betão armado e pré esforçado

ESTRUTURAS DE

FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO DAS ESTRUTURAS

Coordenação:

ESTRUTURAS DE BETÃO I


MÓDULO 1


DE BETÃO ARMADO

Coordenação: José N. da Camara

Ano Lectivo 2012/2013


Introdução

Estes apontamentos têm como objectivo facilitar o acompanhamento das aulas e

correspondem, em geral, à sequência e organização da exposição incluindo, ainda, a

resolução de problemas. São apontamentos de síntese que não dispensam a consulta

dos restantes apontamentos da disciplina e da bibliografia.

Estes apontamentos foram elaborados com base em textos anteriores da disciplina

para os quaiscontribuíram os docentesque têm vindo a leccionar o Betão Estrutural,

muito especialmente o Prof. Júlio Appleton que foi, nesta escola, nos últimos 30 anos,

o responsável por esta área da engenharia de estruturas.

No ano lectivo 2008/2009 adoptaram-se no ensino integralmente as normas europeias

(Eurocódigos), já aprovados na versão definitiva (EN). No entanto, estamos num

período de transição, pois não houve ainda uma aprovação formal, sendo possível

utilizar, no âmbito profissional, em alternativa, a regulamentação nacional (REBAP –

Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado) ou a regulamentação

europeia (Eurocódigo 2 – Projecto de Estruturas de Betão).

Deve-se, no entanto, realçar que o essencial do ensino do betão estrutural é a

transmissão do conhecimento sobre as características do comportamento

estrutural e fundamentação dos modelos de cálculo , aspectos que se repercutem

depois, naturalmente, nas prescrições normativas, com algumas variações.

Refira-se que, sendo esta disciplina integrada na área da engenharia de estruturas ,

é fundamental que os alunos tenham uma boa percepção do comportamento das

estruturas, em geral, e, de uma forma “quase imediata”, das estruturas isostáticas.

No ano lectivo 2012/2013 os docentes são:

José Manuel da Camara (Responsável da Disciplina)

João Fernandes de Almeida

João Sérgio Cruz

IST, Setembro de 2012

ÍNDICE

1. COMPORTAMENTO DO BETÃO ESTRUTURAL ................. .............................................. 1

1.1. ELEMENTO DE BETÃO SEM INCLUSÃO DE ARMADURAS ........................................................ 1

1.2. ELEMENTO DE BETÃO ARMADO ......................................................................................... 3

1.3. CÁLCULO DAS TENSÕES NUMA SECÇÃO APÓS FENDILHAÇÃO .............................................. 4

1.4. CÁLCULO DO MOMENTO DE CEDÊNCIA DA SECÇÃO ............................................................. 8

1.5. DIFERENÇA DO COMPORTAMENTO SECÇÃO/ESTRUTURA..................................................... 9

2. CONCEITO DE SEGURANÇA NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTU RAS ................ 10

2.1. OBJECTIVOS DE SEGURANÇA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL ............................. 10

2.2. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES

ÚLTIMOS ................................................................................................................................... 12

2.3. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES

DE UTILIZAÇÃO .......................................................................................................................... 14

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1.1 .................................................................................................. 18

ALÍNEA A) .................................................................................................................................. 20

ALÍNEA B) .................................................................................................................................. 21

3. MATERIAIS ......................................... ................................................................................ 22

3.1. CARACTERIZAÇÃO DOS BETÕES ...................................................................................... 22

3.1.1. Tensões de rotura do betão ................................................................................. 22

3.1.2. Módulo de elasticidade do betão ......................................................................... 23

3.1.3. Valor característico da tensão de rotura do betão à compressãofc ..................... 23

3.2. CARACTERIZAÇÃO DAS ARMADURAS ............................................................................... 23

3.2.1. Classificação das armaduras para betão armado ............................................... 24

Estruturas de Betão I

MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 1

1. Comportamento do Betão Estrutural

Notações:

f – resistência do material

fc – tensão de rotura do betão à compressão

fct - tensão de rotura do betão à tracção

Ec – módulo de elasticidade do betão

fy – tensão de cedência do aço

fu – tensão de rotura do aço

Es – módulo de elasticidade do aço

1.1. ELEMENTO DE BETÃO SEM INCLUSÃO DE ARMADURAS

Considere-se a viga de betão simples ilustrada na figura seguinte, bem como os

diagramas de esforços correspondentes a uma carga pontual genérica P aplicada a

meio vão.

Como se sabe, o maior momento flector ocorre a meio vão, estando, na hipótese de

comportamento elástico, esta secção sujeita ao seguinte diagrama de tensões

normais:

(+)

DEV

DMF

P/2

(+)

(-)

5.00

P/2

P

0.50

0.20

P/2

P/2

PL/4



Tensões: σ = M × y

Ic ; σmáx =

M Wc

em que Wc = I

ymáx (módulo de flexão)

Para uma secção rectangular, Wc = b h3 12 ×

2 h =

b h2 6

Para um determinado nível de carga P ocorrerá uma fenda, em princípio próximo da

secção de meio vão (por ser a secção mais esforçada) e, na sequência a rotura da

viga.

Na figura seguinte podem observar-se os diagramas momentos-curvaturas e carga-

deslocamento que ilustram o comportamento desta viga, desde o início do

carregamento até à rotura , verificando-se que esta é frágil .

Este comportamento resulta da lei de comportamento do material betão:

Índice c – “concrete”

fc – tensão de rotura do betão à compressão

fct – tensão de rotura do betão à tracção

Ec – módulo de elasticidade do betão

Através da análise da relação constitutiva do betão pode concluir-se que este é um

material que possui um bom comportamento e resistência à compressão, com uma

resposta “quase linear” para níveis de tensões baixos a médios, e uma baixa

resistência à tracção (da ordem de 1/10 a 1/15 da resistência à compressão). Esta

última característica é responsável pela fendilhação do betão armado e, neste caso de

betão simples, pela rotura.

M

σ2

G

h/2

h/2

y σ1

M

1/ R

EI (rigidez de flexão)

P

δ

a) Diagrama momento-curvatura b) Diagrama carga-deslocamento

ε

σ

fc

fct (2 a 5 MPa)

(20 a 80 MPa)

≈ 3.5‰

Ec (≈30 GPa)



Cálculo do momento de fendilhação

Admite-se fct = 2.0 MPa

σ = M Wc

= M × v

Ic e Wc =

bh2 6 (para uma secção rectangular)

Deste modo, o momento de fendilhação pode ser calculado pela expressão:

Mcr = fct×Wc = 2 × 103× 0.20 × 0.502

6 = 16.7 kNm

A carga P que provoca o início da fendilhação está associada ao momento de

fendilhação podendo ser calculada, para esta estrutura e carregamento, através da

seguinte relação:

Mcr = PL 4 ⇒ P =

4Mcr L =

4 × 16.7 5 = 13.4 kN

Conclusão: Uma viga de betão simples não explora, minimamente, a capacidade

resistente do material em compressão, pois a máxima tensão que se

pode mobilizar é igual, ou da mesma ordem de grandeza, da resistência à

tracção. O comportamento fica, assim, associado a uma baixa

capacidade de carga, condicionada pelo aparecimento de uma fenda, e a

uma rotura frágil.

Solução: Introduzir um material com boa resistência à tracção nas regiões onde é

necessário, ou seja nas zonas traccionadas das peças ⇒ Ao faltar a

capacidade do betão para resistir à tracção mobilizam-se as armaduras de

aço. Evita-se a rotura frágil e explora-se muito melhor a capacidade

resistente do betão à compressão, pois passa a haver a possibilidade de

equilibrar compressões elevadas com tracção nas armaduras. Tem-se,

assim, o Betão armado (betão +armaduras de aço).

1.2. ELEMENTO DE BETÃO ARMADO

Armaduras de aço : material dúctil com bom comportamento à tracção, mas

também àcompressão, e que permite, pela sua disposição em varões, um bom

envolvimento pelo betão.



Índice y – “yeld” (cedência)

fy+ ≈ fy

-

Com a introdução destas armaduras no betão obtém-se um comportamento conjunto

com boa ligação entre os materiais e extremamente eficiente em termos da resposta

estrutural. De facto, com o aparecimento das fendas,as tracções passam para as

armaduras o que permite garantir o equilíbrio na secção para cargas muito superiores.

Nas figuras seguintes podem observar-se diagramas tipo, de momentos-curvaturas

médias e carga-deslocamento, respectivamente, para elementos e estruturas de betão

armado, desde o início do carregamento até à rotura. Verifica-se que, com o início das

fendas (1), há alguma perda de rigidez mas que a capacidade resistente máxima só se

atinge para cargas superiores depois de verificada a cedência das armaduras (2) e

explorada, depois, a ductilidade (3).

Ao longo desta disciplina analisar-se-ão estas características do comportamento e o

seu enquadramento nas disposições regulamentares para assegurar os níveis de

segurança e de qualidade de comportamento necessários.

1.3. CÁLCULO DAS TENSÕES NUMA SECÇÃO APÓS FENDILHAÇÃO

Para se compreender o comportamento global acima descrito comecemos por analisar

a resposta ao nível de uma secção de betão armado, tomando-se a secção

apresentada.

2.5 a 10%

Es (≈200 GPa)

(200 a 800 MPa)

ε

fu

σ

fy

fy

(1)

(2) (3)

b) Diagrama carga-deslocamentoa) Diagrama momento-curvatura

δ

PM

R/1

III

(1)

(2) (3)(1) - fendilhação do betão

(2) - cedência das armaduras

(3) - rotura



Admita-se:

As = 10.0 cm2

d = 0.45 m (altura útil da armadura)

Ec = 30 GPa

Es = 200 GPa

(i) Avaliação simplificada da quantidade de armadura mínima necessária para

substituir o papel das tensões de tracção no betão quando se forma uma

fenda.

(Análise em Estado não fendilhado - Estado I – desprezando as

armaduras)

A força de tracção no betão quando se forma a fenda deve, então, ser

menor que a força máxima passível de ser absorvida pelas armaduras, tal

que:

(antes de fendilhar)

Fs≥ Fct⇔ As, min× fy≥ b × h2 ×

12 fct⇔

⇔ As, min≥ 0.2 × 0.5 4 × 2×103×

1 400×103 × 104 = 1.25 cm2

(Refira-se que a armadura admitida é de As = 10cm2>> 1.25cm2)

(ii) Cálculo do estado de tensão na secção imediatamente após a fendilhação

do betão

Hipóteses consideradas paro o denominado Estado II

− O betão não resiste à tracção

− As secções mantêm-se planas após a fendilhação

0.20

0.50d

σ

fct

h/2

b

Fct

Fc

εc

LN

σc

(-)

(+)

εsσs (Fs)

(Fc)

b

x

d z Mcr



Cálculo da posição da linha neutra

Através da determinação do centro de gravidade da secção homogeneizada,

x = ∑Ai xi

∑Ai

= bx × x/2 + As× Es/Ec× d

bx + As× Es/Ec ⇔x

bx + As×

Es Ec

= bx × x 2 + As×

Es Ec

× d ⇔

⇔ bx2 + As× Es Ec

× x = bx2 2 + As×

Es Ec

× d ⇔bx 2

2 = As×××× Es Ec

(d - x)

(equação que traduz a igualdade de momentos estáticos)

Para a secção em estudo,

0.2x2 2 = 10×10-4 x

200 30 (0.45 - x) ⇔ 0.1x2 + 6.67×10-3x - 0.03 = 0 ⇒ x = 0.143 m

z(braço das forças resultantes) = d - x 3 = 0.45 -

0.143 3 = 0.40 m

Cálculo da tensão no betão (σc)

Por equilíbrio: Mcr = Fs× z = Fc× z =16.7 kNm ⇔ Fc = Mcr z =

16.7 0.40 = 41.8 kN

Fc = σc× x × b

2 ⇔σc = 2Fc bx =

2 × 41.8 0.20 × 0.143 = 2923 kN/m2≅ 2.9 MPa

Cálculo da tensão nas armaduras (σs)

Fs = σs× As⇔σs = Fs As

= 41.8

10 × 10-4 = 41800 kN/m2 = 41.8 MPa

Cálculo das extensões máxima no betão e nas armaduras (εc e εs)

σ = E ×ε⇒

εc =

σc Ec

= 2923

30×106 = 0.097×10-3≅ 0.1‰

εs = σs Es

= 41800

200×106 = 0.2‰

ou εc εs

= x

d - x ⇒εs = d - x

x εc= 0.45 - 0.143

0.143 × 0.097×10-3 = 0.2‰

M = 16.7 kNm

0.143

σ [MPa]

-2.9

εs = 0.2‰

(+)

(-)

εc = 0.1‰

LN

ε

41.8



Cálculo da curvatura

1 R =

εc + εs d =

0.1×10-3 + 0.2×10-3 0.45 = 6.67×10-4 m-1

Antes da fendilhação,

εc = σc Ec

= 2.0

30×103 = 6.67×10-5

1R =

2 × 6.67×10-5

0.5 =2.67×10-4 m-1

Verifica-se, assim, que, para esta secção e com esta armadura, se verifica uma perda

de rigidez, quando se perde a participação do betão traccionado, de: 1/RII 1/RI

≅ 2.5 .

Estas curvaturas podem ser directamente calculadas dividindo o momento pelas

rigidezes homogeneizadas, se for o caso, nos referidos Estados I e II, tal que:

Estado I sem considerar as armaduras: 1Rc

= M

Ec Ic

Estado I com consideração das armaduras: 1RΙ

= M

Ec IΙ

Estado II: 1

RΙΙ =

MEc IΙΙ

Ic, IΙ e IΙΙ, são respectivamente, a inércia de secção só de betão, de betão e armaduras

homogeneizada no betão em situação não fendilhada (valor de IΙ ≈ Ic) e fendilhada (IΙΙ),

sem considerar o betão à tracção.

M = 16.7 kNm

[MPa]

(+)

(-)

εc

εc

σ2.0

2.0

M

R/1

III

Ec IΙ

Ec IΙ Ec IΙΙ



1.4. CÁLCULO DO MOMENTO DE CEDÊNCIA DA SECÇÃO

Em estado II (secção fendilhada sem participação de betão à tracção) a linha neutra é

invariável, pelo que, a um acréscimo do momento flector irá somente corresponder um

aumento de curvatura com consequente aumento de tensões, i.e., com o braço entre

as resultantes das forças de compressão e tração a se manter constante.

A continuação da aplicação do momento M conduz, portanto, ao aumento das tensões

nas fibras, podendo, para níveis superiores de carga, o betão entrar numa região de

comportamento não linear.

A variação do braço é, no entanto, pouco significativa (z1 ≅ z2), pelo que a avaliação do

momento de cedência se pode fazer tomando para a força F a força correspondente à

cedência das armaduras, tal que:

My ≅ z × Fy com Fy = Asfsy

Cálculo do momento de cedência da secção

σs = fy = 400 MPa⇒Fy = 400×103× 10×10-4 = 400 kN

z = 0.40m ⇒My = 0.4 × 400 = 160 kNm

Verifica-se que, para esta secção, a diferença entre os momentos de fendilhação e de

cedência é significativa, de 16.7 kNm para 160 kNm, o que mostra bem o papel das

armaduras.

M

σs1εs

(+)

(-)

σc1

LN

εc

M1 M2 > M1

σc2

σs2

M1z1

Fc

Fs1

σc1

LN

M2z2

Fs2

Fc

σc2

LN

M1 < M2



1.5. DIFERENÇA DO COMPORTAMENTO SECÇÃO /ESTRUTURA

As estruturas são compostas por inúmeras secções sendo que só algumas fendilham.

Nestas secções há uma perda de rigidez brusca (aumento de deformação significativo)

que, como mostra o gráfico a), corresponde à passagem do Estado I ao II. No entanto,

considerando o comportamento médio num elemento estrutural (por exemplo,um troço

de viga, com um comprimento igual à altura), como se ilustra no gráfico b) vai-se

verificar uma diminuição mais gradual da rigidez média. Este efeito de atenuação da

importância da perda de rigidez, a quando da fendilhação, é ainda mais notório,

quando se analisa a resposta da estrutura no seu conjunto.

De facto, ao nível da deformação global da estrutura, não se chega a notar um

aumento pontual da deformação. Verifica-se, isso sim, uma diminuição da rigidez para

cargas superiores ás do início do processo de formação de fendas (zona do diagrama

carga-deslocamento de (2) para (3)) – ver figura seguinte.

Para um certo nível de carga a zona da viga passível de ter fendas é aquela em que

os esforços sejam superiores aos de início da fendilhação, como se mostra na figura

seguinte.

a) Secção

IIIσ

b) Elemento

M

R/1

Mcr

III

ε

My

(1)

(2) (3)

Mcr

My(1)

(2) (3)

MM

R

δ

P

(1)

(2) (3)



Refira-se que, como referido anteriormente, à medida que se verifica o incremento de

carga as tensões nos materiais aumentam até que se atinge, em princípio na secção

mais esforçada, a cedência do aço, ou seja o momento de cedência - (ponto (2) dos

diagramas). Este nível de carga corresponde, “grosso modo”, à capacidade máxima da

carga, verificando-se, a partir daí, só um ligeiro aumento de carga, associado a um

grande aumento de deformações. É a zona de comportamento associada ao

comportamento na rotura à flexão do betão armado.

2. Conceito de Segurança no Dimensionamento de Estrutu ras

2.1. OBJECTIVOS DE SEGURANÇA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL

Há dois objectivos fundamentais a considerar pelos engenheiros de estruturas para

assegurar, à sociedade em geral, um nível de segurança adequado às construções.

Seguidamente referem-se esses dois objectivos gerais, particularizando-se, para cada

um deles, o tipo de verificações em causa.

1) Garantir um bom comportamento das estruturas em sit uação de serviço, ou

seja, na utilização corrente

Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos

Estados Limite de Utilização:

Limitar a deformação (Para as estruturas, em geral, e não só de betão)

DMF

Mmáx

P

Região onde ocorre fendilhação para Pmáx

Mcr



De acordo com as recomendações mais recentes, e para o caso de pisos de edifícios,

a deformação final ou o incremento de deformação após a execução de paredes de

alvenaria, deve ser limitada, para as acções com carácter de permanência,

respectivamente, a:

δserviço≤δadmissível

≅

L250 ou

L500

Trata-se no primeiro caso de uma questão de aspecto e funcionalidade e no segundo

caso para evitar fendas nas alvenarias.

Limitar o nível de tensões máximas no betão e no aç o

Segundo as disposições regulamentares mais recentes o nível máximo das tensões no

aço e no betão deve ser limitado, em serviço. Estes limites dependem do tipo e nível

das acções, como se verificará no curso.

Controlar as aberturas de fendas (Aspecto claramente específico ás

estruturas de betão armado):

ωserviço≤ωadmissível (0.2 a 0.4mm)

Sendo a existência de fendas uma situação normal no Betão Armado, há que limitar a

sua abertura, em geral, para um nível de acções com carácter de permanência.

Garantir um adequado comportamento dinâmico (estruturas em geral)

Este aspecto da verificação do comportamento em serviço das estruturas, só será

analisado na disciplina de uma forma indirecta, devendo ser aprofundado

posteriormente no curso. No fundo trata-se de controlar as frequências próprias de

vibração das estruturas, de tal forma a evitar situações de ressonância com a

frequência das acções.

Exemplo: Nas pontes de peões verificar que a frequência principal de vibração vertical

da estrutura não se aproxima da frequência da excitação, neste caso, as cadências

dos passos dos utilizadores.

2) Assegurar um nível de segurança adequado em relação a determinadas

situações de rotura (rotura local ou global da estrutura)



Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos

Estados Limite Últimos

Para além de assegurar um comportamento adequado da estrutura nas condições da

sua utilização, o engenheiro de estruturas tem de, com um nível de confiança

muitíssimo superior, poder garantir que não há possibilidade de qualquer tipo de

rotura, seja localizada , por falta de capacidade resistente, como por exemplo numa

viga, por:

Flexão

Esforço Transverso

Torção

Zonas particulares de apoios e/ou introdução de cargas

Seja global , por perda de equilíbrio conjunto da estrutura, como o derrubamento

de um muro de suporte.

As características de comportamento do betão estrutural e as hipóteses admitidas

para avaliação das capacidades resistentes acima referidas e das estruturas, no seu

conjunto, serão analisadas nos Módulos seguintes.

2.2. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS

LIMITES ÚLTIMOS

Para garantir o objectivo acima enunciado, da não rotura, a regulamentação das

estruturas, em geral, tem vindo a introduzir, a partir dos anos 60, uma filosofia de

segurança que, tendo em conta a variabilidade das características dos materiais, do

valor das acções eda avaliação da resposta estrutural,assegura uma probabilidade

de rotura de 1x10 -5, ou seja, quase nula.

Este formato baseia-se, de uma forma simplificada, na avaliação de valores

característicos para os materiais e acções, e ainda à adopção de coeficientes parciais

de segurança adequadamente definidos. Vejamos, então, com algum pormenor, essa

valoração.

1) Definição de valores característicos para:

Valores das acções Ssk (95% de probabilidade de não serem excedidos)

Resistências dos materiais SRk (95% de probabilidade de serem superiores).



2) Adopção de coeficientes de segurança parciais que:

Majorem as cargas, consoante o tipo de acção:

• Acções permanentes: valor aproximadamente constante durante a vida

útil da estrutura (ex: peso próprio, equipamentos fixos, etc.)

γg = 1.0 ou 1.35 (consoante a acção for ou não favorável)

• Acções variáveis: variam durante a vida útil da estrutura (ex: sobrecarga,

vento, sismo, variação de temperatura, etc.)

γq = 0.0 ou 1.5 (consoante a acção for ou não desfavorável)

• Acções acidentais: muito fraca probabilidade de ocorrência durante a

vida útil da estrutura (ex: explosões, choques, incêndios, etc.) γa = 1.0

Minorem as resistências dos diferentes tipos de materiais:

• Armaduras (γs = 1.15)

• Betão (γc = 1.5)

Exemplo: fyd = fyk γs

; fcd = fck γc

3) Estabelecimento de combinações de acções , conforme especificado no RSA

Exemplo: Ssd = γgSg + γq (Sq + Σψ0iSqi) (ψ0i≤1 –coeficiente de combinação da

acção variável i)

Sq – acção variável de base

Sqi – restantes acções variáveis

4) A Avaliação dos efeitos estruturais das acções na estrutura é usualmente realizada

com base numa análise elástica linear da mesma, com eventuais adaptações para ter

em conta o comportamento efectivamente não linear do betão estrutural (como

constatado nos parágrafos anteriores). Para obtenção dos denominados momentos

de cálculo ou dimensionamento, com uma única carga variável,tem-se:

Msd = γg Mg + γqMq

5) Avaliação das capacidades resistentes (forças ou esforços)

Exemplo para o momento resistente: MRd = As×fyk

1.15 ×z

6) Verificação da condição de segurança geral : SSd≤SRd

Exemplo para os momentos: Msd≤MRd



No caso do exemplo anterior, e considerando só a sobrecarga (γq = 1.5), tem-se:

M = PL 4 ⇒Msd = 1.5 × P ×

5 4 ≤ MRd = 10×10-4×

400 1.15 × 103× 0.40

Donde resulta, como carga que verifica o nível de segurança necessário, em relação à

rotura por flexão (ou seja, verifica a segurança ao Estado Limite Último):

P ≤ 74.2 kN

O procedimento de verificação da segurança acima resumido pode ser ilustrado com

base nos diagramas de distribuição probabilística dos efeitos das acções e da

avaliação das resistências, como indicado na figura seguinte.A partir de valores

característicos, superiores e inferiores, respectivamente para as acções e materiais,

majoram-se e minoram-se esses valores, com coeficientes parciais de segurança,

para só depois estabelecer a condição de segurança.

Percebe-se que a margem de segurança disponível que se obtém com este

procedimento é muito grande. Repare-se na diferença entre os valores médios

expectáveis das acções e das resistências. No entanto, a justificação da garantia da

probabilidade de não rotura ser de 1x10-5,como acima referida, está fora do âmbito

destes elementos.

2.3. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO A OS ESTADOS

LIMITES DE UTILIZAÇÃO

Para assegurar o comportamento adequado nas condições de serviço, pretende-se

avaliar, agora, tão bem quanto possível, a resposta efectiva da estrutura quando em

utilização. Com esse objectivo faz sentido tomar valores de acções que se esperam

efectivamente actuem a estrutura (e não valores característicos superiores e/ou

majorados) e valores médios para o comportamento dos materiais (certamente que

não valores característicos inferiores e/ou minorados).

Ssm Ssk SRk SRmSsd SRd

Acções ou efeitos das acções Resistência



Esta formulação conduz a que a probabilidadede serem excedidos os valores

admissíveis seja da ordem de 1x10-1.

Vejamos então, em termos práticos, com que bases se fazem estas verificações:

1) Definição dos valores da acção que actuam na estrutura adoptando, por um lado,

para os pesos próprios dos materiais estruturais e/ou de outros revestimentos

utilizados densidades médiase, por outro lado, valores de sobrecargas com

probabilidades reais de virem a actuar as estruturas (percentagens mais pequenas do

valor característico têm mais probabilidade de ocorrerem).

2) Estabelecimento de combinações de acções, conforme preconizado no RSA:

Combinação quase permanente de acções: Estado limite de longa duração (≥

50% do tempo de vida da estrutura) Scqp = G + Σψ2iQi

Combinação frequente acções: Estado limite de curta duração (≥ 5% do

tempo de vida da estrutura) Sfreq = G + ψ1 Q + Σψ2iQi

Combinação característica: Estado limite de muito curta duração (algumas

horas no período de vida da estrutura) Sraro = G + Q + Σψ1iQi

(ψ2<ψ1< 1.0)

Q – acção variável de base

Qi – restantes acções variáveis

3) Avaliação dos efeitos estruturais das acções, considerando, em geral, uma análise

elástica linear e as propriedades médias dos materiais por forma a estimar o

comportamento previsível. Em geral, é necessário considerar, de uma forma

simplificada, os efeitos da fendilhação (perda de rigidez) e da fluência do betão nas

características da resposta, como se verá no curso.

4) Posteriormente há que fazer as verificações de segurança, atrás mencionadas,

como a limitação da deformação e o controlo do nível de tensões nos materiais e das

aberturas de fendas. Estas verificações são estabelecidas nos regulamentos, para

certas combinações de acções. Refira-se que um certo limite é dependente da

duração de tempo em que possa subsistir.



Por exemplo, para o caso da deformação, é importante garantir a sua limitação para a

situação quase-permanente, mas não para a eventualidade de, numa ou várias

situações na vida da estrutura, se ter uma sobrecarga maior. Assim:

δcombinação quase permanente ≤δadmissíve



EXERCÍCIO 1.1

Considere a estrutura de um piso estrutural, a construir com os materiais indicados e

as acções previstas referidas, representado pela planta seguinte:

Materiais: C25/30, A400

Acções:

Peso próprio

Revestimento=2.0 kN/m2

Sobrecarga = 3.0 kN/m2

Coeficientes de majoração:

γG = γQ = 1.5

Coeficientes de combinação:

ψ1 = 0.4 ;ψ2 = 0.2

Secção da viga: 0.30×0.85 m2

Espessura da laje: 0.15m

a) Determinar, para as secções S1 e S2 da viga, os valores dos esforços, para a

verificação da segurança à rotura.

b) Calcular, para as mesmas secções, os esforços para as combinações em serviço,

rara, frequente e quase-permanente.

4.00 4.00 4.004.00

10.00

3.00

S2

S1



RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1.1

1. Modelo de cálculo:

Modelo para o cálculo da viga

Corte transversal à viga

Comentários ao modelo de cálculo, escolhido, com algumas simplificações:

− Consideram-se as vigas como contínuas, i.e., desprezou-se a continuidade

na ligação aos pilares;

− Considera-se que as lajes descarregam apenas nas vigas transversais.

2. Cálculo das acções na viga

2.1. Carga permanente

• Peso próprio

pp = γbetão× Área = [4 × 0.15 + (0.85 - 0.15) × 0.30] × 25 = 20.3kN/m

• Revestimento

rev = 2.0 × 4.0 = 8.0kN/m

cp = pp + rev = 20.3 + 8.0 = 28.3kN/m

2.2. Sobrecarga

sc = 3.0 × 4.0 = 12.0kN/m

10.00 3.00

S2 S1

g, qrev, q

0.30

0.15

0.70

4.00



3. Diagrama de esforços para uma carga unitária (poder-se-ia considerar logo à

partida considerar o valor das cargas)

(i) Cálculo das reacções de apoio

ΣMA = 0 ⇔ 10 × RB- 1.0 × 13 × 13 2 = 0 ⇔ RB = 8.45kN

ΣF = 0 ⇔ RA + RB = 13 ⇒ RA = 13 - 8.45 = 4.55kN

(ii) Cálculo do momento flector a ½ vão

MB = - 1 × 3 × 3 2 = - 4.5kN/m

M½vão = 1 × 102 8 -

4.5 2 = 10.25kNm

(ii) Cálculo do momento flector máximo

4.55 + 5.454.55 =

10.0x ⇒x = 4.55m

Mmáx = 4.55× 4.55

2 = 10.35kNm

⇒M½vão ≅≅≅≅ Mmáx

S1S2

10.00 3.00

p=1 kN/m

RA RB

10.25

4.5

4.55 3.0

DMF[kNm]

(+)

(-)

DEV[kN]

(+)

(-)

(+)

5.45

x

L/2 L/2

pL /82



ALÍNEA A )

Secção S1 Secção S2

MS1G = – 4.5 × 28.3 = - 127.35 kNm MS2

G = 10.25 × 28.3 = 290.1 kNm

MS1Q = – 4.5 × 12.0 = - 54 kNm MS2

Q = 10.25 × 12.0 = 123.0 kNm

VS1G = –5.45 × 28.3 = 154.2 kN

VS1Q = –5.45 × 12.0 = 65.4 kN

Valores de cálculo dos esforços

MS1sd = 1.5 ×( )MS1

G + MS1Q = 1.5 × (-127.35 - 54) = -272.0 kNm

MS2sd = 1.5 ×( )MS2

G + MS2Q = 1.5 × (290.1 + 123) = 619.7 kNm

VS1Sd = 1.5 ×( )VS1

G + VS1Q = 1.5 × (-154.2 - 65.4) = -329.4 kN

Consideração de alternância de sobrecarga

A sobrecarga, sendo uma acção variável, pode actuar em qualquer tramo. Assim, para

cada caso, há que verificar a hipótese de carga mais desfavorável.

Chama-se, desde já a atenção, para que na consola e sobre o apoio adjacente, os

esforços só dependem das cargas na própria consola e, portanto, os valores máximos

são os avaliados anteriormente.

Por outro lado, se se considerar apenas a actuação da sobrecarga no tramo apoiado,

o momento flector obtido a meio vão desse tramo será superior ao calculado

considerando a sobrecarga a actuar em toda a viga (calculo anterior).

Deste modo,

MS2Q =

12 × 102

8 = 150 kNm ; MS2G = 10.25 × 28.3 = 290.1 kNm

⇒ MS2sd = 1.5 × (290.1 + 150) = 660.2kNm

g

q



ALÍNEA B )

Secção S1

Mc rara = MG + MQ = -127.35 - 54 = - 181.4kNm

Mcfreq = MG + ψ1 MQ = -127.35 - 0.4 × 54 = -149.0kNm

Mcqp = MG + ψ2 MQ = -127.35 - 0.2 × 54 = – 138.2kNm

Vc rara = VG + VQ = 154.2 + 65.4 = 219.6kN

Vcfreq = VG + ψ1 VQ = 154.2 + 0.4 × 65.4 = 180.36kN

Vcqp = VG + ψ2 VQ = 154.2 + 0.2 × 65.4 = 167.3kN

Secção S2

Mc rara = MG + MQ = 290.1 + 123.0 = 413.1kNm

Mcfreq = MG + ψ1 MQ = 290.1 + 0.4 × 123 = 339.3kNm

Mcqp = MG + ψ2 MQ = 290.1 + 0.2 × 123 = 314.7kNm

Verifica-se também que o nível de esforços considerados para a verificação da

segurança à rotura são significativamente superiores aos correspondentes das

combinações de acções em serviço, e que estes são tão menores, quão a

probabilidade de ocorrência seja maior.



3. Materiais

3.1. CARACTERIZAÇÃO DOS BETÕES

Os betões são, em termos regulamentares, classificados por classes de resistência,

como certamente analisaram na disciplina de materiais.

As classes de resistência estão definidas de acordo com os valores característicos de

tensão de rotura à compressão aos 28 dias de idade, referidos a provetes cúbicos ou

provetes cilíndricos, apesar destes últimos serem aqueles que se consideram como

referência na avaliação da segurança estrutural.

No quadro seguinte apresentam-se, para as várias classes de resistência do betão, os

valores característicos e de cálculo das tensões de rotura à compressão (fck e fcd), bem

como o valor médio da tensão de rotura à tracção (fctm) e módulo de elasticidade aos

28 dias (Ec, 28)

Classe B15

C12/15

B20

C16/20

B25

C20/25

B30

C25/30

B35

C30/37

B40

C35/45

B45

C40/50

B50

C45/55

B55

C50/60

cub. fck

cil. [MPa]

15

12

20

16

25

20

30

25

37

30

45

35

50

40

55

45

60

50 fcd

[MPa] 8.0 10.7 13.3 16.7 20.0 23.3 26.7 30.0 33.3

fctm

[MPa] 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1

Ec,28

[GPa] 27.0 29 30 31 33 34 35 36 37

3.1.1. Tensões de rotura do betão

A partir dos valores característicos das tensões de rotura à compressão ou à tracção,

definem-se os valores denominados de dimensionamento ou de cálculo à rotura :

fcd = fcil.ck

γc , fctd =

fctk γc

com γc = 1.5(fckcil≈ 0.8 fck

cubos)

O valor médio da tensão de rotura do betão à tracção pode ser estimado pela

expressão:

fctm = 0.30 fck2/3

Nota: o valor de fcd é definido a partir da resistência em cilindros, dado que estes provetes são

mais representativos da resistência do betão em peças longas.



3.1.2. Módulo de elasticidade do betão

Na análise de estruturas é usual admitir um comportamento elástico, como atrás já

referido, considerando-se, em geral, o módulo de elasticidade secante do betão aos 28

dias de idade. Este módulo de elasticidade, tal como a figura seguinte indica,

encontra-se definido para σc = 0 e σc = 0.4 fck. Refira-se a propósito, que este tipo de

hipótese é adoptada, na prática da engenharia, com muita frequência, considerando-

se, posteriormente, formas mais ou menos directas de ter em consideração o efectivo

comportamento não linear do betão armado , quer em condições de serviço, quer,

por maioria de razão, próximo da rotura.

3.1.3. Valor característico da tensão de rotura do betão à compressão f c

A partir de um certo número de resultados de ensaios, é possível avaliar o valor

característico do betão.

Assim:

fck = fcm - λ Sn , Sn – desvio padrão das resistências das amostras

λ – parâmetro que depende do número de ensaios

n 6 10 15

λ 1.87 1.62 1.48

3.2. CARACTERIZAÇÃO DAS ARMADURAS

As armaduras a utilizar no betão estrutural podem dividir-se em:

fcm

σc

εc

Ec

0.4 fck



armaduras para betão armado

armaduras de pré-esforço

As primeiras são também denominadas de armaduras passivas, pois só são

solicitadas em resposta a acções exteriores.

As armaduras de pré-esforço são compostas por aços com capacidade resistente da

ordem de 3 a 4 vezes superiores às passivas e são chamadas de activas, pois são

traccionadas antes da actuação das solicitações exteriores.

Nestes elementos referem-se unicamente as primeiras pois o pré-esforço é introduzido

na disciplina de Estruturas de Betão II.

3.2.1. Classificação das armaduras para betão armad o

Os aços são classificados tendo em consideração o processo de fabrico, a rugosidade

da superfície e a sua capacidade resistente. Assim temos:

processo de fabrico

• aço natural (laminado a quente) (N)

• aço endurecido a frio (E)

aderência

• alta aderência (superfície rugosa ou nervurada) (R)

• aderência normal (superfície lisa) (L)

resistência

• (A235), A400, A500

O aço A235 foi utilizado na construção em Portugal, em geral com varões lisos, mas já

não é produzido actualmente.

As armaduras designam-se, assim, com a seguinte simbologia base:

Designação das armaduras: A500 N R SD

fyk aderência

processo de fabrico ductilidade especial

Os aços de dureza natural A400 NR e A500 NR produzidos em Portugal,

apresentam apenas duas famílias de nervuras – ver figura abaixo. Nos aços A400



todas as nervuras de uma família são paralelas ao passo que no A500 as nervuras

têm alternadamente inclinações diferentes, pelo menos de um dos lados.

A diferenciação, entre aços com ductilidade especial (SD), recomendados em zonas

sísmicas , e os correntes, é ilustrada na figura, sendo que, no essencial, os SD tem as

mesmas nervuras nas duas faces.

Tipo A400NR Tipo A500NR

Tipo A400NR SD Tipo A500NR SD

Identificação do tipo de aço

Os aços endurecidos a frio (E) são produzidos por laminagem com impressão de um

perfil nervurado, constituído por três famílias de nervuras dispostas em 3 planos.

As características resistentes dos aços serão referenciadas no Módulo 2.

BETÃO ARMADO E PRÉ


VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE

ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL DESPREZÁVEL

BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO I


MÓDULO 2




ESFORÇADO I



ÍNDICE

1. VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA À ROTURA POR FLEXÃO .. ................................................... 19

1.1. RELAÇÕES TENSÃO-EXTENSÃO DOS MATERIAIS PARA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS E.L. ÚLTIMOS 19

1.1.1. Betão ................................................................................................................................... 19

1.1.2. Aço ....................................................................................................................................... 20

1.2. ANÁLISE DA SECÇÃO. MÉTODO GERAL ........................................................................................... 21

1.3. MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR ........................................................................................... 22

1.3.1. Cálculo de MRd ..................................................................................................................... 22

1.4. RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES COM O AUMENTO DE ARMADURAS .................................................. 31

1.5. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES – GRANDEZAS ADIMENSIONAIS ........................................... 33

1.5.1. Método Geral ....................................................................................................................... 33

1.5.2. Método do Diagrama Rectangular Simplificado .................................................................. 35

1.5.3. Utilização de Tabelas .......................................................................................................... 36

1.6. ESTIMATIVA DO MOMENTO RESISTENTE ......................................................................................... 38

1.7. PARÂMETROS QUE INFLUENCIAM O VALOR DO MOMENTO RESISTENTE ............................................. 40

1.8. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS ........................................................................................... 41

1.8.1. Recobrimento das armaduras ............................................................................................. 41

1.8.2. Distância livre mínima entre armaduras (s) ......................................................................... 42

1.8.3. Agrupamentos de armaduras .............................................................................................. 43

1.8.4. Dobragem de varões ........................................................................................................... 44

1.8.5. Posicionamento das armaduras .......................................................................................... 44

1.8.6. Princípios a ter em atenção na pormenorização das armaduras ........................................ 45

1.9. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS EM VIGAS – ARMADURAS LONGITUDINAIS DE FLEXÃO .......................... 45

1.9.1. Quantidades mínima e máxima de armadura ..................................................................... 45

1.9.2. Armadura longitudinal superior nos apoios de extremidade ............................................... 46

1.10. DIMENSIONAMENTO DE SECÇÕES EM “T” ...................................................................................... 47

1.10.1. Largura efectiva ................................................................................................................. 47

1.10.2. Dimensionamento de secções em “T” por tabelas ............................................................ 49

1.10.3. Simplificação de secções para efeitos de dimensionamento à flexão simples ................. 50

2. INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO NÃO LINEAR DE ESTRUT URAS DE BETÃO .............. 56

2.1. - ANÁLISE ELÁSTICA SEGUIDA DE REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS ................................................... 56

2.2. - APLICAÇÃO DIRECTA DO CÁLCULO PLÁSTICO (TEOREMA ESTÁTICO) ............................................... 60


MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço

axial desprezável (vigas)

19

1. VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA À ROTURA POR FLEXÃO

Para a avaliação das capacidades resistentes das secções de betão à flexão, no

âmbito da filosofia de segurança em relação à rotura, começa-se por mostrar como se

caracterizam os comportamentos dos materiais a adoptar naquela avaliação.

Posteriormente, e a partir de hipóteses admitidas para a deformação da secção na

rotura, mostra-se como se avaliam os esforços resistentes de flexão.

1.1. RELAÇÕES TENSÃO -EXTENSÃO DOS MATERIAIS PARA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

AOS E.L. ÚLTIMOS

1.1.1. Betão

A partir da relação tensão-extensão característica do betão, apresentada no módulo 1,

é definida uma relação simplificada, com base numa parábola e num rectângulo com

um valor máximo de resistência, o qual é obtido do valor característico, pela aplicação

do correspondente coeficiente parcial de segurança de 1.5.

(Diagrama parábola rectângulo)

fcd = α fck γc

, γc = 1.5 0.8 ≤α≤ 1.0

para0≤εc≤εc2

σc = αfcd para εc2≤εc≤εcu2

Para as classes de resistência até C50/60,

εc2[‰] εcu2[‰] n

2.0 3.5 2.0

Na avaliação do valor de fcd, para além do coeficiente parcial de segurança, aparece o

coeficiente α. Este parâmetro tem em consideração a diminuição da tensão de rotura

do betão quando sujeito a tensões elevadas prolongadas. De facto, se o betão for

solicitado com constância, durante um certo período, a uma tensão um pouco inferior à

máxima (entre 85% a 100% de fc) acaba por atingir a rotura. De acordo, por exemplo,

com o REBAP, a tensão máxima no betão está limitada a 0.85 fcd, ou seja

considerando α = 0.85. No entanto, o EC-2 propõe, para casos correntes, 1.0 fcd, pois

nas condições de carregamento com persistência o betão estará, em geral, solicitado

εc

σc

fcd

εc2

fck

εcu2




20

a níveis de tensões bem inferiores às acima referidas, tendo-se considerado

demasiado penalizante tomar esse efeito na verificação da segurança à rotura. Na

disciplina, e na prática da engenharia em geral no futuro, tenderá a utilizar-se a

hipótese proposta no EC2. No entanto, e para já, o mais importante é perceber a razão

do sentido físico deste coeficiente.

1.1.2. Aço

Para a verificação da segurança aos E.L. Últimos pode ser considerada uma das duas

relações constitutivas indicadas pelo EC-2, e presentes na figura seguinte, i.e.,

considerando ou não (hipótese muitas vezes admitida como simplificação) algum

incremento de resistência a partir da cedência, quantificado pelo coeficiente k.

fyd = fyk γs

, γs = 1.15

εud = 0.9 εuk

Classe fyk

[MPa]

fyd

[MPa]

εyd

[×10-3]

A235

A400

A500

235

400

500

205

348

435

1.025

1.74

2.175

O valor da extensão máxima convencional do aço, εud (igual a 90% do valor

característico εuk), a considerar depende da classe de ductilidade das armaduras. No

quadro seguinte são indicados os valores característicos das extensões últimas, para

as diferentes classes de ductilidade, que são da ordem dos 25 a 75 ‰, portanto, muito

superiores aos do betão de 3.5 ‰.

Classe de

ductilidade A B C

k ≥1.05 ≥1.08 ≥1.15

<1.35

εuk [%] ≥2.5 ≥5.0 ≥7.5

Refira-se que o REBAP limita a 10‰ a extensão última convencional de

dimensionamento, εud, valor claramente inferior aos acima referidos. No entanto, uma

k fyk

f yd

1

ukyd

ykf

E =200 GPas

2s

sud

k fyd




21

vez que para este valor de extensão, o aço se encontra bem na cedência, as

repercursões em termos da avaliação das Capacidades resistentes à flexão, são

praticamente nulas, como se verá no sub-capítulo seguinte.

Em Portugal os aços são denominados por NR, ER ou NR SD, como referido no

módulo 1, onde é explicada a simbologia e a forma como se pode proceder à sua

identificação superficial. Para a construção corrente é normal utilizarem-se ferros NR,

sendo em zonas de maior sismicidade, a utilização de aços SD fundamental. Estas

classificações actuais dos aços em Portugal, correspondem às características de

ductilidade das classes B (NR) e C (NR SD) definidas no EC2 e acima mencionadas.

1.2. ANÁLISE DA SECÇÃO . MÉTODO GERAL

Hipóteses adoptadas na rotura convencional de dimensionamento

1- Apesar da complexidade do estado de deformação do betão armado, próximo da

rotura, a Hipótese de Bernoulli é considerada.

2- A situação última é atingida, quando se verifica uma das extensões últimas

seguintes:

- ε-c = 3.5‰ (Deformação máxima de encurtamento no betão)

- εs=εud(Deformação máxima de alongamento nas armaduras)

3- A participação do betão à tracção não é considerada:

- σc = 0 se εc> 0 ⇔o betão à tracção tem tensão nula

Com base nas relações constitutivas dos materiais e das hipóteses anteriores,

estabelecem-se as equações de equilíbrio na secção. Assim, se as expressarmos em

função das resultantes das tensões de tracção e compressão, tem-se:

LN

Fs

z MRd

Fc

x

(+)

(-)

εc ≤ 3.5‰

εs ≤ εud




22

Equações de Equilíbrio:

• Equilíbrio axial (Esforço axial nulo): Fs = Fc

• Equilíbrio de momentos: MRd = Fs × z

1.3. MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR

Neste método simplifica-se a forma de distribuição das compressões no betão e

despreza-se a participação do aço à compressão, o que permiteresolver as equações

anteriores, de forma simples.

Deste modo,

1.3.1. Cálculo de M Rd

Se forem conhecidos a geometria da secção, a quantidade de armadura e as

resistências dos materiais, a avaliação da capacidade resistente segue os seguintes

passos (trata-se um problema dito de análise pois a secção e armaduras estão

totalmente definidas):

i) Admitir que σs = fyd (εs ≥ εyd), ou seja, que as armaduras estão em cedência

ii) Determinar posição da linha neutra

Por equilíbrio axial, Fc = Fs ⇔ fcd Ac (x) = As fyd ⇒ x = ?

iii) Calcular o momento resistente

Por equilíbrio de momentos, MRd = As fyd (d - 0.4x)

0.8xx ≅

fcdfcdεc

(-)

α α

fcd

σc

−3.5‰ εc−0.7‰

σ

εs

εc

Fs

z = d - 0.4x

x (-)

(+)

Fc

LNd

fcd

0.8x0.4x

α




23

iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: εs ≥ εyd

Rotura convencional: εc = 3.5‰ ou εs = εud

A partir da posição da linha neutra anteriormente calculada, se

admitirmos que a rotura se dá pelo betão, obtém-se a

extensão ao nível da armadura.

• Se εs ≥ εyd ⇒ a hipótese considerada inicialmente, de admitir o aço em cedência

está correcta.

• Se εs < εyd ⇒ Fs < As fyd, trata-se de uma situação não desejável pois nem se

estaria a tirar partido da resistência máxima do aço.

A posição da Linha Neutra para essa situação limite pode ser avaliada para os aços

A400 e A500 por:

Posição da LN para εc = 3.5 ‰ e εs = εyd (início da cedência do aço)

A400: εyd = 1.74 ‰

x3.5 =

d3.5 + 1.74⇒x = 0.67 d

A500: εyd = 2.175 ‰

x 3.5 =

d 3.5 + 2.175 ⇒x = 0.62 d

Deste modo, se x ≤ 0.67 d no caso de se utilizar aço A400, ou se x ≤ 0.62 d no

caso de se utilizar aço A500, pode se concluir logo que o aço está em cedência.

Por outro lado, conhecida a posição da Linha Neutra, é possível confirmar se a rotura

convencional se dá pelo betão. Exemplifica-se, seguidamente, para aços das classes

B (NR) e C (NR SD).

εc = 3.5‰

(+)

(-)

εs

x

dx

εs=εyd

(+)

(-)

c = 3.5‰




24

Para um aço de Classe C: Posição da LN para εc = 3.5‰ e εud = 0.9 × 75‰ =

67.5‰

x 3.5 =

d 71⇒ x = 0.05 d

Deste modo,

se x < 0.05 d (situação pouco corrente)⇒εc< 3.5‰

εs = εud (rotura pela armadura)

se x > 0.05 d ⇒εc = 3.5‰

εs < εud (rotura pelo betão)

Se tratasse de um aço de Classe B ter-se-ia para este limite x = 0.072 d

Constata-se, assim, que, para uma grande gama de possíveis posições da Linha

Neutra, a rotura convencional dá-se pelo betão e o aço está em cedência. Esta

diferenciação (rotura convencional pelo aço ou betão), nem é importante pois de

qualquer maneira a capacidade máxima do aço é explorada.

No entanto, é importante no dimensionamento das secções de betão armado controlar

melhor a posição da Linha Neutra por uma razão essencial: Um elemento de betão

armado deve apresentar ductilidade em situação de rotura, i.e., deve poder evidenciar

deformações apreciáveis por cedência das armaduras, sem perda de capacidade

resistente. Esta característica é fundamental nas estruturas e, para tal, é importante

assegurar valores x/d limitados, pois verifica-se, experimentalmente, que aquele é um

parâmetro que influencia directamente a ductilidade do elemento.

A Ductilidade ou Capacidade de Deformação Plástica das Secções é medida pela

relação (1/R)u/(1/R)y, i.e., a relação entre as curvaturas última e de cedência, como

ilustrado na figura seguinte e referido,anteriormente, no Módulo 1.

x

εc = 3.5‰

(-)

(+)

εud

d




25

1 R = -

εcx x

Para garantir um nível mínimo de ductilidade disponível deve procurar garantir-se

que, pelo menos, x ≤≤≤≤ 0.4 a 0.5 d, portanto com x/d claramente na zona de cedência do

aço.

É importante referir que no dimensionamento à rotura dos elementos estruturais se

deve sempre avaliar as vertentes de resistência e de ductilidade .

A situação mais corrente com que o engenheiro se defronta na prática, depois de ter

feita a análise estrutural, ter avaliado a distribuição de esforços actuantes, ter defenido

uma geometria para a secção e escolhido os materiais, é a de querer avaliar a

quantidade de armadura a considerar para verificar a segurança (trata-se um problema

dito de dimensionamento .

Dimensionamento das armaduras:

Dados: geometria da secção, fcd, fyd, Msd

i) Admitir que σs = fyd (εs ≥ εyd), ou seja, que as armaduras estão em cedência

ii) Determinar posição da linha neutra

Por equilíbrio de momentos, Msd = Fc × z = αfcd b 0.8 x (d - 0.4x) ⇔ x = ... ⇒ Fc = ...

As2 As3 As4< < <

(εc≈ 3.5‰) ou(εc = εud)

As1

MRd

y( )R/1

(1) As1 (x1;εs1;maior ductilidade)

As2 (x2;εs2)

u1/R( ) ( )R/1

As3 (x3;εs3)As4 (x4;εs4;menor ductilidade)

εs=εsyd

(2)

(1)

(2) Rotura da secção por esmagamento do betão comprimidomenos correntemente, por deformação de armaduras

(+)

(-) x

εcx = -3.5‰

εsAs

1R

0.8x

fcd

d

LN

Fcx

z

Fs

Msd

As

b




26

iii) Calcular a área de armadura necessária

Por equilíbrio axial, Fc = Fs ⇔ αfcd b 0.8x = As fyd ⇒ As= ?

iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: εs ≥ εy




27

Exercício 2.1

Considere a viga representada na figura seguinte e adopte γG = γQ = 1.5

Materiais: C25/30 (fcd = 16.7MPa)

A400 (fyd = 348MPa)

Calcule a máxima sobrecarga q que pode actuar com segurança sobre a viga.

Resolução

Método do diagrama rectangular simplificado

1. Cálculo do MRd

Equações de equilíbrio (flexão simples)

ΣF = 0 ⇔ Fc = Fs (1)

ΣM = 0 ⇔ MRd = Fs × z = Fs × (d - 0.4x) (2)

(Este exercício está resolvido com α = 0.85)

Fc = 0.8x × b × 0.85 fcd = 0.8x × 0.30 × 0.85 × 16.7 × 103 = 3406.8x

Fs = As × fyd = 9.42 × 10-4 × 348 × 103 = 327.8kN (As(3φ20) = 9.42cm2)

q

5.00

0.55

0.303φ20

0.4x0.8x

0.85 fcd

d

LN

Fcx

z

Fs

MRd




28

(1) Fc = Fs⇔ x = 327.8

3406.8 = 0.096m ⇒ z = d – 0.4x = 0.55 – 0.4 × 0.096 = 0.51m

(2) MRd = Fs × z = 327.8 × 0.51 = 167.2kNm

Verificação da hipótese de cedência do aço (εs ≥ εyd)

εs 0.454 =

3.5‰ 0.096 ⇒εs = 16.6‰>>εyd

εyd = fyd εs

= 348

200×103 = 1.74‰

xd =

0.0960.55 = 0.175

Ductilidade da secção (como critério mínimo é desejável que x/d ~ (0.4 a 0.5) ou,

equivalentemente, εs >~ 4‰ a 5‰,

3. Cálculo da sobrecarga máxima (Msd ≤ MRd)

Msd = psd× L2

8 ≤ 167.7kNm ⇒ psd ≤ 8 × 167.7

52 = 53.7kN/m

psd = 1.5 (g + q) ⇒q = 53.7 1.5 - 0.30 × 0.60 × 25 = 31.3kN/m

0.454

εs

(+)

(-)

c = 3.5‰

0.096

0.55




29

Considere a estrutura da figura seguinte:


Acções:

Peso próprio

Revestimento = 2.0kN/m2

Sobrecarga = 3.0kN/m2


γG = γQ = 1.5


ψ1 = 0.4 ;ψ2 = 0.2

Secção da viga: 0.30 × 0.85m2


a) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão

da viga (Secções S1 e S2)

a.1) utilizando o método do diagrama rectangular simplificado

a.2) Fs × z

a.3) com recurso a tabelas

a.4) pormenorize as armaduras de flexão

4.00 4.00 4.004.00

10.00

3.00

S2

S1




30


ALÍNEA A )

1. Modelo de cálculo:

2. Envolvente do diagrama de esforços

ALÍNEA A .1)

Secção S2 (M +sd = 660.2 kNm)

Resolução com α = 0.85:

Fc = 0.85 fcd × 0.8x × b = 0.85 × 16.7 × 103 × 0.8x × 0.3 = 3406.8x

Fs = As × fyd = As × 348 × 103

Equilíbrio de momentos:

ΣMAS = Msd ⇔ 3406.8x × (0.8 - 0.4x) = 660.2 ⇔ x = 0.282m

⇒Fc = 3406.8 × 0.282 = 960.7kN

Equilíbrio de forças:

Fs = Fc ⇔ As × 348 × 103 = 960.7 ⇔ As = 960.7

348×103 × 104 = 27.6 cm2

10.00 3.00

S2 S1

g, q0.85

0.30

660.2

(+)

DMF[kNm]

(-)

272.0

S2

S1

0.30

As

Msd

Fs

z

Fc

0.85 fcd

0.8xLN

x

0.80




31

Verificação da hipótese de cedência do aço

Admitindo que εc = 3.5‰

εc = 3.5‰εs

= 0.2820.518⇒εs = 6.43‰ > εyd = 1.74‰

xd = 0.35

∴ A armadura está em cedência e a secção tem um nível de ductilidade aceitável.

Secção S1 (M -sd = 272.0 kNm)

Equilíbrio de momentos:

ΣMAS=Msd⇔3406.8x×(0.8–0.4x)=272.0⇔x=0.105m⇒Fc=357.7kN

Então x/d = 0.13 ⇒ Bom em termos de ductilidade disponível

Equilíbrio de forças

Fs = Fc ⇔ As × 348 × 103 = 357.7 ⇔ As = 357.7

348×103 × 104 = 10.28cm2

Verificação da hipótese de cedência do aço

Admitindo que εc = 3.5‰ tem-se: εs

3.5‰ = 0.6950.105 ⇒ εs = 23.2‰ >>εyd

1.4. RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES COM O AUMENTO DE ARMADURAS

Na figura seguinte apresentam-se os diagramas de deformação de uma secção de

betão armado, para quatro áreas de armadura distintas (área de armadura crescente).

0.282

0.518

εs

εc = 3.5‰

(-)

(+)

Msd

0.8xFc

FsAs

0.30

0.80

x

LN

0.85 fcd

z




32

Apresentam-se, em seguida, as relações constitutivas do aço e do betão, com

indicação qualitativa da evolução das tensões e extensões dos dois materiais, com a

variação da armadura.

Conforme se pode observar na figura seguinte, para baixos níveis de armadura, existe

proporcionalidade entre a área de armadura e o momento resistente da secção. À

medida que a quantidade de armadura aumenta, esta relação deixa de ser linear, ou

seja, o aumento da armadura traduz-se em acréscimos menores de momento

resistente. Este comportamento deve-se à sucessiva diminuição do braço do binário

(z) com o aumento da área de armadura, até que a armadura deixa de poder estar em

cedência (caso 4) e, portanto, o aumento de armadura perde toda a eficiência.

x1

MRd

As εs

(+)

(-)

εc

MRd,1

(As muito pequeno) (As maior)

x2

MRd,2

εc

(-)

(+)

εs

< <

(...)

x3

MRd,3

εs

(+)

(-)

εc

(...)

MRd,4

x4

εc

(-)

(+)εs

<

1 2 3 4

α fcd

σc

εsyd εud εs

σs

fsyd

−2‰ −3.5‰ εc

43 e2

1

e1 23

4

321

MRd

As4

M1

M2

M3

M4




33

1.5. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES – GRANDEZAS ADIMENSIONAIS

1.5.1. Método Geral

Fc = ψfcd b x

Fs2 = σs2 As2

Fs1 = σs1 As1

ψ fcd = ⌡⌠

Ac σc dA

bx ; λx = ⌡⌠ σc y dA

⌡⌠ σc dA

ψ – coeficiente que define a relação da resultante das tensões de compressão no

betão pela força de uma compressão uniforme com fcd, em toda a zona comprimida.

λ – coeficiente que define a posição da resultante das tensões de compressão no

betão, função de x.

Equações de Equilíbrio

• Equilíbrio axial: Fc = Fs ⇔ ψ fcd bx + σs2 As2 = σs1 As1 (1)

• Equilíbrio de momentos: ΣMAs = M ⇔ M = ψ fcd b x (d - λx) + σs2 As2 (d - d2) (2)

(Equações não lineares)

Cálculo por iterações

i) Fixar εc = 3.5‰ e um valor de x (por exemplo, tal que, xd = 0.5)

ii) Calcular as forças axiais F

• Se |Fc + Fs2| > Fs1 ⇒

(a LN tem de subir para diminuir FC, tendo uma das

extensões, εεεεc ou εεεεs, o valor máximo e, a outra, um

valor igual ou inferior ao limite .

É necessário diminuir o valor de x até que ΣF = 0

εs1

εc

(-)

(+)

xFc

M

Fs1

LN

εs2

As1

As2d2

d

Fs2 λx

b

σc

εs≤εud

d

x

εc ≤ 3.5‰

(-)

(+)




34

• Se |Fc + Fs2| < Fs1⇒

(a LN tem de baixar para aumentar Fc)

É necessário aumentar o valor de x até que ΣF = 0.

ii) Calcular MRd

Definida a posição da LN e o diagrama de extensão, calculam-se as tensões e o

valor de MRd

Nota: Este é um processo de cálculo moroso. Na prática recorre-se a programas de

cálculo automático ou a tabelas de cálculo.

Para elaborar tabelas é necessário trabalhar com grandezas adimensionais ,

por forma a que sejam aplicáveis a secções com qualquer geometria.

1.5.1.1. Grandezas adimensionais

Equações de Equilíbrio

• ψ fcd bx = σs1 As1 - σs2 As2 (1)

• M = ψ fcd b x (d - λx) + σs2 As2 (d - d2) (2)

Substituindo (1) em (2),

M = σs1 As1 (d - λx) - σs2 As2 (d - λx) + σs2 As2 (d - d2)

= σs1 As1 (d - λx) + σs2 As2 (λx - d2) (3)

Considerando As2 = β As1 e σs = fyd, a equação (3) toma a forma

M = As1fyd d

1 - λ

x d + β As1fyd d

λ

x d -

d2 d

Transformando esta equação numa forma adimensional (dividindo todos os termos por

b d 2fcd), resulta

M b d2 fcd

= As1 fyd b d fcd

1 - λ

x d + β

As1 fyd b d fcd

λ

x d -

d2 d ⇔

⇔ µ = ω (1 – λk) + βω

λ k -

d2 d

x

εs

εc = 3.5‰

(+)

(-)




35

Definem-se, assim, os parâmetros µ, w e k, de uso corrente na concepção e

dimensionamento de estruturas de betão:

µ = M

b d2 fcd (Momento flector reduzido);

ω = As1 fyd b d fcd

(Percentagem mecânica de armadura)

k = x d (Posição da L. Neutra adimensional)

1.5.2. Método do Diagrama Rectangular Simplificado

1.5.2.1. Grandezas adimensionais

MRd = Fs × z = Fs (d - 0.4x)

Admitindo que o aço está na cedência, MRd = As × fyd (d - 0.4x)

Transformando a equação anterior numa forma adimensional, resulta

MRd

b d2 fcd =

As fyd

b d fcd

1 - 0.4

xd =

As

b d fyd

fcd

1 - 0.4

xd ⇔µµµµRd = ωωωω (1 - 0.4k)

µRd = MRd

b d2 fcd (momento flector reduzido); k =

x d

ω = As b d

fyd fcd

(percentagem mecânica de armadura)

Fc = Fs⇔0.8 ⋅ (kd) ⋅ b⋅αfcd=Asfyd⇔k = 1.47 As

b d fyd

αfcd = 1.47 ω(α =0.85)085).85)

Visto que µRd = ω (1 - 0.4k) e substituindo o resultado anterior, obtém-se a seguinte

expressão para cálculo do momento flector reduzido em função da percentagem

mecânica de armadura:

µRd = ω (1 - 0.588 ω )

α

b

Fc

MRd

Fs

x

(+)

(-)

εc

εs

d

As

LN

0.4x

z

0.8x




36

1.5.3. Utilização de Tabelas

As tabelas podem ser utilizadas para:

i) Determinar o momento resistente de uma secção, dadas as armaduras;

ii) Determinar as armaduras, dado o momento solicitante

1.5.3.1. Determinação da capacidade resistente (Análise )

Dado As1 e As2 determina-se ω e βTabelas

→(β,ω)

µ → MRd = µ b d2fcd

1.5.3.2. Dimensionamento de armaduras

Dado Msd determina-se µ=Msd

b d2 fcd

Tabelas →

(µ,β) ω1 → As1 = ω1 bd

fcd

fyd → As2 = β As1

Refira-se que as tabelas da disciplina foram desenvolvidas para α = 0.85

Notas:

(i) No dimensionamento de uma secção, a posição da L.N. deve ser controlada por

forma a que se tenha a garantia de um nível de ductilidade adequado.

Caso isso não aconteça, será conveniente dispor de armaduras de compressão

específicas ou modificar a secção da viga (aumentar a altura é mais eficiente que

adaptar a largura, no entanto, na prática do projecto, a altura está muitas vezes mais

condicionada).

(ii) Numa viga, existe, de qualquer forma, sempre armadura de compressão, por

razões construtivas, em geral, com um nível não inferior a β = 0.1.

Directamente através dos valores adimensionais do momento (µ), e não considerando

o papel da armadura de compressão, é possível ter, para uma dada secção, uma

noção do nível de esforço actuante e da potencial ductilidade.

Momento elevado ⇒ k próximo de 0.668 (A400) ⇒ εs próximo de εyd

µ 0.30 (secção pouco dúctil)

Momento médio ⇒ k< 0.5 (secção dúctil, dimensionamento adequado)

µ ≅ 0.10 a 0.25

Momento pequeno ⇒ µ ≤ 0.10 (situação aceitável, a secção estará “folgada”)




37

IMPORTANTE: Estes valores devem ser tomados como referência para um

dimensionamento adequado e não como imposições regulamentares ou outras. Por

exemplo, é possível ter valores de µ mais elevados e ter-se, ainda, um nível de

ductilidade adequado, com utilização de armadura de compressão .

No quadro seguinte, e para a flexão simples, apresentam-se as relações de

dimensionamento ω - µ relativas à aplicação do REBAP (α = 0.85) e do EC2 (α = 1)

com relações constitutivas dos aços de acordo com as Classes A, B e C.

Verifica-se que as diferenças nos valores resistentes são pouco significativas, sendo a

maior entre o REBAP (linha inferior) e o EC2, tomando a classe de aço C com k = 1.35

(linha superior).

As diferenças mais importantes são devidas à consideração do aumento da resistência

do aço para além da cedência (coeficiente k). Refira-se que na prática seria sempre

desajustado tomar para o aço C um valor superior a k = 1.15 pois, havendo a

possibilidade deste variar entre 1.15 e 1.35, ter-se-ia que tomar, sempre, o menor.

O facto de se adoptar para o betão o coeficiente α 0,85 (em vez do 1), só tem

influência relevante para esforços elevados, pois aí começa a ter alguma influência a

diminuição do braço das forças, devido ao aumento da zona das compressões.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

ωωωω

µµµµ

EC2 - k=1,00EC2 - Classe A - k=1,05EC2 - Classe B - k=1,08EC2 - Classe C - k=1,15EC2 - Classe C - k=1,35REBAP




38

1.6. ESTIMATIVA DO MOMENTO RESISTENTE

Para momentos de ordem de grandeza pequena a média verifica-se que, para

secções rectangulares, é razoável admitir, de umas forma simplificada : z ≅≅≅≅ 0.9 d.

M = Fs×z≅ Asfyd 0.9 d ⇒ As = M

0.9 d fyd

De facto, pela observação das tabelas de flexão simples (pág. 9), com β = 0, verifica-

se que:

• para µ = 0.15, z ≅ (1 - 0.4 k) d = (1 - 0.4 x 0.247) d = 0.9 d

• para µ < 0.15, z > 0.9 d, portanto a hipótese anterior é conservadora para o

dimensionamento da armadura.

• para µ > 0.15, z < 0.9 d, então a hipótese referida, com pouca armadura de

compressão, pode ser menos conservadora. No entanto, mesmo para um valor

de µ da ordem de 0.25 e para um β = 0.4 tem-se também k = 0.247, e, por

conseguinte, z ≅ 0.9 d.

CONCLUSÃO IMPORTANTE:

Verifica-se, assim, que dentro da gama de valores de momentos, correntemente

recomendados e utilizados na prática, esta hipótese simplificativa permite uma rápida

e eficiente estimativa dos momentos flectores resistentes.

Para a resolução de problemas em geral e para a prática de projecto, formas simples

de avaliação e controlo de resultados são de inestimável valor.

d

Fc

Mz

FsAs




39

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.2 (CONT.)

ALÍNEA A .3)


µ = Msd

b d2 fcd=

660.20.3×0.82×16.7×103 = 0.206 ⇒ ω = 0.241; k = 0.351

As = ωbd fcd fyd

= 0.241 × 0.30 × 0.80 × 16.7 348 × 104 = 27.76 cm2


µ = 272.0

0.3 × 0.82× 16.7×103 = 0.085 ⇒ ω = 0.091; k = 0.163

As = ωbd fcd fyd

= 0.091 × 0.30 × 0.80 × 16.7 348 × 104 = 10.48cm2

ALÍNEA A .2)

Fs = As× fyd

z ≅ 0.9d⇒ M ≅ 0.9 d fyd As⇒As =

M 0.9 d fyd

M+sd = 660.2kNm ⇒ As =

660.2 0.9 × 0.8 × 348×103 × 104 = 26.34cm2

M -sd = 272.0kNm ⇒ As =

272.0 0.9 × 0.8 × 348×103 × 104 = 10.86cm2




40

1.7. PARÂMETROS QUE INFLUENCIAM O VALOR DO MOMENTO RESISTENTE

Armadura de tracção

O momento resistente é quase proporcional à área de armadura, para momentos não

muito elevados. Para momentos elevados, a variação é menos significativa.

Armadura de compressão

A influência da armadura de compressão no valor do momento resistente, apenas é

importante para esforços elevados. Para o nível de esforços usuais, a variação é

pouco significativa.

Largura da secção

A influência da largura da secção no valor do momento resistente, apenas é

importante para esforços elevados. Para esforços habituais, em que geralmente a área

comprimida é limitada, a variação é pouco significativa.

z

As Fs

MRd

Fc

2Fs

< z

2Fc

2As

As1

Fc

z

Fs1

Fc

MRd

Fs1

>z

As1

As2Fs2

FcFc

>z

Fs

z

As Fs

MRd

As




41

Classe do betão

A influência do aumento da classe do betão tem uma influência equivalente à dos

parâmetros anteriores, largura da secção e/ou armadura de compressão, portanto só

se torna importante para esforços mais significativos, aliás de uma forma equivalente

ao facto de se considerar ou não o coeficiente α = 0.85.

1.8. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS

Armaduras principais: Asseguram a resistência do elemento estrutural relativamente à

segurança à rotura (não só de flexão, como vimos neste sub-capítulo, mas também

ao outros efeitos) e contribuem para assegurar um comportamento adequado nas

condições de serviço , como vamos ver noutro Capítulo do curso.

Armaduras secundárias: Têm como função ajudar a rigidificar as malhas de

armaduras , para a sua colocação em obra, assegurando o posicionamento correcto e

estável das armaduras durante a betonagem.

φest = 6 ou 8 mm (o diâmetro de 6 é muito pouco

utilizado em obras de média ou alta dimensão)

10 a 12 mm (para vigas mais importantes)

φlong = 12 a 16 mm (para vigas menos solicitadas)

= 20 a 25 mm (para vigas mais robustas)

c – recobrimento

Obtém-se como estimativa da altura útil:

Altura útil : d = h - c - φest - φlong

2

1.8.1. Recobrimento das armaduras

O recobrimento das armaduras desempenha as seguintes funções:

Fc

MRd

FsFsAs

z >z

Fc

As

d

b

h

s c




42

(i) mecânica: Destina-se a garantir que há betão suficiente a envolver a armadura, e

assim garantir a sua aderência por forma a que se verifique uma eficiente transmissão

de forças entre o betão e o aço (c ≥ φ ou φeq)

(ii) durabilidade: protecção contra a entrada dos agentes agressivos e

consequentemente dificultando que o processo de corrosão das armaduras se possa

verificar (recobrimento definido em função da agressividade do ambiente de exposição

e da compacidade do betão)

(Consultar Módulo 6 – Apontamentos Complementares)

1.8.2. Distância livre mínima entre armaduras (s)

A distância livre entre armaduras deve ser suficiente para permitir realizar a

betonagem em boas condições, assegurando-lhes um bom envolvimento pelo betão e

as necessárias condições de aderência e protecção.

No caso de armaduras para betão armado, temos, em termos regulamentares os

seguintes valores:

smin = φmaior, φeq maior, (dg + 5 mm), 2 cm

onde dg representa a máxima dimensão dos inertes.

No entanto, se estes são valores mínimos, deve-se projectar, pretendendo

espaçamentos com folga em relação a estes.

A distância livre entre uma camada de armaduras longitudinais numa viga, igualmente

espaçadas, pode ser calculada pela expressão:

s = b - 2c - 2φest - n ×φlong

n - 1 , n – número de varões

É necessário, na pormenorização garantir que a distância entre varões assegura o

espaço necessário para introdução do vibrador do be tão (aconselhável: 4 a 5 cm

junto à face inferior e 7 a 10 cm junto à face superior). Nalguns casos, em particular na

face superior é normal que não se adoptem espaçamentos iguais entre ferros para

assegurar este objectivo.

Nas figuras seguintes apresentam-se dois exemplos de pormenorização de uma viga

que dá apoio na parte superior a uma laje, nas zonas mais solicitadas à tracção nas

faces inferiores (vão) e superiores (apoio).




43

1.8.3. Agrupamentos de armaduras

Os agrupamentos de armaduras devem ser evitados sempre que possível, dado que

prejudicam a aderência aço/betão. No entanto, se essa for a forma de garantir uma

malha muito apertada de ferros é, sem dúvida, uma solução justificável.

Regulamentarmente definem-se algumas restrições aos agrupamentos. Assim:

O agrupamento de varões com diâmetros diferentes pode ser adoptado desde que o

quociente dos diâmetros não exceda o valor 1.7.

Relativamente ao número máximo de varões que é possível agrupar, temos:

- Para o caso de armaduras verticais comprimidas ou numa zona de emenda de

varões, n ≤ 4

- Em todos os restantes casos, n ≤≤≤≤ 3

Em qualquer direcção não pode haver mais que 2 varões em contacto.

O diâmetro equivalente de um agrupamento pode ser calculado pela expressão

φeq = Σφ2i ≤ 55mm

Exemplos:

(mais indicado)

(aceitável)

(desaconselhável)

Evidentemente que soluções que incluam varões isolados e outros agrupados são

possíveis, tentando sempre seguir as indicações gerais referidas, em especial, não

dificultar a betonagem e o bom envolvimento das armaduras pelo betão.




44

1.8.4. Dobragem de varões

Em muitas situações as armaduras têm de ser dobradas, como as armaduras

longitudinais nas extremidades das vigas e, em geral, as armaduras transversais.

Condições a satisfazer:

- Não afectar a resistência do aço;

- Não provocar o esmagamento ou fendilhação do betão quando a armadura for

traccionada.

O diâmetro mínimo de dobragem para não afectar a resistência do aço depende, no

essencial, do diâmetro do varão e são indicados no quadro seguinte do EC2. Estes

valores são considerados mínimos havendo que ter precauções complementares no

que diz respeito ao risco de esmagamento e de fendilhação inconveniente do betão,

em particular se as dobragen se verificarem junto à superfície da peça, como indicado

com detalhe, por exemplo, no EC2.

Quadro – Diâmetro mínimo do mandril a fim de evitar danificar a armadura

Diâmetro do varão Diâmetro mínimo do mandril para

cotovelos, ganchos e laços

φ≤ 16 mm 4φ

φ> 16 mm 7φ

1.8.5. Posicionamento das armaduras

O posicionamento das armaduras, antes da betonagem, é assegurado pelos seguintes

elementos:

Espaçadores – garantem o recobrimento das armaduras

Cavaletes – garantem o correcto posicionamento das armaduras superiores nas

lajes

c

h




45

Varões construtivos (armaduras secundárias) – Colocados de tantos em tantos

metros (dependente da rigidez do ferro em causa) garantem o espaçamento

vertical dos varões longitudinais principais, durante a betonagem.

1.8.6. Princípios a ter em atenção na pormenorizaçã o das armaduras

A escolha do tipo de pormenorização no que respeita ao número de varões e

diâmetros a adoptar deve ter em atenção os seguintes factores, que apontam,

eventualmente para opções contraditórias:

- custo da mão de obra ⇒ menor número de varões

- facilidade de betonagem ⇒ menor número de varões

- liberdade de dispensa ⇒ maior número de varões

- mais eficiente limitação da fendilhação ⇒ maior número de varões

Na pormenorização das armaduras longitudinais das vigas só os três primeiros

aspectos são significativos, havendo que ganhar experiência e ter bom senso nas

escolhas, sendo certo que não há que procurar a solução óptima, mas sim uma BOA

SOLUÇÃO.

1.9. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS EM VIGAS – ARMADURAS LONGITUDINAIS DE FLEXÃO

1.9.1. Quantidades mínima e máxima de armadura

A quantidade mínima de armadura a adoptar numa viga, neste caso definida no EC2,

é dada pela seguinte expressão:

As,min = 0.26 fctm

fyk bt⋅ d

onde bt é definida, como sendo a largura média da zona traccionada em flexão.

Esta quantidade de armadura tem a ver com a necessidade de assegurar um mínimo

de robustez aos elementos de betão armado, em especial garantir, com uma certa

reserva, que, ao se dar a fendilhação, a quantidade de armadura é suficiente para




46

reter as tracções que se libertam do betão sem cedê ncia do aço , garantindo um

comportamento dúctil.

Chama-se, desde já a atenção para que, numa viga em T, com banzo traccionado é

mais prático separar, por um lado, a alma , com a sua largura, bw, ou, se esta for

variável, com seu valor médio, para aplicar a expressão anterior e, por outro lado, os

banzos , como elementos traccionados, com uma armadura mínima, a distribuir nas

duas faces do banzo, tal que;

As × fsy k > Ac,banzo × fctm, ou seja As,min = Ac,banzo × fctm/fsyk

A questão da armadura mínima, como forma de controlar a fendilhação, em termos do

comportamento em serviço, para situações de efeitos de deformações impostas, será

retomado no Módulo 4.

A quantidade máxima de armadura a adoptar, fora das secções de emenda, é dada

em termos regulamentares por:

As,máx = 0.04 Ac

onde Ac representa a área da secção de betão.

No entanto, em termos práticos, esta limitação tem pouca relevâ ncia , pois os

critérios de dimensionamento à rotura atrás apresentados, com limitação dos valores

de momento reduzido e posição da linha neutra (garantia de ductilidade) conduzem a

quantidades de armadura bastante inferiores.

1.9.2. Armadura longitudinal superior nos apoios de extremidade

Sempre que existir ligação monolítica entre uma viga e um pilar de extremidade, e

caso esta ligação não tenha sido considerada no modelo de cálculo, deverá adoptar-

se uma armadura superior dimensionada, pelo menos, para um momento flector igual

a 15% do momento flector máximo no vão.

Deste modo,

As,apoio–

= máx As,min, 0.15 As,vão+




47

1.10. DIMENSIONAMENTO DE SECÇÕES EM “T”

1.10.1. Largura efectiva

1.10.1.1. Definição

No dimensionamento de vigas com banzos ou com ligação a lajes, pode tirar-se

partido da existência dos banzos, principalmente se se situarem na zona comprimida

da secção.

Neste caso, a distribuição de tensões no banzo não é uniforme: as zonas laterais

deformam-se menos que a zona central da alma (devido à deformação por corte) –

efeito de “shearlag”, tal como se pode observar na planta e corte ilustrados de

seguida.

Simplificadamente, considera-se uma largura efectiva (bef) onde se admite que a

distribuição de tensões é uniforme

b1 b2bw

h f

d0

Fc

ε

M

σx,max

bef




48

1.10.1.2. Cálculo da largura efectiva

(i) Banzo comprimido

Para o caso genérico apresentado na figura anterior, a largura efectiva pode ser obtida

através da expressão:

bef = Σbefi + bw≤ b

Temos, assim, a largura da alma e um valor complementar de cada lado, tal que:

befi = 0.2 bi + 0.1 L0 ≤ 0.2 L0, com befi ≤ b

L0 representa a distância entre pontos de momento flector nulo e pode ser

avaliado por:

Evidentemente que, em termos práticos é possível simplificar esta avaliação, desde

que se estime um valor inferior, pois é conservativo e pouco significativo em termos do

resultado.

(ii) Banzo traccionado

No caso de se tratar de um banzo traccionado, é proposto tomar, para além da alma

da viga, uma largura função da espessura do banzo dada por 4hf (hf – espessura do

banzo) em que as armaduras de tracção podem ser distribuídas. No entanto, se for

possível, em termos de pormenorização, uma solução com todas as armaduras de

cálculo na largura da alma é preferível. De qualquer maneira, deve se procurar sempre

ter pelo menos, 50 a 60 % da armadura de cálculo na alma.

bw

hf

bef

bef1 bef2

b1b1 b2 b2

b

0.7 L2

L2

L0 ≈ L1+0.15L2

L1 L3

0.15(L2+L3) 0.85 L3




49

1.10.2. Dimensionamento de secções em “T” por tabel as

Exemplo:

b bw = 5 ;

hf d = 0.125

b bw = 4

hf/d = 0.10 → ω1

ωa

ω

hf/d = 0.15 → ω2

b bw = 6

hf/d = 0.10 → ω3

ωb

hf/d = 0.15 → ω4

Casos particulares:

Dado que se considera que o betão não resiste à tracção, o dimensionamento de uma

secção em “T” pode ser efectuado como se esta se tratasse de uma secção

rectangular nos seguintes casos:

(i) se a linha neutra estiver no banzo, caso este esteja comprimido (acontece na

generalidade dos casos) – secção rectangular de largura bef;

(ii) se a linha neutra estiver na alma e o banzo estiver traccionado – secção

rectangular de largura bw

bef

bw

LN

As

M

Fs

Fc

As

LN

bef

M

Fc

Fs

M

As

LN

bw

bef

Fc

Fs

Fc

bw

Fs

LN

As

M




50


ALÍNEA B )

Dimensionamento das armaduras considerando a contribuição da laje – Viga em “T”

hf = 0.15 m

h = 0.85m

bw = 0.30m

bef = Σbefi + bw = 1.22 × 2 + 0.30 = 2.74 m

bef1 = 0.2 b1 + 0.1 L0 = 0.2 × 3.72 + 0.1 × 0.85 × 10 = 1.22 m ≤ 1.7m

0.2 L0 = 0.2 × 0.85 × 10 = 1.7 m

Hipóteses para o dimensionamento da secção:

(i) Se a L.N. estiver no banzo da secção, o dimensionamento pode ser efectuado como

se a secção fosse rectangular, de largura bef.

(ii) Se a L.N. estiver na alma da secção, o dimensionamento terá de ser efectuado com

base em tabelas de secção em “T” (ou recorrendo ao método do diagrama rectangular

simplificado).

Para verificar se a L.N. está no banzo,

MSd = 660.2kNm ⇒ µ = 660.2

2.74×0.82×16.7×103 = 0.023 ⇒ k = 0.076

x = k × d = 0.076 × 0.8 = 0.06 m < 0.15 m ⇒ a LN está no banzo

µ = 0.023 ⇒ ω = 0.024 ⇒ As = ω b d fcd

fyd = 0.024 × 2.74 × 0.8 ×

16.7348 × 104 = 24.77cm2

1.10.3. Simplificação de secções para efeitos de di mensionamento à flexão

simples

1) Secção real

bw

bef

h f

h




51

⇔

2) Secção real

⇔

3) Secção real

⇔

Secções a considerar no dimensionamento à flexão

1)

⇔

(se a LN estiver no banzo) (se a LN estiver no banzo)

Nota: Se a LN estiver na alma da secção, o dimensionamento poderá ser efectuado

com base numa secção em T (considerando a existência do banzo que estiver

comprimido, e desprezando o banzo traccionado)

2) e 3)

b

b'

bw

b

b'

2bw

bw

b b

2bw

bw

b

bw

b

b'

b

2bw

M M

bb'




52

⇔

(se a LN estiver na alma) (se a LN estiver no banzo)

bw

b bw

M

b

M




53

Exercício 2.3



Acções: pp + revest. = 20.0 kN/m

sobrecarga = 40.0 kN/m

Coeficientes de majoração: γG = γQ = 1.5

a) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão

da viga (secções S1 e S2)

b) Pormenorize as armaduras de flexão.

S1S2

10.00 3.50

cp

3.50

sc

1.00

1.00

0.20 0.20

0.15




54


ALÍNEA A )

1. Esforços de dimensionamento

psd = 1.5 × (20 + 40) = 90 kN/m

MsdS1 = -

psd× L12

2 = - 90 × 3.52

2 = -551.3 kNm

MsdS2 =

psd× L22

8 - MsdS1 =

90 × 102 8 - 551.3 = 573.8 kNm

2. Determinação das armaduras (E.L.U. flexão)


µ = Msd

bd2 fcd =

573.8 0.40 × 0.952× 13.3×103 = 0.120 ⇒ ω = 0.131

As = ωbd fcd fyd

= 0.131 × 0.40 × 0.95 × 13.3 348.0 × 104 = 19.03 cm2

10.003.50 3.50

psd

DMF[kNm]

(+)

(-) (-)

551.3

573.8

551.3

0.200.20

1.00 Msd

LN LN

1.00

0.40

⇔




55


Hipótese: a LN encontra-se no banzo da secção

µ = Msd

bd2 fcd =

551.3 1.0 × 0.952× 13.3×103 = 0.046⇒k = 0.112

k = x d ⇔ x = k ×d = 0.112 × 0.95 = 0.106 ⇒ LN está no banzo

µ = 0.046 ⇒w = 0.048

As = ωbd fcd fyd

= 0.048 × 1. 0 × 0.95 × 13.3 348.0 × 104 = 17.42cm2

⇔Msd

1.00

1.00

LNLN

1.00




56

2. INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO NÃO LINEAR DE ESTRUT URAS

DE BETÃO

Como ilustrado no Módulo I, o comportamento do betão armado é não linear desde o

início da fendilhação, que se verifica para níveis de carga relativamente reduzidos.

Verificou-se que o betão estrutural tem um comportamento dividido, no essencial, em

3 fases, antes da fendilhação, no processo fendilhado antes da cedência do aço e daí

até à rotura. Da hipótese de admitir, na resolução de estruturas hiperstáticas, a

linearidade, resulta, desde logo, uma “aproximação” , para o nível de acções de

serviço, e, por maioria de razão, próximo da rotura.

No entanto, para analisar os efeitos da acção de cargas , o fundamental no

desenvolvimento do projecto de estruturas é considerar uma solução de distribuição

de esforços equilibrada (o que naturalmente a solução elástica respeita). Assim,

pode ter-se como referência a solução de distribuição elástica, mas ao mesmo tempo

ter presente que é natural haver variações (mantendo sempre o equilíbrio). Por

exemplo numa viga contínua de betão armado, mesmo em condições de serviço , é

natural haver, logo devido às perdas de rigidez por fendilhação, variações dos valores

de momentos entre o vão e apoio de mais ou menos 10%, tomando-se, no entanto, no

projecto a distribuição elástica . Por outro lado, na fase próxima do esgotamento

da capacidade resistente , a distribuição de esforços depende directamente da

distribuição das resistências, ou seja das armaduras, adoptadas no projecto, i.e., a

distribuição de esforços tem tendência a se adaptar às resistências disponíveis.

Para os efeitos de deformações impostas , como os resultantes, por exemplo, de

variações de temperatura ou assentamentos diferenciais de apoios, a perda de rigidez

associada à não linearidade do comportamento faz diminuir drasticamente os

esforços, se houver ductilidade disponível, que se poderão praticamente anular.

No que se segue analisa-se, para o caso de cargas verticais , como e quando se

pode ter em conta o comportamento não linear do betão estrutural, na obtenção da

distribuição de esforços para o dimensionamento à rotura.

2.1. - ANÁLISE ELÁSTICA SEGUIDA DE REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS

Como acima referido, a partir da distribuição elástica é possível, e por vezes mesmo

aconselhável, tomar para o dimensionamento uma outra, respeitando, na mesma, o

equilíbrio.




57

Na figura seguinte esquematiza-se este possível procedimento, que permite “passar”

parte dos esforços do apoio para o vão, respeitando sempre o equilíbrio. Resulta,

neste caso, uma menor necessidade de armaduras sobre o apoio e um aumento no

vão. Esta opção pode muito útil na região do apoio, pois:

• Pode melhorar as condições de ductilidade.

• Pode facilitar a pormenorização de armaduras.

Refira-se que, apesar de ser em geral menos interesante, é também possível

considerar a redistribuição de esforços em sentido contrario, do vão para o apoio.

Em termos regulamentares são referidas, em geral, algunas limitações, tais como:

Para 0.5 ≤ li

li+1 ≤ 2

δ ≥ 0.44 + k2 xu

d para fck ≤ 50 MPa k2 = 1.25

≥ 0.7 para os aços das classes B e C, correspondentes aos aços NR e NR

SD utilizados em Portugal.

Verifica-se, assim, como ilustrado na figura seguinte, que esta possibilidade depende

da posição da Linha Neutra na rotura, que, com vimos, é o parâmetro principal de

medida da ductilidade, ou da capacidade de deformação plástica disponível.

MEL

MELR = δ MEL

∆M = MEL - δ MEL = MEL(1 - δ) − autoequilibrado

Li+1Li

DMF

p




58

Na figura abaixo ilustra-se, para uma viga contínua, como a redistribuição de esforços

é implementada, sendo equivalente a somar um diagrama de esforços auto-

equilibrado.

Refira-se que para uma viga bi-encastrada, a aplicação de uma redistribuição de δ =

0.75 corresponde a passar os momentos no apoio e vão de, respectivamente, (pl2/12)

e (pl2/24) (metade do anterior), para valores iguais de (pl2/16). Isto mostra o

relativamente largo espectro de possibilidades que são possíveis, para a distribuição

dos momentos de dimensionamento, e com os ajustes correspondentes nos outros

esforços. Dito isto, é importante mencionar que esta possibilidade não é,

evidentemente, obrigatória, constituindo uma opção de projecto, com as eventuais

vantagens anteriormente salientadas.

A justificação e/ou quantificação desta possibilidade pode ser compreendida, de uma

forma simplificada , se se tomar a distribuição elástica e se considerar uma rótula na

secção a partir da qual se quer redistribuir os esforços. Então, aplicando aí o valor do

momento a redistribuir, obtem-se o valor da rotação plástica necessária, θrqd (ver a

figura abaixo).

1.0

δ

xu/d0.208 0.448

MEL

∆M

MELR

(+)

(-)

(+)

(+)

(-)

(+)

(+)

(-)

(-)

(+)

(+)

+

=




59

θrqd = 2 ∆M3EI

l

Assim, esta rotação tem de ser inferior à capacidade de rotação plástica da zona,

neste caso sobre o apoio, por sua vez dependente, como salientado, princioalmente

da posição da Linha Neutra na rotura:

θrqd < θadm

O valor da capacidade de rotação plástica θadm não é facilmente quantificável. Na

figura do EC2 abaixo representada, são indicados esses valores em função de xu/d, e

das características do aço e betão. Estes valores são em geral conservativos, sendo

essencialmente resultantes das campanhas experimentais realizados ao longo das

últimas décadas.

Os valores de redistribuição possível (coeficiente δ atrás indicado) estão calibrados de

forma a respeitar estes procedimentos de verificação da capacidade de rotação

disponível, pelo que podem ser implementados sem esta avaliação directa.




60

2.2. - APLICAÇÃO DIRECTA DO CÁLCULO PLÁSTICO (TEOREMA ESTÁTICO)

A regulamentação de estruturas de betão permite igualmente a utilização directa do

teorema estático da teoria da Plasticidade, que assegura que:

i) considerando uma distribuição de esforços em equilíbrio com as cargas de

dimensionamento;

ii) e que, em nenhuma zona, a capacidade resistente seja ultrapassada, a carga

de rotura é superior à considerada.

Evidentemente que este teorema é extremamente eficiente e útil, mas deve ser usado

com alguma precaução nas estruturas de betão, uma vez que:

a. como anteriormente analisado, a ductilidade das secções de betão armado é

limitada;

b. como se discutirá posteriormente, para afastamentos muito importantes em

relação à solução elástica, é importante verificar o impacto deste procedimento

sobre o comportamento em serviço, em particular o controlo da fendilhação.

No entanto, dentro da gama de variações de momentos analisada, havendo o cuidado

de assegurar no dimensionamento uma boa ductilidade, como vimos neste Módulo, os

princípios baseados na Teoria da Plasticidade podem ser considerados, como se

ilustra nos exemplos que se seguem.

00

5

10

0,05 0,20 0,30 0,40

15

20

25

θpl,d (mrad)

(xu/d)

30

35

0,10 0,15 0,25 0,35 0,45

≤ C 50/60

C 90/105

C 90/105

≤ C 50/60

Classe C Classe B




61

Exemplo 1: Estrutura analisada com alternância de sobrecargas

A alternância de sobrecargas deve ser considerada na verificação da segurança,

sempre que exista a possibilidade desse tipo de carregamentos. Ora, na sua aplicação

a estruturas hiperstáticas, a consideração do comportamento elástico da estrutura,

implica normalmente aumento dos esforços máximos actuantes e, consequentemente,

de armaduras.

Como ilustrado na figura seguinte, no segundo caso de carga o momento elástico do

vão mais carregado é maior e o do apoio menor, quando comparados com o primeiro

(HC1). No entanto, como indicado na figura, se para o segundo caso de carga se

aplicar uma redistribuição do vão para o apoio, obtém-se uma envolvente de esforços

em que os esforços máximos no vão mais carregado e apoio são coincidentes com os

do 1º caso de carga. Nestas circunstâncias, o facto de se considerar a alternância das

sobrecargas afecta a envolvente de esforços ao longo do vão, mas não os valores

máximos no vão e apoio, valores estes que condicionam as quantidades máximas de

armaduras a adoptar.

De referir dois aspectos em relação a este exemplo:

− Se se considerasse um 3º caso de carga, carregando só o 2º vão com a

sobrecarga, o procedimento seria equivalente obtendo-se uma envolvente

simétrica.

L L

pl /8

cp

sc

DMEL

2

2pl /8

1) Hipótese de carga 1 (HC1)

HC1

DMEL

L L

2) Hipótese de carga 2 (HC2)

sc

cp

∆M

∆M

DMELR

pl /82

HC2EL

PLHC2

HC1, HC2HC2

HC1




62

− Haveria, neste exemplo, a possibilidade de, em alternativa, redistribuir os

momentos do 1º caso de carga, ou mesmo, dos dois casos de carga, fixando um

mesmo valor de momento no apoio, por exemplo, um valor intermédio.

A conclusão seria, sempre, que a consideração da al ternância alternância

afectaria a envolvente de esforços mas não os valor es máximos no apoio e no

vão .

Refira-se, por último, que, para cargas verticais, a distribuição de esforços para

verificação da segurança aos Estados Limites de Utilização deve ser a distribuição

elástica. Nestas condições, há que verificar se o nível de tensões nas armaduras em

serviço é aceitável, na zona onde foi aplicada a redistribuição no dimensionamento à

rotura, em termos do controlo da fendilhação, como atrás mencionado e se discute

com mais detalhe no Módulo 4.

Exemplo 2 - Determinação da carga última de uma est rutura existente.

Os princípios da Teoria da Plasticidade são particularmente úteis quando se pretende

avaliar a capacidade resistente de uma estrutura existente. Nesses casos, as

capacidades resistentes e as características de ductilidade são avaliadas com base na

caracterização possível dos materiais e quantidades de armadura presentes. A partir

destes valores pode ser estimada a máxima carga que pode ser suportada pela viga,

como esquematizado na figura seguinte.

Para a avaliação da capacidade última admite-se que na rotura é mobilizada, em cada

tramo, a capacidade resistente máxima das secções de vão e apoio. Então por

simples equilíbrio pode determinar-se a carga última, tal que:

pRd L /82

L

-MRd

L

pRd = ?

MRd+

DMF

(+)

(-)




63

PRd l2

8 ≈ M -

Rd

2 + M +Rd

Rigorosamente (porque o momento máximo não ocorre a meio vão) pRd seria obtido

das equações:

x = l2 -

M -Rd

pl

PRd = M +

Rd - M -

Rd xl

Lx2 -

x2

2

Será, evidentemente, necessário estar certo da ductilidade disponível na estrutura

existente.

Apresenta-se, para terminar, um problema semelhante para duas cargas concentradas

aplicadas nos meios vãos das vigas.

Neste caso a carga P resistente de dimensionamento, PRd, seria obtida a partir da

expressão:

PRd × l4 =

M -Rd

2 + M +Rd

-MRd

+MRd

LL

PRdPRd

L/2 L/2

+MRd

(+)

(-)

DMF

BETÃO ARMADO E PRÉ


VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ES

ÚLTIMOS DE ESFORÇO TRANSVERSO E TORÇÃO.

PORMENORIZAÇÃO DE ARMADURAS

Ano Lectivo 200

BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO I


MÓDULO 3

VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES



Ano Lectivo 200 12/2013

ESFORÇADO I


TADOS LIMITES




MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.

Pormenorização de armaduras

71

ÍNDICE

1. ESFORÇO TRANSVERSO ................................................................................................. 73

1.1. COMPORTAMENTO ELÁSTICO E MODELO DE COMPORTAMENTO NA ROTURA ............................ 73

1.2. POSSÍVEIS MODOS DE ROTURA ............................................................................................ 80

1.2.1. Rotura pelos estribos ................................................................................................ 81

1.2.2. Rotura por compressão na alma ............................................................................... 83

1.2.3. Influência do esforço transverso nas compressões e tracções da flexão ................ 86

1.2.4. Rotura por arrancamento da armadura longitudinal no apoio de extremidade ........ 87

1.2.5. Armadura longitudinal no vão.................................................................................... 89

1.2.6. Apoio de continuidade ............................................................................................... 90

1.2.7. Quantidade mínima de armadura transversal ........................................................... 91

1.2.8. Espaçamento entre estribos e sua pormenorização ................................................. 91

1.3. AMARRAÇÃO DE ARMADURAS .............................................................................................. 96

1.3.1. Comprimento de amarração...................................................................................... 96

1.3.2. Comprimento de emenda .......................................................................................... 99

1.4. ARMADURA DE LIGAÇÃO BANZO-ALMA ............................................................................... 111

1.5. ARMADURA DE SUSPENSÃO ............................................................................................... 113

1.5.1. Carga distribuída aplicada na parte inferior da viga ............................................... 113

1.5.2. Apoios indirectos ..................................................................................................... 114

1.6. CARGAS CONCENTRADAS JUNTO AO APOIO ........................................................................ 120

1.7. ARMADURA INCLINADA ...................................................................................................... 124

1.8. - SECÇÕES COM LARGURA VARIÁVEL ................................................................................. 125

1.9. FORÇAS DE DESVIO .......................................................................................................... 125

2. TORÇÃO ............................................................................................................................... 127

2.1.1. Torção de equilíbrio ................................................................................................. 128

2.1.2. Torção de compatibilidade ...................................................................................... 128

2.2. TORÇÃO ANALISADA COMO ESFORÇO TRANSVERSO NA LARGURA EFECTIVA DE HEF .............. 129

2.3. DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES SUJEITAS A UM ESFORÇO TRANSVERSO .......................... 133

2.3.1. Compressão ............................................................................................................ 133

2.3.2. Armadura transversal de torção .............................................................................. 133

2.3.3. Armadura longitudinal de torção ............................................................................. 133

2.4. EFEITO CONJUNTOTORÇÃO / ESFORÇO TRANSVERSO......................................................... 137

2.5. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS RELATIVAS A ARMADURAS DE TORÇÃO ................................... 137




72

2.5.1. Armadura transversal .............................................................................................. 137

2.5.2. Armadura longitudinal ............................................................................................. 138

2.6. DIMENSIONAMENTO CONJUNTO DA SECÇÃO ....................................................................... 138




73

1. ESFORÇO TRANSVERSO

Apresenta-se, seguidamente, as principais características do comportamento de vigas

de betão armado quando submetidas, para além da flexão, ao esforço transverso e

depois à torção . Mostra-se, neste capítulo, como se desenvolve o processo de

fendilhação e explica-se o encaminhamento das cargas ao longo das vigas, em

situações próximas à rotura. O modelo base adoptado para o dimensionamento ao

Estado Limite Último é apresentado e são derivadas as expressões que corporizam as

verificações de segurança correspondentes. Os aspectos referentesà pormenorização

das vigas, que derivam desta formulação geral e outros relacionados, como os da

suspensão de cargas, são apresentados neste módulo.

1.1. COMPORTAMENTO ELÁSTICO E MODELO DE COMPORTAMENTO NA ROTURA

Numa viga simplesmente apoiada submetida a duas cargas concentradas, com

comportamento elástico, definem-se trajectórias principais de tensão, de tracção e

compressão, como indicado na figura seguinte.

Elemento A

Quando σt = fct, inicia-se a fendilhação por esforço transverso

Se, na zona de corte junto aos apoios, se tomar um elemento A, verifica-se que o

Estado de tensão é o que está representado, com as direcções principais de

tensão inclinadas.É natural que, ao se atingir, na direcção das tracções principais,

o valor da resistência do betão, fct, surjam fendas inclinadas em relação ao eixo. A

fendilhação que se desenvolve terá um andamento aproximado ao desenhado no

σ σ

+

τ

trajectórias das compressões principais

trajectórias das tracções principais

A

σct



esquemaseguintecom as fendas a se formarem

àsdirecções de tracção, quer na zona de flexão pura quer na de flexão/corte

Com o aumento da carga, a fendilhação desenvolve

próximo da zona comprimida

encaminhamento das tracções

Nestas condições, se forem dispostos

verticais (estribos) as tracções são re

então compreender, neste caso,

carga aplicada e a reacção de apoio, como representado no esquema seguinte.

Verifica-se que se formam dois

leque, ligados por um campo de tracções

entre as carga e a reacção de apoio

compressão à parte inferior da viga, é transferida á parte superior por tracções nos

estribos e, finalmente é encaminhada

concentram, finalmente, na largura do apoio.

Flexão +

Esforço transverso

Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.

esquemaseguintecom as fendas a se formarem, no essencial, perpendicular

de tracção, quer na zona de flexão pura quer na de flexão/corte

a, a fendilhação desenvolve-se, prolongando-se as fendas até

próximo da zona comprimida. Verifica-seque as fendas “cortam” a possibilidade de

encaminhamento das tracções inclinadas de acodo com o comportamento elástico.

se forem dispostos, na zona de corte, armaduras transversais

as tracções são re-encaminhadas nessa direcção. Podemos

, neste caso, a transmissão de tensões ou forças na viga,


se que se formam dois campos de tensões de compressão

campo de tracções correspondente aos estribo

entre as carga e a reacção de apoio. A carga aplicada transmite


estribos e, finalmente é encaminhada para o apoio por compressões inclinadas que se

na largura do apoio.

Flexão

Esforço transverso

d


Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. 74

, no essencial, perpendicularmente

de tracção, quer na zona de flexão pura quer na de flexão/corte.

se as fendas até

” a possibilidade de

de acodo com o comportamento elástico.

armaduras transversais

encaminhadas nessa direcção. Podemos

ransmissão de tensões ou forças na viga, entre a


campos de tensões de compressão , em forma de

os estribos colocados

A carga aplicada transmite-se, assim, por


para o apoio por compressões inclinadas que se

Flexão +

Esforço transverso




75

É de referirque este tipo de mecanismo de transmissão de carga em elementos de

betão armado submetidos à flexão com esforço transverso havia sido compreendido,

por Ritter e Morsch, desde os primeiros ensaios experimentais com o betão armado,

como identificado nas imagens abaixo reproduzidas, datadas do final e princípio dos

séculos XIX e XX, respectivamente.

Ritter (1899)

Mörsch (1909, 1922)

Na figura que se segue, também dessa época, mostram-se modelos curiosos de

avaliação da distribuição das forças no betão e armaduras (nessa altura lisas e

portanto sempre terminadas em gancho), numa zona fendilhada de betão armado

junto a um apoio. Refira-se que, neste caso, as armaduras transversais não eram

estribos mas sim parte da armadura longitudinal que era dobrada a 45º, quando

deixava de ser necessária para a flexão. Até aos anos 60/70, era corrente repartir as

necessidades de armadura para o esforço transverso entre estribos e armaduras

longitudinal dobrada.




76

Mörsch (1922)

No caso mais geral de uma viga sujeita a cargas uniformemente distribuídas o

comportamento esquemático numa zona com esforço transverso é mais uniforme.

Se admitirmos, como representado na figuraseguinte (a) que a inclinação das

compressões se mantém constante, podemos interpretar e compreender o esquema

de transmissão das cargas ao longo da viga, com a representação dos campos de

tensões. Notem-se os campos de compressão em leque, atrás referidos, junto ás

reacções dos apoios, e os campos de tensão paralelos, com inclinação θ, no restante

da viga. Saliente-se que os campos de compressões incluem uma zona de betão com

várias fendas e os de tracção um conjunto de estribos, o que se pode compreender ao

analisar em conjunto os dois esquemas (a) e (b).

a)

b)

θ

θ




77

Este modelo contínuo de transmissão de tensões poderá assemelhar-se a

ummodelo discreto, equivalente a uma treliça , onde as armaduras transversais e

longitudinais funcionam como tirantes e o betão comprimido entre fendas inclinadas

como escora ou biela , com resultante igual ao campo de compressões que

representa (ver figura seguinte). Neste modelo também as cargas aplicadas nos nós

correspondem à resultante das distribuídas na zona de influência respectiva.

Assim, neste modelo de treliça, cada barra vertical e inclinada representa,

respectivamente, a resultante de um campo de tensões de tracções e compressões,

numa largura de z cotg θ (ver figura seguinte). Por outro lado, refira-se que as barras

longitudinais, inferior e superior, representam, no essencial, os “banzos” traccionados

e comprimidos por flexão.

(1) Campo de tracções verticais

estribos verticais (ou inclinados)

(2) Campo de compressões inclinadas

bielas inclinadas

(1) Campo de tracções e compressões paralelas ao eixo

θz

bielas comprimidas (resultante da zona de compressões correspondente)

tirantes (resultante das forças de tracção nos estribos no comprimentoz cotgθ)

z cotg θ z cotg θ z cotg θ

z cotg θ z cotg θ

compressão

tracção




78

Com base nesta modelação ver-se à que é possível relacionar os esforços (M e V)

com as tensões nos diferentes elementos, ou seja, nas armaduras transversais,

armaduras longitudinais e bielas comprimidas (inclinadas ou longitudinais). Antes

porém convém chamar a atenção que este modelo com origem, como se viu, nos

primórdios do betão armado, sendo estáticamente válido e representando as

características principais do comportamento, só corresponde a uma aproximação da

modelação da resposta do betão armado. Ao longo das últimas dezenas de anos têm

sido propostas diferentes adaptações ao modelo base de Ritter/Morsch sujeito a várias

adaptações. A figura seguinte, sintetiza os resultados de inúmeros ensaios

experimentais de medição das capacidades resistentes por esforço transverso obtidos

em diferentes laboratórios. Indica-se a relação experimental entre o valor de esforço

transverso último (apresentado numa forma adimensional, v = Vu

b z fc) e a quantidade de

estribos (representada nas ordenadas pela percentagem mecânica, w = Asw

s b . fy

fc)

verificando-se uma importante dispersão e sem obedecer a uma relação linear.

Estes parâmetros reduzidos são equiparáveis aos da flexão e, como se verá adiante, o

nível de esforço transverso máximo de dimensionamento, para uma dada geometria e

betão, corresponde aproximadamente a vRd = 0.30.




79

Compreende-se então, que não sendo um problema simples, ao longo destes anos

tenham sido propostos diferentes modelos para umamais fiável avaliação . No

entanto, um bom modelo, para aplicação prática, deve ser sempre simples e de fácil

compreensão física.

Uma das questões relevantes que se coloca é a influência que o corte entre os

agregados ao longo das fendas inclinadas tem na influência na inclinação das

compressões na alma da viga, que não são as mesmas das fendas principais, como

se realça seguidamente. O escorregamento entre o betão nas faces das fendas gera

tensões de corte e compressão, que induzem no betãoentre fendas um estado de

tensão que, sobreposto ao da treliça pura, modifica as inclinações das compressões

principais deste, com tendência para diminuir aquela inclinação e verifica-se assim que

não há coincidência perfeita entre as inclinações das fendas e das compressões

principais.

ATRITO ENTRE AGREGADOS (Décadas de 80 / 90)




80

A INCLINAÇÃO DO CAMPO DE COMPRESSÕES ( θθθθ ) É INFERIOR À DA “FENDA” ( ββββr )

O modelo proposto presentemente no EC2 baseia-se na treliça dando liberdade ao

projectista de definir o angulo θθθθ de inclinação das compressões, desde que cotg

θθθθ se situe entre 1 ( θθθθ = 45°°°°) e 2.5 (θθθθ = 22°°°°). Uma vez tomada a opção, em todo o

processo de dimensionamento, que se apresenta seguidamente, há que ser

consistente com essa escolha. Esta liberdade baseia-se no método estático da Teoria

da Plasticidade, segundo o qual, se se adoptar uma solução equilibrada em que a

resistência não seja ultrapassada em nenhum elemento a capacidade resistenteda

peça é superior ou igual à considerada. A limitação imposta tem a ver com a maior ou

menor capacidade de adaptação da distribuição de tensões ás resistências

disponíveis. Na disciplina propõe-se que se adopte, em geral, um valor intermédio, por

exemplo 30º. Por outro lado, aconselha-se a tomar valores superiores para níveis

elevados de esforço transverso e/ou em caso da presença de um esforço axial de

tracção e inferiores nas hipótese contrárias (níveis baixos de esforço transverso ou

esforço axial de tracção).

1.2. POSSÍVEIS MODOS DE ROTURA

Com base no modelo de campos de tensões, com um ângulo de inclinação das

compressões constante, ou do seu modelo simplificado de treliça, vamos analisar,

seguidamente, os modos de rotura possíveis e avaliar as capacidades resistentes

correspondentes.




81

Nas figuras seguintes ilustra-se:

(i) A rotura do campo de tracções vertical, ou seja dos estribos.

(ii) A rotura por esgotamento da resistência das compressões do campo

comprimido de tensões.

(i) Rotura dos estribos

(ii) Rotura por esmagamento do betão (nas

bielas comprimidas)

Há ainda que considerar, como veremos:

(ii) Rotura por arrancamento da armadura inferior do apoio (amarração

insuficiente) ou rotura da armadura (armadura insuficiente)

O esquema seguinte mostra as zonas onde se pode verificar a rotura, ou seja, as

tracções nas armaduras transversais , as tensões principais de compressão no

betão (é interessante notar também o pormenor do desvio das tensões do banzo

superior para as biela inclinadas da alma) e, ainda, da força necessária na armadura

longitudinal no inferior no apoio .

1.2.1. Rotura pelos estribos

A rotura pelos estribos verifica-se se a capacidade resistente à tracção do conjunto

dos estribos, colocados no comprimento z cotg θ,for o “elo mais fraco”, isto é, se a

força resultante (representada na figura anterior por um traço mais traço forte) for

insuficiente para transmitir a carga do banzo inferior ao superior.



Ora a força a que este conjunto de estribos está sujeita é igual ao

da viga, avaliado a uma certa distânci

esquemas seguintes, para um apoio de extremidade e outro de continuidade.

θ

z cotg θb

x

DEVsd

zona do diagrama de esforço transverso que interessa para efeitos de dimensionamento da armadura transversal

cargas que se transmitemdirectamente para o apoio


Ora a força a que este conjunto de estribos está sujeita é igual ao esforço transverso

avaliado a uma certa distância do apoio, Vsd (x), como indicado nos


z

Vsd(x)

Vsd(x)

θ

x

z cotg θ

zona do diagrama de esforço transverso que interessa para efeitos de dimensionamento da armadura transversal




esforço transverso

como indicado nos


b





83

Assim, e como claramente apresentado no esquema seguinte, a força de tracção, Fs,

necessária para evitar a rotura pela “fenda” diagonal, é igual ao esforço transverso

avaliado à distância x do apoio. Então, a quantidade de armadura necessária vezes a

tensão de dimensionamento do aço, fyd, terá de ser superior áquela força.Se dividirmos

a área desses estribos pelo comprimento z cotg θ, obtem-se a quantidade de

armadura, Asw, por cada alinhamento de estribos com afastamento s, dada por Asw/s.

Fs≥ Vsd⇔Asw× fyd≥ Vsd (x)⇔

⇔Asw

s fyd≥ Vsd (x)

z cotg θ ⇒Asw

s ≥≥≥≥ Vsd (x)

z cotg θθθθ fyd

x = b 2 + z cotg θ; z ≅ 0.9d

Asw

s - área de aço por unidade de comprimento (armadura distribuída por m).

Vsd (x)z cotg θ - força vertical por unidade de comprimento.

Assim, definido o valor de θ, passa a se poder estabelecer uma relação directa entre o

esforço transverso resistente e a quantidade de armadura transversal, como proposto

no Eurocódigo 2.

EUROCÓDIGO 2:

O valor do esforço transverso resistente, condicionado pelas armaduras transversais é

dado pela expressão (1) tal que:

VRd,s = Asw s z fywd cotg θ⇔

Asw s ≥

Vsd z cotg θ fywd

(1)

onde fywd representa o valor de cálculo da tensão de cedência da armadura de esforço

transverso.

1.2.2. Rotura por compressão na alma

Ora a capacidade resistente deste sistema de transmissão de forças pode, também,

ser condicionado pela capacidade resistente do betão à compressão na zona da alma,

ou seja, no campo de tensões com a inclinação, θ. A avaliação do nível da tensão de

compressão no campo paralelo de tensões pode ser deduzido como se segue, a partir

da força Fc, com componente vertical igual a Vsd.

b z cotg θ

Asw

Vsd (x)




84

sen θ = Vsd Fc

⇒ Fc = Vsd

sen θ

σc = Fc

bw a

sen θ = a

z cotg θ ⇔ a = (z cotg θ) × sen θ = z cos θ = z cos θ

σc = Vsd

sen θ× bw× z cos θ⇒σσσσc = Vsd (x)

0.9d bw sen θθθθ cos θ θ θ θ

Refira-se que, devido ao efeito bidimensional favorável com concentração das

compressões na zona do apoio, anteriormente referido, a eventual rotura do betão não

se verifica no campo de tensões “em leque”, mas sim no campo de tensões paralelo

adjacente áquele, como indicado no esquema seguinte.

Saliente-se a bem conhecida influência, na resistência do betão à compressão, do

estado de tensão nas direcções perpendiculares.

É o efeito favorável de uma compressão transversal , denominado efeito de

confinamento ou cintagem, que melhora a resistência (e aliás também a ductilidade),

como se verifica nos diagramas das relações tensão-extensão do betão, com e sem

compressão transversal.

b z cotg θ

θ

a

Fc

Fc

Vsd

Fs

θ

z cotg θ

θ

R

Rotura



Por outro lado, se existir tracção na direcção transversal

fendilhação como indicado no esquema seguinte, e como se verifica nas almas das

vigas com fendilhação

comprometida. É este outro

armado abaixo indicado e nas relações tensão/extensão do betão, no caso de existir

ou não, a referida tracção transv

neste caso, uma perda significativa de resistência axial.

As tensões de tracção nos estribos originam uma diminuição da resistência à

compressão do betão, da ordem de 50 a 60%, que se quantifica

regulamentares, por uma expressão do tipo:

Assim, definido o modelo de calculo e o ângulo

relação directa entre o esforço transverso resistente e a compressão máxima

admissível na alma, como proposto no Eurocódigo 2.

EUROCÓDIGO 2

O valor do esforço transverso resistente, condicionado pela resistência do betão

alma, é dado pela expressão (2) tal que:


Por outro lado, se existir tracção na direcção transversal às compressões, com


inclinada, a capacidade resistente à compressão fica

outro efeito que está representado no elemento de betão


a referida tracção transversal, com fendilhação associada. Verifica

uma perda significativa de resistência axial.


da ordem de 50 a 60%, que se quantifica

por uma expressão do tipo:

σc≤0.6

1 -

fck 250 fcd

Assim, definido o modelo de calculo e o ângulo θ, passa a se poder estabelecer uma


admissível na alma, como proposto no Eurocódigo 2.

O valor do esforço transverso resistente, condicionado pela resistência do betão

alma, é dado pela expressão (2) tal que:



s compressões, com


inclinada, a capacidade resistente à compressão fica

efeito que está representado no elemento de betão


Verifica-se existir,


da ordem de 50 a 60%, que se quantifica, em termos

, passa a se poder estabelecer uma


O valor do esforço transverso resistente, condicionado pela resistência do betão na




86

VRd,max = αcw bw z ν1 fcd

cotg θ + tg θ (2)

onde αcw = 1 para estruturas sem pré-esforço e ν1 = 0.6

1 -

fck 250

Então, esta expressão pode ser escrita na forma:

VRd,max = bw z 0.6

1 -

fck

250 fcd

cotg θ + tg θ ⇔ VRd,max (cotg θ + tg θ)

z bw = 0.6

1 -

fck

250 fcd

⇔VRd,max

z bw sen θ cos θ = 0.6

1 -

fck

250 fcd, equivalente às deduções acima descritas.

Refira-se que o máximo valor de Vrd se verifica para o caso do ângulo θ ser de 45º, e

que neste caso o valor reduzido de esforço transverso, já atrás referido, é dado por

vrd = Vrd

bwdfcd e toma no máximo um valor de 0.3 .

Este pode então ser considerado como o maior valor de esforço transverso reduzido

que pode ser resistido para uma dada secção e resistência de betão,

independentemente da quantidade de armadura.

Finalmente, na zona do apoio, se este se verificar por uma chapa, haverá que verificar

a adequabilidade das dimensões desta, o que de uma forma simplificada, se consegue

limitando a tensão a fcd.

1.2.3. Influência do esforço transverso nas compres sões e tracções da flexão

Numa zona intermédia da viga, se consideramos a actuar os esforços M e V, a

resultante das tensões axiais têm naturalmente de ser nula, pois não há esforço axial.

Deste modo, para equilibrar a componente horizontal da força inclinada na biela, Fc, e

acima avaliada, têm de se verificar, tracções na direcção longitudinal, nos “banzos”

superior e inferior da viga. Estas provocam, assim, uma variação nas compressões e

tracções devidas ao momento flector, M. Este efeito pode ser compreendido pelo

esquema abaixo indicado.

FVT = Fc cos θ =

Vsen θ cos θ = V cotg θ

Fc

θ θ

Vsd

V2

cotg θ

cotg θ2V

θFT

Vsd

Fc




87

A componente horizontal das compressões inclinadas no betãoimpõe, por equilíbrio

axial, a necessidade de uma força de tracção,FVT, que se distribui igualmente pelos

banzos comprimido e traccionado, por forma a não alterar o momento aplicado à

secção.

Considerando a sobreposição dos efeitos de flexão e esforço transverso, verifica-se

então, como abaixo esquematizado, que haverá no banzo traccionado um incremento

de tracção e no comprimido um alívio das compressões. Refira-se que na zona de

momento nulo de uma viga, com esforço transverso diferente de zero, geram-se

tracções superiores e inferiores.

FM = Mz ; FV =

V2 cotg θ

Este efeito deve ser considerado na pormenorização das armaduras, como se verá na

análise da dispensa longitudinal das armaduras de flexão.

1.2.4. Rotura por arrancamento da armadura longitud inal no apoio de

extremidade

Analisemos, agora, o sistema de transmissão de forças junto ao apoio simples,

referindo-nos às figuras seguintes, com representação dos campos de tensões ou só

das suas resultantes. Verifica-se que, por um simples equilíbrio de nó de treliça, se

gera uma tracção na armadura longitudinal, FT, dependente da reacção do apoio e da

inclinação da resultante do campo de tensões em leque, θ1.

VM

FM

MF

VF

FV

+ =

V

VF

F

V M

FM

MF



R = Fc sen

FT = Fc

cotg θ1 =

b2 +

z2 cotg θ

z = 0.5

Como FT depende da largura do apoio, pode tomar

1) Apoio pontual (b = 0)

2) cotg θ1 = 0.5 cotg θ⇒

3) z ≅ 2b

θFT

R

1

Fc


sen θ1⇔ Fc = R

sen θ1

cos θ1⇒ FT = R cos θ1

sen θ1 = R cotg θ1

= 0.5 bz + 0.5 cotg θ

depende da largura do apoio, pode tomar-se por simplificação:

(b = 0)

⇒FT = R 2 cotg θ

z

θ

z cotg θb

θ1

b + z2 2 cotg θ



se por simplificação:




89

cotg θ1 =0.5 b2b+ 0.5 cotg θ = 0.25 + 0.5 cotg θ ⇒FT =R (0.25 + 0.5 cotg θ)

Aproximadamente, e de uma forma conservativa, pode tomar-se:

FT= 1.20 R (θ1≅ 40°)

Refira-se que a área de armadura longitudinal inferior a adoptar nestes apoios sem

continuidade deverá ser sempre, pelo menos, 25% da área de armadura adoptada na

zona do meio vão.

1.2.5. Armadura longitudinal no vão

Considera-se, agora, a análise da situação corrente de uma viga simplesmente

apoiada, como a representada na figura seguinte, e com base no modelo acima

descrito, definem-se os diagramas da força de tracção na armadura longitudinal.

Verifica-se que a variação da força de tracção ao longo do vão tem uma menor

variação ao longo do vão não sendo nula junto ao apoio (ver §1.2.4) e que na zona do

vão não é afectadaem relação à da flexão, no vão central.

Em termos práticos, verifica-se, ser mais conveniente, para determinar a tracção

necessária em vez de somar as duas forças, avaliar a distancia, x (ver esquema a

seguir), segundo o eixo longitudinal, processo que se denomina de translacção do

diagrama de momentos .

MFT

M/z

V/2 cotg θ

VFT

M/z

FTM+V

+ V/2 cotg θ

+

=




90

α = d dx

M

z = 1 z

dM dx =

V z

por outro lado, α≅ tg α = V/2 cotg θ

x

⇒V2 cotg θ×

1 x =

Vz ⇒ x =

z2 cotg θ

Refira-se que a análise da dispensa de armadura longitudinal será, na prática,

efectuada, não a partir do diagrama de momentos flectores, mas deste, depois de

efectuada esta translacção, no valor dez/2 cotgθ.

1.2.6. Apoio de continuidade

A análise da zona de um apoio de continuidade é extremamente interessante pois,

trata-se de uma região com momento flector e esforço transverso significativos, à

esquerda e direita.

Geram-se dois campos de tensão em leque a partir do apoio, verificando-se que, com

base no modelo de escoras e tirantes, a tracção superior tem tendência a formar um

patamar constante, com valor dependente só do momento flector (ver figura em baixo).

De facto a influência do esforço transverso, ou seja da inclinação das compressões na

força de tracção, só se faz sentir a uma certa distância do apoio, não influenciando o

valor máximo de força de tracção devida à flexão, mas tão só alargando essa zona.

Define-se assim, também na zona de momento negativos, um diagrama de flexão com

translacção, a partir do qual deve ser definida a dispensa de armaduras.

Asflexão

M/z

x necessáriaAs

V/2 cotg θα

DFT

M/z

V2 cotg θ

M Vz 2 cotg θ+

- cotg θM V2z

z

FT = const.

θ θ1θ

z cotg θ

θ

z cotg θb

θθ1




91

1.2.7. Quantidade mínima de armadura transversal

A área mínima de armadura transversal, que se justifica pela mesma razão da flexão,

pode ser quantificada através da imposição de uma percentagem de armadura, dada,

no EC2, por:

ρw,min = 0.08 fck

fyk

A percentagem geométrica de armadura transversal é definida através da expressão:

ρw,min = Asw

s × bw

1.2.8. Espaçamento entre estribos e sua pormenoriza ção

Por forma a evitar que a fenda se forme entre estribos, o espaçamento máximo entre

estribos deverá respeitar a condição:

s ≤ 0.75 d (1 + cotg α),

onde d representa a altura útil do elemento e α a eventual inclinação da armadura

transversal.

Usualmente utilizam-se espaçamentos entre 0.075 e 0.30 m (ou, preferencialmente,

para vigas correntes, entre 0.10 e 0.25 m), não devendo ultrapassar-se, em geral, 0.5

d.

A armadura transversal é em geral, formada por um ou mais estribos, cada um com

dois ramos, que deverão em princípio, serem fechados. O EC2 abre, no entanto, a

possibilidade a outras hipóteses.

O espaçamento transversal entre ramos de estribos deve ser tal que:

st≤ 0.75 d ≤ 600 mm

Assim para vigas largas, com mais de 60 cm, ou menos largas mas pouco altas, é, por

razões de eficiência na transmissão das compressões das bielas aos estribos

verticais, necessário ter mais do que um estribo (2 ramos) – ver figura seguinte.




92

Verifica-se que as tensões de compressão tendem a se apoiar nos cantos dos estribos

(onde também existem ferros longitudinais) e que, como se percebe, não devem estar

muito afastados para uma maior uniformidade da transmissão de forças.




93

EXERCÍCIO 2.4


Materiais: C25/30, A400NR

Responda ás seguintes questões, tentando compreender e interpretar as implicações

de adoptar diferentes ângulos de inclinação das bielas decompressão:

a) Calcule as armaduras transversais admitindo, para inclinação das bielas de

compressão, ângulos de 30° e 45°.

b) Verifique, para ambas as situações, a tensão máxima de compressão nas bielas.

c) Calcule, para ambas as situações, os efeitos na armadura longitudinal.

d) Pormenorize a armadura longitudinal ao longo da viga.

0.60

5.00

0.30

g = 25kN/m

q = 12kN/m




94


ALÍNEA A )

1. Determinação dos esforços

psd = γg× g + γq× q = 1.5 (12 + 25) = 55.5 kN/m

Msd = pL2 8 =

55.5 × 52 8 = 173.4kNm

Vsd = 55.5 × 5

2 = 138.8 kN

2. Cálculo das armaduras transversais para θ = 30°

z cotg θ = 0.9 d × cotg θ = 0.9 × 0.55 × cotg 30° = 0.87m

Vsd (z cotg θ) = 138.8 – 0.87 × 55.5 = 90.5kN

Asw s ≥

Vsd z cotg θ fyd

= 90.5

0.87 × 348 × 103 × 104 = 3.0 cm2/m

3. Cálculo das armaduras transversais para θ = 45°

z cotg θ = 0.9 × 0.55 × cotg 45° = 0.5m

Vsd (z cotg θ) = 138.8 – 0.5 × 55.5 = 111.1kN

Asw s =

111.1 348 × 103× 0.5 = 6.39cm2/m

ALÍNEA B )

i) θ = 30°

σc = Vsd

0.9 d bw sen θ cos θ= 90.5

0.3×0.5×sen 30°×cos 30° = 1393kN/m2

ii) θ = 45°

σc = 111.1

0.3 × 0.5 × sen 45°× cos 45° = 1481kN/m2

σc≤0.6

1 -

fck 250 fcd = 0.6

1 -

25 250 × 16.7×103 = 9018 kN/m2




95

ALÍNEA C)

1. Armadura no apoio de extremidade

i) Considerando um apoio pontual

b = 0 ⇒ Fs = R 2 cotg θ

θ = 30°⇒ Fs =

138.8 2 × cotg 30° = 120.2kN

θ = 45°⇒ Fs = 138.8

2 × cotg 45° = 69.4kN

ii) Considerando a largura do apoio

Fs = 1.2 R = 1.2 × 138.8 = 166.6kN

⇒ As≥ Fs fyd

= 166.6

348×103 × 104 = 4.79cm2

Comentário : menor θ ⇒ maior área de armadura nos apoios

2. Cálculo do comprimento de translacção

θ = 30°→ x = z 2 cotg θ =

0.5 2 cotg 30° = 0.43m

θ = 45°→ x = z 2 cotg θ =

0.5 2 cotg 45° = 0.25m

Comentário : menor θ ⇒ maior comprimento de translacção




96

1.3. AMARRAÇÃO DE ARMADURAS

1.3.1. Comprimento de amarração

Considere-se um varão de aço embebido, num determinado comprimento, no interior

de um bloco de betão, conforme ilustrado na figura seguinte e admita-se uma

tensãode corte entre o betão e o aço, com distribuição constante.

fbd – tensão de aderência de cálculo (b- bond ; d- design)

Nestas condições é possível definir o valor do comprimento necessário lb,rqd para que,

quando o varão for submetido a uma força de tracção, não haja escorregamento entre

os dois materiais. Deste modo,

FRc≥ Fs⇔ Ac× fbd≥ Fs ,

onde Ac = πφ lb e representa a área de betão em contacto com a armadura.

Ac× fbd≥ Fs⇔πφ lb,rqd fbd = Asσsd⇒πφ lb,rqd fbd = πφ2

4 σsd

De onde resulta

lb,rqd = φφφφ 4

σσσσsd fbd

(Comprimento de amarração base)

O valor da tensão de aderência (fbd) pode ser calculado, segundo o EC2, através da seguinte

expressão:

fbd = 2.25 η1η2 fctd

onde,

fctd representa o valor de dimensionamento da resistência do betão à tracção;

η1 é um coeficiente que depende da qualidade da aderência e da posição do varão

durante a betonagem (η1 = 1.0 para boas condições de aderência; η1 = 0.7 para

outras condições de aderência);

η2 é um coeficiente que depende do diâmetro do varão (η2 = 1.0 para φ ≤ 32 mm; η2

= (132 - φ) / 100 para φ ≥ 32 mm).

fbd

lb,rqd

Fs = As σsd




97

Os varões dizem-se em condições de boa aderência se verificarem uma das

seguintes condições:

formem com a horizontal um ângulo entre 45º e 90º;

estejam integrados em elementos com espessura (na direcção da betonagem)

inferior ou igual a 25 cm;

quando a espessura excede 25 cm, os varões estão em boas condições de

aderência se se situarem na metade inferior do elemento ou a mais de 30 cm da

sua face superior.

O comprimento de amarração necessário l bd pode ser avaliado através da

expressão:

lbd = αααα1αααα2αααα3αααα4αααα5lb,rqd ≥≥≥≥ lb,min

onde,

α1 é um coeficiente que tem em conta a forma do varãona zona da amarração;

α2 é um coeficiente que tem em conta o recobrimento do varão;

α3 é um coeficiente que tem em consideração o efeito do cintagem das armaduras

transversais à amarração;

α4 é um coeficiente que tem em consideração o efeito de varões transversais

soldados ao longo do comprimento de amarração;

α5 é um coeficiente que tem em consideração o efeito favorável da existência de

tensões de compressão transversais ao plano de escorregamento, ao longo do

comprimento de amarração.

Sendo clara a influência de todos estes factores no comprimento de amarração, na

prática tomam-se, em geral, opções simplificativas que devem ser conservativas.

De qualquer forma, há que assegurar, um comprimento de amarração mínimo l b,min ,

tal que:

varões traccionados: lb,min = máx 0.3 lb,rqd; 10φ; 100 mm

varões comprimidos: lb,min = máx 0.6 lb,rqd; 10φ; 100 mm




98

Simplificadamente, e para varões traccionados com amarrações curvas tem-se

lb,eq =α1lb,rqd = 0.7 lb,rqd

(α≥ 90°)

ou

Esta redução é válida se a distância livre entre varões e/ou o recobrimento na direcção

perpendicular à amarração forem superiores a 3φ.

Por exemplo para varões comprimidos ou traccionados com barras transversais

soldadas (situação não muito corrente) o EC2 propõe:

lb,eq =α4 lb,rqd= 0.7 lb,rqd

Para se ter uma rápida avaliação dos comprimentos de amarração é extremamente útil

ter o multiplicador do diâmetro tal que: lb = k φ, como expresso na tabela seguinte,

sem considerar os coeficientes α, e admitindo σs = fyd.

VALORES DE k = lb / φ , para σs= fyd

C20/25 C25 C30 C35 C40 C45 C50

A400 η1 = 1

η1 = 0.7

39

55

32

46

29

41

26

38

23

33

22

30

20

28

A500 η1 = 1

η1 = 0.7

48

69

40

57

36

52

33

47

30

43

27

38

25

36

≥ 5φα

lb,eq

lb,eq

lb,eq

≥ 5φ φt ≥ 0.6φ




99

EXEMPLO

Calcular o comprimento de amarração necessário de um varão φ16 solicitado por uma

força de 45kN.

Materiais: C25/30

A400NR

RESOLUÇÃO :

fbd = 2.25 η1η2 fctd = 2.25 × 1.0 × 1.0 × 1.8 1.5 = 2.7 MPa

lbd = lb,rqd = φ 4

σsd fbd

= φ 4

223.9 2.7 = 20.7 φ = 0.33 m

Este valor é inferior ao da tabela pois o nível de tensão é menor que fyd.

σsd = 45

2.01×10-4 = 223.9 MPa

1.3.2. Comprimento de emenda

As emendas dos varões das armaduras ordinárias devem, se possível, ser evitadas e

caso sejam necessárias, devem ser efectuadas em zonas em que os varões estejam

sujeitos a tensões pouco elevadas.

As emendas de varões podem ser realizadas por sobreposição, por soldadura, ou por

meio de dispositivos mecânicos especiais (acopladores, por exemplo).

As emendas por sobreposição devem satisfazer os seguintes critérios:

Não localizar as emendas nas zonas de maiores esforços;

Procurar manter a simetria;

A distância livre entre armaduras não deve ser superior a 4φ ou 50 mm, caso

contrário o comprimento de emenda deve ser acrescido de (s – 4φ);

A distância longitudinal entre duas emendas adjacentes não deverá ser inferior a

0.3 l0;

lb,rqd

45 kN




100

No caso de duas emendas adjacentes, a distância livre entre varões não deve

ser inferior a 2φ ou 20 mm;

A percentagem de varões a emendar numa mesma secção transversal pode ser

de 100% caso os varões estejam dispostos numa única camada, ou de 50% se os

varões estiverem dispostos em várias camadas.

O comprimento de emenda (l0) deve ser calculado, de acordo com o EC2, com a

expressão:

l0 = αααα1αααα2αααα3αααα5αααα6 lb,rqd ≥≥≥≥ l0,min

onde os coeficientes α, são os definidos anteriormente e α6 é um coeficiente que tem

em conta a relação entre a secção dos varões emendados e a secção total dos varões

existentes na mesma secção transversal.

Normalmente há que considerar valores mínimos do comprimento de emenda , que

o EC2 define como sendo l0,min = max 0.3 α6 lb,rqd;15φ;200mm

Para que duas emendas possam ser consideradas em secções diferentes há que

respeitar as seguintes indicações:

Nas zonas de emendas geram-se tensões de tracção na direcção transversal que

podem recomendar a disposição de armaduras específicas se aquelas forem

elevadas. Nesse sentido as necessidades de reforço na zona da emenda (dispensável

FF

l0

≥0.65 l0≥0.65 l0




101

no caso φ ≤ 20 mm ou se a percentagem de varões emendados seja inferior ou igual a

25%) é dada, no EC2, por:

a) Armadura em tracção

b) Armadura em compressão

a) Armaduras em tracção




102



ALÍNEA D)

1. Cálculo da armadura necessária a meio vão

Msd = 173.4kNm ⇒µ = Msd

bd2 fcd =

173.40.3×0.552×16.7×103 = 0.114 ⇒ω = 0.124

As = ω b d fcd fyd

= 9.84cm2

Adoptam-se 2φ16 + 2φ20 (10.3cm2)

Visto que Aapoios ≥ 4.79cm2 , é possível dispensar 2φ16

2. Cálculo do MRd correspondente a 2φ20 (6.28cm2)

ω = As b d

fyd fcd

= 6.28 × 10-4 0.3 × 0.55 ×

348 16.7 = 0.079 ⇒µ = 0.075

MRd = µ× b d2 fcd = 0.075 × 0.3 × 0.552× 16.7×103 = 113.7kNm

3. Determinação da secção de dispensa de armadura

M(x) = 138.8 × x – 55.5 × x2 2 =

= 138.8 x – 27.75x2

Msd= MRd⇔ 138x -27.75x2 = 113.7 ⇔ x

= 3.97m ∨ x = 1.03m

fbd = 2.25 η1η2 fctd = 2.25 × 1.0 × 1.0 × 1.8 1.5 = 2.7 MPa

0.60

5.00

0.30

g = 25kN/m

q = 12kN/m

M(x)

138.8 kN 138.8 kN

55.5 kN/m

x

DMF

(+)




103

σsd=6.2810.3 × 348=212.2MPa⇒lbd=

φ4

σsd

fbd=

0.0164

212.22.7 =19.6φ=0.31m

aL = z 2 cotg θ = 0.43m

Secções de dispensa de armadura:

x1 = 1.03 – aL – Lb.net = 1.03 – 0.43 – 0.31 = 0.29 m

x2 = 3.97 + aL + Lb.net = 3.97 + 0.43 + 0.31 = 4.71m




104

EXERCÍCIO 2.5

Para a estrutura já analisada no Exercício 2.1 determine:

a) As armaduras transversais necessárias ao longo da viga

b) A distribuição de armaduras longitudinais ao longo da viga

c) Pormenorize as armaduras na viga


ALÍNEA A)

1. Determinação do esforço transverso solicitante

Considerando alternância de sobrecarga,

V Asd = 1.5 × (28.25 × 4.55) + 1.5 × (12 × 5) = 282.8kN

10.00 3.00

p=1 kN/m

(+)(+)

5.45

(-)

DEV[kN] 4.55 3.0

5.0DEV[kN]

(+)

(-)

5.0

p=1 kN/m

DEV[kN]

3.0

( )0.45

(+)

p=1 kN/m




105

VB.esqsd = 1.5 × (28.25 × 5.45) + 1.5 × (12 × 5.45) = 392.0kN

VB.dirsd = 1.5 × (28.25 + 12) × 3 = 181.1kN

i) Envolvente do diagrama de esforço transverso

ii) Determinação de Vsd (z cotg θ)

Considerando θ = 30°,

d = 0.80m ; z ≅ 0.9 d = 0.72 m

z cotg θ = 0.72 × cotg 30° = 1.25 m

Vsd,A (z cotg θ) = 282.8 – 60.4 × 1.25 = 207.3 kN

Vsd,B esq (z cotg θ) = 329 – 60.4 × 1.25 = 253.5 kN

Vsd,B dir (z cotg θ) = 181.1 – 60.4 × 1.25 = 105.6 kN

2. Verificação das compressões

i) Bielas comprimidas

σcmáx=

Vsd(zcotg θ)zbwsenθcosθ=

253.50.72×0.30×sen 30°×cos30°=2710.3kN/m2≅2.7MPa

σcmáx≤0.6

1 -

fck 250 fcd = 0.6

1 -

25 250 ×16.7×103 = 9018 kN/m2

ii) Apoio

σc = R

Aap ≤ 0.85 fcd

R Bsd = 329.0 + 181.1 = 510.1kN

σc = 510.1

0.3 × 0.3 = 5667.8kN/m2≅ 5.7MPa

0.85 fcd = 0.85 × 16.7 = 14.2MPa

282.8

(+)

181.1

(-)

329.0

(+)

282.8181.1

329.0

⇒




106

3. Cálculo da armadura transversal nos apoios

i) Apoio A

Asw

s = Vsd (z cotg θ)z cotg θ fyd

= 207.3

0.72×cotg 30°×348×103 × 104 = 4.78cm2/m

ii) Apoio B (esq.)

Asw

s = 253.5

0.72×cotg 30°×348×103 × 104 = 5.84cm2/m

iii) Apoio B (dir.)

Asw s =

105.6 0.72 × cotg 30°× 348×103 × 104 = 2.43cm2/m

iv) Cálculo da armadura mínima

ρw,min = 0.08 fck

fyk =

0.08 25 400 = 0.001

ρw,min = 0.001 ⇔

Asw

s min×

1bw

= 0.001 ⇔

Asw

s min = 0.0010×0.30×104 = 3.0cm2/m

(adoptam-se estribos φ8//0.25)

4. Determinação da zona da viga em que se adopta (Asw/s)min

i) Cálculo de VRd, min

Estribos φ8//0.25 ⇒ 4.02 cm2/m

VRd=Asw

s ×zcotgθ×fyd=4.02×10-4×0.72×cotg30°×348×103=174.5kN

x1 = 282.8 - 174.5

60.4 = 1.79m ; x2 = 329 - 174.5

60.4 = 2.56m

ALÍNEA B)

Aapoios → 4φ16 + 2φ12; Avão

s → 6φ25

329.0282.8

181.1174.5

x1 x2

160.4




107

1. Cálculo do comprimento de translacção

aL = z2 cotg θ =

0.722 cotg 30° = 0.62m

2. Armadura inferior

i) Plano de dispensas: 6φ25 → 4φ25 → 2φ25

ii) Capacidade resistente da viga após as dispensas

Armadura A s [cm 2] ωωωω µµµµ MRd [kNm]

4φ25 19.63 0.170 0.154 493.8

2φ25 9.82 0.085 0.080 256.5

iii) Cálculo das coordenadas x

Carregamento correspondente ao máximo momento no vão

M(x)=282.8×x–60.4×x2

2 =282.8×x–30.2x2

660.2

272.0

493.8256.5 256.5

493.8

x1x2

x3x4

10.00

cp=28.3 kN/m

3.00

sc=12.0 kN/m

282.8 kN

(-)

(+)

DMF[kNm]

x

282.8 kN

M(x)

x

60.4 kN/m




108

MSd=493.8kNm⇔282.8 × x – 30.2 × x2=493.8 ⇔ x3=7.04m ∨ x2 = 2.32m

MSd=256.5kNm⇔282.8 × x – 30.2 × x2=256.5⇔x4 = 8.35m ∨ x1 = 1.02m

iv) Cálculo dos comprimentos para dispensa da armadura

Dispensa de 6φ25 → 4φ25

x2’ = x2 – aL – Lb.net = 2.32 – 0.62 – 0.54 = 1.16 m

x3’ = x3 + aL + Lb.net = 7.04 + 0.62 + 0.54 = 8.20 m

fbd = 2.25 η1η2 fctd = 2.25 × 1.0 × 1.0 × 1.8 1.5 = 2.7 MPa

σsd = 46 × 348 = 232 MPa ⇒ lbd=

φ4

σsd

fbd=

0.025 4

232 2.7 = 0.54 m


x1’ = x1 – aL – Lb.net = 1.02 – 0.62 – 0.40 = 0.0 m

x4’ = x4 + aL + Lb.net = 8.35 + 0.62 + 0.40 = 9.37 m

σsd = 24 × 348 = 174 MPa ⇒ lbd=

φ 4

σsd fbd

= 0.025

4 174 2.7 = 0.40m

v) Verificação da armadura no apoio

1) Considerando pilares 0.30 × 0.30 [m2]:

FT=Rcotgθ1=R×

0.5×

bz +0.5cotgθ = 282.8×

0.5×

0.300.72+0.5cotg30° =303.8kN

As = 303.8

348 × 103 × 104 = 8.73cm2< As (4φ25) = 19.63cm2

2) Considerando indirectamente a dimensão do pilar

FT = 1.2 R = 1.2 × 282.8 = 339.4 kN ⇒ As = 9.75cm2 < 19.63cm2

3) Considerando um apoio pontual

FT=R2cotgθ1=

282.82 ×cotg30°=244.9kN⇒As=7.04cm2<19.63cm2

3. Armadura superior

i) Plano de dispensas: 4φ16 + 2φ12 → 4φ16 → 2φ16

ii) Capacidade resistente da viga após as dispensas




109

Armadura A s [cm 2] ωωωω µµµµ MRd [kNm]

4φ16 8.04 0.070 0.066 211.6

2φ16 4.02 0.035 0.034 109.0

iii) Cálculo das coordenadas x

Carregamento correspondente ao máximo momento negativo no apoio e no vão à

esquerda do apoio:

pconsolasd = 60.4kN/m

pvãosd = 1.5 × 28.25 = 42.4kN/m

Vdirsd = 3.0 × (12 + 28.25) × 1.5 = 181.1kN

Vesqsd = (5.45 × 28.25 + 0.45 × 12.0) × 1.5 = 239.0kN

Consola

Msd(x) = 60.4 × x × x 2 – 181.1 × x + 272.0 =

30.2x2 – 181.1x + 272.0

Msd = 211.6kNm ⇔ 30.2 x12 – 181.1x1 + 272.0 = 211.6⇔x1 = 0.35m

Msd = 109.0kNm ⇔ 30.2 x32 – 181.1x3 + 272.0 = 109.0⇔x3 = 1.10m

272.0

x1

211.6211.6

109.0 109.0

x2

x4 x3

sc=12.0 kN/m

cp=28.3 kN/m

60.4 kN/m

x

Msd(x)

181.1 kN

272 kNm




110

Vão

Msd(x) = 42.4 × x × x 2 – 239.0 × x + 272.0 =

21.2x2 – 239x + 272.0

Msd = 211.6kNm ⇔ 21.2 x22 – 239 x2 + 272.0 = 211.6 ⇔ x2 = 0.26m

Msd = 109.0kNm ⇔ 21.2 x42 – 239 x4 + 272.0 = 109.0 ⇔ x4 = 0.73m

Msd = 0 ⇔ 21.2 x52 – 239 x5 + 272.0 = 0 ⇔ x5 = 1.28 m

4) Cálculo dos comprimentos para dispensa da armadura

Dispensa de 4φ16 + 2φ12 → 4φ16

x1’ = x1 + aL + Lb.net = 0.35 + 0.62 + 0.43 = 1.40 m

x2’ = x2 + aL + Lb.net = 0.26 + 0.62 + 0.43 = 1.31 m

fbd = 2.25 η1η2 fctd = 2.25 × 0.7 × 1.0 × 1.8 1.5 = 1.89 MPa

σsd= 8.04

8.04+2.26 × 348 =271.6MPa⇒lbd= φ4

σsd

fbd=

0.0124

271.61.89 = 0.43m


x3’ = x3 + aL + Lb.net = 1.10 + 0.62 + 0.36 = 2.08 m

x4’ = x4 + aL + Lb.net = 0.73 + 0.62 + 0.36 = 1.71 m

x5’ = 1.28 + 0.62 + 0.22 = 2.12m

σsd = 2 4 × 348 = 174 MPa ⇒ lbd=

φ 4

σsd fbd

= 0.016

4 174 1.89 = 0.37m

Lb,min = 10 φ = 0.16 m

Msd(x)

239.0 kN

x

272 kNm42.4 kN/m




111

1.4. ARMADURA DE LIGAÇÃO BANZO-ALMA

Como referido na flexão de secções em T as compressões no banzo distribuem-se

neste, não ficando limitadas à alma. O sistema base de resistência ao esforço

transverso desenvolve-se na alma, que distribui, então, as compressões (ou tracções

se se tratar de um banzo traccionado) para os banzos.

A compreensão deste mecanismo não é imediata e para a facilitar é fundamental a

representação gráfica como a que se reproduz na figura seguinte, com indicação dos

campos de tensão no plano das almas e dos banzos e respectivas forças resultantes.

Na figura está representado um modelo em que, numa análise a partir da reacção de

apoio, se verifica que as tensões na alma do campo em leque ao atingirem o banzo

dispersam neste, para um e outro lado, gerando tracções de equilíbrio transversais no

banzo, numa zona já mais afastada do apoio. Tal verifica-se, depois, para os restantes

campos paralelos de tensões, obtendo-se a distribuição de compressões no banzo da

zona do vão, prevista na flexão.




112

Se se definirem dois ângulos para as treliças da alma e do banzo, θ1 e

θ2, respectivamente, é possível avaliar as forças em causa a partir de um campo de

tensões paralelo na alma como apresentado de seguida.

Onde,

fc representa as forças distribuídas nas bielas comprimidas da alma

fc’ representa as forças distribuídas nas bielas comprimidas do banzo

Fc e Fc’ representam as resultantes dessas forças distribuídas

Em planta, a avaliação da força FT

pode ser estimada como se apresenta de

seguida:

FT = F 'c × sen θ2 = Fc 2 cos θ1×

sen θ2 cos θ2

=

= Fc 2 × tg θ2× cos θ1

Asf = FT

fsyd ⇒

Asf

s = FT

z cotg θ1 fyd =

Fc sen θ1

2 z cotg θ2 fyd

Como Fc = V

sen θ1 ⇒

Asf s =

V 2 z cotg θθθθ2 fyd

Se se considerar, como é razoável que θ1 = θ2 ⇒ A armadura de ligação banzo-alma

deve ser igual ou superior a metade da armadura de esforço transverso

Asf

s = 1 2

Asw

s .

z cotg θ1

z cotg θ1

z θ1

θ2

fc

Fc

fc'

Fc'

z cotg θ1

Fc cos θ1

θ2

Fc'

FT




113

Refira-se que, em geral, numa viga pertencente a uma laje vigada, a armadura da laje

é normalmente suficiente para absorver as forças de tracção na ligação banzo-alma,

pelo que não se justifica a determinação de armadura específica, nesses casos.

1.5. ARMADURA DE SUSPENSÃO

Analisámos a transmissão de forças ao longo das vigas de betão armado, em

situações próximas da rotura para as situações em que a carga é transmitida ao banzo

superior da viga, como são as situações correntes. No entanto, há casos em que tal

não se verifica havendo que prevêr mecanismos de transmissão de carga adequados

e dimensionar as armaduras correspondentes.

São, por exemplo, os dois casos que vamos analisar, a saber:

• A situação de uma transmissão contínua da carga à parte inferior da viga, como

por exemplo de uma viga invertida, com a laje apoiada no banzo inferior.

• As situações de apoio de uma viga noutra, denominadas de apoios indirectos,

em que a carga é transmitida pela biela comprimida da viga secundária, à parte

inferior da viga principal.

1.5.1. Carga distribuída aplicada na parte inferior da viga

Como se esquematiza nas secções transversais abaixo indicadas a laje apoia-se na

parte inferior da viga pelo que tem de ser transmitida para a face superior da através

de uma armadura de suspensão. Este processo de “suspensão” deve ser efectuado ao

longo da viga para a carga distribuída transmitida pela laje, psd/m. No fundo a

armadura deve ser dimensionada para absorver a carga suspensa por metro, tal que:

As/m > psd/m

fyd

Para a aplicação de carga excêntrica é judicioso admitir a suspensão só com um

ramo.




114

Naturalmente, que a quantidade de armadura necessária para transmitir a carga ao

banzo superior tem de ser adicionada à de esforço transverso (correspondente ao

processo de transmissão das cargas do banzo superior da viga aos seus apoios).

1.5.2. Apoios indirectos

Denomina-se de apoio indirecto de uma viga à situação desta se apoiar noutra, em

vez de directamente num apoio rígido ou pilar. Nestes casos, numa viga de betão

armada com fendilhação desenvolvida, temos que:

1- A carga da viga I (ver esquemas seguintes) é transmitida pelas bielas

comprimidas à parte inferior da viga principal (viga II neste esquema).

2- A partir daì a carga é suspensa para o banzo superior da viga II, através de

estribos a colocar próximo da zona de ligação das vigas.

3- A carga transmitida de uma viga à outra é encaminhada para os apoios da viga I.




115

O modelo de cálculo, para o caso de duas vigas, está abaixo representado, assim

como as zonas de disposição dos estribos. Refira-se que, no caso geral de uma

grelha, a armadura de suspensão é calculada para a diferença de esforço transverso à

esquerda e direita das vigas, havendo que identificar qual é a principal.

A viga transmite as cargas à viga

através das bielas comprimidas.

A carga transmitida à viga principal terá de

ser transmitida para a face superior através

de estribos de suspensao

As =

Vfyd

Nota: A armadura calculada deve ser adicionada à armadura de esforço transverso.

A distribuição dos estribos de suspensão deve ser feita da seguinte forma:

P

2

1

h2h1

21

V

≤ h1/2

1

2

≤ h1/3

≤ h2/2≤ h2/3




116

EXERCÍCIO 2.6






a) Para a estrutura já analisada no Exercício 2.3, verifique a segurança ao Estado

Limite Último de Esforço Transverso e pormenorize as armaduras transversais na

secção.

S1S2

10.00 3.50

cp

3.50

sc

1.00

1.00

0.20 0.20

0.15




117


ALÍNEA A)

1. Verificação da segurança ao E.L.U. de Esforço Transverso

i) Determinação de Vsd

psd = 1.5 × (20 + 40) = 90kN/m

θ = 30º ⇒ z cotg θ = 0.9 × 0.95 × cotg 30° = 1.48m

Vsd, dir (z cotg θ) = 450 – 1.48 × 90 = 316.8.5kN

Vsd, esq (z cotg θ) = 315 – 1.48 × 90 = 181.8kN

ii) Verificação das compressões na alma

σc = Vsd (z cotg θ)

z×bw×sen θ×cos θ = 316.8

0.9×0.95×0.40×sen 30°×cos 30° = 2139.2kN/m2

σc≤0.6

1 -

fck 250 fcd = 0.6

1 -

20 250 ×13.3×103 = 7342 kN/m2

iii) Cálculo da armadura transversal junto aos apoios

Asw s =

Vsd (z cotg θ) z fyd cotg θ

Asw

s dir =

316.8 1.48 × 348×103 × 104 = 6.15cm2/m

Asw

s esq =

181.8 1.48 × 348×103 × 104 = 3.53cm2/m

2. Cálculo da armadura de suspensão

Nota: Admite-se que a sobrecarga está a actuar no banzo inferior

450.0

(-)

DET[kN]

(-)(+)

(+)

315.0

315.0

450.0




118

cp* = cp–ppalmas= 20 –(0.20×1.0×2)×25=10kN/m

Força de suspensão: Fs = 1.5 (10 + 40) = 75.0kN/m

As

s suspensão =

75.0 348×103 × 104 = 2.16cm2/m

(a adicionar à armadura de esforço transverso)

As

s

dir

TOT =

Asw

s dir +

As

s susp = 6.15 + 2.16 = 8.31cm2/m

As

s

esq

TOT =

Asw

s esq +

As

s susp = 3.53 + 2.16 = 5.69m

3. Cálculo da armadura transversal mínima

ρw,min = 0.08 fck

fyk =

0.08 20 400 = 0.0009

ρw,min=0.0009 ⇔

Asw

s min×

1bw

=0.0009 ⇔

Asw

s min = 0.0009×0.40×104=3.6cm2/m

4. Cálculo da armadura de ligação banzo-alma

Asf s =

Vsd 2 z cotg θ2 fsyd

θ1 = θ2⇒ Asf s =

1 2

Asw

s

As

s

dir

= 6.15

2 = 3.08cm2/m ;

As

s

esq

= 3.53

2 = 1.77cm2/m

5. Armadura transversal de flexão no banzo

cp* + sc = 10 + 40 = 50 kN/m

psd = 1.5 × 50 / 0.6 = 125.0 kN/m2

cp*+sc

0.80

cp*+sc




119

pL2

12 = 125×0.802

12 = 6.7kN/m

µ=Msd

b d2 fcd=

6.71.0×0.122×13.3×103 = 0.035⇒ω=0.037

As=ωbdfcd

fyd=0.037×1.0×0.12×

13.3348 ×104=1.70cm2/m

(AsTOT/ramo)dir =

3.08

2 + 1.70 = 3.24cm2/m

(AsTOT/ramo)esq =

1.77

2 + 1.70 = 2.59cm2/m

2/12pL

pL/242

0.80




120

1.6. CARGAS CONCENTRADAS JUNTO AO APOIO

De acordo com os princípios gerais de comportamento de uma viga de betão armado

fendilhado sujeita a um efeito de corte, é natural que, no caso de uma carga

concentrada próximas do apoio, se verifique a sua transmissão, ou pelo menos de

parte dela, directamente para o apoio, através de uma biela de compressão, isto é,

sem necessidade de armadura transversal. No esquema junto mostra-se como uma

parcela, F1, da carga se transmite directamente para o apoio e a restante, F2, exige

armadura transversal no seu processo de encaminhamento até ao apoio.

Geralmente admite-se, no processo de dimensionamento, que:

As cargas que actuam junto ao apoio podem ser transmitidas directamente para

este, através de uma biela inclinada (a < z/2)

F

F1

T=C

M=F x a

C

F2F

F1F2

C2

C1

a

z

aF

a1

a

F




121

As cargas afastadas do apoio são transmitidas pelo mecanismo de treliça (a > 2z)

Numa zona intermédia, parte da carga é transmitida directamente para o apoio e

a outra parte é transmitida pelo mecanismo de treliça.

Em termos de verificação da segurança as orientações do EC2 são as seguintes:

a < z/2

A carga é transmitida directamente para o apoio (não é necessário acréscimo de

armadura transversal).

a > 2 z

A carga é totalmente transmitida pelo mecanismo de treliça (considerar a totalidade do

esforço transverso para o dimensionamento da armadura).

z/2 < a < 2 z

Para o dimensionamento da armadura transversal apenas deve ser considerada a

parcela da carga,

F1 =

2a

z - 1 1 3 F,

que, na sua transmissão ao apoio, requer transferência de carga do banzo inferior ao

superior.

F

a




122

EXERCÍCIO 2.7

Considere a estrutura seguinte.

Calcule as armaduras transversais necessárias, considerando apenas a actuação da

carga Psd = 300kN.

0.40 0.40 0.40

5.00

0.65

P

0.40




123

Resolução do Exercício 2.7

Neste caso,

z = 0.9×0.60 = 0.54m e a = 0.8m ⇒z2 = 0.27m < a < 2 z = 1.08m,

pelo que, parte da carga é transmitida directamente para o apoio e a outra parte é

transmitida pelo mecanismo de treliça.

1. Determinação da parcela da carga considerada para o dimensionamento da

armadura transversal

ΣMA=0 ⇔ -300×0.8 + RB×5.0 = 0

⇔ RB = 48kN

RA = 300 – 48 – 252kN

P1.Sd =

2 × 0.8

0.54 - 1 × 1 3 × Psd = 0.65 Psd

2. Cálculo da armadura transversal

As≥0.65×252348×103 × 104 = 4.7cm2⇒

As s =

4.7 0.40 = 11.75cm2/m

11.75 2 = 5.88cm2/m

3. Cálculo da armadura longitudinal

Rsd,1 = 0.65 × 252 = 163.8 kN

Rsd,2 = 0.35 × 252 = 88.2 kN

Fsd = Rsd,1 cotg θ1 + Rsd,2 cotg θ2 =

= 163.8 ×0.4

0.54 + 88.2 ×0.8

0.54 = 252kN

ASL =

252 348×103× 104 = 7.24cm2

(+)

DEV[kN]

300 kN

RA=252 kN

4.20

RB=48 kN

0.80

A B

(-)

252

48

θ1θ2 Fsd

Rsd,1 Rsd,2




124

1.7. ARMADURA INCLINADA

Nos casos em que a armadura de esforço transverso for constituída por armadura

inclinada (e não vertical), há que adaptar o modelo de treliça apresentado

anteriormente. Apresenta-se, seguidamente a dedução das expressões de

dimensionamento para esses casos.

Asw× fyd≥ Vsd

sen α ⇔ Asw≥ Vsd

sen α 1 fyd

⇔

⇔ Asw s =

Vsd sen α

1 z (cotg θ + cotg α) ×

1 fyd

⇔

⇔ Asw s =

Vsd z (cotg θθθθ + cotg αααα) sen αααα fyd

Barras horizontais:

FT=Fscosα+Fccosθ=Vsd

sen α cosα + Vsd

sen θ cosθ

⇔FT = Vsd (cotg θθθθ + cotg αααα)

Compressões na alma:

σc = Vsd (1 + cotg2 θ)

bw z (cotg θ + cotg α) ≤ 0.6

1 -

fck

250 fcd

ou

Vmaxrd = bw z 0.6

1 -

fck

250 fcd (cotg θ + cotg α)

(1 + cotg2 θ)

Verifica-se que, naturalmente, estas expressões são equivalentes às deduzidas

anteriormente se α = 90°.

tirantes

bielas comprimidas

z cotg αz cotg θ

z

θ α

z cotg θ + z cotg α

Fs V

α

F

Fs Vsd

Fs

α θFc

Ft




125

1.8. - SECÇÕES COM LARGURA VARIÁVEL

Nos casos em que as secções apresentam largura variável, bw considera-se, para

efeito da avaliação das compressões nas bielas de compressão, a menor largura

numa zona compreendida entre a armadura traccionada e ¾ da altura útil.

No caso de secções circulares, poderá considerar-se, para efeitos da verificação da

segurança ao esforço transverso, uma secção rectangular equivalente, com as

seguintes características:

de = 0.45D + 0.64

d -

D2 (expressão aferida experimentalmente)

1.9. FORÇAS DE DESVIO

Apresenta-se seguidamente alguns aspectos que são necessários ter em

consideração na pormenorização de armaduras longitudinais em situações de

mudança de direcção das armaduras ou da superfície do betão.

Quando um varão de uma armadura traccionada possui um ponto anguloso, gera-se

uma força de desvio nesse ponto, tal como ilustrado na figura seguinte.

Nestes casos, há que ter em atenção a posição do varão e o valor e sentido da força

de desvio da armadura. Se essa força é no sentido do interior da peça é facilmente

absorvida. Pelo contrário se a força tem o sentido do interior para o exterior da peça,

poderá provocar a rotura local da camada de betão de recobrimento.

d3/4 d

bw

bw

be≈0.9DD

AsL

AsL/2

de⇔

Fs

Fs

FD




126

(a) Situação em que não ocorre rotura

(b) Situação em que poderá ocorrer rotura

Para contrariar este efeito há que tomar disposições de pormenorização que a seguir

se referem dependentes da maior ou menor variação angular.

i) α>15° -- Solução muito usual de “amarrar” a armadura de um e outro lado do

desvio angular, evitando-se a força de desvio para o exterior.

ii) α<15° --- Situação possívelde manter a armadura contínua e “suspender” a força de

desvio, amarrando-a na face contrária.

Por outro lado, poderá haver situações em que a força de desvio se verifica do lado

das compressões, gerando-se a tendência para o canto de betão “saltar” devido à

menor resistência do betão à tracção.

αMM

MM

A

A

Secção A-A

ou




127

Nestes casos pode-se “agarrar” a força de desvio da zona comprimida do betão

amarrando-a, com estribos, na face oposta.

2. Torção

A torção gera um efeito equivalente ao funcionamento de uma hélice que, em termos

estáticos, pode ser comparada à soma dos momentos devidos às resultantes de corte

que se geram nas faces do contorno vezes os braços ao centro de rigidez (ver o

esquema abaixo). Veremos, neste capítulo, que a torção pode ser considerada, em

termos de dimensionamento, como o efeito de esforços transversos a actuar junto às

faces.

Por outro lado, como se analisa de seguida, em várias situações de dimensionamento

prático verifica-se que é possível equilibrar as cargas sem torção, através de uma

determinada redistribuição de esforços, solução que se adopta correntemente. Para tal

MM

FcFD

Fc




128

é importante, desde já, destinguir as situações de torção de equilíbrio e de

compatibilidade.

2.1. TORÇÃO DE EQUILÍBRIO

A distribuição de esforços tem de incluir a torção para o equilíbrio da estrutura, ou

seja, não é possível obter uma distribuição de esforços equilibrada sem a existência

de momentos torsores.

Exemplo simples:

A barra longitudinal tem necessariamente de ter torção, pois trata-se de uma

estruturura isostática.

2.2. TORÇÃO DE COMPATIBILIDADE

Ao se verificar a fendilhação por torção a perda de rigidez é muito mais significativa do

que por efeito da flexão. No diagrama abaixo constata-se essa importante perda de

rigidez de torção. Na mesma figura verifica-se também como a capacidade resistente

à torção de uma viga cheia ou oca é equivalente.

Se a estrutura é hiperstática a distribuição de esforços depende, como é conhecido, da

relação entre a rigidez de flexão e torção. No caso limite de se considerar uma rigidez

Fs

DMT[kNm]

(-)




129

de torção nula é possível obter uma distribuição de esforços equilibrada sem a

existência de momento torsor na estrutura.

Como se referiu, a redução de rigidez de torção é muito significativa, após a

fendilhação, pelo que a estrutura tende a equilibrar as cargas com poucos esforços de

torção. Assim, nesses casos, em muitas situações admite-se, na verificação da

segurança à rotura, uma distribuição de esforços sem torção, com base na tendência

natural do comportamento e no método estático da Teoria da Plasticidade.

Exemplo:

Como se compreende é possível equilibrar, com ou sem esforços de torção na barra

transversal, as cargas aplicadas a esta estrutura. De facto, se a rigidez de torção da

barra transversal for nula, a barra longitudinal apoia-se na transversal sem transmitir

momento negativo.

2.3. TORÇÃO ANALISADA COMO ESFORÇO TRANSVERSO NA LARGURA EFECTIVA DE HEF

No que se segue apresenta-se os mecanismos de funcionamento estrutural de peças

submetidas à torção, próximo da rotura, em elementos de betão armado. Nos

esquemas juntos, e para uma secção fechada, chama-se a atenção para o facto do

momento torsor que se gera nos comprimenntos próximas aos apoios, entre estes e

as cargas aplicadas, ser equivalente a 4 esforços transversos.




130

Verifica-se, como ilustrado na figura que se segue, que a torção pode ser equiparada,

em termos de dimensionamento a 4 modelos de esforço transverso nas 2 almas e nos

2 banzos com a necessidade de verificar a segurança nos mesmos campos de tensão

correspondentes. Há, assim, necessidade de avaliar a armadura transversal

necessária, verificar a limitação das compressões, e particularmente neste caso,

calcular a armadura longitudinal que se desenvove nas ligaçõe das “paredes” da

secção.




131

Para a análise de uma secção de betão armado sujeita a um momento torsor, pode

definir-se, então, uma secção oca (secção oca eficaz), conforme ilustrado na figura

que se segue. Refira-se que, mesmo para uma secção compacta, é conhecido, do

comportamento elástico aprendido na disciplina de Resistência de Materiais, que as

zonas do contorno são as mais eficientes na resposta à torção. Tal tendência é

reforçada num elemento de betão armado fendilhado por torção pelo que se propõe,

em geral, na verificação da segurança um mecanismo resistente, desprezando o betão

da zona central da peça.




132

2c’ ≤ hef≤ A u

onde,

c’ = c + φestribo

A – área da secção de betão

u – perímetro da secção

Representando a secção oca eficaz pela sua linha média, é possível determinar, de

acordo com o comportamento elástico, as tensões tangenciais, equivalentes ao

momento torsor actuante, nas paredes da secção.

Em secções de parede fina, τ = T

2 Ω e

Ω – área interior à linha média da secção

e – espessura da parede

pelo que, neste caso, ττττ = T

2 hm bm hef

A resultante de cada uma destas tensões tangenciais não é mais que um esforço de

corte em cada parede da secção.

VH = τ× hef× bm = T

2 hm

VV = τ× hef× hm = T

2 bm

Assim podemos dizer que a torção é equivalente a esforços transversos no contorno.

Thm

bm

hef

secção oca eficaz

de torção

Tτ

TVV

VH




133

2.4. DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES SUJEITAS A UM ESFORÇO TRANSVERSO

Considerando, portanto, o modelo de treliça com θ a definir pelo projectista, e partindo

das verificações de esforço transverso temos o seguinte.

2.4.1. Compressão

Tomando uma parede vertical da secção:

σc = Vv

hef hm cos θ sen θ = T

2 bm hm hef cos θ sen θ

⇒σσσσc = Tsd

2 Aef hef cos θθθθ sen θθθθ≤0.6

1 -

fck 250 fcd , Aef = bm× hm

(parede horizontal: conclusão semelhante)

2.4.2. Armadura transversal de torção

numa parede vertical,

Ast s =

Vv hm cotg θ fyd

= T

2 bm hm hef cotg θ fyd⇒

Ast

s = Tsd

2 Aef cotg θθθθ fyd

(área de cada ramo do estribo)

É importante referir que se tomasse uma parede horizontal as expressões de

dimensionamento, dfunção directa do momento torsor seriam as mesmas.

2.4.3. Armadura longitudinal de torção

Como se verificou na verificação de segurança ao esforço transverso o equilíbrio da

treliça só é possível com tracções longitudinais de valor FT = V cotg θ a distribuir

igualmente nos banzos superior e inferior. No caso do esforço transverso com flexão

verificou-se que esse incremento de força no banzo traccionado podia ser resolvido

aravés de uma translacção do diagrama de flexão e que no outro banzo correspondia,

em geral, a um efeito favorável de alívio da compressão. Neste caso da torção tem, no

entanto, de ser considerado explicitamente.




134

Numa parede vertical, A 'SL = Vv×

cotg θ fyd

Numa parede horizontal, A ''SL = VH×

cotg θfyd

(FT = V cotg θ)

Nas quatro paredes,

ASL = 2 [Vv + VH] cotg θ

fyd = 2

T

2 bm +

T2 hm

cotg θ

fyd =

= T 2 (bm + hm)

2 bm hm cotg θ

fyd = T

uef 2 Aef

cotg θ fyd

⇒ASL = Tsd cotg θθθθ uef

2 Aef fyd , ou

ASL

uef =

Tsd cotg θ 2 Aef fyd

É interessante verificar que para θ igual a 45º as quantidades de armadura transversal

e longitudinal por unidade de comprimento são iguais como seria normal na torção.

bm

hm

VH

VV

H

VV




135

EXERCÍCIO 2.8

Determine o momento torsor resistente da secção indicada na figura.

Materiais: C25/30

A400

Recobrimento = 2.5cm

0.40

0.40

4φ20

Est. φ8//0.15




136


1. Determinação das características da secção oca eficaz

hef≤ A u =

0.42 4 × 0.4 = 0.1 m

hef≥ 2c' = 2 × (2.5 + 0.8) = 6.6 cm

bm = hm = 0.40 – 2 × (0.025 + 0.008 + 0.01) = 0.31m ⇒ hef = 0.09m

Aef = bm× hm = 0.31 × 0.31 = 0.096 m2

uef = 0.31 × 4 = 1.24 m

Ast s = 3.35 cm2/m ; ASL = 12.57 cm2

2. Verificação das compressões

(Adopta-se θ = 30°)

σc = Tsd

2 Aef hef cos θ sen θ≤0.6

1 -

fck 250 fcd⇔

⇔Tsd≤ 0.54 fcd× 2 × Aef× hef× cos θ × sen θ⇔

⇔ Tsd≤ 0.54×16.7×103×2×0.096×0.09×cos 30°×sen 30° = 67.5kNm

3. Armadura transversal

Tsd≤Ast

s ×2×Aef×cotg θ fyd=3.35×10-4×2×0.096×cotg 30°×348×103⇔

⇔ Tsd≤ 38.7kNm

4. Armadura longitudinal

Tsd≤ASL×2×Aef×fsyd

cotg θ uef =

12.57×10-4×2×0.096×348×103

cotg 30°×1.24 = 39.1kNm

⇒ TRd = 38.7kNm




137

2.5. EFEITO CONJUNTOTORÇÃO / ESFORÇO TRANSVERSO

Quando a torção está associada ao esforço transverso, há que ter em conta o seu

efeito conjunto, como se esquematiza seguidamente.

Em que osesforços de corte totais nas diferentes paredes da secção são dados por:

Q1 = V2 +

T2 bm

; Q2 = V2 -

T2 bm

; Q3 = Q4 = T

2 hm

2.6. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS RELATIVAS A ARMADURAS DE TORÇÃO

Específicamente em relação às disposições de armadura de torção refere-se o

seguinte.

2.6.1. Armadura transversal

O espaçamento máximo da armadura transversal deve ser, de acordo com o EC2, tal

que:

smáx = min

1

8 uef,b,h

A recomendação da figura para que s seja inferior a 12 vezes o diâmetro longitudinal é

também importante.

Evidentemente se houver sobreposição com o esforço transverso as disposições

condicionantes devem prevalecer.

V/2V/2+

T/2bm

T/2hm Q3

=

Q1 Q2

Q4




138

A armadura transversal deve ter o fecho dos estribos bem amarrados (ver figura

seguinte), em particular os comprimentos dos ganchos de amarração.

2.6.2. Armadura longitudinal

Devem-se seguir as seguintes orientações:

(i) Espaçamento máximo da armadura longitudinal: smáx = 35 cm

(ii) Disposição da armadura na secção transversal: Armadura disposta ao longo do

contorno interior das cintas. Em cada vértice da secção deverá existir, pelo menos,

1 varão e esses cantos devem ter, se possível, um reforço de armadura em

relação ao restante.

2.7. DIMENSIONAMENTO CONJUNTO DA SECÇÃO

Chama-se particularmente a atenção para a consideração, na verificação da

segurança, da sobreposição das compressões, quando se tem presente esforço

transverso e torção, que limita o conjunto dos valores máximos esforço

transverso/momento torsor. Também ao nível da pormenorização das armaduras há

que considerar em conjunto as armaduras transversais de torção e esforço transverso

e de torção e flexão.

Finalmente, apresenta-se, em termos esquemáticos, as dependências, em termos de

quantidades de armadura e/ou verificações das compressões máximas, entre as

diferentes verificações de segurança.

Msd

AsL σc σcAsw

Vsd

saL

Tsd

AsLs

Ast σc

armaduras longitudinais

compressão nas bielas inclinadas

armaduras transversais

compressão no banzo




139

EXERCÍCIO 2.9

Verifique a segurança ao estado limite último da viga indicada na figura, na secção dos

apoios.

(os apoios impedem a rotação da viga segundo o seu eixo)

Materiais: C25/30; A400

Recobrimento = 2.5cm

30 kN/m

0.305.00

0.50

1.00

psd

0.15

0.15




140



Msd = pL2

8 = 30 × 52

8 = 93.8kNm

Vsd = pL2 =

30×52 = 75kNm

Tsd = 30×0.15 ×52 = 11.25 kNm

2. Características da secção oca eficaz

bm = 0.20m; hm = 0.40m

Aef = 0.20 × 0.40 = 0.08m2

uef = 2 × (0.2 + 0.4) = 1.2m

hef≤ A u =

0.3 × 0.52 (0.3 + 0.5) = 0.09 m

hef≥ (2.5 + 0.6) × 2 ≅ 6 cm

3. Verificação da compressão (admite-se θ = 30°)

Torção: σc≤Tsd

2Aefhefcosθsenθ=11.25

2×0.08×0.06×cos 30°×sen30°=2706kN/m2

Esf.Transverso:σc= Vsd

z×bw×sen θ cos θ = 75

0.9×0.45×0.30×sen 30°×cos 30°=

= 1425.6 kN/m2

σTOTALc = 2706 + 1425.6 = 4131.6 <0.6

1 -

fck 250 fcd = 9018 kN/m2

4. Cálculo da armadura transversal

Torção: Ast

s ≤Tsd

2 Aef cotg θ fyd =

11.252×0.08×cotg 30°×348×103×104=1.17cm/m2

(+)

DMF[kNm]

30 kN/m

93.8DET[kN]

(+)

(-)

75.0

75.0

(+)

11.25

(-)

11.25




141

(por ramo)

Esf.Transverso:Asw

s =Vsd

zcotgθfyd =

750.9×0.45×cotg30°×348×103×104=3.07cm2/m

Ast

s + Asw

s /ramo = 1.17 +

3.072 = 2.71cm2/m

5. Cálculo da armadura longitudinal

(i) Torção

ASL = Tsd× cotg θ× uef

2 Aef× fyd =

11.25 × cotg 30°× 1.2 2 × 0.08 × 348×103 × 104 = 4.20cm2

(Armadura a ser colocada ao longo do perímetro uef)

(ii) Armadura de flexão a ½ vão:

Msd = 93.8kNm ⇒µ = 0.092 ; ω = 0.099 ⇒ As = 6.39cm2

(iii) Armadura no apoio

Esf. Transverso: As = 1.2 Rsd

fyd =

1.2 × 75 348×103 × 104 = 2.59cm2

Torção: ASL = 4.2cm2⇒ ASL/face = 4.24 = 1.05cm2

Face inferior →ATs = 2.59 + 1.05 = 3.64cm2



MÓDULO 4

DURABILIDADE DE ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO

E PRÉ-ESFORÇADO



MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 141

ÍNDICE

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 142

2. MECANISMOS DE DETERIORAÇÃO ..................... ......................................................... 143

3. MICROAMBIENTE .................................. ........................................................................... 144

4. PERÍODO DE INICIAÇÃO E PERÍODO DE PROPAGAÇÃO ... ....................................... 148

5. DESPASSIVAÇÃO DAS ARMADURAS .................... ....................................................... 150

6. CORROSÃO DAS ARMADURAS ......................... ............................................................ 152

7. EFEITOS DA DETERIORAÇÃO ........................ ............................................................... 154

8. METODOLOGIAS PARA A GARANTIA DA DURABILIDADE ... ..................................... 155

9. OUTROS ASPECTOS IMPORTANTES PARA A GARANTIA DA D URABILIDADE DAS

CONSTRUÇÕES..................................................................................................................... 159

9.1. CONCEPÇÃO E PROJECTO ................................................................................................... 159

9.2. EXECUÇÃO ......................................................................................................................... 159

9.3. MANUTENÇÃO ..................................................................................................................... 160



1. Introdução

Neste módulo definem-se as principais causas de deterioração das estruturas de

betão armado, explicam-se os respectivos mecanismos de degradação e definem-se

as disposições construtivas e de qualidade de materiais para contrariar o

desenvolvimento desses processos. Estas disposições são enquadradas no que se

denomina de garantia da durabilidade.

Durabilidade de uma Estrutura – Aptidão de uma estrutura para desempenhar as

funções para que havia sido concebida durante o período de vida previsto, sem que

para tal seja necessário dispender custos de manutenção e reparação imprevistos.

Evidentemente que os objectivos requeridos de durabilidade dependem do período de

vida previsto para a estrutura, a sua importância e custos de investimento associados,

definindo-se 5 categorias como apresentado no quadro seguinte

Categorias para

o período de

vida

Valores indicativos

do período de vida

(anos)

Exemplos

1 10 Estruturas temporárias (1)

2 10 a 25 Partes estruturais substituíveis (apoios, ...)

3 15 a 30 Estruturas para agricultura ou similares

4 50 Estruturas de edifícios e outras estruturas comuns

5 100 Monumentos, pontes e outras obras públicas

(1) Estruturas que podem ser desmontadas para serem reutilizadas não são consideradas temporárias

Verifica-se assim que para obras mais correntes a categoria a adoptar é a 4

correspondente a um período de vida de 50 anos.



2. Mecanismo de Deterioração

Referem-se seguidamente as causas principais de deterioração das estruturas de

betão.

Corrosão das armaduras Carbonatação (exemplo na figura)

Cloretos

Ataque químico do betão

Ataque dos sulfatos

Reacções álcalis-agregados (exemplo de um Viaduto)

Ataque dos ácidos, águas puras e sais

de amónio e magnésio

Acção da água do mar

Arco Pilares

Viaduto Duarte Pacheco em Lisboa antes da reparação .



Outros

Ataque Biológico

Desgaste por erosão, abrasão e cavitação

Ciclos de gelo-degelo

Acção do fogo

Cristalização de sais

Reacções químicas mais significativas:

• Reacção dos sulfatos com os aluminatos da pasta de cimento

Reacção expansiva

• Reacção dos álcalis com os agregados reactivos do betão

Reacção expansiva

• Reacção dos ácidos, sais de magnésio, sais de amónio e águas puras sulfatos

com a pasta de cimento

Perda das propriedades ligantes

3. Ambiente de Exposição

Consoante as condições de exposição dos elementos estruturais, naturalmente que os

riscos de deterioração são diferentes. Em termos regulamentares definem-se então

diferentes classes de exposição como indicado no quadro a seguir apresentado.



CLASSES DE EXPOSIÇÃO

Designação da classe

Descrição do ambiente Exemplos informativos de condi ções em que podem ocorrer as classes de exposição

1 Nenhum risco de corrosão ou ataque

X0

Para betão sem armadura ou elementos metálicos embebidos: todas as exposições excepto em situação de gelo/degelo, abrasão ou ataque químico

Para betão com armadura ou elementos metálicos embebidos: muito seco

Betão no interior de edifícios com uma humidade do ar ambiente muito baixa

2 Corrosão induzida por carbonatação

XC1 Seco ou permanentemente húmido Betão no interior de edifícios com uma humidade do ar ambiente baixa

Betão permanentemente submerso em água

XC2 Húmido, raramente seco Superfícies de betão sujeitas a contacto prolongado com água

Um grande número de fundações

XC3 Humidade moderada Betão no interior de edifícios com uma humidade do ar ambiente moderada ou elevada

Betão exterior protegido da chuva

XC4 Alternadamente húmido e seco Superfícies de betão sujeitas a contacto com água, não incluídas na classe de exposição XC2

3 Corrosão induzida por cloretos

XD1 Humidade moderada Superfícies de betão expostas a cloretos transportados pelo ar

XD2 Húmido, raramente seco Piscinas

Elementos de betão expostos a águas industriais contendo cloretos

XD3 Alternadamente húmido e seco Elementos de pontes expostos a pulverizações contendo cloretos

Pavimentos

Lajes de parques de estacionamento

4 Corrosão induzida por cloretos presentes na água do mar

XS1 Exposto ao sal transportado pelo ar mas não em contacto directo com a água do mar

Estruturas próximas da costa ou na costa

XS2 Permanentemente submerso Elementos de estruturas marítimas

XS3 Zonas sujeitas aos efeitos das marés, da rebentação e da neblina marítima

Elementos de estruturas marítimas



5. Ataque gelo/degelo

XF1 Saturação moderada em água, sem produto descongelante

Superfícies verticais de betão expostas à chuva e ao gelo

XF2 Saturação moderada em água, com produto descongelante

Superfícies verticais de betão de estruturas rodoviárias expostas ao gelo e a produtos descongelantes transportados pelo ar

XF3 Saturação elevada em água, sem produtos descongelantes

Superfícies horizontais de betão expostas à chuva e ao gelo

XF4 Saturação elevada em água com produtos descongelantes ou com água do mar

Estradas e tabuleiros de pontes expostos a produtos descongelantes

Superfícies de betão expostas a pulverizações directas contendo produtos descongelantes e expostas ao gelo

Zonas sujeitas aos efeitos da rebentação de estruturas marítimas expostas ao gelo

6. Ataque químico

XA1 Ambiente químico ligeiramente agressivo, de acordo com a EN 206-1, Quadro 2

Terrenos naturais e água no terreno

XA2 Ambiente químico moderadamente agressivo, de acordo com a EN 206-1, Quadro 2


XA3 Ambiente químico altamente agressivo, de acordo com a EN 206-1, Quadro 2


Nota: Este quadro é parte integrante da EN1992-1-1 (EC2) – Capítulo 4. A composição do

betão afecta quer a protecção das armaduras quer a resistência do betão aos ataques. O

Anexo E dá classes de resistência indicativas para as diferentes classes de exposição. Tal

pode conduzir à escolha de classes de resistência mais elevadas do que as que seriam

necessárias ao cálculo estrutural. Neste caso, deve adoptar-se o valor de fctm associado à

resistência mais elevada para o cálculo da armadura mínima e para o controlo da largura de

fendas (ver 7.3.2 a 7.3.4).

Apresentam-se seguidamente dois exemplos com a indicação das classes de

exposição consoante os ambientes a que os elementos estruturais estão expostos.



Exemplo 1: Ambiente exterior afastado da orla marítima

Ambiente Exterior – microambientes possíveis

Ambiente XC/XD – Risco de corrosão induzida por carbonatação ou de cloretos de

origem diversa da água do mar, respectivamente

Zonas 1 e 3 – XC4 – Betão sujeito a contacto pouco prolongado com a água

Zona 2 – XC2/XD3 – Betão sujeito a contacto prolongado com a água e com o risco

de pulverizações contendo cloretos

Zona 4 – XC3 – Betão exterior protegido da chuva

Zona 5 – XC2 – Ambiente húmido raramente seco como correntemente nas fundações



Exemplo 2: Ambiente marítimo

Zona atmosférica

Zona de rebentação

Zona de maré

Zona submersa

Ambientes XS – Corrosão indizida por cloretos na água do mar

XA – Ataque químico

Zona Atmosférica – Corrosão das Armaduras (XS1 – Sal transportado pelo ar mas

sem contacto directo com a água)

Zona de Rebentação – Corrosão das Armaduras (XS3 – Zona das marés)

Erosão do Betão

Zona de Maré – Ataque Químico do betão (XS3, XA)

Corrosão das armaduras

Erosão do Betão

Ataque Biológico

Zona Submersa – Ataque Químico do Betão (XS2 – zona permanentemente

submersos)

Ataque Biológico

4. Período de Iniciação e Período de Propagação

A estrutura pode estar sujeita a um nível de contaminação elevado sem que haja

sinais visíveis de deterioração (fase de iniciação)



INICIAÇÃO PROPAGAÇÃO

VIDA ÚTIL

NÍVEL DE DETERIORAÇÃO

TEMPO

LIMITE ACEITÁVEL

Num problema de corrosão de armaduras o fim do período de iniciação representa a

despassivação das armaduras e o período de propagação corresponde ao

desenvolvimento da corrosão.

Há que programar acções de inspecção, mesmo que não existam sinais de

deterioração visíveis, por forma a permitir realizar operações de manutenção antes

que os mecanismos de deterioração mais severos se desenvolvam.

Os custos de reparação de uma estrutura que se apresente na fase de propagação

são sempre elevados. Uma forma de aumentar o período de iniciação, mesmo em

ambientes agressivos, é através da garantia de um recobrimento eficiente e betão com

boa compacidade, como explicitado nas figuras seguintes.

Influência do recobrimento na profundidade de carbonatação



Recobrimento mínimo e qualidade (resistência) do betão – Valores de referência

5. Despassivação das Armaduras

No betão não contaminado as armaduras encontram-se protegidas contra a corrosão

devido à elevada alcalinidade do meio.

Hidróxido de cálcio

Hidróxido de sódio e potássio → pH ≈ 12.5 a 13.5

Nestas condições forma-se à superfície da armadura uma barreira de protecção

(película passiva) que impede a sua corrosão.

pH ≥≥≥≥ 12,5

Película passiva

(γγγγ Fe2O3)

Armadura

A corrosão não é possível

Protecção das armaduras no betão

Quando o pH desce para valores inferiores a 10 - 11, ou o teor de cloretos ultrapassa

o valor crítico, ocorre a destruição da película passiva.



A despassivação das armaduras origina o início do mecanismo da corrosão

Dissolução da película passiva

Carbonatação pH <<<< 9

Cloretos

Cl- >>>> valor crítico

A corrosão é possível

Corrosão das armaduras após a dissolução da película passiva

• Profundidade da carbonatação

− Interesse em relacionar a profundidade da carbonatação com o

recobrimento.

− Pode ser realizado em carotes de pequeno diâmetro (ver figura) ou furos

(ensaiando o pó extraído do furo ou o próprio furo em profundidades

crescentes até se deixar de verificar a carbonatação).



6. Corrosão das Armaduras

O mecanismo da corrosão é um processo electroquímico, i.e. envolve reacções

químicas e correntes eléctricas gerando situações como as ilustradas nas fotografias.

Para que a corrosão se possa desenvolver é necessário a presença dos seguintes

elementos:

Ânodo Zona da armadura despassivada

Cátodo Zona da armadura com acesso ao oxigénio

Conductor eléctrico Armadura

Electrólito Betão

Modelo de uma célula de corrosão



H2O O2

CÁTODO ÂNODO

Cl- CO2 H2O O2

DISSOLUÇÃO DO AÇO

Fe Fe++ + 2e-

REDUÇÃO DO OXIGÉNIO

1/2 O2 + H2O + 2e- 2OH-

2 e-

OH-

PRODUTOS DA CORROSÃO

Fe++ + 2OH- Fe (OH)2

Fe++

Volume relativo dos produtos da corrosão (Aumento percentual)



Situações em que não ocorre corrosão significativa:

• A armadura não está despassivada ⇒ não existe ânodo

• Em elementos submersos não há disponibilidade de oxigénio ⇒ não existe

cátodo

• Em elementos situados em ambientes secos o betão tem uma condutividade

baixa ⇒ não existe electrólito

7. Efeitos da Deterioração

Efeitos de corrosão das armaduras

• Fendilhação/Delaminação/Descasque do betão de recobrimento

• Perda de aderência aço/betão

• Perda de secção e ductilidade do aço

A figura mostra um muro de umas docas marítimas com um nível de descasque do

betão de recobrimento num estado muito avançado de degradação, essencialmente

devido ao efeito de cloretos.



8. Metodologia para a Garantia da Durabilidade

A garantia da durabilidade é naturalmente um problema estatístico. Os parâmetros

associados à avaliação destes fenómenos (ex: corrosão) têm uma determinada

distribuição.

A avaliação não pode ser feita com base em valores médios. Deve ser feita em termos

de probabilidade de ocorrência. Por exemplo de 10%, para um certo período de vida.

Avaliação da Probabilidade de corrosão:

Z = R – F

R – Distribuição do recobrimento

F – Penetração do teor crítico de

cloretos F (t)

Pf = ∅ [- µz/σz] = ∅ (- β)

µz – valor médio de Z

σz Desvio padrão de Z: ( )σ2R

+ σ2F

1/2

β – índice de fiabilidade

No entanto da dificuldade estatística foi possível definir valores de recobrimentos e

características dos betões de tal forma a assegurar a durabilidade necessária (período

de vida) para as diferentes classes de exposição.

Refira-se que em Portugal e para um período de vida de 50 anos a classe a adoptar é a

S4. Apresentam-se seguidamente os quadros para avaliação daquelas características.

Armadura Ordinária

Requisitos relativos à condição de exposição ambien tal para C min,dur (mm)

Classe

Estrutural

Classe de exposição de acordo com o Quadro

X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1/XS1 XD2/XS2 XD3/XS3

S1 10 10 10 15 20 25 30

S2 10 10 15 20 25 30 35

S3 10 10 20 25 30 35 40

S4 10 15 25 30 35 40 45

S5 15 20 30 35 40 45 50

S6 20 25 35 40 45 50 55



Armaduras Pré-Esforçadas

Requisitos relativos à condição de exposição ambien tal para C min,dur (mm)

Classe

Estrutural

Classe de exposição de acordo com o Quadro

X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1/XS1 XD2/XS2 XD3/XS3

S1 10 15 20 25 30 35 40

S2 10 15 25 30 35 40 45

S3 10 20 30 35 40 45 50

S4 10 25 35 40 45 50 55

S5 15 30 40 45 50 55 60

S6 20 35 45 50 55 60 65

Classe Estrutural

Criterio Condições de exposição de acordo com o quadro

X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1 XD2/XS1 XD3/XS2/ XS3

Período de vida útil

de 100 anos

aumentar

2 classes

aumentar

2 classes

aumentar

2 classes

aumentar

2 classes

aumentar

2 classes

aumentar

2 classes

aumentar 2

classes

Classe de

resistência

≥ C30/37

reduzir 1

classe

≥ C30/37

reduzir 1

classe

≥ C35/45

reduzir 1

classe

≥ C40/50

reduzir 1

classe

≥C40/50*a

reduzir 1

classe

≥ C40/50

reduzir 1

classe

≥C45/55*b

reduzir 1

classe

Elemento tipo laje

(se a posição das

armaduras não for

afectada pelo

processo construtivo)

reduzir 1

classe

reduzir 1

classe

reduzir 1

classe

reduzir 1

classe

reduzir 1

classe

reduzir 1

classe

reduzir 1

classe

Controlo de

qualidade especial

para a produção do

betão

reduzir 1

classe

reduzir 1

classe

reduzir 1

classe

reduzir 1

classe

reduzir 1

classe

reduzir 1

classe

reduzir 1

classe

*a ou C50/60 – CEM I/IIA *b ou C60/75 – CEM I/IIA



O valor a indicar nos desenhos é o do recobrimento nominal.

Cnom = Cmin + ∆C

∆C – Tolerância (rigor) no posicionamento das armaduras (10mm)

Para além do recobrimento a EN206 estabelece os requisitos da qualidade dos betões

para as várias condições de agressividade ambiental:

Tipo de

cimento CEM I (Referência); CEM II/A (1) CEM II/B (1); CEM III/A (2); CEM IV (2);

CEM V/A (2)

Classe de

exposição

XC1 XC2 XC3 XC4 XC1 XC2 XC3 XC4

Mínimo

recobrimento

nominal (mm)

25 35 35 40 25 35 35 40

Máxima razão

água/cimernto 0.65 0.65 0.60 0.60 0.65 0.65 0.55 0.55

Mínima

dosagem de

cimento, C

(kg/m3)

240 240 280 280 260 260 300 300

Mínima classe

de resistência

C25/30

LC25/28

C25/30

LC25/28

C30/37

LC30/33

C30/37

LC30/33

C25/30

LC25/28

C25/30

LC25/28

C30/37

LC30/33

C30/37

LC30/33

(1) Não aplicável aos cimentos II/A-T e II/A-W e aos cimentos II/B-T e II/B-W, respectivamente

(2) Não aplicável aos cimentos com percentagem inferior a 50% de clínquer portland, em massa



Limites da composição e da classe de resistência do betão sob acção de cloretos,

para uma vida útil de 50 anos

Tipo de cimento CEM IV/A (Referência); CEM IV/B; CEM III/A; CEM III/B; CEM V; CEM II/B (1); CEM II/A-D

CEM I; CEM II/A (1)

Classe de

exposição

XS1/XD1 XS2/XD2 XS3/XD3 XS1/XD1 XS2/XD1 XS3/XD3

Mínimo

recobrimento

nominal (mm)

45 50 55 45 50 55

Máxima razão

água/cimento 0,55 0,50 0,45 0,45 0,45 0,40

Mínima

dosagem de

cimento, C

(kg/m3)

320 320 340 360 360 380

Mínima classe

de resistência

C30/37

LC30/33

C30/37

LC30/33

C35/45

LC35/38

C40/50

LC40/44

C40/50

LC40/44

C50/60

LC50/55

(1) Não aplicável aos cimentos II –T, II-W, II/B-L e II/B-LL

Limites da composição e da classe de resistência à compressão do betão sob ataque

químico, para uma vida útil de 50 anos

Tipo de cimento CEM IV/A (Referência); CEM IV/B; CEM III/A; CEM III/B; CEM V; CEM II/B (1); CEM II/A-D

CEM I; CEM II/A (1)

Classe de

exposição

XA1 XA2 (2) XA3 (2) XA1 XA2 (2) XA3 (2)

Máxima razão

água/cimento 0,55 0,50 0,45 0,50 0,45 0,45

Mínima

dosagem de

cimento, C

(kg/m3)

320 340 360 340 360 380

Mínima classe

de resistência

C30/37

LC30/33

C35/45

LC35/38

C35/45

LC35/38

C35/45

LC35/38

C40/50

LC40/44

C40/50

LC40/44

(1) Não aplicável aos cimentos II-T, II-W, II/B-L e II/B-LL.

(2) Quando a agressividade resultar da presença de sulfatos, os cimentos devem satisfazer os

requisitos mencionados na secção 5, nomeadamente no Quadro 10, aplicando-se ao betão as exigências

estabelecidas neste quadro para o CEM IV.



9. Outros aspectos importantes para a garantia da dura bilidade das

construções

9.1 Concepção e Projecto

Forma Estrutural

• Adoptar sempre que possível formas simples que minimizem a área de exposição

ao ambiente

• Evitar saliências e cantos

Adoptar formas arredondadas

Dono de Obra

Critério de Projecto

Caderno de Encargos

Projecto

Concepção – Robustez

Pormenorização

Especificações Técnicas

9.2 Execução

Controlo Técnico de Execução

Recobrimentos

Qualidade do Betão

Cura



9.3 Manutenção, Inspecções e Eventuais Reforços

Inspecção e ensaios

Conservação. Medidas preventivas

Muitas vezes na sequência de avaliação de estruturas durante a sua vida útil pode

resultar a necessidade de uma reparação. Nas figuras seguintes apresenta-se uma tal

situação.

Inspecção (avaliação de uma situação de reacção álc alis-agregados) e início da

reparação/reforço



Solução de reparação/reforço (encamisamento e tinta impermeabilizante) e

aspecto final



MÓDULO 5

VERIFICAÇÃO DO COMPORTAMENTO EM SERVIÇO

(ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO – SLS)


ÍNDICE

1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 160

1.1. VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO .......................................................... 160

1.2. ACÇÕES ........................................................................................................................... 160

1.3. MATERIAIS ........................................................................................................................ 161

1.3.1. Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados limites de

utilização ............................................................................................................................ 161

1.3.2. Efeitos diferidos no tempo do betão ........................................................................ 163

2. ESTADO LIMITE DE ABERTURA DE FENDAS ............ ..................................................... 167

2.1. MECANISMO DA FENDILHAÇÃO E ABERTURA DE FENDAS .............................................. 168

2.1.1. Determinação do valor máximo da largura de fendas ............................................ 176

2.1.2. Cálculo de tensões com base na secção fendilhada e sua limitação ..................... 180

2.2. ARMADURA MÍNIMA............................................................................................................ 185

2.2.1. Tracção .................................................................................................................... 185

2.2.2. Flexão ...................................................................................................................... 187

2.3. LIMITES ADMISSÍVEIS DE FENDILHAÇÃO RELATIVOS AO ASPECTO E À DURABILIDADE ...................... 196

2.4. CONTROLO DA FENDILHAÇÃO SEM CÁLCULO DIRECTO (EC2) ............................................... 196

3. ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO .................... ............................................................. 199

3.1. LIMITES DE DEFORMAÇÃO ................................................................................................. 199

3.2. QUESTÕES NA AVALIAÇÃO E NA LIMITAÇÃO DA DEFORMAÇÃO .............................................. 200

3.3. AVALIAÇÃO DIRECTA DA DEFORMAÇÃO ............................................................................... 205

3.3.1. Cálculo da curvatura em estado I............................................................................ 205

3.3.2. Cálculo da curvatura em estado II .......................................................................... 206

3.3.3. Cálculo das deformações ........................................................................................ 207


MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 160

1. Introdução

No Módulo I discutiram-se as características fundamentais do comportamento à flexão

do betão armado e foi explicada a fundamentação base das verificações de segurança

das estruturas. Nos Módulos 2 e 3 apresentaram-se e aplicaram-se os modelos para

garantia da segurança à rotura de elementos lineares, sem esforço axial (vigas).

Neste Módulo 4 apresentam-se os princípios e a aplicação para a verificação da

segurança em serviço das estruturas de betão armado, ou seja, da Verificação dos

Estados Limites de Utilização.

1.1. VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO

Como enquadrado anteriormente, na avaliação destes Estados Limites de Utilização,

há que ter como principal objectivo:

Garantir um bom comportamento das estruturas em sit uações correntes de serviço,

assegurando um nível de fendilhação aceitável (através do contolo da abertura

máxima de fendas ), limitar a deformação a valores funcionalmente aceitáveis para

os objectivos da construção em causa e tornar a eventual sensibilidade das estruturas

à vibração , limitada a valores que não gerem desconforto.

Por outro lado, nas verificações da segurança aos Estados Limites de Utilização, e

como discutido no Módulo 1,as acções tomam valores de actuação expectável (não

são majoradas e as sobrecargas podem não actuar com todo o seu valor) e o

comportamento dos materiais é simulado através da u tilização de propriedades

médias (não minoradas).

1.2. ACÇÕES

Como vimos temos, então, nas verificações aos estados limites de utilização,

combinações de acções com diferentes probabilidades de ocorrência:

Combinação rara: Situação de carregamento com pequena probabilidade de

ocorrência apropriada para analisar um estado limite de muito curta duração –

algumas horas no tempo de vida da estrutura.

Gm + Qk + ∑i ψ1i Qik

Combinação frequente: Caso com probabilidade de ocorrência superior ou igual

a 5% do tempo de vida da estrutura, e aplicável a estados limites de curta

duração.



Gm + ψ1 Qk + ∑i ψ2i Qik

Combinação quase-permanente: Situação de solicitação com probabilidade de

ocorrência superior a 50% do tempo de vida da estrutura, portanto adequada

para analisar estados limites definidos como de longa duração.

Gm + ∑i ψ2i Qik

Refira-se que é para este nível de acções que o comportamento em termos de

deformação e controlo da abertura de fendas é, em geral, importante.

Nestas expressões o significado das variáveis é a seguinte:

Gm – valor médio das acções permanentes

Qk – valor característico da acção variável base

Qik – valor característico das restantes acções variáveis

1.3. MATERIAIS

Estes terão naturalmente um comportamento elástico , havendo no entanto que

considerar o facto do betão fendilhar, e ainda, as suas características de

comportamento ao longo do tempo, ou seja a fluência e a retracção .

Referem-se seguidamente estas características de uma forma necessariamente

resumida, havendo que consultar outros elementos para a sua mais correcta

quantificação.

1.3.1. Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados

limites de utilização

Com base no diagrama médio esperado (no desenho referido como “real”) de

comportamento do aço , enquadra-se a resposta característica, de cálculo à rotura e,

indica-se, ainda, a zona esperada em termos do comportamento em serviço.



(i) AÇO

fyd

σs

fyd

εs

Es

0.2%

fyk

curva simplificada de cálculo aos E.L. Últimos

curva realcurva característicacurva de cálculo

E.L. Utilização

Para a verificação da segurança aos estados limites de utilização, temos, portanto,

simplesmente a relação esquematizada, tendo como limite absoluto a tensão de

cedência (ver §2.1.2.2):

Es = 200 GPa

εs

σs

Para o betão as características das relações tensões – extensões do betão são

indicadas na figura seguinte, vendo-se que o módulo de elasticidade é definido,

aproximadamente, com a rigidez secante para uma tensão de 40% do valor resistente

para a curva média do comportamento.



(ii) BETÃO

εc

σc

0.85 fcd

3.5‰2‰

fck

Ec

0.4 fcm

εc

curva real

curva característica

curva simplificada de cálculoaos E.L. Últimos

fcm

Assim, para a verificação da segurança aos estados limites de utilização, o

comportamento do betão é considerado, para acções de curto prazo, como sendo

elástico e linear, limitado ao valor resistente de tracção e tendo a compressão limites

regulamentares referidas em §2.1.2.2.

Ec

εc

σc

fctm

O betão, ao longo do tempo , por efeito do fenómeno da retracção, ou da fluência, se

estiver submetido a um nível de tensão permanente, aumenta a sua deformação.

Estes efeitos têm implicações nas estruturas ao nível das deformações , mas também

podem causar, ao longo do tempo, em estruturas hiperstáticos, esforços ,

naturalmente auto-equilibrados.

1.3.2. Efeitos diferidos no tempo do betão

Analisa-se, então, seguidamente, as características do comportamento do betão no

tempo que depende de dois efeitos:

− Fluência , dependente da actuação de tensões aplicadas com permanência.

− Retracção , que se verifica independentemente de outros efeitos.



1.3.2.1. Fluência

A fluência pode ser definida como sendo o aumento da deformação no tempo, sob a

acção de um estado de tensão constante (resultado, essencialmente, da variação de

volume da pasta de cimento que envolve os agregados).

No esquema seguinte ilustra-se o efeito desta característica do comportamento:

(a) Instante de aplicação da carga (t0)

p

εc(to)

εc (t0) = σc (t0)Ec (t0)

(b) Tempo t∞

p

εc(to)

εcc(t∞,to)

εcc (t∞, t0) = ϕ (t∞, t0) εc (t0)

onde,

εcc (t∞,t0) representa a deformação por fluência

ϕ (t∞,t0) representa o coeficiente de fluência (quociente entre o incremento de

extensão, εcc, no intervalo de tempo [t∞, t0] e a extensão inicial, εc (t0))

A fluência do material betão depende, no entanto, de muitos parâmetros que não são

neste contexto, analisados. São eles:

− idade do carregamento (t0)

− período do carregamento [t, t0]

− humidade relativa do ambiente (> humidade ⇒< fluência)

− temperatura relativa do ambiente (> temperatura ⇒>fluência)

− composição do betão

− consistência do betão

− forma da secção

Para idades de carregamento usuais, a partir dos 14 a 28 dias após betonagem, este

coeficiente toma valores tal que, ϕ (t∞, t0) ≅ 2 a 4. Para casos correntes, e na falta de



outros dados poderá utilizar-se, como primeira referência, o valor de ϕ ≅ 2.5 e para

avaliações mais detalhadas pode recorrer-se a muitos modelos existentes, em

particular o referido no EC2. Avalia-se, agora, o efeito da fluência, na deformação do

betão e, posteriormente, de uma viga de betão armado não fendilhada.

Determinação da deformação a longo prazo (t∞) tendo em consideração o efeito da

fluência:

t∞ = 10 000 dias (≅ 27 anos)

εc (t∞, t0) = εc (t0) + εcc (t∞, t0) = εc (t0) + ϕ (t∞, t0) εc (t0) = σc (t0)Ec (t0)

+ ϕ (t∞, t0) σc (t0)Ec (t0)

⇔

⇔εc (t∞, t0) = σc (t0)Ec (t0)

(1 + ϕ) = εεεεc (t0) (1 + ϕϕϕϕ)

⇒⇒⇒⇒εεεεc (t∞∞∞∞, t0) = σσσσc

E*c , com E*

c = E c

1 + ϕ

A fluência é linear com o nível de tensão, desde que esta esteja limitada (§2.1.2.2).

Este efeito afecta directamente a deformação de uma estrutura, podendo ser

considerado, de uma forma simplista, como uma perda de rigidez no tempo , devido

ao abaixamento do módulo de elasticidade.

Para o caso de uma viga simplesmente apoiada, não fendilhada, apresenta-se

seguidamente o efeito da fluência na deformação com base no princípio dos trabalhos

virtuais, em que se chama a atenção para a dependência da flecha dos valores e

distribuição das curvaturas na estrutura.

p

δ

δ = f1

R

pelo P.T.V., δ = ⌡⌠

L M .

1 R dx

Como se pode observar na figura seguinte, a fluência do betão provoca ao nível da

secção um aumento das extensões do betão e, consequentemente, um aumento da

curvatura.

d

(+)

(-)

εc(to)

εs

εc(to)

(+)

εs

(-)

εcc(t,to)

1R (t) =

|εc (t0)| + |εcc (t, t0)| + εs

d ≅

≅ 2 εc (t0) + |εcc (t, t0)|

h



Chama-se desde já a atenção para que as armaduras contribuem, um pouco, para

restringir o aumento de deformação por fluência do betão. No entanto, no

comportamento em Estado I, não fendilhado, essa restricção não é muito significativa.

1.3.2.2. Retracção

A retracção do betão impõe uma diminuição da dimensão de uma peça de betão no

tempo, independentemente do estado de tensão da peça, portanto mesmo na

ausência de outras acções, variações de temperatura ou cargas aplicadas.

Seguidamente ilustra-se o efeito da retracção do betão ao nível de um prisma de betão

e, como acção, num tabuleiro contínuo de ponte. Neste exemplo, chama-se a atenção

para que o valor de retracção do betão pode tomar valores diversos, mas que a sua

ordem de grandeza varia entre 0.2 a 0.4‰, podendo ser melhor avaliado recorrendo

às indicações, por exemplo, do EC2.

εcs(t∞,to)

to t∞

εcs (t∞, t0) ≅ - 200×10-6 a - 400×10-6 = - 2.0×10-4 a - 4.0×10-4

100 m

ε = ∆LL ⇒∆L = ε× L

∆L=-4.0×10-4×100m=-0.04m

Para um tabuleiro de uma ponte de 100m seria de esperar, aproximadamente, um

encurtamento ao longo do tempo devido ao efeito da retracção, com um valor da

ordem de 4cm, distribuído em partes iguais pelos dois apoios, se estes forem móveis

longitudinalmente.

A retracção pode ser tratada como o efeito de uma diminuição de temperatura com um

valor equivalente de, ∆Tequivalente, como se pode verificar:

α = 10-5/°C – coeficiente de dilatação térmica do betão

εcs = -2 × 10-4 a -4 × 10-4 ⇒ ∆Tequivalente = -20°C a -40°C

(ε∆T = α × ∆T = 10-5/°C × (-20° a -40°) = -2 × 10-4 a -4 × 10-4)



Refere-se, desde já, que, se a retracção livre for impedida, por restrições ao nível da

secção ou da estrutura, isto é, se houver hipersticidade, produzem-se tensões de

tracção que poderão contribuir para a ocorrência de fendilhação.

A retracção do betão depende de, inúmeros factores, de uma forma semelhante à

fluência, dos quais se podem destacar:

– Humidade e temperatura relativa do ambiente

– Consistência do betão na altura da betonagem

– Forma da secção (espessura fictícia do elemento)

Além de poder afectar o estado de tensão na secção, a retracção pode também

contribuir para um incremento de deformação ao longo do tempo , como se ilustra,

de seguida, para uma viga não fendilhada.

εs

εc

d (-)

Curvatura: 1R =

εc - εs

d

De facto, numa secção de betão de uma viga, com distribuição de armadura não

simétrica, a retracção do betão provoca uma curvatura na peça, por efeito da restrição

à deformação provocada pela armadura. Essa curvatura será assim tendencialmente

positiva na zona do vão e negativa na zona dos apoios, contribuindo, em ambas as

situações, para o aumento da flecha das vigas.

δ

δ = f1

R

pelo P.T.V., δ = ⌡⌠

L –M.

1 R dx

2. Estado Limite de Abertura de Fendas

A análise e compreensão do fenómeno da formação de fendas e da sua evolução até

à sua estabilização, incluindo o processo de transmissão de tensões entre o betão e

as armaduras, e, finalmente, a forma de estimar as aberturas das fendas, não é

simples. Têm sido desenvolvidos inúmeros modelos, mais ou menos sofisticados, para

a sua explicação e avaliação das variáveis em jogo.

No que se segue descreve-se de uma forma simplificada as características principais

do mecanismo de fendilhação, para depois explicar a formulação da avaliação das



aberturas de fendas e do seu controlo indirecto a partir dos parâmetros mais

condicionantes.

2.1. MECANISMO DA FENDILHAÇÃO E ABERTURA DE FENDAS

Para a apresentação do processo de fendilhação vamos tomar o elemento estrutural

mais simples que é o de uma barra de betão armado sujeita à tracção.

N

σc

N A s

A c

Antes de fendilhar, Estado I, a distribuição de tensões segue o comportamento elástico

tendo-se, aproximadamente:

σc = N Ac

σs = εsEs ; σc = εcEc

Como εs = εc ⇒ σs σc

= Es Ec

⇔σs = Es Ec

σc ⇔ σσσσs = ασασασασc , com α = Es Ec

Quando se tiver σc = fctm há-de surgir uma fenda numa dada secção, que por uma

razão ou outra esteja mais enfraquecida, passando o esforço axial nessa secção a ser

resistidosó pelo aço. Há assim um brusco aumento de tensão no aço, maior ou menor,

consoante a quantidade de armadura presente.

De facto, com o aparecimento da 1ª fenda, ou seja, na passagem para a secção

fendilhada, o incremento de tensão na armadura, ∆∆∆∆σσσσs, pode ser avaliado por:

NN

σc = fct ⇒ fct Ac = As ∆σs ⇔ ∆σs = Ac As

fct

⇒ ∆∆∆∆σσσσs = 1 ρρρρ fct , com ρ =

As

Ac (% de armadura)

A tensão total, a seguir indicada, é calculada em Estado II, sendo a de Estado I, ααααfct,

em geral muito inferior.



ρ

σs

fyk

ρmin

∆σs

α fct

σσσσs = αααα fct + ∆∆∆∆σσσσs

Refira-se que, como tem sido referido neste curso, ρmin = As

Ac é a % mínima de

armadura para que, quando se forma a 1ª fenda, a armadura não atinja a cedência

(não plastifique). Para quantidades de armadura superiores o nível de tensão instalado

na fenda estará no domínio elástico, havendo, por efeito da aderência aço/betão, na

região adjacente à fenda, uma transferência de tensões do aço para o betão. A uma

distância, s, como indicado na figura, restabelece-se um estado de tensão com

tracções no betão que permitem condições para se poder formar outra fenda.

N N

σc

τm

s

σc = N Ac

= fct ⇔ N = fct Ac

Esta distância, s, é considerada como a distância mínima, para que se possa formar

outra fenda.

Assim, a distância mínima entre fendas (s), para um tirante , pode obter-se através de:

Nmáximobetão = Naderencia ⇔ fct Ac = τm × Acontacto ⇔ fct Ac = τm × u × s ⇒ smin = fct

τm ×

Ac

u

Como, ρ = As

Ac ⇔ Ac =

As

ρ = πφ2

4ρ e u = πφ ⇒ Ac u =

πφ2 4ρ ×

1 πφ =

φ 4ρ

∴∴∴∴ smin = fct

ττττm ×××× φφφφ

4ρ ρ ρ ρ

Caso se trate de um problema de flexão , em particular para vigas com alturas

pequenas e lajes, a zona traccionada de transmissão de tensões entre o aço e o betão

é triangular.



s

τm

fct

M

Dado que nestes casos Nmácximo betão = fct × Ac × 12 , esta distância tem tendência a ser

metade:smin = fct ττττm ××××

1 2 ××××

φφφφ 4ρ ρ ρ ρ

Em geral para peças com uma maior dimensão, a transmissão de tensões do aço para

o betão ocorre apenas numa zona restrita em torno da armadura, como representado

na figura abaixo indicada, definindo-se uma área efectiva, Ac,ef.

hc,ef

d

Ac,ef

Ac,ef representa a área efectiva de betão mobilizada por aderência, sendo a altura hc,ef

definida através de:

hc,ef = min [2.5 (h - d); (h - x)/3; h/2]

Poderá definir-se então uma percentagem de armadura (ρp,ef) relativa à área de betão

efectiva, calculada de acordo com a expressão

ρp,ef = As

Ac.ef

Deste modo, a distância mínima entre fendas poderá ser calculada através de:

smin = 0.25 k1 k2 φφφφ

ρρρρp,ef

Comparando com a expressão anterior verifica-se que é equivalente sendo que k1

representa a problemática das condições de aderência e k2 a forma do diagrama de

extensões na zona de transmissão de tensões ao betão. De acordo com o EC2, estes

tomam os seguintes valores:

k1 - coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões, e que

toma os seguintes valores:

0.8 para varões de alta aderência (nervurados ou rugosos)

1.6 para varões lisos



k2 - coeficiente que tem em conta a forma da distribuição de extensões na secção, e

que toma, em geral, os seguintes valores:

1.0 para a tracção

0.5 para a flexão de lajes ou vigas pouco altas

Nos casos de tracção excêntrica ou de flexão de vigas mais altas, valores intermédios

de k2, podem ser avaliados pela expressão:

M

Ac,ef

ε2

ε1

k2 = ε1 + ε2

2 ε1

k2 = 1.0 ⇐ε1 = ε2 (tracção pura)

0.5 ⇐ ε2 = 0

Nota: Quando forem utilizados, na mesma secção transversal, varões com diâmetros

diferentes, deve ser utilizado na expressão um diâmetro equivalente (φeq), dado por

φeq = n1φ1

2 + n2φ22

n1φ1 + n2φ2

Refira-se que, uma vez estabilizada a formação de fendas na zona traccionada, isto é,

quando não houver condições para a formação de mais fendas, a distância entre elas

deverá ser variável, teoricamente, entre o valor mínimo e duas vezes esse valor.

Na figura seguinte ilustra-se o ensaio de uma viga de secção em I à flexão, em que se

mostram dois pormenores da zona central, um em que se está no processo de

fendilhação de fendas e outro em que o processo de fendilhação estabilizada já se

encontra definido. Refira-se que na viga estão marcados com traços a cores o

andamento das fendas à medida que a carga evoluiu.



Por sua vez o Eurocódigo 2 define uma distância máxima entre fendas a ser

calculada através da seguinte expressão que corresponde a 1.7 vezes o valor anterior

acrescido do termo complementar 2c, tal que:

sr,max = 1.7

2c + 0.25 k 1 k2

φφφφ ρρρρp,ef

= 3.4c + 0.425 k 1 k2 φφφφ

ρρρρp,ef

E onde c representa o recobrimento das armaduras e o termo 2c contabiliza o facto da

abertura de fendas na superfície ser um pouco maior que junto à armadura.



Escorregamento

Fissura

c

c

φ

Estado I

εc1=εs1

σc1=fct

N=Nf

hef Ac,ef

l

Pode constatar-se da análise da expressão que:

Maior quantidade de armadura ⇒ menor distância entre fendas

Naturalmente que com uma maior densidade de armadura a transmissão de

tensões para o betão é mais eficiente.

Menores φs ⇒ menor distância entre fendas

Fisicamente compreende-se pois, para a mesma quantidade de aço, com

diâmetros menores a relação entre a superfície dos varões e a área de aço é

maior.

Para a avaliação da abertura de fendas é preciso, para além da estimativa da

distância previsível entre fendas, determinar o valor médio da diferença entre a

extensão do aço (que é maior naturalmente) e a extensão do betão, na zona da fenda.

Então vejamos qual seria a abertura de fendas num elemento fendilhado de betão

armado, sem mobilização de aderência aço/betão.

sss

N N

sss Ac

As

w w

w - abertura de fendas

s - distância entre fendas

εs = ∆L

L = w s

⇒w = s εεεεs

εs = σs Es

e σs = N As

As aberturas de fendas seriam avaliadas, naturalmente, pelo produto da extensão do

aço, uma vez que o betão não teria tensões, vezes o comprimento de influência de

cada fenda.



Na realidade o cálculo da abertura de fendas baseia-se neste princípio só que há que

contabilizar, por um lado, a menor extensão do aço fora da secção das fendas e, por

outro lado, a extensão do betão, que contribui um pouco para diminuir a abertura da

fenda.

Há assim necessidade de avaliar a extensão relativa média entre o aço e o betão

que pode ser determinada pela seguinte expressão:

εεεεsrm = εεεεsm – εεεεcm

Na figura seguinte pode compreender-se o sentido desta expressão pois representa-

se, em termos médios, a distribuição de tensões e extensões no aço e no betão ao

longo de um elemento fendilhado de betão armado, com fendilhação estabilizada.

NN

L0

L

srm

σs

σc

εs;εc

εsm

εcm εsr εsrm

Onde,

εsm = ∆LL0

= L - L0

L0 (deformação média da armadura)

εsr – extensão relativa entre o aço e o betão

εsrm – extensão média relativa entre o aço e o betão

(i) Determinação da extensão média do aço

Como se pode observar no gráfico seguinte, que representa a extensão média do aço

em função do esforço axial, aquela é inferior à extensão do aço em estado II (εsII), pois



na zona entre fendas o betão retém parte da força de tracção aplicada. Denomina-se,

em geral, a este efeito a contribuição do betão entre fendas que está

esquematicamente representado na figura seguinte.

Verifica-se que a força média no aço entre fendas, é inferior à avaliada na secção

fendilhada e, por conseguinte, a extensão média do aço é inferior à de Estado II puro.

N

εsm

I

II

εsm

N

Ncr

εsIIεsI

Contribuição do betão entre fendas

Deste modo,

εsm = Fs - Fc Es As

= σs As - kt fct,ef Ac,ef

Es As =

σs Es

- kt fct,ef

Esρp,ef

Onde,

σs representa tensão no aço calculada com base na secção fendilhada;

kt é um factor de integração da distribuição de extensões, e que tem em conta a

duração ou a repetição das cargas (kt = 0.6 para acções de curta duração; kt = 0.4

para acções de longa duração);

fct,ef representa o valor médio da tensão resistente do betão à tracção, em geral

igual fctm;

ρp,ef representa a percentagem de armadura relativa à área de betão efectiva

As

Ac.ef

(ii) Determinação da extensão média do betão

Ora, a extensão média no betão é dada pela deformação média do betão entre fendas

que é devida precisamente à mesma força retirada ao aço.

εcm = σc Ec

= Fc

Ec Ac =

kt fct,ef Ac Ec Ac

= kt fct,ef Ec



Deste modo, a extensão média relativa entre o aço e o betão pode ser determinada

pela diferença entre ambos, ou seja:

εsm - εcm = σs Es

- kt fct,ef

Esρp,ef - kt

fct,ef Ec

= σs Es

- kt fct,ef

Esρp,ef

1 +

Esρp,ef Ec

⇒ εεεεsm - εεεεcm = σσσσs Es

- k t fct,ef

Esρρρρp,ef (1 + ααααeρρρρp,ef) com αe =

Es

Ec

2.1.1. Determinação do valor máximo da largura de f endas

O valor máximo da abertura de fendas obtém-se, então, através da expressão:

wk = sr,max×εsrm = sr,max (εεεεsm - εεεεcm)



EXERCÍCIO 3.1

Considere a estrutura representada na figura seguinte.

6.00 3.00

sc = 12 kN/m

cp = 20 kN/m

γg = γq = 1.5

ψ1 = 0.6 ; ψ2 = 0.4

Materiais: C25/30

A400NR

Recobrimento:2.5cm

Secção do tirante: 0.25 × 0.25 m2

a) Verifique o estado limite último de tracção no tirante.

b) Calcule a abertura característica de fendas no tirante para uma combinação

frequente de acções.




ALÍNEA A )


3.006.00

p=1 kN/m

RA RB

ΣMA = 0 ⇔ RB×6 – 1 × 9 × 4.5 = 0

⇔ RB = 6.75kN

(reacção no tirante)

psd = 1.5 × (20 + 12) = 48 kN/m

Nsd.tirante = 6.75 × 48 = 324 kN (tracção pura)

As = Nsd fyd

= 324

348×103 × 104 = 9.31 cm2⇒ Adoptam-se 8φ12

ALÍNEA B )

1. Cálculo da distância máxima entre fendas

Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2φ

ρp,ef

(i) Determinação de ρp,ef

ρp,ef = As

Ac.ef =

9.05 × 10-4 0.0583 = 0.0155

0.0925

0.065

h - d = rec + φest + φL

2 = 0.025 + 0.006 + 0.012

2 = 0.037m

2.5 (h - d) = 2.5 × 0.037 = 0.0925 m

Ac.ef = 0.25 × 0.25 - 0.065 × 0.065 = 0.0583 m2

(ii) Cálculo de sr,max

Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2φ

ρp,ef = 3.4 × 0.025 + 0.425 × 0.8 × 1.0 ×

0.012 0.0155 = 0.348 m

(k1 = 0.8 – varões nervurados; k2 = 1.0 – tracção simples)

2. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão



εsm – εcm = σs Es

- kt fct,ef

Esρp,ef (1 + αeρp,ef) =

= 202.9×103 200×106 - 0.4

2.6×103 200×106× 0.0155 (1+ 6.56 × 0.0155) = 6.45 × 10-4

Nfr = Ncp + ψ1Nsc = 6.75 (20 + 0.6 × 12) = 183.6kN

σs = Nfr As

= 183.6

9.05×10-4 = 202.9 MPa

kt = 0.4 – acções de longa duração

αe = Es

Ec =

200 30.5 = 6.56

3. Cálculo do valor característico da abertura de fendas

wk = sr,max (εsm - εcm) = 0.348 × 6.45 × 10-4 = 0.224×10-3m = 0.2 mm



2.1.2. Cálculo de tensões com base na secção fendil hada e sua limitação

No caso de se tratar de um problema de flexão, para a avaliação da abertura de

fendas na zona traccionada há então que avaliar o nível de tensão nas armaduras

na zona da fenda e aplicar a formulação atrás apresentada.

Se Mactuante > Mcr (= w × fctm) para o cálculo de tensões na secção, é necessário

considerar a secção fendilhada.

No estado II a posição da LN, poderá ser obtida através da igualdade dos momentos

estáticos das zonas comprimidas e traccionadas e, posteriormente, a distribuição de

tensões, como analisado no Módulo 1, ou directamente, através de tabelas.

Refira-se que o valor do módulo de flexão deve ter em consideração de uma forma

indirecta o efeito da fluência pois, como se viu, pode definir-se um módulo de

elasticidade equivalente, tal que: E*c =

E c

1 + ϕ. De facto a diminuição do módulo de

elasticidade aumenta a zona comprimida e, consequentemente, também aumenta um

pouco a tensão no aço por diminuição do braço de forças. Em geral toma-se um valor

de ϕ de 0.5 a 1.5 (α = 10 a 15) para as combinações frequentes de acções e para as

quase-permanentes ϕ de 2 a 2.5 (α = 18 a 22).

2.1.2.1. Cálculo de tensões através de tabelas

As2

As1

d2

d

N

σs2

x

Ms

b

σs1

c

Valores a avaliar: β = As2/As1; d2/d

Parâmetros a calcular:

α = Es Ec

; ρ = AsL

b d ; es = Ms N

Ms – Momento actuante na secção em

relação à armadura As1

– Flexão simples → N = 0 ⇒ es d = ∞

– Flexão composta → N ≠ 0 ⇒ es d =

Ms/Nd

Em função dos parâmetros αρ e es/d ⇒Cs

Cc

σs1 = αCsMs

b d2 ; σs2 = α σc

x (x - 0.1d) ;

σc = - CcMs

b d2 ; x = Cc

(Cc + Cs) d



2.1.2.2. Limitação das tensões em serviço

Refira-se que as tensões devem ser limitadas em serviço, sendo que as disposições

do EC2 são as seguintes:

•••• No Aço

− Para a acção de cargas e para a combinação característica:

σs ≤ 0.8 fyk

− Para a acção de deformações impostas, a tratar no parágrafo seguinte:

σs ≤ fyk

Estas disposições têm em consideração a garantia da não cedência do aço, pois

nesse caso, a abertura de fendas pode tomar valores grandes e de valor não

controlável. No caso da deformação imposta, e como se verá no próximo parágrafo há

uma maior certeza que o esforço desenvolvido está limitado (neste caso ao de

fendilhação), por isso admite-se fyk que corresponde ainda a uma reserva em relação a

fym.

•••• No Betão

− Para as acções características de acções: σs ≤ 0.6 fck

− Para as acções quase permanentes: σs ≤ 0.45 fck

O 1º limite tem a ver com o risco de se gerar, para este nível de acções alguma

fendilhação transversal e o 1º limite justifica-se para limitar a possibilidade de se poder

ter uma maior fluência, deixando de haver um regime proporcional, tensão-deformação

a longo prazo



EXERCÍCIO 3.2

Considere a estrutura da figura seguinte (exercício 2.2):

4.00 4.00 4.004.00

10.00

3.00

S2

S1


Acções:

Peso próprio

Revestimento=2.0 kN/m2

Sobrecarga = 3.0 kN/m2


γG = γQ = 1.5


ψ1 = 0.4 ; ψ2 = 0.2

Secção da viga: 0.30×0.85 m2


a) Determine a abertura de fendas na secção S1 para uma combinação frequente de

acções.




1. Cálculo dos esforços

pfrequente = cp + ψ1sc = 28.25 + 0.4 × 12 = 33.1kN/m

(+)

DMF(-)

10.00

S2

3.00

S1

pfr

M frS1

MS1fr

= pL2

2 = 33.1 × 32

2 =149kNm

2. Cálculo do momento de fendilhação (Mcr)

σ = M w ⇒ Mcr = w × fctm =

bh2

6 × fctm = 0.30 × 0.852

6 × 2.6×103 = 93.9 kNm < MS1fr

fctm (C25/30) = 2.6MPa

Deste modo, para combinação frequente, a secção do apoio está fendilhada

3. Cálculo de tensões em estado II (Tabelas)

0.30

5φ16

2φ25

d M

As1 = A (5φ16) = 10.05cm2

As2 = A (2φ25) = 9.82cm2

ρ = As1

bd = 10.05 × 10-4

0.3 × 0.8 = 0.0042

β = As2

As1 =

9.8210.05 = 0.98 ≅ 1

d2/d≅ 0.05 ;α = 15

Nota: para ter em conta o efeito de fluência pode tomar-se α ≅ 15 ou 18

α ≅

Es

Ec/(1 + ϕ)

αρ = 15× 0.0042 = 0.063 →(pag.120)

Cs = 17.35

Cc = 6.03

Posição da LN: x = Cc

Cc + Cs d =

6.036.03 + 17.35× 0.8 = 0.21m

Tensão na armadura: M = Mfr⇒σS = αCs Mfr b d2 = 15 × 17.35 ×

1490.3 × 0.82 = 202 MPa



4. Cálculo da distância máxima entre fendas

Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2φ

ρp,ef

(i) Determinação de ρp,ef

ρp,ef = As

Ac.ef =

10.05 × 10-4 0.0375 = 0.027

Ac,ef

hc,ef

hc,ef = min [2.5 (h - d); (h - x)/3; h/2]

h - d ≈ 0.05 m ⇒ 2.5 (h – d) = 2.5 × 0.05 = 0.125 m

(h - x)/3 = (0.85 - 0.21) / 3 = 0.21 m

h/2 = 0.85 / 2 = 0.43 m

⇒ Ac.ef = 0.30 × 0.125 = 0.0375 m2

(ii) Cálculo de sr,max

Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2 φ

ρp,ef = 3.4 × 0.03 + 0.425 × 0.8 × 0.9 ×

0.016 0.027 = 0.283 m

k1 = 0.8 (varões nervurados)

0.125

0.21

ε1

ε2

k2 = ε1 + ε2

2 ε1 =

ε1 + 0.8 ε1

2 ε1 = 0.9

ε1

0.85 - 0.21 = ε2

0.85 - 0.21 - 0.125⇔

⇔ ε2 = 0.515 ε1

0.64 = 0.8 ε1

5. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão

εsm-εcm = σs Es

- kt fct,ef

Esρp,ef (1 + αeρp,ef) =

= 202.0 × 103

200 × 106 - 0.4 2.6 × 103

200 × 106 × 0.027 (1+ 6.56 × 0.027) = 7.8 × 10-4

kt = 0.4 – acções de longa duração

αe = Es

Ec =

200 30.5 = 6.56

6. Cálculo do valor característico da abertura de fendas

wk = sr,max (εsm - εcm) = 0.283 × 7.8 × 10-4 = 0.22 × 10-3m = 0.22 mm



2.2. ARMADURA MÍNIMA

Nesta fase do curso já se referiu a necessidade de quantidades de armadura mínima à

tracção, à flexão, ao esforço transverso, etc, com o objectivo de assegurar, no

essencial, que, em caso de rotura, esta não seja frágil.

No que se segue, a problemática é bem diferente, apesar de poder conduzir a

resultados quantitativos que, nalgumas situações, são coincidentes. Neste contexto

pretende-se, principalmente, obter quantidades mínimas de armaduras distribuídas

nos elementos estruturais de tal modo que, se se formarem fendas, por efeitos de

cargas ou de deformações impostas , tais como a própria retracção do betão ou uma

variação de temperatura (em situações de restrição a essa deformação livre), as

aberturas, em condições de serviço se encontrem dentro de limites controlados.

2.2.1. Tracção

Considere-se o tirante de betão armado representado na figura seguinte, mas agora

submetido ao efeito de uma força ou de uma deformação imposta .

fct

NN



A diferença principal é a de que num caso se aplica a força e mede a deformação e,

noutro, aplica-se a deformação e mede-se a força. Se em termos de comportamento

elástico são situações equivalentes, nas estruturas de betão armado devido ao seu

comportamento não linear a curto prazo, por fendilhação, e a longo prazo, por fluência

do betão, as respostas podem ter características bem diversas.

Verifica-se que, em ambos os casos, até à formação da 1ª fenda, o comportamento é

elástico e equivalente mas, após a fenda , surgem duas respostas distintas:

1- Para o caso de aplicação da carga verifica-se um aumento da deformação global

do conjunto devido à perda de rigidez na abertura de cada nova fenda.

Assim, se não estiver presente uma quantidade de armadura suficiente para equilibrar

a carga de fendilhação, verifica-se uma rotura frágil do tirante. É com base nesta

situação que se define a armadura mínima devido ao efeito de cargas, como referido

nos Módulos 1 e 2, tal que:

Ncr = Ac × fct ⇒ Ac × fct ≤ As fyk ⇒ As.min = Ac fct

fyk , por tracção

2 - Para o caso da deformação imposta a perda de rigidez por formação de cada

nova fenda faz com que a carga diminua.

Neste enquadramento, a formação da 1ª fenda não é preocupante, pois o esforço

diminui. No entanto, com o crescimento da deformação imposta, se a capacidade das

armaduras é inferior ao esforço necessário para se formar a 2ª fenda o tirante

plastifica na zona da 1ª fenda (ver figura a) seguinte). Assim, não se formam mais

fendas, concentrando-se toda a deformação imposta naquela fenda, que atinge,

rapidamente, valores inaceitáveis.

I

II

ε imp

I

II

ε imp

a) ρ ρmin,y

˜ 0,10

b) ρmin,w = ρmin (wadm) > ρmin,y

σs2

Patamar de cedência

σs2

fy

fy

Fendilhação estabilizadaFormação de fendas

σsr,n

σsr,1σsr,1

w w

w1

wn wn = 1,20 w1

σsr,n = 1,30 a 1,35 σsr,1



No caso da deformação imposta, permitir a formação de várias fendas, as aberturas

são mais aceitáveis (ver figura b) anterior), chegando-se à conclusão que a quantidade

mínima de armadura para garantir este comportamento é equivalente à necessária de

não fragilidade, por efeito de cargas (situação 1).

2.2.2. Flexão

O caso da flexão é, em parte, equivalente ao da tracção na medida em que a zona

traccionada da secção funciona como um tirante. A diferença é que a distribuição de

tensões antes da fendilhação é triangular e não uniforme, como se mostra

seguidamente, e já referido no Módulo 1.

MMh/2

h

b

(-)

(+)

σc

fct

Área de betão traccionada: Act = b h

2

Força de tracção no betão: FT = 12 fct Act

⇒As.min = 1 2 Act

fct fyk

De acordo com o Eurocódigo 2 , a expressão para o cálculo da área de armadura

mínima, em termos do comportamento em serviço , e tendo como base, as

características da resposta a deformações impostas é dada pela seguinte

expressão:

As.min = kc k Act fct.ef

σσσσs

Em que a quantidade de armadura é avaliada admitindo que, durante o processo de

fendilhação, o esforço máximo mantém-se constante, da ordem de grandeza do

esforço de fendilhação, e se limita o nível de tensão nas armaduras aσσσσs .

Naquela expressão:

As,min representa a área mínima de armadura a colocar na zona traccionada;

Act representa a área de betão traccionada;

σs representa a tensão que se desenvolve na armadura imediatamente após a

formação da fenda, podendo ser, no limite, igual a fyk.

fct,ef representa o valor médio da resistência do betão à tracção na idade em que

se espera que ocorram as primeiras fendas;



k é um coeficiente que considera, para deformações impostas em parede

espessas, o efeito de tensões auto-equilibradas não uniformes (diminuição da

resistência efectiva à tracção devido à instalação de estados auto-equilibrados

de tensões), cujo valor varia com a espessura (ou altura) do elemento, de acordo

com o gráfico seguinte:

1.0

h [m]

k

0.65

0.3 0.8

Para fendilhação devida a cargas aplicadas, k = 1.0

kc é um coeficiente que tem em conta quer a forma da distribuição de tensões na

secção, imediatamente antes da fendilhação, quer a alteração do braço da força.

Para tracção simples : kc = 1.0

Para flexão simples kc = 0.4

Para banzos traccionados de secções em caixão ou em “T”

kc = 0.9 Fcr

Act fct,ef ≥ 0.5

Em que Fcr representa o valor absoluto da força de tracção no banzo, no instante que

antecede a fendilhação, devida ao momento de fendilhação (Mcr calculado utilizando o

valor de fct,ef). Como simplificação é natural considerar para estes casos kc = 0.9 ou

mesmo uma situação de tirante puro, k = 1.0.

Para flexão composta, o EC2 propõe a generalização destes princípio tal

que:

kc = 0.4

1-

σc k1 (h / h*) fct,ef

≤ 1.0

Onde,

σc representa a tensão média actuante no betão, na secção rectangular

ou na alma da secção, se tiver outra forma (σc = NEd / b h), sendo NEd o

esforço normal actuante para a combinação de acções considerada

(compressão com sinal positivo);



k1 é um coeficiente que considera o efeito dos esforços normais na

distribuição de tensões: k1 = 1.5 se o esforço normal for de compressão;

k1 = 2h*/3h se o esforço normal for de tracção;

h* = min (h; 1.0 m);

A variação de kc da tensão média na secção é a ilustrada para 3 secções no gráfico

seguinte.

Estimativa do coeficiente kc

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

-7500 -6000 -4500 -3000 -1500 0 1500 3000 4500

Tensão média [kN/m2]

Caso 1 - 1,50x0,50

Caso 2 - 1,00x0,40

Caso 3 - 0,20x1,00

Esta é uma forma de aumentar ou diminuir a armadura mínima de flexão consoante

haja um esforço axial, respectivamente, de tracção ou compressão.

Apresenta-se seguidamente a exemplificação de algumas destas disposições.

(i) Armadura mínima para situações de tracção devid as a deformações

impostas restringidas.

Muro de suporte

Nestes casos o encurtamento por retracção ou abaixamento de temperatura

diferencial entre a fundação e a parede vertical do muro geram, na parede , um estado

de tensão de tracção bastante aproximado ao de um tirante especialmente se o muro

for tal que l/h ≥ 4. Assim a armadura mínima de tracção deve ser disposta

longitudinalmente e nas duas faces. Note-se que não interferem com as armaduras

necessárias para suporte das terras, dispostas na vertical.



As.min = kc k Actfct.ef

σs

Em que:

fct,ef = 2.9 MPa ; fyk = 500 MPa

kc = 1.0 (efeito de tracção)

k = 1.0 se h ≤ 0.30 m e k = 0.65 se h ≥ 0.80m (efeito da diminuição do esforço de

fendilhação da parede devido à deformação imposta por causa das tensões auto-

equilibradas)

φ16 / 0.15φ16 / 0.15

h = 0.50

Problema: fendilhação no muro, pelo facto da sapata

(betonada anteriormente) constituir um impedimento ao livre

encurtamento do muro por efeito da retracção e temperatura.

É necessário adoptar armadura mínima na direcção

horizontal:

As.min/face = kc k Act fct,ef

σs = 1.0 ×k(h) ×

h2 ×

fct,ef

fyk [cm2/m/face]

k = k(h) (deformação imposta) ≅ 0.85

kc = 1.0 (tracção pura)

Act= 1.0 m 0.52 = 0.25 m

Asmin = 100 ×25×1.0× 0.85 ×2.9500 = 12.3 cm2/m (φ16//0.15)

Varanda (consola)

Um caso semelhante, mas agora devido a uma retracção ou abaixamento de

temperatura diferencial entre o exterior e interior de um edifício, é o de varandas.

h = 0 .2 0

Problema: fendilhação na consola, pelo facto da laje

interior constituir um impedimento ao livre

encurtamento da consola devido a variações de

temperatura e/ou retracção.

É necessário adoptar armadura mínima na direcção paralela ao apoio:

As.min = kc k Act fct,ef

σs= 1.0 × k(h) × h ×

fct,ef

fyk [cm2/m]

k = k(h) (deformação imposta) = 1.0



kc = 1.0 (tracção pura)

Act = 1.0 × 0.22 = 0.10 m

As,min = 100 × 1.0× 1.0 × 2.9500 = 5.8cm2/m (φ10//0.125)

(ii) Armadura mínima de flexão simples (considerand o A ct =Ac/2)

Expressão geral: As.min = k kc Act fct.ef

σs

Esta armadura mínima é necessária, por exemplo, para o caso de uma deformação

imposta que gere um efeito de flexão em serviço, como um assentamento diferencial

de apoio numa viga hiperstática. Então temos:

As,min = 1 × 0.4 × Ac

2 × 3

400 = 0.15% Ac

Verifica-se que, como seria de esperar e já foi atrás referido, é da mesma ordem de

grandeza do definido no Módulo 2 para secções rectangulares também de acordo com

o EC2, para assegurar uma rotura dúctil de flexão.

Naquela expressão considerou-se:

k = 1.0 (situação de deformação imposta sem gerar tensão auto-equilibrada)

kc = 0.4

1-

σc k1 (h / h*) fct,ef

= 0.4 (para secções rectangulares sem esforço normal)

fct,ef ≈ 3 MPa

σs = fyk = 400MPa (A400)

(iii) Armadura mínima em banzos traccionados

Quando uma viga de betão armado com banzos traccionados fendilha, aos banzos é

imposta uma deformação, e mesmo que na alma exista armadura suficiente para

garantir a segurança á rotura, as zonas laterais vão fendilhar e precisam de ter uma

armadura mínima (ver figura) para que as fendas sejam repartidas e com aberturas

aceitáveis.

Pode também, em secções em caixão, haver deformações impostas relativas entre

banzos e almas de espessuras diferentes, que geram distribuições de tracções

semelhantes aos das consolas (i). Havendo essa possibilidade é exigido também, por

essa via, a disposição de armadura mínima.



Num caso e noutro a deformação de comportamento entre ter essa quantidade de

armadura ou não está representado na figura seguinte.

Apresenta-se seguidamente a avaliação das armaduras mínimas para este tipo de

elementos no caso da acção de um momento positivo.

h h

M M

(+)

σ(-)

ou

quase tracção pura


σs = 1.0 × 0.9 × Act×

fct,ef

fyk (cm2) ⇒ Asmin/m = 1.0 × 0.9 × 100 ×

h2

fct,ef

fyk (cm2/m/face)

k = 1.0 (efeito de uma carga)

kc = 0.9 Fcr

Act fct,ef ≈ 0.9 (para banzos, caso se considere, simplificadamente, que o

diagrama de tensões ao longo do banzo é quase constante)

Se h = 0.25 m; fct,ed = 3 MPa e fyk = 500 MPa ⇒ Asmin/m/face = 7.5 cm2/m/face ⇒

φ12//0.15

(iv) Armadura de alma (para vigas com h > 1m)

É conhecido que, nas almas de vigas altas, se se tiver uma distribuição só com

armadura na zona inferior, a fendilhação nesta zona é distribuída, mas com tendência



a concentrar-se na alma (fenómeno denominado, em geral, por arborescência)

originando aí fendas com aberturas maiores e não aceitáveis (esquema seguinte).

Para controlar estas fendas, há que colocar uma armadura mínima que pode ser

calculada por metro a distribuir nas duas faces da alma. Este é um fenómeno

semelhante ao dos banzos traccionados mas numa zona restringida superior e

inferiormente, respectivamente, pela compressão e armadura principal, sendo,

portanto, mais favorável. O EC2 propõe adoptar uma percentagem de armadura um

pouco inferior, ou seja com k kc = 0.5:


σs = 0.5 × Act ×

bh2 ×

fct,ef

fyk (cm2) ⇒ Asmin/m = 0.5 × 100 ×

b2 ×

fct,ef

fyk (cm2/m/face)

Se h = 0.30 m; fct,ef = 3 MPa e fyk = 500 MPa ⇒ Asmin = 4.5cm2/m/face ⇒ (φ10//0.15)

A armadura calculada, deverá, em princípio e por simplificação, ser extendida a toda a

alma, visto que, numa viga contínua a zona traccionada da alma está em baixo na

zona do vão, e em cima nos apoios.



EXERCÍCIO 3.3


S1S2

10.00 3.50

cp

3.50

sc

1.00

1.00

0.20 0.20

0.15





a) Para a estrutura já analisada, calcule as armaduras longitudinais mínimas e

pormenorize a secção transversal.




ALÍNEA A )

1. Armadura mínima de flexão

Act

k = 1.0 (cargas aplicadas)

kc = 0.4 (para secções rectangulares ou almas sujeitas a

flexão simples)

As.min = kc k Actfct.ef

σs = 0.4 × 1.0 ×

0.20 × 1.02 ×

2.2400 × 104 = 2.2cm2 a colocar junto à face

inferior de cada alma

2. Armadura no banzo

Act

k = 1.0 (cargas aplicadas)

kc = 0.9 (para banzos, considerando que o diagrama de

tensões ao longo do banzo é constante)

As.min/m = 0.9 × 1.0 × 1.0 × 0.15

2 × 2.2400 × 104 = 2.23 cm2/m/face ⇒ (φ8/0.20)

4.46 cm2 / 2 faces = 2.23 cm2/face

3. Armadura de alma

Act

h/2

kkc = 0.5 [valor médio proposto no EC2]

As.min/m = kc k Actfct.ef

σs ⇒ Asmin/m = 0.5 ×

0.202 × 1 m ×

2.2400 × 104 = 2.75 cm2/m/face ⇒

(φ8/0.15)

Embora para um momento com um dado sinal a armadura de alma não seja

necessária junto à zona comprimida, sob o ponto de vista prático essa armadura é

disposta em toda a alma sendo mais fácil calculá-la por metro (de altura).



2.3. LIMITES ADMISSÍVEIS DE FENDILHAÇÃO RELATIVOS AO ASPE CTO E À DURABILIDADE

Na ausência de requisitos específicos (impermeabilização, por exemplo), para

elementos de betão armado, o EC2 estabelece os seguintes limites, de aberturas de

fendas, em função do ambiente envolvente (as classes de exposição estão clarificadas

no Modulo 4):

Classe de exposição Valores recomendados

de wmax [mm]

X0, XC1 0.4

XC2, XC3, XC4

XD1, XD2

XS1, XS2, XS3

0.3

Estes limites resultam dos conhecimentos actuais que apontam para que fendas com

aberturas, não superiores a valores da ordem de 0.3 a 0.4 mm, não são prejudiciais no

processo de contrariar o desenvolvimento de degradação por corrosão das armaduras.

O limite mais folgado de abertura de fendas definido para o caso das classes de

exposição X0 e XC1, é apresentado como um limite, apenas para garantir um

aspecto aceitável do elemento . Por outro lado, para casos especiais de tanques com

necessidades de garantir certos níveis de estanquidade, disposições mais exigentes

são requeridas (ver EC2 – 3).

A abertura máxima de fendas deve ser calculada para a combinação de acções

quase-permanentes, que actuam a estrutura quase constantemente ao longo do

tempo.

2.4. CONTROLO DA FENDILHAÇÃO SEM CÁLCULO DIRECTO (EC2)

É possível, em geral, limitar as aberturas das fendas a valores aceitáveis como os

acima referidos, e evitar uma fendilhação com valores de aberturas não controladas,

caso se utilizem as disposições e quantidades mínimas de armadura atrás referidas, e,

ainda, de acordo com o EC2, que:

para fendilhação provocada, essencialmente, por deformações impostas

impedidas, se limitem os diâmetros dos varões a utilizar em função da tensão na

armadura no instante após a fendilhação (Quadro 7.2N);



para fendilhações causadas principalmente por cargas aplicadas se limitem ou

os diâmetros dos varões (Tabela 7.3N) ou o espaçamento entre varões (Tabela

7.3), ambos função da tensão na armadura, para os esforços correspondentes à

combinação de acções em causa.

Na página seguinte apresentam-se os Quadros do EC2 sobre esta matéria e os

comentários associados.

Para cargas aplicadas poderá estimar-se, numa 1ª aproximação, a tensão nas

armaduras para uma combinação em serviço, considerando que:σs≈ Mcomb.serviço

MRd × fyd.

Está a se admitir para a combinação fundamental de acções, uma tensão fyd, e que o

braço em serviço é o mesmo. Evidentemente que σs deve ser melhor avaliado como

indicado no §2.1.2.1.

Para deformações impostas a armadura mínima obtém-se, efectivamente,

considerando σs = fyk. No entanto, se o diâmetro das armaduras não satisfizer o

estabelecido na tabela 7.2N, para assegurar a abertura máxima de fendas requerida

deverá adoptar-se o par (σs, φ) que respeita o controlo indirecto daquele valor. Por

outro lado, a armadura necessária deverá ser calculada através da expressão de As,min

considerando esse valor de σs.

De notar que os Quadro foram definidos para certas hipóteses de valores dos

parâmetros e que se são referidas duas expressões, para a tracção e flexão, de

correcção para outras condições.

Refira-se, finalmente, que nos casos da restrição à deformação imposta se verificar só

ao longo dos bordos, como no caso do muro e da varanda, atrás exemplificados, a

avaliação de armadura não é um problema tecnicamente resolvido. No entanto,

aconselha-se, neste momento, a sua avaliação, como apresentado nos exemplos.



Quadro 7.2N – Diâmetros máximos dos varões φ*s para controlo da fendilhação1

Tensão no aço2 [MPa]

Diâmetros máximos dos varões [mm] wk= 0,4 mm wk= 0,3 mm wk= 0,2 mm

160 40 32 25

200 32 25 16

240 20 16 12

280 16 12 8

320 12 10 6

360 10 8 5

400 8 6 4

450 6 5 -

NOTAS: 1. Os valores indicados no quadro baseiam-se nas seguintes hipóteses:

c = 25 mm; fct,eff = 2,9 MPa; hcr = 0,5 h; (h-d) = 0,1h; k1 = 0,8; k2 = 0,5; kc = 0,4; k = 1,0;

kt = 0,4

2. Para as combinações de acções apropriadas

Quadro 7.3N – Espaçamento máximo dos varões para controlo da fendilhação1

Tensão no aço2 [MPa]

Espaçamento máximo dos varões [mm] wk=0,4 mm wk=0,3 mm wk=0,2 mm

160 300 300 200

200 300 250 150

240 250 200 100

280 200 150 50

320 150 100 -

360 100 50 -

Para as Notas, ver o Quadro 7.2N.

O diâmetro máximo dos varões deverá ser modificado como se indica a seguir:

Flexão (com pelo menos parte da secção em compressão):

φs= φ∗s (fct,eff /2,9)

k h

( h - d )

c cr

2

(7.6N)

Tracção (tracção simples):

φs = φ∗s (fct,eff/2,9)hcr/(8(h-d)) (7.7N)

em que:

φs diâmetro modificado máximo dos varões;

φ∗s diâmetro máximo dos varões indicado no Quadro 7.2N;

h altura total da secção;

hcr altura da zona traccionada imediatamente antes da fendilhação, considerando os valores

característicos do pré-esforço e os esforços normais para a combinação quase-permanente de

acções;

d altura útil ao centro de gravidade da camada exterior das armaduras;

Quando toda a secção está sob tracção, h - d é a distância mínima do centro de gravidade das armaduras

à face do betão (no caso em que a disposição das armaduras não é simétrica, considerar-se as duas

faces).



3. Estado Limite de Deformação

As estruturas sob a acção das diferentes solicitações deformam-se havendo

necessidade de limitar essa deformação a limites aceitáveis do ponto de vista do

aspecto, da funcionalidade da estrutura e do controlo de danos em elementos não

estruturais, assentes sobre a estrutura.

Assim, não são facilmente aceitáveis:

- Pelos utilizadores, pavimentos cuja deformação seja visível, em particular em obras

com níveis superiores de exigência.

- Para o bom funcionamento dos sistemas de drenagem das coberturas dos edifícios,

flechas que dificultem ou inviabilizem o esquema previsto.

- Fendas bem visíveis nas alvenarias de fachada ou interiores em edifícios, ou de

danos em caixilharias, acabamentos, etc., sinais de menor qualidade de construção

e, no caso das paredes exteriores, definindo caminhos preferenciais de entrada de

humidades.

3.1. LIMITES DE DEFORMAÇÃO

Os limites a definir para a flecha numa estrutura não são facilmente definíveis pois a

fronteira do que é ou não possível aceitar não é absoluta. Resulta, em muito, do que

tem sido observado, ao longo dos anos, em situações de deficiente e bom

comportamento. A norma ISO 4356 apresenta, de uma forma exaustiva, valores limites

para diferentes tipos de utilização dos pisos. De qualquer maneira, para os casos

correntes de edifícios de escritórios, comerciais ou de habitação, o EC2 (parágrafo

7.4.1), seguindo as recomendações da norma acima referidas, define os seguintes

objectivos máximos de deformação, em função do vão:



L250 para a deformação total devida combinação de acções quase-permanentes

L500 para o incremento de deformação após construídas as paredes de alvenaria das

divisórias. Este limite pode ser adaptável face à sensibilidade da solução construtiva.

Refira-se que estes valores de deformação se referem ao diferencial entre os pontos e

apoio e o ponto de flecha máxima. Isto é, em particular nos pisos elevados de um

edifício, a deformação dos pilares deve ser descontada, apesar de, em geral, não ser

muito significativa.

Refira-se que, para pontes , os limites usuais, embora não limitados de forma

absoluta, apontam para valores da ordem de L/1000 .

Note-se o facto dos limites de deformação estarem associados à dimensão do vão,

limitando-se, assim, a inclinação da deformada.

Um aspecto importante salientar é que, como estratégia de dimensionamento, se

devem prosseguir objectivos, com alguma folga, em relação aos limites acima

referidos.

3.2. QUESTÕES NA AVALIAÇÃO E NA LIMITAÇÃO DA DEFORMAÇÃO

Para a avaliação das deformações em estruturas de betão armado há que ter, em

particular atenção as suas características de comportamento em serviço. Ora

enquanto não fendilhadas e para efeitos de comportamento a curto prazo, a

deformação das estruturas de betão dependem do módulo de elasticidade do betão,

com uma pequena influência das armaduras (ver esquema abaixo).

a

p

M

1/r

EI I

curvatura: 1 r =

M EII

deslocamento: a = ⌡⌠

L 1 r

–M dx a =

1 EII

⌡⌠L M –M dx (P.T.V.)

–M − diagrama de momentos para uma carga virtual unitária aplicada na direcção de a.



No entanto, compreende-se que, a fendilhação , correspondente a uma perda de

rigidez, embora localizada numa zona, afecta a deformação global.

Ora, como já discutido no Módulo 1, coloca-se desde logo a necessidade de:

Avaliar as relações momentos-curvatura das zonas fendilhadas.

Considerar uma distribuição de curvaturas ou, equivalentemente, de

rigidezes, tendo em conta o comportamento ao longo dos elementos.

Na figura que se segue mostra-se como nas zonas fendilhadas (submetidas a esforços

superiores aos de fendilhação) as curvaturas definidas, com base em relações médias,

são maiores do que as esperadas para um comportamento em Estado I.

Mcr

M

Estado II

Estado IM

1/r

EII

EIII

p

McrM

1r

Por forma a se ter em conta a fendilhação da viga, é necessário considerar uma

curvatura média para cada zona do elemento, que os ensaios experimentais

mostraram estar entre os conhecidos Estados I e II. Esta resposta era expectável pois

a participação do betão à tracção entre fendas faz com que a deformação seja inferior

à do Estado II em que se despreza todo o betão à tracção.

Uma constatação interessante dos resultados experimentais é a perda de rigidez muito

significativa logo após a fendilhação, no denominado processo de formação de fendas,

a que se segue uma certa nova rigidificação depois da fendilhação estabilizada até ao

início da cedência do aço.

A curvatura média que é proposta tem um andamento que reproduz,

aproximadamente, as características principais do comportamento experimental.



M

M M

M

(1-τ)s τs

s

I II

IIEIII

1/r

M

Mcr

EII

MI

(1/r)I (1/r)m (1/r)II

Conforme se pode observar pelo gráfico momento-curvatura acima, esta curvatura

média pode ser calculada através de uma ponderação entre as curvaturas em estado I

e II, considerando para isso um coeficiente de repartição (τ):

1 rm = (1 - ττττ)

1 rI

+ ττττ 1

rII

com τ = 1 - β1 β2

σsr

σs 2

Este coeficiente de repartição, para o caso da flexão simples, pode ser obtido através

da seguinte expressão, devido à relação directa momentos-tensões.

ττττ = 1 - ββββ1 ββββ2

Mcr

M

2

para M > Mcr

onde,

β1 – coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões

(β1 = 1.0 para varões de alta aderência; β1 = 0.5 para varões aderência

normal);

β2 – coeficiente que tem em conta a duração ou repetição das cargas (β2 = 1.0

para uma única carga de curta duração; β2 = 0.5 para cargas actuando

com permanência ou para vários ciclos de cargas);

σsr – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado)

resultante da actuação das cargas que provocam o início da fendilhação;

σs – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado)

resultante da actuação do valor da carga para a qual se pretende calcular

a flecha.

Notar que se M < Mcr ⇒ τ = 0 ⇒ 1

rm = 1

rI



Verifica-se, então, que a avaliação da deformação de uma estrutura de betão armado

pode se basear na resposta elástica a curto prazo, considerando a secção não

fendilhada de betão, com uma posterior correcção. Esta pode ser conseguida por um

coeficiente, bem calibrado, que tenha em consideração as perdas de rigidez conjunta

por fendilhação e fluência do betão. Essa é uma opção possível e prática, que dá

origem ao denominado método dos coeficientes globais , que temos vindo a propor

na disciplina.

Antes de expor a metodologia para avaliação dos coeficientes globais é interessante

realçar os principais parâmetros que afectam a deformação das estruturas em geral, e

dos sistemas vigados, com ou sem continuidade, em particular. Como se ilustra na

figura seguinte e verifica na expressão base de avaliação das flechas,

ac = K pL4 EI

a defomação depende das condições de fronteira , associada ao parâmetro, k, e tem

uma fortíssima dependência do vão e da inércia, em particular da altura pois, tem-se,

por exemplo, para uma secção rectangular, a seguinte relação flecha/vão:

I = bh3 12 ⇒

ac L = K

12 p b E

L

h

3

p

Lac

Relembre-se que o coeficiente, k, toma os valores de 5/385, 1/184.6 e 1/385,

respectivamente, nos casos de vigas simplesmente apoiadas, apoiadas/encastradas e

bi-encastradas, o que mostra a importância do grau de continuidade de uma viga na

deformação.

Tendo em consideração as condições de fronteira, a esbelteza e, ainda, as influências

da fendilhação, fluência do betão e da sua retracção, foi possível definir, no âmbito do

EC2, e de forma mais ou menos equivalente ao feito noutros códigos, um quadro que

permite o controlo indirecto (sem cálculo explícito) dos limites de deformação atrás

referidos, pela consideração de uma esbelteza, (L/h), mínima .



Quadro 7.4N – Valores básicos da relação vão/altura útil para elementos de betão

armado sem esforço normal de compressão

Sistema estrutural

K Betão fortemente solicitado

ρ = 1,5 %

Betão levemente solicitado

ρ = 0,5 %

Viga simplesmente apoiada, laje

simplesmente apoiada armada numa

ou em duas direcções

Vão extremo de uma viga contínua ou

de uma laje contínua armada numa

direcção ou de uma laje armada em

duas direcções contínua ao longo do

lado maior

Vão interior de uma viga ou de uma

laje armada numa ou em duas

direcções

Laje sem vigas apoiada sobre pilares

(laje fungiforme) (em relação ao maior

vão)

Consola

1,0

1,3

1,5

1,2

0,4

14

18

20

17

6

20

26

30

24

8

NOTA 1: Em geral, os valores indicados são conservativos, e o cálculo poderá frequentemente revelar que é

possível utilizar elementos mais esbeltos.

NOTA 2: Para lajes armadas em duas direcções, a verificação deverá ser efectuada em relação ao menor

vão. Para lajes fungiformes deverá considerar-se o maior vão.

NOTA 3: Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem, para a flecha a meio vão, a uma

limitação menos exigente do que a de vão/250. A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios.

Assim, para um dado vão e condições tipo de continuidade, é possível ter um valor

mínimo de altura para assegurar condições de deformabilidade aceitáveis, desde que,

tenham sido adoptadas quantidades de armadura que verifiquem as condições de

segurança à rotura .

Verifica-se no quadro que para maiores percentagens de armadura (situação usual

nas vigas) o limite de esbelteza é mais exigente (menor) do que nas lajes (menores

percentagens de armadura). Quando na rotura se precisa de mais armadura, a zona

comprimida é maior, e para um nível equivalente de tensões no aço em serviço, a

curvatura é maior e, portanto, mais desfavorável para a deformação.



Naturalmente que os valores resultantes da aplicação do quadro devem ser

conservativos e, portanto, são possíveis, soluções mais esbeltas, desde que a

deformação seja devidamente avaliada.

No entanto realce-se que o limite de esbelteza para controlo da deformabilidade é

muito mais condicionante para as lajes do que das vigas. Para estas, como se pode

ver no Quadro, para valores de l/h correntes em edifícios, entre 8 a 14, e

independentemente das condições de fronteira, está-se na banda de valores

aceitáveis, deste ponto de vista. Conclui-se, então, que as dimensões das vigas são,

por um lado, condicionadas em geral pela verificação da segurança à rotura e, por

outro lado, as vigas são extremamente eficientes como elementos es truturais de

limitação das deformações nos pisos estruturais .

3.3. AVALIAÇÃO DIRECTA DA DEFORMAÇÃO

No que se segue explicar-se-á o essencial para a avaliação explícita da deformação

de uma viga ou de uma laje de betão armado, de acordo com o método dos

coeficientes globais, atrás referido, começando-se por analisar a avaliação das

curvaturas em Estados I e II.

3.3.1. Cálculo da curvatura em estado I

No Estado I a influência das armaduras não é muito significativa na deformação das

estruturas de betão armado, quer a curto prazo, quer no que respeita aos efeitos da

fluência e da retracção. No entanto, na realidade as armaduras rigidificam um pouco a

secção, sob a acção de cargas e, se a sua distribuição não for simétrica, contribuem

para o aumento da deformação por efeito da retracção.

Cada um destes efeitos foi matematicamente expresso e depois representado

graficamente em trabalhos do Comité Europeu do Betão (CEB) nos inícios dos anos

80, estando reproduzidos, em detalhe, no Volume das Tabelas da disciplina.

A curvatura em estado não fendilhado pode ser avaliada através da expressão:

1 rI

= ks1× 1

rc + kϕ1 × ϕ × ks1

1 rc

+ 1

rcs1 ,

Onde,

1 rc

– curvatura base elástica:

1

rc =

M Ec Ic

ks1 – coeficiente que considera, a acção das armaduras, a curto prazo, sendo

naturalmente inferior a 1, e tanto menor quanto maior a % de armadura.



ϕ – coeficiente de fluência que dá o incremento da deformação de curto prazo,

se não houvesse armaduras.

kϕ1 – coeficiente que quantifica o grau de restrição que a armadura oferece ao

incremento de deformação por fluência do betão (efeito equivalente ao ks1,

mas agora ao incremento de deformação a longo prazo)

1rcs1

-

1

rcs1 = kcs1

εcs d

Esta parcela é independente das restantes pois não tem nada a ver com as

cargas, e permite a avaliação da curvatura por retracção, que depende, no

essencial, da maior ou menor simetria na distribuição das armaduras na secção.

3.3.2. Cálculo da curvatura em estado II

Para o Estado II, isto é, secção fendilhada sem considerar o betão à tracção é possível

proceder exactamente ás mesmas hipóteses e definir coeficientes equivalentes. Desta

forma pode escrever-se a equação:

1 rII

= ks2× 1

rc + kϕ2 × ϕ × ks2

1 rc

+ 1

rcs2 ,

Com

1

rcs2 = kcs2

εcs d

De notar que ks2 é, naturalmente maior que 1, pois representa a relação entre a

curvatura da secção do Estado II com a avaliada só com betão (ver gráfico

exemplificativo)



Este gráfico representa a perda de rigidez, que é significativa, função da quantidade

de armadura, do Estado I para o II, sendo tanto maior quanto menor a quantidade de

armadura. Saliente-se que para uma percentagem, ρ, de armadura de flexão principal

de 0.75% (aproximadamente, 5 vezes a mínima), αρ vale 0.052 a que corresponde

uma relação de rigidezes III/Ic da ordem de 1/5.

Os restantes coeficientes têm um significado semelhante sendo que kϕ2 é

necessariamente muito pequeno pois, numa secção fendilhada, a restrição ao

aumento da deformação ao longo do tempo é grande. Repare-se que a zona

traccionada só pode, quando muito, ajustar um pouco a sua deformação, pois é só aço

e este não flui.

3.3.3. Cálculo das deformações

Tendo a distribuição de momentos, para uma dada combinação de acções e podendo

avaliar a curto ou longo prazo a curvatura média em qualquer zona da viga, a

deformação resulta directamente do integral (ver também a figura):



a = ⌡⌠

L 1 r

–M dx

1

M

p

Mcr

a

M

1r

No entanto, em termos de implementação mais rápida definem-se seguidamente dois

métodos, o método bilinear que é referido no EC2, ou o dos coeficientes globais ,

que resulta daquele e que permite uma avaliação mais directa da deformação,

mediante hipóteses simplificativas que se descrevem.

3.3.3.1 Método Bilinear

Trata-se de avaliar a deformação das vigas, por um lado, como não fendilhadas e, por

outro lado, em Estado II, sem betão à tracção.

Conhecidos os materiais e a distribuição de armaduras é possível determinar os

coeficientes atrás definidos para uma secção determinante .

i) Cálculo dos coeficientes

ks1, kϕ1, kcs1, ϕ e ks2, kϕ2, kcs2

ii) Cálculo do coeficiente de repartição, τ

A hipótese considerada é de tomar um momento intermédio na zona fendilhada para

efeitos da avaliação do coeficiente de repartição, tal que:

M = MD Mcr ⇒ τ = 1 - β1 β2 Mcr MD = constante

onde MD representa o momento na secção determinante , ou seja o maior na zona.



Sabendo que a flecha no vão depende das curvaturas no vão, mas também do que se

passa sobre os apoios, podemos tomar um valor ponderado, tendo em consideração

essas zonas, como se mostra nos seguintes exemplos.

Secções determinantes (secções de momentos máximos)

τ = τvão

τ = τapoio

τ = 2 τvão + τapoio

3

τ = τapoio 1 + 2 τvão + τapoio 2

4

A flecha pode então ser obtida função da dos Estados I e II tomando τ constante.

iii) Cálculo de flechas

τ = constante ⇒ a = ⌡⌠

0

L

1 rm

–M dx =

⌡⌠

0

L

(1 - τ)

1 rI

+ τ 1

rII –M dx = ⇔

⇔ a = (1 – τ) ⌡⌠

0

L 1rI –M dx + τ

⌡⌠

0

L 1rII

–M dx ⇔ a = (1 - ττττ) aI + ττττ aII

com aI = ⌡⌠

0

L

ks1 (1 + kϕ1ϕ) ×

1 rc

+ kcs1 εcs d

–M dx

aII = ⌡⌠

0

L

ks2 (1 + kϕ2ϕ) ×

1 rc

+ kcs2 εcs d

–M dx

Tomando uma secção como determinante , ter-se-iam coeficientes constantes e

portanto:

aI = ks1 (1 + kϕ1ϕ) ⌡⌠

0

L

1 rc

–M dx + kcs1

εcs d

⌡⌠0L

–M dx

aII = ks2 (1 + kϕ2ϕ) ⌡⌠

0

L

1 rc

–M dx + kcs2

εcs d

⌡⌠0L

–M dx

Em que o integral associado à curvatura elástica, corresponde à deformação elástica

da viga, a c.

Este é o método bilinear , que para mais fácil implementação pode ser proposto na

forma do método dos coeficientes globais , como se mostra de seguida.

Assim, desprezando a parcela da retracção tem-se:



aI = ks1 (1 + kϕϕϕϕ1ϕϕϕϕ) ac e aII = ks2 (1 + kϕϕϕϕ2ϕϕϕϕ) ac

Deste modo, a expressão do deslocamento vem igual a

a = (1 - τ) aI + τaII = (1 - τ) ks1 (1 + kϕ1ϕ) ac + τ ks2 (1 + kϕ2ϕ) ac ⇔

⇔ a = [ ](1 - τ) ks1 (1 + kϕ1ϕ) + τks2 (1 + kϕ2ϕ) ac = k ac

Neste caso define-se, portanto, um coeficiente global, k, que afecta directamente a

deformação elástica, tal que:

a = k ac

Este coeficiente, k, foi avaliado para diferentes valores de armaduras, ρ, e níveis de

fendilhação, Mcr/MD, tendo sido desenvolvidos gráficos de fácil consulta para a

avaliação, como o indicado seguidamente admitindo uma situação de curto prazo e 1º

carregamento, k0, e outra de longo prazo, k t, para um coeficiente de fluência de 3.5.

Para outras situações e para a consideração da retracção, outros gráficos são

disponibilizados nas Tabelas da disciplina.



Então para a aplicação do Método dos Coeficientes Globais temos então que:

a) Cálcular o deslocamento a c considerando um modelo elástico linear e rigidez de

flexão dada pelas secções não armadas e não fissuradas.

b) Avaliação de coeficientes K para ter em conta as armaduras, a fendilhação e a

fluência, para as secções determinantes.

Deslocamento instantâneo (t = 0): a0 = k0 ac (h/d)3 (tabelas pág. 97)

Deslocamento a longo prazo (t = ∞): at = η kt ac (h/d)3 (tabelas págs. 98 e 99)

ac – flecha base (por exemplo tabelas páginas 154 e 155 ou cálculo elástico de

estrutura)

k0 – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras e da

fendilhação (função de d/h, αρ, Mcr / MD ).

kt – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras, da

fendilhação e da fluência (função de ϕ, d/h, αρ, Mcr/MD) em que α é sempre

avaliado com o módulo de elasticidade instantâneo do betão.

η – coeficiente que entra em consideração com a influência da armadura de

compressão (função de ρ’/ρ, αρ, ϕ) – ver volume de tabelas



c) Definição de um coeficiente global único por uma ponderação equivalente á

definida para o coeficiente de repartição, tal que:

k = kvão

k = kapoio

k = 2 kvão + kapoio

3

k = kapoio 1 + 2 kvão + kapoio 2

4

E, avaliação da deformação, a curto ou a longo prazo, tal que:

a0 = k0 ac e at = k t ac

Refira-se que, para avaliar o incremento de deformação ao longo do tempo, após a

colocação das paredes de alvenaria ou outra solução de comportamento frágil, há que

subtrair à avaliação da deformação total prevista a deformação a curto prazo para o

peso próprio e das cargas actuantes nessa fase. Portanto as verificações

regulamentares serão:

Em geral:

at (g + ψψψψ2 q) = k t ac (g + ψψψψ2 q) ≤≤≤≤ L/250

Com paredes de alvenaria ou outros acabamentos frágeis:

at (g + ψψψψ2 q) = k t (g + ψψψψ2 q) - k 0 ac (pp + par.) ≤≤≤≤ L/500



EXERCÍCIO 3.4

Considere a viga representada na figura seguinte (viga do exercício 2.1)

0.55 0.60

5.00

0.30

p

3φ20

Materiais: C25/30

A400 NR

Calcule a flecha para a combinação frequente de acções (pfreq = 20 kN/m)




1. Cálculo da flecha elástica

a) Pelo P.T.V.,

DMF[kNm]

(+)

pfr

D 1/R62.5

Mmax = p L2

8 = 20 × 52

8 = 62.5 kNm

1 R =

M EI

1.25m

(+)

1

DMF [m]

Mmax = P L

4 = 5 4 = 1.25 m

a= ⌡⌠

L 1r

–M dx =

⌡⌠

L M

–M

EI dx = 1EI ×

53 × 62.5 × 1.25 ×

1 +

2.52

52 = 9.88 × 10-4m

(tabelas pág. 153)

E = 30.5 × 106 kN/m2

I = 0.3 × 0.63

12 = 0.0054 m4 ⇒ EI = 164700 kNm2

b) Por tabelas (pág. 154)

δ = 5

384 × pL4

EI = 5

384 × 20 × 54

164700 = 9.88 × 10-4 m ⇒ ac = 9.9 × 10-4m

2. Cálculo da flecha a longo prazo (método dos coeficientes globais)

(Considera-se ϕ = 2.5)

α = Es

Ec =

200 30.5 = 6.6

ρ = As

bd = 9.42 × 10-4 0.3 × 0.55 = 0.0057

⇒αρ = 0.038



Mcr = W × fctm =

bh2 6 × fctm =

0.30 × 0.602 6 × 2.5 × 103 = 45kNm

Mfr = 62.5kNm > Mcr

⇒ Mcr

Mfr = 0.72

(ϕ = 2.5) ⇒ kt = 3.75

ρ’ = As' bd = 0 ⇒ ρ’/ρ = 0 ⇒ η = 1

at =

h

d

3

η kt ac =

0.60

0.55

3

× 3.75 × 9.9 × 10-4 = 0.0048 m = 4.8 mm

3. Cálculo da flecha instantânea

αρ = 0.038

Mcr Mfr

= 0.72 (Acções repetidas) ⇒ k0 = 2.3

a0 =

h

d

3

k0 ac =

0.60

0.55

3

× 2.3 × 9.99 × 10-4 = 0.003 m = 3 mm

ESTRUTURAS DE


VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES

ÚLTIMOS DE ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL



MÓDULO 6

DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES

ÚLTIMOS DE ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL

DESPREZÁVEL


DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES

ÚLTIMOS DE ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL NÃO

ÍNDICE

1. FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA ..................... .............................................................. 216

1.1. RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA .................................................................................... 216

1.1.1 DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES NA ROTURA ............................................................... 216

1.1.2 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES .......................................................... 217

1.2. FLEXÃO DESVIADA ............................................................................................................ 221

1.2.1. Rotura convencional ................................................................................................ 221

1.2.2. Determinação dos esforços resistentes .................................................................. 221

1.3. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES .......................................................................... 224



1.3.3. Armadura transversal .............................................................................................. 225

2. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE PILARES ISOLADOS AOS ESTADOS LIMITE

ÚLTIMOS .................................................................................................................................. 232

2.1. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS .................................................................... 232

2.2. ESBELTEZA ....................................................................................................................... 232

2.3. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS ........................................................................................... 233

2.3.1. Excentricidade inicial ............................................................................................... 234

2.4. IMPORTÂNCIA DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM E TIPOS DE ROTURA ASSOCIADOS ........................ 235

2.5. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM ....................................................................... 237

2.5.1. Métodos de análise simplificados............................................................................ 238

2.5.2. Método da curvatura nominal .................................................................................. 240

2.5.3. Método da rigidez nominal ...................................................................................... 246

2.6. DISPENSA DA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ENCURVADURA .... 247

3. ESTRUTURAS EM PÓRTICO .............................................................................................. 257

3.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS ..................................................................................... 257

3.2. COMPRIMENTO DE ENCURVADURA ..................................................................................... 258

3.3. EFEITOS DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS EM ESTRUTURAS PORTICADAS OU MISTAS ......... 260

3.4. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM PÓRTICOS ...................................................................... 260

3.4.1. Verificação da segurança de pórticos contraventados cujos efeitos globais de

segunda ordem possam ser desprezados ........................................................................ 261

3.4.2. Verificação da segurança de pórticos contraventados cujos efeitos globais de

segunda ordem não possam ser desprezados ................................................................. 261

3.4.3. Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórticos não contraventados ............... 262


MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos

com esforço axial não desprezável

216

1. Flexão Composta e Desviada

O comportamento do betão armado em flexão composta (flexão + esforço axial) em

seviço e na rotura (como vamos analisar no que se segue) não é mais do que a

generalização da flexão simples. A flexão desviada , por sua vez, corresponde à

situação de se poder verificar a flexão, simultaneamente nas duas direcções

principais.

1.1. RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA

A capacidade resistente de um elemento de betão armado á flexão composta, como

se verá de seguida ou à flexão desviada (flexão em duas direcções, com ou sem

esforço axial) como se analisará posteriormente, é baseada na definição de extensões

máximas para o betão ou para o aço.

Os critérios de deformações limites para a secção são os mesmos da flexão simples,

sendo que, naturalmente, com um esforço axial de compressão, a tendência seja para

que a zona comprimida de betão seja maior. Assim temos:

εs ≤ εud

εc(-) ≤ 3.5‰

Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰

Extensões uniformes

Extensões não uniformes

1.1.1 DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES NA ROTURA

Com base nas extensões máximas para o betão e armaduras, podem ser definidas 5

zonas com diagramas associados à rotura:

σc εc

(-)

2‰

(-)

2‰ ≤ εc ≤ 3.5‰

ou

εc = 3.5‰

(-)

fcd

00

2‰

fcd

εud

εud

As2

As1

MN 1

02‰3.5‰

2‰ εsyd

2

3

45

Compressão Tracção




217

Zona 1 - Tracção com pequena excentricidade (εs1 = εud, εs2≤εud)

Zona 2 - Tracção e compressão com grande ou média excentricidade (εs1 = εud, εc(-)≤ 3.5‰)

Zona 3 - Tracção e comp. com grande ou média excentricidade (εyd≤εs1≤ 10‰, εc(-) = 3.5‰)

Zona 4 - Compressão com média ou pequena excentricidade (εs1≤εyd, εc(-) = 3.5‰)

Zona 5 - Compressão com pequena excentricidade (2‰ ≤εcmáx≤ 3.5‰)

De uma forma equivalente ao referido para a flexão simples podemos referir que:

Zonas 1, 2 e em parte da zona 3 a rotura tem boas características de ductilidade.

Parte da zona 3 e zonas 4 e 5 com rotura tendencialmente mais frágil. Esta

característica pode ser contrariada, como referiremos mais tarde, com a adopção

de armadura transversal, dita de confinamento. Com bom confinamento, o betão

interior às cintas pode ter deformações bem superiores aos 3.5‰ e, assim, melhora

a ductilidade global.

1.1.2 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES

Ora, definidos os inúmeros diagramas de extensões a que representam situações

últimas, pode-se, para cada um deles, conhecer a distribuição de tensões e,

posteriormente, determinar o par de esforços (Mrd, Nrd) correspondente.

Esse procedimento para um determinado diagrama de rotura, de uma secção com

dois níveis de armadura (As1 e As2) está representado na figura seguinte.

A coordenada, y, pode ser definida em relação ao centro geométrico da secção ou em

relação ao nível da armadura inferior, sendo mais conveniente adoptar a primeira

hipótese, pois é em relação a esse ponto que são, em geral, referidos os esforços

actuantes.

Equações de Equilíbrio:

• Equilíbrio axial: Fc + Fs2 - Fs1 = NRd

• Equilíbrio de momentos: Fc × yc + Fs2 × ys2 + Fs1 × ys1 = MRd

As1

As2 MRd

NRd

(-)

(+)

εc

εs2

εs1

Fc

Fs1

Fs2

yc ys2

ys1




218

Assim, para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço NRd - MRd

Se generalizar o procedimento, para todos os possíveis diagramas de rotura, obtem-se

(ver figura seguinte):

(i) O diagrama de interacção NRd - MRd (fig. a) para aquela secção e quantidade de

armadura.

(ii) Os diferentes diagramas de capacidade resistente (fig. b), se repetirmos o processo

para várias quantidades de armadura.

a) Diagrama de interacção, NRd - MRd para

uma dada distribuição de armaduras,

b) Diagrama de interacção para várias

quantidades de armadura

Em termos práticos, o diagrama de interacção representa a envolvente resistente da

secção de tal maneira que, para qualquer par de esforços actuantes, Nsd - Msd, no

contorno ou interior a essa envolvente, a segurança está verificada.

Se, de uma forma equivalente ao desenvolvido para a flexão simples, se escreverem

as equações de equilíbrio em termos de grandezas adimensionais obtêm-se as

denominadas curvas de dimensionamento , que são definidas para certas

distribuições tipo de armaduras nas secções.

As grandezas adimensionais que se definem são as seguintes:

− Esforço normal reduzido: ν = NRd

b h fcd

− Momento flector reduzido: µ = MRd

b h2 fcd

NRd

MRd

(-)

As

MRd

(-)NRd




219

− Percentagem mecânica de armadura: ωtot = Astot b h

fyd fcd

Refira-se que o esforço axial reduzido corresponde à relação entre as tensões

média actuante e de resistência de cálculo do betão. Por outro lado, para o

momento reduzido toma-se agora a altura total, h, e não a altura útil, considerada

na flexão simples.

Na figura da página seguinte apresenta-se um desses diagramas tipo, dito de

dimensionamento, admitindo uma distribuição uniforme de armadura no contorno.

Em termos de avaliação da quantidade de armadura, para verificar a segurança,

para um parde esforços (Nsd, Msd) calculam-se os esforços reduzidos,νsd e µsd, e,

consultando os ditos diagramas de dimensionamento, determina-se a % mecânica

de armadura necessária, ωωωωtot , e de seguida o valor de As,tot . Esta quantidade de

armadura deve ser distribuído na secção de acordo com o admitido no

diagrama de dimensionamento .

É interessante chamar a atenção, desde já, que a máxima capacidade resistente

se verifica para um nível de esforço axial reduzido de 0.4. Para compreender o

efeito de uma compressão moderada na resistência à flexão da secção, considere-

se o seguinte diagrama de interacção ν - µ, bem como os diagramas de tensão na

rotura para as situações A e B ilustradas.

MRd,A< MRd,B

µ

ν

0.4 B

A

As2

As1

b

h

A Fs2,A

As1 fyd

Fc,A

MRd,A

NRd

MRd,B

B

As1 fyd

Fs2,B

Fc,B




220

Compreende-se que a existência de um esforço axial aumenta as resultantes de

compressão (Fc e Fs2) e, consequentemente, o MRd apesar da diminuição do braço de

Fc. Este efeito é verificado até níveis moderados de esforço axial.




221

1.2. FLEXÃO DESVIADA

A flexão desviada corresponde à actuação simultânea de um esforço axial e de flexão

segundo os dois eixos principais.

1.2.1. Rotura convencional

Os critérios de rotura mantêm-se, tal que:

εs ≤ εud

εc(-) ≤ 3.5‰

Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰

A questão que se coloca de diferente neste caso é que a linha neutra na rotura não é

paralela a nenhum eixo principal da secção.

1.2.2. Determinação dos esforços resistentes

Considerada uma dada orientação e posicionamento para a linha neutra de uma

secção de betão armado é definido o diagrama de extensões correspondente à rotura,

como indicado na figura seguinte.

Definido o diagrama de extensões é obtido o de tensões e, consequentemente,

através das equações de equilíbrio, os esforços (NRd, MRd,y, MRd,z).

Ora:

(i) Se para cada orientação da Linha Neutra, se “varrer” a secção com todos os

possíveis diagramas de rotura.

(ii) Se se repetir o trabalho anterior para todas as orientações possíveis da Linha

Neutra.

Obtém-se um diagrama de interacção tridimensional (NRd, MRd,y, MRd,z) – ver figura

seguinte, para aquela quantidade de armadura. Representa-se também um corte para

um dado nível de esforço axial actuante.

σc

Fs1Fs2

Fc

My

Mz

(-)

ε

(+)




222

Se se repetir o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de

base para o dimensionamento e verificação da segurança. De facto, como na flexão

composta, podem estabelecer-se as equações de equilíbrio através de grandezas

adimensionais:

− Esforço normal reduzido: ν = NRd

b h fcd

− Momentos flectores reduzidos: µy = MRd,y

b h2 fcd ; µz =

MRd,z

b2 h fcd

− Percentagem mecânica de armadura ωtot = Astot b h

fsyd fcd

Nas figuras que se seguem mostra-se como representando a calote tridimensional por

cortes para igual esforço axial, se podem obter valores de quantidades de armaduras

para esforços actuantes, νsd, µy,sd e µz,sd. Poderiam ser realizados, em alternativa,

cortes para determinadas relações µRd,y/µRd,z.




223

Simplificadamente, é possível, para um dado esforço axial, Nsd, fazer a verificação da

segurança em flexão desviada, utilizando só o cálculo em flexão composta, em cada

uma das duas direcções, e verificar no final a seguinte condição:

Msd,y

MRd,y

α

+

Msd,z

MRd,z

α

≤ 1.0




224

onde α é um coeficiente que depende da forma da secção transversal e que toma os

seguintes valores:

• Secções transversais circulares ou elípticas: α = 2

• Secções transversais rectangulares

Nsd / NRd ≤ 0.1 0.7 1.0

α 1.0 1.5 2.0

Refira-se que NRD corresponde à capacidade resistente da secção submetida

unicamente a esforço axial de compressão.

1.3. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES

As armaduras dos pilares devem seguir disposições que correspondam a soluções

estruturalmente eficientes, económicas e construtivamente viáveis. Os regulamentos,

por sua vez, definem disposições mínimas em termos de quantidades, afastamentos e

diâmetros de armaduras longitudinais e transversais. No que se segue referem-se as

disposições do EC 2, para estruturas em zonas de pouca sismicidade, referindo-se,

que em termos práticos em Portugal, há que ter em atenção, em particular nestas

disposições, as indicações do EC8.


(i) Quantidades mínimas e máximas de armadura

As quantidades mínimas de armadura em pilares, variam consoante o tipo de aço

utilizado e o valor do esforço axial de dimensionamento, de acordo com a seguinte

expressão (EC2):

As, min = 0.10 Nsd

fyd ≥ 0.002 Ac

Trata-se de um valor dependente do valor do esforço axial, que no mínimo pode valer

0.2%. Refira-se que, em zonas de maior sismicidade o EC8 impõe um mínimo

bastante superior de 1%, o que será, em geral, mais adequado.

A quantidade máxima de armadura é dada por sua vez por:

As, máx = 0.04 Ac (fora das secções de emenda)

Nota: Nas secções de emenda, poderá ter-se uma armadura até 0.08 Ac.




225

Valores desta ordem de grandeza devem ser evitados, pois além de serem difíceis de

implementar em termos construtivos, correspondem a soluções potencialmente de

baixa ductilidade.

É importante referir que as emendas das armaduras longitudinais devem ser

preferencialmente, na zona intermédia do pilar, sendo essa disposição obrigatória em

zonas sísmicas (ver pormenor na página seguinte).

(ii) Disposição da armadura, diâmetros e espaçamento

Apresentam-se agora algumas disposições mínimas para as armaduras nos pilares.


Quanto a disposições mínimas ao longo do perímetro temos:

1 varão em cada ângulo da secção (saliente ou reentrante) ou

4 varões em secções circulares ou a tal assimiláveis (É recomendável

adoptar pelo menos 6 varões)

O diâmetro mínimo dos varões longitudinais, de acordo com o EC2 é de 8 mm, no

entanto, não se deve adoptar em pilares diâmetros inferiores a 12 mm ,

excepcionalmente, 10 mm.

1.3.3. Armadura transversal

É importante referir que a armadura transversal dos pilares têm várias funções que se

salientam seguidamente:

Cintar o betão, em particular nas extremidades, onde se concentram os maiores

efeitos de flexão.

Resistir ao esforço transverso que num pilar é constante ao longo do seu

comprimento.

Contrariar e impedir a encurvadura localizada dos varões longitudinais.

Manter as armaduras longitudinais na sua posição durante a montagem e

betonagem;

Refira-se que, em zonas com alguma sismicidade, as cintas devem ser mantidas na

zona dos nós de ligação com as vigas (ver no desenho).




226

Exemplo de disposição de armaduras

longitudinais num pilar

Exemplos de disposição de armaduras com

variação de dimensões do pilar em altura

a) variação pequena < 5 cm

b) variação superior

Espaçamento das cintas de acordo com o EC2:

smáx = min (20 ×φL,menor; bmin; 40 cm)

O espaçamento indicado deve ser reduzido a 0.6 smáx nos seguintes casos:

- Nas secções adjacentes a vigas ou lajes, numa altura igual à maior dimensão do pilar;

Esta disposição tem em consideração melhorar a cintagem do betão e, portanto a

ductilidade da secção, nas zonas de maiores esforços de flexão.

1 - Varões do pilar inferior fora do

perímetro da secção do pilar superior

2- Varões que não se interrompem no nó

3- Varões do nível superior com amarraçãono pilar inferior

PORMENOR DOS ESTRIBOSESC. 1/10

a)

b)




227

- Nas secções de emenda de varões longitudinais, caso o diâmetro destes varões

seja superior a 14 mm. Deverão existir pelo menos três cintas ao longo do

comprimento de emenda.

Esta disposição tem a ver com a resistência às tracções que se geram

perpendicularmente às emendas de varões, como apresentado no Módulo 2.

Refira-se que as disposições do EC8 nesta matéria são bastante mais exigentes, em

particular nas zonas junto às extremidades, propondo aí como mínimo, para o

espaçamento de cintas , 8 ×××× φφφφL.

Diâmetro

φcinta = max (6 mm; 0.25 φL,maior) – Recomendável: 8 mm

Forma da armadura / cintagem mínima

As formas das armaduras transversais devem seguir disposições apertadas para

garantirem eficiência de cintagem e de contrariar o risco de encurvadura dos varões

isolados.

Os varões longitudinais situados nos cantos da secção devem ser abraçados por

armadura transversal.

Em zonas comprimidas, é necessário cintar todos os varões longitudinais que se

encontrem a mais de 15 cm de varões cintados (ver pormenor das secções

transversais).

Exemplos de disposição de armaduras transversais em secções rectangulares de pilares

8Ø20+4Ø163 Cintas Ø8//0.15

8Ø20+8Ø162 Cintas Ø8//0.15

4Ø20+8Ø162 Cintas Ø8//0.15

12Ø20+12Ø163 Cintas Ø8//0.15




228

EXERCÍCIO 6.1

Considere a secção rectangular representada, sujeita a flexão composta conforme

indicado. Dimensione e pormenorize a secção.

Nsd = -1200 kN

Msd = 150 kNm

Materiais: A400NR

C20/25


Flexão composta de secções rectangulares (Tabelas)

d1≅ 0.05m

h = 0.50m⇒

d1 h = 0.10 ; A400

Esforço normal reduzido: ν = Nsd

b h fcd =

-1200 0.30 × 0.50 × 13.3 × 103 = -0.60

Momento flector reduzido: µ = Msd

b h2 fcd =

150 0.30 × 0.502 × 13.3 × 103 = 0.15

ωtot = 0.20 ⇒ Astot = ωtot b h fcd fyd

= 0.20 × 0.30 × 0.50 × 13.3 348 × 104 = 11.47cm2

Na rotura εc2 εs1

= -3.5 0 a 1 ⇒

rotura pelo betão

armaduras traccionadas não atingem a cedência

Zona

As/2

As/2

0.30

0.50

M sd

Nsd




229

EXERCÍCIO 6.2

Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as

armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msd =250 kNm

Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR


d1 = 0.05 ⇒ d1 h = 0.10

ν = Nsd

π r2 fcd =

-1400 π× 0.252 × 16.7 × 103 = -0.427

µ = MSd

2π r3 fcd =

250 2 × π× 0.253 × 16.7 × 103 = 0.152

⇒ ωtot = 0.30

Astot = ωtot×πr2 × fcd

fyd = 0.30 × π× 0.252 ×

16.7 348 × 104 = 28.3cm2




230

EXERCÍCIO 6.3

Dimensione e pormenorize a seguinte secção de um pilar para os esforços de cálculo

indicados.

Nsd = -1200 kN

Msd,y = 150 kNm

Msd,z = 100 kNm

Materiais: A400

C20/25


Flexão desviada com esforço axial (Tabelas)

ν = Nsd

b h fcd =

-1200 0.30 × 0.50 × 13.3 × 103 = -0.60

µy = Msdy

b h2 fcd =

150 0.30 × 0.502 × 13.3 × 103 = 0.15

µz = Msdz

b2 h fcd =

150 0.302 × 0.50 × 13.3 × 103 = 0.167

Como µz > µy ⇒ µ1 = µz = 0.167 e µ2 = µy = 0.15

ν = -0.6

µ1 = 0.167

µ2 = 0.15

⇒ ωtot = 0.60

⇒ Astot = ωtot b h fcd fsyd

= 0.60 × 0.30 × 0.50 × 13.3 348 × 104 = 34.4cm2

z

0.50

0.30

y

Msdz

Msdy

Astot/4




231

EXERCÍCIO 6.4

Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as

armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msdz = 150 kNm;

Msdy = 200 kNm

Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR


Msd =

1502 + 2002 = 250 kNm ⇒ Flexão composta

d1 = 0.05 ⇒ d1 h = 0.10

ν = Nsd

π r2 fcd =

-1400 π× 0.252 × 16.7 × 103 = 0.427

µ = MSd

2π r3 fcd =

250 2 ×π× 0.253 × 16.7 × 103 = 0.152

⇒ ωtot = 0.30

Astot = ωtot×πr2 × fcd

fsyd = 0.30 × π× 0.252 ×

16.7 348 × 104 = 28.3cm2




232

2. Verificação da segurança de pilares isolados aos es tados limite últimos

A verificação da segurança dos pilares pode não depender só dos efeitos das acções

avaliados com a estrutura não deformada. Neste capítulo analisamos, para os pilares

de betão armado, as recomendações regulamentares para se ter em consideração os

efeitos das deformações estruturais nos esforços actuantes de dimensionamento.

2.1. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS

Nos elementos de betão armado não solicitados por cargas axiais, os esforços são,

em geral, determinados na estrutura não deformada (Teoria de 1ª ordem). Nestes

casos a influência da deformação da estrutura nos esforços actuantes é desprezável.

Sempre que as imperfeições geométricas ou as próprias deformações da estrutura

possam ter um efeito importante nos esforços solicitantes (em particular no caso de

pilares esbeltos), as condições de equilíbrio devem ser estabelecidas na estrutura

deformada (Teoria de 2ª ordem).

Vimos, assim que a esbelteza dos pilares é um parâmetro importante para a avaliação

destes efeitos. Revemos seguidamente esse conceito e exemplificamos em casos

simples.

2.2. ESBELTEZA

A esbelteza de um pilar é dada por: λλλλ = l0 i

onde:

l0 representa o comprimento efectivo da encurvadura (distância entre pontos de

momento nulo ou pontos de inflexão da configuração deformada)

i representa o raio de giração da secção

i = I A

É fundamental compreender que o momento de inércia da secção a considerar é o

referente ao eixo perpendicular ao plano de encurvadura.

Quanto maior for a esbelteza maior é a sensibilidade aos efeitos da influência do

esforço axial nos esforços de flexão, apresentando-se, seguidamente, a avaliação do

comprimento de encurvadura , para casos tipo de condições de fronteira.




233

Elementos contraventados

Elementos não contraventados

2.3. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS

O efeito desfavorável de possíveis desvios na geometria da estrutura ou posição do

carregamento deverá ser tido em consideração no dimensionamento.

Os efeitos das imperfeições geométricas poderão ser avaliados de forma geral

considerando a estrutura inclinada de um ângulo θi.

Para elementos isolados, estes efeitos poderão ser considerados de forma

simplificada através de uma excentricidade inicial ei ou através de uma força horizontal

equivalente Hi.

= 2L = L = 2Ll0 l0 l0

= L/2 = L l0

l0

l0

= 0.7L




234

Hi

NNei

L

a) Elementos não contraventados

b) Elementos contraventados

2.3.1. Excentricidade inicial

Com base na estrutura inclinada de θi a excentricidade inicial poderá ser calculada

através da seguinte expressão

ei = θi l0 / 2

onde l0 representa o comprimento efectivo de encurvadura.

A inclinação θi pode ser calculada através da seguinte expressão:

θi = θ0⋅αh⋅αm

onde,

θ0 representa o valor de inclinação base que pode ser tomado igual a 1/200;

αh representa um coeficiente de redução relacionado com o comprimento do

elemento (αh = 2 / l e 2/3 ≤ αh ≤ 1);

αm representa um coeficiente de redução relacionado com o número de elementos

verticais existente na estrutura (αm = 0.5 (1 + 1/m), onde m representa o número

de elementos verticais).

Caso se tratem de colunas isoladas em estruturas contraventadas, poderá considerar-

se simplificadamente que ei = l0 / 400.

A análise dos efeitos da imperfeição geométrica podem ser avaliados considerando

uma força horizontal equivalente que deverá actuar na posição em que provoque o

máximo momento flector e pode ser obtida através das seguintes expressões:

(i) Elementos não contraventados: Hi = N θi

(ii) Elementos contraventados: Hi = 2 Nθi

= l0/2

θi θi

≅




235

Mi = N ei Mi= Hi L

Mi = N ei Mi = Hi L/4

2.4. IMPORTÂNCIA DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM E TIPOS DE ROTURA ASSOCIADOS

No que se segue ilustram-se os efeitos de 2ª ordem mostrando-se que as condições

de equilíbrio devem ser satisfeitas na estrutura deformada, depois de aplicadas as

cargas.

H i NNei

L =

θi

Hi L = N ei⇒Hi = N ei/L ⇒Hi = N θi

θi

Hi L/4 = N ei⇒Hi = N (4ei/L) ⇒Hi = 2 N θi ≅ =




236

Exemplos:

Teoria de 1ª ordem:

M = N × e

Teoria de 2ª ordem:

M = N (e + v) ⇔ M = N × e + N × v

N × e – momento de 1ª ordem

N × v – momento de 2ª ordem

Os efeitos de 2ª ordem dependem da esbelteza dos pilares, λ = l0i , como se representa

seguidamente.

- λ pequeno ⇒ efeitos de 2ª ordem desprezáveis

(Teoria de 1ª ordem)

- λ médio/elevado ⇒ efeitos de 2ª ordem relevantes

(Teoria de 2ª ordem)

Consideram-se os efeitos de 2ª ordem desprezáveis

se: M2ªordem ≤ 0.10 M1ªordem (⇔ N × v ≤ 0.1 N × e)

A rotura de um pilar terá, em geral, uma rotura por esgotamento da sua capacidade

resistente, com influência ou não de efeitos de 2ª ordem, como exposto, mas poderá

ter, em caso de uma esbelteza elevada, uma instabilidade elasto-plástica antes da

rotura da secção, como se ilustra de seguida.

M

N

Ne

Ne N v

1

2

N

vL

N

L

v




237

Relação N - M para e2=0

Elemento pouco esbelto: análise de 1ª ordem - Mu = Nu e1 ⇒ rotura da secção

Relação N - M para e2 ≠ 0

Elemento com esbelteza moderada: análise de 2ª ordem Mu = Nu (e1 + e2) ⇒ rotura da

secção

Relação N - M para e2≠ 0

Elemento com esbelteza elevada análise de 2ª ordem Mu = Nu (e1 + e2) ⇒ rotura por

instabilidade

2.5. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM

O cálculo rigoroso dos efeitos de 2ª ordem obriga a estabelecer as condições de

equilíbrio na estrutura deformada considerando o comportamento não linear do betão

armado. Isto significa a realização de análises não lineares da estrutura tendo em

conta as não linearidades geométricas da deformada e as não linearidades físicas dos

materiais.

Este método é designado por Método Geral sendo válido para qualquer tipo de

elemento estrutural ou estrutura submetida a qualquer tipo de carregamento.

Trata-se de uma metodologia que envolve um esforço de cálculo significativo e a sua

utilização no projecto de estruturas apenas se justifica em algumas situações

particulares.

21

Ne1

N

M

Ne1

N

Ne1 Ne2

Ne2

Nu , Mu 1 1

22Nu ,

u

2 2NC

,

C

Nu , Mu33

NC

,

C

33

N

e 1 e1

N

N

e2

e 2

3 N

N

e1




238

Tendo em conta a complexidade deste tipo de análises a regulamentação permite a

utilização de métodos simplificados para quantificar os efeitos de 2ª ordem.

2.5.1. Métodos de análise simplificados

O EC2 contempla a utilização de dois métodos simplificados para calcular os efeitos

de 2ª ordem:

- Método da curvatura nominal

Este método consiste em estimar a curvatura (1/r) na secção mais esforçada para

efeitos do cálculo da deformada de 2ª ordem da estrutura a partir da qual é calculado o

momento de 2ª ordem.

- Método da rigidez nominal

O método consiste em estimar a rigidez de flexão EI do elemento estrutural a qual é

utilizada na análise linear de 2ª ordem.

Os dois métodos apresentam a mesma fundamentação conforme se demonstra a

seguir.

Considerando uma coluna bi-articulada sujeita a um esforço axial N e a uma carga

transversal (ou a uma imperfeição geométrica) o momento total actuante incluindo os

efeitos de 2ª ordem é obtido de acordo com a seguinte expressão:

M = M0 + M2 = M0 + N v = M0 + N 1 r

l02

c

em que:

M – momento total

M0 – momento de 1ª ordem

M2 – momento de 2ª ordem

0

rv

M0 M 1/r

M = M + M

2

0 2

N




239

v – deslocamento associado à curvatura 1/r

l0 – comprimento do elemento (comprimento de encurvadura)

c – factor que depende da distribuição da curvatura

O deslocamento v pode ser obtido pela integração das curvaturas ao longo da coluna,

admitindo uma distribuição proporcional à dos momentos:

v = ⌡⌠

l0 1r

–M dx =

⌡⌠

l0 M

–M

EI dx = 1 EI ⌡

⌠l0 M

–M dx=

M EI

l02

c = 1 r

l02

c

Em que c tem os seguintes valores função da distribuição do momento flector ao longo

da coluna:

distribuição parabólica: c=9.6

distribuição uniforme (constante): c= 8

distribuição triangular simétrica: c=12

Sendo M e 1/r o momento e a curvatura na secção mais esforçada do pilar.

A diferença entre os dois métodos reside nas hipóteses admitidas para a consideração

de um valor de curvatura ou, o que pode ser equivalente, de um valor para a rigidez

fendilhada. De seguida apresentam-se as hipóteses base consideradas em ambas as

metodologias.

- No método da curvatura nominal a curvatura 1/r é a associada à deformada do

elemento correspondente ao momento de cedência. Admite-se, para a curvatura base,

que as armaduras de compressão entram em cedência simultaneamente com a de

tracção (ver fig. seguinte). De acordo com o EC2 este valor é depois modificado para

poder ter em conta o nível de esforço axial e a fluência do betão, como veremos.

1 r =

εsyd + εsyd 0.9d =

εsyd 0.45d

A razão pela qual a curvatura de cedência é considerada neste cálculo pode ser

compreendida tomando uma relação momento curvatura tipo de uma secção em

flexão composta. Se se representar o crescimento do momento de 2ª ordem com a

curvatura, percebe-se que a máxima resistência disponível para o momento de 1 ª

syd

(-)

(+)

0.9d

εsyd




240

ordem deve ser avaliada para a fase de perda significativas de rigidez da secção com

a cedência da armadura (ver figura seguinte).

- No método da rigidez nominal a curvatura 1/r é expressa em termos de rigidez

nominal à flexão:

1 r =

M EI

Nesta proposta de metodologia a rigidez EI é definida como se verá tendo em conta,

explicitamente, a influência da fendilhação e da fluência.

Importa referir que neste tipo de análises o comprimento l0 deve ser considerado como

um comprimento que traduz a forma da deformada final do elemento estrutural.

Dado que os métodos simplificados se baseiam na análise de uma coluna bi-

articulada, o comprimento l0 pode ser considerado como o comprimento de um pilar

simplesmente apoiado cujo comportamento traduz o do pilar em causa e cujas

extremidades coincidem com as secções de momento nulo deste pilar.

2.5.2. Método da curvatura nominal

Método de dimensionamento a partir dos resultados de uma análise linear de 1ª

ordem, corrigindo os esforços actuantes para ter em conta os efeitos de 2ª ordem, ou

seja da própria deformada da estrutura.

1/r

M 2ª ordem = N v (1/r)

M (1ª ordem)Rd,max

M

≅ Myd

v (1/r)

M1ª ordem

N

N

M1ª ordem




241

Msd = Nsd (e + e2)

De acordo com o EC2, e como já explicado, a excentricidade 2ª ordem pode ser

calculada com base numa curvatura nominal através da seguinte expressão:

e2 = 1 r

l02

c

onde c representa um factor que depende da distribuição da curvatura ao longo do

elemento. Normalmente adopta-se c = 10, excepto se o momento de primeira ordem

for constante, situação em que se poderá adoptar c = 8.

A curvatura (1/r) pode ser determinada a partir da expressão:

1 r = Kr⋅ Kϕ⋅

1 r0

onde,

Kr representa um factor correctivo que tem em consideração o nível de esforço

axial;

Kϕ representa um coeficiente destinado a ter em conta o efeito da fluência;

1 / r0 representa a curvatura base

1

r0 ≅

εyd 0.45d .

O coeficiente Kr destina-se a ter em conta o facto de, em determinados casos, a maior

perda de rigidez se dá antes da armadura atingir a extensão de cedência, o que

conduz a uma curvatura inferior ao valor base. Este factor de redução pode ser

determinado através de:

Kr = ννννu - νννν

ννννu - ννννbal ≤≤≤≤ 1.0

e N

e

N

v

N

e + e2




242

ν representa o valor do esforço normal reduzido;

νbal representa o valor do esforço normal reduzido na zona do máximo

momento resistente (em geral, νbal ≈ 0.4);

νu = 1 + ω, com ω = As fyd / (Ac fcd).

O efeito da fluência é considerado através da introdução do coeficiente Kϕ, que

pretende corrigir os casos em que a curvatura base seria inferior à curvatura real

devido ao facto de não se considerar o efeito da fluência. Assim:

Kϕϕϕϕ = 1 + ββββϕϕϕϕef≥≥≥≥ 1.0

ϕef representa o coeficiente de fluência efectivo

ϕef= ϕ (t∞, t0)

M0cqp M0sd

;

β = 0.35 + fck / 200 - λ / 150;

M0cqp representa o momento de primeira ordem para a combinação quase-

permanente de acções;

M0sd representa o momento de primeira ordem para a combinação fundamental.

O efeito da fluência poderá ser desprezado, o que equivale a assumir que ϕef = 0, caso

sejam verificadas as três condições seguintes: ϕ (∞, t0) ≤ 2; λ ≤ 75; M0sd / Nsd ≥ h

Os efeitos de 2ª ordem poderão ser considerados, tal como no caso das imperfeições

geométricas, através de uma força horizontal equivalente .

Esta força poderá ser uma força concentrada ou outra força equivalente, que produza

os mesmos esforços que o efeito de 2ª ordem (ver exemplos seguintes).




243

- Elementos não contraventados

M2 = N e2 M = ∆H l02

∆H l02 = N e2 ⇒ ∆H = 2N

e2

l0 ⇒ ∆H = N θ2

- Elementos contraventados

M2 = N e2 M = ∆H l04

∆H l04 = N e2 ⇒ ∆H = 4N

e2

l0 ⇒ ∆H = 2N θ2

Procede-se seguidamente à verificação do estado limite último de flexão composta

na secção crítica (secção mais esforçada), tendo em consideração este método.

0

θ 2

e 2 ≡ ∆H

N

L

θ

e 0 2

2

≡

0 2

∆ H

N

N




244

Assim tomemos os seguintes esforços:

Nsd

Msd = M0sd + Nsd e2

em que: M0sd = M0e + Nsd ei

Secção crítica:

(i) Elementos contraventados

A localização da secção crítica depende do diagrama de Msd conforme se pode

observar na figura seguinte. Nesta figura considera-se uma coluna genérica e

representam-se os esforços relativos às cargas actuantes e ao efeito de 2ª ordem.

Verifica-se que, em geral, a secção crítica se localiza numa zona intermédia e que a

sua determinação requeria um certo esforço de cálculo.

O EC2 ultrapassa esta dificuldade indicando uma metodologia simplificada para

estimar o momento máximo. Essa metodologia consiste em tomar para o momento

associado às cargas actuantes um valor constante, avaliado numa zona intermédia do

pilar, o qual é somado directamente aos momentos relativos às imperfeições

geométricas e aos efeitos de 2ª ordem.

M1M2

M2M1

NM02

M01N

M = M + M1TOT 2

≡ + =




245

M0e = máx 0.6 M02 + 0.4 M01

0.4 M02

com : |M02| ≥ |M01|

Todavia, como é possível verificar na primeira figura, os efeitos da imperfeição

geométrica e de 2ª ordem também se fazem sentir nos nós pelo que o momento

máximo pode, eventualmente, ocorrer numa das extremidades do elemento.

As dificuldades atrás referidas poderiam ser ultrapassadas se os efeitos das

imperfeições geométricas e de 2ª ordem forem considerados através da força

horizontal equivalente de acordo com exposto anteriormente.

(ii) Elementos não contraventados

Nos elementos não contraventados os esforços máximos ocorrem nos nós como se

pode observar na figura seguinte pelo que não se coloca a problemática atrás referida.

M2M1

NM02

M01N

M = M + M1TOT 2

+ =

N

θ2

N

ei

θ i

e2 MSd0

M 0e N ei

=++

N e2 Sd 0eM = M +Nei + N e2




246

2.5.3. Método da rigidez nominal

Considerando a coluna bi-articulada definida em 2.5.1 com comprimento l = l0, o

momento de 2ª ordem pode ser calculado da seguinte forma:

M2 = N v = N 1 r

l02

c = N M EI

l02

c = N l0

2 c EI (M0 + M2)

onde M0 é o momento de 1ª ordem e c é um parâmetro que depende da distribuição

da curvatura (assume-se que a distribuição das curvaturas de 1ª e 2ª ordem são

proporcionais ao longo do vão).

Desenvolvendo a expressão anterior em ordem a M2, tem-se:

M2 = M0

N l02

c EI

1 - N l0

2 c EI

= M01

c EI l0

2 / N - 1 = M0

1

NB

N - 1

em que:

NB = c EI l0

2 ≈ π2 EI

l02 (carga crítica do pilar)

O momento total do pilar pode ser calculado, então, da seguinte forma:

M = M0 + M2 = M0

1 +

1

NB

N - 1 ⇒ M =

M0

1 - N

NB

O parâmetro 1

1 - N

NB é o conhecido factor de amplificação do momento de 1ª ordem,

em problemas associados à instabilidade de estruturas.

- Rigidez nominal

A rigidez de flexão EI a usar no cálculo de NB deve ter consideração o efeito da

fendilhação e da fluência. O EC2 considera a seguinte expressão para cálculo da

rigidez nominal:

EI = Kc Ecd Ic + Ks Es Is

em que:

Ecd valor de cálculo do módulo de elasticidade do betão, Ecd = Ecm/γcE, com γcE = 1.2

Ic momento de inércia da secção transversal de betão

Es módulo de elasticidade do aço das armaduras,




247

Is momento de inércia das armaduras, em relação ao centro da área do betão

Kc coeficiente que toma em conta os efeitos da fendilhação e da fluência,

Ks coeficiente que toma em conta a contribuição das armaduras.

- Em geral:

Ks = 1

Kc = k1 k2 / (1 + ϕef)

em que:

ρ =As/Ac

ϕef coeficiente de fluência efectivo;

k1 é um coeficiente que depende da classe de resistência do betão:

k1 = 20ck /f (MPa)

k2 é um coeficiente que depende do esforço normal e da esbelteza:

k2 = ν . λ

170 ≤ 0,20

- Nos casos em que ρ ≥ 0,01, no EC2 propõe-se, para simplificar:

Ks = 0

Kc = 0,3 / (1 + 0,5ϕef)

Note-se que Kc introduz uma perda de rigidez, muito significativa, da ordem de 4 a 6,

em relação à rigidez de cálculo da secção só de betão. A dificuldade na aplicação

mais precisa desta proposta pode residir no cálculo da rigidez nominal a qual, para ter

em consideração as armaduras, exige um processo iterativo.

2.6. DISPENSA DA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO D E

ENCURVADURA

Para o caso de elementos isolados, os efeitos de segunda ordem poderão ser

desprezados se for satisfeita a condição

λ ≤ λlim = 20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C

ν

onde,

λ = l0 / i e representa o coeficiente de esbelteza (i representa o raio de giração

da secção transversal não fendilhada);




248

A = 1 / (1 + 0.2 ϕef ) (se ϕef for desconhecido pode adoptar-se A = 0.7);

B = 1 + 2 ω (se ω for desconhecido pode adoptar-se B = 1.1);

C = 1.7 - rm;

ϕef representa o coeficiente de fluência efectivo;

ω = Asfyd / Acfcd e representa a percentagem mecânica de armadura;

rm = M01 / M02 onde M01 e M02 representam os momentos de primeira ordem nas

extremidades de um elemento, sendo |M02| ≥ |M01|;

ν = Nsd / (Ac fcd) e representa o esforço normal reduzido

O parâmetro C é o que apresenta, nos casos correntes, uma maior variação (entre

0.7 e 2.7) pelo que é fundamental a sua correcta avaliação, dado ter uma influência

significativa no valor de λλλλlim .




249

EXERCÍCIO 6.5

Dimensione o pilar indicado sujeito aos seguintes esforços:

Secção transversal

Esforços característicos: Ng = 550 kN; Nq = 250 kN

Hq = 20kN

(ψ1 = 0.6; ψ2 = 0.4)

Materiais: C25/30; A400NR

N

H

3.00

0.30

0.40




250

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO6.5

1. Cálculo da esbelteza

λ = L0 i =

2 × 3.0 0.0866 = 69.3

i = I A =

9 × 10-4 0.30 × 0.40 = 0.0866 m; I =

bh3 12 =

0.4 × 0.33 12 = 9 × 10-4 m4

2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas

ei = θi l0 / 2

θi = θ0⋅αh⋅αm

αh = 2 / l = 2 / 3.0 = 1.15 < 1.0 ⇒ αh = 1.0

αm = 0.5 (1 + 1/m) = 1.0

θi = 1

200

ei = l0

400 = 6.0 400 = 0.015 m

3. Determinação dos esforços de dimensionamento

Nsd = 1.5 × (550 + 250) = 1200 kN; M0sd = 20 × 3 × 1.5 + 0.015 × 1200 = 108.0 kN

3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem

Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar a

condição seguinte:

λ = 69.3 ≤ λlim = 20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C

ν

C = 1.7 - rm = 1.7

rm= M01 / M02= 0

ν = Nsd

Ac fcd =

1200 0.30 × 0.40 × 16.7 × 103 = 0.599




251

λlim = 20 × 0.7 × 1.1 × 1.7

0.599 = 33.8

⇒ os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis

3.2. Quantificação dos esforços de cálculo

Nsd = 1200 kN

Msd = M0sd + Nsd e2

(ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem

e2 = 1 r

L02

c

1 r = Kr⋅ Kϕ⋅

1 r0

1 r0

= εyd

0.45d = 1.74 × 10-3 0.45 × 0.25 = 1.55 × 10-2 m-1

Kr = νu - ν

νu - νbal =

1.5 - 0.6 1.5 - 0.4 = 0.82 ≤ 1.0

ν = Nsd

Ac fcd =

1200 0.30 × 0.40 × 16.7 × 103 = 0.60

νu = 1 + ω≈ 1 + 0.5 = 1.5

Estima-se em 0.5 a percentagem mecânica de armadura. Refira-se que este

parâmetro tem influência reduzida no valor de Kr.

Kϕ = 1 + βϕef ≥ 1

ϕef= ϕ(t∞, t0) M0cqp M0sd

= 2.5 × 33.8 108 = 0.78

M0cqp = 20 × 3 × 0.4 + 0.015 × (550 + 0.4 × 250) = 33.8 kNm

β= 0.35 + fck

200 - λ

150 = 0.35 + 25

200 - 69.3 150 = 0.013

Kϕ = 1 + 0.013 × 0.78 = 1.01 ≥ 1

1 r = Kr⋅ Kϕ⋅

1 r0

= 0.82 × 1.01 × 1.55 × 10-2 = 0.013 m-1

e2 = 1 r

L02

c = 0.013 × 62

10 = 0.047 m

Msd = M0sd + Nsd e2 = 108 + 1200 × 0.047 = 164.4 kNm




252

4. Cálculo da armadura (flexão composta)

ν = Nsd

b h fcd =

-1200 0.3 × 0.4 × 16.7 × 103 = -0.60

µ = Msd

b h2 fcd =

164.4 0.4 × 0.32× 16.7 × 103 = 0.273

⇒ωtot = 0.62

d1 h =

0.05 0.3 = 0.167 ≅ 0.15 ; A400

Astot = ωtot × bh × fcd fsyd

= 0.62 × 0.30 × 0.40 × 16.7 348 × 104 = 35.7cm2




253

EXERCÍCIO6.6

Dimensione o pilar sujeito aos seguintes esforços:

Secção transversal

Esforços característicos: Ng = 380 kN; Nq = 220 kN

(ψ1 = 0.4; ψ2 = 0.2)

Materiais: C20/25; A400NR

5.00

N

0.25

0.25




254

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO6.6

1. Cálculo da esbelteza

λ = L0 i =

5 0.0722 = 69.3

i = I A =

3.255 × 10-4 0.252 = 0.0722 m ; I =

b h3 12 =

0.254 12 = 3.255 × 10-4 m4

2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas

ei = θi l0 / 2

θi = θ0⋅αh⋅αm = 1

200 × 0.89 = 0.0045

αh = 2 / l = 2 / 5.0 = 0.89 ; αm = 0.5 (1 + 1/m) = 1.0

ei = θi l0 / 2 = 0.0045 × 5.0 2 = 0.011 m

3. Esforços de dimensionamento

Nsd = (380 + 220) × 1.5 = 900 kN; M0sd = 0.011 × 900 = 9.9 kNm

3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem

Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar

condição seguinte:

λ = 69.3 ≤/ λlim = 20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C

n =

20 × 0.7 × 1.1 × 1.7 1.083

= 25.2

C = 1.7 – rm = 1.7

rm= M01 / M02= 0

ν = Nsd

Ac fcd =

900 0.25 × 0.25 × 13.3 × 103 = 1.083

λlim = 20 × 0.7 × 1.1 × 1.7

1.083 = 25.2

⇒ os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis




255

3.2. Quantificação dos esforços de cálculo

Nsd = 900 kN; Msd = M0sd + Nsd e2

(ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem

e2 = 1 r

L02

c

1 r = Kr⋅ Kϕ⋅

1 r0

1 r0

= εyd

0.45d = 1.74 × 10-3 0.45 × 0.20 = 1.93 × 10-2 m-1

Kr = νu - ν

νu - νbal =

1.5 - 1.083 1.5 - 0.4 = 0.38≤ 1.0

ν = Nsd

Ac fcd =

900 0.252 × 13.3 × 103 = 1.083

νu = 1 + ω≈ 1 + 0.5 = 1.5

Kϕ = 1 + βϕef

ϕef= ϕ(t∞, t0) M0cqp M0sd

= 2.5 × 4.7 9.9 = 1.2

M0cqp = 0.011 × (380 + 0.2 × 220) = 4.7 kNm

β= 0.35 + fck

200 - λ

150 = 0.35 + 20

200 - 69.3 150 = -0.012

Kϕ = 1 - 0.012 × 1.2 = 0.99 ⇒ Kϕ = 1

1 r = Kr⋅ Kϕ⋅

1 r0

= 0.38 × 1.0 × 1.93 × 10-2 = 0.0073 m-1

e2 = 1 r

L02

c = 0.0073 × 52

10 = 0.0183 m

Msd = M0sd + Nsd e2 = 9.9 + 900 × 0.0183 = 26.4 kNm

3. Cálculo da armadura (flexão composta)

d1 h =

0.05 0.25 = 0.20 ; A400 → Tabelas pág. 45




256

ν = Nsd

b h fcd =

-900 0.252 × 13.3 × 103 = -1.083

µ = Msd

b h2 fcd =

27.9 0.253 × 13.3 × 103 = 0.127

⇒ωtot = 0.65

Astot = ωtot× b h × fcd fsyd

= 0.65 × 0.252 × 13.3 348 × 104 = 15.5cm2




257

3. Estruturas em Pórtico

3.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS

Uma vez que os esforços de 2ª ordem dependem da deformabilidade lateral dos

pórticos convém classificar as estruturas relativamente a esta característica.

Estruturas contraventadas : estruturas com elementos verticais de grande rigidez

com capacidade resistente para absorver a maior parte das acções horizontais.

Neste tipo de estruturas a deformação lateral é condicionada pelos elementos de

contraventamento sendo este o tipo estrutural mais comum.

A deformação lateral global da estrutura pode ou não ser desprezável consoante a

rigidez dos elementos de contraventamento e as cargas actuantes.

Embora a deformação global da estrutura possa ter significado, a deformação relativa

entre pisos consecutivos é desprezável. Deste modo para os pilares há apenas que

verificar se há ou não que considerar efeitos locais de 2ª ordem para o

dimensionamento de cada um deles, admitindo a estrutura contraventada. Por outro

lado no dimensionamento dos elementos de contraventamento os efeitos globais de 2ª

ordem devem ou não ser considerados, consoante os deslocamentos laterais são

significativos ou desprezáveis, respectivamente.

Estruturas não contraventadas : estruturas sem elementos de contraventamento

Nestas estruturas, que devem sempre que possível ser evitadas, a deformação lateral

é, em geral, significativa. Os pilares e paredes devem ser dimensionados para os

efeitos globais de 2ª ordem sendo ainda necessário verificar se os efeitos locais são

condicionantes.

paredesou

núcleos




258

3.2. COMPRIMENTO DE ENCURVADURA

O comprimento de encurvadura é definido pela distância entre os pontos de momento

nulo, da distribuição final de momentos ao longo do pilar, podendo ser determinado

pela expressão:

l0 = ηl

onde l representa o comprimento livre do elemento e η é um factor que depende das

condições de ligação das extremidades do elemento

Estruturas contraventadas

l0 ≤ l (η ≤ 1)

Estruturas não contraventadas

l0 ≥ l (η ≥ 1)

O comprimento de encurvadura de acordo com o EC2 é obtido pelas seguintes

expressões (calibradas com recurso a análises não lineares):

- Elementos contraventados

l0 = 0,5l⋅

++⋅

++

2

2

1

1

45,01

45,01

kk

kk

- Elementos não contraventados

l0 = l⋅

++⋅

++

+⋅

⋅+ k

kk

k

kkkk

2

21

1

21

21

11

11;101max

k1, k2 são parâmetros relativos às extremidades do pilar que traduzem a rigidez

relativa à rotação dos nós:

k = (θ / M)⋅(EΙ / l)

θ / M rigidez à rotação dos elementos que concorrem no nó que restringem a rotação

desse nó;

EΙ rigidez de flexão do pilar;

l l




259

l altura livre do pilar entre ligações de extremidade

A rigidez θ/M pode ser definida aproximadamente por:

θ/M = 1/(4 EI/L) para elementos com ligações de continuidade nas extremidades

θ/M = 1/(3 EI/L) para elementos rotulados na extremidade oposta à da ligação em

análise

Nos casos gerais em que apenas as vigas contribuem para a restrição à rotação dos

nós tem-se:

ki = ∑( )EI / L pilares

∑( )αEI / L vigas

nó i:

Em que α toma o valor de 3 ou 4 consoante os casos atrás referidos.

O parâmetro k pretende traduzir a maior ou menor dificuldade de rotação do nó:

Maior rotação ⇒ maior deformação ⇒ maior l0 ⇒ maiores efeitos de 2ª ordem.

Exemplo de cálculo de l 0:

Determinar o comprimento de encurvadura do pilar indicado na figura.

Classificação da estrutura: Estrutura não contraventada

k1 = ∑( )EI / L pilares

∑( )4EI / L vigas

= ∑( )I / L pilares

∑( )4I / L vigas

=

0.34 12 ×

1 4 +

0.34 12 ×

1 3

0.3 × 0.53 12 ×

4 6 +

0.3 × 0.43 12 ×

4 5

= 0.117

viga

pilar

3.00

3.00

4.00

6.00 5.00

0.3

0.6 0.5

0.3

0.5

0.3 0.3

0.4

0.3

0.3

1

2




260

k2 =

0.34 12 ×

1 3 × 2

0.3 × 0.63 12 ×

4 6 +

0.3 × 0.53 12 ×

4 5

= 0.074

l0 = l⋅

++⋅

++

+⋅

⋅+ k

kk

k

kkkk

2

21

1

21

21

11

11;101max

l0 = l . max (1.20; 1.18)

l0 = 3 × 1.2 = 3.60 m

3.3. EFEITOS DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS EM ESTRUTURAS PORTICADAS OU MIST AS

Em estruturas porticadas ou mistas (com pórticos e paredes) os efeitos das

imperfeições geométricas podem ser avaliados considerando a estrutura inclinada de

um ângulo θi. Uma metodologia alternativa consiste na aplicação de forças horizontais

ao nível dos vários pisos do pórtico que conduzam ao mesmo efeito da inclinação θi.

3.4. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM PÓRTICOS

Para o caso de estruturas porticadas com elementos de contraventamento (por

exemplo: paredes ou núcleos de betão armado), os efeitos globais de segunda ordem

poderão ser desprezados se for satisfeita a condição

Fv,sd≤ k1 νs

νs + 1.6 ∑Ecd Ic

L2

onde,

Fv,sd representa a carga vertical total;

νs representa o número de pisos;

L representa a altura total do edifício acima do nível a partir do qual os

deslocamentos horizontais estão restringidos;

H i

Nθ i

≡

H = Ni θ i




261

Ecd representa o valor de dimensionamento do módulo de elasticidade do

betão (Ecd = Ecm / γcE = Ecm / 1.2);

Ic representa o momento de inércia da secção transversal dos elementos de

contraventamento (em estado não fendilhado);

k1 é um coeficiente que em geral toma o valor 0.31, ou o valor 0.62 caso se

verifique que os elementos de contraventamento não estão fendilhados em

estado limite último.

Esta expressão é válida caso se verifiquem as condições seguintes:

- Estrutura aproximadamente simétrica;

- Deformações globais por corte desprezáveis;

- Rotação da base dos elementos de contraventamento desprezável;

- Elementos de contraventamento com rigidez aproximadamente constante em altura;

- Cargas verticais semelhantes nos vários pisos.

3.4.1. Verificação da segurança de pórticos contrav entados cujos efeitos globais

de segunda ordem possam ser desprezados

Caso os efeitos globais de segunda ordem possam ser desprezados apenas há que

verificar os efeitos locais de 2ª ordem. Assim os pilares devem ser analisados, como

elementos isolados de acordo com o definido em 2.6/2.7, tendo em consideração 3.2.

Os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª ordem.

3.4.2. Verificação da segurança de pórticos contrav entados cujos efeitos globais

de segunda ordem não possam ser desprezados

Nestes casos, embora os deslocamentos globais da estrutura sejam significativos

(deslocamentos entre o topo e a base do edifício), os deslocamentos entre pisos são

desprezáveis dada a elevada rigidez dos elementos de contraventamento, desde que

estes apresentem em planta uma disposição aproximadamente simétrica.

É razoável admitir que os elementos contraventados têm deslocamentos horizontais

limitados, pelo que há apenas que verificar os efeitos locais de 2ª ordem nos pilares,

de acordo com 2.6/2.7, tendo em consideração 3.2.

Os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª e 2ª

ordem.




262

Elementos de contraventamento (paredes)

Os efeitos de 2ª ordem podem ser avaliados por uma metodologia idêntica à referida

para as imperfeições geométricas.

A inclinação θ2 é calculada com base no comprimento de encurvadura e este pode ser

estimado como se apresenta seguidamente.

3.4.3. Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórt icos não contraventados

No caso de estruturas em que os efeitos globais de segunda ordem tenham que ser

considerados, a análise de pilares isolados em estruturas introduz alguns problemas:

− A análise de pilares isolados conduz a excentricidades diferentes, o que não é

realista dado que as vigas e lajes do piso impõem igualdade de deslocamentos

horizontais para os pilares. Assim, deverá considerar-se a mesma excentricidade

de 2ª ordem em todos os pilares.

− Os efeitos de 2ª ordem provocam um aumento de esforços nos pilares que, por

equilíbrio, conduzem a um aumento de esforços nas vigas adjacentes. A análise

de pilares isolados não tem em conta este efeito.

Desde modo, verifica-se que a análise dos pilares isolados não é adequada pelo que a

metodologia a adoptar deve contemplar o comportamento global da estrutura.

∆H

Nθ 2

≡

∆H = N θ2

comprimento de encurvadura doelemento de contraventamento

0

2




263

Formas mais correctas de ter em conta os efeitos de2ª ordem

1. Análise da estrutura inclinada (deformada)

2. Aplicação de forças horizontais fictícias que conduzam aos valores dos esforços

provocados pelos efeitos de 2ª ordem.

Esta metodologia em pórticos com muitos pisos perde sentido, por ser muito

desfavorável. No que se segue é ilustrada a análise de um pórtico simples de um piso.

Considere-se o pórtico na posição deformada:

θ

θ

∆H2

∆H1

P

N N

2 e

θ θ

1

1

P2

2

e

L

10 2

0

δ δ




264

O ângulo θ e o deslocamento δ podem ser determinados com base no comprimento de

encurvadura l0 e na excentricidade e2 da seguinte forma:

θ = e2

l 1 02

= 2 e2

l 1 0 ; δ = Lθ = 2L

e2

l 1 0

O momento global de 2ª ordem é:

MTOTAL2 = (N1 + N2) δ → MTOTAL

2 = (N1 + N2) 2L e2

l 1 0

e2; l0 → parâmetros relativos ao pilar que atinge primeiro a curvatura de cedência

(pilar condicionante)

A força horizontal equivalente que conduz ao mesmo momento global nos pilares pode

ser calculada da seguinte forma:

MTOTAL∆H = ∆HL → ∆HL = (N1 + N2) 2L

e2

l0

→ ∆H = 2 (N1 + N2) e2

l0

l0; e2→parâmetros relativos ao pilar

condicionante

Definição do Pilar Condicionante:

Considerando que o deslocamento horizontal no topo dos pilares é idêntico, as

características que determinam qual o primeiro pilar a atingir a curvatura de cedência

são a altura da secção, as condições de fronteira e o nível de esforço axial actuante.

As duas primeiras características caracterizam a rigidez do pilar, a terceira determina a

extensão máxima na armadura.

Considere-se a seguinte metodologia para definir um único parâmetro que tenha em

consideração as características atrás referidas:

- a excentricidade de 2ª ordem e2 é função da curvatura de cedência do pilar: e2 = 1r

l 2 010

L

∆H




265

A curvatura base é definida pela seguinte expressão: 1r0

= εyd

0.45d ≅ εyd

0.4h

A curvatura de cedência pode ser estimada de forma aproximada, a partir da curvatura

base, pela seguinte expressão:

1r =

εyd

0.4h 0.4ν =

εyd

ν h → e2 = εyd

ν h l 2 010 com ν≥ 0.4

sendo: e2 = θ l02 ⇒

θl02 =

εyd

ν h l 2 010 ⇒ θ =

15 εyd

l0ν h ⇒ δ =

15 εyd

l0 Lν h

δ é o deslocamento do pórtico associado ao pilar que atinge primeiro a curvatura de

cedência: ⇒ δ = δi,mínimo

Donde se conclui que o pilar condicionante é o pilar com menor relação L l0ν h (ν ≥ 0.4)

0.4

h

n

m

n

+ -

1/r

1r0

1r0

0.4n≅1

r

N

2

N

e 0




266

EXERCÍCIO6.7

C25/30 g = 17kN/m ψ0 = 0.4

A500 NR q = 13.5kN/m γG = 1.35

Rec: 3cm G1 = 600kN γQ = 1.5

G2 = 400kN

W = ± 100kN

Dimensionamento dos pilares

— Estrutura não contraventada

Esbeltezas λ = l0i

l0 = 2l = 2 × 5 = 10m

P1: i = 0.612

= 0.115m → λ = 10

0.115 = 87

P2: i = 0.612

= 0.173m → λ = 10

0.173 = 58

5,0

10,0

0.6

0.3 0.3

0.4

W

g, qG2 G1

P 1 P 2




267

— Efeito das imperfeições geométricas

θi = θ0 αh αm ; θ0 = 1

200

αh = 2l =

25 = 0.894 ; αm = 0.5

1 +

1m = 0.5

1 +

12 = 0.87

θi = 1

200 × 0.894 × 0.87 = 0.0039 ; ei = 0.0039 × 5 = 0.0194m

Força horizontal equivalente:

Hi = Nθi

Combinação que envolve a acção do vento

Sd = 1.35 Sg + 1.5 ψ0 Sq ± 1.5 SW

N = N1 + N2 =1.35 (600 + 400) + 10 (1.35 × 17 + 1.5 × 0.4 × 13.5) = 1660kN

Hi = 1660 × 0.0039 = 6.47kN

R1 =

EI1L3

1

EI1L3

1

+ EI2L3

2

H1 = 0.43

0.43 + 0.63

0.23

6.47 = 1.49kN

R2 = Hi - R1 = 4.98kN

Esforços de 1ª ordem

P1 → W1 = 0.23 × 100 = 23kN

Nsd = 1.35×400 + 102 (1.35 × 17 + 1.5 × 0.4 × 13.5) = 695kN

M0sd = 1.5 × 23 × 5 + 1.49 × 5 = 180kNm

R1

H i = 6.47

R 2

0.0039

0.0194

0.0039




268

P2 → W2 = 100 - 23 = 77kN

Nsd = 1.35 × 600 + 102 (1.35 × 17 + 1.5 × 0.4 × 15) = 965kN

M0sd = 1.5 × 77 × 5 + 4.98 × 5 = 602,4kNm

- Efeitos de 2ª ordem

Pórtico não contraventado ⇒ necessidade de considerar os efeitos de 2ª ordem

Excentricidade de 2ª ordem

A excentricidade de 2ª ordem é calculada para o pilar que atinge primeiro a curvatura

de cedência (pilar condicionante)

- pilar condicionante: pilar com menor relação l0 Lν h (ν ≥ 0.4)

P1 - ν = 695

0.3 × 0.4 × 16700 = 0.35

P2 - ν = 965

0.3 × 0.6 × 16700 = 0.32

Pilar P1: l0 Lν h = 10× 5 /(0.4 × 0.4) = 312.5 (ν = 0.35)

Pilar P2: l0 Lν h = 10 × 5/(0.4 × 0.6) = 208.5 (ν = 0.32) (condicionante)

O pilar condicionante coincide, em geral, com o pilar mais rígido como é possível

observar na figura seguinte.

δ1 = δ2 = ⌡⌠

1r M

− ⇒

1r1

= 1r2

e2→ 1r =

1r0

⇓

k1 k2

εyd

0.45d

Para um determinado deslocamento horizontal δ o pilar mais rígido (P2) atinge primeiro

a cedência donde se conclui que e2 é condicionada pelo pilar mais rígido.

P2 → e2 = 1r

l 2 010 ;

1r = kr kφ

1r0

; 1r0

= εyd

0.45d

1/r0

P1

P2

ε

δ1 δ2

oo o o o




269

1r0

= 2.175 × 10-3

0.45 × 0.55 = 8.79 × 10-3/m

kφ= 1 + βφef ≥ 1.0

β = 0.35 + fck

200 - λ

150 = 0.35 + 25200 -

58150 = 0.088

φef = φ M0cqp

M0sd

M0cqp = 4.98 × 5 = 24.9kNmM0sd = 602.4kNm

→ φef = 2.5 24.9602.4 = 0.1

kφ = 1 + 0.088 × 0.1 ≅ 1.0

kr = νn - ν

νn - νbal ≤ 1.0 ; ν =

Nsd

Ac fcd ; νu = 1 + w

ν= 0.32 ; νbal = 0.4 ; w ≈ 0.5 (estimativa)

kr = 1.5 - 0.3431.5 - 0.4 = 1.05 ⇒ kr = 1.0 (ν ≤ 0.4 ⇒ kr = 1.0)

e2 = 8.79 × 10-3 102

10 = 0.0879m

Força horizontal equivalente: ∆H = 2N e2

l0 ; l0 = 2l ⇒ ∆H = N e2/l = (N1 + N2)

e2

l

∆H = 1660 × 0.0879

5 = 29.18kN

Momento de 2ª ordem

P1 → M2 = 0.23 × 29.18 × 5 = 33.56kNm

P2 → M2 = 0.77 × 29.18 × 5 = 112.34kNm

Esforços de dimensionamento

P1 → Nsd = 695kN

Msd = M0sd + M2 = 180 + 33.56 = 213.56kNm

ν = 0.35 ; µ = 213.56

0.3 × 0.42 × 16700 = 0.266 → w = 0.44

Astot = 20.3cm2

Vsd = Msd

l = 213.56

5 = 42.7kN

Asw

s = Vsd

z cotg θ fyd =

42.70.9 × 0.35 × 2 × 43.5 = 1.56cm2/m →

Asw

s min




270

4φ20 + 4φ16

Cintas φ6//0.15

(ρ = 1.7%)

P2 → Nsd = 965kN

Msd = 602.4 + 112.34 = 714.74kNm→ν = 0.32

µ = 0.396→ w = 0.76

Astot = 52.5cm2

Vsd = 714.74

5 = 142.9kN Asw

s = 3.32cm2/m

8φ25 + 4φ20

Cintas φ8//0.15

(ρ = 3.1%)

0,3

0,4

0,6

0,3

4φ25

2φ20

2φ16

4φ25

2φ20

betão armado e pré esforçado

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