈ H10 (Ω) su integral en la frontera, ∂Ω, es cero, por lo tanto∫ 1
0
h3∇p∇v =
∫ 1
0
(Γh, 0)T ∇v (4.2)
Siendo f(v) =< f, v >=∫Ω(Γh, 0)∇vdx y a(u, v) =
∫ 1
0h3∇p∇v.
A continuacion vamos a estudiar si es bilineal, continua y coerciva para poder aplicar el teorema deLax-Milgram.
Comenzamos estudiando la bilinealidad de la función a(u, v)
a(u, v) =
∫ 1
0
h3∇u∇v
a(λ1u1 + λ2u2, v) =
∫ 1
0
h3 · ∇(λ1u1 + λ2u2) · ∇vdx
=
∫ 1
0
h3λ1∇u1∇v + h3λ2∇u2∇vdx
= λ1
∫ 1
0
h3∇u1∇vdx+ λ2
∫ 1
0
h3∇u2∇vdx
= λ1a(u1, v) + λ2a(u2, v) (4.3)
17
Deducimos que es lineal en la primera componente. Por simetría podemos afirmar que también es linealen la segunda componente por lo tanto a(u, v) es bilineal.
A continuación se estudiará la continuidad de a(u, v). Tenemos que demostrar que el valor absoluto dela función es menor o igual que una constante por el producto de las normas de las variables en H1
0 (Ω),es decir, |a(u, v)| ≤ c‖u‖H1
0· ‖v‖H1
0.
|a(u, v)| = |∫Ω
h3∇u∇vdx|
Aplicando la desigualdad de Holder que dicesea 1 < p < ∞ y u ∈ Lp(Ω), v ∈ Lp′(Ω) para p y p′ si se satisface que 1
p+ 1
p′ = 1, entonces,∫Ω|uv|dx ≤ ‖u‖Lp(Ω)‖v‖Lp′ (Ω).
|a(u, v)| ≤ h3 · ‖∇u‖L2(Ω) · ‖∇v‖L2(Ω)
≤ h3[√
‖∇u‖2L2(Ω) + ‖u‖2L2(Ω) ·√
‖∇v‖2L2(Ω) + ‖v‖2L2(Ω)
]≤ h3 · ‖u‖H1
0 (Ω) · ‖v‖H10 (Ω) (4.4)
Por lo tanto a(u, v) es continua.
El siguiente paso es estudiar si la función a(u, v) es coerciva, es decir, si |a(u, u)| ≥ c′‖u‖2H1
0 (Ω)
|a(u, u)| =
∣∣∣∣∫ 1
0
h3 (∇u)2∣∣∣∣
Sabemos que (H10 , ‖ · ‖1) es equivalente a (H1
0 , ‖ · ‖2) donde ‖ · ‖2 = ‖∇u‖L2 que a su vez equivale a√∫Ω|∇u|2dx y también sabemos que ‖ · ‖1 =
∫Ω|∇u‖2. Entonces
∣∣∣∣∫ 1
0
h3 (∇u)2∣∣∣∣ ≥ h3
∫ 1
0
|∇u|2∣∣∣∣∫ 1
0
h3 (∇u)2∣∣∣∣ ≥ h3‖u‖2H1
0 (Ω(4.5)
Se deduce que la función a(u, v) es coerciva. Por último queda probar que la función f F (v) =< f, v >=∫Ω(Γh, 0)∇vdx es lineal.
F (λ1u+ λ2v) =
∫ 1
0
(Γh, 0) · ∇ (λ1u+ λ2v) dx
=
∫ 1
0
λ1 · (Γh, 0) · ∇u+ λ2 · (Γh, 0) · ∇vdx
= λ1
∫ 1
0
(Γh, 0)∇udx+ λ2
∫ 1
0
(Γh, 0)∇vdx
= λ1F (u) + λ2F (v) . (4.6)
F es lineal.
Como la función a(u, v) =∫ 1
0h3∇p∇v es bilineal, continua y coerciva; y F (v) =< f, v >=
∫Ω(Γh, 0)∇vdx
es posible aplicar el teorema de Lax-Milgram. Por lo tanto, a(u, v) =< f, v > ∀v ∈ H10 (Ω) tiene una
única solución en H10 (Ω).
18
5. Análisis Numérico de la Ecuación de ReynoldsEn esta sección se expondrá la simulación realizada con el programa Matlab. Para ello primero sedescribe el método utilizado, Método de Elementos Finitos, seguidamente se exponen los ejemplos enlos que se ha aplicado el método, comenzando por los fluidos incompresibles y terminando con los fluidosincompresibles.
5.1. Método de Elementos Finitos
La idéa básica en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales consiste en una discretización delproblema que es continuo y posee infinitos grados de libertad, para obtener un sistema de ecuaciones conun número finito de incógnitas que puede ser resuelto por un computador. Se distinguen dos métodos:El método de diferencias, que es el método clásico, y el método de elementos finitos.
El método de diferencias consiste en sustituir las derivadas por cocientes que contengan los vlaores delas incógnitas en un número de puntos.
Por otro lado el método de elementos finitos comienza con una reformulación de la ecuación mediante unproblema equivalente. En el caso de las ecuaciones elípticas consiste en una minimización del problemade la forma
Encontrar u ∈ V | F (u) ≤ F (v), ∀v ∈ V. (M)
Donde V es el conjunto de funciones, F : V → R, F (v) ∈ R, ∀v ∈ V .La dimensión de V es infinita, por lo tanto, el problema (M) no puede ser resuelto con exactitud. Laidea ahora es sustituir V por un conjunto Vh de funciones simples que dependen de un número finitode parameros, quedando el problema
Encontrar uh ∈ Vh | F (uh) ≤ F (v), ∀v ∈ Vh. (Mh)
Dicho problema es equivalente al descrito anteriormente (M). Se espera que la solución uh del problema(Mh) sea una aproximación lo suficientemente buena de u, siendo u la solución al problema (M).Generalmente se escoge Vh como un subconjunto de V , de tal modo que si un elemento pertenece a Vh
pertenezca también a V .
El método de elementos finitos se basa en los siguientes pasos:
i) Reformulación del problema.
ii) Construcción del espacio Vh.
iii) Resolución del problema.
iv) Implementación del método en un computador.
Entre las ventajas de este método hay que destacar que si las geometrías son complicadas pueden sermanejadas facilmente y del mismo modo permite una estimación del error producido en la solución uh.
19
5.1.1. Método de Elementos Finitos para funciones lineales definidas a trozos
La idea del método es construir un espacio VM2 finito, contenido en V , mediante funciones linealesdefinidas a trozos. Sea 0 = x0 < ... < xM < xM+1 = 1, 0 = y0 < ... < yM < yM+1 una partición de[0, 1]2 en cuadrados Iij = (xi−1, xi) × (yj−1, yj) cuyo lado mide hj = xj − xj−1, i, j = 1, ...,M + 1 yh = maxhj.
Definimos VM2 como el conjunto de funciones v lineales en cada cuadrado Iij, v es continua en [0, 1]2 yv en la frontera posee valor 0.
Escogemos ηij como parámetros que describen v en los puntos nodo Nij, i, j = 0, ...,M + 1.
Llamamos funciones base ϕij ∈ VM2 , i, j = 1, ...M a las funciones del tipo:
ϕij(Nkl) =
{1 si i = k y j = l0 si i �= k ó j �= l, i, j, k, l = 1, ...M.
}
ϕ es una función lineal definida a trozos que vale 1 en Nij y 0 en los extremos Nij−1, Ni−1j, Ni−1j−1, Nij+1, Ni+1j,Por lo tanto v será de la forma
v(x) =M∑
i,j=1
ηijϕij, x, y ∈ [0, 1]2.
Donde ηij = v(Nij). Cada v ∈ V 2M puewde ser escrito como una combinación lineal de las funciones base
ϕij. V 2M es un espacio lineal de dimensión M2 cuya base es {ϕij}Mi,j=1.
Ahora es posible formular el método de elementos finitos para el problema
Encontrar uh ∈ Vh tal que F (uh) ≤ F (v) ∀v ∈ Vh. (Mh).
Dicho problema es similar a
Encontrar uh ∈ Vh | (u′h, v
′) = (f, v) ∀v ∈ h. (Vh).
Sabemos que si uh ∈ V 2M , entonces
(u′h, ϕ
′ij) = (f, ϕij) i, j = 1, ...,M. (5.1)
Por otro lado si (u′h, v
′) = (f, v) ∀v ∈ V 2M , entonces
uh(x) =M∑
i,j=1
ξijϕij(x, y) ξij = uh(Nij).
Por lo que es posible escribir la ecuación (4,1) de la forma
M∑i,j=1
ξij(ϕ′ij, ϕ
′kl) = (f, ϕkl) k, l = 1, ...,M. (5.2)
El cual es un sistema lineal con M ×M ecuaciones, M ×M incógnitas ξ1, ...ξM×M .
Es posible reescribir las funciones φij de tal forma que dependan de una única variable n.
N = M ×M .
El sistema escrito en forma matricial quedaría
Aξ = b (5.3)
20
Donde A es una matriz N ×N con aij = (ϕi, ϕj), ξ = (ξ1, ..., ξN) y b = (b1, ..., bN), donde b = (f, ϕn)
A =
⎡⎢⎣a11 . . . a1N... . . . ...
aN1 · · · aNN
⎤⎥⎦ , ξ =
⎡⎢⎣ξ1...ξN
⎤⎥⎦ , b =
⎡⎢⎣b1...bN
⎤⎥⎦ .
Llamamos Matriz de rigidez a la matriz A, al vector b se le denomina como vector de carga.
Es posible procesar los elementos aij fácilmente, se observa que (ϕ′ij, ϕ
′kl) = 0 si |i − k| > 1 ó
|j − l > 1|∀(x, y) ∈ [0, 1]2, entonces o ϕij(x, y) ó (ϕkl(x, y)) es nulo.
Sabemos que A es simétrica y definida positiva, ya que, (ϕ′i, ϕ
′j) = (ϕ′
j, ϕ′i) y como v(x) =
∑Mj=1 ηjϕj(x),
tenemos
M∑i,j=1
ηi(ϕ′i, ϕ
′j)ηj =
(M∑i=1
ηiϕ′i,
M∑j=1
ηjϕ′j
)= (v′, v′) ≥ 0.
Por otro lado, una matriz N ×N = S = sij es definida positiva si
η · Sη =M∑
i,j=1
ηisijηj > 0 ∀η �= 0.
La matriz es definida positiva si y solo si sus autovalores son estrictamente positivos. Del mismo modoA es dispersa, es decir, solo unos pocos elementos son no nulos, aquellos cuyos nodos estén a menos deuna unidad de distancia.
21
5.2. Ecuación de Reynolds Incompresible
A continuación vamos a describir el proceso realizado para la realización del análisis numérico de laecuación de Reynolds.
Primero comenzamos definiendo el mallado, es decir, la subdivisión del cuadrado [0, 1]2 en cuadrados dedistancia d. Para obtener una buena aproximación de la solución es recomendable utilizar una distanciade d = 0,05, dividir el cuadrado unidad en 441 cuadrados.
Figura 1: Malla
A continuación describimos las funciones ϕij.
Sea Ω = (0, 1)2.
Consideramos VN2 como el subespacio vectorial de H10 de dimension finita. V 2
N es la aproximación deH1
0 de dimension finita que utilizaremos en la aproximación. En primer lugar definimos una base deVN2 , mediante las funicones ϕij definidas del siguiente modo.
Sea el vértice (xi, yj) ∈ Ω definido por las coordenadas xi = i/N , yj = j/N . La función ϕij debesatisfacer en los vértices la siguiente propiedad
ϕij(xr, ys) = 1 si i = r, j = s
ϕij(xr, ys) = 0, si (xr, ys) �= (xi, yj).
Extendemos la función sobre el resto del dominio, hay muchas formas de extenderlo, lo haremos mediantefunciones polinómicas definidas sobre los cuadrados de forma
i
N< x <
i+ 1
N,
j
N< y <
j + 1
N, i = 0 N − 1, j = 0 · · ·N − 1. (5.4)
22
Por simplicidad tomamos funciones ϕij(x, y) = f(x)g(y) donde f y g son polinomios de grado 1 en cadacuadrado del tipo (5.4). e Por tanto las funciones ϕij se definen
ϕij :=
N2(x− i−1N)(y − j−1
N) i−1
N< x < i
N, j−1
N< y < j
N,
N2(x− i−1N)( j+1
N− y) i−1
N< x < i
N, j
N< y < j+1
N,
N2( i+1N
− x)(y − j−1N
) iN
< x < i+1N, j−1
N< y < j
N,
N2( i+1N
− x)( j+1N
− y) iN
< x < i+1N, j
N< y < j+1
N,
Sea v ∈ VN2 llamamos coordenadas de v a los valores vij tales que
v =∑
j=1..N
vijϕij
el valor vij coincide con el valor de la función v en el nodo ij.
A continuación les mostramos las figuras ϕij
Figura 2: ϕij
Figura 3: ϕij
23
Seguidamente redefinimos las funciones ϕij como ϕn de forma que dependan de una sola variable, sien-do n = N ∗ (i − 1) + j donde i, j = 1, ..., Ns, siendo N el número de nodos. En el caso que estamossimulando, el número de nodos es 19.
Una vez definidas las funciones ϕn, definimos la matriz A, si llamamos N al número de nodos, nuestramatriz A será de la forma N ×N . Los elementos akl de la matriz los definimos de la siguiente manera
akl =
∫Ω
h(x, y) · ∇ϕk · ∇ϕl.
Para concluir, definimos el vector b, posee N elementos y son definidos de la siguiente manera
bi =
∫Ω
∂h
∂x· ϕi
Una vez definidos la matriz A y el vector b únicamente quedaría resolver el sistema
Aξ = b
24
5.2.1. Ecuación de Reynolds para h(x, y) = 1 + x2
En este apartado describiremos la simulación realizada para la función h(x, y) = 1 + x2. Comenzamosdefiniendo la función h.
Figura 4: h(x,y)
A continuación definimos el mallado. Se ha decidido utilizar cuadrados de 0,05 como tamaño de lado,en total tenemos 361 nodos.
Seguidamente vamos a definir las funciones ϕij con i, j = 1..,19. De igual manera que en el apartadoanterior.
ϕij :=
361(x− i−119
)(y − j−119
) i−119
< x < i19, j−1
19< y < j
19,
361(x− i−119
)( j+119
− y) i−119
< x < i19, j
19< y < j+1
19,
361( i+119
− x)(y − j−119
) i19
< x < i+119
, j−119
< y < j19,
361( i+119
− x)( j+119
− y) i19
< x < i+119
, j19
< y < j+119
,
Despúes redefinimos dichas funciones ϕij para que dependan únicamente de una variable n.
Acto seguido definimos la matriz Akl siendo cada elemento
akl =
∫Ω
h(x, y)3 · ∇ϕk∇ϕl
También definimos los elementos de b como
bi =
∫Ω
∂h
∂x· ϕi
Para concluir resolvemos el sistema
Aξ = b
Donde ξ es el vector de incógnitas.
25
Por último mostramos la función encontrada.
Figura 5: u(x,y)
Figura 6: u(x,y)
26
5.2.2. Ecuación de Reynolds para h(x, y) = 1 + x2 + y2
En este apartado describiremos la simulación realizada para la función h(x, y) = 1+x2+y2. Comenzamosdefiniendo la función h(x, y).
Figura 7: h(x,y)
A continuación definimos el mallado. Se ha decidido utilizar cuadrados con 0,05 de tamaño de lado. Entotal tenemos 361 nodos.
Seguidamente vamos a definir las funciones ϕij con i, j = 1..,19.
ϕij :=
361(x− i−119
)(y − j−119
) i−119
< x < i19, j−1
19< y < j
19,
361(x− i−119
)( j+119
− y) i−119
< x < i19, j
19< y < j+1
19,
361( i+119
− x)(y − j−119
) i19
< x < i+119
, j−119
< y < j19,
361( i+119
− x)( j+119
− y) i19
< x < i+119
, j19
< y < j+119
,
Despúes redefinimos dichas funciones ϕij para que dependan únicamente de una variable n.
Acto seguido definimos la matriz Akl siendo cada elemento
akl =
∫Ω
h(x, y)3 · ∇ϕk∇ϕl
También definimos los elementos de b como
bi =
∫Ω
∂h
∂x· ϕi
Para concluir resolvemos el sistema
Aξ = b
Donde ξ es el vector de incógnitas.
27
Por último mostramos la función encontrada.
Figura 8: u(x,y)
Figura 9: u(x,y)
28
5.3. Ecuación de Reynolds Compresible
En este apartamos describiremos el análisis numérico realizado en el caso compresible de ecuación:
−div[(h2 + (p+ p0)h3)∇p] = − ∂
∂x(h(p+ p0)) en (0, L)× [0, B] (5.5)
Con condición de contorno p = 0 en δΩ.
Donde p0 es la presión ambiente, cuyo valor hemos tomado como 1.
Dicha ecuación se deduce de manera similar a la Ecuación de Reynolds para fluidos incompresibles.
En cuanto al análisis numérico como función distancia hemos tomado h(x, y) = 0,001 + x2.
Para la resolución del problema hemos utilizado el Método de Elementos Finitos y un algoritmo depunto fijo. Para ello comenzamos con una solución P0 definida de la siguiente manera
P0 = x(1− x)y(1− y). (5.6)
Como medida de parada para las iteraciones hemos tomado ε ≈ 10−8 y hemos decidido utilizar la normadel cuadrado |P−Pn|2
Pn.
Iteramos utilizando el Método de Elementos Finitos.
Comenzamos definiendo el mallado, con cuadrados de 0,05 unidades de lado y las funciones ϕij del mis-mo modo que en el apartado anterior, redefiniéndolas para que únicamente dependan de una variablen.
Definimos la matriz Akl cuyos elementos son de la forma∫Ω
(h2 + (Pn−1 + 1) · h3) · ∇ϕk · ∇ϕl
A continuación se define el vector bi, de la siguiente manera
bi =
∫Ω
(∂
∂x(h · (P0 + 1)) · ϕi
)
Finalmente resolvemos el sistema
APn = b
Iteramos hasta obtener una aproximación menor que ε.
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La solución obtenida es la mostrada a continuación.
Figura 10: P
Figura 11: P
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6. Capa LímiteEn esta sección describiremos en que consiste la capa límite y realizaremos una aproximación numéricade la misma para la ecuacion de Reynolds en el caso compresible.
6.1. Descripción de la Capa Límite
En primer lugar describiremos en que consiste la capa límite.
En los movimientos a bajos números de Reynolds (basados en la longitud característica del movimiento)los efectos viscosos son despreciables. Los efectos de conducción de calor también lo son si el productodel número de Reynolds por el número de Prandtl es pequeño, siendo el número de Prandtl
Pr =μc
k(6.1)
Donde μ es el coeficiente de viscosidad, c se define como la capacidad calorífica y por último k es laconductividad térmica.
Cuando el producto de Reynolds por Prandtl es pequeño, es posible despreciar los términos de mayororden en las derivadas de la velocidad y de la temperatura, por lo tanto no se podrán imponer todaslas condiciones de contorno. Como consecuencia de ello, las condiciones de contorno en el movimientode un fluido ideal en presencia de una pared se reducen a decir que la velocidad es tangente a la pared(si no hay paso de masa a través de la pared). Sin embargo, se sabe que la velocidad de un fluido encontacto con una pared es igual a la velocidad de la pared y que la temperatura del fluido debe coincidircon la de la pared.
Prandtl en 1904 descubrió la existencia de una zona en la que los efectos viscosos son importantes apesar de que el número de Reynolds del movimiento fuese bajo. También explicó el desprendimientode la capa límite en cuerpos romos (con gradientes adversos de presión) y como consecuencia de ello laexistencia de una resistencia de forma (no depende de la viscosidad pero es causada por ella).
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6.2. Aproximación numérica
Seguidamente realizaremos aproximación numérica, consideramos la ecuación compresible
−div[(h2 + (p+ p0)h3)∇p] = −6μU
∂
∂x(h(p+ p0)) en (0, L)× [0, B] (6.2)
Con condicion de contorno p = 0 en ∂Ω.
Donde p0 es la presión ambiente.
Suponemos que h solo depende de x e introducimos el cambio de variables
H =h
h(0), P =
p
p0, X =
x
L, Y =
y
B. (6.3)
Quedando la ecuación de la siguiente manera
−λ2 ∂
∂X
[(αH2 + (P + 1)H3)
∂P
∂X
]− ε2
L2
B2
∂
∂Y
[(αH2 + (P + 1)H3)
∂P
∂Y
]= − ∂
∂X(H(P + 1)) (6.4)
Siendo λ
λ =h2(0)p06μUL
(6.5)
Por Liñán 1999] sabemos que existe una capa límite al final de la superficie, es decir cerca de X = 1,el espesor de la capa es de orden λ, por tanto, resolvemos la ecuacion de Reynolds en [0, 1− λ]× [0, 1]con condiciones de contorno
P (0, Y ) = P (x, 0) = P (x, 1) = 0 y P (1− λ, y) = Φ(1− λ, Y )
A continuación se descompone Φ en tres partes:
a) En la región central
1− λ < X < 1,√λ < Y < 1−
√λ
Está definida explicitamente por una función que solo depende de X, Φ = φ(X) donde
φH2(1) +H(1)ln1−H(1)(φ+ 1)
1−H(1)= −1−X
λ. (6.6)
b) En la segunda región definida por
1− λ < X < 1, 0 < y <√λ
Se considera
Φ(X, Y ) = φ(X)Y√λ
(6.7)
c) En la última región
1− λ < X < 1, 1−√λ < y < 1
Se define
ψ(X, Y ) = φ(X)1− Y√
λ(6.8)
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Para calcular λ se han tomado los valores
p0 = 1, B = L = 1, U = μ = 1
h(x, y) = 10−1 + x2
Para la resolución del problema hemos comenzado resolviendo la ecuación en la región central aproxi-mando la función Φ(X) por
Φ(X) = Φ′(0) · (x− 1).
Una vez aproximada la función Φ, hemos resuelto la ecuación en las tres regiones de la capa límite.
A continuación hemos resuelto la ecuación en los puntos del interior. Finalmente hemos formado lasolución como la suma de las dos soluciones, en la frontera con las condiciones de contorno, y en elinterior con condiciones de contorno 0 obteniendo la solución:
Figura 12: Capa Límite
Figura 13: Capa Límite
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7. ConclusionesEn esta sección se exponen las conclusiones extraídas de la realización de este trabajo.
1) El comportamiento de un fluido, ya compresible o incompresible, se encuentra definido por lasecuaciones de Euler, las ecuaciones de Navier-Stokes y las ecuación de Reynolds.
2) Sir Gabriel Stokes fue el descubridor de las ecuaciones que describen el movimiento de fluidosque poseen densidad y viscosidad constante basándose en el trabajo realizado por Euler.
3) Osborne Reynolds tuvo un impacto tremendo en la mecánica de fluidos moderna, descubrió elnúmero de Reynolds que indica si un fluido es laminar o turbulento.
4) Por último entre los aportes de Ludwig Prandtl a la mecánica de fluidos cabe destacar su teoríasobre la capa límite y el descubrimiento del número de Prandtl el cual controla el espesor relativode las capas límite de momento y térmica.
5) La existencia y unicidad de soluciones general para las ecuaciones de Navier-Stokes sigue siendoun problema del cual se desconoce la solución
6) El sistema de ecuaciones de Reynolds posee una solución única en un dominio Ω.
7) Para realizar una simulación numérica del problema de Reynolds es necesario utilizar un métodode discretización, ya que los espacios de Hilbert utilizados poseen dimensión infinita, para ello seestablece un mallado, dividiendo Ω en cuadrados.
8) En la realización del análisis numérico de la ecuación de Reynolds, se ha utilizado el metodode elementos finitos, que consiste en discretizar el espacio, utilizando unas funciones definidas atrozos llamadas ϕ en las cuales se evalúa la función.
9) En las soluciones obtenidas para el caso incompresible se puede observar que los valores másaltos de la presión se obtienen en los puntos centrales de la malla.
10) En la solución obtenida para el caso compresible, se ha utilizado un algoritmo de punto fijopara obtener una mejor solución, es necesario redefinir el vector de soluciones en forma de matrizpara poder mostrar la solución.
11) La capa límite se da en fluidos con bajo número de Reynolds.
12) En la solución obtenida para la ecuación de Reynolds compresible, al estudiar la capa límite esposible observar en la pared izquierda como toma valores distintos de 0, mientras que, en el restode la frontera toma valores nulos.
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8. Bibliografía1.- L. Evans. Partial Differential Equations. Graduate studies in Mathematics. AMS 1998.
2.- H. Weinberger. Ecuaciones en derivadas parciales. Reverte 1986.
3.- L.D. Landau and E.M. Lifschitz. Mecnica de Medios Continuos,Revert, 1988.
4.- G. Ranalli. Rheology of the earth. Chapman and Hall.1995.
5.- G. Bayada and C. Vázquez. A survey on mathematical aspects of lubrication problems. AMS2000.
6.- C. Johnson. Numerical solutions of partial differential equations by the finite element method.1987
7.- L. Evans. Entropy and partial differential equations. AMS 2004.
8.- R. Temam. Navier-Stokes Equations And Nonlinear Functional Analysis. SIAM 1983.
9.- A. Liñán Martínez. La Mecánica de Fluidos en los Albores del Siglo XX. 2000.
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Fecha/Hora Wed Jun 24 13:53:11 CEST 2015
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