PUC Escola de Arquitetura e Urbanismo Prof. Edgar A.e Graeff

|Estruturas isostáticas Conceitos fundamentais

parte 2

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ARQ 1061 – Sistemas Estruturais I

Prof.: Alberto Boaventura

• Momento estático

• Centro de gravidade

• Momento de inércia

• Raio de giração

• Módulo de resistência

• Tabela

• Exercícios

Sumário

Conceito: “O momento estático de uma figura plana em relação ao eixo contido no plano é a soma dos produtos resultante da multiplicação de cada elemento de área pela distância do seu centro de gravidade ao eixo em questão” (Aluízio Margarido)

A= b.hMS = A. h/2 = bh²/ 2

Momento estático

Exemplo 1) Calculo do momento estático a partir do eixo que passa pelo CG

A1 = A2 = b . (h/2)ME = A1 (h/2) + A2 (-h/2)

ME = (bh²/ 2) – (bh²/2) = 0

Conceito: “É um ponto localizado na figura, ou fora desta, no qual se concentra a superfície”

O conceito de momento estático permite calcular o centro de gravidade de figuras que possam ser decompostas em outras cujos momentos estáticos são conhecidos

Centro de gravidade

Exemplo 2) Calcular o centro de gravidade da figura:

8cm

Passo 1: Cálculo da área A

A = 2 . (3.2) + 2. 7 = 12 + 14 = 26cm²

Passo 2: Cálculo do momento estático em relação ao eixo xx

ME = (3. 2. 6) + (3. 2. 6) + (2. 7. 3,5) = 36+ 36+ 49 = 121cm³

Passo 3: Encontrar o y do CG em relação ao eixo xx:

A . YCG = ME => YCG = ME / A

YCG 121 cm²/ 26 cm² = 4, 65 cm

Conceito: “O momento de inércia de uma figura plana em relação a um eixo contido no plano é a soma dos produtos resultantes da multiplicação de cada um dos elementos de área que a compõem pelo quadrado das suas respectivas distâncias ao eixo em questão” (Aluísio Margarido)

Fórmula para formas genéricaJ = ∫ y² . ds

Momento de inércia (I ou J)

Conceito: “Teorema dos eixos paralelos” Momento de inércia de um corpo em relação a um eixo paralelo ao eixo que passa pelo CG e do qual conhecemos seu momento de inércia

Y = yG + y1

Jxx= A. yG ² + JCG

Centro de gravidade

Jxx = Sy² + JCG

Passo 1: Cálculo do CG da figura composta

a) Calculo do momento estático em relação ao eixo xx

Figura 1 => Me = 2. 6. 3 = 36 cm²

Figura 2 => Me = 2 ( 1. 3. 5,5) = 33cm²

Total = 69 cm²

b) Cálculo da área S e do YCG

Área = 2 . 6 + 2 . (3 . 1) = 18 cm²

YCG = Me / S = 69/18 = 3,83 cm

Passo 2: Cálculo do momento de inércia:

Calcular o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo seu CG, dado pelo valor em tabela:

J = b.h³/ 12

Desta forma temos:

Jxx = Ay²c + JCG = (bh²/ 12 ) + A. YC²

Figuras 2 => J2CG = 2[(b2h2²/ 12) + A2y2²] = 2[( 3. 1² / 12 ) + 2 ( 3. 1) . (1,67 )²] = 17, 23 cm4

Figura 1 => J1CG = (b1h1²/ 12) + A1y1² = 2. 6³ / 12 + 2. 6 . (0, 83) ² = 44, 27 cm4

Total => 17,23 + 44, 27 = 61, 50 cm4

Conceito: A inércia da seção (dificuldade de uma seção girar em relação a outra) aumenta com o quadrado da distancia da massa (ou área) ao centro de gravidade da seção (centro de giro). Daí a distancia r ser chamada de raio de giração

Dado a relação do momento de inércia J = Y² . A

Chamando a distância ao centro de gravidade ou centro de giro da seção de r , tem-se:

R² = J/ A

Raio de giração (r ou i )

Conceito: O módulo de resistência de uma superfície plana em relação aos eixos que passa pelo CG como sendo a relação entre o momento de inércia relativo a esse eixos e a distancia máxima entre o eixo e a extremidade da seção transversal estudada

Módulo de resistência (w)

WX = ICG / Y max

Wy = ICG / X max

Y sup

Y inf

X dirX esq

TabelaFiguras Momento de inércia Momento Resistente Raio de Giração

Ix= h₄ / 12 Wx = h³ / 6 ix= h/√¯12

IXCG= bh³ / 12 Wx = b. h² / 6 ix= h/√¯12

IXCG= bh³ / 12 Wx = b. h² / 12 ix= h√¯2

2

Ix= πd₄ / 64 Wx = π. D³ / 32 ix=D/ 4

Ix= h₄ / 12 Wx = π(D³-d³) 32

ix=√¯(D²- d²)/ 4

qu

adra

do

retâ

ngu

lotr

iân

gulo

círc

ulo

Cír

culo

vaz

ado