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Prova MAT12.V1 – Página 1/12

EXAME DE RESUMOS.TK

Autor: Francisco Cubal

Prova Escrita de Matemática A

12.º Ano de Escolaridade

Prova MAT12/1.ª Fase 12 Páginas Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.

2011

VERSÃO 1 Na folha de respostas, indique, de forma legível, a versão da prova. A ausência dessa indicação implica a classificação com zero pontos das respostas aos itens do Grupo I.

Estudar nunca

foi tão fácil!


Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta, excepto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, de desenhos ou de outras representações, que podem ser, primeiramente, elaborados a lápis, sendo, a seguir, passados a tinta. Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica, sempre que for necessário. Não é permitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar, de forma inequívoca, aquilo que pretende que não seja classificado. Escreva, de forma legível, a numeração dos grupos e dos itens, bem como as respectivas respostas. As respostas ilegíveis ou que não possam ser identificadas são classificadas com zero pontos. Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.


Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas:

o número do item;

a letra que identifica a única opção correcta.

Não apresente cálculos, nem justificações.

A prova inclui, na página 4, um Formulário. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.


GRUPO I

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, seleccione a única opção correcta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção seleccionada. Não apresente cálculos, nem justificações.

1. Duas crianças escrevem ao mesmo tempo, num papel, e em segredo, uma letra da palavra

“MATEMATICA” (palavra sem acentos gráficos).

Qual é a probabilidade de a letra escrita ser a mesma nos dois papéis?

(A)

(B)

(C)

(D)

2. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória é

Qual o valor médio da variável ?

(A) 2,2

(B) 1,9

(C) 3,2

(D) 2,9

3. A soma de todos os elementos de uma linha do triângulo de Pascal é .

Quantos elementos tem a linha ?

(A) 16

(B) 15

(C) 22

(D) 21


4. Considere a função de domínio definida por

Em qual dos intervalos seguintes se pode aplicar o Teorema de Bolzano-Cauchy?

(A)

(B)

(C)

(D)

5. Tem-se:

Qual é o valor do limite apresentado?

(A)

(B)

(C)

(D)

6. Na figura junta está parte da representação gráfica de uma

função , primeira derivada de uma função de domínio .

Qual das opções seguintes é a única verdadeira?

(A) a função é descontínua

(B) a função tem dois zeros

(C) a função é estritamente crescente

(D) a função tem extremos relativos


7. Na figura junta está representada, no plano complexo, a imagem geométrica do número complexo

e as imagem geométricas de outros três números complexos A, B, C, que possuem em comum o

mesmo argumento.

Qual dos pontos seguintes pode corresponder à imagem geométrica de ?

(A)

(B)

(C)

(D)

8. Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto de pontos

definido pela condição, definida em , por ?


GRUPO II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto.

1. Em , conjunto dos números complexos, considere e

.

1.1. Sem usar a calculadora, mostre que é uma raiz cúbica de , conjugado de .

1.2. Seja a região do plano complexo definida pela condição:

Represente graficamente .

2. Em 2010, África do Sul foi o palco do espectáculo mundial de futebol intitulado “Mundial 2010”.

Milhares de pessoas de variados países de todo o globo viajaram até África para assistir aos jogos

das selecções dos seus países, e os portugueses não foram excepção.

Admita que:

Numa certa Residencial de uma localidade X ficaram alojadas 25 pessoas, um quinto das quais

eram portugueses.

Numa certa Residencial de uma localidade Y ficaram alojadas 35 pessoas, 40% das quais eram

portuguesas.

2.1. Duas pessoas da Residencial da localidade X estão à entrada de um estádio de futebol.

Qual é a probabilidade de uma delas ser portuguesa?

2.2. Considere o seguinte problema:

Um grupo de dez pessoas da mesma Residencial vai ver um jogo de futebol. Qual é a

probabilidade de serem todas portuguesas?

Uma resposta correcta para este problema é

Numa composição, explique porquê.

A sua composição deve incluir:

uma referência à regra de Laplace;

uma explicação do número de casos possíveis;

uma explicação do número de casos favoráveis.


3. Seja o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória e sejam e dois

acontecimentos equiprováveis de , ambos com probabilidade não nula.

Mostre que:

( designa probabilidade, representa o acontecimento contrário de , é a

probabilidade de dado .)

4. Cada vez mais a Internet é usada por empresas e pessoas para alojar websites, partilhar

documentos ou informações e como meio de contacto.

O número de pessoas que visitaram um dado website pessoal, em milhares, pode ser dado, anos

após o início da contagem, pela função definida por

Suponha que o valor de corresponde ao final de 2011 e que, no final desse ano, foram

contabilizados 10 mil visitantes nesse website.

4.1. Mostre que .

4.2. De acordo com este modelo, determine o número de visitantes desse website no final de

2008.

Apresente o resultado em milhares, arredondado às décimas.

Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a

arredondamentos, use três casas decimais.

5. Sejam e as funções, ambas de domínio , e tais que apenas se conhece a expressão de :

O gráfico da função tem dois pontos onde a taxa de variação é igual a 0,1.

Determine as abcissas desses pontos, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora.

Na sua resposta, deve:

reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar

na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;

assinalar e indicar as coordenadas dos pontos relevantes, com arredondamento às centésimas.


6. Considere a função , de domínio , definida por

com

Na figura abaixo está representada parte do gráfico da função .

Tal como a figura sugere:

é uma assimptota do gráfico de .

Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

6.1. Determine o valor de e mostre que, tal como a figura sugere, a função é contínua à

direita do ponto de abcissa e descontínua à esquerda desse ponto.

6.2. Determine a equação da recta .


7. Na figura está representado, no círculo trigonométrico, o trapézio . Tal como é sugerido pela figura:

é a recta tangente ao círculo e é perpendicular ao eixo ;

pertence ao eixo ;

pertence à recta ;

pertence ao eixo ;

é o ponto de intersecção entre a recta e a circunferência.

o ponto desloca-se sobre a recta , mas apenas no primeiro quadrante.

os pontos e acompanham o movimento do ponto de tal forma que a recta é

sempre paralela à recta e a ordenada de é igual à de .

Para cada posição do ponto , seja a amplitude, em radianos, do ângulo , em que

e seja a área do trapézio em função de .

Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

7.1. Mostre que

7.2. Determine a área do trapézio quando as duas coordenadas do ponto são

iguais.

FIM


COTAÇÕES

GRUPO I ………………………………….. (8 x 5 pontos) …………………………………… 40 pontos

GRUPO II ………………………………………………………………………………………… 160 pontos

1. 1.1. ………………………………………………………………… 15 pontos 1.2. ………………………………………………………………… 15 pontos

2. 2.1. ………………………………………………………………... 10 pontos 2.2. ………………………………………………………………… 15 pontos

3. …………………………………………………………………….. 15 pontos

4. 4.1. ………………………………………………………………... 10 pontos 4.2. ………………………………………………………………… 15 pontos

5. …………………………………………………………………….. 15 pontos

6. 6.1. ………………………………………………………………… 15 pontos 6.2. ………………………………………………………………… 10 pontos

7. 7.1. ………………………………………………………………… 15 pontos 7.2. ………………………………………………………………… 10 pontos

TOTAL ………………………………………………… 200 pontos

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