estruturas de betÃo armado i€¦ · cotg tg b z v cw w = σ z ... diagrama de momentos da...

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ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fctfct -- UNLUNLESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I7 7 –– RESISTÊNCIARESISTÊNCIA

AO ESFORAO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO

PROGRAMAPROGRAMA1.Introdução ao betão armado2.Bases de Projecto e Acções3.Propriedades dos materiais: betão e aço4.Durabilidade5.Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão6.Estado limite último de resistência à flexão simples7.7.Estado limite Estado limite úúltimo de resistência ao esforltimo de resistência ao esforçço transversoo transverso8.Disposições construtivas relativas a vigas9.Estados limite de fendilhação10.Estados limite de deformação11.Estados limite últimos de resistência à flexão composta com esforço normal e à flexão desviada12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes14.Estado limite último de resistência à torção

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ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fctfct -- UNLUNL

τ

-τ

7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSOESTADO LIMITE ESTADO LIMITE ÚÚLTIMO DE RESISTÊNCIA AO ESFORLTIMO DE RESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO

1. Comportamento elástico de vigas sujeitas a esforço transverso2. Mecanismo de resistência ao esforço transverso em vigas de betão armado3. Situações particulares7.1. COMPORTAMENTO ELÁSTICO DE VIGAS SUJEITAS

A ESFORÇO TRANSVERSOConsidere-se uma viga constituída por um material elástico-linear.

+M

+-

V

A

A

+

-

σ(M) τ(V)

bhV

23

máx =τA-A

h

b ττ

τ

τ

σ=τσ=-τ

σ=-τ σ=τ

≡

σ=τ

2x45º

σ=-τ

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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO7.2. MECANISMO DE RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO

EM VIGAS DE BETÃO ARMADO

No betão armado a resistência à tracção é baixa (σmáx= τ = fct), surgindo fendas de tracção perpendiculares à direcção das tensões de tracção.

σ=τσ=-τ

σ=-τ σ=τFendas verticais

de flexão

Fendas inclinadas de esf. transv.

Fendas inclinadas de esf. transv.

Fendas verticais de flexão

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x

7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO

F1

Fsw

F3

F2

Dente de betão

F1 – resultante das tensões de corte na zona comprimida

τ

x

F2 – efeito de ferrolho nas armaduras longitudinais

F3 – componente vertical da força de atrito entre faces da fenda provocado pela intrincamento entre os inertes

Fsw – força de tracção nas armaduras transversais

Fc

Fs

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Fenda inclinada de esf. transv.

Efeito de ferrolho

Ponto de aplicação da carga

concentrada

Apoio

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e depende dos seguintes factores:1. Resistência do betão (no efeito de ferrolho – F2; no valor de x; na ligação dos

inertes na zona da fenda – F3);2. Quantidade de armadura longitudinal As (no efeito de ferrolho – F2; no valor de

x; na abertura da fenda – F3);3. Dimensão relativa dos inertes (efeito de escala) – F3;4. Quantidade de armadura transversal (na abertura da fenda – F3; na resistência

da armadura transversal – Fsw).

x F1

Fsw

F3

F2

F1 – resultante das tensões de corte na zona comprimida

F2 – efeito de ferrolho nas armaduras longitudinais

F3 – componente vertical da força de atrito entre faces da fenda

Fsw – força de tracção nas armaduras transversais

A resistência ao esforço transverso será a soma destas componentes:VR = F1 + F2 + F3 + Fsw

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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSOCAMPOS DE TENSÃO

2. As armaduras transversais, por tracção, transferem estas forças novamente para o topo da viga.O mecanismo repete-se de forma a conduzir as cargas até aos apoios.

1. Através de campos de tensão de compressão no betão as forças aplicadas são transferidas para a parte inferior da viga.

3. Escoras e tirantes horizontais equilibram as componentes horizontais dos campos de tensão de compressão inclinados no betão.

Campos de tensão de compressão no betão

Tracção nas armaduras

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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSORESULTANTES DOS CAMPOS DE TENSÃO

O problema simplifica-se se dividirmos a carga uniforme em parcelas iguais e a substituirmos pelas respectivas resultantes.

Escoras de compressão no betãoTirantes que representam a tracção nas armaduras

Podemos então considerar as resultantes dos campos de tensão inclinados no betão e as resultantes das forças nas armaduras transversais e longitudinais.Ficamos, assim, com uma estrutura treliçada, fácil de calcular, em que:• as barras comprimidas - escoras – constituem a resultante das tensões de compressão no betão, e• as barras traccionadas – tirantes – representam as armaduras, no caso das armaduras longitudinais, ou a resultante das forças nas armaduras distribuídas, no caso das armaduras transversais.

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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSORESULTANTES DOS CAMPOS DE TENSÃO

Escoras Tirantes

θz

z cotg θ

z cotg θz cotg θ z cotg θz cotg θ z cotg θ

z cos θ

p

p z cotg θ

Fs

Fc

F cw

V cotgθ

V

z cotg θ

θθ1

z cosθ

p z cotg θ

Fsw

z

VEd(x = z cotgθ)

MEd

∑FV = 0 V = Fcw senθ∑MA = 0 M – V (z cotgθ)/2 = Fc zB∑MB = 0 M + V (z cotgθ)/2 = Fs z

z cotg θ2

z cotg θ2

Fcw = V / senθFc = M / z – V cotgθ /2Fs = M / z + V cotgθ /2

∑FV = 0 Fsw = VPor equilíbrio do nó A:

A

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Fc = M / z – V cotgθ /2Fs = M / z + V cotgθ /2

Fcw = V / senθ

Fsw = V

Fs

Fc

F cw

z cotg θ

θθ1

z cosθ

Fsw

z

Fcw = σcw bw z cos θ

z cosθ

bw

Fcw

Fsw = Asw σsw (z cotgθ / s)

z cotg θ

sAsw

V = σcw bw z cos θ sen θ

θ+θσ

=tgcotgzb V wcw

θ⋅σ= cotgz s

A V swsw

bw - espessura da alma

s – espaçamento entreestribos

Asw - secção transversaltotal da armadurade um estribo

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θ+θν

α=tgcotg

zbf V wcd1cwmaxRd,

θ⋅= cotgz fs

A V ywdsw

sRd,

7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSOVERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

VEd(x = d) ≤ VRd,s - valor de cálculo do esforço transversoequilibrado pela resistência da armaduratransversal.

VEd (x = 0) ≤ VRd,max - valor de cálculo do esforço transversoresistente máximo, correspondente àresistência à compressão das escoras debetão.

Fs,Rd ≥ MEd / z + 0.5 VEd cotgθ - incremento de tracção na armadura longitudinal devido ao esforço transverso

NOTA: O esforço transverso actuante é calculado a x = d do apoio e não a x = z cotgθ, como seria de esperar do modelo anterior, por causa da variabilidade da distribuição das acções. O modelo anterior só é válido para acções uniformemente distribuídas, e essa condição pode não se verificar.Frequentemente, por simplificação, considera-se VEd(x=0).

NOTA: Neste caso, o esforço transverso actuante é calculado a x = 0, isto é, no apoio, onde a escora tem uma inclinação maior (cotgθ1 = 0.5 cotgθ) , σcw=V bwz (cotgθ1+ tgθ1) é menor mas o esforço transverso é maior que a x = z cotgθ.

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θ⋅= cotgz fs

A V ywdsw

sRd,

1.0 ≤ cotg θ ≤ 2.5 - limites admissíveis para o ângulo de inclinação das45º ≥ θ ≥ 21.8º escoras de betão com o eixo do elemento.

RESISTÊNCIA DAS ARMADURASfywd = fyd

s – espaçamento entre estribosAsw - secção transversal total da armadura de um estribo

d

bw

hAsw

Asw s

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⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=ν

250f16.0 ck

1 com fck em MPa1.0 ≤ cotg θ ≤ 2.5

RESISTÊNCIA DAS ESCORAS COMPRIMIDASαcw = 1.0 para estruturas não pré-esforçados

bw - menor espessura na altura útil d da alma da secção (onde se encontram as escoras inclinadas)

d

bw

hAsw

θ+θν

α=tgcotg

zbf V wcd1cwmaxRd,

b

dh

bw

hf

Asw

ÁREA MÁXIMA DE ARMADURA TRANSVERSAL para θ=45º

cd1cww

ywdmaxsw, f0.5 bs

fAνα= θ+θ

να=

tgcotgzbf V wcd1

cwmaxRd,

θ⋅= cotgz fs

A V ywdsw

sRd,

ν1 - coeficiente de redução da resistência do betão em compressão, tendo em conta que o betão na alma da viga está fendilhado.

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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSOARMADURAS TRANSVERSAIS INCLINADAS (estribos ou varões inclinados)

θ+α+θν

α=== 2wcd1

cwmaxRd,Ed cotg1)cotgz(cotgbf V0)(xV

( )( ) αα+θ⋅=≤α+θ= sen)gcotcotg(z fs

A VgcotcotgzxV ywdsw

sRd,Ed

ανα

=sen

f0.5 bs

fA cd1cw

w

ywdmaxsw,

ÁREA MÁXIMA DE ARMADURA TRANSVERSAL INCLINADA para θ=45º

A utilização de varões inclinados deve ser usada como solução extrema, e sempre em conjunto com estribos (pelo menos 50% da armadura transversal) com ramos junto às superfícies da alma como forma de melhor controlar a abertura das eventuais fendas de esforço transverso.

Asw sα

45º≤ α ≤ 90º

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MΔ

M

x

MM'

M'

al

alal

7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSOFORÇA DE TRACÇÃO ADICIONAL NA ARMADURA LONGITUDINAL

Fs = MEd / z + 0.5 VEd cotgθ Δ Fs = 0.5 VEd cotgθ

como V = dM/dx

ou M’Ed = Fs · z = MEd + Δ MEd com Δ MEd = (0.5 VEd cotgθ) · z

Parcela devida à flexão

Parcela devida ao esf. transv.

Então:VEd = Δ MEd / ΔxVEd = (0.5 VEd cotgθ) · z / Δx

al = 0.5 z cotgθ

Isto é, com Δx = al,

sendo M’Ed (x) = MEd (x+al)

O efeito do esforço transverso na armadura longitudinal pode ser obtido por da translação do diagrama de momentos da distância al.

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MΔ

M

x

MM'

M'

al

alal


Δ Fs = 0.5 VEd (cotg θ - cotg α) Δ MEd = (0.5 VEd (cotgθ−cotgα) · z

al = 0.5 z (cotg θ – cotg α)

PARA ARMADURAS TRANSVERSAIS INCLINADAS:

Para armaduras verticais:

Δ Fs = 0.5 VEd(x=0) cotg θ

ARMADURA LONGITUDINAL NOS APOIOS SIMPLES

Nos apoios simples MEd = 0, logo, as armaduras longitudinais devem ser dimensionadas apenas para o efeito do esf. transverso:

Para armaduras inclinadas:

Δ Fs = 0.5 VEd(x=0) (cotg θ - cotg α)

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Para armaduras verticais: (Asw/s)min ≈ 0.1% bw

ARMADURA MÍNIMA DE ESFORÇO TRANSVERSO

Taxa de armadura de esf. transverso:α⋅⋅

=ρsenbs

A w

sww

Taxa mínima de armadura de esf. transverso:yk

ckminw, f

f08.0 =ρ

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+

-

VEd pd

7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSODIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE ESFORÇO TRANSVERSO

pd

l

(Asw/s)min = ρw,min bw

yk

ckminw, f

f08.0 =ρ

θ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= cotgz f

s A V yd

min

swmins,Rd,

θ = 30º e z ≈ 0.9 d

a

a

a = VRd,s,min/pd

( )θ⋅

=≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

cotgz fdxV

s A

yd

Ed

apoios

sw2. Dimensionamento da armadura junto aos apoios:

1. Armadura mínima na zona central:

3. Verificação da compressão nas escoras junto aos apoios: ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=ν

250f16.0 ck

1θ+θν

=≤=tgcotg

zbf V0)(xV wcd1maxRd,Ed

VRd,s,min

VRd,s,min

(Asw/s)min

(Asw/s)apoios

d

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θ+θν

α=≤tgcotg

zbf VV wcd1cwmaxRd,Ed

DETERMINAÇÃO DE θ PARA OPTIMIZAR A ARMADURA TRANSVERSAL

Taxa de armadura de esf. transverso:

( )θ⋅⋅να≤ sen20.5zbf V wcd1cwEd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛να

⋅≥θz bf

2Vsen0.5 wcd1cw

Ed1-

Com os limites da EN1992.1.1 1.0 ≤ cotg θ ≤ 2.5 45º ≥ θ ≥ 21.8º

Note-se que à menor quantidade de armadura transversal (menor θ) corresponde um maior al = 0.5 z cotgθ, e portanto uma maior translação do diagrama de momentos flectores e, consequentemente, maior comprimento da armadura longitudinal.

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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO6.3. SITUAÇÕES PARTICULARES

VIGAS DE ALTURA VARIÁVELBANZO COMPRIMIDO INCLINADO

∑FV = 0 V = Fcw senθ + Fc senα

Fcw = (V − Vccd) / senθ

VEd

Vccd = Fc senα - é a componente vertical da força de compressão no banzo inclinado.α – ângulo do banzo comprimido com a horizontal.

Fs

Fc

F cwα

MEd

θ

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Outro exemplo de banzo comprimido inclinado:

BANZO TRACCIONADO INCLINADO


∑FV = 0 V = Fcw senθ + Fs senα

Fcw = (V − Vtd) / senθ

Vtd = Fs senα - é a componente vertical da força de tracção no banzo inclinado.α – ângulo banzo traccionado com a horizontal.Fs

Fc

F cw

α

MEd

VEd

θ

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VEd(x = d) - Vccd - Vtd ≤ VRd,s

VIGAS DE ALTURA VARIÁVEL

VEd(x = 0) - Vccd - Vtd ≤ VRd,max

ACÇÕES APLICADAS JUNTO AOS APOIOSCARGAS CONCENTRADAS A aV ≤ 2d DO APOIO

d

av

av - é o vão de corte, e define-se como a distância entre a carga e a face do apoio em apoios rígidos, ou o eixo do apoio em apoios flexíveis.

+

(1-β) F

(1-β) F

β F

β F

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+

(1-β) F

(1-β) F

β F

β F


Para a verificação da escora comprimida, deve ser considerado o valor total de VEd, com VRd,max dado por:

VEd ≤ VRd,max = 0.5 bwd ν1 fcd

CARGAS CONCENTRADAS A aV ≤ 2d DO APOIO

Para efeitos de cálculo da armadura transversal, esforço transverso devido àcarga concentrada pode ser multiplicado por β = av / 2dPara av< 0.5d deve ser tomado av= 0.5d.

β VEd ≤ VRd,s = Asw fyd sen αOnde Asw é a armadura transversal entre a carga e o apoio e α é o ângulo desta com o eixo da peça. Esta armadura deve ser colocada numa largura de 0.75 av, centrada em av.

av 0.75 av

d

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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSOARMADURA DE SUSPENSÃO

Fsw = VEd + 2pd z cotgθ ≤ Asw/s fyd z cotgθ

ACÇÕES NA FACE INFERIOR DA VIGA

APOIOS INDIRECTOS

h1

h2

≤h1/2≤h1/2

≤h1/3

≤h1/3

≤h2/2 ≤h2/3

Fsw/2Fsw/2h1

≤h1/3 ≤h1/3

≤h1/2≤h1/2

h2

pp

Fsw ≤ Asw fyd

Fsw

Z cotg θ

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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSOARMADURA DE LIGAÇÃO BANZO-ALMAResistência ao esforço transverso dos banzos

Escoras Tirantes

hf

2ΔF

2 ΔF = ΔM / z

Fsf

Fsf = ΔF / cotgθf

θf

(Asf/sf) fyd cotgθf ≥ (ΔF / Δx)

Fcf

Fcf = ΔF / cosθf

ν1fcd hf Δx senθf ≥ ΔF / cosθfΔF

ΔF

ν1fcd hf senθf cosθf ≥ (ΔF / Δx)

1.0 ≤ cotg θf ≤ 2.0 para banzos comprimidos1.0 ≤ cotg θf ≤ 1.25 para banzos traccionados

Δx é, no máximo, metade da distância entre as secções de momento nulo e de momento máximo ou, no caso de cargas pontuais, a distância entre cargas pontuais.

Δx é uma distância no sentido longitudinal da peça, na qual se distribui a armadura Asf.

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Se ΔF / Δx hf ≤ 0.4 fctd não é necessária armadura de ligação banzo-alma.

Sendo VEd = ΔMEd/Δx

então 2ΔF = VEdΔx / zdonde: ΔF/Δx = 0.5 VEd / z

No caso de acções uniformemente distribuídas, ΔF/Δxpode ser estimado da seguinte forma:

e 2 ΔF = ΔMEd / z

ν1 fcd hf senθf cosθf ≥ (ΔF / Δx)(Asf/sf) fyd cotgθf ≥ (ΔF / Δx)

+-

VEd

pd

l

+MEd

ν1 fcd hf z senθf cosθf ≥ 0.5 VEd(Asf/sf) fyd z cotgθf ≥ 0.5 VEd

Assim, se se considerar θf = θ:• a área de armadura de ligação banzo-alma é metade da área da armadura de esforço transverso da alma - Asf /sf ≥ 0.5 Asw /s,• e a resistência à compressão do betão está automaticamente verificada se a espessura do banzo for pelo menos metade da espessura da alma - hf ≥ 0.5 bw

VIGAS EM L: No caso de vigas com banzo apenas para um dos lados da alma (L), as expressões anteriores tomam a forma:

ν1 fcd hf z senθf cosθf ≥ VEd(Asf/sf) fyd z cotgθf ≥ VEd

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χΧchi

Coeficiente de fluênciaϕϑ

ALFABETO GREGO

Percentagem mecânica de armaduraωΩomega

Coeficientes definindo valores representativos ψΨpsi

Diâmetro de um varão de secção circularφΦfi

υΥipsilon

Tensão tangencialτΤtau

Tensão σΣsigma

Massa volúmica; taxa de armaduraρΡró

Constante, razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferênciaπΠpi

οΟómicron

CoeficienteξΞcsi

Coeficiente de Poisson; coeficiente de redução da resistência; esforço normal reduzidoνΝniú

Coeficiente de atrito; momento flector reduzidoμΜmiú

Coeficiente; coeficiente de esbeltezaλΛlambda

κΚKapa

ιΙIota

ÂnguloθΘteta

CoeficienteηΗeta

CoeficienteζΖzeta

Extensão εΕépsilon

IncrementoδΔdelta

Coeficiente ; coeficiente parcialγΓgama

Ângulo; relação; coeficienteβΒbeta

Ângulo; relação; coeficiente de expansão térmica; coeficiente de homogeneizaçãoαΑalfa

Representações frequentes das minúsculasMinúsculasMaiúsculasDesignação

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normal e à flexão desviada12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes14.Estado limite último de resistência à torção

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